Sebastiani - resumen_pitch_class_sets

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRES DE FEBRERO 
LICENCIATURA EN MÚSICA 
ESTRUCTURAS MUSICALES III (2017) 
Esteban Sebastiani / Francisco García 
 
 
INTRODUCCIÓN A LOS CONJUNTOS DE GRADOS 
CROMÁTICOS (Pitch Class Sets) 
 
 
Los conjuntos de grados cromáticos son una herramienta de análisis de relaciones 
interválicas desarrollada por Allen Forte en el año 1973 para el estudio de obras de 
música atonal, especialmente de atonalismo libre. Si bien el uso primordial de los 
mismos es el análisis, este sistema puede ser utilizado para la creación musical. 
 
El uso de los conjuntos de grados cromáticos como método de análisis se basa en la 
premisa de que, si bien en la música atonal libre no hay un sistema que rige la 
utilización de las alturas, ciertos intervalos tienen recurrencias y puden ser 
organizados por grupos para su estudio. Un sistema de clasificación permitiría 
entonces nomenclarlos indicando la cantidad de sonidos de cada conjunto y las 
interválicas involucradas entre los mismos. Como este método de análisis se utiliza 
en el sistema dodecafónico, los conjuntos pueden tener un mínimo de 2 sonidos –y 
por lo tanto, un único intervalo por set–, y un máximo de 12 –cuyo caso 
comprendería, entre otros, la totalidad de los intervalos posibles–. 
 
Supongamos grupos de tres sonidos; para conocer entonces la cantidad de 
combinatorias posibles recurriremos a la ecuación: 
 
Vn,m = n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 
 
Si n es la cantidad de sonidos disponibles (12) y m es la cantidad de sonidos para 
este grupo (3) nuestra función quedará expresada de la siguiente forma: 
 
V12,3 = 12.11.10 = 1320 
 
Esta cantidad, si bien representa las posibles combinatorias, también incluye las 
permutaciones que, en este caso, representan conjuntos repetidos. 
 
Para conocer la cantidad de permutaciones posibles en un grupo de tres sonidos, 
recurriremos a la ecuación: 
Pn = n! 
 
Si n es la cantidad de sonidos posibles, quedará entonces expresada de esta forma: 
 
P3 = 3.2.1 = 6 
Para excluir las permutaciones dividiremos el número total de combinaciones por el 
número de permutaciones posibles por grupo. 
 
1320 / 6 = 220 
 
Tendríamos entonces 220 conjuntos, pero en la práctica, excluyendo trans-
posiciones e inversiones, el número real de combinatorias para los grupos de tres 
sonidos es 12. 
 
Numeraremos a cada sonido del sistema dodecafónico de 0 a 11: 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
DO DO# RE RE# MI FA FA# SOL SOL# LA LA# SI 
 
Estableceremos como ejemplo un primer conjunto de tres sonidos 0, 1, 2; el 
conjunto contendrá entonces dos segundas menores (do - do#; do# - re) y una segun-
da mayor (do - re). 
 
Si observamos la interválica relativa y no los sonidos absolutos, un set compuesto 
por los sonidos 1, 2, 3 contendría exactamente los mismos intervalos, por lo que 
estaríamos en presencia de una transposición. 
 
Otro ejemplo podría ser un set con los sonidos 0, 1, 11. Si lo organizamos 11, 0, 1 
(si, do, do#) estaremos en presencia de la misma interválica, y por lo tanto este set 
sería una inversión. 
 
Por lo tanto, todos los intervalos superiores al tritono (6 semitonos), podrían 
considerarse inversiones, por ejemplo, séptima mayor (0, 11) es en efecto en este 
sistema una segunda menor (11, 0). 
 
Bajo esta reducción, un conjunto podrá contener todos los intervalos comprendidos 
entre el semitono y el tritono, y sus inversiones. 
 
El vector de clases interválicas, o vector interválico, expresa los intervalos contenidos 
en un determinado set. Por ejemplo, el set 0, 1, 2 contiene el siguiente vector. 
 
2m | 2M | 3m | 3M | 4J | 4A 
7M | 7m | 6M | 6m | 5J | 4A 
[ 2, 1, 0, 0, 0, 0 ] 
 
Es decir, 2 segundas menores, 1 segunda mayor, 0 terceras menores, 0 terceras 
mayores, etcétera. (nótense las posibles inversiones interválicas en cada caso). 
 
Cada conjunto de grados cromáticos posee un determinado vector interválico. En 
ciertas ocasiones, algunos de ellos comparten un mismo vector pese a no ser 
transposiciones ni inversiones uno de otro. En esos casos estamos ante la presencia 
de los conjuntos denominados par Z. 
Cada set puede ademas comprender un subset, es decir, un set de menor cantidad 
de sonidos, que comparte las mismas alturas. Por ejemplo, el set denominado en 
este caso (a) y que contiene los sonidos 0, 1, 2, es un subset de (b) 0, 1, 2, 3. A su 
vez, (b) es un superset de (a). 
 
También existe la denominación de set suplementario, en este caso un set es 
suplemento del otro por contener todos los sonidos con los que el primero no 
cuenta. Por ejemplo, (c) 0, 1, 2, 3 es complementario de (d) 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. 
 
Si analizamos entonces los grupos de tres sonidos, obtendremos las siguientes 
combinatorias posibles: 
 
 Sonidos Vector Nomenclatura 
 
0,1,2 [2,1,0,0,0,0] 3-1 
0,1,3 [1,1,1,0,0,0] 3-2 
0,1,4 [1,0,1,1,0,0] 3-3 
0,1,5 [1,0,0,1,1,0] 3-4 
0,1,6 [1,0,0,0,1,1] 3-5 
0,2,4 [0,2,0,1,0,0] 3-6 
0,2,5 [0,1,1,0,1,0] 3-7 
0,2,6 [0,1,0,1,0,1] 3-8 
0,2,7 [0,1,0,0,2,0] 3-9 
0,3,6 [0,0,2,0,0,1] 3-10 
0,3,7 [0,0,1,1,1,0] 3-11 
0,4,8 [0,0,0,3,0,0] 3-12 
 
Cualquier otra combinatoria no incluída en el listado 
representa una transposición o inversión. 
 
Para lograr la correcta identificación de un conjunto, es importante analizar si se 
trata de una transposición o inversión, o se encuenta en su forma prima. Para ello 
procederemos de la siguiente forma: 
 
Supongamos un set de tres sonidos (e) 10, 0, 4 
Primero lo organizaremos de menor a mayor: 0, 4, 10 
 
Luego realizaremos las posibles rotaciones del mismo: 
 
p [ 0, 4, 10 ] 
q [ 4, 10, 12 ] (sumamos 12 a 0 para subirlo de octava) 
r [ 10, 12, 16 ] (sumamos 12 a 4 para subirlo de octava) 
 
Restamos entonces al último sonido, el primero de cada set: 
 
 p 10 - 0 = 10 
 q 12 – 4 = 8 
 r 16 - 10 = 6 * 
 
El conjunto con el menor resultado es la forma prima, en este caso (r) 10, 12, 16. 
Debemos además advertir que se trata de una transposición (diez semitonos arriba), 
y comenzando desde cero sería 0, 2, 6. 
Si en el paso anterior encontraramos un empate entre las sustracciones, y no hubiera 
un caso único con un resultado menor, se considerará como forma prima a aquel de 
éstos que tenga menor distancia entre sus dos primeros sonidos. Por ejemplo, entre 
(f) 0, 4, 6, 8 (4 – 0 = 4) y (g) 4, 6, 8, 12 (6 – 4 = 2), (g) sería la forma prima. 
 
 
 
 
Como ya se ha mencionado los conjuntos de grados cromáticos pueden utilizarse 
para analizar o crear música. Como actividades de cátedra se plantean los siguientes 
trabajos: 
 
1. Análisis del Nacht (número 8 de Pierrot Lunaire), compuesta por Arnold 
Schoenberg. La actividad se realizará de forma conjunta en clase. 
Partitura disponible en: https://goo.gl/w8tLLg 
 
2. Creación de una pieza de hasta un minuto utilizando un único conjunto de 
grados cromáticos de tres sonidos. Este trabajo se realizará de forma 
individual y su calificación conformará parte de la nota final de la materia. 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA: 
 
Forte, Allen (1973) 
The structure of atonal music 
Yale University Press 
Disponible online: https://goo.gl/CkwRWs 
 
Cetta, Pablo 
Principios de estructuración de la altura empleando conjuntos de grados cromáticos 
Universidad Católica Argentina 
Disponible online: https://goo.gl/bD1B41 
 
Nelson, Paul (2007) 
Pitch Class Sets 
Publicación online: http://composertools.com/Theory/PCSets/ 
(último acceso 9/10/2017) 
 
Hernández, Carlos (2016) 
Teoría de conjuntos de alturas 
Conservatorio Nacional José María Rodríguez 
Disponible online: https://goo.gl/nFB5Mb