Actividad 12 calculo matematicoo - Cursos Pro A tu alcance (4)

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Actividad 12: Matemáticas para ingeniería 
Calcular la integral definida de la función f(x) = (x^3 + 2x^2 + 3x + 4) / (x^2 + 1) en 
el intervalo [0, 2π]. 
 
Procedimiento: 
1. Identificar la función f(x) y el intervalo de integración. 
 - f(x) = (x^3 + 2x^2 + 3x + 4) / (x^2 + 1) 
 - Intervalo: [0, 2π] 
 
2. Verificar si la función es continua en el intervalo dado. 
 - La función f(x) es continua en todo el intervalo [0, 2π]. 
 
3. Encontrar las posibles singularidades de la función en el intervalo. 
 - La función f(x) tiene una singularidad en x = ±i, donde i es la unidad imaginaria. 
 
4. Descomponer la función en fracciones parciales, si es necesario. 
 - Dividir el numerador por el denominador utilizando la división larga o mediante 
el uso de fracciones parciales. 
 - En este caso, la descomposición en fracciones parciales no es necesaria, ya 
que el grado del numerador es menor que el grado del denominador. 
 
5. Aplicar las propiedades de la integral definida. 
 - La integral definida de una función f(x) en el intervalo [a, b] se calcula utilizando 
la fórmula: 
 ∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a) 
 donde F(x) es la primitiva de f(x). 
 
6. Calcular la primitiva de f(x). 
 - La primitiva de f(x) se calcula mediante la integración directa. 
 
 - En este caso, la primitiva F(x) de f(x) es: 
 F(x) = (1/2)x^2 + (3/2)ln(x^2 + 1) + 4arctan(x) + C, donde C es la constante de 
integración. 
 
7. Evaluar la integral definida utilizando la primitiva. 
 - Sustituir los límites de integración [0, 2π] en la primitiva F(x): 
 ∫[0, 2π] f(x) dx = F(2π) - F(0) 
 = [(1/2)(2π)^2 + (3/2)ln((2π)^2 + 1) + 4arctan(2π)] - [(1/2)(0)^2 + 
(3/2)ln((0)^2 + 1) + 4arctan(0)] 
 = (1/2)(4π^2) + (3/2)ln((2π)^2 + 1) + 4arctan(2π) 
 
Resultado: 
La integral definida de la función f(x) = (x^3 + 2x^2 + 3x + 4) / (x^2 + 1) en el 
intervalo [0, 2π] es: 
∫[0, 2π] f(x) dx = (1/2)(4π^2) + (3/2)ln((2π)^2 + 1) + 4arctan(2π) 
 
Este ejercicio demuestra el cálculo de una integral definida utilizando técnicas de 
descomposición en fracciones parciales y la evaluación de una primitiva en los 
límites de integración. El resultado final representa el valor numérico de la integral 
definida en el intervalo dado.