CLASE 12 - Ecuaciones matriciales

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ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA II: CLASE N° 12 
PROFESORA: GIMENEZ SABINA 
Ecuaciones matriciales 
 
Sea la ecuación matricial , donde las matrices A y H son conocidas y X es la matriz 
incógnita. Suponemos que A es una matriz no singular, entonces existe . 
Luego: 
 multiplicamos en ambos miembros por 
 ( ) 
 
 
O podemos resolverla de la siguiente manera: 
 
 ( ) 
 
 
 
Ejemplo: Resuelva la ecuación matricial siendo [
 
 
 
] [
 
 
] 
y [ ] 
 
Observamos los órdenes de las matrices: 
 
 
 
El producto 
 
 es otra matriz , entonces: 
 
Multiplicamos en ambos miembros de la igualdad por : 
 
 
 
 no se puede realizar ya que el número de columnas de 
 no es igual al número de 
filas de M, lo que implica que la ecuación planteada no se puede resolver!! 
 
ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA II: CLASE N° 12 
PROFESORA: GIMENEZ SABINA 
Ejemplo: Resuelva la ecuación , siendo 
 [
 
 
 
] [
 
 
 
]. 
 
Primero observamos el orden de cada matriz y si además podemos demostrar que existe la inversa de 
A estamos en condiciones de decir que la ecuación se puede resolver: 
 
 
La diferencia se puede realizar y es una matriz que llamaremos 
 
Multiplicamos por en ambos miembros de la igualdad: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I 
Es decir que la ecuación I se puede resolver 
Calculamos la inversa de A para ver si existe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Por lo tanto [
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
] 
Calculamos 
 [
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
Por lo tanto, calculando I 
 
 obtenemos la matriz incógnita: 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 [
 
 
 
] 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
Rta: la matriz incógnita es 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
 
Problema de aplicación: 
Un agricultor mendocino prepara la tierra para sembrar repollo y ajo. Para cada parcela 
destinada a repollo emplea 60kg de superfosfato triple y 150kg de urea. Para una parcela 
destinada a ajo emplea 100kg de superfosfato triple y 180kg de urea. Este agricultor dispone de 
1000kg de superfosfato triple y 2220g de urea. ¿Cuántas parcelas de cada plantación puede 
preparar para emplear todo el superfosfato triple y la urea? 
 
Primer forma de resolver: 
Definimos las variables involucradas: 
x: número de parcelas de repollo 
y: número de parcelas de ajo 
 
 Colocamos los datos que tenemos en una tabla para una mejor lectura e interpretación de los 
mismos: 
 
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 Superfosfato Triple Urea 
Repollo 60kg 150kg 
Ajo 100kg 180kg 
Total Disponible 1000kg 2220kg 
 
 Formamos las matrices: 
 MATRIZ DE REQUERIMIENTO : representa la cantidad de kg de superfosfato y urea 
que se necesitan para sembrar repollo y ajo. 
 [
 
 
] 
 MATRIZ DE DISPONIBILIDAD : representa la totalidad de superfosfato y urea 
disponibles para los cultivos 
 [ ] 
 MATRIZ INCÓGNITA : número de parcelas que se pueden preparar para cada cultivo. 
 [ ] 
 Podemos definir la situación planteada mediante la ecuación matricial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Hallamos la inversa de R: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 [
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ] 
 Calculamos ahora 
 
 
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 [ ] [
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ] [ ] 
Rta: Es decir que tenemos 10 parcelas de repollo y 4 parcelas de ajo! 
 
Otra forma de resolver el problema haciendo uso de la inversa: 
 
Organizamos los datos en una tabla de una forma diferente a la anterior: 
 Repollo Ajo Total Disponible 
Superfosfato triple 60 100 1000 
Urea 150 180 2220 
 
Teniendo en cuenta la tabla, las matrices estarían construidas de la siguiente manera: 
 [
 
 
] [
 
 
] [
 
 ] 
El problema queda planteado de la siguiente manera: 
 
 
 
 
 
 
 
Calculamos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 [
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
] 
Hallamos ahora 
 
 
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PROFESORA: GIMENEZ SABINA 
 
 [
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
LO CUAL IMPLICA QUE HEMOS LLEGADO AL MISMO RESULTADO RESOLVIENDO A 
SITUACIÓN DE UNA MANERA DISTINTA!!