Trabajo Final 2 - Análisis Estructural I

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2016 
Trabajo Final-Análisis 
Estructural 1 
ESTUDIANTE: ANGGY DIAZ LOPEZ 
UPC 
 
1- Calcular el desplazamiento horizontal, y el angular de la sección k del pórtico mostrado aplicando el 
método de la carga unitaria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Carga unitaria para desplazamiento en k 
 
 
 
E 
k D C 
B 
A 
EI 
EI 
EI 
8kN 
2m 
4m 
4m 
4m 
4kN/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝜃𝑘 =
1
𝐸𝐼
∫ (−
1𝑥
6
) (
32𝑥
3
− 2𝑥2 − 32) 𝑑𝑥 + ∫ (−
1𝑥
6
) (−8𝑥)𝑑𝑥 = 93.629 𝑟𝑎𝑑
6
4
4
0
 
𝛿𝑘 =
1
𝐸𝐼
∫ (−
2
3𝑥
) (
32
3
𝑥 − 2𝑥2 − 32) 𝑑𝑥 + ∫ (−
2𝑥
3
) (−
16𝑥
3
) 𝑑𝑥 + ∫ (−𝑥)(−8𝑥)𝑑𝑥 = 455.11
4
0
6
4
4
0
𝑚𝑚 
 
D C 
A 
F 
E 
2m 
4m 
4m 
4m 
 
2- Aplicando el Método de las Fuerzas, obtener los diagramas de Momento Flector. Fuerza Cortante y 
Fuerza Axial del pórtico mostrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
Analizamos el grado de hiperestaticidad: 
 
𝐺𝐼 = 3𝑚 − 𝑛 
𝑚 = 1 𝑦 𝑛 = 1 
 
𝐺𝐼 = 3(1) − 1 = 2 
 
SISTEMA BASE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones: 
𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 + ∆1𝑃= 0 
𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 + ∆2𝑃= 0 
 
 
Analizamos el sistema con las fueras externas: 
B 
D C 
B 
A 
F 
E 
EI 
EI 
EI 
8kN 
2m 
4m 
4m 
4m 
4kN/m 
D C 
A 
F 
E 
X1 
X2 
8kN 
2m 
4m 
4m 
4m 
4kN/m 
 
- 
- 
MA 
AX 
AY 
D C 
B 
A 
F 
E 
8kN 
2m 
4m 
4m 
4m 
4kN/m 
64 
 
32 
32 - 
MP 
8 
32 
x1 
MA 
AX 
AY 
D C 
B 
A 
F 
E 
2m 
4m 
4m 
4m 
Σ𝐹𝑋 = 0 
𝐴𝑋 = 1𝐾𝑁 
Σ𝐹𝑌 = 0 
𝐴𝑌 = 0𝐾𝑁 
𝑀𝐴 = 0 
−𝑀𝐴 + 1 × 4 = 0 
𝑀𝐴 = 4𝐾𝑁𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analizamos la carga X1=1KN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 
+ 
Σ𝐹𝑋 = 0 
𝐴𝑋 = 8𝐾𝑁 
Σ𝐹𝑌 = 0 
𝐴𝑌 = 16𝐾𝑁 
𝑀𝐴 = 0 
𝑀𝐴 − 8 × 4 + 4 × 4 × 2 = 0 
𝑀𝐴 = 64𝐾𝑁𝑚 
D C 
B 
A 
F 
E 
2m 
4m 
4m 
4m 
 
D C 
B 
A 
F 
E 
4 
4 
4 
4 
- - 
- 
+ 
2m 
4m 
4m 
4m 
C 
B 
A 
F 
E 
6 
6 
+ 
+ 
2m 
4m 
4m 
4m 
X2 
MA 
AX 
AY 
D C 
B 
A 
F 
E 
2m 
4m 
4m 
4m 
Σ𝐹𝑋 = 0 
𝐴𝑋 = 0𝐾𝑁 
Σ𝐹𝑌 = 0 
𝐴𝑌 = 1𝐾𝑁 
𝑀𝐴 = 0 
−𝑀𝐴 + 1 × 6 = 0 
𝑀𝐴 = 6𝐾𝑁𝑚 
M1 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝛿11 =
1
𝐸𝐼
(
1
2
× 4 × 4 ×
8
3
+
1
2
× 4 × 4 ×
8
3
+ 4 × 6 × 4 +
1
2
× 4 × 4 ×
8
3
) =
160
𝐸𝐼
 
∆1𝑃=
1
𝐸𝐼
(−
1
2
× 4 × 4 × (
64
3
+ 32) +
1
2
× 4 × 4 × 32 −
2
3
× 8 × 4 × 4 +
1
32
× 32 × 4 × 4) = 0 
 
Analizamos la carga X2=1KN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝛿22 =
1
𝐸𝐼
(6 × 8 +
1
2
× 6 × 6 × 4) =
360
𝐸𝐼
 
𝛿12 =
1
𝐸𝐼
(
1
2
× 4 × 4 × 6 −
1
2
× 4 × 4 × 6 −
1
2
× 6 × 6 × 4) =
−720
𝐸𝐼
 
∆2𝑃=
1
𝐸𝐼
(− (
64 + 32
2
) × 4 × 6 − 6 × 4 × 32 −
2
3
× 8 × 4 × 4 −
1
2
× 32 × 4 ×
14
3
) =
−2304
𝐸𝐼
 
 
 
Resolviendo la ecuación: 
𝑋1 = −3.1648𝐾𝑁 = 3.1648𝐾𝑁 
𝑋2 = −7.0330𝐾𝑁 = 7.0330𝐾𝑁 
DIAGRAMA DE MOMENTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.66KN 
61.538KN 
74.198KN 
+ 
- 
2m 
4m 
4m 
4m 
- 
118.86KN 
61.538KN 
1.406KN 
 
Hallamos las fuerzas cortantes: 
Analizamos la barra AC: 
𝑉𝐴 = 4 +
(−61.538) − (−118.86)
8
= 11.165 
𝑉𝐶 = −4 +
(−61.538) − (−118.86)
8
= 3.165 
Analizamos la barra CE: 
𝑉𝐶 =
32
3
+
(+12.66) − (−61.538)
6
= 23.033 
𝑉𝐸 = −
16
3
+
(+12.66) − (−61.538)
6
= 7.033 
Analizamos EF: 
𝑉𝐸 = 𝑉𝐹 =
(+0) − (+12.66)
4
= −3.165 
DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ 
+ 
+ 
3.165KN 
3.165KN 
11.65KN 
- 
+ 
2m 
4m 
4m 
4m 
23.03KN 
7.033KN 
 
HALLAMOS FUERZAS NORMAL: 
NUDO C: 
 
 
 
NUDO E: 
 
 
 
 
 
DIAGRAMA DE FUERZA NORMAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NAC 
7.033KN + 
3.165KN 
23.03KN 
+ 
- 
2m 
4m 
4m 
4m 
23.03KN 
NCE 
3.165KN 
 
7.033KN 
 
3.165KN 
 NEF 
NEC 
Σ𝐹𝑋 = 0 
𝑁𝐶𝐸 = 3.165𝐾𝑁(𝑇) 
Σ𝐹𝑌 = 0 
𝑁𝐴𝐶 = −23.033𝐾𝑁 (𝐶) 
 
Σ𝐹𝑋 = 0 
𝑁𝐸𝐶 = 3.165𝐾𝑁 (𝑇) 
Σ𝐹𝑌 = 0 
𝐴𝐸𝐹 = 7.033𝐾𝑁(𝑇) 
 
 
3- Aplicando el Método de Rigidez o Desplazamientos, obtener los diagramas de Momento Flector, 
Fuerza Cortante y Fuerza Axial del pórtico mostrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema Base 
 
 
 
 
 
 
 
DIAGRAMA Z1=1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4m 
EI 
EI 
EI 
EI 
24kN 
2m 
4m 
4m 
4m 
3kN/m 
4m 2m 
4m 
4m 
4m 
4m 2m 
4m 
4m 
4m 
Z1=1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑟11 =
15𝐸𝐼
512
 
𝑟12 =
6𝐸𝐼
64
 
𝑟13 =
3𝐸𝐼
64
 
DESPLAZAMIENTO Z1=1 (GIRO) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4m 2m 
4m 
4m 
4m 
6EI/64 
3EI/64 
6EI/64 + 
- 
- 
M1 
4m 2m 
4m 
4m 
4m 
3EI/128 
+ 
+ 
V1 
3EI/512 
3EI/128 
r11 
3EI/512 
6EI/64 
r12 
3EI/64 
r13 
4m 2m 
4m 
4m 
4m 
Z1=1 
4m 2m 
4m 
4m 
4m 
2EI/8 
4EI/8 
M2 
2EI/6 
4EI/6 
4m 2m 
4m 
4m 
4m 
3EI/32 
+ V2 
EI/6 
+ 
 
 
 
 
𝑟21 =
3𝐸𝐼
32
 
𝑟22 =
7𝐸𝐼
6
 
𝑟23 =
2𝐸𝐼
6
 
Calculando 
Z1=-401.24/EI 
Z2=6.72/EI 
Z3=-18.65/EI 
Gráfico de momento definitivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4m 2m 
4m 
4m 
4m 
59.94 
23.18 
10.16 
10.16 
25.8 
24 
22.19 
2.06 
2.34
m 
+ 
+ 
- 
- 
- 
3EI/32 
r21 
4EI/8 
r22 
2EI/6 r23 
4EI/6 
 
Gráfico de cortante definitivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico de fuerza normal definitivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4- Para la armadura mostrada, aplicando las Líneas de Influencia, calcular el máximo valor de Fuerza 
Axial de tracción o compresión en los elementos (m-n); (m-d); (m-c) y (c-d). Considere el tren de 
cargas circulando por el cordón inferior de izquierda a derecha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3m 3m 
 
2m 
3m 3m 3m 3m 3m 3m 3m 3m 
2m 
b 
k j h 
g 
q 
s 
r n m 
Tren de cargas 
35kN 145kN 145kN 
9,0m 4,5m 
3m 3m 
f 
2m 
3m 3m 3m 3m 3m 3m 3m 3m 
2m 
b c d e 
k j h 
g 
a 
q 
s 
r n m 
4m 2m 
4m 
4m 
4m 
20.78 
3.23 
7.01 12 
3.23 
10.99 
4m 2m 
4m 
4m 
4m 
7.01 
3.23 
22.99 
- 
- 
- 
+ 
+ + 
+ 
- - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nmn 
Nmd 
Ncd 
Ra 
Ra 
• Para Nmn punto de Ritter en “d”: 
∑Md = 0 
 
-Nmn*4 – 18*Ra = 0 
 
 Nmn = -4.5*Ra 
 L.I.Nmn = -4.5*L.I.Ra 
• Para Nmd punto de Ritter en el infinito: Senα = 4/5 
-Nmd*Senα + Ra = 0 
 
 Nmd = (5/4)*Ra L.I.Nmn = (5/4)*L.I.Ra 
∑Fy= 0 
 • Para Ncd punto de Ritter en “m”: 
∑Mm = 0 
 
Ncd*4 – 15*Ra = 0 
 
 Ncd = (15/4)*Ra L.I.Ncd = (15/4)*L.I.Ra 
3m 
Ncd 
Nmd 
Nmn 
• Para Nmn punto de Ritter en “d”: 
∑Md = 0 
 
Nmn*4 + 12*Rf = 0 
 
 Nmn = -3*Rf L.I.Nmn = -3*L.I.Rf 
• Para Nmd punto de Ritter en el infinito: Senα = 4/5 
Rf 
∑Fy= 0 
 
Nmd*Senα + Rf = 0 
 
 Nmd = -(5/4)*Rf 
 L.I.Nmn = -(5/4)*L.I.Rf • Para Ncd punto de Ritter en “m”: 
∑Mm = 0 
 
-Ncd*4 + 15*Rf = 0 
 
 Ncd = (15/4)*Rf L.I.Ncd = (15/4)*L.I.Rf 
 
 
 
 
Pregunta 4: 
 
 
 
 
 
 
 
Corte 1: 
 DCL cuando la carga está a la izquierda del corte 
 
 
 
 
 
 
 
 DCL cuando la carga está a la derecha del corte 
 
 
 
 
 
3m 3m 
2m 
3m 3m 3m 3m 3m 3m 3m 3m 
2m 
b c d e 
k j h 
g 
q 
s 
r n m 
1 
2 
3m 
2m 
3m 3m 3m 3m 3m 
2m 
b c 
k j h 
g 
m 
d 
Rf 
m 
 
L.I.Ncd 
Ncd1 = 145*(3/16) + 145*(21/16) + 35*(15/8) = 283.125 kN 
Posición 1 
Posición 2 
Ncd2 = 145*(3/4) + 145*(15/8) + 35*(21/16) = 426.56 kN 
Posición 3 
Ncd2 = 145*(15/8) + 145*(3/4) + 35*(3/16) = 387.19 kN 
Nmn1 = 145*(-9/20) + 145*(-27/100) + 35*(-1.8) = -324 kN 
Posición 1 
Posición 2 
Nmn2 = 145*(-1.8) + 145*(-9/10) + 35*(-9/8) = -430.9 kN 
Posición 3 
Ncd2 = 145*(-1.8) + 145*(-9/20) = -326.25 kN 
1.8 kN 
L.I.Nmn 
 
 
• Tren de carga para Ncd: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Tren de carga para Nmn: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15/8 kN 
145kN 145kN35kN 
145kN 145kN 35kN 
145kN 145kN 35kN 
145kN 145kN 35kN 
145kN 145kN 35kN 
145kN 145kN 
 
Nmn1 = 145*(-27/100) + 35*(-0.5) = -324 kN 
Posición 1 
Posición 2 
Nmn2 = 145*(-1.8) + 145*(-9/10) + 35*(-9/8) = -430.9 kN 
Posición 3 
Ncd2 = 145*(-1.8) + 145*(-9/20) = -326.25 kN 
L.I.Nmd 
0.5 kN 
0.5 kN 
• Para Nmc punto de Ritter en el infinito: Senα = 4/5 
-Nmc*Senα + Rf = 0 
 
 Nmc = (5/4)*Rf L.I.Nmc = (5/4)*L.I.Rf 
∑Fy= 0 
 Ndc 
Nmc 
Nmk 
 
 
 
• Tren de carga para Nmd: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Corte 2: 
 DCL cuando la carga está a la izquierda del corte 
 
 
 
 
145kN 35kN 
145kN 145kN 35kN 
145kN 145kN 
 
• Para Ncm punto de Ritter en el infinito: Senα = 4/5 
∑Fy= 0 
 
Ncm*Senα + Ra = 0 
 
 Ncm = -(5/4)*Ra L.I.Ncm = -(5/4)*L.I.Ra 
Nkm 
Ncd 
Ncm 
Nmc1 = 145*(5/16) + 35*(0.5) = 62.8 kN 
Posición 1 
Posición 2 
Nmc2 = 145*(1/8) + 145*(0.5) + 35*(-1/4) = 81.9 kN 
Posición 3 
Nmc3 = 145*(0.5) + 145*(-3/8) + 35*(-3/16) = 11.6 kN 
L.I.Nmc 
0.5 kN 
0.5 kN 
Respuesta: Nmc = 81.9 kN 
α 
 
 
DCL cuando la carga está a la derecha del corte 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Tren de carga para Nmc: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
145kN 35kN 
145kN 145kN 35kN 
145kN 145kN 35kN