Ingeniería Geotécnica - U4S2 -Teoría Rankine

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TEORÍA DE RANKINE
Curso : Ingeniería geotécnica
Prof. : Msc. José Luis Carrasco Gutiérrez
Excavaciones
Estructuras de Contención
Rellenos
TEORÍA DE RANKINE (1857)
Hipótesis
• Relleno de superficie horizontal
• Trasdós de muro vertical
•No existen tensiones tangenciales entre paramento vertical de muro
y el suelo (muro “liso”)
•Sobrecarga uniformemente distribuida en superficie de terreno.
• Resistencia al corte de suelo obedece ley de Coulomb
TEORÍA DE RANKINE
Contenido:
 Rankine para w = b = dm = 0. Ejemplo de cálculo
 Empuje en muros con paramento inclinado. Rankine w ≠ 0
 Empuje en muros con paramento inclinado. Rankine para 
b ≠ 0, suelo f
 Efecto de las sobrecargas
 Deformación y condiciones de frontera
Rankine para w=b=dm=0. Ejemplo de cálculo
TEORÍA DE RANKINE
4m
1m
1m
1
2
4
5
7
3
Arcilla saturada
gsat = 19 KN/m3
c = 30 Kpa
Arena media
g =17 KN/m3
f = 30°
Arcilla saturada
gsat=19 KN/m3
c = 30 Kpa
NF
1m
1m
Muro
6
Rankine para w=b=dm=0. Ejemplo de cálculo
TEORÍA DE RANKINE
3'
'
/9
1019
:
mKn
Observe
wsat


g
ggg
Kpaz
Kpaz
Kpaz
Kpaz
wwater 10)1(10
96)1019(187
87)19(168
68)17(40
0
4
''
3
'
4
'
2
'
3
'
1
'
2
'
1





g
g
g
g

Zona activa
Kpaz
Kpa
281*)1019(19
19)19(1
0
''
6
'
7
'
6
'
5



g


Zona pasiva
1. Cálculo de las tensiones verticales efectivas
TEORÍA DE RANKINE
Kpak
Kpak
k
tgkzk
aa
aa
a
aaha
66.22)333.0(68
0
333.0
;
2
45;
'
2
'
2
'
1
'
1
2'












f
g
2. Determinación de los empujes (esfuerzos horizontales)
Estrato 1-2: Estado activo (Arena media) Estrato 2’-4: Estado activo (Arcilla saturada)
Kpaz
z
Kpac
Kpac
Kpac
cz
www
ww
a
a
a
ha
10)1(100
0
36)30(2962
27)30(2872
8)30(2682
2
'
3
'
4
'
3
'
4
'
4
'
3
'
3
'
2
'
2
'
'






g
g



g
2
2’
TEORÍA DE RANKINE
2. Determinación de los empujes (esfuerzos horizontales)
2
2’
Estrato 5-7: Estado pasivo (Arcilla saturada)
Kpaz
z
Kpac
Kpac
Kpac
cz
www
ww
p
p
p
hp
10)1(100
0
88)30(2282
79)30(2192
60)30(202
2
'
6
'
7
'
6
'
7
'
7
'
6
'
6
'
5
'
5
'
'






g
g



g
TEORÍA DE RANKINE
3. Diagrama de empuje de tierras
Kpa66.22
Kpa8
Kpa27
Kpa10
Kpa36
Kpa60
Kpa79
Kpa88Kpa10
 
)(_ ppasivoEmpuje   
)(_ aactivoEmpuje 
TEORÍA DE RANKINE
Contenido:
 Rankine para w = b = dm = 0. Ejemplo de cálculo
 Empuje en muros con paramento inclinado. Rankine w ≠ 0
 Empuje en muros con paramento inclinado. Rankine para b ≠ 
0, suelo f
 Efecto de las sobrecargas
 Deformación y condiciones de frontera
Empujes en muros de paramento inclinado. Rankine para w ≠ 0
TEORÍA DE RANKINE
Hasta ahora soló se tomó en cuenta el empuje sobre una superficie vertical. Sin
embargo, en caso de muros con w≠0, es posible utilizar la teoría de Rankine haciendo
una simplificación totalmente aceptada en la práctica.
Simplificación: Trazar una vertical en el extremo de la base del muro y determinar los
empujes sobre dicha vertical virtual como si w=0. Se deberá considerar además la fuerza,
producida por el peso de la tierra, comprendida entre la vertical virtual y el paramento del
muro (W)
Ciclópeo En voladizo
W
Ea
Suelo
friccionante
(f)
a
Vertical ficticia sobre la que
se calcula el empuje y se
halla el peso (W) del suelo
Suelo friccionante (f)
W
Ea
a
w
Base
TEORÍA DE RANKINE
Note que: para la determinación del peso W podrá considerar el peso unitario saturado (gsat)
por debajo del NF pues lo que se está calculando es una fuerza vertical.
Como proceder si existe nivel freático (NF)
  satbHHbaWWW gg 2121
2
1
2
1

 
23
2
2
'
13
213
12
1
0
*
)(
0**
H
Kpaz
kHH
kHkH
kH
Kpakz
ww
ww
aa
awsataa
aa
aa
g
g
gg
ggg
g
g





a
W1
NF
H
H1
H2
1
2
3
muro
g
f)(tefriccionan
Suelo
satg
W2
b
TEORÍA DE RANKINE
Contenido:
 Rankine para w = b = dm = 0. Ejemplo de cálculo
 Empuje en muros con paramento inclinado. 
Rankine w ≠ 0
 Empuje en muros con paramento inclinado. 
Rankine para b ≠ 0, suelo f
 Efecto de las sobrecargas
 Deformación y condiciones de frontera
TEORÍA DE RANKINE
Empuje en muros con terrenos inclinados. Rankine para b ≠ 0, Suelos f
La teoría de Rankine no toma en cuenta el efecto de la fricción (dm) entre el
muro y el suelo.
Sin embargo, para casos de muros con rellenos inclinados (b≠0), es posible
aplicar estas fórmulas aproximadas con éxito.
En la práctica, podrá aplicarse a muros de hasta 10m de altura,
considerando: dm≥b
.
TEORÍA DE RANKINE
Método de Rankine para b≠0; dm ≥ b; w=0 o w ≠ 0. Suelos f
mH 10
b
fbb
fbb
cos
coscoscos
coscoscos
22
22


ak
Estado activo
a
Hg
f)(tefriccionan
Suelo
b
b
bd m
;.. aa kzg 
TEORÍA DE RANKINE
Si existe nivel freático y además w ≠ 0, se procede de la siguiente manera
mH 10
Noten dos aspectos de interés:
En primer lugar se determinan los empujes activos a sobre la vertical virtual, en este
caso al ser el relleno inclinado, se tiene una altura superior a H.
En segundo lugar los empujes de agua w continúan siendo horizontales
a
H
g
f)(tefriccionan
Suelo
b
Las presiones intersticiales
son horizontales
bd m
b
Mayor altura
que “H”
w
NF
TEORÍA DE RANKINE
Método de Rankine para b≠0; dm ≥ dRankine=b; w=0 o w ≠ 0. Suelos f
b
fbb
fbb
cos
coscoscos
coscoscos
22
22


pk
Estado Pasivo
H
g
f)(tefriccionan
Suelo
b
bd m
b
p bd m
Si existe NF y/o el paramento es inclinado, se procede de la misma forma que para el
estado activo
;.. pp kzg 
TEORÍA DE RANKINE
Resumen de casos a resolver mediante la teoría de Rankine
 Estado Activo o Pasivo;
w ≠ 0 ó w = 0;
b  0; dm = 0 → Suelos f, Suelos c o Suelos c-f
 Estado Activo o Pasivo;
w ≠ 0 ó w = 0;
dm ≥ b  0; b ≠ 0 → Suelos f
Para los casos no contemplados en el resumen anterior no es factible
aplicar la teoría de Rankine.
TEORÍA DE RANKINE
Contenido:
 Rankine para w = b = dm = 0. Ejemplo de cálculo
 Empuje en muros con paramento inclinado. Rankine w ≠ 0
 Empuje en muros con paramento inclinado. Rankine para 
b ≠ 0, suelo f
 Efecto de las sobrecargas
 Deformación y condiciones de frontera
TEORÍA DE RANKINE - EFECTO DE LAS SOBRECARGAS
Suelo f. Estados Activo y Pasivo. w ≠ 0 o w=0; dm=0; b0
Este método es aplicable por el método de Rankine para los casos definidos
anteriormente y en suelos homogéneos
bqWW
kq
kz
T
as
aa
.
.
..




g
Efecto de la sobrecarga uniforme
ps
pp
kq
kH
.
..



g
H
b
bd m
p+
q
ps qK pp HKg 
H
q (actúa sobre el muro)
as qKaa HKg 
+w
W+qb
b
TEORÍA DE RANKINE
g
g
q
h
hq
s
s

 .
Método de la altura equivalente. Cualquier tipo de suelo w=0; w ≠ 0; b=0
Consiste en transformar la sobrecarga en un estrato equivalente de altura tal que
simule el mismo efecto de la sobrecarga.
Una vez determinada la altura hs, los empujes se calculan como si la altura total
del terreno fuese H + hs
asa kh ..g 
q
  asa khH ..  g
H
hs
Muro
TEORÍA DE RANKINE
 bw
bw
g 

cos
cos.cos
.
q
hs
Método de la altura equivalente. Cualquier tipo de suelo y: w ≠ 0; b ≠ 0
El método de la altura equivalente puede ser aplicado a cualquier caso, siempre
que se utilice la teoría adecuada para su solución de empujes de tierra.
El principio de este método es transformar la sobrecarga en un “estrato de espesor
equivalente”.
asa kh ..g 
q
a
H
hs
w
W+qb’
b’.senb
b
b’
b
b
TEORÍA DE RANKINE
Contenido:
 Rankine para w = b = dm = 0. Ejemplo de cálculo
 Empuje en muros con paramento inclinado. 
Rankine w ≠ 0
 Empuje en muros con paramento inclinado. 
Rankine para b ≠ 0, suelo f
 Efecto de las sobrecargas
 Deformación y condiciones de fronteraTEORÍA DE RANKINE
Deformación y condiciones de frontera
Como se observa, la zona de suelo que está en falla por esfuerzo cortante, para una misma altura de
muro, es mucho mayor en el estado pasivo que en el estado activo. Esto demuestra lo ya conocido de
que p > a.
Es importante recordar que la inclinación del plano de falla es de a=45+f/2, con respecto al plano
principal mayor, siendo dicho plano el horizontal en el caso del empuje activo. Mientras que en el estado
pasivo dicho plano es vertical, pues la mayor tensión principal es el empuje pasivo que es horizontal.
Planos de falla en los estados: Activo y Pasivo
aa
2
45
f
a 
3
'  v
1
'   ph
Plano de
falla.
Plano
principal
mayor
Plano de
falla.
2
45
f
a 
1
'  v
3
'   ah
Plano principal
mayor
H
aa
a90
Activo Pasivo
TEORÍA DE RANKINE
Deformación incompleta
(Empuje de tierras)
Hacia afuera de la masa del suelo
Zona activa
Zona pasiva
Hacia adentro de la masa del suelo
Fuente: Braja Das
TEORÍA DE RANKINE
Inclinación mínima para producir estado activo y pasivo
Resulta importante saber como se procede en la práctica ingenieril cuando la
deformación del muro no es suficiente para que se genere el estado activo o
pasivo.
Suelo Estado Activo Estado pasivo
Friccionante compacto 0.0005H 0.005H
Friccionante suelto 0.002H 0.01H
Cohesivo duro 0.01H 0.02H
Cohesivo blando 0.02H 0.04H
Discusión de la Teoría de Rankine
 Condición de paramento liso no es real  existen
tensiones tangenciales entre paramento vertical de muro y
suelo  superficies de deslizamiento no son planas.
 Estados activos y pasivos responden a niveles de
deformación horizontal diferentes  no se alcanzan
simultáneamente  Considerar movilización
completamente de estado pasivo no es seguro.
Resumen de los problemas de empujes de tierra resuelto por la teoría de Rankine
s: Esfuerzo equivalente por sobrecarga