Teorema de Castigliano - Análisis Estructural I

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Carlos Alberto Riveros Jerez
Departamento de Ingeniería 
Sanitaria y Ambiental 
Facultad de Ingeniería
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Análisis Estructural 
Teorema de Castigliano
Teorema de Castigliano
“La componente de desplazamiento del 
punto de aplicación de una acción sobre 
una estructura en la dirección de dicha 
acción, se puede obtener evaluando la 
primera derivada parcial de la energía 
interna de deformación de la estructura 
con respecto a la acción aplicada”.
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
w
P
P
∂∆ =
∂ ( )
2 2 2 2
2 2 2 / 2
 ∂= + + + ∂   
∫ ∫ ∫ ∫
N M V T
dx dx dx dx
P AE EI G A GJα
Tomando como referencia:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Teorema de Castigliano
1/ 2 .e i iw f D=
Calcular la rotación en el punto medio (c) de la viga en voladizo.
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Teorema de Castigliano
Ejemplo 1
∂ ∂= =
∂ ∂∫C
w M M
dx
m EI m
θ
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Teorema de Castigliano
Solución 1: corte 1-1
 11 10; 0M Px M+ = + =∑
⌢
1M Px= −
0
M
m
∂ =
∂
Teorema de Castigliano
Solución 1: corte 2-2
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
 22 20; 0M Px m M+ = + + =∑
⌢
[ ]2M m Px= − +
1
M
m
∂ = −
∂
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Teorema de Castigliano
Solución 1
( ) ( ) ( ) ( )
2
0 2
1
0 1
L L
C
L
Px dx Px dx
EI
θ
  = − + − − 
  
∫ ∫
23
8C
PL
EI
θ =
 
= × − 
 
2
21
2 4C
P L
L
EI
θ
Ejemplo 2
Para la viga simplemente apoyada que soporta la carga lineal w, 
determinar el valor de la deflexión en el centro de la luz.
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∂ ∂∆ ↓= =
∂ ∂∫
w M M
c dx
P EI P
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Solución 2
1
2
M
x
P
∂ =
∂
 + = − + × + + 
 
∑
⌢
 
2
1
1 10; 2 2 2
wL P wx
x M
 = + × − 
 
2
1 2 2 2
wL P wx
M x
( ) ∆ ↓= − 
 
∫
2
2
0
2
0.5
2 2
L
C
wL w
x x x dx
EI
( ) ( )  ∆ ↓= − 
 
 
3 4
2 22
4 3 4 4C
L L
wL w
∆ ↓=
35
384C
wL
EI
Calcular el desplazamiento en el extremo libre B de la viga en 
voladizo.
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Ejemplo 3
U M M
B dx
P EI P
∂ ∂∆ ↓= =
∂ ∂∫
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Solución 3 
corte 1-1
2
1
1 10 : 02
wX
M PX M∩+ ∑ = + + =
2
1 2
wX
M PX
 
= − + 
 
M
X
P
∂ = −
∂
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Solución 3 
( )
2
0
1
2
L wX
B PX X dx
EI
 
∆ ↓= − − − 
 
∫
3
2
0
1
2
L wX
PX dx
EI
 
= + 
 
∫
3 4
0
1
3 8
L
PX wX
EI
 
= + 
 
3 41
3 8
PL wL
EI
 
= + 
 
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE 
INDETERMINADAS
Si B se mueve todo se mueve y 
no hay problema.
Si C se mueve , se tienen que 
distribuir los esfuerzos en A y B.
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վ
վ
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE 
INDETERMINADAS
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE 
INDETERMINADAS
Indeterminada
Para convertirla en determinada: (Se quita el apoyo simple)
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ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE 
INDETERMINADAS
Una estructura es estáticamente indeterminada si no
pueden ser analizados sus aspectos internos y
reacciones por las ecuaciones de equilibrio estático.
• Método de carga unitaria 
• Método de Castigliano
Cualquier estructura puede convertirse en
estáticamente determinada suprimiendo las acciones
sobrantes o híper estáticas.
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE 
INDETERMINADAS
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE 
INDETERMINADAS
3NE =
4NR =
4NN =
2GIE =
2 2= + − −GIE NE NR NN C
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
Estructura primaria
'
1 1 11 12
'
2 2 21 22
0
0
∆ = = ∆ + ∆ + ∆
∆ = = ∆ + ∆ + ∆
(Se quitan P, Q w)
(Se quitan P, Q w)
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ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
Definición coeficientes flexibilidad
11 11 1
12 12 2
21 21 1
22 22 2
X
X
X
X
∆ = ∂
∆ = ∂
∆ = ∂
∆ = ∂
'
1 11 1 12 2 0X X∆ + ∂ + ∂ =
'
2 21 1 22 2 0X X∆ + ∂ + ∂ =
1m
2m
∧
∧
• Por Carga Unitaria:
• Por Método Castigliano
……
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ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE 
INDETERMINADAS
' 1
1
Mm
dx
EI
∆ = ∫
1 2 2 1
12 21
m m m m
dx dx
EI EI
∂ = ∂ =∫ ∫
1 1 2 2
11 22
m m m m
dx dx
EI EI
∂ = ∂ =∫ ∫
1 2
1 2
0 0
w w
X X
∂ ∂∆ = = ∆ = =
∂ ∂
n
n
w
X
∂∆ =
∂
' 2
2∆ = ∫
Mm
dx
EI