Clase_4-2023 - Cristian Nolasco (1)

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Matemática para Informática
LAS-TUP
Prof. Clara Pamela Perez1
1Facultad de Ciencias Exactas
Universidad Nacional de Salta
Clase N°4
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 1 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Índice
1 Propiedades de los Números Reales R
Radicación
Exponentes Racionales
Racionalización de denominadores
2 Valor Absoluto
Definición de valor absoluto
Propiedades del valor absoluto
3 Ecuaciones e Inecuaciones
Ecuaciones en una variable
Ecuaciones con valor absoluto
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 2 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Radicación
Definición
Sea n un entero positivo mayor a 1, y sea a un número real. Se llama raíz
n-ésima de un número a, al número b tal que b elevado a la potencia n
resulta a.
n√a = b ⇐⇒ bn = a
donde
si a > 0, entonces n
√
a = b tal que b es un número real positivo y
bn = a
si a = 0, entonces n
√
0 = 0
si a < 0 y:
n es impar, entonces n
√
a = b tal que b es un número real negativo.
n es par, entonces no existe n
√
a en los números reales.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 3 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Radicación
Definición
Sea n un entero positivo mayor a 1, y sea a un número real. Se llama raíz
n-ésima de un número a, al número b tal que b elevado a la potencia n
resulta a.
n√a = b ⇐⇒ bn = a
donde
si a > 0, entonces n
√
a = b tal que b es un número real positivo y
bn = a
si a = 0, entonces n
√
0 = 0
si a < 0 y:
n es impar, entonces n
√
a = b tal que b es un número real negativo.
n es par, entonces no existe n
√
a en los números reales.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 3 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Radicación
Definición
Sea n un entero positivo mayor a 1, y sea a un número real. Se llama raíz
n-ésima de un número a, al número b tal que b elevado a la potencia n
resulta a.
n√a = b ⇐⇒ bn = a
donde
si a > 0, entonces n
√
a = b tal que b es un número real positivo y
bn = a
si a = 0, entonces n
√
0 = 0
si a < 0 y:
n es impar, entonces n
√
a = b tal que b es un número real negativo.
n es par, entonces no existe n
√
a en los números reales.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 3 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Radicación
Definición
Sea n un entero positivo mayor a 1, y sea a un número real. Se llama raíz
n-ésima de un número a, al número b tal que b elevado a la potencia n
resulta a.
n√a = b ⇐⇒ bn = a
donde
si a > 0, entonces n
√
a = b tal que b es un número real positivo y
bn = a
si a = 0, entonces n
√
0 = 0
si a < 0 y:
n es impar, entonces n
√
a = b tal que b es un número real negativo.
n es par, entonces no existe n
√
a en los números reales.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 3 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Radicación
Definición
Sea n un entero positivo mayor a 1, y sea a un número real. Se llama raíz
n-ésima de un número a, al número b tal que b elevado a la potencia n
resulta a.
n√a = b ⇐⇒ bn = a
donde
si a > 0, entonces n
√
a = b tal que b es un número real positivo y
bn = a
si a = 0, entonces n
√
0 = 0
si a < 0 y:
n es impar, entonces n
√
a = b tal que b es un número real negativo.
n es par, entonces no existe n
√
a en los números reales.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 3 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Radicación
Definición
Sea n un entero positivo mayor a 1, y sea a un número real. Se llama raíz
n-ésima de un número a, al número b tal que b elevado a la potencia n
resulta a.
n√a = b ⇐⇒ bn = a
donde
si a > 0, entonces n
√
a = b tal que b es un número real positivo y
bn = a
si a = 0, entonces n
√
0 = 0
si a < 0 y:
n es impar, entonces n
√
a = b tal que b es un número real negativo.
n es par, entonces no existe n
√
a en los números reales.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 3 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Radicación
Definición
Sea n un entero positivo mayor a 1, y sea a un número real. Se llama raíz
n-ésima de un número a, al número b tal que b elevado a la potencia n
resulta a.
n√a = b ⇐⇒ bn = a
donde
si a > 0, entonces n
√
a = b tal que b es un número real positivo y
bn = a
si a = 0, entonces n
√
0 = 0
si a < 0 y:
n es impar, entonces n
√
a = b tal que b es un número real negativo.
n es par, entonces no existe n
√
a en los números reales.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 3 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Radicación
Definición
Sea n un entero positivo mayor a 1, y sea a un número real. Se llama raíz
n-ésima de un número a, al número b tal que b elevado a la potencia n
resulta a.
n√a = b ⇐⇒ bn = a
donde
si a > 0, entonces n
√
a = b tal que b es un número real positivo y
bn = a
si a = 0, entonces n
√
0 = 0
si a < 0 y:
n es impar, entonces n
√
a = b tal que b es un número real negativo.
n es par, entonces no existe n
√
a en los números reales.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 3 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Radicación
Ejemplo
a) 4
√
81 = 3, pues 34 = 81
b) 3
√
−8 = − 2, pues (−2)3 = (−2)(−2)(−2) = −8
Sin embargo notar que no están definidas dentro de los números reales, las
raíces con índice par de números negativos.
c)
√
−9 /∈ R, pues ningún número al cuadrado es igual a −9.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 4 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Radicación
Ejemplo
a) 4
√
81 = 3, pues 34 = 81
b) 3
√
−8 = − 2, pues (−2)3 = (−2)(−2)(−2) = −8
Sin embargo notar que no están definidas dentro de los números reales, las
raíces con índice par de números negativos.
c)
√
−9 /∈ R, pues ningún número al cuadrado es igual a −9.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 4 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Radicación
Ejemplo
a) 4
√
81 = 3, pues 34 = 81
b) 3
√
−8 = − 2, pues (−2)3 = (−2)(−2)(−2) = −8
Sin embargo notar que no están definidas dentro de los números reales, las
raíces con índice par de números negativos.
c)
√
−9 /∈ R, pues ningún número al cuadrado es igual a −9.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 4 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Radicación
Ejemplo
a) 4
√
81 = 3, pues 34 = 81
b) 3
√
−8 = − 2, pues (−2)3 = (−2)(−2)(−2) = −8
Sin embargo notar que no están definidas dentro de los números reales, las
raíces con índice par de números negativos.
c)
√
−9 /∈ R, pues ningún número al cuadrado es igual a −9.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 4 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Radicación
Ejemplo
a) 4
√
81 = 3, pues 34 = 81
b) 3
√
−8 = − 2, pues (−2)3 = (−2)(−2)(−2) = −8
Sin embargo notar que no están definidas dentro de los números reales, las
raíces con índice par de números negativos.
c)
√
−9 /∈ R, pues ningún número al cuadrado es igual a −9.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 4 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Radicación
Ejemplo
a) 4
√
81 = 3, pues 34 = 81
b) 3
√
−8 = − 2, pues (−2)3 = (−2)(−2)(−2) = −8
Sin embargo notar que no están definidas dentro de los números reales, las
raíces con índice par de números negativos.
c)
√
−9 /∈ R, pues ningún número al cuadrado es igual a −9.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 4 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Propiedades de Raíces
Proposición 6:
Sean n y m enteros positivos, a y b números reales. Se tienen las siguientes propiedades,
siempre que tales raíces existan.
1 La raíz es distributiva respecto al producto:
n√a · b = n
√
a · n
√
b
2 La raíz es distributiva respecto al cociente:
n
√ a
b =
n√a
n√b
3 Para calcular la raíz de otra raíz se multiplican los índices:
n
√
m√a = n.m
√
a
4 Se puede cancelar si el índice de la raíz es múltiplo del exponente del radicando:
n.k√ak = n
√
a, k ∈ Z+
Ejemplo
6√36 = 3·2
√
62 = 3
√
6
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 5 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Propiedades de Raíces
Proposición 6:
Sean n y m enteros positivos, a y b números reales. Se tienen las siguientes propiedades,
siempre que tales raíces existan.
1 La raíz es distributiva respecto al producto:
n√a · b = n
√
a · n
√b
2 La raíz es distributiva respecto al cociente:
n
√ a
b =
n√a
n√b
3 Para calcular la raíz de otra raíz se multiplican los índices:
n
√
m√a = n.m
√
a
4 Se puede cancelar si el índice de la raíz es múltiplo del exponente del radicando:
n.k√ak = n
√
a, k ∈ Z+
Ejemplo
6√36 = 3·2
√
62 = 3
√
6
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 5 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Propiedades de Raíces
Proposición 6:
Sean n y m enteros positivos, a y b números reales. Se tienen las siguientes propiedades,
siempre que tales raíces existan.
1 La raíz es distributiva respecto al producto:
n√a · b = n
√
a · n
√
b
2 La raíz es distributiva respecto al cociente:
n
√ a
b =
n√a
n√b
3 Para calcular la raíz de otra raíz se multiplican los índices:
n
√
m√a = n.m
√
a
4 Se puede cancelar si el índice de la raíz es múltiplo del exponente del radicando:
n.k√ak = n
√
a, k ∈ Z+
Ejemplo
6√36 = 3·2
√
62 = 3
√
6
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 5 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Propiedades de Raíces
Proposición 6:
Sean n y m enteros positivos, a y b números reales. Se tienen las siguientes propiedades,
siempre que tales raíces existan.
1 La raíz es distributiva respecto al producto:
n√a · b = n
√
a · n
√
b
2 La raíz es distributiva respecto al cociente:
n
√ a
b =
n√a
n√b
3 Para calcular la raíz de otra raíz se multiplican los índices:
n
√
m√a = n.m
√
a
4 Se puede cancelar si el índice de la raíz es múltiplo del exponente del radicando:
n.k√ak = n
√
a, k ∈ Z+
Ejemplo
6√36 = 3·2
√
62 = 3
√
6
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 5 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Propiedades de Raíces
Proposición 6:
Sean n y m enteros positivos, a y b números reales. Se tienen las siguientes propiedades,
siempre que tales raíces existan.
1 La raíz es distributiva respecto al producto:
n√a · b = n
√
a · n
√
b
2 La raíz es distributiva respecto al cociente:
n
√ a
b =
n√a
n√b
3 Para calcular la raíz de otra raíz se multiplican los índices:
n
√
m√a = n.m
√
a
4 Se puede cancelar si el índice de la raíz es múltiplo del exponente del radicando:
n.k√ak = n
√
a, k ∈ Z+
Ejemplo
6√36 = 3·2
√
62 = 3
√
6
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 5 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Propiedades de Raíces
Proposición 6:
Sean n y m enteros positivos, a y b números reales. Se tienen las siguientes propiedades,
siempre que tales raíces existan.
1 La raíz es distributiva respecto al producto:
n√a · b = n
√
a · n
√
b
2 La raíz es distributiva respecto al cociente:
n
√ a
b =
n√a
n√b
3 Para calcular la raíz de otra raíz se multiplican los índices:
n
√
m√a = n.m
√
a
4 Se puede cancelar si el índice de la raíz es múltiplo del exponente del radicando:
n.k√ak = n
√
a, k ∈ Z+
Ejemplo
6√36 = 3·2
√
62 = 3
√
6
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 5 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Propiedades de Raíces
Proposición 6:
Sean n y m enteros positivos, a y b números reales. Se tienen las siguientes propiedades,
siempre que tales raíces existan.
1 La raíz es distributiva respecto al producto:
n√a · b = n
√
a · n
√
b
2 La raíz es distributiva respecto al cociente:
n
√ a
b =
n√a
n√b
3 Para calcular la raíz de otra raíz se multiplican los índices:
n
√
m√a = n.m
√
a
4 Se puede cancelar si el índice de la raíz es múltiplo del exponente del radicando:
n.k√ak = n
√
a, k ∈ Z+
Ejemplo
6√36 = 3·2
√
62 = 3
√
6
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 5 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Propiedades de Raíces
Proposición 6:
Sean n y m enteros positivos, a y b números reales. Se tienen las siguientes propiedades,
siempre que tales raíces existan.
1 La raíz es distributiva respecto al producto:
n√a · b = n
√
a · n
√
b
2 La raíz es distributiva respecto al cociente:
n
√ a
b =
n√a
n√b
3 Para calcular la raíz de otra raíz se multiplican los índices:
n
√
m√a = n.m
√
a
4 Se puede cancelar si el índice de la raíz es múltiplo del exponente del radicando:
n.k√ak = n
√
a, k ∈ Z+
Ejemplo
6√36 = 3·2
√
62 = 3
√
6
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 5 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Propiedades de la Radicación
Proposición 7:
Sean n un entero positivo y a un número real. Se tienen las siguientes propiedades:
1
(
n√a
)n = a si n√a es un número real.
2 n
√
an = a si a ≥ 0.
3 n
√
an = a si a < 0 y n impar.
4 n
√
an = |a| si a < 0 y n par.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 6 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Propiedades de la Radicación
Proposición 7:
Sean n un entero positivo y a un número real. Se tienen las siguientes propiedades:
1
(
n√a
)n = a si n√a es un número real.
2 n
√
an = a si a ≥ 0.
3 n
√
an = a si a < 0 y n impar.
4 n
√
an = |a| si a < 0 y n par.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 6 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Propiedades de la Radicación
Proposición 7:
Sean n un entero positivo y a un número real. Se tienen las siguientes propiedades:
1
(
n√a
)n = a si n√a es un número real.
2 n
√
an = a si a ≥ 0.
3 n
√
an = a si a < 0 y n impar.
4 n
√
an = |a| si a < 0 y n par.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 6 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Propiedades de la Radicación
Proposición 7:
Sean n un entero positivo y a un número real. Se tienen las siguientes propiedades:
1
(
n√a
)n = a si n√a es un número real.(√
5
)2
= 5
(
3√−8
)3
= −8
2 n
√
an = a si a ≥ 0.
3 n
√
an = a si a < 0 y n impar.
4 n
√
an = |a| si a < 0 y n par.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 6 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Propiedades de la Radicación
Proposición 7:
Sean n un entero positivo y a un número real. Se tienen las siguientes propiedades:
1
(
n√a
)n = a si n√a es un número real.(√
5
)2
= 5
(
3√−8
)3
= −8
2 n
√
an = a si a ≥ 0.
3 n
√
an = a si a < 0 y n impar.
4 n
√
an = |a| si a < 0 y n par.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 6 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Propiedades de la Radicación
Proposición 7:
Sean n un entero positivo y a un número real. Se tienen las siguientes propiedades:
1
(
n√a
)n = a si n√a es un número real.(√
5
)2
= 5
(
3√−8
)3
= −8
2 n
√
an = a si a ≥ 0.√
(5)2 = 5 7
√
57 = 5
3 n
√
an = a si a < 0 y n impar.
4 n
√
an = |a| si a < 0 y n par.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 6 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Propiedades de la Radicación
Proposición 7:
Sean n un entero positivo y a un número real. Se tienen las siguientes propiedades:
1
(
n√a
)n = a si n√a es un número real.(√
5
)2
= 5
(
3√−8
)3
= −8
2 n
√
an = a si a ≥ 0.√
(5)2 = 5 7
√
57 = 5
3 n
√
an = a si a < 0 y n impar.
4 n
√
an = |a| si a < 0 y n par.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 6 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Propiedades de la Radicación
Proposición 7:
Sean n un entero positivo y a un número real. Se tienen las siguientes propiedades:
1
(
n√a
)n = a si n√a es un número real.(√
5
)2
= 5
(
3√−8
)3
= −8
2 n
√
an = a si a ≥ 0.√
(5)2 = 5 7
√
57 = 5
3 n
√
an = a si a < 0 y n impar.
3
√
(−2)3 = −2 7
√(2
3
)21
= 7
√(2
3
)3·7
= 7
√√√√[(2
3
)3]7
=
(2
3
)3
4 n
√
an = |a| si a < 0 y n par.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 6 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Propiedades de la Radicación
Proposición 7:
Sean n un entero positivo y a un número real. Se tienen las siguientes propiedades:
1
(
n√a
)n = a si n√a es un número real.(√
5
)2
= 5
(
3√−8
)3
= −8
2 n
√
an = a si a ≥ 0.√
(5)2 = 5 7
√
57 = 5
3 n
√
an = a si a < 0 y n impar.
3
√
(−2)3 = −2 7
√(2
3
)21
= 7
√(2
3
)3·7
= 7
√√√√[(2
3
)3]7
=
(2
3
)3
4 n
√
an = |a| si a < 0 y n par.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 6 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Propiedades de la Radicación
Proposición 7:
Sean n un entero positivo y a un número real. Se tienen las siguientes propiedades:
1
(
n√a
)n = a si n√a es un número real.(√
5
)2
= 5
(
3√−8
)3
= −8
2 n
√
an = a si a ≥0.√
(5)2 = 5 7
√
57 = 5
3 n
√
an = a si a < 0 y n impar.
3
√
(−2)3 = −2 7
√(2
3
)21
= 7
√(2
3
)3·7
= 7
√√√√[(2
3
)3]7
=
(2
3
)3
4 n
√
an = |a| si a < 0 y n par.
4
√
(−2)4 = |−2| = 2
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 6 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Aviso importante
Recuerde que:
si el índice de la raíz es par, sólo se puede simplificar si la base es positiva,
ya que si fuera negativa podría presentarse el siguiente caso:
2
√
(−2)2 = 2
√
4 = 2, sin embargo 2
√
(−2)2 = −2 si dividimos
(erróneamente) índice y exponente por 2. Puede observarse que los
resultados no coinciden.
Cuando el índice es par y el radicando es negativo, no se puede simplificar.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 7 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Aviso importante
Recuerde que:
si el índice de la raíz es par, sólo se puede simplificar si la base es positiva,
ya que si fuera negativa podría presentarse el siguiente caso:
2
√
(−2)2 = 2
√
4 = 2, sin embargo 2
√
(−2)2 = −2 si dividimos
(erróneamente) índice y exponente por 2. Puede observarse que los
resultados no coinciden.
Cuando el índice es par y el radicando es negativo, no se puede simplificar.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 7 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Aviso importante
Recuerde que:
si el índice de la raíz es par, sólo se puede simplificar si la base es positiva,
ya que si fuera negativa podría presentarse el siguiente caso:
2
√
(−2)2 = 2
√
4 = 2, sin embargo 2
√
(−2)2 = −2 si dividimos
(erróneamente) índice y exponente por 2. Puede observarse que los
resultados no coinciden.
Cuando el índice es par y el radicando es negativo, no se puede simplificar.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 7 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Aviso importante
Recuerde que:
si el índice de la raíz es par, sólo se puede simplificar si la base es positiva,
ya que si fuera negativa podría presentarse el siguiente caso:
2
√
(−2)2 = 2
√
4 = 2, sin embargo 2
√
(−2)2 = −2 si dividimos
(erróneamente) índice y exponente por 2. Puede observarse que los
resultados no coinciden.
Cuando el índice es par y el radicando es negativo, no se puede simplificar.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 7 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
Aviso importante
Recuerde que:
si el índice de la raíz es par, sólo se puede simplificar si la base es positiva,
ya que si fuera negativa podría presentarse el siguiente caso:
2
√
(−2)2 = 2
√
4 = 2, sin embargo 2
√
(−2)2 = −2 si dividimos
(erróneamente) índice y exponente por 2. Puede observarse que los
resultados no coinciden.
Cuando el índice es par y el radicando es negativo, no se puede simplificar.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 7 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
La propiedad 4 de la proposición anterior, se puede particularizar para el
caso n = 2.
Teorema
∀x ∈ R :
√
x2 = |x |
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 8 / 38
Propiedades de los Números Reales R Radicación
La propiedad 4 de la proposición anterior, se puede particularizar para el
caso n = 2.
Teorema
∀x ∈ R :
√
x2 = |x |
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 8 / 38
Propiedades de los Números Reales R Exponentes Racionales
Índice
1 Propiedades de los Números Reales R
Radicación
Exponentes Racionales
Racionalización de denominadores
2 Valor Absoluto
Definición de valor absoluto
Propiedades del valor absoluto
3 Ecuaciones e Inecuaciones
Ecuaciones en una variable
Ecuaciones con valor absoluto
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 9 / 38
Propiedades de los Números Reales R Exponentes Racionales
Exponentes Racionales
El concepto de raíz n−ésima nos permite ampliar la definición de potencia
de un número, donde el exponente es un número racional cualquiera.
Definición
Sea mn un número racional donde m, n ∈ Z y n > 1.
Si a es un número real tal que n
√
a existe, entonces:
a
1
n = n
√
a
Si a es un número real tal que n
√
a existe, entonces:
a
m
n = n
√
am =
( n√a)m
Ejemplo
4 35 = 5
√
43 =
(
5√4
)3
4 35 =
(
4 15
)
3 =
(
5√4
)3
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 10 / 38
Propiedades de los Números Reales R Exponentes Racionales
Exponentes Racionales
El concepto de raíz n−ésima nos permite ampliar la definición de potencia
de un número, donde el exponente es un número racional cualquiera.
Definición
Sea mn un número racional donde m, n ∈ Z y n > 1.
Si a es un número real tal que n
√
a existe, entonces:
a
1
n = n
√
a
Si a es un número real tal que n
√
a existe, entonces:
a
m
n = n
√
am =
( n√a)m
Ejemplo
4 35 = 5
√
43 =
(
5√4
)3
4 35 =
(
4 15
)
3 =
(
5√4
)3
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 10 / 38
Propiedades de los Números Reales R Exponentes Racionales
Exponentes Racionales
El concepto de raíz n−ésima nos permite ampliar la definición de potencia
de un número, donde el exponente es un número racional cualquiera.
Definición
Sea mn un número racional donde m, n ∈ Z y n > 1.
Si a es un número real tal que n
√
a existe, entonces:
a
1
n = n
√
a
Si a es un número real tal que n
√
a existe, entonces:
a
m
n = n
√
am =
( n√a)m
Ejemplo
4 35 = 5
√
43 =
(
5√4
)3
4 35 =
(
4 15
)
3 =
(
5√4
)3
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Propiedades de los Números Reales R Exponentes Racionales
Exponentes Racionales
El concepto de raíz n−ésima nos permite ampliar la definición de potencia
de un número, donde el exponente es un número racional cualquiera.
Definición
Sea mn un número racional donde m, n ∈ Z y n > 1.
Si a es un número real tal que n
√
a existe, entonces:
a
1
n = n
√
a
Si a es un número real tal que n
√
a existe, entonces:
a
m
n = n
√
am =
( n√a)m
Ejemplo
4 35 = 5
√
43 =
(
5√4
)3
4 35 =
(
4 15
)
3 =
(
5√4
)3
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 10 / 38
Propiedades de los Números Reales R Exponentes Racionales
Exponentes Racionales
El concepto de raíz n−ésima nos permite ampliar la definición de potencia
de un número, donde el exponente es un número racional cualquiera.
Definición
Sea mn un número racional donde m, n ∈ Z y n > 1.
Si a es un número real tal que n
√
a existe, entonces:
a
1
n = n
√
a
Si a es un número real tal que n
√
a existe, entonces:
a
m
n = n
√
am =
( n√a)m
Ejemplo
4 35 = 5
√
43 =
(
5√4
)3
4 35 =
(
4 15
)
3 =
(
5√4
)3
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Propiedades de los Números Reales R Exponentes Racionales
Exponentes Racionales
El concepto de raíz n−ésima nos permite ampliar la definición de potencia
de un número, donde el exponente es un número racional cualquiera.
Definición
Sea mn un número racional donde m, n ∈ Z y n > 1.
Si a es un número real tal que n
√
a existe, entonces:
a
1
n = n
√
a
Si a es un número real tal que n
√
a existe, entonces:
a
m
n = n
√
am =
( n√a)m
Ejemplo
4 35 = 5
√
43 =
(
5√4
)3
4 35 =
(
4 15
)
3 =
(
5√4
)3
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 10 / 38
Propiedades de los Números Reales R Exponentes Racionales
Exponentes Racionales
El concepto de raíz n−ésima nos permite ampliar la definición de potencia
de un número, donde el exponente es un número racional cualquiera.
Definición
Sea mn un número racional donde m, n ∈ Z y n > 1.
Si a es un número real tal que n
√
a existe, entonces:
a
1
n = n
√
a
Si a es un número real tal que n
√
a existe, entonces:
a
m
n = n
√
am =
( n√a)m
Ejemplo
4 35 = 5
√
43 =
(
5√4
)3
4 35 =
(
4 15
)
3 =
(
5√4
)3
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 10 / 38
Propiedades de los Números Reales R Exponentes Racionales
Exponentes Racionales
El concepto de raíz n−ésima nos permite ampliar la definición de potencia
de un número, donde el exponente es un número racional cualquiera.
Definición
Sea mn un número racional donde m, n ∈ Z y n > 1.
Si a es un número real tal que n
√
a existe, entonces:
a
1
n = n
√
a
Si a es un número real tal que n
√
a existe, entonces:
a
m
n = n
√
am =
( n√a)m
Ejemplo
4 35 = 5
√
43 =
(
5√4
)3
4 35 =
(
4 15
)
3 =
(
5√4
)3
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 10 / 38
Propiedades de los Números Reales R Exponentes Racionales
Exponentes Racionales
El concepto de raíz n−ésimanos permite ampliar la definición de potencia
de un número, donde el exponente es un número racional cualquiera.
Definición
Sea mn un número racional donde m, n ∈ Z y n > 1.
Si a es un número real tal que n
√
a existe, entonces:
a
1
n = n
√
a
Si a es un número real tal que n
√
a existe, entonces:
a
m
n = n
√
am =
( n√a)m
Ejemplo
4 35 = 5
√
43 =
(
5√4
)3
4 35 =
(
4 15
)
3 =
(
5√4
)3
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 10 / 38
Propiedades de los Números Reales R Racionalización de denominadores
Índice
1 Propiedades de los Números Reales R
Radicación
Exponentes Racionales
Racionalización de denominadores
2 Valor Absoluto
Definición de valor absoluto
Propiedades del valor absoluto
3 Ecuaciones e Inecuaciones
Ecuaciones en una variable
Ecuaciones con valor absoluto
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 11 / 38
Propiedades de los Números Reales R Racionalización de denominadores
Racionalización de Denominadores
Sabemos efectuar divisiones cuando el divisor es un número racional, pero
¿qué sucede si hacemos la división de 3 en
√
2 ?
Podemos solucionar este inconveniente si encontramos un cociente
equivalente al anterior cuyo denominador sea un número racional.
Veamos ejemplos de expresiones de la forma 1n√bm
con m < n y b ∈ N.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 12 / 38
Propiedades de los Números Reales R Racionalización de denominadores
Racionalización de Denominadores
Sabemos efectuar divisiones cuando el divisor es un número racional, pero
¿qué sucede si hacemos la división de 3 en
√
2 ?
Podemos solucionar este inconveniente si encontramos un cociente
equivalente al anterior cuyo denominador sea un número racional.
Veamos ejemplos de expresiones de la forma 1n√bm
con m < n y b ∈ N.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 12 / 38
Propiedades de los Números Reales R Racionalización de denominadores
Racionalización de Denominadores
Sabemos efectuar divisiones cuando el divisor es un número racional, pero
¿qué sucede si hacemos la división de 3 en
√
2 ?
Podemos solucionar este inconveniente si encontramos un cociente
equivalente al anterior cuyo denominador sea un número racional.
Veamos ejemplos de expresiones de la forma 1n√bm
con m < n y b ∈ N.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 12 / 38
Propiedades de los Números Reales R Racionalización de denominadores
Racionalización de Denominadores
Sabemos efectuar divisiones cuando el divisor es un número racional, pero
¿qué sucede si hacemos la división de 3 en
√
2 ?
Podemos solucionar este inconveniente si encontramos un cociente
equivalente al anterior cuyo denominador sea un número racional.
Veamos ejemplos de expresiones de la forma 1n√bm
con m < n y b ∈ N.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 12 / 38
Propiedades de los Números Reales R Racionalización de denominadores
Ejemplo
i) 1√
13
= 1√
13
·
√
13√
13
=
√
13(√
13
)2 =
√
13
13
ii) 57√3 · 52
= 57√3 · 52
·
7√36 · 55
7√36 · 55
= 5 ·
7√36 · 55
7√3 · 52 · 36 · 55
= 5 ·
7√36 · 55
7√37 · 57
= 5 ·
7√36 · 55
15 =
7√36 · 55
3
Lo que se hizo fue multiplicar y dividir dicha expresión por n
√
bn−m.
De esto resulta una expresión cuyo denominador es n
√
bm · bn−m = n
√
bn, y
así podemos simplificar índice y exponente para eliminar la raíz del
denominador.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 13 / 38
Propiedades de los Números Reales R Racionalización de denominadores
Ejemplo
i) 1√
13
= 1√
13
·
√
13√
13
=
√
13(√
13
)2 =
√
13
13
ii) 57√3 · 52
= 57√3 · 52
·
7√36 · 55
7√36 · 55
= 5 ·
7√36 · 55
7√3 · 52 · 36 · 55
= 5 ·
7√36 · 55
7√37 · 57
= 5 ·
7√36 · 55
15 =
7√36 · 55
3
Lo que se hizo fue multiplicar y dividir dicha expresión por n
√
bn−m.
De esto resulta una expresión cuyo denominador es n
√
bm · bn−m = n
√
bn, y
así podemos simplificar índice y exponente para eliminar la raíz del
denominador.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 13 / 38
Propiedades de los Números Reales R Racionalización de denominadores
Ejemplo
i) 1√
13
= 1√
13
·
√
13√
13
=
√
13(√
13
)2 =
√
13
13
ii) 57√3 · 52
= 57√3 · 52
·
7√36 · 55
7√36 · 55
= 5 ·
7√36 · 55
7√3 · 52 · 36 · 55
= 5 ·
7√36 · 55
7√37 · 57
= 5 ·
7√36 · 55
15 =
7√36 · 55
3
Lo que se hizo fue multiplicar y dividir dicha expresión por n
√
bn−m.
De esto resulta una expresión cuyo denominador es n
√
bm · bn−m = n
√
bn, y
así podemos simplificar índice y exponente para eliminar la raíz del
denominador.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 13 / 38
Propiedades de los Números Reales R Racionalización de denominadores
Ejemplo
i) 1√
13
= 1√
13
·
√
13√
13
=
√
13(√
13
)2 =
√
13
13
ii) 57√3 · 52
= 57√3 · 52
·
7√36 · 55
7√36 · 55
= 5 ·
7√36 · 55
7√3 · 52 · 36 · 55
= 5 ·
7√36 · 55
7√37 · 57
= 5 ·
7√36 · 55
15 =
7√36 · 55
3
Lo que se hizo fue multiplicar y dividir dicha expresión por n
√
bn−m.
De esto resulta una expresión cuyo denominador es n
√
bm · bn−m = n
√
bn, y
así podemos simplificar índice y exponente para eliminar la raíz del
denominador.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 13 / 38
Propiedades de los Números Reales R Racionalización de denominadores
Ejemplo
i) 1√
13
= 1√
13
·
√
13√
13
=
√
13(√
13
)2 =
√
13
13
ii) 57√3 · 52
= 57√3 · 52
·
7√36 · 55
7√36 · 55
= 5 ·
7√36 · 55
7√3 · 52 · 36 · 55
= 5 ·
7√36 · 55
7√37 · 57
= 5 ·
7√36 · 55
15 =
7√36 · 55
3
Lo que se hizo fue multiplicar y dividir dicha expresión por n
√
bn−m.
De esto resulta una expresión cuyo denominador es n
√
bm · bn−m = n
√
bn, y
así podemos simplificar índice y exponente para eliminar la raíz del
denominador.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 13 / 38
Propiedades de los Números Reales R Racionalización de denominadores
Ejemplo
i) 1√
13
= 1√
13
·
√
13√
13
=
√
13(√
13
)2 =
√
13
13
ii) 57√3 · 52
= 57√3 · 52
·
7√36 · 55
7√36 · 55
= 5 ·
7√36 · 55
7√3 · 52 · 36 · 55
= 5 ·
7√36 · 55
7√37 · 57
= 5 ·
7√36 · 55
15 =
7√36 · 55
3
Lo que se hizo fue multiplicar y dividir dicha expresión por n
√
bn−m.
De esto resulta una expresión cuyo denominador es n
√
bm · bn−m = n
√
bn, y
así podemos simplificar índice y exponente para eliminar la raíz del
denominador.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 13 / 38
Propiedades de los Números Reales R Racionalización de denominadores
Ejemplo
i) 1√
13
= 1√
13
·
√
13√
13
=
√
13(√
13
)2 =
√
13
13
ii) 57√3 · 52
= 57√3 · 52
·
7√36 · 55
7√36 · 55
= 5 ·
7√36 · 55
7√3 · 52 · 36 · 55
= 5 ·
7√36 · 55
7√37 · 57
= 5 ·
7√36 · 55
15 =
7√36 · 55
3
Lo que se hizo fue multiplicar y dividir dicha expresión por n
√
bn−m.
De esto resulta una expresión cuyo denominador es n
√
bm · bn−m = n
√
bn, y
así podemos simplificar índice y exponente para eliminar la raíz del
denominador.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 13 / 38
Propiedades de los Números Reales R Racionalización de denominadores
Racionalización de Denominadores
Para racionalizar el denominador de una fracción que consta de un
binomio necesitaremos de dos fórmulas, que estudiaremos con más detalle
en la siguiente unidad, son de utilidad en estos casos. Ambas se verifican
aplicando la propiedad distributiva.
1. Cuadrado de un binomio:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
2. Diferencia de cuadrados:
(a + b)(a − b) = a2 − b2
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 14 / 38
Propiedades de los Números Reales R Racionalización de denominadores
Racionalización de Denominadores
Para racionalizar el denominador de una fracción que consta de un
binomio necesitaremos de dos fórmulas, que estudiaremos con más detalle
en la siguiente unidad, son de utilidad en estos casos. Ambas se verifican
aplicando la propiedad distributiva.
1. Cuadrado de un binomio:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
2. Diferencia de cuadrados:
(a + b)(a − b) = a2 − b2
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 14 / 38
Propiedades de los Números Reales R Racionalización de denominadores
Racionalización de Denominadores
Para racionalizar el denominador de una fracción que consta de un
binomio necesitaremos de dos fórmulas, que estudiaremos con más detalle
en la siguiente unidad, son de utilidad en estos casos. Ambas se verifican
aplicando la propiedaddistributiva.
1. Cuadrado de un binomio:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
2. Diferencia de cuadrados:
(a + b)(a − b) = a2 − b2
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 14 / 38
Racionalización de Denominadores
Ejemplo
Racionalizar i) 2√
3 +
√
2
ii) 3
√
2− 1√
2− 2
Solución:
i) 2√
3 +
√
2
= 2(√
3 +
√
2
) · (√3−√2)(√
3−
√
2
) = 2 (√3−√2)(√
3
)2 − (√2)2
=
2
(√
3−
√
2
)
3− 2 = 2
(√
3−
√
2
)
ii) 3
√
2− 1√
2− 2
=
(
3
√
2− 1
)(√
2− 2
) · (√2 + 2)(√
2 + 2
) = 3 (√2)2 −√2 + 2 · 3√2− 2(√
2
)2 − 22
= 6 + 5
√
2− 2
2− 4 =
4 + 5
√
2
−2 = −2−
5
2
√
2
Racionalización de Denominadores
Ejemplo
Racionalizar i) 2√
3 +
√
2
ii) 3
√
2− 1√
2− 2
Solución:
i) 2√
3 +
√
2
= 2(√
3 +
√
2
) · (√3−√2)(√
3−
√
2
) = 2 (√3−√2)(√
3
)2 − (√2)2
=
2
(√
3−
√
2
)
3− 2 = 2
(√
3−
√
2
)
ii) 3
√
2− 1√
2− 2
=
(
3
√
2− 1
)(√
2− 2
) · (√2 + 2)(√
2 + 2
) = 3 (√2)2 −√2 + 2 · 3√2− 2(√
2
)2 − 22
= 6 + 5
√
2− 2
2− 4 =
4 + 5
√
2
−2 = −2−
5
2
√
2
Racionalización de Denominadores
Ejemplo
Racionalizar i) 2√
3 +
√
2
ii) 3
√
2− 1√
2− 2
Solución:
i) 2√
3 +
√
2
= 2(√
3 +
√
2
) · (√3−√2)(√
3−
√
2
) = 2 (√3−√2)(√
3
)2 − (√2)2
=
2
(√
3−
√
2
)
3− 2 = 2
(√
3−
√
2
)
ii) 3
√
2− 1√
2− 2
=
(
3
√
2− 1
)(√
2− 2
) · (√2 + 2)(√
2 + 2
) = 3 (√2)2 −√2 + 2 · 3√2− 2(√
2
)2 − 22
= 6 + 5
√
2− 2
2− 4 =
4 + 5
√
2
−2 = −2−
5
2
√
2
Racionalización de Denominadores
Ejemplo
Racionalizar i) 2√
3 +
√
2
ii) 3
√
2− 1√
2− 2
Solución:
i) 2√
3 +
√
2
= 2(√
3 +
√
2
) · (√3−√2)(√
3−
√
2
) = 2 (√3−√2)(√
3
)2 − (√2)2
=
2
(√
3−
√
2
)
3− 2 = 2
(√
3−
√
2
)
ii) 3
√
2− 1√
2− 2
=
(
3
√
2− 1
)(√
2− 2
) · (√2 + 2)(√
2 + 2
) = 3 (√2)2 −√2 + 2 · 3√2− 2(√
2
)2 − 22
= 6 + 5
√
2− 2
2− 4 =
4 + 5
√
2
−2 = −2−
5
2
√
2
Racionalización de Denominadores
Ejemplo
Racionalizar i) 2√
3 +
√
2
ii) 3
√
2− 1√
2− 2
Solución:
i) 2√
3 +
√
2
= 2(√
3 +
√
2
) · (√3−√2)(√
3−
√
2
) = 2 (√3−√2)(√
3
)2 − (√2)2
=
2
(√
3−
√
2
)
3− 2 = 2
(√
3−
√
2
)
ii) 3
√
2− 1√
2− 2
=
(
3
√
2− 1
)(√
2− 2
) · (√2 + 2)(√
2 + 2
) = 3 (√2)2 −√2 + 2 · 3√2− 2(√
2
)2 − 22
= 6 + 5
√
2− 2
2− 4 =
4 + 5
√
2
−2 = −2−
5
2
√
2
Racionalización de Denominadores
Ejemplo
Racionalizar i) 2√
3 +
√
2
ii) 3
√
2− 1√
2− 2
Solución:
i) 2√
3 +
√
2
= 2(√
3 +
√
2
) · (√3−√2)(√
3−
√
2
) = 2 (√3−√2)(√
3
)2 − (√2)2
=
2
(√
3−
√
2
)
3− 2 = 2
(√
3−
√
2
)
ii) 3
√
2− 1√
2− 2
=
(
3
√
2− 1
)(√
2− 2
) · (√2 + 2)(√
2 + 2
) = 3 (√2)2 −√2 + 2 · 3√2− 2(√
2
)2 − 22
= 6 + 5
√
2− 2
2− 4 =
4 + 5
√
2
−2 = −2−
5
2
√
2
Racionalización de Denominadores
Ejemplo
Racionalizar i) 2√
3 +
√
2
ii) 3
√
2− 1√
2− 2
Solución:
i) 2√
3 +
√
2
= 2(√
3 +
√
2
) · (√3−√2)(√
3−
√
2
) = 2 (√3−√2)(√
3
)2 − (√2)2
=
2
(√
3−
√
2
)
3− 2 = 2
(√
3−
√
2
)
ii) 3
√
2− 1√
2− 2
=
(
3
√
2− 1
)(√
2− 2
) · (√2 + 2)(√
2 + 2
) = 3 (√2)2 −√2 + 2 · 3√2− 2(√
2
)2 − 22
= 6 + 5
√
2− 2
2− 4 =
4 + 5
√
2
−2 = −2−
5
2
√
2
Racionalización de Denominadores
Ejemplo
Racionalizar i) 2√
3 +
√
2
ii) 3
√
2− 1√
2− 2
Solución:
i) 2√
3 +
√
2
= 2(√
3 +
√
2
) · (√3−√2)(√
3−
√
2
) = 2 (√3−√2)(√
3
)2 − (√2)2
=
2
(√
3−
√
2
)
3− 2 = 2
(√
3−
√
2
)
ii) 3
√
2− 1√
2− 2
=
(
3
√
2− 1
)(√
2− 2
) · (√2 + 2)(√
2 + 2
) = 3 (√2)2 −√2 + 2 · 3√2− 2(√
2
)2 − 22
= 6 + 5
√
2− 2
2− 4 =
4 + 5
√
2
−2 = −2−
5
2
√
2
Racionalización de Denominadores
Ejemplo
Racionalizar i) 2√
3 +
√
2
ii) 3
√
2− 1√
2− 2
Solución:
i) 2√
3 +
√
2
= 2(√
3 +
√
2
) · (√3−√2)(√
3−
√
2
) = 2 (√3−√2)(√
3
)2 − (√2)2
=
2
(√
3−
√
2
)
3− 2 = 2
(√
3−
√
2
)
ii) 3
√
2− 1√
2− 2
=
(
3
√
2− 1
)(√
2− 2
) · (√2 + 2)(√
2 + 2
) = 3 (√2)2 −√2 + 2 · 3√2− 2(√
2
)2 − 22
= 6 + 5
√
2− 2
2− 4 =
4 + 5
√
2
−2 = −2−
5
2
√
2
Racionalización de Denominadores
Ejemplo
Racionalizar i) 2√
3 +
√
2
ii) 3
√
2− 1√
2− 2
Solución:
i) 2√
3 +
√
2
= 2(√
3 +
√
2
) · (√3−√2)(√
3−
√
2
) = 2 (√3−√2)(√
3
)2 − (√2)2
=
2
(√
3−
√
2
)
3− 2 = 2
(√
3−
√
2
)
ii) 3
√
2− 1√
2− 2
=
(
3
√
2− 1
)(√
2− 2
) · (√2 + 2)(√
2 + 2
) = 3 (√2)2 −√2 + 2 · 3√2− 2(√
2
)2 − 22
= 6 + 5
√
2− 2
2− 4 =
4 + 5
√
2
−2 = −2−
5
2
√
2
Racionalización de Denominadores
Ejemplo
Racionalizar i) 2√
3 +
√
2
ii) 3
√
2− 1√
2− 2
Solución:
i) 2√
3 +
√
2
= 2(√
3 +
√
2
) · (√3−√2)(√
3−
√
2
) = 2 (√3−√2)(√
3
)2 − (√2)2
=
2
(√
3−
√
2
)
3− 2 = 2
(√
3−
√
2
)
ii) 3
√
2− 1√
2− 2
=
(
3
√
2− 1
)(√
2− 2
) · (√2 + 2)(√
2 + 2
) = 3 (√2)2 −√2 + 2 · 3√2− 2(√
2
)2 − 22
= 6 + 5
√
2− 2
2− 4 =
4 + 5
√
2
−2 = −2−
5
2
√
2
Valor Absoluto Definición de valor absoluto
Índice
1 Propiedades de los Números Reales R
Radicación
Exponentes Racionales
Racionalización de denominadores
2 Valor Absoluto
Definición de valor absoluto
Propiedades del valor absoluto
3 Ecuaciones e Inecuaciones
Ecuaciones en una variable
Ecuaciones con valor absoluto
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 16 / 38
Valor Absoluto Definición de valor absoluto
Valor Absoluto o Módulo
El valor absoluto de un número a es la distancia de a a 0 en la recta real.Por
ejemplo, 4 está a 4 unidades de 0, y 3 está a 3 unidades de 0.
Entonces diremos que el valor absoluto de −4 es 4 y el valor absoluto de 3 es 3.
Para el ejemplo que sigue, podemos obtener la distancia a 0 de 3 y −3 de la
siguiente manera:
Por lo que diremos que el valor absoluto de 3 es 3, y de −3 es − (−3) = 3.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 17 / 38
Valor Absoluto Definición de valor absoluto
Valor Absoluto o Módulo
El valor absoluto de un número a es la distancia de a a 0 en la recta real.Por
ejemplo, 4 está a 4 unidades de 0, y 3 está a 3 unidades de 0.
Entonces diremos que el valor absoluto de −4 es 4 y el valor absoluto de 3 es 3.
Para el ejemplo que sigue, podemos obtener la distancia a 0 de 3 y −3 de la
siguiente manera:
Por lo que diremos que el valor absoluto de 3 es 3, y de −3 es − (−3) = 3.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 17 / 38
Valor Absoluto Definición de valor absoluto
Valor Absoluto o Módulo
El valor absoluto de un número a es la distancia de a a 0 en la recta real.Por
ejemplo, 4 está a 4 unidades de 0, y 3 está a 3 unidades de 0.
Entonces diremos que el valor absoluto de −4 es 4 y el valor absoluto de 3 es 3.
Para el ejemplo que sigue, podemos obtener la distancia a 0 de 3 y −3 de la
siguiente manera:
Por lo que diremos que el valor absoluto de 3 es 3, y de −3 es − (−3) = 3.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 17 / 38
Valor Absoluto Definición de valor absoluto
Valor Absoluto o Módulo
El valor absoluto de un número a es la distancia de a a 0 en la recta real.Por
ejemplo, 4 está a 4 unidades de 0, y 3 está a 3 unidades de 0.
Entonces diremos que el valor absoluto de −4 es 4 y el valor absoluto de 3 es 3.
Para el ejemplo que sigue, podemos obtener la distancia a 0 de 3 y −3 de la
siguiente manera:
Por lo que diremos que el valor absoluto de 3 es 3, y de −3 es − (−3) = 3.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 17 / 38
Valor Absoluto Definición de valor absoluto
Valor Absoluto o Módulo
El valor absoluto de un número a es la distancia de a a 0 en la recta real.Por
ejemplo, 4 está a 4 unidades de 0, y 3 está a 3 unidades de 0.
Entonces diremos que el valor absoluto de −4 es 4 y el valor absoluto de 3 es 3.
Para el ejemplo que sigue, podemos obtener la distancia a 0 de 3 y −3 de la
siguiente manera:
Por lo que diremos que el valor absoluto de 3 es 3, y de −3 es − (−3) = 3.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 17 / 38
Valor Absoluto Definición de valor absoluto
Valor Absoluto o Módulo
Definición
∀a ∈ R, definimos módulo o valor absoluto de a de la siguiente manera:
|a| =
{
a si a ≥ 0
−a si a < 0
Para los ejemplos anteriores podemos escribir, utilizando la notación
correspondiente:
|−4| = − (−4) = 4
|3| = 3
|−3| = − (−3) = 3
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 18 / 38
Valor Absoluto Definición de valor absoluto
Valor Absoluto o Módulo
Definición
∀a ∈ R, definimos módulo o valor absoluto de a de la siguiente manera:
|a| =
{
a si a ≥ 0
−a si a < 0
Para los ejemplos anteriores podemos escribir, utilizando la notación
correspondiente:
|−4| = − (−4) = 4
|3| = 3
|−3| = − (−3) = 3
C.P.P(UNSa) Unidad N°3 Año 2023 18 / 38
Valor Absoluto Definición de valor absoluto
Valor Absoluto o Módulo
Definición
∀a ∈ R, definimos módulo o valor absoluto de a de la siguiente manera:
|a| =
{
a si a ≥ 0
−a si a < 0
Para los ejemplos anteriores podemos escribir, utilizando la notación
correspondiente:
|−4| = − (−4) = 4
|3| = 3
|−3| = − (−3) = 3
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 18 / 38
Valor Absoluto Definición de valor absoluto
Valor Absoluto o Módulo
Definición
∀a ∈ R, definimos módulo o valor absoluto de a de la siguiente manera:
|a| =
{
a si a ≥ 0
−a si a < 0
Para los ejemplos anteriores podemos escribir, utilizando la notación
correspondiente:
|−4| = − (−4) = 4
|3| = 3
|−3| = − (−3) = 3
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 18 / 38
Valor Absoluto Definición de valor absoluto
Valor Absoluto o Módulo
Definición
∀a ∈ R, definimos módulo o valor absoluto de a de la siguiente manera:
|a| =
{
a si a ≥ 0
−a si a < 0
Para los ejemplos anteriores podemos escribir, utilizando la notación
correspondiente:
|−4| = − (−4) = 4
|3| = 3
|−3| = − (−3) = 3
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 18 / 38
Valor Absoluto Definición de valor absoluto
Valor Absoluto o Módulo
Definición
∀a ∈ R, definimos módulo o valor absoluto de a de la siguiente manera:
|a| =
{
a si a ≥ 0
−a si a < 0
Para los ejemplos anteriores podemos escribir, utilizando la notación
correspondiente:
|−4| = − (−4) = 4
|3| = 3
|−3| = − (−3) = 3
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 18 / 38
Valor Absoluto Definición de valor absoluto
Valor Absoluto o Módulo
Definición
∀a ∈ R, definimos módulo o valor absoluto de a de la siguiente manera:
|a| =
{
a si a ≥ 0
−a si a < 0
Para los ejemplos anteriores podemos escribir, utilizando la notación
correspondiente:
|−4| = − (−4) = 4
|3| = 3
|−3| = − (−3) = 3
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 18 / 38
Valor Absoluto Propiedades del valor absoluto
Índice
1 Propiedades de los Números Reales R
Radicación
Exponentes Racionales
Racionalización de denominadores
2 Valor Absoluto
Definición de valor absoluto
Propiedades del valor absoluto
3 Ecuaciones e Inecuaciones
Ecuaciones en una variable
Ecuaciones con valor absoluto
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 19 / 38
Valor Absoluto Propiedades del valor absoluto
Propiedades del Valor absoluto
Proposición 1
Sea a ∈ R, se cumple que:
1 |a| ≥ 0
2 |a| = 0 si y sólo si a = 0
3 − |a| ≤ a ≤ |a|
4 |−a| = |a|
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 20 / 38
Valor Absoluto Propiedades del valor absoluto
Propiedades del Valor absoluto
Proposición 1
Sea a ∈ R, se cumple que:
1 |a| ≥ 0
2 |a| = 0 si y sólo si a = 0
3 − |a| ≤ a ≤ |a|
4 |−a| = |a|
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 20 / 38
Valor Absoluto Propiedades del valor absoluto
Propiedades del Valor absoluto
Proposición 1
Sea a ∈ R, se cumple que:
1 |a| ≥ 0
2 |a| = 0 si y sólo si a = 0
3 − |a| ≤ a ≤ |a|
4 |−a| = |a|
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 20 / 38
Valor Absoluto Propiedades del valor absoluto
Propiedades del Valor absoluto
Proposición 1
Sea a ∈ R, se cumple que:
1 |a| ≥ 0
2 |a| = 0 si y sólo si a = 0
3 − |a| ≤ a ≤ |a|
4 |−a| = |a|
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 20 / 38
Valor Absoluto Propiedades del valor absoluto
Propiedades del Valor absoluto
Proposición 1
Sea a ∈ R, se cumple que:
1 |a| ≥ 0
2 |a| = 0 si y sólo si a = 0
3 − |a| ≤ a ≤ |a|
4 |−a| = |a|
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 20 / 38
Valor Absoluto Propiedades del valor absoluto
Propiedades del Valor absoluto
Proposición 1
Sea a ∈ R, se cumple que:
1 |a| ≥ 0
2 |a| = 0 si y sólo si a = 0
3 − |a| ≤ a ≤ |a|
4 |−a| = |a|
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 20 / 38
Valor Absoluto Propiedades del valor absoluto
Proposición 2:
Sean a, b ∈ R, se cumple que:
1 |a · b| = |a| · |b|
2
∣∣∣ ab ∣∣∣ = |a||b| , si b 6= 0
3 |a + b| ≤ |a|+ |b| (Desigualdad triángular)
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 21 / 38
Valor Absoluto Propiedades del valor absoluto
Proposición 2:
Sean a, b ∈ R, se cumple que:
1 |a · b| = |a| · |b|
2
∣∣∣ ab ∣∣∣ = |a||b| , si b 6= 0
3 |a + b| ≤ |a|+ |b| (Desigualdad triángular)
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 21 / 38
Valor Absoluto Propiedades del valor absoluto
Proposición 2:
Sean a, b ∈ R, se cumple que:
1 |a · b| = |a| · |b|
2
∣∣∣ ab ∣∣∣ = |a||b| , si b 6= 0
3 |a + b| ≤ |a|+ |b| (Desigualdad triángular)
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 21 / 38
Valor Absoluto Propiedades del valor absoluto
Proposición 2:
Sean a, b ∈ R, se cumple que:
1 |a · b| = |a| · |b|
2
∣∣∣ ab ∣∣∣ = |a||b| , si b 6= 0
3 |a + b| ≤ |a|+ |b| (Desigualdad triángular)
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 21 / 38
Valor Absoluto Propiedades del valor absoluto
Propiedades del Valor absoluto
Proposición 3
Sean a, b ∈ R, se cumple que:
1 |a| − |b| ≤ |a − b|
2 |a − b| = |b − a|
Las siguientes propiedades son válidas, únicamente si b > 0:
Proposición 4
Sean a, b ∈ R∧b > 0, se cumple que:
1 |a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b
1 |a| ≥ b ⇔ a ≥ b o a ≤ −b
También son válidas con los signos < y > respectivamente.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 22 / 38
Valor Absoluto Propiedades del valor absoluto
Propiedades del Valor absoluto
Proposición 3
Sean a, b ∈ R, se cumple que:
1 |a| − |b| ≤ |a − b|
2 |a − b| = |b − a|
Las siguientes propiedades son válidas, únicamente si b > 0:
Proposición 4
Sean a, b ∈ R∧b > 0, se cumple que:
1 |a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b
1 |a| ≥ b ⇔ a ≥ b o a ≤ −b
También son válidas con los signos < y > respectivamente.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 22 / 38
Valor Absoluto Propiedades del valor absoluto
Propiedades del Valor absoluto
Proposición 3
Sean a, b ∈ R, se cumple que:
1 |a| − |b| ≤ |a − b|
2 |a − b| = |b − a|
Las siguientes propiedades son válidas, únicamente si b > 0:
Proposición 4
Sean a, b ∈ R∧b > 0, se cumple que:
1 |a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b
1 |a| ≥ b ⇔ a ≥ b o a ≤ −b
También son válidas con los signos < y > respectivamente.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 22 / 38
Valor Absoluto Propiedades del valor absoluto
Propiedades del Valor absoluto
Proposición 3
Sean a, b ∈ R, se cumple que:
1 |a| − |b| ≤ |a − b|
2 |a − b| = |b − a|
Las siguientes propiedades son válidas, únicamente si b > 0:
Proposición 4
Sean a, b ∈ R∧b > 0, se cumple que:
1 |a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b
1 |a| ≥ b ⇔ a ≥ b o a ≤ −b
También son válidas con los signos < y > respectivamente.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 22 / 38
Valor Absoluto Propiedades del valor absoluto
Propiedades del Valor absoluto
Proposición 3
Sean a, b ∈ R, se cumple que:
1 |a| − |b| ≤ |a − b|
2 |a − b| = |b − a|
Las siguientes propiedades son válidas, únicamente si b > 0:
Proposición 4
Sean a, b ∈ R∧b > 0, se cumple que:
1 |a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b
1 |a| ≥ b ⇔ a ≥ b o a ≤ −b
También son válidas con los signos < y > respectivamente.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 22 / 38
Valor Absoluto Propiedades del valor absoluto
Propiedades del Valor absoluto
Proposición 3
Sean a, b ∈ R, se cumple que:
1 |a| − |b| ≤ |a − b|
2 |a − b| = |b − a|
Las siguientes propiedades son válidas, únicamente si b > 0:
Proposición 4
Sean a, b ∈ R∧b > 0, se cumple que:
1 |a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b
1 |a| ≥ b ⇔ a ≥ b o a ≤ −b
También son válidas con los signos < y > respectivamente.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 22 / 38
Valor Absoluto Propiedades del valor absoluto
Propiedades del Valor absoluto
Proposición 3
Sean a, b ∈ R, se cumple que:
1 |a| − |b| ≤ |a − b|
2 |a − b| = |b − a|
Las siguientes propiedades son válidas, únicamente si b > 0:
Proposición 4
Sean a, b ∈ R∧b > 0, se cumple que:
1 |a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b
1 |a| ≥ b ⇔ a ≥ b o a ≤ −b
También son válidas con los signos < y > respectivamente.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 22 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Índice
1 Propiedades de los Números Reales R
Radicación
Exponentes Racionales
Racionalización de denominadores
2 Valor Absoluto
Definición de valor absoluto
Propiedades del valor absoluto
3 Ecuaciones e Inecuaciones
Ecuaciones en una variable
Ecuaciones con valor absoluto
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 23 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuacionesen una variable
Ecuaciones en una variable
Definición
Se llama ecuación en una variable a toda igualdad entre dos expresiones
algebraicas en donde aparece una única variable. Es decir que las dos
expresiones est·n separadas por el signo = y cada una de ellas recibe el
nombre de miembros (1er y 2do miembro).
Ejemplo
Son ecuaciones:
(x − 5)(2x2 + 3x − 6) = x − 3
2
2x − 3 = x − 1
|3x − 5| = 23
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 24 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Dominio de una ecuación
Definición
Dada una ecuación (en una variable), se llama Dominio al conjunto de
valores numéricos que puede asumir la variable.
Es decir que para determinar el dominio de una ecuación, se debe tener en
cuenta las restricciones que tendrá la variable.
Ejemplo
Para la ecuación 2x + 3 = 5 ; su dominio es Dom = R
El Dominio en esta ecuación es el conjunto de todos los reales, ya que las
operaciones presentes (producto y suma) están definidas para todo número
real, por lo que x puede ser cualquier valor real.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 25 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Dominio de una ecuación
Definición
Dada una ecuación (en una variable), se llama Dominio al conjunto de
valores numéricos que puede asumir la variable.
Es decir que para determinar el dominio de una ecuación, se debe tener en
cuenta las restricciones que tendrá la variable.
Ejemplo
Para la ecuación 2x + 3 = 5 ; su dominio es Dom = R
El Dominio en esta ecuación es el conjunto de todos los reales, ya que las
operaciones presentes (producto y suma) están definidas para todo número
real, por lo que x puede ser cualquier valor real.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 25 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Dominio de una ecuación
Definición
Dada una ecuación (en una variable), se llama Dominio al conjunto de
valores numéricos que puede asumir la variable.
Es decir que para determinar el dominio de una ecuación, se debe tener en
cuenta las restricciones que tendrá la variable.
Ejemplo
Para la ecuación 2x + 3 = 5 ; su dominio es Dom = R
El Dominio en esta ecuación es el conjunto de todos los reales, ya que las
operaciones presentes (producto y suma) están definidas para todo número
real, por lo que x puede ser cualquier valor real.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 25 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Dominio de una ecuación
Definición
Dada una ecuación (en una variable), se llama Dominio al conjunto de
valores numéricos que puede asumir la variable.
Es decir que para determinar el dominio de una ecuación, se debe tener en
cuenta las restricciones que tendrá la variable.
Ejemplo
Para la ecuación 2x + 3 = 5 ; su dominio es Dom = R
El Dominio en esta ecuación es el conjunto de todos los reales, ya que las
operaciones presentes (producto y suma) están definidas para todo número
real, por lo que x puede ser cualquier valor real.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 25 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Dominio de una ecuación
Definición
Dada una ecuación (en una variable), se llama Dominio al conjunto de
valores numéricos que puede asumir la variable.
Es decir que para determinar el dominio de una ecuación, se debe tener en
cuenta las restricciones que tendrá la variable.
Ejemplo
Para la ecuación 2x + 3 = 5 ; su dominio es Dom = R
El Dominio en esta ecuación es el conjunto de todos los reales, ya que las
operaciones presentes (producto y suma) están definidas para todo número
real, por lo que x puede ser cualquier valor real.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 25 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Para 2x − 1 = 4 ; su dominio es Dom = R− {1}
Pues en este caso, el denominador no puede ser cero ya que la división por
cero no está definida, por lo que la variable x no puede tomar el valor 1.
Ejemplo
Para
√
x − 1 = 2 ; su dominio es Dom = [1,∞).
En este caso, la raíz cuadrada de un valor negativo no está definida por.lo
que la variable x no puede tomar un valor real menor que 1.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 26 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Para 2x − 1 = 4 ; su dominio es Dom = R− {1}
Pues en este caso, el denominador no puede ser cero ya que la división por
cero no está definida, por lo que la variable x no puede tomar el valor 1.
Ejemplo
Para
√
x − 1 = 2 ; su dominio es Dom = [1,∞).
En este caso, la raíz cuadrada de un valor negativo no está definida por.lo
que la variable x no puede tomar un valor real menor que 1.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 26 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Para 2x − 1 = 4 ; su dominio es Dom = R− {1}
Pues en este caso, el denominador no puede ser cero ya que la división por
cero no está definida, por lo que la variable x no puede tomar el valor 1.
Ejemplo
Para
√
x − 1 = 2 ; su dominio es Dom = [1,∞).
En este caso, la raíz cuadrada de un valor negativo no está definida por.lo
que la variable x no puede tomar un valor real menor que 1.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 26 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Para 2x − 1 = 4 ; su dominio es Dom = R− {1}
Pues en este caso, el denominador no puede ser cero ya que la división por
cero no está definida, por lo que la variable x no puede tomar el valor 1.
Ejemplo
Para
√
x − 1 = 2 ; su dominio es Dom = [1,∞).
En este caso, la raíz cuadrada de un valor negativo no está definida por.lo
que la variable x no puede tomar un valor real menor que 1.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 26 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Para 2x − 1 = 4 ; su dominio es Dom = R− {1}
Pues en este caso, el denominador no puede ser cero ya que la división por
cero no está definida, por lo que la variable x no puede tomar el valor 1.
Ejemplo
Para
√
x − 1 = 2 ; su dominio es Dom = [1,∞).
En este caso, la raíz cuadrada de un valor negativo no está definida por.lo
que la variable x no puede tomar un valor real menor que 1.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 26 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Para 2x − 1 = 4 ; su dominio es Dom = R− {1}
Pues en este caso, el denominador no puede ser cero ya que la división por
cero no está definida, por lo que la variable x no puede tomar el valor 1.
Ejemplo
Para
√
x − 1 = 2 ; su dominio es Dom = [1,∞).
En este caso, la raíz cuadrada de un valor negativo no está definida por.lo
que la variable x no puede tomar un valor real menor que 1.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 26 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Solución y Conjunto Solución
Definición
Se llama solución de una ecuación a todo valor numérico que verifica la igualdad.
Se llama Conjunto Solución de una ecuación al conjunto formado por todas las
soluciones de la ecuación, es decir todos los valores que verifican la igualdad, teniendo
en cuenta las restricciones del dominio.
Ejemplo
2 es raíz o solución de la ecuación x2 + 6 = 5x porque para x = 2 se tiene que:
22 + 6 = 5 · 2
4 + 6 = 10
Por otro lado, también 3 es solución.
Podremos ver más adelante que solo estos dós valores satisfacen la ecuación
x2 + 6 = 5x , por lo que el conjunto solución es:
CS = {2, 3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 27 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Solución y Conjunto Solución
Definición
Se llama solución de una ecuación a todo valor numérico que verifica la igualdad.
Se llama Conjunto Solución de una ecuación al conjunto formado por todas las
soluciones de la ecuación, es decir todos los valores que verifican la igualdad, teniendo
en cuenta las restricciones del dominio.
Ejemplo
2 es raíz o solución de la ecuación x2 + 6 = 5x porque para x = 2 se tiene que:
22 + 6 = 5 · 2
4 + 6 = 10
Por otro lado, también 3 es solución.
Podremos ver más adelante que solo estos dós valores satisfacen la ecuación
x2 + 6 = 5x , por lo que el conjunto solución es:
CS = {2, 3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 27 / 38Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Solución y Conjunto Solución
Definición
Se llama solución de una ecuación a todo valor numérico que verifica la igualdad.
Se llama Conjunto Solución de una ecuación al conjunto formado por todas las
soluciones de la ecuación, es decir todos los valores que verifican la igualdad, teniendo
en cuenta las restricciones del dominio.
Ejemplo
2 es raíz o solución de la ecuación x2 + 6 = 5x porque para x = 2 se tiene que:
22 + 6 = 5 · 2
4 + 6 = 10
Por otro lado, también 3 es solución.
Podremos ver más adelante que solo estos dós valores satisfacen la ecuación
x2 + 6 = 5x , por lo que el conjunto solución es:
CS = {2, 3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 27 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Solución y Conjunto Solución
Definición
Se llama solución de una ecuación a todo valor numérico que verifica la igualdad.
Se llama Conjunto Solución de una ecuación al conjunto formado por todas las
soluciones de la ecuación, es decir todos los valores que verifican la igualdad, teniendo
en cuenta las restricciones del dominio.
Ejemplo
2 es raíz o solución de la ecuación x2 + 6 = 5x porque para x = 2 se tiene que:
22 + 6 = 5 · 2
4 + 6 = 10
Por otro lado, también 3 es solución.
Podremos ver más adelante que solo estos dós valores satisfacen la ecuación
x2 + 6 = 5x , por lo que el conjunto solución es:
CS = {2, 3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 27 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Solución y Conjunto Solución
Definición
Se llama solución de una ecuación a todo valor numérico que verifica la igualdad.
Se llama Conjunto Solución de una ecuación al conjunto formado por todas las
soluciones de la ecuación, es decir todos los valores que verifican la igualdad, teniendo
en cuenta las restricciones del dominio.
Ejemplo
2 es raíz o solución de la ecuación x2 + 6 = 5x porque para x = 2 se tiene que:
22 + 6 = 5 · 2
4 + 6 = 10
Por otro lado, también 3 es solución.
Podremos ver más adelante que solo estos dós valores satisfacen la ecuación
x2 + 6 = 5x , por lo que el conjunto solución es:
CS = {2, 3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 27 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Solución y Conjunto Solución
Definición
Se llama solución de una ecuación a todo valor numérico que verifica la igualdad.
Se llama Conjunto Solución de una ecuación al conjunto formado por todas las
soluciones de la ecuación, es decir todos los valores que verifican la igualdad, teniendo
en cuenta las restricciones del dominio.
Ejemplo
2 es raíz o solución de la ecuación x2 + 6 = 5x porque para x = 2 se tiene que:
22 + 6 = 5 · 2
4 + 6 = 10
Por otro lado, también 3 es solución.
Podremos ver más adelante que solo estos dós valores satisfacen la ecuación
x2 + 6 = 5x , por lo que el conjunto solución es:
CS = {2, 3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 27 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Solución y Conjunto Solución
Definición
Se llama solución de una ecuación a todo valor numérico que verifica la igualdad.
Se llama Conjunto Solución de una ecuación al conjunto formado por todas las
soluciones de la ecuación, es decir todos los valores que verifican la igualdad, teniendo
en cuenta las restricciones del dominio.
Ejemplo
2 es raíz o solución de la ecuación x2 + 6 = 5x porque para x = 2 se tiene que:
22 + 6 = 5 · 2
4 + 6 = 10
Por otro lado, también 3 es solución.
Podremos ver más adelante que solo estos dós valores satisfacen la ecuación
x2 + 6 = 5x , por lo que el conjunto solución es:
CS = {2, 3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 27 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Solución y Conjunto Solución
Definición
Se llama solución de una ecuación a todo valor numérico que verifica la igualdad.
Se llama Conjunto Solución de una ecuación al conjunto formado por todas las
soluciones de la ecuación, es decir todos los valores que verifican la igualdad, teniendo
en cuenta las restricciones del dominio.
Ejemplo
2 es raíz o solución de la ecuación x2 + 6 = 5x porque para x = 2 se tiene que:
22 + 6 = 5 · 2
4 + 6 = 10
Por otro lado, también 3 es solución.
Podremos ver más adelante que solo estos dós valores satisfacen la ecuación
x2 + 6 = 5x , por lo que el conjunto solución es:
CS = {2, 3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 27 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Solución y Conjunto Solución
Definición
Se llama solución de una ecuación a todo valor numérico que verifica la igualdad.
Se llama Conjunto Solución de una ecuación al conjunto formado por todas las
soluciones de la ecuación, es decir todos los valores que verifican la igualdad, teniendo
en cuenta las restricciones del dominio.
Ejemplo
2 es raíz o solución de la ecuación x2 + 6 = 5x porque para x = 2 se tiene que:
22 + 6 = 5 · 2
4 + 6 = 10
Por otro lado, también 3 es solución.
Podremos ver más adelante que solo estos dós valores satisfacen la ecuación
x2 + 6 = 5x , por lo que el conjunto solución es:
CS = {2, 3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 27 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ecuaciones Equivalentes
Definición
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto
solución.
Ejemplo
Las ecuaciones;
2x + 1 = 0 , 2x = −1 y x = −12
son ecuaciones equivalentes.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 28 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ecuaciones Equivalentes
Definición
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto
solución.
Ejemplo
Las ecuaciones;
2x + 1 = 0 , 2x = −1 y x = −12
son ecuaciones equivalentes.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 28 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ecuaciones Equivalentes
Definición
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto
solución.
Ejemplo
Las ecuaciones;
2x + 1 = 0 , 2x = −1 y x = −12
son ecuaciones equivalentes.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 28 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ecuaciones Equivalentes
Definición
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto
solución.
Ejemplo
Las ecuaciones;
2x + 1 = 0 , 2x = −1 y x = −12
son ecuaciones equivalentes.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 28 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ecuaciones Equivalentes
Definición
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto
solución.
Ejemplo
Las ecuaciones;
2x + 1 = 0 , 2x = −1 y x = −12
son ecuaciones equivalentes.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 28 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ecuaciones Equivalentes
Definición
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto
solución.
Ejemplo
Las ecuaciones;
2x + 1 = 0 , 2x = −1 y x = −12
son ecuaciones equivalentes.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 28 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ecuaciones equivalentes
Operaciones que producen ecuaciones equivalentes
Sumar o restar en cada miembro o lado de una ecuación la misma
expresión que represente un número real.
Multiplicar o dividir cada miembro o lado de una ecuación por la
misma expresión que represente un número real diferente de cero.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 29 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ecuaciones equivalentes
Operaciones que producen ecuaciones equivalentes
Sumar o restar en cada miembro o lado de una ecuación la misma
expresión que represente un número real.
Multiplicar o dividir cada miembro o lado de una ecuación por la
misma expresión que represente un número real diferente de cero.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 29 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ecuaciones equivalentes
Operaciones que producen ecuaciones equivalentes
Sumar o restar en cada miembro o lado de una ecuación la misma
expresión que represente un número real.
Multiplicar o dividir cada miembro o lado de una ecuación por la
misma expresión que represente un número real diferente de cero.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3Año 2023 29 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Las ecuaciones;
2x2 + 3x + 4 = x2 + 8x − 2
y
x2 − 5x + 6 = 0
Son equivalentes, pues de la primera ecuación al aplicar las propiedades
y/o axiomas de los números reales se deduce la segunda y por tanto
tendrá el mismo conjunto solución.
2x2 + 3x + 4 = x2 + 8x − 2
2x2 − x2 + 3x − 8x + 4 + 2 = 0 restamos en ambos lados x2 + 8x − 2
x2 − 5x + 6 = 0 operando algebraicamente
Generalmente, resolvemos una ecuación encontrando una ecuación
equivalente que tenga soluciones que se determinen fácilmente.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 30 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Las ecuaciones;
2x2 + 3x + 4 = x2 + 8x − 2
y
x2 − 5x + 6 = 0
Son equivalentes, pues de la primera ecuación al aplicar las propiedades
y/o axiomas de los números reales se deduce la segunda y por tanto
tendrá el mismo conjunto solución.
2x2 + 3x + 4 = x2 + 8x − 2
2x2 − x2 + 3x − 8x + 4 + 2 = 0 restamos en ambos lados x2 + 8x − 2
x2 − 5x + 6 = 0 operando algebraicamente
Generalmente, resolvemos una ecuación encontrando una ecuación
equivalente que tenga soluciones que se determinen fácilmente.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 30 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Las ecuaciones;
2x2 + 3x + 4 = x2 + 8x − 2
y
x2 − 5x + 6 = 0
Son equivalentes, pues de la primera ecuación al aplicar las propiedades
y/o axiomas de los números reales se deduce la segunda y por tanto
tendrá el mismo conjunto solución.
2x2 + 3x + 4 = x2 + 8x − 2
2x2 − x2 + 3x − 8x + 4 + 2 = 0 restamos en ambos lados x2 + 8x − 2
x2 − 5x + 6 = 0 operando algebraicamente
Generalmente, resolvemos una ecuación encontrando una ecuación
equivalente que tenga soluciones que se determinen fácilmente.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 30 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Las ecuaciones;
2x2 + 3x + 4 = x2 + 8x − 2
y
x2 − 5x + 6 = 0
Son equivalentes, pues de la primera ecuación al aplicar las propiedades
y/o axiomas de los números reales se deduce la segunda y por tanto
tendrá el mismo conjunto solución.
2x2 + 3x + 4 = x2 + 8x − 2
2x2 − x2 + 3x − 8x + 4 + 2 = 0 restamos en ambos lados x2 + 8x − 2
x2 − 5x + 6 = 0 operando algebraicamente
Generalmente, resolvemos una ecuación encontrando una ecuación
equivalente que tenga soluciones que se determinen fácilmente.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 30 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Las ecuaciones;
2x2 + 3x + 4 = x2 + 8x − 2
y
x2 − 5x + 6 = 0
Son equivalentes, pues de la primera ecuación al aplicar las propiedades
y/o axiomas de los números reales se deduce la segunda y por tanto
tendrá el mismo conjunto solución.
2x2 + 3x + 4 = x2 + 8x − 2
2x2 − x2 + 3x − 8x + 4 + 2 = 0 restamos en ambos lados x2 + 8x − 2
x2 − 5x + 6 = 0 operando algebraicamente
Generalmente, resolvemos una ecuación encontrando una ecuación
equivalente que tenga soluciones que se determinen fácilmente.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 30 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Las ecuaciones;
2x2 + 3x + 4 = x2 + 8x − 2
y
x2 − 5x + 6 = 0
Son equivalentes, pues de la primera ecuación al aplicar las propiedades
y/o axiomas de los números reales se deduce la segunda y por tanto
tendrá el mismo conjunto solución.
2x2 + 3x + 4 = x2 + 8x − 2
2x2 − x2 + 3x − 8x + 4 + 2 = 0 restamos en ambos lados x2 + 8x − 2
x2 − 5x + 6 = 0 operando algebraicamente
Generalmente, resolvemos una ecuación encontrando una ecuación
equivalente que tenga soluciones que se determinen fácilmente.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 30 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Las ecuaciones;
2x2 + 3x + 4 = x2 + 8x − 2
y
x2 − 5x + 6 = 0
Son equivalentes, pues de la primera ecuación al aplicar las propiedades
y/o axiomas de los números reales se deduce la segunda y por tanto
tendrá el mismo conjunto solución.
2x2 + 3x + 4 = x2 + 8x − 2
2x2 − x2 + 3x − 8x + 4 + 2 = 0 restamos en ambos lados x2 + 8x − 2
x2 − 5x + 6 = 0 operando algebraicamente
Generalmente, resolvemos una ecuación encontrando una ecuación
equivalente que tenga soluciones que se determinen fácilmente.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 30 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Encontrar la solución de la siguiente ecuación lineal: 3x − 5 = 7.
Partimos de la ecuación dada
3x − 5 = 7 (1)
Sumamos 5 a ambos miembros de la ecuación, por ley uniforme de la suma:
3x − 5 + 5 = 7 + 5 (2)
Operamos
3x = 12 (3)
Multiplicando a ambos miembros por el reciproco de 3,
(
3−1 = 13
)
,(1
3
)
3x = 12
(1
3
)
por propiedad uniforme del producto
x = 4 (4)
Las ecuaciones (2), (3) y (4) son equivalentes a la dada (1) y en la última expresión (4),
x = 4 es evidente. Por lo tanto el conjunto Solución CS = {4}.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 31 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Encontrar la solución de la siguiente ecuación lineal: 3x − 5 = 7.
Partimos de la ecuación dada
3x − 5 = 7 (1)
Sumamos 5 a ambos miembros de la ecuación, por ley uniforme de la suma:
3x − 5 + 5 = 7 + 5 (2)
Operamos
3x = 12 (3)
Multiplicando a ambos miembros por el reciproco de 3,
(
3−1 = 13
)
,(1
3
)
3x = 12
(1
3
)
por propiedad uniforme del producto
x = 4 (4)
Las ecuaciones (2), (3) y (4) son equivalentes a la dada (1) y en la última expresión (4),
x = 4 es evidente. Por lo tanto el conjunto Solución CS = {4}.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 31 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Encontrar la solución de la siguiente ecuación lineal: 3x − 5 = 7.
Partimos de la ecuación dada
3x − 5 = 7 (1)
Sumamos 5 a ambos miembros de la ecuación, por ley uniforme de la suma:
3x − 5 + 5 = 7 + 5 (2)
Operamos
3x = 12 (3)
Multiplicando a ambos miembros por el reciproco de 3,
(
3−1 = 13
)
,(1
3
)
3x = 12
(1
3
)
por propiedad uniforme del producto
x = 4 (4)
Las ecuaciones (2), (3) y (4) son equivalentes a la dada (1) y en la última expresión (4),
x = 4 es evidente. Por lo tanto el conjunto Solución CS = {4}.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 31 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Encontrar la solución de la siguiente ecuación lineal: 3x − 5 = 7.
Partimos de la ecuación dada
3x − 5 = 7 (1)
Sumamos 5 a ambos miembros de la ecuación, por ley uniforme de la suma:
3x − 5 + 5 = 7 + 5 (2)
Operamos
3x = 12 (3)
Multiplicando a ambos miembros por el reciproco de 3,
(
3−1 = 13
)
,(1
3
)
3x = 12
(1
3
)
por propiedad uniforme del producto
x = 4 (4)
Las ecuaciones (2), (3) y (4) son equivalentes a la dada (1) y en la última expresión (4),
x = 4 es evidente. Por lo tanto el conjunto Solución CS = {4}.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 31 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Encontrar la solución de la siguiente ecuación lineal: 3x − 5 = 7.
Partimos de la ecuación dada
3x − 5 = 7 (1)
Sumamos 5 a ambos miembros de la ecuación, por ley uniforme de la suma:
3x − 5 + 5 = 7 + 5 (2)
Operamos
3x = 12 (3)
Multiplicando a ambos miembros por el reciproco de 3,
(
3−1 = 13
)
,(1
3
)
3x = 12
(1
3
)
por propiedad uniforme del producto
x = 4 (4)
Las ecuaciones (2), (3) y (4) son equivalentes a la dada (1) y en la última expresión (4),
x = 4 es evidente. Por lo tanto el conjunto Solución CS = {4}.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 31 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Encontrar la solución de la siguiente ecuación lineal: 3x − 5 = 7.
Partimos de la ecuación dada
3x − 5 = 7 (1)
Sumamos 5 a ambos miembros de la ecuación, por ley uniforme de la suma:
3x − 5 + 5 = 7 + 5 (2)
Operamos
3x = 12 (3)
Multiplicando a ambos miembros por el reciproco de 3,
(
3−1 = 13
)
,(1
3
)
3x = 12
(1
3
)
por propiedad uniforme del producto
x = 4 (4)
Las ecuaciones (2), (3) y (4) son equivalentes a la dada (1) y en la última expresión (4),
x = 4 es evidente. Por lo tanto el conjunto Solución CS= {4}.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 31 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Encontrar la solución de la siguiente ecuación lineal: 3x − 5 = 7.
Partimos de la ecuación dada
3x − 5 = 7 (1)
Sumamos 5 a ambos miembros de la ecuación, por ley uniforme de la suma:
3x − 5 + 5 = 7 + 5 (2)
Operamos
3x = 12 (3)
Multiplicando a ambos miembros por el reciproco de 3,
(
3−1 = 13
)
,(1
3
)
3x = 12
(1
3
)
por propiedad uniforme del producto
x = 4 (4)
Las ecuaciones (2), (3) y (4) son equivalentes a la dada (1) y en la última expresión (4),
x = 4 es evidente. Por lo tanto el conjunto Solución CS = {4}.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 31 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Encontrar la solución de la siguiente ecuación lineal: 3x − 5 = 7.
Partimos de la ecuación dada
3x − 5 = 7 (1)
Sumamos 5 a ambos miembros de la ecuación, por ley uniforme de la suma:
3x − 5 + 5 = 7 + 5 (2)
Operamos
3x = 12 (3)
Multiplicando a ambos miembros por el reciproco de 3,
(
3−1 = 13
)
,(1
3
)
3x = 12
(1
3
)
por propiedad uniforme del producto
x = 4 (4)
Las ecuaciones (2), (3) y (4) son equivalentes a la dada (1) y en la última expresión (4),
x = 4 es evidente. Por lo tanto el conjunto Solución CS = {4}.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Encontrar la solución de la siguiente ecuación lineal: 3x − 5 = 7.
Partimos de la ecuación dada
3x − 5 = 7 (1)
Sumamos 5 a ambos miembros de la ecuación, por ley uniforme de la suma:
3x − 5 + 5 = 7 + 5 (2)
Operamos
3x = 12 (3)
Multiplicando a ambos miembros por el reciproco de 3,
(
3−1 = 13
)
,(1
3
)
3x = 12
(1
3
)
por propiedad uniforme del producto
x = 4 (4)
Las ecuaciones (2), (3) y (4) son equivalentes a la dada (1) y en la última expresión (4),
x = 4 es evidente. Por lo tanto el conjunto Solución CS = {4}.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Encontrar la solución de la siguiente ecuación lineal: 3x − 5 = 7.
Partimos de la ecuación dada
3x − 5 = 7 (1)
Sumamos 5 a ambos miembros de la ecuación, por ley uniforme de la suma:
3x − 5 + 5 = 7 + 5 (2)
Operamos
3x = 12 (3)
Multiplicando a ambos miembros por el reciproco de 3,
(
3−1 = 13
)
,(1
3
)
3x = 12
(1
3
)
por propiedad uniforme del producto
x = 4 (4)
Las ecuaciones (2), (3) y (4) son equivalentes a la dada (1) y en la última expresión (4),
x = 4 es evidente. Por lo tanto el conjunto Solución CS = {4}.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Encontrar la solución de la siguiente ecuación lineal: 3x − 5 = 7.
Partimos de la ecuación dada
3x − 5 = 7 (1)
Sumamos 5 a ambos miembros de la ecuación, por ley uniforme de la suma:
3x − 5 + 5 = 7 + 5 (2)
Operamos
3x = 12 (3)
Multiplicando a ambos miembros por el reciproco de 3,
(
3−1 = 13
)
,(1
3
)
3x = 12
(1
3
)
por propiedad uniforme del producto
x = 4 (4)
Las ecuaciones (2), (3) y (4) son equivalentes a la dada (1) y en la última expresión (4),
x = 4 es evidente. Por lo tanto el conjunto Solución CS = {4}.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Encontrar la solución de la siguiente ecuación lineal: 3x − 5 = 7.
Partimos de la ecuación dada
3x − 5 = 7 (1)
Sumamos 5 a ambos miembros de la ecuación, por ley uniforme de la suma:
3x − 5 + 5 = 7 + 5 (2)
Operamos
3x = 12 (3)
Multiplicando a ambos miembros por el reciproco de 3,
(
3−1 = 13
)
,(1
3
)
3x = 12
(1
3
)
por propiedad uniforme del producto
x = 4 (4)
Las ecuaciones (2), (3) y (4) son equivalentes a la dada (1) y en la última expresión (4),
x = 4 es evidente. Por lo tanto el conjunto Solución CS = {4}.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones en una variable
Ejemplo
Encontrar la solución de la siguiente ecuación lineal: 3x − 5 = 7.
Partimos de la ecuación dada
3x − 5 = 7 (1)
Sumamos 5 a ambos miembros de la ecuación, por ley uniforme de la suma:
3x − 5 + 5 = 7 + 5 (2)
Operamos
3x = 12 (3)
Multiplicando a ambos miembros por el reciproco de 3,
(
3−1 = 13
)
,(1
3
)
3x = 12
(1
3
)
por propiedad uniforme del producto
x = 4 (4)
Las ecuaciones (2), (3) y (4) son equivalentes a la dada (1) y en la última expresión (4),
x = 4 es evidente. Por lo tanto el conjunto Solución CS = {4}.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones con valor absoluto
Índice
1 Propiedades de los Números Reales R
Radicación
Exponentes Racionales
Racionalización de denominadores
2 Valor Absoluto
Definición de valor absoluto
Propiedades del valor absoluto
3 Ecuaciones e Inecuaciones
Ecuaciones en una variable
Ecuaciones con valor absoluto
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 32 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones con valor absoluto
Ecuaciones con Valor absoluto
Definición
El valor absoluto de un número real x se define como:
|x | =
{
x si x ≥ 0
− x si x < 0
(1)
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 33 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones con valor absoluto
Ecuaciones con Valor absoluto
Definición
El valor absoluto de un número real x se define como:
|x | =
{
x si x ≥ 0
− x si x < 0
(1)
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 33 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones con valor absoluto
Ecuaciones con Valor absoluto
Definición
El valor absoluto de un número real x se define como:
|x | =
{
x si x ≥ 0
− x si x < 0
(1)
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 33 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones con valor absoluto
Ecuaciones con Valor absoluto
Definición
El valor absoluto de un número real x se define como:
|x | =
{
x si x ≥ 0
− x si x < 0
(1)
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 33 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones con valor absoluto
Ecuaciones con Valor absoluto
Definición
El valor absoluto de un número real x se define como:
|x | =
{
x si x ≥ 0
− x si x < 0
(1)
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 33 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones con valor absoluto
Ecuaciones con Valor absoluto
Definición
El valor absoluto de un número real x se define como:
|x | =
{
x si x ≥ 0
− x si x < 0
(1)
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 33 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones con valor absoluto
Ecuaciones con Valor absoluto
Definición
El valor absoluto de un número real x se define como:
|x | =
{
x si x ≥ 0
− x si x < 0
(1)
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 33 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones con valor absoluto
Ecuaciones con Valor absoluto
Ecuaciones con valor absoluto
Las ecuaciones con valor absoluto son aquellas donde aparece el valor
absoluto de la variable.
En (1) nos damos cuenta de inmediato de que |6| = 6, pues 6 ≥ 0 y
|−6| = −(−6) = 6, porque −6 < 0.
Este ejemplo sencillo indica que la ecuación |x | = 6 tiene dos soluciones:
x = 6 y x = −6.
El siguiente teorema resume cómo resolver una ecuación de valor absoluto.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 34 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones con valor absoluto
Ecuaciones con Valor absoluto
Ecuaciones con valor absoluto
Las ecuaciones con valor absoluto son aquellas donde aparece el valor
absoluto de la variable.
En (1) nos damos cuenta de inmediato de que |6| = 6, pues 6 ≥ 0 y
|−6| = −(−6) = 6, porque −6 < 0.
Este ejemplo sencillo indica que la ecuación |x | = 6 tiene dos soluciones:
x = 6 y x = −6.
El siguiente teorema resume cómo resolver una ecuación de valor absoluto.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 34 / 38
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones con valor absoluto
Ecuaciones con Valor absoluto
Ecuaciones con valor absoluto
Las ecuaciones con valor absoluto son aquellas donde aparece el valor
absoluto de la variable.
En (1) nos damos cuenta de inmediato de que |6| = 6, pues 6 ≥ 0 y
|−6| = −(−6) = 6, porque −6 < 0.
Este ejemplo sencillo indica que la ecuación |x | = 6 tiene dos soluciones:
x = 6 y x = −6.
El siguiente teorema resume cómo resolver una ecuación de valor