PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD - Yessica silva (2)

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PARALELISMO
a) PARALELISMO ENTRE RECTAS
Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común.
Si dos rectas ab y mn son paralelas entre sí: sus proyecciones horizontales, sus proyecciones frontales y sus proyecciones de perfil deben ser paralelas entre sí, respectivamente.
De modo, que si la recta ab es paralela a la recta mn debe cumplirse los siguientes postulados:
1.	aHbH // mHnH
2.	aFbF // mFnF
3.	aPbP // mPnP
Estas tres condiciones deben cumplirse simultáneamente. Basta que una de las condiciones falle entonces dichas rectas no serán paralelas.
GRÁFICA FIG. 1
b) PARALELISMO ENTRE RECTAS Y PLANOS
Para que una recta sea paralela a un plano, es necesario y suficiente que la recta sea paralela por lo menos a una recta del plano. GRÁFICA FIG. 2
· Recta ab // st
· Recta st en el plano P
· Luego recta ab // P
DETERMINACIÓN Y COMPROBACIÓN EN EL DEPURADO.
Dado la recta ab en el espacio y el plano mns, verificar si la recta y el plano son paralelos.
Procedimiento. Graf. 3
1. Trazamos la proyección horizontal de una recta auxiliar del plano tal como la a`-b` y que cumpla con la condición Nª 1 de paralelismo entre rectas.
2. Teniendo en cuenta que a`-b`, pertenece al plano, determinamos su proyecciòn frontal, Af`-Bf, (primer problema fundamental del plano).
3. si obtenemos Af`-Bf` // af-bf, (condición Nª 2 de paralelismo entre 2 rectas), la recta será paralela al plano. caso de que esto no se cumpla, la recta ab no será paralela al plano.
Nota: así como se empieza trabajando con la proyecciòn horizontal de la recta, también se puede iniciar la comprobación por la proyección frontal Af`-Bf`. todo el resto del proceso, es semejante al del caso anterior.
c) PARALELISMO ENTRE PLANOS 
Si dos planos son paralelos entre sí, es condición necesaria y suficiente que tengan por lo menos dos rectas paralelas entre si y en diferente dirección (que sean concurrentes).
Fig. 4 y 4-a con vista espacial y 4-c nos da la interpretación en el depurado. Graficas
En los croquis 4 y 4-a podemos observar los siguiente.
Fig. 4 		(ab // mn ) son paralelos los planos.
		(ac // ms )
Fig. 4-a 	(ab // mn ) son plano no paralelos. 
		(cd // st )
 Bastará entonces, que en el depurado se cumpla.
 (aHbH // mHnH )
 ab // mn (aFbF // mFnF )
 	 (aPbP // mPnP )
 		 (aHcH // mHsH )
 ac // ms (aFcF // mFsF )
 	 (aPcP // mPsP )
fig - 4-c
¿Cómo trazamos planos paralelos?
1. Por una recta trazar un plano paralelo a una recta dada.
 METODO: 
Sea AB la recta por dónde se debe trazar un plano paralelo a la recta RS, se tiene:
-Por un punto x cualquiera de la recta AB, se traza una paralela ( de longitud arbitraria) a la recta RS.
Así queda determinado el plano AXC paralelo a la recta RS, o e plano AC que contiene a la recta XC paralela a la recta RS ( fig.4.3)
2. Por un punto trazar un plano paralelo a dos rectas dadas.
METODO:
· Por un punto dado se raza una paralela a una de las rectas dadas.
· Luego por cualquier punto de esta última, trazamos una paralela a la otra recta dada. Fig 4.4
· Sea R el punto por donde se desea trazar un plano paralelo a las rectas AB y CD.
· Por R trazamos una paralela a una de las rectas dadas (por decir N) trazamos una paralela a la otra recta. Así queda determinado el plano deseado.
3. Por un punto trazar un plano paralelo a otro plano dado.
METODO:
Se sigue el mismo método anterior. Si R es el punto por dónde se desea pazar un plano paralelo a otro plano ABC; por R trazamos dos rectas paralelas a otras dos contenidas en un plano ABC. Así queda determinado el plano RMN, con la condición propuesta. (Fig 4.5) 
PERPENDICULARIDAD
PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS
Dos rectas son perpendiculares entre sí, cuando forman un ángulo de 90°. Cabe resaltar que las dos rectas no necesariamente deben cortarse según un punto común; pueden ser también dos rectas perpendiculares y que se cruzan.
PRINCIPIO FUNDAMENTAL: Si dos rectas cualesquiera son perpendiculares entre sí, y una de ellas es paralela a un plano, las proyecciones de dichas rectas en ese plano son también perpendiculares entre sí.
Esto quiere decir, que, si la recta es perpendicular a la recta , y la recta AB es paralela al plano P, la proyección aP de la recta debe ser perpendicular a la proyección bP de la recta .
Corolarios:
1. Si la recta AB es perpendicular a la recta CD y la recta es paralela al plano horizontal de proyección se cumple lo siguiente: Las proyecciones horizontales de dichas rectas son perpendiculares entre sí.
aHbH cHdH
aFbF cFdF
 
2. Si la recta es perpendicular a la recta y la recta es paralela al plano frontal de proyección, las proyecciones frontales de dichas rectas son perpendiculares entre sí. Quiere decir que debe tener lo siguiente:
aFbF cFdF
aHbH cHdH
 
3. Si la recta es perpendicular a la recta y la recta es paralela al plano lateral de proyección, las proyecciones de perfil de dichas rectas son perpendiculares entre sí. Significa que se tendrá lo siguiente:
aPbP mPnP
aHbH mHnH
aFbF mFnF
 
 
PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS Y PLANOS
Sea la recta que es perpendicular al plano cualquiera P. referimos sus proyecciones al plano horizontal de proyección. Según esto, podemos exponer lo siguiente:
 I. Como la recta es perpendicular al plano, debe serlo a cualquier recta de él; digamos a la recta Por esta razón, la recta deberá ser perpendicular a la recta (que en este caso es una horizontal del plano).
 II. Como la recta es perpendicular a la recta y siendo paralela al plano horizontal de proyección, debe cumplirse que:
aHbH mHnH
(corolario 1 de perpendicularidad entre rectas)
 III. Si hacemos un análisis análogo con respecto a una recta frontal del plano, podemos llegar a la conclusión de que, si la recta es perpendicular a una recta que es frontal de un plano, y siendo paralela al plano frontal, debe cumplirse que:
aFbF 	sFtF
(corolario 2 de perpendicularidad entre rectas)
conclusión:
Para que una recta perpendicular a un plano cualquiera quede completamente determinada, basta que su proyección horizontal sea perpendicular a la proyección horizontal de una recta horizontal del plano, y que su proyección frontal, sea perpendicular a la proyección frontal del plano. Ambas condiciones deben cumplirse simultáneamente.
PERPENDICULARIDAD ENTRE PLANOS
Para que dos planos sean perpendiculares entre sí, es condición necesaria y suficiente que, en uno de los planos exista por lo menos una recta que sea perpendicular al otro plano.
Por lo tanto, si el plano es perpendicular al plano debe existir en el plano (o en el plano ) una recta que sea perpendicular al otro plano (o al ).
De esto podemos deducir un procedimiento para averiguar si existe perpendicularidad entre dos planos dados:
Ø	Se toma un punto v en el plano .
Ø	Por el punto v trazamos la recta perpendicular al plano .
Ø	Si la recta pertenece al plano , quiere decir que ambos planos dados son perpendiculares.
Ø	Si la recta no pertenece al plano , significa que los planos dados no son perpendiculares.
Ejemplos:
· 	Planos y :
· 	Recta pertenece al plano :
· Luego tendremos:
Plano plano .
· 	Planos y :
· 	Recta no pertenece al plano :
· Luego tendremos:
Plano no es perpendicular al plano .
Aplicación en el depurado:
Dados los planos y , investigar si son o no perpendiculares.
Procedimiento:
Ø	Tomemos en el plano un punto cualquiera tal como a.
Ø Por el punto a tracemos la recta que sea perpendicular al plano (para ello, nos damos previamente una horizontal y una frontal en el plano : (ver perpendicularidad entre rectas y planos ).
Ø	Obtenido la recta con las condiciones establecidas, comprobaremos si ella pertenece o no al plano .
Ø	En nuestro problema, la recta no perteneceal plano , por lo tanto, los planos dados NO son perpendiculares entre sí.