Semana 11 sesión 3 (1) - Eliane Melanie Lopez Atencia

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Volumen de un sólido de revolución
1. Considere la siguiente región plana R, que gira alrededor del Eje Y. Bosqueje el sólido de revolución que se genera.
2. Plantee como determinar el volumen del sólido generado. Use el volumen de un cilindro.
	
3. En su expresión, ¿hay una diferencia de cuadrados de los radios de los cilindros? Se espera que su respuesta sea afirmativa. Use diferencia de cuadrados para dar forma a su expresión y conseguir la siguiente expresión:
	
Identifique y responda: 
 ¿Cómo es ? _______________________________________
¿Qué representa ? ___________________________________
Por lo anterior, se puede determinar el volumen de un solido mediante capas cilíndricas concentricas.
III. Método de las capas cilíndricas concéntricas
1. Considere la siguiente región plana R, que gira alrededor del Eje Y. Bosqueje el sólido de revolución que se genera. Resalte el sólido generado por la región comprendida bajo la función, entre las rectas verticales 
2. Asuma que es el punto medio del intervalo . Determine el volumen de la capa cilíndrica, use el resultado del ejercicio anterior.
	
3. Si considera una partición de subintervalos del ancho de la base de R, es decir , generando capas cilíndricas. Exprese la aproximación del volumen generado por R al rotar alrededor del Eje Y, como la suma de volúmenes de todas las capas cilíndricas determinadas por la partición del intervalo :
	
Conclusión
Esta aproximación mejora conforme la longitud de cada sub-intervalo se hace cada vez más pequeña, es decir si se hace que , el límite se representa como una integral. 
Entonces el Volumen del Sólido de Revolución generado está dado por la fórmula:
Se dan otros variantes, como sigue:
Caso (A): Si la región está acotada por dos funciones e con , y gira alrededor del Eje Y.
Caso (B): Si la región R acotada por dos funciones e con , gira alrededor de la recta con 
Ejemplos resueltos
1. Calcule el volumen V del sólido de revolución generado al rotar la región bajo la gráfica de la curva alrededor del eje Y.
Solución:
 
2. Calcule el volumen V del sólido de revolución generado al rotar la región que se encuentra sobre la curva , bajo la gráfica de la curva , comprendida , alrededor del eje 
Solución:
Identificando las curvas , 
Como 
Manos a la obra
Resuelve los siguientes ejercicios propuestos:
1) Encuentre el volumen del sólido generado al rotar la región plana encerrada por el Eje X y la curva para , alrededor del eje Y.
2) Halle el volumen del sólido generado por la región plana encerrada por la curva y el Eje X, al girar alrededor del Eje Y.
3) Encuentre el volumen del sólido generado al rotar la región plana encerrada por , para , alrededor de la recta .
4) Encuentre el volumen del sólido generado al rotar la región plana encerrada por , para , alrededor de la recta .
5) Encuentre el volumen del sólido generado al rotar la región plana encerrada por , para , alrededor de la recta .