Clase_3-Sist_Num2023 - Cristian Nolasco (1)

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Matemática para Informática
LAS-TUP
Prof. Clara Pamela Perez1
1Facultad de Ciencias Exactas
Universidad Nacional de Salta
Clase N°3
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 1 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Operaciones Suma y Producto en R
Existen dos operaciones binarias definidas sobre el conjunto de números
reales, llamadas suma y producto (o multiplicación), tales que si a y b son
dos números reales cualesquiera, la suma de a y b, denotada a + b y el
producto de a y b, denotado a · b o ab también son números reales, es
decir, dichas operaciones son cerradas en los reales:
∀a, b ∈ R, a + b ∈ R y a · b ∈ R
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 2 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Operaciones Suma y Producto en R
Existen dos operaciones binarias definidas sobre el conjunto de números
reales, llamadas suma y producto (o multiplicación), tales que si a y b son
dos números reales cualesquiera, la suma de a y b, denotada a + b y el
producto de a y b, denotado a · b o ab también son números reales, es
decir, dichas operaciones son cerradas en los reales:
∀a, b ∈ R, a + b ∈ R y a · b ∈ R
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 2 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Operaciones Suma y Producto en R
Existen dos operaciones binarias definidas sobre el conjunto de números
reales, llamadas suma y producto (o multiplicación), tales que si a y b son
dos números reales cualesquiera, la suma de a y b, denotada a + b y el
producto de a y b, denotado a · b o ab también son números reales, es
decir, dichas operaciones son cerradas en los reales:
∀a, b ∈ R, a + b ∈ R y a · b ∈ R
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 2 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Operaciones Suma y Producto en R
Existen dos operaciones binarias definidas sobre el conjunto de números
reales, llamadas suma y producto (o multiplicación), tales que si a y b son
dos números reales cualesquiera, la suma de a y b, denotada a + b y el
producto de a y b, denotado a · b o ab también son números reales, es
decir, dichas operaciones son cerradas en los reales:
∀a, b ∈ R, a + b ∈ R y a · b ∈ R
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 2 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Operaciones Suma y Producto en R
Existen dos operaciones binarias definidas sobre el conjunto de números
reales, llamadas suma y producto (o multiplicación), tales que si a y b son
dos números reales cualesquiera, la suma de a y b, denotada a + b y el
producto de a y b, denotado a · b o ab también son números reales, es
decir, dichas operaciones son cerradas en los reales:
∀a, b ∈ R, a + b ∈ R y a · b ∈ R
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 2 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Operaciones Suma y Producto en R
Existen dos operaciones binarias definidas sobre el conjunto de números
reales, llamadas suma y producto (o multiplicación), tales que si a y b son
dos números reales cualesquiera, la suma de a y b, denotada a + b y el
producto de a y b, denotado a · b o ab también son números reales, es
decir, dichas operaciones son cerradas en los reales:
∀a, b ∈ R, a + b ∈ R y a · b ∈ R
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 2 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Operaciones Suma y Producto en R
Existen dos operaciones binarias definidas sobre el conjunto de números
reales, llamadas suma y producto (o multiplicación), tales que si a y b son
dos números reales cualesquiera, la suma de a y b, denotada a + b y el
producto de a y b, denotado a · b o ab también son números reales, es
decir, dichas operaciones son cerradas en los reales:
∀a, b ∈ R, a + b ∈ R y a · b ∈ R
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 2 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Operaciones Suma y Producto en R
Existen dos operaciones binarias definidas sobre el conjunto de números
reales, llamadas suma y producto (o multiplicación), tales que si a y b son
dos números reales cualesquiera, la suma de a y b, denotada a + b y el
producto de a y b, denotado a · b o ab también son números reales, es
decir, dichas operaciones son cerradas en los reales:
∀a, b ∈ R, a + b ∈ R y a · b ∈ R
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 2 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades de la suma
A1) Conmutativa: ∀a, b ∈ R, a + b = b + a
A2) Asociativa: ∀a, b, c ∈ R, a + (b + c) = (a + b) + c
A3) Existencia del neutro aditivo:
∃0 tal que ∀a ∈ R : a + 0 = 0 + a = a
A4) Existencia del inverso aditivo u opuesto:
∀a ∈ R,∃ − a ∈ R tal que : a + (−a) = (−a) + a = 0
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 3 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades de la suma
A1) Conmutativa: ∀a, b ∈ R, a + b = b + a
A2) Asociativa: ∀a, b, c ∈ R, a + (b + c) = (a + b) + c
A3) Existencia del neutro aditivo:
∃0 tal que ∀a ∈ R : a + 0 = 0 + a = a
A4) Existencia del inverso aditivo u opuesto:
∀a ∈ R,∃ − a ∈ R tal que : a + (−a) = (−a) + a = 0
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 3 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades de la suma
A1) Conmutativa: ∀a, b ∈ R, a + b = b + a
A2) Asociativa: ∀a, b, c ∈ R, a + (b + c) = (a + b) + c
A3) Existencia del neutro aditivo:
∃0 tal que ∀a ∈ R : a + 0 = 0 + a = a
A4) Existencia del inverso aditivo u opuesto:
∀a ∈ R,∃ − a ∈ R tal que : a + (−a) = (−a) + a = 0
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 3 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades de la suma
A1) Conmutativa: ∀a, b ∈ R, a + b = b + a
A2) Asociativa: ∀a, b, c ∈ R, a + (b + c) = (a + b) + c
A3) Existencia del neutro aditivo:
∃0 tal que ∀a ∈ R : a + 0 = 0 + a = a
A4) Existencia del inverso aditivo u opuesto:
∀a ∈ R,∃ − a ∈ R tal que : a + (−a) = (−a) + a = 0
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 3 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades de la suma
A1) Conmutativa: ∀a, b ∈ R, a + b = b + a
A2) Asociativa: ∀a, b, c ∈ R, a + (b + c) = (a + b) + c
A3) Existencia del neutro aditivo:
∃0 tal que ∀a ∈ R : a + 0 = 0 + a = a
A4) Existencia del inverso aditivo u opuesto:
∀a ∈ R,∃ − a ∈ R tal que : a + (−a) = (−a) + a = 0
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 3 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades de la suma
A1) Conmutativa: ∀a, b ∈ R, a + b = b + a
A2) Asociativa: ∀a, b, c ∈ R, a + (b + c) = (a + b) + c
A3) Existencia del neutro aditivo:
∃0 tal que ∀a ∈ R : a + 0 = 0 + a = a
A4) Existencia del inverso aditivo u opuesto:
∀a ∈ R,∃ − a ∈ R tal que : a + (−a) = (−a) + a = 0
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 3 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades de la suma
A1) Conmutativa: ∀a, b ∈ R, a + b = b + a
A2) Asociativa: ∀a, b, c ∈ R, a + (b + c) = (a + b) + c
A3) Existencia del neutro aditivo:
∃0 tal que ∀a ∈ R : a + 0 = 0 + a = a
A4) Existencia del inverso aditivo u opuesto:
∀a ∈ R,∃ − a ∈ R tal que : a + (−a) = (−a) + a = 0
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 3 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades de la suma
A1) Conmutativa: ∀a, b ∈ R, a + b = b + a
A2) Asociativa: ∀a, b, c ∈ R, a + (b + c) = (a + b) + c
A3) Existencia del neutro aditivo:
∃0 tal que ∀a ∈ R : a + 0 = 0 + a = a
A4) Existencia del inverso aditivo u opuesto:
∀a ∈ R,∃ − a ∈ R tal que : a + (−a) = (−a) + a = 0
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 3 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades de la suma
A1) Conmutativa: ∀a, b ∈ R, a + b = b + a
A2) Asociativa: ∀a, b, c ∈ R, a + (b + c) = (a + b) + c
A3) Existencia del neutro aditivo:
∃0 tal que ∀a ∈ R : a + 0 = 0 + a = a
A4) Existencia del inverso aditivo u opuesto:
∀a ∈ R,∃ − a ∈ R tal que : a + (−a) = (−a) + a = 0
C.P.P(UNSa) Unidad N°2 Año 2023 3 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades de la suma
A1) Conmutativa: ∀a, b ∈ R, a + b = b + a
A2) Asociativa: ∀a, b, c ∈ R, a + (b + c) = (a + b) + c
A3) Existencia del neutro aditivo:
∃0 tal que ∀a ∈ R : a + 0 = 0 + a = a
A4) Existencia del inverso aditivo u opuesto:
∀a ∈ R,∃ − a ∈ R tal que : a + (−a) = (−a) + a = 0
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 3 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades del producto
A5) Conmutativa: ∀a, b ∈ R, a · b = b · a
A6) Asociativa: ∀a, b, c ∈ R, a · (b · c) = (a · b) · c
A7) Existencia del neutro multiplicativo:
∃1 tal que ∀a ∈ R, a · 1 = 1 · a = a
A8) Inverso multiplicativo o recíproco:
∀a ∈ R con a 6= 0, ∃a−1 ∈R tal que a · a−1 = a−1 · a = 1
A9) Propiedad distributiva:
∀a, b, c ∈ R, a · (b + c) = a · b + a · c
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 4 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades del producto
A5) Conmutativa: ∀a, b ∈ R, a · b = b · a
A6) Asociativa: ∀a, b, c ∈ R, a · (b · c) = (a · b) · c
A7) Existencia del neutro multiplicativo:
∃1 tal que ∀a ∈ R, a · 1 = 1 · a = a
A8) Inverso multiplicativo o recíproco:
∀a ∈ R con a 6= 0, ∃a−1 ∈R tal que a · a−1 = a−1 · a = 1
A9) Propiedad distributiva:
∀a, b, c ∈ R, a · (b + c) = a · b + a · c
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 4 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades del producto
A5) Conmutativa: ∀a, b ∈ R, a · b = b · a
A6) Asociativa: ∀a, b, c ∈ R, a · (b · c) = (a · b) · c
A7) Existencia del neutro multiplicativo:
∃1 tal que ∀a ∈ R, a · 1 = 1 · a = a
A8) Inverso multiplicativo o recíproco:
∀a ∈ R con a 6= 0, ∃a−1 ∈R tal que a · a−1 = a−1 · a = 1
A9) Propiedad distributiva:
∀a, b, c ∈ R, a · (b + c) = a · b + a · c
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 4 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades del producto
A5) Conmutativa: ∀a, b ∈ R, a · b = b · a
A6) Asociativa: ∀a, b, c ∈ R, a · (b · c) = (a · b) · c
A7) Existencia del neutro multiplicativo:
∃1 tal que ∀a ∈ R, a · 1 = 1 · a = a
A8) Inverso multiplicativo o recíproco:
∀a ∈ R con a 6= 0, ∃a−1 ∈R tal que a · a−1 = a−1 · a = 1
A9) Propiedad distributiva:
∀a, b, c ∈ R, a · (b + c) = a · b + a · c
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 4 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades del producto
A5) Conmutativa: ∀a, b ∈ R, a · b = b · a
A6) Asociativa: ∀a, b, c ∈ R, a · (b · c) = (a · b) · c
A7) Existencia del neutro multiplicativo:
∃1 tal que ∀a ∈ R, a · 1 = 1 · a = a
A8) Inverso multiplicativo o recíproco:
∀a ∈ R con a 6= 0, ∃a−1 ∈R tal que a · a−1 = a−1 · a = 1
A9) Propiedad distributiva:
∀a, b, c ∈ R, a · (b + c) = a · b + a · c
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 4 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades del producto
A5) Conmutativa: ∀a, b ∈ R, a · b = b · a
A6) Asociativa: ∀a, b, c ∈ R, a · (b · c) = (a · b) · c
A7) Existencia del neutro multiplicativo:
∃1 tal que ∀a ∈ R, a · 1 = 1 · a = a
A8) Inverso multiplicativo o recíproco:
∀a ∈ R con a 6= 0, ∃a−1 ∈R tal que a · a−1 = a−1 · a = 1
A9) Propiedad distributiva:
∀a, b, c ∈ R, a · (b + c) = a · b + a · c
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 4 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades del producto
A5) Conmutativa: ∀a, b ∈ R, a · b = b · a
A6) Asociativa: ∀a, b, c ∈ R, a · (b · c) = (a · b) · c
A7) Existencia del neutro multiplicativo:
∃1 tal que ∀a ∈ R, a · 1 = 1 · a = a
A8) Inverso multiplicativo o recíproco:
∀a ∈ R con a 6= 0, ∃a−1 ∈R tal que a · a−1 = a−1 · a = 1
A9) Propiedad distributiva:
∀a, b, c ∈ R, a · (b + c) = a · b + a · c
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 4 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades del producto
A5) Conmutativa: ∀a, b ∈ R, a · b = b · a
A6) Asociativa: ∀a, b, c ∈ R, a · (b · c) = (a · b) · c
A7) Existencia del neutro multiplicativo:
∃1 tal que ∀a ∈ R, a · 1 = 1 · a = a
A8) Inverso multiplicativo o recíproco:
∀a ∈ R con a 6= 0, ∃a−1 ∈R tal que a · a−1 = a−1 · a = 1
A9) Propiedad distributiva:
∀a, b, c ∈ R, a · (b + c) = a · b + a · c
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 4 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades del producto
A5) Conmutativa: ∀a, b ∈ R, a · b = b · a
A6) Asociativa: ∀a, b, c ∈ R, a · (b · c) = (a · b) · c
A7) Existencia del neutro multiplicativo:
∃1 tal que ∀a ∈ R, a · 1 = 1 · a = a
A8) Inverso multiplicativo o recíproco:
∀a ∈ R con a 6= 0, ∃a−1 ∈R tal que a · a−1 = a−1 · a = 1
A9) Propiedad distributiva:
∀a, b, c ∈ R, a · (b + c) = a · b + a · c
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 4 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades del producto
A5) Conmutativa: ∀a, b ∈ R, a · b = b · a
A6) Asociativa: ∀a, b, c ∈ R, a · (b · c) = (a · b) · c
A7) Existencia del neutro multiplicativo:
∃1 tal que ∀a ∈ R, a · 1 = 1 · a = a
A8) Inverso multiplicativo o recíproco:
∀a ∈ R con a 6= 0, ∃a−1 ∈R tal que a · a−1 = a−1 · a = 1
A9) Propiedad distributiva:
∀a, b, c ∈ R, a · (b + c) = a · b + a · c
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 4 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades del producto
A5) Conmutativa: ∀a, b ∈ R, a · b = b · a
A6) Asociativa: ∀a, b, c ∈ R, a · (b · c) = (a · b) · c
A7) Existencia del neutro multiplicativo:
∃1 tal que ∀a ∈ R, a · 1 = 1 · a = a
A8) Inverso multiplicativo o recíproco:
∀a ∈ R con a 6= 0, ∃a−1 ∈R tal que a · a−1 = a−1 · a = 1
A9) Propiedad distributiva:
∀a, b, c ∈ R, a · (b + c) = a · b + a · c
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 4 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Diferencia
Sabemos que el opuesto o inverso aditivo de un número real a es el
número −a, que cumple que
a + (−a) = 0
y que el número 0 se conoce como identidad aditiva del sistema de los
números reales.
Por lo tanto, dados dos reales a y b, se define la resta a menos b como la
suma del primero con el opuesto aditivo del segundo, es decir:
a − b = a + (−b)
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 5 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Diferencia
Sabemos que el opuesto o inverso aditivo de un número real a es el
número −a, que cumple que
a + (−a) = 0
y que el número 0 se conoce como identidad aditiva del sistema de los
números reales.
Por lo tanto, dados dos reales a y b, se define la resta a menos b como la
suma del primero con el opuesto aditivo del segundo, es decir:
a − b = a + (−b)
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 5 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Diferencia
Sabemos que el opuesto o inverso aditivo de un número real a es el
número −a, que cumple que
a + (−a) = 0
y que el número 0 se conoce como identidad aditiva del sistema de los
números reales.
Por lo tanto, dados dos reales a y b, se define la resta a menos b como la
suma del primero con el opuesto aditivo del segundo, es decir:
a − b = a + (−b)
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 5 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Diferencia
Sabemos que el opuesto o inverso aditivo de un número real a es el
número −a, que cumple que
a + (−a) = 0
y que el número 0 se conoce como identidad aditiva del sistema de los
números reales.
Por lo tanto, dados dos reales a y b, se define la resta a menos b como la
suma del primero con el opuesto aditivo del segundo, es decir:
a − b = a + (−b)
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 5 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Diferencia
Sabemos que el opuesto o inverso aditivo de un número real a es el
número −a, que cumple que
a + (−a) = 0
y que el número 0 se conoce como identidad aditiva del sistema de los
números reales.
Por lo tanto,dados dos reales a y b, se define la resta a menos b como la
suma del primero con el opuesto aditivo del segundo, es decir:
a − b = a + (−b)
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 5 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Diferencia
Sabemos que el opuesto o inverso aditivo de un número real a es el
número −a, que cumple que
a + (−a) = 0
y que el número 0 se conoce como identidad aditiva del sistema de los
números reales.
Por lo tanto, dados dos reales a y b, se define la resta a menos b como la
suma del primero con el opuesto aditivo del segundo, es decir:
a − b = a + (−b)
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 5 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Diferencia
Sabemos que el opuesto o inverso aditivo de un número real a es el
número −a, que cumple que
a + (−a) = 0
y que el número 0 se conoce como identidad aditiva del sistema de los
números reales.
Por lo tanto, dados dos reales a y b, se define la resta a menos b como la
suma del primero con el opuesto aditivo del segundo, es decir:
a − b = a + (−b)
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 5 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Cociente:
Sabemos que el recíproco o inverso multiplicativo de un número real no
nulo a se define como el número a−1 o 1a , que cumple que:
a · a−1 = a · 1a = 1
y además que el número 1 se conoce como identidad multiplicativa del
sistema de los números reales.
Por lo tanto, dados dos números reales a y b, con b 6= 0, el cociente ab es
el producto de a por el recíproco de b, es decir:
a
b = a · b
−1 = a · 1b
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 6 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Cociente:
Sabemos que el recíproco o inverso multiplicativo de un número real no
nulo a se define como el número a−1 o 1a , que cumple que:
a · a−1 = a · 1a = 1
y además que el número 1 se conoce como identidad multiplicativa del
sistema de los números reales.
Por lo tanto, dados dos números reales a y b, con b 6= 0, el cociente ab es
el producto de a por el recíproco de b, es decir:
a
b = a · b
−1 = a · 1b
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 6 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Cociente:
Sabemos que el recíproco o inverso multiplicativo de un número real no
nulo a se define como el número a−1 o 1a , que cumple que:
a · a−1 = a · 1a = 1
y además que el número 1 se conoce como identidad multiplicativa del
sistema de los números reales.
Por lo tanto, dados dos números reales a y b, con b 6= 0, el cociente ab es
el producto de a por el recíproco de b, es decir:
a
b = a · b
−1 = a · 1b
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 6 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Cociente:
Sabemos que el recíproco o inverso multiplicativo de un número real no
nulo a se define como el número a−1 o 1a , que cumple que:
a · a−1 = a · 1a = 1
y además que el número 1 se conoce como identidad multiplicativa del
sistema de los números reales.
Por lo tanto, dados dos números reales a y b, con b 6= 0, el cociente ab es
el producto de a por el recíproco de b, es decir:
a
b = a · b
−1 = a · 1b
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 6 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Cociente:
Sabemos que el recíproco o inverso multiplicativo de un número real no
nulo a se define como el número a−1 o 1a , que cumple que:
a · a−1 = a · 1a = 1
y además que el número 1 se conoce como identidad multiplicativa del
sistema de los números reales.
Por lo tanto, dados dos números reales a y b, con b 6= 0, el cociente ab es
el producto de a por el recíproco de b, es decir:
a
b = a · b
−1 = a · 1b
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 6 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Cociente:
Sabemos que el recíproco o inverso multiplicativo de un número real no
nulo a se define como el número a−1 o 1a , que cumple que:
a · a−1 = a · 1a = 1
y además que el número 1 se conoce como identidad multiplicativa del
sistema de los números reales.
Por lo tanto, dados dos números reales a y b, con b 6= 0, el cociente ab es
el producto de a por el recíproco de b, es decir:
a
b = a · b
−1 = a · 1b
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 6 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades de igualdad
1 Simetría: si a = b, entonces b = a.
2 Transitividad: si a = b y b = c, entonces a = c.
Existen muchos teoremas que se pueden ser demostrados aplicando las
propiedades de los números reales, y a la vez, estos teoremas pueden
usarse para demostrar otros. Enunciaremos y demostraremos sólo algunos,
con el fin de mostrar la aplicación de las propiedades.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 7 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades de igualdad
1 Simetría: si a = b, entonces b = a.
2 Transitividad: si a = b y b = c, entonces a = c.
Existen muchos teoremas que se pueden ser demostrados aplicando las
propiedades de los números reales, y a la vez, estos teoremas pueden
usarse para demostrar otros. Enunciaremos y demostraremos sólo algunos,
con el fin de mostrar la aplicación de las propiedades.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 7 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades de igualdad
1 Simetría: si a = b, entonces b = a.
2 Transitividad: si a = b y b = c, entonces a = c.
Existen muchos teoremas que se pueden ser demostrados aplicando las
propiedades de los números reales, y a la vez, estos teoremas pueden
usarse para demostrar otros. Enunciaremos y demostraremos sólo algunos,
con el fin de mostrar la aplicación de las propiedades.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 7 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades de igualdad
1 Simetría: si a = b, entonces b = a.
2 Transitividad: si a = b y b = c, entonces a = c.
Existen muchos teoremas que se pueden ser demostrados aplicando las
propiedades de los números reales, y a la vez, estos teoremas pueden
usarse para demostrar otros. Enunciaremos y demostraremos sólo algunos,
con el fin de mostrar la aplicación de las propiedades.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 7 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades de igualdad
1 Simetría: si a = b, entonces b = a.
2 Transitividad: si a = b y b = c, entonces a = c.
Existen muchos teoremas que se pueden ser demostrados aplicando las
propiedades de los números reales, y a la vez, estos teoremas pueden
usarse para demostrar otros. Enunciaremos y demostraremos sólo algunos,
con el fin de mostrar la aplicación de las propiedades.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 7 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades de igualdad
1 Simetría: si a = b, entonces b = a.
2 Transitividad: si a = b y b = c, entonces a = c.
Existen muchos teoremas que se pueden ser demostrados aplicando las
propiedades de los números reales, y a la vez, estos teoremas pueden
usarse para demostrar otros. Enunciaremos y demostraremos sólo algunos,
con el fin de mostrar la aplicación de las propiedades.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 7 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Propiedades de igualdad
1 Simetría: si a = b, entonces b = a.
2 Transitividad: si a = b y b = c, entonces a = c.
Existen muchos teoremas que se pueden ser demostrados aplicando las
propiedades de los números reales, y a la vez, estos teoremas pueden
usarse para demostrar otros. Enunciaremos y demostraremos sólo algunos,
con el fin de mostrar la aplicación de las propiedades.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 7 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
Ley Uniforme
Para la suma:
∀a, b, c ∈ R , si a = b, entonces a + c = b + c
Para el producto:
∀a, b, c ∈R, si a = b, entonces a · c = b · c
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 8 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
Ley Uniforme
Para la suma:
∀a, b, c ∈ R , si a = b, entonces a + c = b + c
Para el producto:
∀a, b, c ∈R, sia = b, entonces a · c = b · c
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 8 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
Ley Uniforme
Para la suma:
∀a, b, c ∈ R , si a = b, entonces a + c = b + c
Para el producto:
∀a, b, c ∈R, si a = b, entonces a · c = b · c
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 8 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
Ley Uniforme
Para la suma:
∀a, b, c ∈ R , si a = b, entonces a + c = b + c
Para el producto:
∀a, b, c ∈R, si a = b, entonces a · c = b · c
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 8 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
Ley Uniforme
Para la suma:
∀a, b, c ∈ R , si a = b, entonces a + c = b + c
Para el producto:
∀a, b, c ∈R, si a = b, entonces a · c = b · c
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 8 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
Leyes Cancelativas
Para la suma:
∀a, b, c ∈R , si a + c = b + c, entonces a = b
Para el producto:
∀a, b, c ∈R, si a · c = b · c ∧ c 6= 0, entonces a = b
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 9 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
Leyes Cancelativas
Para la suma:
∀a, b, c ∈R , si a + c = b + c, entonces a = b
Para el producto:
∀a, b, c ∈R, si a · c = b · c ∧ c 6= 0, entonces a = b
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 9 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
Leyes Cancelativas
Para la suma:
∀a, b, c ∈R , si a + c = b + c, entonces a = b
Para el producto:
∀a, b, c ∈R, si a · c = b · c ∧ c 6= 0, entonces a = b
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 9 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
Leyes Cancelativas
Para la suma:
∀a, b, c ∈R , si a + c = b + c, entonces a = b
Para el producto:
∀a, b, c ∈R, si a · c = b · c ∧ c 6= 0, entonces a = b
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 9 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
Leyes Cancelativas
Para la suma:
∀a, b, c ∈R , si a + c = b + c, entonces a = b
Para el producto:
∀a, b, c ∈R, si a · c = b · c ∧ c 6= 0, entonces a = b
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 9 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Demostración:
Hipótesis: a · c = b · c y c 6= 0
Tesis: a = b
a = a · 1 Elemento neutro del producto
= a · (c · c−1) Elemento recíproco de c pues por hipótesis c 6= 0
= (a · c) · c−1 Asociativa del producto
= (b · c) · c−1 Sustitución, pues por hipótesis a · c = b · c
= b · (c · c−1) Asociativa del producto
= b · 1 Elemento recíproco de c
= b Elemento neutro del producto
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 10 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Demostración:
Hipótesis: a · c = b · c y c 6= 0
Tesis: a = b
a = a · 1 Elemento neutro del producto
= a · (c · c−1) Elemento recíproco de c pues por hipótesis c 6= 0
= (a · c) · c−1 Asociativa del producto
= (b · c) · c−1 Sustitución, pues por hipótesis a · c = b · c
= b · (c · c−1) Asociativa del producto
= b · 1 Elemento recíproco de c
= b Elemento neutro del producto
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 10 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Demostración:
Hipótesis: a · c = b · c y c 6= 0
Tesis: a = b
a = a · 1 Elemento neutro del producto
= a · (c · c−1) Elemento recíproco de c pues por hipótesis c 6= 0
= (a · c) · c−1 Asociativa del producto
= (b · c) · c−1 Sustitución, pues por hipótesis a · c = b · c
= b · (c · c−1) Asociativa del producto
= b · 1 Elemento recíproco de c
= b Elemento neutro del producto
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 10 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Demostración:
Hipótesis: a · c = b · c y c 6= 0
Tesis: a = b
a = a · 1 Elemento neutro del producto
= a · (c · c−1) Elemento recíproco de c pues por hipótesis c 6= 0
= (a · c) · c−1 Asociativa del producto
= (b · c) · c−1 Sustitución, pues por hipótesis a · c = b · c
= b · (c · c−1) Asociativa del producto
= b · 1 Elemento recíproco de c
= b Elemento neutro del producto
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 10 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Demostración:
Hipótesis: a · c = b · c y c 6= 0
Tesis: a = b
a = a · 1 Elemento neutro del producto
= a · (c · c−1) Elemento recíproco de c pues por hipótesis c 6= 0
= (a · c) · c−1 Asociativa del producto
= (b · c) · c−1 Sustitución, pues por hipótesis a · c = b · c
= b · (c · c−1) Asociativa del producto
= b · 1 Elemento recíproco de c
= b Elemento neutro del producto
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 10 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Demostración:
Hipótesis: a · c = b · c y c 6= 0
Tesis: a = b
a = a · 1 Elemento neutro del producto
= a · (c · c−1) Elemento recíproco de c pues por hipótesis c 6= 0
= (a · c) · c−1 Asociativa del producto
= (b · c) · c−1 Sustitución, pues por hipótesis a · c = b · c
= b · (c · c−1) Asociativa del producto
= b · 1 Elemento recíproco de c
= b Elemento neutro del producto
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 10 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Demostración:
Hipótesis: a · c = b · c y c 6= 0
Tesis: a = b
a = a · 1 Elemento neutro del producto
= a · (c · c−1) Elemento recíproco de c pues por hipótesis c 6= 0
= (a · c) · c−1 Asociativa del producto
= (b · c) · c−1 Sustitución, pues por hipótesis a · c = b · c
= b · (c · c−1) Asociativa del producto
= b · 1 Elemento recíproco de c
= b Elemento neutro del producto
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 10 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Demostración:
Hipótesis: a · c = b · c y c 6= 0
Tesis: a = b
a = a · 1 Elemento neutro del producto
= a · (c · c−1) Elemento recíproco de c pues por hipótesis c 6= 0
= (a · c) · c−1 Asociativa del producto
= (b · c) · c−1 Sustitución, pues por hipótesis a · c = b · c
= b · (c · c−1) Asociativa del producto
= b · 1 Elemento recíproco de c
= b Elemento neutro del producto
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 10 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Demostración:
Hipótesis: a · c = b · c y c 6= 0
Tesis: a = b
a = a · 1 Elemento neutro del producto
= a · (c · c−1) Elemento recíproco de c pues por hipótesis c 6= 0
= (a · c) · c−1 Asociativa del producto
= (b · c) · c−1 Sustitución, pues por hipótesis a · c = b · c
= b · (c · c−1) Asociativa del producto
= b · 1 Elemento recíproco de c
= b Elemento neutro del producto
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 10 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Demostración:
Hipótesis: a · c = b · c y c 6= 0
Tesis: a = b
a = a · 1 Elemento neutro del producto
= a · (c · c−1) Elemento recíproco de c pues por hipótesis c 6= 0
= (a · c) · c−1 Asociativa del producto
= (b · c) · c−1 Sustitución, pues por hipótesis a · c = b · c
= b · (c · c−1) Asociativa del producto
= b · 1 Elemento recíproco de c
= b Elemento neutro del producto
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 10 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Demostración:
Hipótesis: a · c = b · c y c 6= 0
Tesis: a = b
a = a · 1 Elemento neutro del producto
= a · (c · c−1) Elemento recíproco de c pues por hipótesis c 6= 0
= (a · c) · c−1 Asociativa del producto
= (b · c) · c−1 Sustitución, pues por hipótesis a · c = b · c
= b · (c · c−1) Asociativa del producto
= b · 1 Elemento recíproco de c
= b Elemento neutro del producto
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 10 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Demostración:
Hipótesis: a · c = b · c y c 6= 0
Tesis: a = b
a = a · 1 Elemento neutro del producto
= a · (c · c−1) Elemento recíproco de c pues por hipótesis c 6= 0
= (a · c) · c−1 Asociativa del producto
= (b · c) · c−1 Sustitución, pues por hipótesis a · c = b · c
= b · (c · c−1) Asociativa del producto
= b · 1 Elemento recíproco de c
= b Elemento neutro del producto
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 10 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Demostración:
Hipótesis: a · c = b · c y c 6= 0
Tesis: a = b
a = a · 1 Elemento neutro del producto
= a · (c · c−1) Elemento recíproco de c pues por hipótesis c 6= 0
= (a · c) · c−1 Asociativa del producto
= (b · c) · c−1 Sustitución, pues por hipótesis a ·c = b · c
= b · (c · c−1) Asociativa del producto
= b · 1 Elemento recíproco de c
= b Elemento neutro del producto
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 10 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Demostración:
Hipótesis: a · c = b · c y c 6= 0
Tesis: a = b
a = a · 1 Elemento neutro del producto
= a · (c · c−1) Elemento recíproco de c pues por hipótesis c 6= 0
= (a · c) · c−1 Asociativa del producto
= (b · c) · c−1 Sustitución, pues por hipótesis a · c = b · c
= b · (c · c−1) Asociativa del producto
= b · 1 Elemento recíproco de c
= b Elemento neutro del producto
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 10 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Demostración:
Hipótesis: a · c = b · c y c 6= 0
Tesis: a = b
a = a · 1 Elemento neutro del producto
= a · (c · c−1) Elemento recíproco de c pues por hipótesis c 6= 0
= (a · c) · c−1 Asociativa del producto
= (b · c) · c−1 Sustitución, pues por hipótesis a · c = b · c
= b · (c · c−1) Asociativa del producto
= b · 1 Elemento recíproco de c
= b Elemento neutro del producto
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 10 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Demostración:
Hipótesis: a · c = b · c y c 6= 0
Tesis: a = b
a = a · 1 Elemento neutro del producto
= a · (c · c−1) Elemento recíproco de c pues por hipótesis c 6= 0
= (a · c) · c−1 Asociativa del producto
= (b · c) · c−1 Sustitución, pues por hipótesis a · c = b · c
= b · (c · c−1) Asociativa del producto
= b · 1 Elemento recíproco de c
= b Elemento neutro del producto
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 10 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Demostración:
Hipótesis: a · c = b · c y c 6= 0
Tesis: a = b
a = a · 1 Elemento neutro del producto
= a · (c · c−1) Elemento recíproco de c pues por hipótesis c 6= 0
= (a · c) · c−1 Asociativa del producto
= (b · c) · c−1 Sustitución, pues por hipótesis a · c = b · c
= b · (c · c−1) Asociativa del producto
= b · 1 Elemento recíproco de c
= b Elemento neutro del producto
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 10 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Demostración:
Hipótesis: a · c = b · c y c 6= 0
Tesis: a = b
a = a · 1 Elemento neutro del producto
= a · (c · c−1) Elemento recíproco de c pues por hipótesis c 6= 0
= (a · c) · c−1 Asociativa del producto
= (b · c) · c−1 Sustitución, pues por hipótesis a · c = b · c
= b · (c · c−1) Asociativa del producto
= b · 1 Elemento recíproco de c
= b Elemento neutro del producto
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 10 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Demostración:
Hipótesis: a · c = b · c y c 6= 0
Tesis: a = b
a = a · 1 Elemento neutro del producto
= a · (c · c−1) Elemento recíproco de c pues por hipótesis c 6= 0
= (a · c) · c−1 Asociativa del producto
= (b · c) · c−1 Sustitución, pues por hipótesis a · c = b · c
= b · (c · c−1) Asociativa del producto
= b · 1 Elemento recíproco de c
= b Elemento neutro del producto
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 10 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
∀a ∈ R : −(−a) = a
Demostración: Ejercicio
Teorema
∀a ∈ R, a · 0 = 0
Demostración:
0 = 0 + 0 neutro aditivo aplicada al 0
a · 0 = a · (0 + 0) ley uniforme del producto
a · 0 = a · 0 + a · 0 (1) propiedad distributiva
a · 0 = a · 0 + 0 (2) neutro aditivo aplicada a a · 0
a · 0 + a · 0 = a · 0 + 0 igualamos por (1) y (2)
a · 0 = 0 cancelativa de la suma
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 11 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
∀a ∈ R : −(−a) = a
Demostración: Ejercicio
Teorema
∀a ∈ R, a · 0 = 0
Demostración:
0 = 0 + 0 neutro aditivo aplicada al 0
a · 0 = a · (0 + 0) ley uniforme del producto
a · 0 = a · 0 + a · 0 (1) propiedad distributiva
a · 0 = a · 0 + 0 (2) neutro aditivo aplicada a a · 0
a · 0 + a · 0 = a · 0 + 0 igualamos por (1) y (2)
a · 0 = 0 cancelativa de la suma
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 11 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
∀a ∈ R : −(−a) = a
Demostración: Ejercicio
Teorema
∀a ∈ R, a · 0 = 0
Demostración:
0 = 0 + 0 neutro aditivo aplicada al 0
a · 0 = a · (0 + 0) ley uniforme del producto
a · 0 = a · 0 + a · 0 (1) propiedad distributiva
a · 0 = a · 0 + 0 (2) neutro aditivo aplicada a a · 0
a · 0 + a · 0 = a · 0 + 0 igualamos por (1) y (2)
a · 0 = 0 cancelativa de la suma
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 11 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
∀a ∈ R : −(−a) = a
Demostración: Ejercicio
Teorema
∀a ∈ R, a · 0 = 0
Demostración:
0 = 0 + 0 neutro aditivo aplicada al 0
a · 0 = a · (0 + 0) ley uniforme del producto
a · 0 = a · 0 + a · 0 (1) propiedad distributiva
a · 0 = a · 0 + 0 (2) neutro aditivo aplicada a a · 0
a · 0 + a · 0 = a · 0 + 0 igualamos por (1) y (2)
a · 0 = 0 cancelativa de la suma
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 11 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
∀a ∈ R : −(−a) = a
Demostración: Ejercicio
Teorema
∀a ∈ R, a · 0 = 0
Demostración:
0 = 0 + 0 neutro aditivo aplicada al 0
a · 0 = a · (0 + 0) ley uniforme del producto
a · 0 = a · 0 + a · 0 (1) propiedad distributiva
a · 0 = a · 0 + 0 (2) neutro aditivo aplicada a a · 0
a · 0 + a · 0 = a · 0 + 0 igualamos por (1) y (2)
a · 0 = 0 cancelativa de la suma
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 11 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
∀a ∈ R : −(−a) = a
Demostración: Ejercicio
Teorema
∀a ∈ R, a · 0 = 0
Demostración:
0 = 0 + 0 neutro aditivo aplicada al 0
a · 0 = a · (0 + 0) ley uniforme del producto
a · 0 = a · 0 + a · 0 (1) propiedad distributiva
a · 0 = a · 0 + 0 (2) neutro aditivo aplicada a a · 0
a · 0 + a · 0 = a · 0 + 0 igualamos por (1) y (2)
a · 0 = 0 cancelativa de la suma
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 11 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
∀a ∈ R : −(−a) = a
Demostración: Ejercicio
Teorema
∀a ∈ R, a · 0 = 0
Demostración:
0 = 0 + 0 neutro aditivo aplicada al 0
a · 0 = a · (0 + 0) ley uniforme del producto
a · 0 = a · 0 + a · 0 (1) propiedad distributiva
a · 0 = a · 0 + 0 (2) neutro aditivo aplicada a a · 0
a · 0 + a · 0 = a · 0 + 0 igualamos por (1) y (2)
a · 0 = 0 cancelativa de la suma
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 11 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
∀a ∈ R : −(−a) = a
Demostración: Ejercicio
Teorema
∀a ∈ R, a · 0 = 0
Demostración:
0 = 0 + 0 neutro aditivo aplicada al 0
a · 0 = a · (0 + 0) ley uniforme del producto
a · 0 = a · 0 + a · 0 (1) propiedad distributiva
a · 0 = a · 0 + 0 (2) neutro aditivo aplicada a a · 0
a · 0 + a · 0 = a · 0 + 0 igualamos por (1) y (2)
a · 0 = 0 cancelativa de la suma
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 11 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
∀a ∈ R : −(−a) = a
Demostración: Ejercicio
Teorema
∀a ∈ R, a · 0 = 0
Demostración:
0 = 0 + 0 neutro aditivo aplicada al 0
a · 0 = a · (0 + 0) ley uniforme del producto
a · 0 = a · 0 + a · 0 (1) propiedad distributiva
a · 0 = a · 0 + 0 (2) neutro aditivo aplicada a a · 0
a · 0 + a · 0 = a · 0 + 0 igualamos por (1) y (2)
a · 0 = 0 cancelativa de la suma
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 11 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
∀a ∈ R : −(−a) = a
Demostración: Ejercicio
Teorema
∀a ∈ R, a · 0 = 0
Demostración:
0 = 0 + 0 neutro aditivo aplicada al 0
a · 0 = a · (0 + 0) ley uniforme del producto
a · 0 = a · 0 + a · 0 (1) propiedad distributiva
a · 0 = a · 0 + 0 (2) neutro aditivo aplicada a a · 0
a · 0 + a · 0 = a · 0 + 0 igualamos por (1) y (2)
a · 0 = 0 cancelativa de la suma
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Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
∀a, b ∈ R, a · b = 0⇒ a = 0 ∨ b = 0.
Demostración:
Si a = 0 la proposición se cumple ya que, independientemente del
valor que se asigne a b, 0 · b = 0 como se demostró anteriormente y,
por lo tanto, son verdaderas hipótesis y tesis.Si a 6= 0, entonces ∃a−1. luego:
a · b = 0 por hipótesis
a · b · a−1 = 0 · a−1 propiedad uniforme del producto
(a · a−1) · b = 0 · a−1 conmutativa y asociativa del producto
(a · a−1) · b = 0 por el teorema anterior
1 · b = 0 elemento inverso del producto
b = 0 definición de elemento neutro del producto
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 12 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
∀a, b ∈ R, a · b = 0⇒ a = 0 ∨ b = 0.
Demostración:
Si a = 0 la proposición se cumple ya que, independientemente del
valor que se asigne a b, 0 · b = 0 como se demostró anteriormente y,
por lo tanto, son verdaderas hipótesis y tesis.
Si a 6= 0, entonces ∃a−1. luego:
a · b = 0 por hipótesis
a · b · a−1 = 0 · a−1 propiedad uniforme del producto
(a · a−1) · b = 0 · a−1 conmutativa y asociativa del producto
(a · a−1) · b = 0 por el teorema anterior
1 · b = 0 elemento inverso del producto
b = 0 definición de elemento neutro del producto
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Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
∀a, b ∈ R, a · b = 0⇒ a = 0 ∨ b = 0.
Demostración:
Si a = 0 la proposición se cumple ya que, independientemente del
valor que se asigne a b, 0 · b = 0 como se demostró anteriormente y,
por lo tanto, son verdaderas hipótesis y tesis.
Si a 6= 0, entonces ∃a−1. luego:
a · b = 0 por hipótesis
a · b · a−1 = 0 · a−1 propiedad uniforme del producto
(a · a−1) · b = 0 · a−1 conmutativa y asociativa del producto
(a · a−1) · b = 0 por el teorema anterior
1 · b = 0 elemento inverso del producto
b = 0 definición de elemento neutro del producto
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Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
∀a, b ∈ R, a · b = 0⇒ a = 0 ∨ b = 0.
Demostración:
Si a = 0 la proposición se cumple ya que, independientemente del
valor que se asigne a b, 0 · b = 0 como se demostró anteriormente y,
por lo tanto, son verdaderas hipótesis y tesis.
Si a 6= 0, entonces ∃a−1. luego:
a · b = 0 por hipótesis
a · b · a−1 = 0 · a−1 propiedad uniforme del producto
(a · a−1) · b = 0 · a−1 conmutativa y asociativa del producto
(a · a−1) · b = 0 por el teorema anterior
1 · b = 0 elemento inverso del producto
b = 0 definición de elemento neutro del producto
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Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
∀a, b ∈ R, a · b = 0⇒ a = 0 ∨ b = 0.
Demostración:
Si a = 0 la proposición se cumple ya que, independientemente del
valor que se asigne a b, 0 · b = 0 como se demostró anteriormente y,
por lo tanto, son verdaderas hipótesis y tesis.
Si a 6= 0, entonces ∃a−1. luego:
a · b = 0 por hipótesis
a · b · a−1 = 0 · a−1 propiedad uniforme del producto
(a · a−1) · b = 0 · a−1 conmutativa y asociativa del producto
(a · a−1) · b = 0 por el teorema anterior
1 · b = 0 elemento inverso del producto
b = 0 definición de elemento neutro del producto
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Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
∀a, b ∈ R, a · b = 0⇒ a = 0 ∨ b = 0.
Demostración:
Si a = 0 la proposición se cumple ya que, independientemente del
valor que se asigne a b, 0 · b = 0 como se demostró anteriormente y,
por lo tanto, son verdaderas hipótesis y tesis.
Si a 6= 0, entonces ∃a−1. luego:
a · b = 0 por hipótesis
a · b · a−1 = 0 · a−1 propiedad uniforme del producto
(a · a−1) · b = 0 · a−1 conmutativa y asociativa del producto
(a · a−1) · b = 0 por el teorema anterior
1 · b = 0 elemento inverso del producto
b = 0 definición de elemento neutro del producto
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Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
∀a, b ∈ R, a · b = 0⇒ a = 0 ∨ b = 0.
Demostración:
Si a = 0 la proposición se cumple ya que, independientemente del
valor que se asigne a b, 0 · b = 0 como se demostró anteriormente y,
por lo tanto, son verdaderas hipótesis y tesis.
Si a 6= 0, entonces ∃a−1. luego:
a · b = 0 por hipótesis
a · b · a−1 = 0 · a−1 propiedad uniforme del producto
(a · a−1) · b = 0 · a−1 conmutativa y asociativa del producto
(a · a−1) · b = 0 por el teorema anterior
1 · b = 0 elemento inverso del producto
b = 0 definición de elemento neutro del producto
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Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
∀a, b ∈ R, a · b = 0⇒ a = 0 ∨ b = 0.
Demostración:
Si a = 0 la proposición se cumple ya que, independientemente del
valor que se asigne a b, 0 · b = 0 como se demostró anteriormente y,
por lo tanto, son verdaderas hipótesis y tesis.
Si a 6= 0, entonces ∃a−1. luego:
a · b = 0 por hipótesis
a · b · a−1 = 0 · a−1 propiedad uniforme del producto
(a · a−1) · b = 0 · a−1 conmutativa y asociativa del producto
(a · a−1) · b = 0 por el teorema anterior
1 · b = 0 elemento inverso del producto
b = 0 definición de elemento neutro del producto
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Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
∀a, b ∈ R, a · b = 0⇒ a = 0 ∨ b = 0.
Demostración:
Si a = 0 la proposición se cumple ya que, independientemente del
valor que se asigne a b, 0 · b = 0 como se demostró anteriormente y,
por lo tanto, son verdaderas hipótesis y tesis.
Si a 6= 0, entonces ∃a−1. luego:
a · b = 0 por hipótesis
a · b · a−1 = 0 · a−1 propiedad uniforme del producto
(a · a−1) · b = 0 · a−1 conmutativa y asociativa del producto
(a · a−1) · b = 0 por el teorema anterior
1 · b = 0 elemento inverso del producto
b = 0 definición de elemento neutro del producto
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Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
∀a, b ∈ R, a · b = 0⇒ a = 0 ∨ b = 0.
Demostración:
Si a = 0 la proposición se cumple ya que, independientemente del
valor que se asigne a b, 0 · b = 0 como se demostró anteriormente y,
por lo tanto, son verdaderas hipótesis y tesis.
Si a 6= 0, entonces ∃a−1. luego:
a · b = 0 por hipótesis
a · b · a−1 = 0 · a−1 propiedad uniforme del producto
(a · a−1) · b = 0 · a−1 conmutativa y asociativa del producto
(a · a−1) · b = 0 por el teorema anterior
1 · b = 0 elemento inverso del producto
b = 0 definición de elemento neutro del producto
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Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
∀a, b ∈ R, a · b = 0⇒ a = 0 ∨ b = 0.
Demostración:
Si a = 0 la proposición se cumple ya que, independientemente del
valor que se asigne a b, 0 · b = 0 como se demostró anteriormente y,
por lo tanto, son verdaderas hipótesis y tesis.
Si a 6= 0, entonces ∃a−1. luego:
a · b = 0 por hipótesis
a · b · a−1 = 0 · a−1 propiedad uniforme del producto
(a · a−1) · b = 0 · a−1 conmutativa y asociativa del producto
(a · a−1) · b = 0 por el teorema anterior
1 · b = 0 elemento inverso del producto
b = 0 definición de elemento neutro del producto
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 12 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
∀a, b ∈ R, a · b = 0⇒ a = 0 ∨ b = 0.
Demostración:
Si a = 0 la proposición se cumple ya que, independientemente del
valor que se asigne a b, 0 · b = 0 como se demostró anteriormente y,
por lo tanto, son verdaderas hipótesis y tesis.
Si a 6= 0, entonces ∃a−1. luego:
a · b = 0 por hipótesis
a · b · a−1 = 0 · a−1 propiedad uniforme del producto
(a · a−1) · b = 0 · a−1 conmutativa y asociativa del producto
(a · a−1) · b = 0 por el teorema anterior
1 · b = 0 elemento inverso del producto
b = 0 definición de elemento neutro del producto
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 12 / 36
Propiedades de los Números Reales R
Propiedades de los Números Reales
Teorema
∀a, b ∈ R, a · b = 0⇒ a = 0 ∨ b = 0.
Demostración:
Si a = 0 la proposición se cumple ya que, independientemente del
valor que se asigne a b, 0 · b = 0 como se demostró anteriormente y,
por lo tanto, son verdaderas hipótesis y tesis.
Si a 6= 0, entonces ∃a−1. luego:
a · b = 0 por hipótesisa · b · a−1 = 0 · a−1 propiedad uniforme del producto
(a · a−1) · b = 0 · a−1 conmutativa y asociativa del producto
(a · a−1) · b = 0 por el teorema anterior
1 · b = 0 elemento inverso del producto
b = 0 definición de elemento neutro del producto
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 12 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Índice
1 Propiedades de los Números Reales R
Orden en R
Intervalos
Propiedades de los Números Racionales
2 Potenciación y Radicación
Potenciación
Radicación
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 13 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Relación "menor que"
Dos números reales a y b con a 6= b, pueden compararse mediante la
relación de orden "menor que", representada por el símbolo <.
Decimos que, a es menor que b si y sólo si b − a es un número
positivo.
Si a es menor que b escribimos a < b ó de forma equivalente
podemos decir que b es mayor que a y escribimos b > a.
En la recta real a < b significa que el punto que representa a a en la recta
numérica se halla a la izquierda del punto que representa a b.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 14 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Relación "menor que"
Dos números reales a y b con a 6= b, pueden compararse mediante la
relación de orden "menor que", representada por el símbolo <.
Decimos que, a es menor que b si y sólo si b − a es un número
positivo.
Si a es menor que b escribimos a < b ó de forma equivalente
podemos decir que b es mayor que a y escribimos b > a.
En la recta real a < b significa que el punto que representa a a en la recta
numérica se halla a la izquierda del punto que representa a b.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 14 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Relación "menor que"
Dos números reales a y b con a 6= b, pueden compararse mediante la
relación de orden "menor que", representada por el símbolo <.
Decimos que, a es menor que b si y sólo si b − a es un número
positivo.
Si a es menor que b escribimos a < b ó de forma equivalente
podemos decir que b es mayor que a y escribimos b > a.
En la recta real a < b significa que el punto que representa a a en la recta
numérica se halla a la izquierda del punto que representa a b.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 14 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Relación "menor que"
Dos números reales a y b con a 6= b, pueden compararse mediante la
relación de orden "menor que", representada por el símbolo <.
Decimos que, a es menor que b si y sólo si b − a es un número
positivo.
Si a es menor que b escribimos a < b ó de forma equivalente
podemos decir que b es mayor que a y escribimos b > a.
En la recta real a < b significa que el punto que representa a a en la recta
numérica se halla a la izquierda del punto que representa a b.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 14 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Relación "menor que"
Dos números reales a y b con a 6= b, pueden compararse mediante la
relación de orden "menor que", representada por el símbolo <.
Decimos que, a es menor que b si y sólo si b − a es un número
positivo.
Si a es menor que b escribimos a < b ó de forma equivalente
podemos decir que b es mayor que a y escribimos b > a.
En la recta real a < b significa que el punto que representa a a en la recta
numérica se halla a la izquierda del punto que representa a b.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 14 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Relación "menor que"
Dos números reales a y b con a 6= b, pueden compararse mediante la
relación de orden "menor que", representada por el símbolo <.
Decimos que, a es menor que b si y sólo si b − a es un número
positivo.
Si a es menor que b escribimos a < b ó de forma equivalente
podemos decir que b es mayor que a y escribimos b > a.
En la recta real a < b significa que el punto que representa a a en la recta
numérica se halla a la izquierda del punto que representa a b.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 14 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Relación "menor que"
Dos números reales a y b con a 6= b, pueden compararse mediante la
relación de orden "menor que", representada por el símbolo <.
Decimos que, a es menor que b si y sólo si b − a es un número
positivo.
Si a es menor que b escribimos a < b ó de forma equivalente
podemos decir que b es mayor que a y escribimos b > a.
En la recta real a < b significa que el punto que representa a a en la recta
numérica se halla a la izquierda del punto que representa a b.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 14 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Relación "menor que"
Dos números reales a y b con a 6= b, pueden compararse mediante la
relación de orden "menor que", representada por el símbolo <.
Decimos que, a es menor que b si y sólo si b − a es un número
positivo.
Si a es menor que b escribimos a < b ó de forma equivalente
podemos decir que b es mayor que a y escribimos b > a.
En la recta real a < b significa que el punto que representa a a en la recta
numérica se halla a la izquierda del punto que representa a b.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 14 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Relación "menor que"
Dos números reales a y b con a 6= b, pueden compararse mediante la
relación de orden "menor que", representada por el símbolo <.
Decimos que, a es menor que b si y sólo si b − a es un número
positivo.
Si a es menor que b escribimos a < b ó de forma equivalente
podemos decir que b es mayor que a y escribimos b > a.
En la recta real a < b significa que el punto que representa a a en la recta
numérica se halla a la izquierda del punto que representa a b.
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Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R. Axiomas de Orden
DefiniciÃ3n
Dado a ∈ R decimos que a es positivo si 0 < a y que a es negativo si a < 0.
Las relaciones a < b, a > b, a 6 b y a > b se llaman desigualdades y los símbolos <, >,
6 y > se llaman símbolos de desigualdad.
Axiomas de Orden en R
1 Ley de Tricotomía: Dados a, b ∈ R, una y sólo una de las siguientes expresiones es
verdadera.
a < b, a = b o a > b
2 Ley de Transitividad: ∀a, b, c ∈ R si a < b y b < c, entonces a < c.
Observación:
Para cualesquiera números a, b ∈ R, si a y b son positivos, entonces a + b y a · b
también lo son.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 15 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R. Axiomas de Orden
DefiniciÃ3n
Dado a ∈ R decimos que a es positivo si 0 < a y que a es negativo si a < 0.
Las relaciones a < b, a > b, a 6 b y a > b se llaman desigualdades y los símbolos <, >,
6 y > se llaman símbolos de desigualdad.
Axiomas de Orden en R
1 Ley de Tricotomía: Dados a, b ∈ R, una y sólo una de las siguientes expresiones es
verdadera.
a < b, a = b o a > b
2 Ley de Transitividad: ∀a, b, c ∈ R si a < b y b < c, entonces a < c.
Observación:
Para cualesquiera números a, b ∈ R, si a y b son positivos, entonces a + b y a · b
también lo son.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 15 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R. Axiomas de Orden
DefiniciÃ3n
Dado a ∈ R decimos que a es positivo si 0 < a y que a es negativo si a < 0.
Las relaciones a < b, a > b, a 6 b y a > b se llaman desigualdades y los símbolos <, >,
6 y > se llaman símbolos de desigualdad.
Axiomas de Orden en R
1 Ley de Tricotomía: Dados a, b ∈ R, una y sólo una de las siguientes expresiones es
verdadera.
a < b, a = b o a > b
2 Ley de Transitividad: ∀a, b, c ∈ R si a < b y b < c, entonces a < c.
Observación:
Para cualesquiera números a, b ∈ R, si a y b son positivos, entonces a + b y a · b
también lo son.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 15 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R. Axiomas de Orden
DefiniciÃ3n
Dado a ∈ R decimos que a es positivo si 0 < a y que a es negativo si a < 0.
Las relaciones a < b, a > b, a 6 b y a > b se llaman desigualdades y los símbolos<, >,
6 y > se llaman símbolos de desigualdad.
Axiomas de Orden en R
1 Ley de Tricotomía: Dados a, b ∈ R, una y sólo una de las siguientes expresiones es
verdadera.
a < b, a = b o a > b
2 Ley de Transitividad: ∀a, b, c ∈ R si a < b y b < c, entonces a < c.
Observación:
Para cualesquiera números a, b ∈ R, si a y b son positivos, entonces a + b y a · b
también lo son.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 15 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R. Axiomas de Orden
DefiniciÃ3n
Dado a ∈ R decimos que a es positivo si 0 < a y que a es negativo si a < 0.
Las relaciones a < b, a > b, a 6 b y a > b se llaman desigualdades y los símbolos <, >,
6 y > se llaman símbolos de desigualdad.
Axiomas de Orden en R
1 Ley de Tricotomía: Dados a, b ∈ R, una y sólo una de las siguientes expresiones es
verdadera.
a < b, a = b o a > b
2 Ley de Transitividad: ∀a, b, c ∈ R si a < b y b < c, entonces a < c.
Observación:
Para cualesquiera números a, b ∈ R, si a y b son positivos, entonces a + b y a · b
también lo son.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 15 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R. Axiomas de Orden
DefiniciÃ3n
Dado a ∈ R decimos que a es positivo si 0 < a y que a es negativo si a < 0.
Las relaciones a < b, a > b, a 6 b y a > b se llaman desigualdades y los símbolos <, >,
6 y > se llaman símbolos de desigualdad.
Axiomas de Orden en R
1 Ley de Tricotomía: Dados a, b ∈ R, una y sólo una de las siguientes expresiones es
verdadera.
a < b, a = b o a > b
2 Ley de Transitividad: ∀a, b, c ∈ R si a < b y b < c, entonces a < c.
Observación:
Para cualesquiera números a, b ∈ R, si a y b son positivos, entonces a + b y a · b
también lo son.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 15 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R. Axiomas de Orden
DefiniciÃ3n
Dado a ∈ R decimos que a es positivo si 0 < a y que a es negativo si a < 0.
Las relaciones a < b, a > b, a 6 b y a > b se llaman desigualdades y los símbolos <, >,
6 y > se llaman símbolos de desigualdad.
Axiomas de Orden en R
1 Ley de Tricotomía: Dados a, b ∈ R, una y sólo una de las siguientes expresiones es
verdadera.
a < b, a = b o a > b
2 Ley de Transitividad: ∀a, b, c ∈ R si a < b y b < c, entonces a < c.
Observación:
Para cualesquiera números a, b ∈ R, si a y b son positivos, entonces a + b y a · b
también lo son.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 15 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R. Axiomas de Orden
DefiniciÃ3n
Dado a ∈ R decimos que a es positivo si 0 < a y que a es negativo si a < 0.
Las relaciones a < b, a > b, a 6 b y a > b se llaman desigualdades y los símbolos <, >,
6 y > se llaman símbolos de desigualdad.
Axiomas de Orden en R
1 Ley de Tricotomía: Dados a, b ∈ R, una y sólo una de las siguientes expresiones es
verdadera.
a < b, a = b o a > b
2 Ley de Transitividad: ∀a, b, c ∈ R si a < b y b < c, entonces a < c.
Observación:
Para cualesquiera números a, b ∈ R, si a y b son positivos, entonces a + b y a · b
también lo son.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 15 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R. Axiomas de Orden
DefiniciÃ3n
Dado a ∈ R decimos que a es positivo si 0 < a y que a es negativo si a < 0.
Las relaciones a < b, a > b, a 6 b y a > b se llaman desigualdades y los símbolos <, >,
6 y > se llaman símbolos de desigualdad.
Axiomas de Orden en R
1 Ley de Tricotomía: Dados a, b ∈ R, una y sólo una de las siguientes expresiones es
verdadera.
a < b, a = b o a > b
2 Ley de Transitividad: ∀a, b, c ∈ R si a < b y b < c, entonces a < c.
Observación:
Para cualesquiera números a, b ∈ R, si a y b son positivos, entonces a + b y a · b
también lo son.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 15 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R. Axiomas de Orden
DefiniciÃ3n
Dado a ∈ R decimos que a es positivo si 0 < a y que a es negativo si a < 0.
Las relaciones a < b, a > b, a 6 b y a > b se llaman desigualdades y los símbolos <, >,
6 y > se llaman símbolos de desigualdad.
Axiomas de Orden en R
1 Ley de Tricotomía: Dados a, b ∈ R, una y sólo una de las siguientes expresiones es
verdadera.
a < b, a = b o a > b
2 Ley de Transitividad: ∀a, b, c ∈ R si a < b y b < c, entonces a < c.
Observación:
Para cualesquiera números a, b ∈ R, si a y b son positivos, entonces a + b y a · b
también lo son.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 15 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R. Axiomas de Orden
DefiniciÃ3n
Dado a ∈ R decimos que a es positivo si 0 < a y que a es negativo si a < 0.
Las relaciones a < b, a > b, a 6 b y a > b se llaman desigualdades y los símbolos <, >,
6 y > se llaman símbolos de desigualdad.
Axiomas de Orden en R
1 Ley de Tricotomía: Dados a, b ∈ R, una y sólo una de las siguientes expresiones es
verdadera.
a < b, a = b o a > b
2 Ley de Transitividad: ∀a, b, c ∈ R si a < b y b < c, entonces a < c.
Observación:
Para cualesquiera números a, b ∈ R, si a y b son positivos, entonces a + b y a · b
también lo son.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 15 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R. Axiomas de Orden
DefiniciÃ3n
Dado a ∈ R decimos que a es positivo si 0 < a y que a es negativo si a < 0.
Las relaciones a < b, a > b, a 6 b y a > b se llaman desigualdades y los símbolos <, >,
6 y > se llaman símbolos de desigualdad.
Axiomas de Orden en R
1 Ley de Tricotomía: Dados a, b ∈ R, una y sólo una de las siguientes expresiones es
verdadera.
a < b, a = b o a > b
2 Ley de Transitividad: ∀a, b, c ∈ R si a < b y b < c, entonces a < c.
Observación:
Para cualesquiera números a, b ∈ R, si a y b son positivos, entonces a + b y a · b
también lo son.
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Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R. Axiomas de Orden
DefiniciÃ3n
Dado a ∈ R decimos que a es positivo si 0 < a y que a es negativo si a < 0.
Las relaciones a < b, a > b, a 6 b y a > b se llaman desigualdades y los símbolos <, >,
6 y > se llaman símbolos de desigualdad.
Axiomas de Orden en R
1 Ley de Tricotomía: Dados a, b ∈ R, una y sólo una de las siguientes expresiones es
verdadera.
a < b, a = b o a > b
2 Ley de Transitividad: ∀a, b, c ∈ R si a < b y b < c, entonces a < c.
Observación:
Para cualesquiera números a, b ∈ R, si a y b son positivos, entonces a + b y a · b
también lo son.
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Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R. Axiomas de Orden
DefiniciÃ3n
Dado a ∈ R decimos que a es positivo si 0 < a y que a es negativo si a < 0.
Las relaciones a < b, a > b, a 6 b y a > b se llaman desigualdades y los símbolos <, >,
6 y > se llaman símbolos de desigualdad.
Axiomas de Orden en R
1 Ley de Tricotomía: Dados a, b ∈ R, una y sólo una de las siguientes expresiones es
verdadera.
a < b, a = b o a > b
2 Ley de Transitividad: ∀a, b, c ∈ R si a < b y b < c, entonces a < c.
Observación:
Para cualesquiera números a, b ∈ R, si a y b son positivos, entonces a + b y a · b
también lo son.
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Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Las siguientes propiedades también son válidas si < es reemplazado por ≤
(de igual manera > por ≥).
Teorema
Leyes de Consistencia
Para la suma: ∀a, b, c ∈ R, si a < b, entonces a + c < b + c.
Para el producto:
∀a, b, c ∈ R, si a < b y c > 0, entonces a · c < b · c.
∀a, b, c ∈ R, si a < b y c < 0, entonces a · c > b · c.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 16 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Las siguientes propiedades también son válidas si < es reemplazado por ≤
(de igual manera > por ≥).
Teorema
Leyes de Consistencia
Para la suma: ∀a, b, c ∈ R, si a < b, entonces a + c < b + c.
Para el producto:
∀a, b, c ∈ R, si a < b y c > 0, entonces a · c < b · c.
∀a, b, c ∈ R, si a < b y c < 0, entonces a · c > b · c.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 16 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Las siguientes propiedades también sonválidas si < es reemplazado por ≤
(de igual manera > por ≥).
Teorema
Leyes de Consistencia
Para la suma: ∀a, b, c ∈ R, si a < b, entonces a + c < b + c.
Para el producto:
∀a, b, c ∈ R, si a < b y c > 0, entonces a · c < b · c.
∀a, b, c ∈ R, si a < b y c < 0, entonces a · c > b · c.
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Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Las siguientes propiedades también son válidas si < es reemplazado por ≤
(de igual manera > por ≥).
Teorema
Leyes de Consistencia
Para la suma: ∀a, b, c ∈ R, si a < b, entonces a + c < b + c.
Para el producto:
∀a, b, c ∈ R, si a < b y c > 0, entonces a · c < b · c.
∀a, b, c ∈ R, si a < b y c < 0, entonces a · c > b · c.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 16 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Las siguientes propiedades también son válidas si < es reemplazado por ≤
(de igual manera > por ≥).
Teorema
Leyes de Consistencia
Para la suma: ∀a, b, c ∈ R, si a < b, entonces a + c < b + c.
Para el producto:
∀a, b, c ∈ R, si a < b y c > 0, entonces a · c < b · c.
∀a, b, c ∈ R, si a < b y c < 0, entonces a · c > b · c.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 16 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Las siguientes propiedades también son válidas si < es reemplazado por ≤
(de igual manera > por ≥).
Teorema
Leyes de Consistencia
Para la suma: ∀a, b, c ∈ R, si a < b, entonces a + c < b + c.
Para el producto:
∀a, b, c ∈ R, si a < b y c > 0, entonces a · c < b · c.
∀a, b, c ∈ R, si a < b y c < 0, entonces a · c > b · c.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 16 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Las siguientes propiedades también son válidas si < es reemplazado por ≤
(de igual manera > por ≥).
Teorema
Leyes de Consistencia
Para la suma: ∀a, b, c ∈ R, si a < b, entonces a + c < b + c.
Para el producto:
∀a, b, c ∈ R, si a < b y c > 0, entonces a · c < b · c.
∀a, b, c ∈ R, si a < b y c < 0, entonces a · c > b · c.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 16 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Las siguientes propiedades también son válidas si < es reemplazado por ≤
(de igual manera > por ≥).
Teorema
Leyes de Consistencia
Para la suma: ∀a, b, c ∈ R, si a < b, entonces a + c < b + c.
Para el producto:
∀a, b, c ∈ R, si a < b y c > 0, entonces a · c < b · c.
∀a, b, c ∈ R, si a < b y c < 0, entonces a · c > b · c.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 16 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Las siguientes propiedades también son válidas si < es reemplazado por ≤
(de igual manera > por ≥).
Teorema
Leyes de Consistencia
Para la suma: ∀a, b, c ∈ R, si a < b, entonces a + c < b + c.
Para el producto:
∀a, b, c ∈ R, si a < b y c > 0, entonces a · c < b · c.
∀a, b, c ∈ R, si a < b y c < 0, entonces a · c > b · c.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 16 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Las siguientes propiedades también son válidas si < es reemplazado por ≤
(de igual manera > por ≥).
Teorema
Leyes de Consistencia
Para la suma: ∀a, b, c ∈ R, si a < b, entonces a + c < b + c.
Para el producto:
∀a, b, c ∈ R, si a < b y c > 0, entonces a · c < b · c.
∀a, b, c ∈ R, si a < b y c < 0, entonces a · c > b · c.
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 16 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Teorema
∀a, b, c ∈ R:
1 Si a < b, entonces −a > −b. En particular, a < 0 implica −a > 0.
2 Si 0 < a < b , entonces 1a >
1
b .
3 Si a < b y c < 0, entonces bc <
a
c .
4 Si a · b > 0 si y sólo si (a < 0 ∧ b < 0) ∨ (a > 0 ∧ b > 0)
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 17 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Teorema
∀a, b, c ∈ R:
1 Si a < b, entonces −a > −b. En particular, a < 0 implica −a > 0.
2 Si 0 < a < b , entonces 1a >
1
b .
3 Si a < b y c < 0, entonces bc <
a
c .
4 Si a · b > 0 si y sólo si (a < 0 ∧ b < 0) ∨ (a > 0 ∧ b > 0)
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 17 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Teorema
∀a, b, c ∈ R:
1 Si a < b, entonces −a > −b. En particular, a < 0 implica −a > 0.
2 Si 0 < a < b , entonces 1a >
1
b .
3 Si a < b y c < 0, entonces bc <
a
c .
4 Si a · b > 0 si y sólo si (a < 0 ∧ b < 0) ∨ (a > 0 ∧ b > 0)
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 17 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Teorema
∀a, b, c ∈ R:
1 Si a < b, entonces −a > −b. En particular, a < 0 implica −a > 0.
2 Si 0 < a < b , entonces 1a >
1
b .
3 Si a < b y c < 0, entonces bc <
a
c .
4 Si a · b > 0 si y sólo si (a < 0 ∧ b < 0) ∨ (a > 0 ∧ b > 0)
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 17 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Teorema
∀a, b, c ∈ R:
1 Si a < b, entonces −a > −b. En particular, a < 0 implica −a > 0.
2 Si 0 < a < b , entonces 1a >
1
b .
3 Si a < b y c < 0, entonces bc <
a
c .
4 Si a · b > 0 si y sólo si (a < 0 ∧ b < 0) ∨ (a > 0 ∧ b > 0)
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 17 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Teorema
∀a, b, c ∈ R:
1 Si a < b, entonces −a > −b. En particular, a < 0 implica −a > 0.
2 Si 0 < a < b , entonces 1a >
1
b .
3 Si a < b y c < 0, entonces bc <
a
c .
4 Si a · b > 0 si y sólo si (a < 0 ∧ b < 0) ∨ (a > 0 ∧ b > 0)
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 17 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Teorema
∀a, b, c ∈ R:
1 Si a < b, entonces −a > −b. En particular, a < 0 implica −a > 0.
2 Si 0 < a < b , entonces 1a >
1
b .
3 Si a < b y c < 0, entonces bc <
a
c .
4 Si a · b > 0 si y sólo si (a < 0 ∧ b < 0) ∨ (a > 0 ∧ b > 0)
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 17 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Teorema
∀a, b, c ∈ R:
1 Si a < b, entonces −a > −b. En particular, a < 0 implica −a > 0.
2 Si 0 < a < b , entonces 1a >
1
b .
3 Si a < b y c < 0, entonces bc <
a
c .
4 Si a · b > 0 si y sólo si (a < 0 ∧ b < 0) ∨ (a > 0 ∧ b > 0)
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 17 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Teorema
∀a, b, c ∈ R:
1 Si a < b, entonces −a > −b. En particular, a < 0 implica −a > 0.
2 Si 0 < a < b , entonces 1a >
1
b .
3 Si a < b y c < 0, entonces bc <
a
c .
4 Si a · b > 0 si y sólo si (a < 0 ∧ b < 0) ∨ (a > 0 ∧ b > 0)
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 17 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Demostración de 3)
Por hipótesis c < 0, luego 1c < 0 por lo que −
1
c > 0.
Además por hipótesis tenemos a < b, luego
a · (− 1c ) < b · (−
1
c ) Por consistencia del producto
− ac < −
b
c Propiedad del producto
− ac +
(
a
c +
b
c
)
< −bc +
(
a
c +
b
c
)
Consistencia de la suma(
− ac +
a
c
)
+ bc <
(
−bc +
b
c
)
+ ac Conmutativa y asociativa de la suma
0 + bc < 0 +
a
c Elemento opuesto
b
c <
a
c Elemento neutro de la suma
�
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Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Demostración de 3)
Por hipótesis c < 0, luego 1c < 0 por lo que −
1
c > 0.
Además por hipótesis tenemos a < b, luego
a · (− 1c ) < b · (−
1
c ) Por consistencia del producto
− ac < −
b
c Propiedad del producto
− ac +
(
a
c +
b
c
)
< −bc +
(
a
c +
b
c
)
Consistencia de la suma(
− ac +
a
c
)
+ bc <
(
−bc +
b
c
)
+ ac Conmutativa y asociativa de la suma
0 + bc < 0 +
a
c Elemento opuesto
b
c <
a
c Elemento neutro de la suma
�
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Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Demostración de 3)
Por hipótesis c < 0, luego 1c < 0 por lo que −
1
c > 0.
Además por hipótesis tenemos a < b, luego
a · (− 1c ) < b · (−
1
c ) Por consistencia del producto
− ac < −
b
c Propiedad del producto
− ac +
(
a
c +
b
c
)
< −bc +
(
a
c +
b
c
)
Consistencia de la suma(
− ac +
a
c
)
+ bc <
(
−bc +
b
c
)
+ ac Conmutativa y asociativa de la suma
0 + bc < 0 +
a
c Elemento opuesto
b
c <
a
c Elemento neutro de la suma
�
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Orden en R
Demostración de 3)
Por hipótesis c < 0, luego 1c < 0 por lo que −
1
c > 0.
Además por hipótesis tenemos a < b, luego
a · (− 1c ) < b · (−
1
c ) Por consistencia del producto
− ac < −
b
c Propiedad del producto
− ac +
(
a
c +
b
c
)
< −bc +
(
a
c +
b
c
)
Consistencia de la suma(
− ac +
a
c
)
+ bc <
(
−bc +
b
c
)
+ ac Conmutativa y asociativa de la suma
0 + bc < 0 +
a
c Elemento opuesto
b
c <
a
c Elemento neutro de la suma
�
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Orden en R
Demostración de 3)
Por hipótesis c < 0, luego 1c < 0 por lo que −
1
c > 0.
Además por hipótesis tenemos a < b, luego
a · (− 1c ) < b · (−
1
c ) Por consistencia del producto
− ac < −
b
c Propiedad del producto
− ac +
(
a
c +
b
c
)
< −bc +
(
a
c +
b
c
)
Consistencia de la suma(
− ac +
a
c
)
+ bc <
(
−bc +
b
c
)
+ ac Conmutativa y asociativa de la suma
0 + bc < 0 +
a
c Elemento opuesto
b
c <
a
c Elemento neutro de la suma
�
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 18 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Demostración de 3)
Por hipótesis c < 0, luego 1c < 0 por lo que −
1
c > 0.
Además por hipótesis tenemos a < b, luego
a · (− 1c ) < b · (−
1
c ) Por consistencia del producto
− ac < −
b
c Propiedad del producto
− ac +
(
a
c +
b
c
)
< −bc +
(
a
c +
b
c
)
Consistencia de la suma(
− ac +
a
c
)
+ bc <
(
−bc +
b
c
)
+ ac Conmutativa y asociativa de la suma
0 + bc < 0 +
a
c Elemento opuesto
b
c <
a
c Elemento neutro de la suma
�
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 18 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Demostración de 3)
Por hipótesis c < 0, luego 1c < 0 por lo que −
1
c > 0.
Además por hipótesis tenemos a < b, luego
a · (− 1c ) < b · (−
1
c ) Por consistencia del producto
− ac < −
b
c Propiedad del producto
− ac +
(
a
c +
b
c
)
< −bc +
(
a
c +
b
c
)
Consistencia de la suma(
− ac +
a
c
)
+ bc <
(
−bc +
b
c
)
+ ac Conmutativa y asociativa de la suma
0 + bc < 0 +
a
c Elemento opuesto
b
c <
a
c Elemento neutro de la suma
�
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 18 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Demostración de 3)
Por hipótesis c < 0, luego 1c < 0 por lo que −
1
c > 0.
Además por hipótesis tenemos a < b, luego
a · (− 1c ) < b · (−
1
c ) Por consistencia del producto
− ac < −
b
c Propiedad del producto
− ac +
(
a
c +
b
c
)
< −bc +
(
a
c +
b
c
)
Consistencia de la suma(
− ac +
a
c
)
+ bc <
(
−bc +
b
c
)
+ ac Conmutativa y asociativa de la suma
0 + bc < 0 +
a
c Elemento opuesto
b
c <
a
c Elemento neutro de la suma
�
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 18 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Demostración de 3)
Por hipótesis c < 0, luego 1c < 0 por lo que −
1
c > 0.
Además por hipótesis tenemos a < b, luego
a · (− 1c ) < b · (−
1
c ) Por consistencia del producto
− ac < −
b
c Propiedad del producto
− ac +
(
a
c +
b
c
)
< −bc +
(
a
c +
b
c
)
Consistencia de la suma(
− ac +
a
c
)
+ bc <
(
−bc +
b
c
)
+ ac Conmutativa y asociativa de la suma
0 + bc < 0 +
a
c Elemento opuesto
b
c <
a
c Elemento neutro de la suma
�
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 18 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Demostración de 3)
Por hipótesis c < 0, luego 1c < 0 por lo que −
1
c > 0.
Además por hipótesis tenemos a < b, luego
a · (− 1c ) < b · (−
1
c ) Por consistencia del producto
− ac < −
b
c Propiedad del producto
− ac +
(
a
c +
b
c
)
< −bc +
(
a
c +
b
c
)
Consistencia de la suma(
− ac +
a
c
)
+ bc <
(
−bc +
b
c
)
+ ac Conmutativa y asociativa de la suma
0 + bc < 0 +
a
c Elemento opuesto
b
c <
a
c Elemento neutro de la suma
�
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 18 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Demostración de 3)
Por hipótesis c < 0, luego 1c < 0 por lo que −
1
c > 0.
Además por hipótesis tenemos a < b, luego
a · (− 1c ) < b · (−
1
c ) Por consistencia del producto
− ac < −
b
c Propiedad del producto
− ac +
(
a
c +
b
c
)
< −bc +
(
a
c +
b
c
)
Consistencia de la suma(
− ac +
a
c
)
+ bc <
(
−bc +
b
c
)
+ ac Conmutativa y asociativa de la suma
0 + bc < 0 +
a
c Elemento opuesto
b
c <
a
c Elemento neutro de la suma
�
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 18 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Demostración de 3)
Por hipótesis c < 0, luego 1c < 0 por lo que −
1
c > 0.
Además por hipótesis tenemos a < b, luego
a · (− 1c ) < b · (−
1
c ) Por consistencia del producto
− ac < −
b
c Propiedad del producto
− ac +
(
a
c +
b
c
)
< −bc +
(
a
c +
b
c
)
Consistencia de la suma(
− ac +
a
c
)
+ bc <
(
−bc +
b
c
)
+ ac Conmutativa y asociativa de la suma
0 + bc < 0 +
a
c Elemento opuesto
b
c <
a
c Elemento neutro de la suma
�
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 18 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Demostración de 3)
Por hipótesis c < 0, luego 1c < 0 por lo que −
1
c > 0.
Además por hipótesis tenemos a < b, luego
a · (− 1c ) < b · (−
1
c ) Por consistencia del producto
− ac < −
b
c Propiedad del producto
− ac +
(
a
c +
b
c
)
< −bc +
(
a
c +
b
c
)
Consistencia de la suma(
− ac +
a
c
)
+ bc <
(
−bc +
b
c
)
+ ac Conmutativa y asociativa de la suma
0 + bc < 0 +
a
c Elemento opuesto
b
c <
a
c Elemento neutro de la suma
�
C.P.P (UNSa) Unidad N°2 Año 2023 18 / 36
Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Demostración de 3)
Por hipótesis c < 0, luego 1c < 0 por lo que −
1
c > 0.
Además por hipótesis tenemos a < b, luego
a · (− 1c ) < b · (−
1
c ) Por consistencia del producto
− ac < −
b
c Propiedad del producto
− ac +
(
a
c +
b
c
)
< −bc +
(
a
c +
b
c
)
Consistencia de la suma(
− ac +
a
c
)
+ bc <
(
−bc +
b
c
)
+ ac Conmutativa y asociativa de la suma
0 + bc < 0 +
a
c Elemento opuesto
b
c <
a
c Elemento neutro de la suma
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Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Demostración de 3)
Por hipótesis c < 0, luego 1c < 0 por lo que −
1
c > 0.
Además por hipótesis tenemos a < b, luego
a · (− 1c ) < b · (−
1
c ) Por consistencia del producto
− ac < −
b
c Propiedad del producto
− ac +
(
a
c +
b
c
)
< −bc +
(
a
c +
b
c
)
Consistencia de la suma(
− ac +
a
c
)
+ bc <
(
−bc +
b
c
)
+ ac Conmutativa y asociativa de la suma
0 + bc < 0 +
a
c Elemento opuesto
b
c <
a
c Elemento neutro de la suma
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Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Demostración de 3)
Por hipótesis c < 0, luego 1c < 0 por lo que −
1
c > 0.
Además por hipótesis tenemos a < b, luego
a · (− 1c ) < b · (−
1
c ) Por consistencia del producto
− ac < −
b
c Propiedad del producto
− ac +
(
a
c +
b
c
)
< −bc +
(
a
c +
b
c
)
Consistencia de la suma(
− ac +
a
c
)
+ bc <
(
−bc +
b
c
)
+ ac Conmutativa y asociativa de la suma
0 + bc < 0 +
a
c Elemento opuesto
b
c <
a
c Elemento neutro de la suma
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Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Demostración de 3)
Por hipótesis c < 0, luego 1c < 0 por lo que −
1
c > 0.
Además por hipótesis tenemos a < b, luego
a · (− 1c ) < b · (−
1
c ) Por consistencia del producto
− ac < −
b
c Propiedad del producto
− ac +
(
a
c +
b
c
)
< −bc +
(
a
c +
b
c
)
Consistencia de la suma(
− ac +
a
c
)
+ bc <
(
−bc +
b
c
)
+ ac Conmutativa y asociativa de la suma
0 + bc < 0 +
a
c Elemento opuesto
b
c <
a
c Elemento neutro de la suma
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Propiedades de los Números Reales R Orden en R
Orden en R
Demostración de 3)
Por hipótesis c < 0, luego 1c < 0 por lo que −
1
c > 0.
Además por hipótesis tenemos a < b, luego
a · (− 1c ) < b · (−
1
c ) Por consistencia del producto
− ac < −
b
c Propiedad del producto
− ac +
(
a
c +
b
c
)
< −bc +
(
a
c +
b
c
)
Consistencia de la suma(
− ac +
a
c
)
+ bc <
(
−bc