Clase_6-2023-con anotaciones - Cristian Nolasco (1)

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Matemática para Informática
LAS-TUP
Prof. Clara Pamela Perez1
1Facultad de Ciencias Exactas
Universidad Nacional de Salta
Clase N°6
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 1 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Índice
1 Ecuaciones lineales con dos variables
Ecuaciones lineales con dos variables
Ecuaciones de una recta
Rectas paralelas y perpendiculares
2 Sistemas de ecuaciones lineales
3 Sistemas de inecuaciones lineales
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 2 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Ecuaciones lineales con dos variables
Definición
Una ecuación lineal de dos variables es una ecuación de la forma
ax + by = c, con a, b, c ∈ R
El conjunto todos los pares ordenados (x , y) de números reales que verifican la
ecuación ax + by = c se llama conjunto solución de la ecuación.
CS =
{
(x , y) ∈ R2|ax + by = c
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 3 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Ecuaciones lineales con dos variables
Definición
Una ecuación lineal de dos variables es una ecuación de la forma
ax + by = c, con a, b, c ∈ R
El conjunto todos los pares ordenados (x , y) de números reales que verifican la
ecuación ax + by = c se llama conjunto solución de la ecuación.
CS =
{
(x , y) ∈ R2|ax + by = c
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 3 / 51
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Ecuaciones lineales con dos variables
Definición
Una ecuación lineal de dos variables es una ecuación de la forma
ax + by = c, con a, b, c ∈ R
El conjunto todos los pares ordenados (x , y) de números reales que verifican la
ecuación ax + by = c se llama conjunto solución de la ecuación.
CS =
{
(x , y) ∈ R2|ax + by = c
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 3 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Ecuaciones lineales con dos variables
Definición
Una ecuación lineal de dos variables es una ecuación de la forma
ax + by = c, con a, b, c ∈ R
El conjunto todos los pares ordenados (x , y) de números reales que verifican la
ecuación ax + by = c se llama conjunto solución de la ecuación.
CS =
{
(x , y) ∈ R2|ax + by = c
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 3 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Ecuaciones lineales con dos variables
Ejemplo
Sea la ecuación lineal de dos variables
5x − y = −1
Podemos comprobar que si x = 1 ∧ y = 6 se verifica la igualdad. Diremos
entonces que (1, 6) es una solución de la ecuación. Sin embargo, es claro que el
par (1, 6) no es la única solución de la ecuación del ejemplo anterior.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 4 / 51
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Ecuaciones lineales con dos variables
Ejemplo
Sea la ecuación lineal de dos variables
5x − y = −1
Podemos comprobar que si x = 1 ∧ y = 6 se verifica la igualdad. Diremos
entonces que (1, 6) es una solución de la ecuación. Sin embargo, es claro que el
par (1, 6) no es la única solución de la ecuación del ejemplo anterior.
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Ecuaciones lineales con dos variables
Ejemplo
Sea la ecuación lineal de dos variables
5x − y = −1
Podemos comprobar que si x = 1 ∧ y = 6 se verifica la igualdad. Diremos
entonces que (1, 6) es una solución de la ecuación. Sin embargo, es claro que el
par (1, 6) no es la única solución de la ecuación del ejemplo anterior.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 4 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Ecuaciones lineales con dos variables
Ejemplo
Sea la ecuación lineal de dos variables
5x − y = −1
Podemos comprobar que si x = 1 ∧ y = 6 se verifica la igualdad. Diremos
entonces que (1, 6) es una solución de la ecuación. Sin embargo, es claro que el
par (1, 6) no es la única solución de la ecuación del ejemplo anterior.
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
El plano numérico
Ejes coordenados
Un punto en el plano numérico puede identificarse con un par ordenado. Para ello,
se trazan dos rectas perpendiculares, una horizontal, llamada eje x , y otra
vertical, denominada eje y . El punto de intersección de los ejes x e y recibe el
nombre de origen. A los ejes x e y se les llama ejes coordenados. Éstos dividen
el plano en cuatro partes que se denominan cuadrantes.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 5 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
El plano numérico
Ejes coordenados
Un punto en el plano numérico puede identificarse con un par ordenado. Para ello,
se trazan dos rectas perpendiculares, una horizontal, llamada eje x , y otra
vertical, denominada eje y . El punto de intersección de los ejes x e y recibe el
nombre de origen. A los ejes x e y se les llama ejes coordenados. Éstos dividen
el plano en cuatro partes que se denominan cuadrantes.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 5 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
El plano numérico
Ejes coordenados
Un punto en el plano numérico puede identificarse con un par ordenado. Para ello,
se trazan dos rectas perpendiculares, una horizontal, llamada eje x , y otra
vertical, denominada eje y . El punto de intersección de los ejes x e y recibe el
nombre de origen. A los ejes x e y se les llama ejes coordenados. Éstos dividen
el plano en cuatro partes que se denominan cuadrantes.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 5 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
El plano numérico
Ejes coordenados
Un punto en el plano numérico puede identificarse con un par ordenado. Para ello,
se trazan dos rectas perpendiculares, una horizontal, llamada eje x , y otra
vertical, denominada eje y . El punto de intersección de los ejes x e y recibe el
nombre de origen. A los ejes x e y se les llama ejes coordenados. Éstos dividen
el plano en cuatro partes que se denominan cuadrantes.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 5 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
El plano numérico
Ejes coordenados
Un punto en el plano numérico puede identificarse con un par ordenado. Para ello,
se trazan dos rectas perpendiculares, una horizontal, llamada eje x , y otra
vertical, denominada eje y . El punto de intersección de los ejes x e y recibe el
nombre de origen. A los ejes x e y se les llama ejes coordenados. Éstos dividen
el plano en cuatro partes que se denominan cuadrantes.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 5 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
El plano numérico
Ejes coordenados
Un punto en el plano numérico puede identificarse con un par ordenado. Para ello,
se trazan dos rectas perpendiculares, una horizontal, llamada eje x , y otra
vertical, denominada eje y . El punto de intersección de los ejes x e y recibe el
nombre de origen. A los ejes x e y se les llama ejes coordenados. Éstos dividen
el plano en cuatro partes que se denominan cuadrantes.
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Gráfica de una ecuación lineal de dos variables
Todas las ecuaciones lineales de dos variables tienen como representación gráfica
una recta en el plano cartesiano. Para graficarlas se puede recurrir a los
siguientes métodos:
Ubicando los cortes con los ejes:
Para encontrar el corte con el eje y , hacemos x = 0 y reemplazamos en:
ax + by = c
a,0 + by = c
y = cb
Llamaremos ordenada al origen al valor que toma y cuando x = 0, es decir,
el valor cb . Gráficamente la ordenada al origen es el punto de cortede la
recta con el eje y .
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 6 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Gráfica de una ecuación lineal de dos variables
Todas las ecuaciones lineales de dos variables tienen como representación gráfica
una recta en el plano cartesiano. Para graficarlas se puede recurrir a los
siguientes métodos:
Ubicando los cortes con los ejes:
Para encontrar el corte con el eje y , hacemos x = 0 y reemplazamos en:
ax + by = c
a,0 + by = c
y = cb
Llamaremos ordenada al origen al valor que toma y cuando x = 0, es decir,
el valor cb . Gráficamente la ordenada al origen es el punto de corte de la
recta con el eje y .
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Gráfica de una ecuación lineal de dos variables
Todas las ecuaciones lineales de dos variables tienen como representación gráfica
una recta en el plano cartesiano. Para graficarlas se puede recurrir a los
siguientes métodos:
Ubicando los cortes con los ejes:
Para encontrar el corte con el eje y , hacemos x = 0 y reemplazamos en:
ax + by = c
a,0 + by = c
y = cb
Llamaremos ordenada al origen al valor que toma y cuando x = 0, es decir,
el valor cb . Gráficamente la ordenada al origen es el punto de corte de la
recta con el eje y .
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 6 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Gráfica de una ecuación lineal de dos variables
Todas las ecuaciones lineales de dos variables tienen como representación gráfica
una recta en el plano cartesiano. Para graficarlas se puede recurrir a los
siguientes métodos:
Ubicando los cortes con los ejes:
Para encontrar el corte con el eje y , hacemos x = 0 y reemplazamos en:
ax + by = c
a,0 + by = c
y = cb
Llamaremos ordenada al origen al valor que toma y cuando x = 0, es decir,
el valor cb . Gráficamente la ordenada al origen es el punto de corte de la
recta con el eje y .
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 6 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Gráfica de una ecuación lineal de dos variables
Todas las ecuaciones lineales de dos variables tienen como representación gráfica
una recta en el plano cartesiano. Para graficarlas se puede recurrir a los
siguientes métodos:
Ubicando los cortes con los ejes:
Para encontrar el corte con el eje y , hacemos x = 0 y reemplazamos en:
ax + by = c
a,0 + by = c
y = cb
Llamaremos ordenada al origen al valor que toma y cuando x = 0, es decir,
el valor cb . Gráficamente la ordenada al origen es el punto de corte de la
recta con el eje y .
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Gráfica de una ecuación lineal de dos variables
Todas las ecuaciones lineales de dos variables tienen como representación gráfica
una recta en el plano cartesiano. Para graficarlas se puede recurrir a los
siguientes métodos:
Ubicando los cortes con los ejes:
Para encontrar el corte con el eje y , hacemos x = 0 y reemplazamos en:
ax + by = c
a,0 + by = c
y = cb
Llamaremos ordenada al origen al valor que toma y cuando x = 0, es decir,
el valor cb . Gráficamente la ordenada al origen es el punto de corte de la
recta con el eje y .
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 6 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Gráfica de una ecuación lineal de dos variables
Todas las ecuaciones lineales de dos variables tienen como representación gráfica
una recta en el plano cartesiano. Para graficarlas se puede recurrir a los
siguientes métodos:
Ubicando los cortes con los ejes:
Para encontrar el corte con el eje y , hacemos x = 0 y reemplazamos en:
ax + by = c
a,0 + by = c
y = cb
Llamaremos ordenada al origen al valor que toma y cuando x = 0, es decir,
el valor cb . Gráficamente la ordenada al origen es el punto de corte de la
recta con el eje y .
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 6 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Gráfica de una ecuación lineal de dos variables
Ubicando los cortes con los ejes:
Para encontrar el corte con el eje x , hacemos y = 0, y reemplazamos en:
ax + by = c
ax + b,0 = c
ax = c
x = ca
Finalmente ubicamos los puntos
(
0, cb
)
y
(c
a , 0
)
en el plano y trazamos la
recta que los une.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 7 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Gráfica de una ecuación lineal de dos variables
Ubicando los cortes con los ejes:
Para encontrar el corte con el eje x , hacemos y = 0, y reemplazamos en:
ax + by = c
ax + b,0 = c
ax = c
x = ca
Finalmente ubicamos los puntos
(
0, cb
)
y
(c
a , 0
)
en el plano y trazamos la
recta que los une.
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Gráfica de una ecuación lineal de dos variables
Ubicando los cortes con los ejes:
Para encontrar el corte con el eje x , hacemos y = 0, y reemplazamos en:
ax + by = c
ax + b,0 = c
ax = c
x = ca
Finalmente ubicamos los puntos
(
0, cb
)
y
(c
a , 0
)
en el plano y trazamos la
recta que los une.
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Gráfica de una ecuación lineal de dos variables
Ubicando los cortes con los ejes:
Para encontrar el corte con el eje x , hacemos y = 0, y reemplazamos en:
ax + by = c
ax + b,0 = c
ax = c
x = ca
Finalmente ubicamos los puntos
(
0, cb
)
y
(c
a , 0
)
en el plano y trazamos la
recta que los une.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 7 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Gráfica de una ecuación lineal de dos variables
Ubicando los cortes con los ejes:
Para encontrar el corte con el eje x , hacemos y = 0, y reemplazamos en:
ax + by = c
ax + b,0 = c
ax = c
x = ca
Finalmente ubicamos los puntos
(
0, cb
)
y
(c
a , 0
)
en el plano y trazamos la
recta que los une.
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Gráfica de una ecuación lineal de dos variables
Ubicando los cortes con los ejes:
Para encontrar el corte con el eje x , hacemos y = 0, y reemplazamos en:
ax + by = c
ax + b,0 = c
ax = c
x = ca
Finalmente ubicamos los puntos
(
0, cb
)
y
(c
a , 0
)
en el plano y trazamos la
recta que los une.
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Gráfica de una ecuación lineal de dos variables
Determinando dos puntos arbitrarios:
De la ecuación ax + by = c, si b 6= 0 despejamos la variable y ,
y = c − axb
Asignamos dos valores distintos a x , digamos x0 y x1, y calculamos lo
correspondientes valores y0 e y1.
Ubicamos los puntos P = (x0, y0) y Q = (x1, y1) obtenidos en plano numérico y
trazamos una recta sobre ellos.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 8 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Gráfica de una ecuación lineal de dos variables
Determinando dos puntos arbitrarios:
De la ecuación ax + by = c, si b 6= 0 despejamos la variable y ,
y = c − axb
Asignamos dos valores distintos a x , digamos x0 y x1, y calculamos lo
correspondientes valores y0 e y1.
Ubicamos los puntos P = (x0, y0) y Q = (x1, y1) obtenidos en plano numérico y
trazamos una recta sobre ellos.
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Gráfica de una ecuación lineal de dos variables
Determinando dos puntos arbitrarios:
De la ecuación ax + by = c, si b 6= 0 despejamos la variable y ,
y = c − axb
Asignamos dos valores distintos a x , digamos x0 y x1, y calculamos lo
correspondientes valores y0 e y1.
Ubicamos los puntos P = (x0, y0) y Q = (x1, y1) obtenidos en plano numérico y
trazamos una recta sobreellos.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 8 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Gráfica de una ecuación lineal de dos variables
Determinando dos puntos arbitrarios:
De la ecuación ax + by = c, si b 6= 0 despejamos la variable y ,
y = c − axb
Asignamos dos valores distintos a x , digamos x0 y x1, y calculamos lo
correspondientes valores y0 e y1.
Ubicamos los puntos P = (x0, y0) y Q = (x1, y1) obtenidos en plano numérico y
trazamos una recta sobre ellos.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 8 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Gráfica de una ecuación lineal de dos variables
Determinando dos puntos arbitrarios:
De la ecuación ax + by = c, si b 6= 0 despejamos la variable y ,
y = c − axb
Asignamos dos valores distintos a x , digamos x0 y x1, y calculamos lo
correspondientes valores y0 e y1.
Ubicamos los puntos P = (x0, y0) y Q = (x1, y1) obtenidos en plano numérico y
trazamos una recta sobre ellos.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 8 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Ejemplo
Sea la recta de ecuación
4x + 3y = 12
Su solución puede representarse como una recta en el plano cartesiano.
si x = 0, entonces 3y = 12, por lo que y = 4.
si y = 0, entonces 4x = 12, por lo que x = 3.
Ubicamos entonces los puntos (0, 4) y (3, 0), luego trazamos la recta que pasa
por estos puntos.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 9 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Ejemplo
Sea la recta de ecuación
4x + 3y = 12
Su solución puede representarse como una recta en el plano cartesiano.
si x = 0, entonces 3y = 12, por lo que y = 4.
si y = 0, entonces 4x = 12, por lo que x = 3.
Ubicamos entonces los puntos (0, 4) y (3, 0), luego trazamos la recta que pasa
por estos puntos.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 9 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Ejemplo
Sea la recta de ecuación
4x + 3y = 12
Su solución puede representarse como una recta en el plano cartesiano.
si x = 0, entonces 3y = 12, por lo que y = 4.
si y = 0, entonces 4x = 12, por lo que x = 3.
Ubicamos entonces los puntos (0, 4) y (3, 0), luego trazamos la recta que pasa
por estos puntos.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 9 / 51
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Ejemplo
Sea la recta de ecuación
4x + 3y = 12
Su solución puede representarse como una recta en el plano cartesiano.
si x = 0, entonces 3y = 12, por lo que y = 4.
si y = 0, entonces 4x = 12, por lo que x = 3.
Ubicamos entonces los puntos (0, 4) y (3, 0), luego trazamos la recta que pasa
por estos puntos.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 9 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones lineales con dos variables
Ejemplo
Sea la recta de ecuación
4x + 3y = 12
Su solución puede representarse como una recta en el plano cartesiano.
si x = 0, entonces 3y = 12, por lo que y = 4.
si y = 0, entonces 4x = 12, por lo que x = 3.
Ubicamos entonces los puntos (0, 4) y (3, 0), luego trazamos la recta que pasa
por estos puntos.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 9 / 51
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Índice
1 Ecuaciones lineales con dos variables
Ecuaciones lineales con dos variables
Ecuaciones de una recta
Rectas paralelas y perpendiculares
2 Sistemas de ecuaciones lineales
3 Sistemas de inecuaciones lineales
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 10 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación explícita de la recta
Definición
Una ecuación lineal de dos variables se dice que está expresada en su forma
explícita si es de la forma:
y = mx + b con m, b ∈ R
donde el número m se conoce como la pendiente de la recta y b como la
ordenada al origen.
Pendiente y ordenada al origen
En la ecuación y = mx + b:
el valor de b gráficamente representa la intersección de la recta con el eje y ,
es decir el valor de y cuando x es cero;
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 11 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación explícita de la recta
Definición
Una ecuación lineal de dos variables se dice que está expresada en su forma
explícita si es de la forma:
y = mx + b con m, b ∈ R
donde el número m se conoce como la pendiente de la recta y b como la
ordenada al origen.
Pendiente y ordenada al origen
En la ecuación y = mx + b:
el valor de b gráficamente representa la intersección de la recta con el eje y ,
es decir el valor de y cuando x es cero;
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 11 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación explícita de la recta
Definición
Una ecuación lineal de dos variables se dice que está expresada en su forma
explícita si es de la forma:
y = mx + b con m, b ∈ R
donde el número m se conoce como la pendiente de la recta y b como la
ordenada al origen.
Pendiente y ordenada al origen
En la ecuación y = mx + b:
el valor de b gráficamente representa la intersección de la recta con el eje y ,
es decir el valor de y cuando x es cero;
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 11 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación explícita de la recta
Definición
Una ecuación lineal de dos variables se dice que está expresada en su forma
explícita si es de la forma:
y = mx + b con m, b ∈ R
donde el número m se conoce como la pendiente de la recta y b como la
ordenada al origen.
Pendiente y ordenada al origen
En la ecuación y = mx + b:
el valor de b gráficamente representa la intersección de la recta con el eje y ,
es decir el valor de y cuando x es cero;
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 11 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación explícita de la recta
Definición
Una ecuación lineal de dos variables se dice que está expresada en su forma
explícita si es de la forma:
y = mx + b con m, b ∈ R
donde el número m se conoce como la pendiente de la recta y b como la
ordenada al origen.
Pendiente y ordenada al origen
En la ecuación y = mx + b:
el valor de b gráficamente representa la intersección de la recta con el eje y ,
es decir el valor de y cuando x es cero;
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 11 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación explícita de la recta
Pendiente y ordenada al origen
En la ecuación y = mx + b:
el valor de la pendiente m representa que tan rápidamente cambia y cuando
cambia x .
Esto quiere decir que el valor de m nos da información sobre la inclinación
de la recta con respecto al eje horizontal.
Si m 6= 0, cada vez que a “x” se le aumenta una unidad, “y” varía
(aumenta o disminuye) m unidades.
Si m = 0, la recta es paralela al eje horizontal.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 12 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación explícita de la recta
Pendiente y ordenada al origen
En la ecuación y = mx + b:
el valor de la pendiente m representa que tan rápidamente cambia y cuando
cambia x .
Esto quiere decir que el valor de m nos da información sobre la inclinación
de la recta con respecto al eje horizontal.
Si m 6= 0, cada vez que a “x” se le aumenta una unidad, “y” varía
(aumenta o disminuye) m unidades.
Si m = 0, la recta es paralela al eje horizontal.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 12 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación explícita de la recta
Pendiente y ordenada al origen
En la ecuación y = mx + b:
el valor de la pendiente m representa que tan rápidamente cambia y cuando
cambia x .
Esto quiere decir que el valor de m nos da información sobre la inclinación
de la recta con respecto al eje horizontal.
Si m 6= 0, cada vez que a “x” se le aumenta una unidad, “y” varía
(aumenta o disminuye) m unidades.
Si m = 0, la recta es paralela al eje horizontal.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 12 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuacionesde una recta
Ecuación explícita de la recta
Pendiente y ordenada al origen
En la ecuación y = mx + b:
el valor de la pendiente m representa que tan rápidamente cambia y cuando
cambia x .
Esto quiere decir que el valor de m nos da información sobre la inclinación
de la recta con respecto al eje horizontal.
Si m 6= 0, cada vez que a “x” se le aumenta una unidad, “y” varía
(aumenta o disminuye) m unidades.
Si m = 0, la recta es paralela al eje horizontal.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 12 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación explícita de la recta
Pendiente y ordenada al origen
En la ecuación y = mx + b:
el valor de la pendiente m representa que tan rápidamente cambia y cuando
cambia x .
Esto quiere decir que el valor de m nos da información sobre la inclinación
de la recta con respecto al eje horizontal.
Si m 6= 0, cada vez que a “x” se le aumenta una unidad, “y” varía
(aumenta o disminuye) m unidades.
Si m = 0, la recta es paralela al eje horizontal.
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación explícita de la recta
Si b = 0 y m 6= 0, la ecuación y = mx + b se reduce a la expresión:
y = mx
gráficamente corresponde a cualquier recta que pase por el origen de
coordenadas (0, 0).
Por ejemplo en y = 2x y y = −12x .
En el caso de ser m = 0, la función se reduce a la expresión
y = b
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje horizontal que pasa por
el punto (0, b). Por ejemplo, y = −1
En el caso de una expresión de la forma
x = a
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje vertical que pasa por el
punto (a, 0). Por ejemplo, x = 2
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación explícita de la recta
Si b = 0 y m 6= 0, la ecuación y = mx + b se reduce a la expresión:
y = mx
gráficamente corresponde a cualquier recta que pase por el origen de
coordenadas (0, 0).
Por ejemplo en y = 2x y y = −12x .
En el caso de ser m = 0, la función se reduce a la expresión
y = b
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje horizontal que pasa por
el punto (0, b). Por ejemplo, y = −1
En el caso de una expresión de la forma
x = a
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje vertical que pasa por el
punto (a, 0). Por ejemplo, x = 2
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación explícita de la recta
Si b = 0 y m 6= 0, la ecuación y = mx + b se reduce a la expresión:
y = mx
gráficamente corresponde a cualquier recta que pase por el origen de
coordenadas (0, 0).
Por ejemplo en y = 2x y y = −12x .
En el caso de ser m = 0, la función se reduce a la expresión
y = b
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje horizontal que pasa por
el punto (0, b). Por ejemplo, y = −1
En el caso de una expresión de la forma
x = a
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje vertical que pasa por el
punto (a, 0). Por ejemplo, x = 2
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación explícita de la recta
Si b = 0 y m 6= 0, la ecuación y = mx + b se reduce a la expresión:
y = mx
gráficamente corresponde a cualquier recta que pase por el origen de
coordenadas (0, 0).
Por ejemplo en y = 2x y y = −12x .
En el caso de ser m = 0, la función se reduce a la expresión
y = b
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje horizontal que pasa por
el punto (0, b). Por ejemplo, y = −1
En el caso de una expresión de la forma
x = a
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje vertical que pasa por el
punto (a, 0). Por ejemplo, x = 2
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación explícita de la recta
Si b = 0 y m 6= 0, la ecuación y = mx + b se reduce a la expresión:
y = mx
gráficamente corresponde a cualquier recta que pase por el origen de
coordenadas (0, 0).
Por ejemplo en y = 2x y y = −12x .
En el caso de ser m = 0, la función se reduce a la expresión
y = b
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje horizontal que pasa por
el punto (0, b). Por ejemplo, y = −1
En el caso de una expresión de la forma
x = a
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje vertical que pasa por el
punto (a, 0). Por ejemplo, x = 2
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Highlight
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación explícita de la recta
Si b = 0 y m 6= 0, la ecuación y = mx + b se reduce a la expresión:
y = mx
gráficamente corresponde a cualquier recta que pase por el origen de
coordenadas (0, 0).
Por ejemplo en y = 2x y y = −12x .
En el caso de ser m = 0, la función se reduce a la expresión
y = b
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje horizontal que pasa por
el punto (0, b). Por ejemplo, y = −1
En el caso de una expresión de la forma
x = a
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje vertical que pasa por el
punto (a, 0). Por ejemplo, x = 2
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación explícita de la recta
Si b = 0 y m 6= 0, la ecuación y = mx + b se reduce a la expresión:
y = mx
gráficamente corresponde a cualquier recta que pase por el origen de
coordenadas (0, 0).
Por ejemplo en y = 2x y y = −12x .
En el caso de ser m = 0, la función se reduce a la expresión
y = b
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje horizontal que pasa por
el punto (0, b). Por ejemplo, y = −1
En el caso de una expresión de la forma
x = a
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje vertical que pasa por el
punto (a, 0). Por ejemplo, x = 2
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación explícita de la recta
Si b = 0 y m 6= 0, la ecuación y = mx + b se reduce a la expresión:
y = mx
gráficamente corresponde a cualquier recta que pase por el origen de
coordenadas (0, 0).
Por ejemplo en y = 2x y y = −12x .
En el caso de ser m = 0, la función se reduce a la expresión
y = b
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje horizontal que pasa por
el punto (0, b). Por ejemplo, y = −1
En el caso de una expresión de la forma
x = a
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje vertical que pasa por el
punto (a, 0). Por ejemplo, x = 2
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Ecuación explícita de la recta
Si b = 0 y m 6= 0, la ecuación y = mx + b se reduce a la expresión:
y = mx
gráficamente corresponde a cualquier recta que pase por el origen de
coordenadas (0, 0).
Por ejemplo en y = 2x y y = −12x .
En el caso de ser m = 0, la función se reduce a la expresión
y = b
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje horizontal que pasa por
el punto (0, b). Por ejemplo, y = −1
En el caso de una expresión de la forma
x = a
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje vertical que pasa por el
punto (a, 0). Por ejemplo, x = 2
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación explícita de la recta
Si b = 0 y m 6= 0, la ecuación y = mx + b se reduce a la expresión:
y = mx
gráficamente corresponde a cualquier recta que pase por el origen de
coordenadas (0, 0).
Por ejemplo en y = 2x y y = −12x .
En el caso de ser m = 0, la función se reduce a la expresión
y = b
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje horizontal que pasa por
el punto (0, b). Por ejemplo, y = −1
En el caso de una expresión de la forma
x = a
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje vertical que pasa por el
punto (a, 0). Por ejemplo, x = 2
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación explícita de la recta
Si b = 0 y m 6= 0, la ecuación y = mx + b se reducea la expresión:
y = mx
gráficamente corresponde a cualquier recta que pase por el origen de
coordenadas (0, 0).
Por ejemplo en y = 2x y y = −12x .
En el caso de ser m = 0, la función se reduce a la expresión
y = b
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje horizontal que pasa por
el punto (0, b). Por ejemplo, y = −1
En el caso de una expresión de la forma
x = a
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje vertical que pasa por el
punto (a, 0). Por ejemplo, x = 2
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación explícita de la recta
Si b = 0 y m 6= 0, la ecuación y = mx + b se reduce a la expresión:
y = mx
gráficamente corresponde a cualquier recta que pase por el origen de
coordenadas (0, 0).
Por ejemplo en y = 2x y y = −12x .
En el caso de ser m = 0, la función se reduce a la expresión
y = b
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje horizontal que pasa por
el punto (0, b). Por ejemplo, y = −1
En el caso de una expresión de la forma
x = a
gráficamente corresponde a una recta paralela al eje vertical que pasa por el
punto (a, 0). Por ejemplo, x = 2
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación de una recta dados dos puntos
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Si P = (x0, y0) y Q = (x1, y1) son dos puntos cualesquiera y diferentes sobre una
recta dada, entonces la ecuación de la misma resulta:
y − y0 =
y1 − y0
x1 − x0
· (x − x0)
donde la pendiente está dada por:
m = y1 − y0x1 − x0
= ∆y∆x =
cambio en y
cambio en x
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación de una recta dados dos puntos
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Si P = (x0, y0) y Q = (x1, y1) son dos puntos cualesquiera y diferentes sobre una
recta dada, entonces la ecuación de la misma resulta:
y − y0 =
y1 − y0
x1 − x0
· (x − x0)
donde la pendiente está dada por:
m = y1 − y0x1 − x0
= ∆y∆x =
cambio en y
cambio en x
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación de una recta dados dos puntos
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Si P = (x0, y0) y Q = (x1, y1) son dos puntos cualesquiera y diferentes sobre una
recta dada, entonces la ecuación de la misma resulta:
y − y0 =
y1 − y0
x1 − x0
· (x − x0)
donde la pendiente está dada por:
m = y1 − y0x1 − x0
= ∆y∆x =
cambio en y
cambio en x
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación de una recta dados dos puntos
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Si P = (x0, y0) y Q = (x1, y1) son dos puntos cualesquiera y diferentes sobre una
recta dada, entonces la ecuación de la misma resulta:
y − y0 =
y1 − y0
x1 − x0
· (x − x0)
donde la pendiente está dada por:
m = y1 − y0x1 − x0
= ∆y∆x =
cambio en y
cambio en x
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación de una recta dados dos puntos
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Si P = (x0, y0) y Q = (x1, y1) son dos puntos cualesquiera y diferentes sobre una
recta dada, entonces la ecuación de la misma resulta:
y − y0 =
y1 − y0
x1 − x0
· (x − x0)
donde la pendiente está dada por:
m = y1 − y0x1 − x0
= ∆y∆x =
cambio en y
cambio en x
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación de una recta dados dos puntos
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Si P = (x0, y0) y Q = (x1, y1) son dos puntos cualesquiera y diferentes sobre una
recta dada, entonces la ecuación de la misma resulta:
y − y0 =
y1 − y0
x1 − x0
· (x − x0)
donde la pendiente está dada por:
m = y1 − y0x1 − x0
= ∆y∆x =
cambio en y
cambio en x
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación de una recta dados dos puntos
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Si P = (x0, y0) y Q = (x1, y1) son dos puntos cualesquiera y diferentes sobre una
recta dada, entonces la ecuación de la misma resulta:
y − y0 =
y1 − y0
x1 − x0
· (x − x0)
donde la pendiente está dada por:
m = y1 − y0x1 − x0
= ∆y∆x =
cambio en y
cambio en x
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación de una recta dados dos puntos
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Si P = (x0, y0) y Q = (x1, y1) son dos puntos cualesquiera y diferentes sobre una
recta dada, entonces la ecuación de la misma resulta:
y − y0 =
y1 − y0
x1 − x0
· (x − x0)
donde la pendiente está dada por:
m = y1 − y0x1 − x0
= ∆y∆x =
cambio en y
cambio en x
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación de una recta dados un punto y su pendiente
Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente:
Si P = (x0, y0) es un punto cualesquierasobre una recta dada, y m es su
pendiente, entonces la ecuación de la misma resulta:
y − y0 = m · (x − x0)
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación de una recta dados un punto y su pendiente
Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente:
Si P = (x0, y0) es un punto cualesquierasobre una recta dada, y m es su
pendiente, entonces la ecuación de la misma resulta:
y − y0 = m · (x − x0)
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación de una recta dados un punto y su pendiente
Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente:
Si P = (x0, y0) es un punto cualesquierasobre una recta dada, y m es su
pendiente, entonces la ecuación de la misma resulta:
y − y0 = m · (x − x0)
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ecuación de una recta dados un punto y su pendiente
Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente:
Si P = (x0, y0) es un punto cualesquierasobre una recta dada, y m es su
pendiente, entonces la ecuación de la misma resulta:
y − y0 = m · (x − x0)
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ejemplo
Encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos P = (6,−3) y
Q = (−2, 3) , luego escriba la ecuación de la recta.
Solución: Determinamos primero la pendiente:
m = y1 − y0x1 − x0
= 3− (−3)
−2− 6 =
6
−8 = −
3
4
Luego remplazamos en la expresión de la recta dados dos puntos:
y − y0 = m(x − x0)
y − (−3) = −34 (x − 6)
y + 3 = −34 (x − 6)
Expresada según su ecuación explícita resulta:
y = −34x +
3
2
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ejemplo
Encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos P = (6,−3) y
Q = (−2, 3) , luego escriba la ecuación de la recta.
Solución: Determinamos primero la pendiente:
m = y1 − y0x1 − x0
= 3− (−3)
−2− 6 =
6
−8 = −
3
4
Luego remplazamos en la expresión de la recta dados dos puntos:
y − y0 = m(x − x0)
y − (−3) = −34 (x − 6)
y + 3 = −34 (x − 6)
Expresada según su ecuación explícita resulta:
y = −34x +
3
2
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ejemplo
Encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos P = (6,−3) y
Q = (−2, 3) , luego escriba la ecuación de la recta.
Solución: Determinamos primero la pendiente:
m = y1 − y0x1 − x0
= 3− (−3)
−2− 6 =
6
−8 = −
3
4
Luego remplazamos en la expresión de la recta dados dos puntos:
y − y0 = m(x − x0)
y − (−3) = −34 (x − 6)
y + 3 = −34 (x − 6)
Expresada según su ecuación explícita resulta:
y = −34x +
3
2
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ejemplo
Encuentre la pendiente de la recta quepasa por los puntos P = (6,−3) y
Q = (−2, 3) , luego escriba la ecuación de la recta.
Solución: Determinamos primero la pendiente:
m = y1 − y0x1 − x0
= 3− (−3)
−2− 6 =
6
−8 = −
3
4
Luego remplazamos en la expresión de la recta dados dos puntos:
y − y0 = m(x − x0)
y − (−3) = −34 (x − 6)
y + 3 = −34 (x − 6)
Expresada según su ecuación explícita resulta:
y = −34x +
3
2
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ejemplo
Encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos P = (6,−3) y
Q = (−2, 3) , luego escriba la ecuación de la recta.
Solución: Determinamos primero la pendiente:
m = y1 − y0x1 − x0
= 3− (−3)
−2− 6 =
6
−8 = −
3
4
Luego remplazamos en la expresión de la recta dados dos puntos:
y − y0 = m(x − x0)
y − (−3) = −34 (x − 6)
y + 3 = −34 (x − 6)
Expresada según su ecuación explícita resulta:
y = −34x +
3
2
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ejemplo
Encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos P = (6,−3) y
Q = (−2, 3) , luego escriba la ecuación de la recta.
Solución: Determinamos primero la pendiente:
m = y1 − y0x1 − x0
= 3− (−3)
−2− 6 =
6
−8 = −
3
4
Luego remplazamos en la expresión de la recta dados dos puntos:
y − y0 = m(x − x0)
y − (−3) = −34 (x − 6)
y + 3 = −34 (x − 6)
Expresada según su ecuación explícita resulta:
y = −34x +
3
2
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ejemplo
Encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos P = (6,−3) y
Q = (−2, 3) , luego escriba la ecuación de la recta.
Solución: Determinamos primero la pendiente:
m = y1 − y0x1 − x0
= 3− (−3)
−2− 6 =
6
−8 = −
3
4
Luego remplazamos en la expresión de la recta dados dos puntos:
y − y0 = m(x − x0)
y − (−3) = −34 (x − 6)
y + 3 = −34 (x − 6)
Expresada según su ecuación explícita resulta:
y = −34x +
3
2
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ejemplo
Encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos P = (6,−3) y
Q = (−2, 3) , luego escriba la ecuación de la recta.
Solución: Determinamos primero la pendiente:
m = y1 − y0x1 − x0
= 3− (−3)
−2− 6 =
6
−8 = −
3
4
Luego remplazamos en la expresión de la recta dados dos puntos:
y − y0 = m(x − x0)
y − (−3) = −34 (x − 6)
y + 3 = −34 (x − 6)
Expresada según su ecuación explícita resulta:
y = −34x +
3
2
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ejemplo
Encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos P = (6,−3) y
Q = (−2, 3) , luego escriba la ecuación de la recta.
Solución: Determinamos primero la pendiente:
m = y1 − y0x1 − x0
= 3− (−3)
−2− 6 =
6
−8 = −
3
4
Luego remplazamos en la expresión de la recta dados dos puntos:
y − y0 = m(x − x0)
y − (−3) = −34 (x − 6)
y + 3 = −34 (x − 6)
Expresada según su ecuación explícita resulta:
y = −34x +
3
2
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 16 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ejemplo
Encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos P = (6,−3) y
Q = (−2, 3) , luego escriba la ecuación de la recta.
Solución: Determinamos primero la pendiente:
m = y1 − y0x1 − x0
= 3− (−3)
−2− 6 =
6
−8 = −
3
4
Luego remplazamos en la expresión de la recta dados dos puntos:
y − y0 = m(x − x0)
y − (−3) = −34 (x − 6)
y + 3 = −34 (x − 6)
Expresada según su ecuación explícita resulta:
y = −34x +
3
2
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 16 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
Ejemplo
Encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos P = (6,−3) y
Q = (−2, 3) , luego escriba la ecuación de la recta.
Solución: Determinamos primero la pendiente:
m = y1 − y0x1 − x0
= 3− (−3)
−2− 6 =
6
−8 = −
3
4
Luego remplazamos en la expresión de la recta dados dos puntos:
y − y0 = m(x − x0)
y − (−3) = −34 (x − 6)
y + 3 = −34 (x − 6)
Expresada según su ecuación explícita resulta:
y = −34x +
3
2
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Ecuaciones lineales con dos variables Ecuaciones de una recta
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 17 / 51
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Ecuaciones lineales con dos variables Rectas paralelas y perpendiculares
Índice
1 Ecuaciones lineales con dos variables
Ecuaciones lineales con dos variables
Ecuaciones de una recta
Rectas paralelas y perpendiculares
2 Sistemas de ecuaciones lineales
3 Sistemas de inecuaciones lineales
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 18 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Rectas paralelas y perpendiculares
Rectas paralelas y perpendiculares
Teorema
Sean r1 y r2 dos rectas con pendientes no nulas m1 y m2 respectivamente,
entonces:
i) r1 y r2 son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente, es
decir m1 = m2. Si además de la pendiente tienen la misma
ordenada al origen las rectas son paralelas coincidentes.
ii) r1 y r2 son perpendiculares si y sólo si m1 ·m2 = −1.
Notar que, si r1 y r2 son perpendiculares, el valor de una pendiente
es el opuesto e inverso del valor de la otra pendiente:
m2 = −
1
m1
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 19 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Rectas paralelas y perpendiculares
Rectas paralelas y perpendiculares
Teorema
Sean r1 y r2 dos rectas con pendientes no nulas m1 y m2 respectivamente,
entonces:
i) r1 y r2 son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente, es
decir m1 = m2. Si además de la pendiente tienen la misma
ordenada al origen las rectas son paralelas coincidentes.
ii) r1 y r2 son perpendiculares si y sólo si m1 ·m2 = −1.
Notar que, si r1 y r2 son perpendiculares, el valor de una pendiente
es el opuesto e inverso del valor de la otra pendiente:
m2 = −
1
m1
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 19 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Rectas paralelas y perpendiculares
Rectas paralelas y perpendiculares
Teorema
Sean r1 y r2 dos rectas con pendientes no nulas m1 y m2 respectivamente,
entonces:
i) r1 y r2 son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente, es
decir m1 = m2. Si además de la pendiente tienen la misma
ordenada al origen las rectas son paralelas coincidentes.
ii) r1 y r2 son perpendiculares si y sólo si m1 ·m2 = −1.
Notar que, si r1 y r2 son perpendiculares, el valor de una pendiente
es el opuesto e inverso del valor de la otra pendiente:
m2 = −
1
m1
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 19 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Rectas paralelas y perpendiculares
Rectas paralelas y perpendiculares
Teorema
Sean r1 y r2 dos rectas con pendientes no nulas m1 y m2 respectivamente,
entonces:
i) r1 y r2 son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente, es
decir m1 = m2. Si además de la pendiente tienen la misma
ordenada al origen las rectas son paralelas coincidentes.
ii) r1 y r2 son perpendiculares si y sólo si m1 ·m2 = −1.
Notar que, si r1 y r2 son perpendiculares, el valor de una pendiente
es el opuesto e inverso del valor de la otra pendiente:
m2 = −
1
m1
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 19 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Rectas paralelas y perpendiculares
Rectas paralelas y perpendiculares
Teorema
Sean r1 y r2 dos rectas con pendientes no nulas m1 y m2 respectivamente,
entonces:
i) r1 y r2 son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente, es
decir m1 = m2. Si además de la pendiente tienen la misma
ordenada al origen las rectas son paralelas coincidentes.
ii) r1 y r2 son perpendiculares si y sólo si m1 ·m2 = −1.
Notar que, si r1 y r2 son perpendiculares, el valor de una pendiente
es el opuesto e inverso del valor de la otra pendiente:
m2 = −
1
m1
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 19 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Rectas paralelas y perpendiculares
Rectas paralelas y perpendiculares
Teorema
Sean r1 y r2 dos rectas con pendientes no nulas m1 y m2 respectivamente,
entonces:
i) r1 y r2 son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente, es
decir m1 = m2. Siademás de la pendiente tienen la misma
ordenada al origen las rectas son paralelas coincidentes.
ii) r1 y r2 son perpendiculares si y sólo si m1 ·m2 = −1.
Notar que, si r1 y r2 son perpendiculares, el valor de una pendiente
es el opuesto e inverso del valor de la otra pendiente:
m2 = −
1
m1
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 19 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Rectas paralelas y perpendiculares
Rectas paralelas y perpendiculares
Teorema
Sean r1 y r2 dos rectas con pendientes no nulas m1 y m2 respectivamente,
entonces:
i) r1 y r2 son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente, es
decir m1 = m2. Si además de la pendiente tienen la misma
ordenada al origen las rectas son paralelas coincidentes.
ii) r1 y r2 son perpendiculares si y sólo si m1 ·m2 = −1.
Notar que, si r1 y r2 son perpendiculares, el valor de una pendiente
es el opuesto e inverso del valor de la otra pendiente:
m2 = −
1
m1
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Ecuaciones lineales con dos variables Rectas paralelas y perpendiculares
Rectas paralelas y perpendiculares
Teorema
Sean r1 y r2 dos rectas con pendientes no nulas m1 y m2 respectivamente,
entonces:
i) r1 y r2 son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente, es
decir m1 = m2. Si además de la pendiente tienen la misma
ordenada al origen las rectas son paralelas coincidentes.
ii) r1 y r2 son perpendiculares si y sólo si m1 ·m2 = −1.
Notar que, si r1 y r2 son perpendiculares, el valor de una pendiente
es el opuesto e inverso del valor de la otra pendiente:
m2 = −
1
m1
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Ecuaciones lineales con dos variables Rectas paralelas y perpendiculares
Ejemplo
Dada la recta 2x − 3y + 1 = 0. Encontrar la ecuación de una recta paralela y otra
perpendicular que corta al eje de abscisas en x = −2.
Solución: Para encontrar la pendiente de la recta dada debemos despejar la
variable y .
2x − 3y + 1 = 0⇔ 3y = 2x + 1⇔ y = 23x +
1
3
Entonces la pendiente de la recta buscada es m = 23 . Además, dicha recta corta
el eje de las abscisas en x = −2, y esto quiere decir que la recta pasa por el punto
(−2, 0). Entonces: la ecuación de la recta paralela es:
y − 0 = 23 (x − (−2))⇔ y =
2
3x +
4
3
Para obtener la recta perpendicular, tenemos que su pendiente deberá ser
a′ = −32 , luego:
y − 0 = −32 (x − (−2))⇔ y = −
3
2x − 3
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Ecuaciones lineales con dos variables Rectas paralelas y perpendiculares
Ejemplo
Dada la recta 2x − 3y + 1 = 0. Encontrar la ecuación de una recta paralela y otra
perpendicular que corta al eje de abscisas en x = −2.
Solución: Para encontrar la pendiente de la recta dada debemos despejar la
variable y .
2x − 3y + 1 = 0⇔ 3y = 2x + 1⇔ y = 23x +
1
3
Entonces la pendiente de la recta buscada es m = 23 . Además, dicha recta corta
el eje de las abscisas en x = −2, y esto quiere decir que la recta pasa por el punto
(−2, 0). Entonces: la ecuación de la recta paralela es:
y − 0 = 23 (x − (−2))⇔ y =
2
3x +
4
3
Para obtener la recta perpendicular, tenemos que su pendiente deberá ser
a′ = −32 , luego:
y − 0 = −32 (x − (−2))⇔ y = −
3
2x − 3
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Ecuaciones lineales con dos variables Rectas paralelas y perpendiculares
Ejemplo
Dada la recta 2x − 3y + 1 = 0. Encontrar la ecuación de una recta paralela y otra
perpendicular que corta al eje de abscisas en x = −2.
Solución: Para encontrar la pendiente de la recta dada debemos despejar la
variable y .
2x − 3y + 1 = 0⇔ 3y = 2x + 1⇔ y = 23x +
1
3
Entonces la pendiente de la recta buscada es m = 23 . Además, dicha recta corta
el eje de las abscisas en x = −2, y esto quiere decir que la recta pasa por el punto
(−2, 0). Entonces: la ecuación de la recta paralela es:
y − 0 = 23 (x − (−2))⇔ y =
2
3x +
4
3
Para obtener la recta perpendicular, tenemos que su pendiente deberá ser
a′ = −32 , luego:
y − 0 = −32 (x − (−2))⇔ y = −
3
2x − 3
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Ecuaciones lineales con dos variables Rectas paralelas y perpendiculares
Ejemplo
Dada la recta 2x − 3y + 1 = 0. Encontrar la ecuación de una recta paralela y otra
perpendicular que corta al eje de abscisas en x = −2.
Solución: Para encontrar la pendiente de la recta dada debemos despejar la
variable y .
2x − 3y + 1 = 0⇔ 3y = 2x + 1⇔ y = 23x +
1
3
Entonces la pendiente de la recta buscada es m = 23 . Además, dicha recta corta
el eje de las abscisas en x = −2, y esto quiere decir que la recta pasa por el punto
(−2, 0). Entonces: la ecuación de la recta paralela es:
y − 0 = 23 (x − (−2))⇔ y =
2
3x +
4
3
Para obtener la recta perpendicular, tenemos que su pendiente deberá ser
a′ = −32 , luego:
y − 0 = −32 (x − (−2))⇔ y = −
3
2x − 3
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Ecuaciones lineales con dos variables Rectas paralelas y perpendiculares
Ejemplo
Dada la recta 2x − 3y + 1 = 0. Encontrar la ecuación de una recta paralela y otra
perpendicular que corta al eje de abscisas en x = −2.
Solución: Para encontrar la pendiente de la recta dada debemos despejar la
variable y .
2x − 3y + 1 = 0⇔ 3y = 2x + 1⇔ y = 23x +
1
3
Entonces la pendiente de la recta buscada es m = 23 . Además, dicha recta corta
el eje de las abscisas en x = −2, y esto quiere decir que la recta pasa por el punto
(−2, 0). Entonces: la ecuación de la recta paralela es:
y − 0 = 23 (x − (−2))⇔ y =
2
3x +
4
3
Para obtener la recta perpendicular, tenemos que su pendiente deberá ser
a′ = −32 , luego:
y − 0 = −32 (x − (−2))⇔ y = −
3
2x − 3
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Ecuaciones lineales con dos variables Rectas paralelas y perpendiculares
Ejemplo
Dada la recta 2x − 3y + 1 = 0. Encontrar la ecuación de una recta paralela y otra
perpendicular que corta al eje de abscisas en x = −2.
Solución: Para encontrar la pendiente de la recta dada debemos despejar la
variable y .
2x − 3y + 1 = 0⇔ 3y = 2x + 1⇔ y = 23x +
1
3
Entonces la pendiente de la recta buscada es m = 23 . Además, dicha recta corta
el eje de las abscisas en x = −2, y esto quiere decir que la recta pasa por el punto
(−2, 0). Entonces: la ecuación de la recta paralela es:
y − 0 = 23 (x − (−2))⇔ y =
2
3x +
4
3
Para obtener la recta perpendicular, tenemos que su pendiente deberá ser
a′ = −32 , luego:
y − 0 = −32 (x − (−2))⇔ y = −
3
2x − 3
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Ecuaciones lineales con dos variables Rectas paralelas y perpendiculares
Ejemplo
Dada la recta 2x − 3y + 1 = 0. Encontrar la ecuación de una recta paralela y otra
perpendicular que corta al eje de abscisas en x = −2.
Solución: Para encontrar la pendiente de la recta dada debemos despejar la
variable y .
2x − 3y + 1 = 0⇔ 3y = 2x + 1⇔ y = 23x +
1
3
Entonces la pendiente de la recta buscada es m = 23 . Además, dicha recta corta
el eje de las abscisas en x = −2, y esto quiere decir que la recta pasa por el punto
(−2, 0). Entonces: la ecuación de la recta paralela es:
y − 0 = 23 (x − (−2))⇔ y =
2
3x +
4
3
Para obtener la recta perpendicular, tenemos que su pendiente deberá ser
a′ = −32 , luego:
y − 0 = −32 (x − (−2))⇔ y = −
3
2x − 3
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Ecuaciones lineales con dos variables Rectas paralelas y perpendiculares
Ejemplo
Dada la recta 2x − 3y + 1 = 0. Encontrar la ecuación de una recta paralela y otra
perpendicular que corta al eje de abscisas en x = −2.
Solución: Para encontrar la pendiente de la recta dada debemos despejar la
variable y .
2x − 3y + 1 = 0⇔ 3y = 2x + 1⇔ y = 23x +
1
3
Entonces la pendiente de la recta buscada es m = 23 . Además, dicha recta corta
el eje de las abscisas en x = −2, y esto quiere decir que la recta pasa por el punto
(−2, 0). Entonces: la ecuación de la recta paralela es:
y − 0 = 23 (x − (−2))⇔ y =
2
3x +
4
3
Para obtener la recta perpendicular, tenemos que su pendiente deberá ser
a′ = −32 , luego:
y − 0 = −32 (x − (−2))⇔ y = −
3
2x − 3
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 20 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Rectas paralelas y perpendiculares
Ejemplo
Dada la recta 2x − 3y + 1 = 0. Encontrar la ecuaciónde una recta paralela y otra
perpendicular que corta al eje de abscisas en x = −2.
Solución: Para encontrar la pendiente de la recta dada debemos despejar la
variable y .
2x − 3y + 1 = 0⇔ 3y = 2x + 1⇔ y = 23x +
1
3
Entonces la pendiente de la recta buscada es m = 23 . Además, dicha recta corta
el eje de las abscisas en x = −2, y esto quiere decir que la recta pasa por el punto
(−2, 0). Entonces: la ecuación de la recta paralela es:
y − 0 = 23 (x − (−2))⇔ y =
2
3x +
4
3
Para obtener la recta perpendicular, tenemos que su pendiente deberá ser
a′ = −32 , luego:
y − 0 = −32 (x − (−2))⇔ y = −
3
2x − 3
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 20 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Rectas paralelas y perpendiculares
Ejemplo
Dada la recta 2x − 3y + 1 = 0. Encontrar la ecuación de una recta paralela y otra
perpendicular que corta al eje de abscisas en x = −2.
Solución: Para encontrar la pendiente de la recta dada debemos despejar la
variable y .
2x − 3y + 1 = 0⇔ 3y = 2x + 1⇔ y = 23x +
1
3
Entonces la pendiente de la recta buscada es m = 23 . Además, dicha recta corta
el eje de las abscisas en x = −2, y esto quiere decir que la recta pasa por el punto
(−2, 0). Entonces: la ecuación de la recta paralela es:
y − 0 = 23 (x − (−2))⇔ y =
2
3x +
4
3
Para obtener la recta perpendicular, tenemos que su pendiente deberá ser
a′ = −32 , luego:
y − 0 = −32 (x − (−2))⇔ y = −
3
2x − 3
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 20 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Rectas paralelas y perpendiculares
Ejemplo
Dada la recta 2x − 3y + 1 = 0. Encontrar la ecuación de una recta paralela y otra
perpendicular que corta al eje de abscisas en x = −2.
Solución: Para encontrar la pendiente de la recta dada debemos despejar la
variable y .
2x − 3y + 1 = 0⇔ 3y = 2x + 1⇔ y = 23x +
1
3
Entonces la pendiente de la recta buscada es m = 23 . Además, dicha recta corta
el eje de las abscisas en x = −2, y esto quiere decir que la recta pasa por el punto
(−2, 0). Entonces: la ecuación de la recta paralela es:
y − 0 = 23 (x − (−2))⇔ y =
2
3x +
4
3
Para obtener la recta perpendicular, tenemos que su pendiente deberá ser
a′ = −32 , luego:
y − 0 = −32 (x − (−2))⇔ y = −
3
2x − 3
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 20 / 51
Ecuaciones lineales con dos variables Rectas paralelas y perpendiculares
Ejemplo
Dada la recta 2x − 3y + 1 = 0. Encontrar la ecuación de una recta paralela y otra
perpendicular que corta al eje de abscisas en x = −2.
Solución: Para encontrar la pendiente de la recta dada debemos despejar la
variable y .
2x − 3y + 1 = 0⇔ 3y = 2x + 1⇔ y = 23x +
1
3
Entonces la pendiente de la recta buscada es m = 23 . Además, dicha recta corta
el eje de las abscisas en x = −2, y esto quiere decir que la recta pasa por el punto
(−2, 0). Entonces: la ecuación de la recta paralela es:
y − 0 = 23 (x − (−2))⇔ y =
2
3x +
4
3
Para obtener la recta perpendicular, tenemos que su pendiente deberá ser
a′ = −32 , luego:
y − 0 = −32 (x − (−2))⇔ y = −
3
2x − 3
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Ecuaciones lineales con dos variables Rectas paralelas y perpendiculares
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 21 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de Ecuaciones lineales
Consideramos ahora dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, como por
ejemplo: {
3x − 4y = 11
2x + 3y = −4
Una solución al sistema es aquel par ordenado (x , y) de números reales,
que verifica ambas ecuaciones simultáneamente. Podemos comprobar que
(1,−2) es una solución para el sistema dado.
Este sistema es llamado Sistema de Ecuaciones Lineales por que las
incógnitas aparecen elevadas a la potencia uno en ambas ecuaciones.
Llamamos Conjunto Solución de un sistema, al conjunto formado por
todos los pares que son solución del sistema, esto es, que satisfacen las
ecuaciones simultáneamente. En el ejemplo dado, el Conjunto Solución es
Cs = {(1,−2)}.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 22 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de Ecuaciones lineales
Consideramos ahora dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, como por
ejemplo: {
3x − 4y = 11
2x + 3y = −4
Una solución al sistema es aquel par ordenado (x , y) de números reales,
que verifica ambas ecuaciones simultáneamente. Podemos comprobar que
(1,−2) es una solución para el sistema dado.
Este sistema es llamado Sistema de Ecuaciones Lineales por que las
incógnitas aparecen elevadas a la potencia uno en ambas ecuaciones.
Llamamos Conjunto Solución de un sistema, al conjunto formado por
todos los pares que son solución del sistema, esto es, que satisfacen las
ecuaciones simultáneamente. En el ejemplo dado, el Conjunto Solución es
Cs = {(1,−2)}.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 22 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de Ecuaciones lineales
Consideramos ahora dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, como por
ejemplo: {
3x − 4y = 11
2x + 3y = −4
Una solución al sistema es aquel par ordenado (x , y) de números reales,
que verifica ambas ecuaciones simultáneamente. Podemos comprobar que
(1,−2) es una solución para el sistema dado.
Este sistema es llamado Sistema de Ecuaciones Lineales por que las
incógnitas aparecen elevadas a la potencia uno en ambas ecuaciones.
Llamamos Conjunto Solución de un sistema, al conjunto formado por
todos los pares que son solución del sistema, esto es, que satisfacen las
ecuaciones simultáneamente. En el ejemplo dado, el Conjunto Solución es
Cs = {(1,−2)}.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 22 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de Ecuaciones lineales
Consideramos ahora dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, como por
ejemplo: {
3x − 4y = 11
2x + 3y = −4
Una solución al sistema es aquel par ordenado (x , y) de números reales,
que verifica ambas ecuaciones simultáneamente. Podemos comprobar que
(1,−2) es una solución para el sistema dado.
Este sistema es llamado Sistema de Ecuaciones Lineales por que las
incógnitas aparecen elevadas a la potencia uno en ambas ecuaciones.
Llamamos Conjunto Solución de un sistema, al conjunto formado por
todos los pares que son solución del sistema, esto es, que satisfacen las
ecuaciones simultáneamente. En el ejemplo dado, el Conjunto Solución es
Cs = {(1,−2)}.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 22 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de Ecuaciones lineales
Consideramos ahora dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, como por
ejemplo: {
3x − 4y = 11
2x + 3y = −4
Una solución al sistema es aquel par ordenado (x , y) de números reales,
que verifica ambas ecuaciones simultáneamente. Podemos comprobar que
(1,−2) es una solución para el sistema dado.
Este sistema es llamado Sistema de Ecuaciones Lineales por que las
incógnitas aparecen elevadas a la potencia uno en ambas ecuaciones.
Llamamos Conjunto Solución de un sistema, al conjunto formado por
todos los pares que son solución del sistema, esto es, que satisfacen las
ecuaciones simultáneamente. En el ejemplo dado, el Conjunto Solución es
Cs = {(1,−2)}.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 22 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de Ecuaciones lineales
Consideramos ahora dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, como por
ejemplo: {
3x − 4y = 11
2x + 3y = −4
Una solución al sistema es aquel par ordenado (x , y) de números reales,
que verifica ambas ecuaciones simultáneamente. Podemos comprobar que
(1,−2) es una solución para el sistema dado.
Este sistema es llamado Sistema de Ecuaciones Lineales por que las
incógnitas aparecen elevadas a la potencia uno en ambas ecuaciones.
Llamamos Conjunto Solución de un sistema, al conjunto formado por
todos los pares que son solución del sistema, esto es, que satisfacen las
ecuaciones simultáneamente. En el ejemplo dado, el Conjunto Solución es
Cs = {(1,−2)}.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 22 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de Ecuaciones lineales
Consideramos ahora dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, como por
ejemplo: {
3x − 4y = 11
2x + 3y = −4
Una solución al sistema es aquel par ordenado (x , y) de números reales,
que verifica ambas ecuacionessimultáneamente. Podemos comprobar que
(1,−2) es una solución para el sistema dado.
Este sistema es llamado Sistema de Ecuaciones Lineales por que las
incógnitas aparecen elevadas a la potencia uno en ambas ecuaciones.
Llamamos Conjunto Solución de un sistema, al conjunto formado por
todos los pares que son solución del sistema, esto es, que satisfacen las
ecuaciones simultáneamente. En el ejemplo dado, el Conjunto Solución es
Cs = {(1,−2)}.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 22 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de Ecuaciones lineales
Consideramos ahora dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, como por
ejemplo: {
3x − 4y = 11
2x + 3y = −4
Una solución al sistema es aquel par ordenado (x , y) de números reales,
que verifica ambas ecuaciones simultáneamente. Podemos comprobar que
(1,−2) es una solución para el sistema dado.
Este sistema es llamado Sistema de Ecuaciones Lineales por que las
incógnitas aparecen elevadas a la potencia uno en ambas ecuaciones.
Llamamos Conjunto Solución de un sistema, al conjunto formado por
todos los pares que son solución del sistema, esto es, que satisfacen las
ecuaciones simultáneamente. En el ejemplo dado, el Conjunto Solución es
Cs = {(1,−2)}.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 22 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Resolución de Sistemas de ecuaciones Lineales
Las operaciones que tenemos permitido usar, para resolver los sistemas de
ecuaciones, son:
Multiplicar una ecuación por una constante no nula, esto es,
reemplazar una ecuación por otra que es múltiplo no nulo de ella.
Sumar un múltiplo de una ecuación a otra, esto es, reemplazar una
ecuación por la suma de ella y el múltiplo de otra.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 23 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Resolución de Sistemas de ecuaciones Lineales
Las operaciones que tenemos permitido usar, para resolver los sistemas de
ecuaciones, son:
Multiplicar una ecuación por una constante no nula, esto es,
reemplazar una ecuación por otra que es múltiplo no nulo de ella.
Sumar un múltiplo de una ecuación a otra, esto es, reemplazar una
ecuación por la suma de ella y el múltiplo de otra.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 23 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Resolución de Sistemas de ecuaciones Lineales
Las operaciones que tenemos permitido usar, para resolver los sistemas de
ecuaciones, son:
Multiplicar una ecuación por una constante no nula, esto es,
reemplazar una ecuación por otra que es múltiplo no nulo de ella.
Sumar un múltiplo de una ecuación a otra, esto es, reemplazar una
ecuación por la suma de ella y el múltiplo de otra.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 23 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Resolución de Sistemas de ecuaciones Lineales
Las operaciones que tenemos permitido usar, para resolver los sistemas de
ecuaciones, son:
Multiplicar una ecuación por una constante no nula, esto es,
reemplazar una ecuación por otra que es múltiplo no nulo de ella.
Sumar un múltiplo de una ecuación a otra, esto es, reemplazar una
ecuación por la suma de ella y el múltiplo de otra.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 23 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Resolución de Sistemas de ecuaciones Lineales
Las operaciones que tenemos permitido usar, para resolver los sistemas de
ecuaciones, son:
Multiplicar una ecuación por una constante no nula, esto es,
reemplazar una ecuación por otra que es múltiplo no nulo de ella.
Sumar un múltiplo de una ecuación a otra, esto es, reemplazar una
ecuación por la suma de ella y el múltiplo de otra.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 23 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Métodos de resolución
Veremos ahora distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones:
1 Método de Sustitución: Se despeja una incógnita de una de las
ecuaciones y se reemplaza el valor de esta incógnita en la otra
ecuación.
2 Método de Igualación: Se despeja una misma incógnita de ambas
ecuaciones y se igualan los valores obtenidos. De esta manera, se
tiene una ecuación lineal en una sola variable.
3 Método de adición por sumas y restas: A partir del sistema dado,
se trata, de obtener, otro que tenga el mismo coeficiente en una de
las incógnitas en ambas ecuaciones. Se restan los miembros
correspondientes de las ecuaciones obtenidas y se resuelve, para la
incógnita que queda.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 24 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Métodos de resolución
Veremos ahora distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones:
1 Método de Sustitución: Se despeja una incógnita de una de las
ecuaciones y se reemplaza el valor de esta incógnita en la otra
ecuación.
2 Método de Igualación: Se despeja una misma incógnita de ambas
ecuaciones y se igualan los valores obtenidos. De esta manera, se
tiene una ecuación lineal en una sola variable.
3 Método de adición por sumas y restas: A partir del sistema dado,
se trata, de obtener, otro que tenga el mismo coeficiente en una de
las incógnitas en ambas ecuaciones. Se restan los miembros
correspondientes de las ecuaciones obtenidas y se resuelve, para la
incógnita que queda.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 24 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Métodos de resolución
Veremos ahora distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones:
1 Método de Sustitución: Se despeja una incógnita de una de las
ecuaciones y se reemplaza el valor de esta incógnita en la otra
ecuación.
2 Método de Igualación: Se despeja una misma incógnita de ambas
ecuaciones y se igualan los valores obtenidos. De esta manera, se
tiene una ecuación lineal en una sola variable.
3 Método de adición por sumas y restas: A partir del sistema dado,
se trata, de obtener, otro que tenga el mismo coeficiente en una de
las incógnitas en ambas ecuaciones. Se restan los miembros
correspondientes de las ecuaciones obtenidas y se resuelve, para la
incógnita que queda.
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Sistemas de ecuaciones lineales
Métodos de resolución
Veremos ahora distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones:
1 Método de Sustitución: Se despeja una incógnita de una de las
ecuaciones y se reemplaza el valor de esta incógnita en la otra
ecuación.
2 Método de Igualación: Se despeja una misma incógnita de ambas
ecuaciones y se igualan los valores obtenidos. De esta manera, se
tiene una ecuación lineal en una sola variable.
3 Método de adición por sumas y restas: A partir del sistema dado,
se trata, de obtener, otro que tenga el mismo coeficiente en una de
las incógnitas en ambas ecuaciones. Se restan los miembros
correspondientes de las ecuaciones obtenidas y se resuelve, para la
incógnita que queda.
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Sistemas de ecuaciones lineales
Métodos de resolución
Veremos ahora distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones:
1 Método de Sustitución: Se despeja una incógnita de una de las
ecuaciones y se reemplaza el valor de esta incógnita en la otra
ecuación.
2 Método de Igualación: Se despeja una misma incógnita de ambas
ecuaciones y se igualan los valores obtenidos. De esta manera, se
tiene una ecuación lineal en una sola variable.
3 Método de adición por sumas y restas: A partir del sistema dado,
se trata, de obtener, otro que tenga el mismo coeficiente en una de
las incógnitas en ambas ecuaciones. Se restan los miembros
correspondientes de las ecuaciones obtenidas y se resuelve, para la
incógnita que queda.
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Sistemas de ecuaciones lineales
Métodos de resolución
Veremos ahora distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones:
1 Método de Sustitución: Se despeja una incógnita de una de las
ecuaciones y se reemplaza el valor de esta incógnita en la otra
ecuación.
2 Método de Igualación: Se despeja una misma incógnita de ambas
ecuaciones y se igualan los valores obtenidos. De esta manera, se
tiene una ecuación lineal en una sola variable.
3 Método de adición por sumas y restas: A partir del sistema dado,
se trata, de obtener, otro que tenga el mismo coeficiente en una de
las incógnitasen ambas ecuaciones. Se restan los miembros
correspondientes de las ecuaciones obtenidas y se resuelve, para la
incógnita que queda.
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Sistemas de ecuaciones lineales
Métodos de resolución
Veremos ahora distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones:
1 Método de Sustitución: Se despeja una incógnita de una de las
ecuaciones y se reemplaza el valor de esta incógnita en la otra
ecuación.
2 Método de Igualación: Se despeja una misma incógnita de ambas
ecuaciones y se igualan los valores obtenidos. De esta manera, se
tiene una ecuación lineal en una sola variable.
3 Método de adición por sumas y restas: A partir del sistema dado,
se trata, de obtener, otro que tenga el mismo coeficiente en una de
las incógnitas en ambas ecuaciones. Se restan los miembros
correspondientes de las ecuaciones obtenidas y se resuelve, para la
incógnita que queda.
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Sistemas de ecuaciones lineales
Métodos de resolución
Veremos ahora distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones:
1 Método de Sustitución: Se despeja una incógnita de una de las
ecuaciones y se reemplaza el valor de esta incógnita en la otra
ecuación.
2 Método de Igualación: Se despeja una misma incógnita de ambas
ecuaciones y se igualan los valores obtenidos. De esta manera, se
tiene una ecuación lineal en una sola variable.
3 Método de adición por sumas y restas: A partir del sistema dado,
se trata, de obtener, otro que tenga el mismo coeficiente en una de
las incógnitas en ambas ecuaciones. Se restan los miembros
correspondientes de las ecuaciones obtenidas y se resuelve, para la
incógnita que queda.
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Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo
Resolvamos el sistema (#) por el método de Sustitución.{
3x − 4y = 11
2x + 3y = −4
Solución:
De la primera ecuación despejamos “x” y obtenemos x = 4y + 113 (2).
Cuando sustituimos esta expresión en la segunda ecuación y operamos,
resulta:
2
(4y + 11
3
)
+ 3y = −4
2(4y + 11) + 9y = −12
8y + 22 + 9y = −12
17y = −34
y = −2
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 25 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo
Resolvamos el sistema (#) por el método de Sustitución.{
3x − 4y = 11
2x + 3y = −4
Solución:
De la primera ecuación despejamos “x” y obtenemos x = 4y + 113 (2).
Cuando sustituimos esta expresión en la segunda ecuación y operamos,
resulta:
2
(4y + 11
3
)
+ 3y = −4
2(4y + 11) + 9y = −12
8y + 22 + 9y = −12
17y = −34
y = −2
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Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo
Resolvamos el sistema (#) por el método de Sustitución.{
3x − 4y = 11
2x + 3y = −4
Solución:
De la primera ecuación despejamos “x” y obtenemos x = 4y + 113 (2).
Cuando sustituimos esta expresión en la segunda ecuación y operamos,
resulta:
2
(4y + 11
3
)
+ 3y = −4
2(4y + 11) + 9y = −12
8y + 22 + 9y = −12
17y = −34
y = −2
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Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo
Resolvamos el sistema (#) por el método de Sustitución.{
3x − 4y = 11
2x + 3y = −4
Solución:
De la primera ecuación despejamos “x” y obtenemos x = 4y + 113 (2).
Cuando sustituimos esta expresión en la segunda ecuación y operamos,
resulta:
2
(4y + 11
3
)
+ 3y = −4
2(4y + 11) + 9y = −12
8y + 22 + 9y = −12
17y = −34
y = −2
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Ejemplo
Resolvamos el sistema (#) por el método de Sustitución.{
3x − 4y = 11
2x + 3y = −4
Solución:
De la primera ecuación despejamos “x” y obtenemos x = 4y + 113 (2).
Cuando sustituimos esta expresión en la segunda ecuación y operamos,
resulta:
2
(4y + 11
3
)
+ 3y = −4
2(4y + 11) + 9y = −12
8y + 22 + 9y = −12
17y = −34
y = −2
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Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo
Resolvamos el sistema (#) por el método de Sustitución.{
3x − 4y = 11
2x + 3y = −4
Solución:
De la primera ecuación despejamos “x” y obtenemos x = 4y + 113 (2).
Cuando sustituimos esta expresión en la segunda ecuación y operamos,
resulta:
2
(4y + 11
3
)
+ 3y = −4
2(4y + 11) + 9y = −12
8y + 22 + 9y = −12
17y = −34
y = −2
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Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo
Resolvamos el sistema (#) por el método de Sustitución.{
3x − 4y = 11
2x + 3y = −4
Solución:
De la primera ecuación despejamos “x” y obtenemos x = 4y + 113 (2).
Cuando sustituimos esta expresión en la segunda ecuación y operamos,
resulta:
2
(4y + 11
3
)
+ 3y = −4
2(4y + 11) + 9y = −12
8y + 22 + 9y = −12
17y = −34
y = −2
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Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo
Resolvamos el sistema (#) por el método de Sustitución.{
3x − 4y = 11
2x + 3y = −4
Solución:
De la primera ecuación despejamos “x” y obtenemos x = 4y + 113 (2).
Cuando sustituimos esta expresión en la segunda ecuación y operamos,
resulta:
2
(4y + 11
3
)
+ 3y = −4
2(4y + 11) + 9y = −12
8y + 22 + 9y = −12
17y = −34
y = −2
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Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo
Resolvamos el sistema (#) por el método de Sustitución.{
3x − 4y = 11
2x + 3y = −4
Solución:
De la primera ecuación despejamos “x” y obtenemos x = 4y + 113 (2).
Cuando sustituimos esta expresión en la segunda ecuación y operamos,
resulta:
2
(4y + 11
3
)
+ 3y = −4
2(4y + 11) + 9y = −12
8y + 22 + 9y = −12
17y = −34
y = −2
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Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo
Resolvamos el sistema (#) por el método de Sustitución.{
3x − 4y = 11
2x + 3y = −4
Solución:
De la primera ecuación despejamos “x” y obtenemos x = 4y + 113 (2).
Cuando sustituimos esta expresión en la segunda ecuación y operamos,
resulta:
2
(4y + 11
3
)
+ 3y = −4
2(4y + 11) + 9y = −12
8y + 22 + 9y = −12
17y = −34
y = −2
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 25 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo
Resolvamos el sistema (#) por el método de Sustitución.{
3x − 4y = 11
2x + 3y = −4
Solución:
De la primera ecuación despejamos “x” y obtenemos x = 4y + 113 (2).
Cuando sustituimos esta expresión en la segunda ecuación y operamos,
resulta:
2
(4y + 11
3
)
+ 3y = −4
2(4y + 11) + 9y = −12
8y + 22 + 9y = −12
17y = −34
y = −2
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 25 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Sustituyendo este valor de y en (2), obtenemos:
x = 4(−2) + 113 =⇒ x =
−8 + 11
3 =⇒ x = 1
Luego x = 1 e y = −2 por lo que el conjunto solución es CS = {(1,−2)}.
Este sistema tiene Solución Única.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 26 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Sustituyendo este valor de y en (2), obtenemos:
x = 4(−2) + 113 =⇒ x =
−8 + 11
3 =⇒ x = 1
Luego x = 1 e y = −2 por lo que el conjunto solución es CS = {(1,−2)}.
Este sistema tiene Solución Única.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 26 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Sustituyendo este valor de y en (2), obtenemos:
x = 4(−2) + 113 =⇒ x =
−8 + 11
3 =⇒ x = 1
Luego x = 1 e y = −2 por lo que el conjunto solución es CS = {(1,−2)}.
Este sistema tiene Solución Única.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 26 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Sustituyendo este valor de y en (2), obtenemos:
x = 4(−2) + 113 =⇒ x =
−8 + 11
3 =⇒ x = 1
Luego x = 1 e y = −2 por lo que el conjunto solución es CS = {(1,−2)}.
Este sistema tiene Solución Única.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 26 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Sustituyendo este valor de y en (2), obtenemos:
x = 4(−2) + 113 =⇒ x =
−8 + 11
3 =⇒ x = 1
Luego x = 1 e y = −2 por lo que el conjunto solución es CS = {(1,−2)}.
Este sistema tiene Solución Única.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 26 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Sustituyendo este valor de y en (2), obtenemos:
x = 4(−2) + 113 =⇒ x =
−8 + 11
3 =⇒ x = 1
Luego x = 1 e y = −2 por lo que el conjunto solución es CS = {(1,−2)}.
Este sistema tiene Solución Única.
C.P.P (UNSa) Unidad N°4 Año 2023 26 / 51
Sistemas de ecuaciones lineales
Sustituyendo este valor de y en (2), obtenemos:
x = 4(−2)