Teorema de Castigliano - Análisis Estructural I

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1er TEOREMA DE 
CASTIGLIANO
Análsis Estructural I - Anggy Diaz
Si una estructura isostática en comportamiento
elástico se le somete a cargas P1, P2, P3,…, Pn,
entonces la deflexión ( o giro) en el punto de
aplicación de la carga Pi, puede expresarse como
la derivada parcial de la energía de deformación
complementaria de la estructura con respecto a la
carga Pi.
Xi = deflexión (i) o giro(i) en el punto de aplicación 
de la carga Pi.
Pi = puede ser una carga concentrada (Pi) en la 
dirección de la deflexión o un momento aplicado en 
la dirección del giro i que se desea calcular.
Análsis Estructural I - Anggy Diaz
Entonces se puede expresar 
lo siguiente:
i
i
P
U
giroodeflexiónX


=)__(


U*
U
U= Energía de deformación
U*= Energía de deformación 
complementaria.
(En el rango elástico da lo 
mismo U* como U)
Análsis Estructural I - Anggy Diaz
Sabemos lo siguiente:
   +++=
GA
dx
KV
GJ
dx
M
EI
dx
M
EA
dx
NU t
2222
2222
Axial Flexión Torsor Cortante
   


+


+


+


=


=
GA
dx
P
V
Vk
GJ
dx
P
M
M
EI
dx
P
M
M
EA
dx
P
N
N
P
U
X ii
t
t
ii
i
i
2
2
2
2
2
2
2
2
  

+


+


+


=
GA
dx
P
V
KV
GA
dx
P
M
M
EI
dx
P
M
M
EA
dx
P
N
NX
ii
t
t
ii
i
Axial Flexión Torsor Cortante
Considerar las integrales
Análsis Estructural I - Anggy Diaz
Ejemplo:
P
i
a b
Calcular vi = Δvi
Como la estructura es isostática y la carga está aplicada justamente en 
el punto “ i ”, entonces se aplica el teorema de castigliano.
P
)( ba
Pb
+ )( ba
Pa
+
Sea a+b = L
a b
a b
Análsis Estructural I - Anggy Diaz
Si x ≤ a
L
Pb
V
N
M
x
2
2
L
Pb
P
V
V
L
b
P
V
L
Pb
V
=


=


=
0
0
0
=


=


=
P
N
N
P
N
N
2
22
L
xPb
P
M
M
L
bx
P
M
L
Pbx
M
=


=


=
Si a < x ≤ (a+b) ≡ (x < b)
L
Pa
V
N
M
x
2
2
L
Pa
P
V
V
L
a
P
V
L
Pa
V
=


−=


−=
0
0
0
=


=


=
P
N
N
P
N
N
2
22
L
xPa
P
M
M
L
ax
P
M
L
Pax
M
=


=


=
Análsis Estructural I - Anggy Diaz
EI
dx
L
xPa
GA
kdx
L
Pa
EI
dx
L
xPb
GA
kdx
L
Pb
V
bbaa
i  +++=
0
2
22
0
2
2
0
2
22
0
2
2
Tramo 1 Tramo 2
EI
dx
x
L
Pa
GA
dx
L
kPa
EI
dx
x
L
Pb
GA
dx
L
kPb
V
bbaa
i  +++=
0
2
2
2
0
2
2
0
2
2
2
0
2
2
EI
b
L
Pa
GA
k
L
bPa
EI
a
L
Pb
GA
k
L
aPb
Vi
33
3
2
2
2
23
2
2
2
2
+++=
EI
L
L
bPa
GA
kL
L
Pab
Vi
32
22
2
+=
EIL
bPa
k
GAL
Pab
Vi
.3.
22
+=
Deformación 
debido al 
cortante
Deformación 
debido a la 
flexión
Análsis Estructural I - Anggy Diaz
Deformaciones laterales en el concreto
Cuando al concreto se le comprime en una dirección, al igual que
ocurre con otros materiales, éste se expande en la dirección
transversal a la del esfuerzo aplicado. La relación entre la
deformación transversal y la longitudinal se conoce como relación
de Poisson.
La relación de Poisson varía de 0.15 a 0.20 para concreto.
Análsis Estructural I - Anggy Diaz
Método de la Carga 
Unitaria
Análsis Estructural I - Anggy Diaz
Este método también es conocido como la integral de
Mohr, se aplica para estructuras isostáticas en
comportamiento elástico sometidas a cargas.
El procedimiento es el siguiente:
1) Se calculan las ecuaciones de M, V y N para toda la
estructura (de las cargas externas actuantes).
2) Se aplica una carga unitaria en la dirección del
desplazamiento (carga vertical → V, momento → ).
3) Se calcula las ecuaciones del momento, cortante y
normal para dicha carga unitaria; es decir: m, v, n.
4) El desplazamiento o giro se calcula con la siguiente
fórmula:
   +++=
GJ
dS
mM
GA
dS
kVv
EA
dS
Nn
EI
dS
MmoX ttiii )__( 
Flexión Axial Cortante Torsor
Análsis Estructural I - Anggy Diaz
Método de Engesser
Análsis Estructural I - Anggy Diaz
Sabemos que la derivada parcial del trabajo interno
(Energía de deformación) con respecto a la carga P real
o imaginaria aplicada en un punto de una estructura es
igual al desplazamiento en la dirección de P.
A
B C
D
R
R’
Sea “ R “ una hiperestática o 
redundante.
Como el desplazamiento vertical 
se A es nulo, podemos plantear 
que:
0=


R
U
0=


+


+


 
GA
dx
R
V
kV
EA
dx
R
N
N
EI
dx
R
M
M
Este tipo de ecuaciones se puede formular para cada 
punto de restricción en una estructura hiperestática.
Análsis Estructural I - Anggy Diaz
En general: En una estructura hiperestática de
material en comportamiento elástico en la que
no hay asentamientos de apoyos ni cambios de
temperatura, es nula la derivada parcial de la
energía de deformación con respecto a la fuerza
interna en un elemento redundante y por lo tanto
resulta mínimo el trabajo de deformación.
Análsis Estructural I - Anggy Diaz
Ejemplos:
1
6
5 4
3 2
a
a
a
P
R
r
GE = r-(E-e) = 5-(3+1) = 1º
Sea “ R “ la hiperestática:
Mf4 = 0 (DER) → r=0
EI = cte
EA = ∞
Ga = ∞
Tramo 1-2:
2Rx
R
M
Mx
R
M
RxM
=


−=


−=
Tramo 2-3:
2Ra
R
M
Ma
R
M
RaM
=


−=


−=
Análsis Estructural I - Anggy Diaz
6
5 4
3
P
R
Ra Tramo 3-4:
2)( axR
R
M
Max
R
M
RaRxM
−=


−=


−=
6
5 4
P
R
Tramo 4-5:
00 =


=


−=
R
M
M
R
M
PxM
6
5
R
Tramo 5-6:
PaxRx
R
M
Mx
R
M
PaRxM
−=


=


−=
2
P
Pa
Análsis Estructural I - Anggy Diaz
0)()(
0
0
2
0
2
0
2
0
2 =−+−++
=




aaaa
dxPaxRxdxaxRdxRadxRx
EI
dx
R
M
M
PR
4
1
=
a
a
a
P 0
¼P
a
¼P
P
m = ¾Pa
Levantada la hiperestaticidad
procedemos a calcular las
reacciones en el empotramiento
aplicando las ecuaciones de
equilibrio.
Análsis Estructural I - Anggy Diaz
Problema:Para la estructura de la figura 
EI=cte, EA=∞, GA =∞. Determinar las 
reacciones en los apoyos.
4 Ton
2m
2m
2m 2m2m
Análsis Estructural I - Anggy Diaz
a
d
b
c
ba
b
a
c H
2 Ton
x
2H
H
2 Ton
4 Ton x m
x
2 Ton
4 Ton x m
H
x
Tramo dc:
00
2
=


=


−=
H
M
M
H
M
xM
Tramo bc:
xHx
H
M
Mx
H
M
HxM
4
4
2 −=


=


−=
Tramo ab:
xH
H
M
M
H
M
xHM
4842
242
−−=


=


−−=
Análsis Estructural I - Anggy Diaz
081616
3
8
0)488(
0)484()4(
1
0
2
0
2
2
0
2
0
2
=+−−
=+−−
=





−−+−
=





HH
dxHxHx
dxxHdxxHx
EI
EI
dx
H
M
M
TonH 3=
2 m
2 m 2 Ton
2 m
3 Ton
3 Ton
2 Ton
2 Ton x m
Análsis Estructural I - Anggy Diaz
4 m
2 m
4800 kg
2 m
4800 kg
2 m2 m
abc
d e
f
R R’=9600-2R R
4 m 4 m
EI = cte
EA = ∞
Ga = ∞
Problema:
Análsis Estructural I - Anggy Diaz
Solución:
En toda la estructura:
• ΣFH = 0; dH = 0
• Por simetría: dV = fV = R
• ΣFV = 0 : 2R + R’ = 9600
R’ = 9600 – 2R
ge = r – (E+e) = 4 – (3+0) → ge = 1º
e = B – 1 = 1 – 1 = 0
(es una sola barra que constituye un circuito cerrado).
a1=2 b1=0 n1=0
a2=1 b2=2 n2=1 g = 3º → gi = 2º
a3=0 b3=4 n3=5
Análsis Estructural I - Anggy Diaz
4 m
2 m
4800 kg
2 m
abc
d e
R
R’= 4800-R
H
H
m
0
0 Tramo ab:
0=M
Tramo bc: (origen en b)
00
4800
=


=


−=
R
M
H
M
xM
Tramo cd: (origen en c)
00
9600
9600
2
=


=


−=


=


−=
R
M
M
R
M
xHx
H
M
Mx
H
M
HxM
Tramo de: (origen en d)
xHxRxx
R
M
Mx
R
M
HRxx
H
M
M
H
M
HRxxM
960044800
38400164192004
960044800
22 +−+−=


−=


−+−=


=


−+−=
Análsis Estructural I - Anggy Diaz
0)3840016419200()9600(
1
2
0
4
0
4
0
2 =





−+−+−
=




dxHRxxdxxHx
EI
EI
dx
H
M
M1º)
Efectuando: 2400
3
8
=− RH
2º)
0)960044800(
1
2
0
4
0
22 =





−++−
=




dxxHxRxx
EI
EI
dx
R
M
M
Efectuando: 800
3
2
=−HR
H = 3085.714 Kg.
R = 5828.57 Kg.
Análsis Estructural I - Anggy Diaz