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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación: Artículo 1.- Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) deben comportarse fraternalmente los unos con los otros. Artículo 2.- Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de cuya jurisdicción dependa una persona (...). Artículo 3.- Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su persona. Artículo 4.- Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de esclavos están prohibidas en todas sus formas. Artículo 5.- Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o degradantes. Artículo 6.- Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su personalidad jurídica. Artículo 7.- Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación que infrinja esta Declaración (...). Artículo 8.- Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos fundamentales (...). Artículo 9.- Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado. Artículo 10.- Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier acusación contra ella en materia penal. Artículo 11.- 1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia mientras no se pruebe su culpabilidad (...). 2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de la comisión del delito. Artículo 12.- Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques. Artículo 13.- 1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia en el territorio de un Estado. 2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y a regresar a su país. Artículo 14.- 1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a disfrutar de él, en cualquier país. 2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y principios de las Naciones Unidas. Artículo 15.- 1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad. 2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a cambiar de nacionalidad. Artículo 16.- 1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y fundar una familia (...). 2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá contraerse el matrimonio. 3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho a la protección de la sociedad y del Estado. Artículo 17.- 1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente. 2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad. Artículo 18.- Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de religión (...). Artículo 19.- Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...). Artículo 20.- 1. Toda persona tiene derecho a la libertad de reunión y de asociación pacíficas. 2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación. Artículo 21.- 1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, directamente o por medio de representantes libremente escogidos. 2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las funciones públicas de su país. 3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto. Artículo 22.- Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al libre desarrollo de su personalidad. Artículo 23.- 1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el desempleo. 2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por trabajo igual. 3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por cualesquiera otros medios de protección social. 4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa de sus intereses. Artículo 24.- Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas pagadas. Artículo 25.- 1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad. 2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho a igual protección social. Artículo 26.- 1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual para todos, en función de los méritos respectivos. 2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento de la paz. 3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que habrá de darse a sus hijos. Artículo 27.- 1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de la comunidad, a gozar de las artes y a participar en el progreso científico y en los beneficios que de él resulten. 2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y materiales que le correspondan por razón de las producciones científicas, literarias o artísticas de que sea autora. Artículo 28.- Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan plenamente efectivos. Artículo 29.- 1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...). 2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único fin de asegurar el reconocimiento y el respeto de los derechos y libertades de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden público y del bienestar general en una sociedad democrática. 3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas. Artículo 30.- Nada en esta Declaración podrá interpretarse en el sentido de que confiere derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los derechos y libertades proclamados en esta Declaración. 2 Nombres: _________________________________________________ _________________________________________________________ Apellidos: _________________________________________________ _________________________________________________________ DNI: ____________________________________________________ Domicilio: _________________________________________________ __________________________________________________________ Institución educativa: _________________________________________ __________________________________________________________ Correo electrónico: __________________________________________ _________________________________________________________ AritméticA Matemática Impreso en el perÚ / prInted In peru La Editorial se hace responsable por el rigor académico del contenido del texto de acuerdo con los principios de la Ley General de Educación. título de la obra ® matemátIca delta 2, secundaria aritmética © derechos de autor reservados y registrados mauro enrIque matto muzante © derechos de edición, arte y diagramación reservados y registrados conforme a ley delta edItores s.a.c. edIcIón, 2020 coordinador de área: Mauro Enrique Matto Muzante diseño, diagramación y corrección: Delta Editores s.A.C. Ilustración general: Banco de imágenes Delta Editores s.A.C. delta edItores s.a.c. Jr. Pomabamba 325, Breña Tels. 332 6314 332 6667 Correo electrónico: informes@eactiva.pe www.eactiva.pe Tiraje: 4500 ejemplares Impresión: FINIshING s.A.C. Jr. La Maquinaria 160, Chorrillos Lima - Perú Tels. 265 3974 251 7191 IsBn n.o 978-612-4354-34-2 proyecto editorial n.o 31501051900810 ley n.o 28086 Hecho el depósito legal en la Biblioteca nacional del perú n.o 2019-10449 proHIBIda la reproduccIón total o parcIal leY de lucHa contra la pIraterÍa leY 28289 puBlIcada el 20 de JulIo de 2004 tÍtulo vII delItos contra los derecHos Intelectuales capÍtulo I delItos contra los derecHos de autor Y conexos Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la autorización del autor. artículo 217.o.- será reprimido con pena privativa de libertad no menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa, el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y escrita del autor o titular de los derechos: a. La modifique total o parcialmente. b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público. c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho. d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el autorizado por escrito. La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior importe cada uno. MateMática Delta 2 - aritMética 3 PresentaciónPresentación Estimado estudiante, ahora que entraste a un siguiente grado, habrás notado que el nivel secundario es distinto al que cursaste en la primaria; los cursos son diferentes, la forma de enseñar de los docentes también lo es; por ende, sabemos que necesitas todo el apoyo posible para entender mejor cada materia. Ante ello, hemos diseñado toda una estrategia para que el proceso de tus aprendizajes sea didácticamente beneficioso para ti, ya que hemos ordenado los temas de acuerdo al avance curricular que necesitas y los hemos organizado por secciones que te faciliarán cumplir con los objetivos. El contenido teórico que te presentamos a continuación, permitirá que continúes fortaleciendo tus capacidades y competencias matemáticas, y que estas sean, a su vez, aplicadas en tu vida cotidiana; el uso de tu razonamiento lógico debe ser de constante aplicación en las situaciones que se te presenten, esto te llevará a un siguiente nivel. La distribución de las asignaturas ya las conoces: Aritmética, Álgebra, Geometría, Trigonometría y Razonamiento Matemático; en ellos encontrarás los estándares de aprendizaje que el Ministerio de Educación ha programado para este nivel. Asimismo, complementamos lo planteado con algunas preguntas que han sido tomadas de exámenes de admisión, concursos de Matemática, preguntas tipo, etc., para que estés preparado desde ahora. Inicia el año escolar dispuesto a aprender nuevos conocimientos y continúa durante todo el año con la misma dedicación. Delta Editores Apertura En esta sección encontrarás temas novedosos que propiciarán sostener una relación cercana con la Matemática. se aborda el desarrollo del tema, donde encontrarás las definiciones organizadas siguiendo una secuencia didáctica. Marco teórico Conoce tu libro Tema 109MateMática Delta 2 - aritMética Razones Una razón es la relación que se establece entre dos cantidades. Esta relación permite compararlas y tal comparación se realiza generalmente mediante una división indicada. En general: Si las cantidades son A y B, entonces la relación entre A y B se puede escribir como: A B Esta expresión se lee como: � La relación de A y B. � La razón entre A y B. Además: • A es el antecedente • B es el consecuente Si tenemos que A B 5 7 = ⇒ Se leerá como � La relación entre A y B es de 5 a 7. � La razón entre A y B es 5/7. � Por cada 5 unidades de A se tiene 7 unidades de B. � Además: A = 5k ∧ B = 7k Ejemplo 1 En un recipiente se encuentran mezclados 45 litros de ron con 27 litros de gaseosa, estableceremos la relación que hay entre los volúmenes de estos dos ingredientes. � R será el volumen de ron. � G será el volumen de gaseosa. R G 45 27 = o R G 15 9 = o R G 5 3 = Podemos realizar las siguientes lecturas: � En R G 45 27 = Por cada 45 litros de ron hay 27 litros de gaseosa. • En R G 15 9 = Por cada 15 litros de ron hay 9 litros de gaseosa. • En R G 5 3 = Por cada 5 litros de ron hay 3 litros de gaseosa. Como observamos, la relación entre R y G se puede expresar de formas similares. Sin embargo, se recomienda usar aquella expresión donde los valores están reducidos; así tendremos que: R G 5 3= Se leerá como • La relación entre R y G es de 5 a 3. • La razón entre R y G es 5/3. • Por cada 5 de R se tiene 7 de G. • Además: R = 5k ∧ G = 3k Ejemplo 2 Para cocinar el arroz, se recomienda que por cada 2 tazas de arroz se deben utilizar 3 tazas con agua. Establezcamos la relación: Ar Ag 2 3 • Ar serála cantidad de arroz • Ag será la cantidad de agua = Como dijimos, la relación se puede escribir de formas similares pero con sus valores correspondientes. 7 La razón es uno de los conceptos matemáticos aplicados con mayor frecuencia en la vida diaria. El promedio de goles anotados por cada partido de un jugador es realmente una razón. La pendiente o inclinación de un tejado puede expresarse como una razón. Obse rva Título del tema Para una mejor organización, los temas están numerados. Comentarios y/o lecturas que refuerzan el desarrollo del tema 4 Ejercicios resueltos se muestran ejercicios que están resueltos didácticamente, los mismos que servirán para el análisis del estudiante. Síntesis Contenido del tema, que incluye teoremas, postulados, fórmulas, propiedades, leyes, etc., resumido en organizadores gráficos para tener un panorama general del contenido. Modela y resuelve Los problemas con numeración impar serán resueltos por el docente, mientras que los pares serán resueltos por el estudiante siguiendo la secuencia realizada. 111MateMática Delta 2 - aritMética H – 2 5 H M + 3 8 M En una granja se crían pavos y cerdos, encontrándose estos en la relación de 5 a 9 respectivamente. Si al contar las patas de estos animales se obtienen 2208, determina en qué relación se encontrarán ahora, luego de que nacieron 28 pavos y se vendieron 52 cerdos. Resolución: Sean: P: número de pavos C: número de cerdos • Los pavos y cerdos están en relación de 5 a 9. P C = 5 9 • P = 5k • C = 9k • Al contar las patas se obtienen 2208. Patas de pavos + Patas de cerdos = 2208 2(5k) + 4(9k) = 2208 46k = 2208 k = 48 Nueva relación = P + 28 C – 52 = 240 + 28 432 – 52 = 268 380 67 95 Rpta. La nueva relación es de 67 a 95. Al inicio de una fiesta se observó que por cada 11 varones habían 8 mujeres. Si luego de media hora, tras un nuevo conteo, se ha determinado que la cantidad de varones disminuyó en sus 25 y la de mujeres aumentó en sus 3 8 . Halla cuál es la nueva relación de mujeres y hombres bajo estas condiciones. Resolución: Sean: H : cantidad de hombres que había al inicio. M: cantidad de mujeres que había al inicio. • Por cada 11 varones habían 8 mujeres. H M = 11 8 � H = 11k � M = 8k • Los varones disminuyen en sus 2 5 y las mujeres aumentan en sus 3 8 . Nueva relación = = 3 5 H 11 8 M = 2455 × H M = 24 55 × 11k 8k = 3 5 Rpta. La nueva relación entre hombres y mujeres es de 3 a 5. Platón (420-348 a. C.) Filósofo griego. Junto con su maestro Sócrates y su discípulo Aristóteles, Platón es la figura central de los tres grandes pensadores en que se asienta toda la tradición filosófica europea. Ejerció una gran influencia en el desarrollo de las ciencias exactas. Fundó en Atenas la famosa Academia. En su entrada había un rótulo que decía: «Nadie entre aquí que no sepa Geometría». Entre otras frases características de Platón, se encuentran las siguientes: «Los números gobiernan el mundo» o «cuando Dios ordenó el mundo, lo adornó de formas y números». ¿Sa bía s qu e.. .? 1 2 Ejercicios resueltos • Nacieron 28 pavos y se venden 52 cerdos. P = 5(48) = 240 C = 9(48) = 432 124 Rpta. Rpta. Al llegar a un hotel nos han dado un mapa con los lugares de interés de la ciudad, observando que se utilizó una escala de 1:1200. Si hoy queremos ir a un parque que se encuentra a 8 cm del hotel en el mapa, calcula a qué distancia del hotel se encuentra este parque. Resolución: Al llegar a un hotel nos han dado un mapa con los lugares de interés de la ciudad, observando que se utilizó una escala de 1:12 500. Si hoy queremos ir a un hospital que se encuentra a 10,8 cm del hotel en el mapa, calcula a qué distancia del hotel se encuentra este hospital. Resolución: Tiene términos medios diferentes. Tiene términos medios diferentes. Tiene términos medios iguales. Tiene términos medios iguales. Ejemplo: 8 – 5 = 4 – 1 Ejemplo: 15 35 = 27 63 Ejemplo: 20 – 15 = 15 – 10 Ejemplo: 18 12 = 12 8 a – b = c – d Se lee: «a es a b como c es a d» Donde: b ≠ c a b = c d Se lee: «a es a b como c es a d» Donde: b ≠ c a – b = b – c Se lee: «a es a b como b es a c» a b = b c Se lee: «a es a b como b es a c» Proporción aritmética P. A. Proporción geométrica P. G. Discreta DiscretaContinua Continua a + d = c + b a × d = b × c = = Suma de los términos extremos Producto de los términos extremos Suma de los términos medios Producto de los términos medios Propiedad Propiedad Modela y resuelve 1 2 Síntesis Nombre de la sección Preguntas y/o situaciones problemáticas reales o simuladas, planteadas de acuerdo al tema. Algoritmo de resolución del problema planteado. Organizador visual Enunciado del problema o de la situación planteada. Espacio para resolver el problema. Nombre de la sección Nombre de la sección 5MateMática Delta 2 - aritMética Practica y demuestra se plantean preguntas que han sido organizadas por niveles de complejidad y de elección múltiple, en las cuales el estudiante demostrará lo aprendido durante la sesión. Test Esta evaluación incluye preguntas del contenido de los temas desarrollados en la unidad y son de elección múltiple. 6 Nombre de la sección Número de test Preguntas planteadas, estas pueden ser situaciones reales o simuladas. Alternativas Espacio para realizar anotaciones de resolución AlternativasPreguntas y/o situaciones problemáticas reales o simuladas, planteadas de acuerdo a la unidad. 22 A S/ 27 360 B S/ 28 260 C S/ 26 730 D S/ 29 610 E S/ 28 170 Para entrar al cine hay 2 boleterías. En la primera, atienden a 6 personas en 72 segundos y en la segunda atienden a 15 personas en 2 minutos. Calcula cuántas personas serán atendidas en 10 minutos. 1 Halla cuántas cajas grandes se necesitan para transportar 180 000 caramelos, si en cada caja grande entra una docena de cajas pequeñas y en cada una de estas cajas pequeñas hay una decena de bolsas y en cada bolsa hay 20 caramelos. 2 Un anciano deja al morir a cada uno de sus hijos S/ 6840. Habiendo fallecido uno de ellos, la herencia de esta se repartió entre los demás, entonces cada uno recibió un total de S/ 9120. ¿Cuánto era la fortuna del anciano? 3 A un baile al cual asistieron 120 personas, se observó lo siguiente: la mujer que llegó primero bailó con 7 hombres, la que llegó segundo bailó con 8 hombres, la que llegó tercero bailó con 9 hombres y así sucesivamente, hasta que la que llegó última bailó con todos los hombres. Determina cuántas mujeres asistieron al baile. 4 Un bus parte de su paradero inicial, con cierta cantidad de pasajeros y llega al paradero final con 61 pasajeros; cada pasaje cuesta S/ 3 y el bus ha recaudado S/ 255. Encuentra con cuántos pasajeros partió el bus, si en cada paradero subían 5 pero bajaban 2 pasajeros. 5 Clarisa vende pescados en el mercado. Si vende a S/ 18 cada kilogramo, se compraría un televisor y le sobrarían S/ 6, pero si los vende a S/ 20 cada kilogramo, le sobrarían S/ 90 luego de comprar el televisor. ¿Cuánto cuesta el televisor? 6 A S/ 680 B S/ 720 C S/ 740 D S/ 750 E S/ 780 A 120 B 125 C 130 D 140 E 135 A 60 B 75 C 50 D 40 E 64 A 58 B 54 C 52 D 57 E 51 A 26 B 25 C 28 D 23 E 29 Practica y demuestra Nivel I Nombre: n.° de orden: Sección: Test n.° 3 133AritméticA 2 - SecundAriA Test n.° 3 El máximo común divisor de los números A=28n . 90n + 3 y B = 363 . 50n tiene 616 divisores. Determina el valor de n2, si n > 3. Sabiendo que el máximo común divisor de A = 36n . 45n + 2 y B = 544 . 84n + 2 tiene 171 divisores, halla el valor de n. Donde n > 4. Sabiendo que el máximo común divisor de A = 18n + 1 . 42n – 2 y B = 524 . 36n – 2 tiene 70 divisores,encuentra el valor de n. Se tienen dos barcos de metal, uno de 154 cm y otro de 210 cm. Se desea dividirlas en trozos de igual medida. Descubre cuántos trozos como mínimo se podrán obtener. En una fiesta se observa que la cantidad de hombres y mujeres están en relación de 5 a 8, respectivamente. Si luego de este conteo llegan 24 parejas y debido a esto la razón anterior cambia a 34 , determina cuántos hombres estaban en la fiesta antes de llegar estas parejas. Hace 7 años, las edades de dos hermanas se encontraban en relación de 4 a 3 y dentro de 8 años sus edades estarán en relación de 7 a 6. Calcula cuántos años tiene el mayor. 1 4 2 5 63 Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta. 9A 25C 20B 16D 5A 4C 3B 6D 6A 4C 5B 7D 25A 26C 27B 24D 28A 32C 30B 31D 26A 27C 28B 29D 7MateMática Delta 2 - aritMética 1 3 2 4 R es ue lv e pr ob le m as d e ca nt id ad Traduce cantidades a expresiones numéricas. Números enteros 10 Definición Ubicación de los números enteros en la recta numérica Operaciones con números enteros Fracciones 26 Definiciones Clasificación de las fracciones Homogeneización de fracciones Operaciones con fracciones Números decimales 45 Fracción generatriz Operaciones con números decimales Divisibilidad 59 Divisores y múltiplos Propiedades de los divisores y múltiplos Teorema del mínimo común múltiplo Criterios de divisibilidad Números primos 75 Clasificación de los números enteros positivos Números primos entre sí Teorema de Gauss Máximo común divisor y mínimo común múltiplo 93 Máximo común divisor Mínimo común múltiplo Teoremas Razones 109 Definiciones Homogeneización de razones Proporciones 121 Definiciones Teoremas en una proporción Escalas Estadística 135 Definiciones Etapas de la investigación estadística Estructura y elementos de una tabla de frecuencias Medidas de tendencia central Probabilidad 155 Definiciones Frecuencia y probabilidad Eventos independientes y dependientes unidad competencia y capacidades contenidos pedagógicos páginas Comunica su comprensión sobre los números y las operaciones. Usa estrategias y procedimientos de estimación y cálculo. Argumenta afirmaciones sobre las relaciones numéricas y las operaciones. Índice Malba Tahan, o mejor dicho Julio César de Mello y Souza, fue un profesor y escritor brasileño nacido en Río de Janeiro el 6 de mayo de 1895. Pasó su infancia en la ciudad de Queluz, en Sao Paulo, Brasil. Se formó como profesor en la Escuela Normal; luego, como ingeniero en la Escuela Nacional de Ingeniería. Desempeños • Establece relaciones entre datos y acciones de ganar, perder, comparar e igualar cantidades, o una combinación de acciones. Las transforma a expresiones numéricas que incluyen operaciones matemáticas con números enteros, fraccionarios o decimales. • Comprueba si la expresión numérica (modelo) planteada representó las condiciones del problema: datos, acciones y condiciones. • Expresa con diversas representaciones y lenguaje numérico su comprensión de la fracción como razón y operador, y del significado del signo positivo y negativo de enteros y racionales, para interpretar un problema según su contexto y estableciendo relaciones entre representaciones. • Selecciona, emplea y combina estrategias de cálculo, estimación y procedimientos diversos para realizar operaciones con números enteros, fraccionarios y decimales y simplificar procesos usando propiedades de los números y las operaciones. Malba Tahan Competencia - Resuelve problemas de cantidad: Se casó con Nair Marques da Costa con la que tuvo tres hijos. Creó la mistificación literaria que llamó Malba Tahan, a través del cual publicó numerosas obras, incluyendo su famoso libro El hombre que calculaba. Firmando como Malba Tahan o como profesor Mello y Souza , escribió varios libros sobre la enseñanza de las matemáticas. Fue principalmente heraldo y precursor de una nueva forma de enseñar la Matemática. Al principio, escribió cuentos de influencia árabe, como por ejemplo Cuentos de Malba Tahan, Ceo de Alá, Amor de Beduino, entre otros; estas narraciones, que contienen descripciones de cómo era el territorio medioriental, hacían pensar que eran escritos realmente por un árabe, sin imaginar que era un brasileño el autor de las mismas. El año 1934 escribió su primer título de recreaciones matemáticas, Matemática divertida y curiosa. y «El hombre que calculaba» 8 Cuento de los 35 camellos Uno de los cuentos más conocidos y quizás el que mejor ilustra la creatividad narrativa de Malba Tahan, es el de la división de la herencia de 35 camellos entre tres hermanos. En ese cuento, el primer hermano debería recibir la mitad del número de los camellos, el segundo, un tercio, y el tercero, un noveno. Cuando Beremiz Samir añadió a los 35 camellos de la herencia, un camello que tomó prestado, las divisiones por 2; 3 y 9, se hicieron posibles, dando 18 camellos al primer hermano, 12 para el segundo y 4 para el tercero, que sumados dan un total de 34 camellos. Hecha la división, misteriosamente sobraron 2 camellos, si comparamos con la cantidad inicial. Así, Beremiz Samir resolvió el problema de la división de los camellos entre los hermanos y aún pudo argumentar a su favor. Él devolvió el camello que había tomado prestado y recibió el camello restante como pago por el servicio de calcular. Sin duda, es una historia sorprendente, con desenlace justo e inteligente. Julio César falleció en Recife, el 18 de junio de 1974, a los 79 años. En 2013, el Gobierno de Brasil instituyó, en su homenaje, el Día Nacional de las Matemáticas cada 6 de mayo, en conmemoración a la fecha de su nacimiento. El hombre que calculaba En 1937, Malba Tahan reunió el conocimiento matemático y los cuentos árabes en una obra extraordinaria, El hombre que calculaba, la que –en cada capítulo– presenta retos y problemas resueltos por el persa Beremiz Samir, principal protagonista de la obra. En sus cuentos, Malba Tahan logra reunir en una sola narrativa, aventura, romance, fantasía, informaciones históricas y culturales, juegos y raciocinios matemáticos. Sus historias, incluso, siempre presentaban un final sorprendente, no raro de contenido moral o filosófico, para la formación de los jóvenes lectores. Desempeños • Determina las condiciones y el espacio muestral de una situación aleatoria. Representa la probabilidad de un suceso o representa su probabilidad mediante su frecuencia relativa. A partir de este valor determina si un suceso es seguro, probable o imposible de suceder. • Expresa con diversas representaciones su comprensión sobre las medidas de tendencia central para representar un conjunto de datos, así como el significado del valor de la probabilidad. • Recopila datos de variables cualitativas y cuantitativas mediante encuestas, o seleccionando y empleando procedimientos, estrategias adecuadas al tipo de estudio. Los procesa y organiza en tablas con el propósito de analizarlos y producir información. Revisa los procedimientos utilizados y los adecúa. • Selecciona y emplea procedimientos para determinar medidas de tendencia central de datos discretos, la probabilidad de sucesos de una situación aleatoria. Revisa sus procedimientos y resultados. Competencia - Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre: Fuente: www.malbatahan.com.br 9MateMática Delta 2 - aritMética 5k – 12 4k – 12 10 10 Tema Números enteros La palabra número natural proviene del latín numerus; el conjunto de estos números naturales se simboliza con . = {0; 1; 2; 3; 4; ...} La palabra número entero proviene del alemán zahlen (números). El conjunto de estos números enteros se simboliza con y es un conjunto de números que incluye a: Los números positivos (1; 2; 3; ...), sus opuestos (...; –3; –2; –1) y el cero (0). El conjunto de todos los números enteros se representa por:= {... ; –3; –2; –1; 0; +1; +2; +3; ...} Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario determinar también el signo del resultado. El conjunto de los números naturales está incluido en el conjunto de los números enteros . ⊂ Además: • El opuesto de +5 es –5. • 0 es el único número entero que no tiene opuesto, ni tampoco signo. • Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe el signo «más» delante de los positivos: +1; +5, etc. Not a Ubicación de los números enteros en la recta numérica ... –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 ... Observa que: • Todo número negativo es menor que cero : –7 < 0 • Todo número positivo es mayor que cero : +7 > 0 • Si se tienen dos enteros negativos, es mayor aquel que esté ubicado más a la derecha en la recta numérica : –7 > –10 Operaciones con números enteros Adición de números enteros Ley interna o de clausura Ley asociativa (2 + 3) + (–5) = 2 + [3 + (–5)] 5 + (–5) = 2 + (–2) 0 = 0 (m + n) + p = m + (n + p) = (m + p) + n = m + n + p Ley conmutativa m + n = n + m Ejemplo: 2 + (–5) = (–5) + 2 –3 = –3 Ley del elemento neutro de la adición m + 0 = m Ejemplo: (–5) + 0 = –5 Ley del elemento opuesto o inverso aditivo m + (–m) = 0 ⇒ m = –(–m) Ejemplo: 5 + (–5) = 0 ⇒ 5 = –(–5) Regla de los signos Si m y n , entonces (m + n) . Ejemplo: 1 Signos iguales (se suman) Signos diferentes (se restan) Al resultado se le coloca el mismo signo que los números sumados. Al resultado se le coloca el signo del número de mayor valor absoluto. ( + ) y ( – ) ( – ) y ( + ) ( + ) y ( + ) ( – ) y ( – ) 11 11MateMática Delta 2 - aritMética 11 Los números enteros permiten contabilizar pérdidas o expresar ciertas magnitudes como la temperatura o la altura que toman valores por debajo de cero. Por ejemplo: la altura del monte Everest es de 8848 m por encima del nivel del mar y se expresa como +8848 m; la orilla del Mar muerto está a 423 m por debajo del nivel del mar y se expresa como –423 m. Import a nt e Algunos símbolos matemáticos son: ∀ : para todo ˅ : o ˄ : y ⇔ : si y solo si ⇒ : entonces ∴ : por lo tanto Recu e rda • Al multiplicar dos números del mismo signo, el resultado tiene signo positivo. • Al multiplicar dos números de diferente signo, el resultado tiene signo negativo. Sustracción de números enteros La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. m – n = m + (–n) Ejemplos: • 7 – 5 = 7 + (–5) = 2 • 6 – (+9) = 6 + (–9) = –3 Ley interna o de clausura Ejemplos: • 10 – (–5) = 10 + (+5) = 15 • (–20) – (+ 6) = (–20) + (–6) = –26 Multiplicación de números enteros La multiplicación de varios números enteros da como resultado otro número entero, que tiene como signo el que se obtiene de la aplicación de la siguiente regla. Regla de los signos ( + ) por ( + ) = ( + ) ( – ) por ( – ) = ( + ) ( + ) por ( – ) = ( – ) ( – ) por ( + ) = ( – ) • (+2) × (+5) = +10 = 10 • (+7) × (+5) = +35 = 35 • (–2) × (–5) = +10 = 10 • (+7) × (–5) = –35 • (+2) × (–5) = –10 • (–7) × (+5) = –35 • (–2) × (+5) = –10 • (–7) × (–5) = +35 = 35 La multiplicación de números enteros cumple con las siguientes leyes: Ley interna o de clausura • (+2) × (–5) = –10 • (–4) × (–8) = +32 Si m y n , entonces (m – n) . Si m y n , entonces (m × n) . Ejemplos: Ate n ción En la sustracción no se cumple la Ley conmutativa: m – n n – m 5 – 2 2 – 5 12 División de números enteros En la división de dos números enteros, el signo del cociente se obtiene aplicando la misma regla de signos que usamos en la multiplicación. • (+10) ÷ (+5) = +2 = 2 • (+40) ÷ (+8) = +5 = 5 • (–10) ÷ (–5) = +2 = 2 • (+40) ÷ (–8) = –5 • (+10) ÷ (–5) = –2 • (–40) ÷ (+8) = –5 • (–10) ÷ (+5) = –2 • (–40) ÷ (–8) = +5 = 5 • (–8) × (–3) × (–6) ⇒ [(–8) × (–3)] × (– 6) = (–8) × [(–3) × (–6)] (+24) × (– 6) = (–8) × (+18) –144 = –144 A los números negativos, antiguamente, se les conocía como números deudos o números absurdos. Sin embargo, los chinos no aceptaban la idea de que un número negativo sea solución de una ecuación. Leonhard Euler es el primero en darles estatuto legal, en su libro «Elementos de álgebra» (1770) en el que trata de demostrar que: (–1) × (–1) = +1 Él argumentaba que el producto tiene que ser +1 o –1 y que sabiendo que se cumple: (+1) × (–1) = –1, entonces tendrá que ser: (–1) × (–1) = +1 ¿Sa bía s qu e.. .? Ley asociativa (m × n) × p = m × (n × p) = (m × p) × n = m × n × p • (2) × (3) × (–5) ⇒ [(2 × (3)] × (–5) = [(2) × (–5)] × (3) 6 × (–5) = (–10) × (3) –30 = –30 Ley conmutativa m × n = n × m • (2) × (–5) = (–5) × (2) –10 = –10 • (–4) × (–3) = (–3) × (–4) +12 = + 12 Ley del elemento neutro o identidad m × 1 = m Ejemplos: • (–5) × 1 = (–5) = –5 • (+9) × 1 = (+9) = +9 Ley distributiva En la adición: m × (n + p) = m × n + m × p En la sustracción: m × (n – p) = m × n – m × p Ley del inverso multiplicativo Si al multiplicar dos números enteros m y e se obtiene 1 como producto, se dice que uno de los factores es igual al inverso multiplicativo del otro. m × e = 1 ⇒ m = 1e Ejemplos: Ejemplos: 13MateMática Delta 2 - aritMética Potencia de números enteros La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero cuyo signo se deduce de la aplicación de las siguientes reglas: Las potencias de exponente par siempre son positivas. Ejemplos: • (+15)2 = +225 = 225 • (–12)2 = +144 = 144 • (–18)2 = +324 = 324 • (–2)6 = +64 = 64 • (–6)4 = +1296 = 1296 • (–5)4 = +625 = 625 Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base. Ejemplos: • (+7)3 = +343 • (–6)3 = –216 • (–8)3 = –512 • (–3)5 = –243 • (–2)5 = –32 • (–1)5 = –1 Propiedades a0 = 1 ; a ≠ 0 a1 = a am × an = am + n • (+5)0 = 1 • (+4)5 ÷ (+4)3 = (+4)2 • (–2)10 ÷ (–2)4 = (–2)6 • [(+42)]3 = (+4)6 • (+4)3 × (+5)3 = [(+4)(+5)]3 = (+20)3 • (–2)4 × (+5)4 = [(–2)(+5)]4 = (–10)4 • (–5)1 = –5 • (+4)2 × (+4)3 = (+4)5 • (–2)3 × (–2)4 = (–2)7 (am)n = am × n an × bn = (a × b)n am an = am – n Una potencia no es más que una expresión abreviada, que se utiliza para escribir el producto de factores iguales. Por ejemplo: 23 = 2 × 2 × 2 = 8 donde: • 2 es la base. • 3 es el exponente. • 8 es la potencia. En general: ¿Sa bía s qu e.. .? 3 factores an = a × a × ... × a n factores Donde: • a es la base • n es el exponente • El resultado de la operación es la potencia. • (–49)0 = 1 • (+898)0 = 1 Potencia de exponente cero Potencia de exponente uno • (+235)1 = +235 • (–169)1 = –169 Producto de potencias de bases iguales • (+12)4 × (+12)5 = (+12)9 Cociente de potencias de bases iguales • (–5)7 ÷ (–5)6 = –5 Potencia de una potencia • [(–126)]4 = 1224 • [(+9)9]2 = (+9)18 Producto de una potencia con el mismo exponente 14 La raíz de índice par solo existe cuando el radicando es positivo. Ejemplos: • +16 = +4 = 4 • +81 = +3 = 3 • +64 = +2 = 2 Ejemplo 1 Efectúa la operación (–4) × [(–6) – (–8)] – (+3) × [(–11) + (+7)]. (–4) × [(–6) – (–8)] – (+3) × [(–11) + (+7)] (–4) × [(–6) + (+8)] – (+3) × [(–11) + (+7)] (–4) × (+2) – (+3) × (–4) (–8) – (–12) (–8) + (+12) (+4) (–6) × [(–7) + (+3) – (7 + 6 – 14)] – (+7) × (+3) (–6) × [ (–4) – (13 – 14) ] – (+21) (–6) × [ (–4) – (–1)] + (–21) (–6) × [ (–4) + (+1) ] + (–21) Ejemplo 2 Efectúa la operación (–6) × [(–7) + (+3) – (7 + 6 – 14)] – (+7) × (+3). (–6) × (–3) + (–21) (+18) + (–21) (–3) La raíz de índice natural (mayor que 1) de un número entero no siempre es otro número entero, y cuyo signo está sujeto a la aplicación de las siguientes reglas: Raíz de números enteros La raíz de índice impar tiene el mismo signo que el radicando. Ejemplos: • +8 3 = +2 • –64 3 = –4 • –32 5 = –2 Operaciones combinadas con números enteros Jerarquía de las operaciones 1.º Efectúa las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 2.º Calcula las potencias y raíces. 3.º Calcula los productos y cocientes. 4.º Calcula las sumas y restas. Repa sa Las raíces cuadradas son expresiones matemáticas que surgieron al plantear diversos problemas geométricos como la longitud de la diagonal de un cuadrado, entre otros cálculos. Veamos: x 1 2 x2 = 22 + 12 x2 = 5 x = 5 La creencia popular es que; por ejemplo: 16 = ±4 Dicha afirmación no es correcta por las siguientes razones: • La raíz cuadrada de un número positivo debe ser positivo. • 16 es un número real, por lo tanto ocupa un solo punto en la recta numérica; si aceptamos que 16 = ± 4 entonces ese número estaría ocupando dos puntos en la recta numérica el punto +4 y el –4, lo cual es inadmisible para un número real. 6 15MateMática Delta 2 - aritMética El comedor «Sabores andinos» abrió sus puertas incluyendo en su menú la venta de bebidas calientes. Los encargados llevaron registros detallados de las ganancias y pérdidas obtenidas durante la primera semana de este lanzamiento. A continuación describimos lo que ocurrió: el día lunes el comedor perdió S/ 98, el martes perdió S/ 54, el miércoles ganó S/ 18, el jueves perdió S/ 37 y el viernes ganó S/ 43, el sábado ganó S/ 87 y el domingo ganó S/ 94. Determina si el comedor ganó o perdió la primera semana. Resolución: Organizaremos los datos de ganancias y pérdidas en un cuadro de doble entrada. El monte Everest es la montaña más alta del planeta Tierra, con una altura de 8848 metros sobre el nivel del mar. Está localizada en la cordillera de Mahalangur Himal, en el continente asiático, y marca la frontera entre China y Nepal. Un montañista ha escalado y se encuentra a 5790 m s.n.m., decide seguir subiendo y asciende 820 metros, luego descansa unos 30 minutos y asciende 189 m; sin embargo, debido a que hay peligro de una avalancha decide descender 542 m para refugiarse. Determina a qué distancia sobre el nivel del mar se encuentra el montañista. Resolución: Para saber exactamente donde se encuentra el montañista, efectuamos la operación: Entonces: (+242) + (–189) = +53 Día Ganancia Pérdida lunes S/ 98 martes S/ 54 miércoles S/ 18 jueves S/ 37 viernes S/ 43 sábado S/ 87 domingo S/ 94 Total S/ 242 S/ 189 (+5790) + (+820) + (189) + (–542) (+6799) ⇒ (+6799) + (–542) ⇒ (+6257) Rpta. Se encuentra a 6257 m s.n.m. Rpta. El comedor ganó S/ 53. 1 2 La cima del Everest es el punto en que la superficie de la Tierra alcanza la mayor distancia sobre el nivel del mar. En ocasiones, varias montañas son reclamadas alternativamente como las «montañas más altas de la Tierra». El Mauna Kea en Hawái es la más alta cuando se mide desde su base; se eleva a más de 10 200 m cuando se mide desde su base en el suelo centro-oceánico, pero solo alcanza 4205 m sobre el nivel del mar. +5790 +820 +189 –542 cúspide nivel del mar ¿Sa bía s qu e.. .? Ejercicios resueltos 16 Rpta. Rpta. 1 2Milagros compró un automóvil usado a S/ 8750, pagó S/ 830 por un cambio de llantas y S/ 200 por afinarlo. Después lo alquiló durante dos años a razón de S/ 1500 por trimestre. Finalmente, lo vendió a S/ 7750. ¿Cuánto ganó o perdió? Resolución: Martín compró un automóvil a S/ 9540, pagó S/ 970 por un cambio de llantas y S/ 320 por afinarlo. Después lo alquiló durante un año y medio a razón de S/ 1200 por trimestre. Finalmente, lo vendió a S/ 6820. ¿Cuánto ganó o perdió? Resolución: Adición y sustracción O pe ra ci on es O pe ra ci on es G rá fic am en te Multiplicación y división Enteros negativos Enteros positivos –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 + ∞– ∞ • (+5) + (+8) = +13 • (–8) + (–2) = –10 • (+4) + (–7) = –3 • (–6) + (+10) = +4 (+) × (+) = (+) , (+) × (–) = (–) (–) × (–) = (+) , (–) × (+) = (–) (+) ÷ (+) = (+) , (+) ÷ (–) = (–) (–) ÷ (–) = (+) , (–) ÷ (+) = (–) Números enteros ( ) Si poseen el mismo signo se suman las cantidades y se coloca el mismo signo. Si poseen diferente signo se restan las cantidades y se coloca el signo de la cantidad que tenga el mayor valor absoluto. Modela y resuelve Síntesis 17MateMática Delta 2 - aritMética Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. 5 3 4 6Un contratista ofrece a un obrero S/ 24,50 por cada día de trabajo, pero le descontará S/ 5,60 por cada día que llegue tarde a trabajar. Si luego de 25 días de trabajo, el obrero ha recibido como pago S/ 567,70. Halla cuántos de estos días llegó tarde. Resolución: Un contratista ofrece a un obrero S/ 28,80 por cada día de trabajo, pero le descontará S/ 7,60 por cada día que llegue tarde a trabajar. Si luego de 28 días de trabajo, el obrero ha recibido como pago S/ 738. Halla cuántos de estos días llegó tarde. Resolución: Un ganadero decide vender sus toros de lidia para una corrida, analizando las siguientes situaciones: Si vende cada toro a S/ 2980, perdería S/ 5525 en total. Sin embargo, si vendiera a S/ 3680 cada toro, ganaría S/ 3575 en total. Calcula cuántos son los toros que ha decidido vender. Resolución: Un ganadero decide vender sus vacas lecheras, analizando las siguientes situaciones: Si vende cada vaca a S/ 3240, perdería S/ 4200 en total, pero, si vendiera a S/ 3750 cada vaca, ganaría S/ 3450 en total. Calcula cuántas son las vacas que ha decidido vender. Resolución: 18 Si compro 6 calculadoras me sobrarían S/ 200; pero si compro 10 observo que me faltarían S/ 100 para comprar 4 calculadoras más. Encuentra de cuánto dinero dispongo. Resolución: Si compro 8 calculadoras me sobrarían S/ 180; pero si compro 10 observo que me faltarían S/ 75 para comprar 4 calculadoras más. Encuentra de cuánto dinero dispongo. Resolución: 7 8 Rpta. 9 10 Rpta. Rpta. Fernando, trabajando solo, planea construir una silla en 12 horas; pero luego de 5 horas de trabajo, recibe la ayuda de Roberto y juntos terminan la silla en 3 horas después. Determina cuánto tiempo hubiera demorado Roberto en construir la silla, de haber trabajado solo. Resolución: Rpta. Camilo, trabajando solo, planea construir una mesa en 16 horas; pero luego de 7 horas de trabajo, recibe la ayuda de Eduardo y juntos terminan la mesa en 5 horas después. Determina cuánto tiempo hubiera demorado Eduardo en construir la mesa, de haber trabajado solo. Resolución: 19MateMática Delta 2 - aritMética 11 12 Rpta. Un comerciante minorista compró 124 ejemplares de un libro de Matemática a S/ 84, en una editorial. Luego del traslado, observa que ha perdido 13 libros. Calcula a qué precio debe vender cada uno del resto de libros para ganar S/ 4236 en total. Resolución: Rpta. Un comerciante minorista compró 132 ejemplares de un libro de Matemática a S/ 92, en una editorial. Luego del traslado, observa que ha perdido 18 libros. Calcula a qué precio debe vender cada uno del resto de libros para ganar S/ 2448 en total. Resolución: Rpta. Rpta. 13 14Luego de una función de teatro, se obtuvo una recaudación de S/ 2959. Si en total se vendieron 174 entradas, pagando cada adulto S/ 25 y cada niño S/ 12. Halla cuántos niños ingresaron. Resolución: Luego de una función de circo, se obtuvo una recaudación de S/ 3120. Si en total se vendieron 183 entradas, pagando cada adulto S/20 y cada niño S/ 15. Halla cuántos adultos ingresaron. Resolución: 20 15 16 Ocho amigos realizaron un viaje y acordaron pagar los gastos en partes iguales, pagando la mitad antes de iniciar el viaje. Al finalizar el viaje 3 de ellos no pagaron su saldo, de modo que cada uno de los restantes tuvo que pagar S/ 42 adicionales. Determina cuánto costó el viaje en total. Resolución: Rpta. 17 18 Rpta. Un vehículo de transporte público que hace el servicio de Lima hasta Ancón, cobra S/ 2,50 como pasaje único. En el trayecto hacia Ancón se observa que cada vez que baja un pasajero, suben dos. Si el vehículo llegó a Ancón con 31 pasajeros y una recaudación de S/ 120, encuentra cuántos pasajeros subieron en el paradero inicial. Resolución: Rpta. Un vehículo de transporte público que hace el servicio de Lima hasta Zapallal, cobra S/ 2,80 como pasaje único. En el trayecto hacia Zapallal se observa que cada vez que baja un pasajero, suben 3. Si el vehículo llegó a Zapallal con 38 pasajeros y una recaudación de S/ 126, encuentra cuántos pasajeros subieron en el paradero inicial. Resolución: Nueve amigos realizaron un viaje y acordaron pagar los gastos en partes iguales, pagando la tercera parte antes de iniciar el viaje. Al finalizar el viaje, 4 de ellos no pagaron su saldo, de modo que cada uno de los restantes tuvo que pagar S/ 56 adicionales. Determina cuánto costó el viaje en total. Resolución: Rpta. 21MateMática Delta 2 - aritMética 21 22 19 20 Rpta. Rpta. Un fabricante invirtió S/ 15 120 para producir cierta cantidad de pantalones. Si luego vende una parte en S/ 8330 al precio de S/ 98 cada uno, observando que ha ganado en esta venta S/ 2210; calcula cuántos pantalones le quedan por vender. Resolución: Un fabricante invirtió S/ 12 320 para producir cierta cantidad de pantalones. Si luego vende una parte en S/ 7600 al precio de S/ 95 cada uno, observando que ha ganado en esta venta S/ 2000; calcula cuántos pantalones le quedan por vender. Resolución: Rpta. Un carpintero fabricó 60 camas por S/ 25 680. Si logró vender tres docenas por un total de S/ 18 144, halla el precio al cual debe venderse cada una de las camas restantes sabiendo que desea ganar en total S/ 4944. Resolución: Rpta. Un carpintero fabricó 70 mesas por S/ 17 780. Si logró vender tres docenas por un total de S/ 10 872, halla el precio al cual debe venderse cada una de las mesas restantes sabiendo que desea ganar en total S/ 2000. Resolución: 22 A S/ 27 360 B S/ 28 260 C S/ 26 730 D S/ 29 610 E S/ 28 170 Para entrar al cine hay 2 boleterías. En la primera, atienden a 6 personas en 72 segundos y en la segunda atienden a 15 personas en 2 minutos. Calcula cuántas personas serán atendidas en 10 minutos. 1 Halla cuántas cajas grandes se necesitan para transportar 180 000 caramelos, si en cada caja grande entra una docena de cajas pequeñas y en cada una de estas cajas pequeñas hay una decena de bolsas y en cada bolsa hay 20 caramelos. 2 Un anciano deja al morir a cada uno de sus hijos S/ 6840. Habiendo fallecido uno de ellos, la herencia de esta se repartió entre los demás, entonces cada uno recibió un total de S/ 9120. ¿Cuánto era la fortuna del anciano? 3 A un baile al cual asistieron 120 personas, se observó lo siguiente: la mujer que llegó primero bailó con 7 hombres, la que llegó segundo bailó con 8 hombres, la que llegó tercero bailó con 9 hombres y así sucesivamente, hasta que la que llegó última bailó con todos los hombres. Determina cuántas mujeres asistieron al baile. 4 Un bus parte de su paradero inicial, con cierta cantidad de pasajeros y llega al paradero final con 61 pasajeros; cada pasaje cuesta S/ 3 y el bus ha recaudado S/ 255. Encuentra con cuántos pasajeros partió el bus, si en cada paradero subían 5 pero bajaban 2 pasajeros. 5 Clarisa vende pescados en el mercado. Si vende a S/ 18 cada kilogramo, se compraría un televisor y le sobrarían S/ 6, pero si los vende a S/ 20 cada kilogramo, le sobrarían S/ 90 luego de comprar el televisor. ¿Cuánto cuesta el televisor? 6 A S/ 680 B S/ 720 C S/ 740 D S/ 750 E S/ 780 A 120 B 125 C 130 D 140 E 135 A 60 B 75 C 50 D 40 E 64 A 58 B 54 C 52 D 57 E 51 A 26 B 25 C 28 D 23 E 29 Practica y demuestra Nivel I 23MateMática Delta 2 - aritMética Nicolás pagó S/ 7585 por un automóvil, S/ 790 por cambio de llantas y S/ 225 por afinarlo. Después lo alquiló durante dos años a razón de S/ 1200 por trimestre, y luego lo vendió por S/ 6400. Descubre cuánto ganó Nicolás. 7 Un empleado ha sido contratado por 15 meses, tiempo por el cual se le ha ofrecido pagar S/ 14 640 y un televisor. Cumplidos los ocho meses, el empleado renunció al trabajo, y recibió como pago S/ 7346 y el televisor. Calcula en cuánto está valorizado el televisor. 8 Un profesor propone 110 problemas a sus alumnos en su tarea final y ofrece 5 puntos por cada problema bien resuelto, con la condición de descontarle 2 puntos por cada problema mal resuelto. Si uno de sus alumnos obtuvo 261 puntos, halla cuántos problemas resolvió correctamente, sabiendo además que no pudo resolver 20 problemas. 9 A 58 B 71 C 63 D 75 E 67 A S/ 920 B S/ 990 C S/ 950 D S/ 985 E S/ 960 A S/ 7200 B S/ 7300 C S/ 7350 D S/ 7400 E S/ 7450 A S/ 97 B S/ 91 C S/ 89 D S/ 87 E S/ 93 A 47 B 41 C 45 D 43 E 49 Un técnico cobró S/ 3096 por la instalación de una red de 14 computadoras. Si en seis computadoras tuvo que cambiar procesadores por S/ 183 en cada una, y en las otras agregarles tarjetas de video por S/ 87 en cada computadora, encuentra cuál fue su ganancia en cada computadora. 11 Un ganadero compró cierto número de reses a S/ 128 570; vendió una parte a S/ 84 240, a S/ 3240 cada una, ganando S/ 6500 en esa venta. Descubre cuántas reses compró inicialmente. 12 A S/ 212 B S/ 202 C S/ 224 D S/ 232 E S/ 219 Una avión lleva 295 pasajeros. En primera clase viajan 80 personas y cada una pagó S/ 375; en segunda clase viajaron 115 personas y cada una pagó S/ 246. Determina cuánto pagó cada persona que viajó en tercera clase, si la recaudación total fue S/ 78 490. 10 Nivel II 24 A S/ 1896 B S/ 1920 C S/ 1824 D S/ 1830 E S/ 1854 A 18 B 20 C 28 D 23 E 25 A 71 m B 69 m C 73 m D 82 m E 67 m A 35 B 42 C 28 D 45 E 32 Si un comerciante vende a S/ 11 cada calculadora, gana S/ 75; pero si decide vender cada calculadora a S/ 6, pierde S/ 50. ¿Cuántas calculadoras tiene para vender? 14 Un confeccionista compró dos rollos de tela gastando en el primer rollo S/ 792 y en el segundo S/ 1927. Un metro de la segunda tela cuesta S/ 8 más que un metro de la primera tela y, con S/ 74 se puede comprar un metro de la primera tela junto a un metro de la segunda tela. Calcula cuántos metros compró en total. 15 Se disponen 6 filas de 10 alumnos cada fila. Si se retiran los alumnos del perímetro, halla cuántos alumnos quedan. 16 Un hotel cobra durante los primeros 7 días S/ 54 diarios por persona y, a partir del octavo día reduce su tarifa a S/ 46 diarios por persona. Determina cuánto gastarían tres personas que planean pasar 12 días en dicho hotel. 17 A 568 B 584 C 552 D 648 E 608 Un edificio tiene 8 pisos; cada piso con 7 departamentos, 3 de ellos con vista a la calle; cada departamento tiene 8 o 13 focos. Encuentra cuántos focos hay en el edificio, si los departamentos que no tienen vista a la calle tienen más focos que los otros. 18 A S/ 154,00 B S/ 155,40 C S/ 156,40 D S/ 159,60 E S/ 157,50 El precio de un litro de yogur es de S/ 10,50. En una promoción del tipo «lleve 3 y pague 2», una persona que llevó 22 litros, ¿cuánto pagó? 13 Nivel III 25MateMática Delta 2 - aritMéticaA 564 B 548 C 554 D 572 E 558 A S/ 197 B S/ 187 C S/ 203 D S/ 195 E S/ 193 En un salón hay 24 alumnos y en otro salón hay 31 alumnos. Si a cada alumno de uno de los salones se le obsequia 12 caramelos, y a cada alumno del otro salón se le obsequia 4 caramelos menos. ¿Cuántos caramelos como máximo se van a repartir en total? 19 Un avión lleva 275 pasajeros. En primera clase viajan 82 personas y cada una pagó S/ 248; en segunda clase viajaron 125 personas y cada una pagó S/ 217. Descubre cuánto pagó cada persona que viajó en tercera clase, si la recaudación total fue S/ 60 177. 20 A 59 B 72 C 54 D 63 E 66 A S/ 43,60 B S/ 48,60 C S/ 44,60 D S/ 45,60 E S/ 46,60 A 64 m B 63 m C 62 m D 60 m E 58 m A 1254 B 1284 C 1238 D 1276 E 1268 En un salón de clase de primer grado, los alumnos se sientan en carpetas de 7 alumnos cada una observándose que en una de las carpetas hay tres alumnos (no sobran carpetas vacías). Si los trasladamos a otro salón donde solo hay carpetas de 6 alumnos cada una, ocuparían una carpeta adicional, calcula cuántos alumnos hay en dicho salón de clase. 21 Un señor entra a una tienda comercial y compra dos camisas de $ 38 cada una, un par de zapatos a $ 129 y un pantalón a $ 76. Si el señor paga con 5 billetes de S/ 200, ¿cuánto le dan de vuelto, en soles, sabiendo que el local comercial cobra el dólar a S/ 3,40? 23 Un confeccionista compró dos rollos de tela gastando en el primer rollo S/ 806 y en el segundo S/ 1443. Un metro de la segunda tela cuesta S/ 8 más que un metro de la primera tela y, con S/ 70 se puede comprar un metro de la primera tela junto a un metro de la segunda tela. Halla cuántos metros compró en total. 24 Un juego de niños consiste de una caja roja dentro de la cual hay 7 cajas azules; en cada caja azul hay 18 cajas verdes y en cada caja verde hay 9 cajas blancas. ¿Cuántas cajas hay en total? 22 5k – 12 4k – 12 26 26 Tema Fracciones El conjunto de los números racionales Aspectos previos Es un conjunto numérico cuyos elementos provienen de dividir dos números enteros y se simboliza con la letra . Ejemplos: El conjunto de los números racionales es un conjunto denso, pues entre dos números racionales encontraremos infinitos números racionales. Ejemplos: Entre el 0 y el 1 encontramos al número racional 0 + 12 = 1 2 0 1 2 1 Entre el 0 y 12 encontramos al número racional 0 + 1 2 2 = 1 4 0 1 4 1 2 Entre el 0 y 1 4 encontramos al número racional 0 + 1 4 2 = 1 8 0 1 8 1 4 Si seguimos con el proceso encontraremos infinitos números racionales entre el 0 y el 1. Por otra parte, es necesario mencionar que el conjunto de los números racionales contiene a los números enteros . Número fraccionario Como número racional, el conjunto de los números fraccionarios resultan de la división indicada de dos números enteros, siempre y cuando esta división resulte inexacta y el denominador sea diferente de cero. Ejemplos: / a ∈ ; b ∈ ; b 0ab = Import a nt e Sea p < q Se afirma que: p + p < q + p 2p < q + p p < q + p 2 También: p + q < q + q p + q < 2q Entonces: p < q + p 2 < q Por esto, siempre se puede encontrar un número racional entre otros dos, lo que demuestra que el conjunto es denso. 2 0 1 8 1 4 1 2 1 5 4 ; 9 15 ; −16 9 ; 27 −12 ; −28 −8 ; 8 −40 ; −15 25 15 3 ; 24 9 ; −6 8 ; 16 −9 ; −5 −1 ; 18 9 ; 318 17 2 2 ; 6 3 ; 12 4 ; 15 3 ; −6 6 ; 8 −4 ; −15 5 ; ... p + q 2 < q 27 27MateMática Delta 2 - aritMética Fracción o número quebrado Son aquellos números fraccionarios cuyos términos de la división indicada son ambos enteros positivos. Ejemplos: Como la fracción se ha usado y se usa como problema de reparto, los términos que tiene son enteros positivos. Estos términos son llamados numerador y denominador; así, una fracción se simbolizará como: De forma práctica, en la fracción a b se tendrá en cuenta que: • El denominador indica en cuántas partes iguales se divide cada unidad de referencia. • El numerador representa las partes iguales que se eligen de cada unidad de referencia. • La unidad de referencia es la que va a ser dividida en partes iguales; por ejemplo un terreno, una herencia, dinero, mercadería, etc. Ejemplo: ¿Qué significa la fracción 2 9 ? Suponiendo que la unidad de referencia es un terreno; entonces en la fracción 29 , el denominador 9 indica que el terreno se va a dividir en nueve partes iguales, mientras que el numerador 2 plantea que se debe elegir dos de las partes iguales. Gráficamente tendremos: 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 2 9 f = ab , a + , b + y la división es inexacta. a es el numerador. b es el denominador. • 15 3 no es fracción porque al dividir 15 entre 3 se obtiene 5, el cual es un número entero. ● La fracción no tiene unidades de medida, es abstracta, solo podemos interpretarla y hacer operaciones con ellas con respecto a la misma unidad de referencia. Repa sa Clasificación de las fracciones Teniendo en cuenta la comparación del valor de sus términos, las fracciones se clasifican en fracciones propias e impropias. Fracción propia Cuando el numerador es menor que el denominador, la fracción se denomina propia. En general: Sea la fracción a b , será propia si 0 < a < b. Ejemplos: Criterio 1 5 3 ; 16 9 ; 1 5 ; 24 15 ; 101 100 ; 48 40 ; 15 25 3 8 ; 5 15 ; 24 30 ; 1 6 ; 48 49 ; 105 250 28 Ejemplo: Calcula cuántas fracciones propias existen, que sean mayores que 57 y su denominador sea igual a 18. Resolución: La fracción buscada con denominador 18 es: f = a18 Es propia a < 18 Es mayor que 57 a 18 > 5 7 7a > 90 ⇒ a > 12,9 Observamos que 12,9 < a < 18 a = 13; 14; 15; 16; 17 Las fracciones son: Finalmente, se forman 5 fracciones. a 13 14 15 16 17 a 18 13 18 14 18 15 18 16 18 17 18 Complemento de una fracción Toda fracción propia tiene su complemento. El complemento de una fracción propia es lo que le falta a esta para ser igual a la unidad. En general: Sea la fracción propia a b , su complemento se calcula como: 1 – ab = b – a b Ejemplo 1 • Dada la fracción 7 10 , su complemento es 3 10 . • En la fracción 3 5 , su complemento es 2 5 . Ejemplo 2 Calcula el numerador de una fracción equivalente a 35 45 tal que la diferencia de sus términos sea igual a 126. Resolución: • La fracción 35 45 es simplificada hasta obtener la fracción irreducible 7 9 ; por consiguiente la fracción buscada es 7k 9k . • La diferencia entre sus términos es 126. 9k – 7k = 126 k = 63 Numerador = 7(63) = 441 Denominador = 9(63) = 567 Finalmente, el numerador de la fracción buscada es 441. • Para la fracción 7 10 , su complemento es: 10 – 7 10 = 3 10 • Para la fracción 3 5 , su complemento es: 5 – 3 5 = 2 5 Obse rva 29MateMática Delta 2 - aritMética Ejemplos: Fracción impropia Cuando el numerador es mayor que el denominador, la fracción se denomina impropia. En general: Sea la fracción ab , será impropia si a b > 1 ⇒ a > b Ejemplos: 24 5 ; 12 7 ; 47 9 ; 34 3 Las fracciones impropias generan los números mixtos, llamados así porque tienen una parte entera y otra parte en fracción propia, siendo la suma de estas dos partes igual a la fracción impropia. Sea el número mixto a b c , se cumple que: a b c = a + b c = a × c + b c Ejemplos: • 445 = 4 × 5 + 4 5 = 24 5 • 5 29 = 5 × 9 + 2 5 = 47 9 Not a Teniendo en cuenta su denominador, las fracciones pueden ser fracción decimal u ordinaria. Fracción decimal Son aquellas fracciones cuyo denominador es una potencia de 10. Ejemplos: Fracción ordinaria Son aquellas fracciones cuyo denominador no es una potencia de 10. Ejemplos: Las fracciones decimales facilitan enormenteel cálculo de las adiciones o multiplicaciones de fracciones. Incluso, el convertir una fracción decimal a número decimal es muy sencillo. Por ejemplo: • 5 10 = 0,5 • 26 100 = 0,26 • 47 1000 = 0,047 Not a Criterio 2 Algunos conjuntos de fracciones no equivalentes, se pueden clasificar en fracciones homogéneas o fracciones heterogéneas, de acuerdo al denominador que presenten. Fracciones homogéneas Son aquellas fracciones cuyos denominadores son de igual valor. Ejemplos: 5 8 ; 7 8 ; 1 8 ; 26 8 ; 46 8 Fracciones heterogéneas Son aquellas fracciones cuyos denominadores son diferentes. Ejemplos: 5 3 ; 24 7 ; 9 10 ; 45 22 ; 28 200 Criterio 3 1 10 ; 3 100 ; 24 1000 ; 16 10 000 ; 24 10 ; 45 1000 ; 1525100 2 5 ; 3 200 ; 18 300 ; 24 7 ; 37 45 ; 126 4000 ; 16300 • 24 5 = 4 + 4 5 = 4 4 5 • 12 7 = 1 + 5 7 = 1 5 7 30 Luego: 3 4 ; 6 8 ; 9 12 ; 12 16 ; 15 20 ; ... ; 3k 4k son fracciones equivalentes, donde 3k 4k representa de forma general a cualquiera de las fracciones equivalentes a 3 4 . Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simplifica la fracción 540 720 . Luego, 540 720 ; 270 360 ; 180 240 ; 135 180 ; ... ; 3 4 son fracciones equivalentes, donde 3 4 representa una fracción irreductible. 540 ÷ 2 720 ÷ 2 = 270 360 540 ÷ 3 720 ÷ 3 = 180 240 540 ÷ 4 720 ÷ 4 = 135 180 540 ÷ 180 720 ÷ 180 = 3 4 Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones: 5 9 ; 3 8 ; 5 12 ; 1 6 ; 7 18 ; 3 4 Resolución: 1.° Homogeneizamos los denominadores de las fracciones mostradas, para ello buscamos el común denominador, calculando el mínimo común múltiplo de 9; 8; 12; 6; 18 y 4. MCM(9; 8; 12; 6; 18; 4) = 72 Resolución: Resolución: Cuando una fracción se ha simplificado hasta que sea irreducible, a esta última se dice que es su representante canónico. Ejemplo: Son equivalentes y tienen como representante canónico a 34 . 15 20 ; ; ;18 24 21 28 27 36 Recu e rda Amplificación y simplificación de fracciones Amplificar una fracción consiste en multiplicar su numerador y denominador por el mismo número entero positivo. Cada vez que se amplifica una fracción, se obtiene una fracción equivalente a la inicial. Simplificar una fracción consiste en dividir su numerador y su denominador por el mismo entero positivo; solo se pueden simplificar aquellas fracciones en las que su numerador y denominador son divisibles por el mismo entero positivo. Al simplificar completamente una fracción se obtiene una fracción irreducible. Ejemplo 1 Amplifica la fracción 3 4 . 3 × 2 4 × 2 = 6 8 3 × 3 4 × 3 = 9 12 3 × 4 4 × 4 = 12 16 3 × 5 4 × 5 = 15 20 3 × k 4 × k = 3k 4k 3 4 Las fracciones equivalentes representan la misma parte de una unidad de referencia. Ejemplo: Import a nt e 1 2 2 4 4 8 1 2 = 2 4 = 4 8 31MateMática Delta 2 - aritMética 54 72 40 72 28 72 30 72 27 72 12 72> >> > > 3 4 5 9 5 12 3 8 1 6 5 × 8 9 × 8 3 × 9 8 × 9 5 × 6 12 × 6 1 × 12 6 × 12 7 × 4 18 × 4 3 × 18 4 × 18; ; ; ; ; 40 72 27 72 30 72 12 72 28 72 54 72 3.° Ordenando de mayor a menor tendremos: Not a Para establecer la relación de orden entre las fracciones a b y c d , algunos recurren a homogeneizar así: a × d b × d c × b d × b Ejemplo: 5 8 7 12 ?¿ 5 × 12 8 × 12 7 × 8 12 × 8 60 8 × 12 56 12 × 8> 7 18 5 × 60 6 × 60 ; 3 × 45 8 × 45 ; 2 × 40 9 × 40 ; 15 × 90 4 × 90 ; 13 × 9 40 × 9 300 360 ; 135 360 ; 80 360 ; 1350 360 y 117 360 son las fracciones homogeneizadas. Incluso se pueden ordenar de forma creciente: 80 360 117 360 135 360 300 360 1350 360 < < < < 2 9 13 40 3 8 5 6 15 4 Operaciones entre fracciones Adición y sustracción • Cuando tienen el mismo denominador: Se suman o restan los numeradores (según el signo de la operación) y se escribe el mismo denominador. Ejemplo 1 Repa sa La homogeneización de fracciones permite sumar fracciones de forma rápida; incluso establece la relación de orden que hay entre dos fracciones. Por ejemplo, sean las fracciones 5 6 y 3 8 homogeneizando se tiene: 5 × 4 6 × 4 3 × 3 8 × 3 = = + = = = 5 6 3 8 5 6 3 8 20 24 9 24 29 24 Entonces: Además: 5 6 20 24 > > .porque 3 8 9 24 Homogeneización de fracciones Cualquier conjunto de fracciones heterogéneas puede ser convertido a un conjunto de fracciones homogéneas utilizando la amplificación de fracciones. Ejemplo: Homogeneiza las siguientes fracciones 5 6 ; 3 8 ; 2 9 ; 15 4 y 13 40 . Resolución: Para lograr esta homogeneización, amplificaremos las fracciones hasta conseguir un denominador común. Este común denominador se puede obtener calculando el mínimo común múltiplo de los denominadores. MCM(6; 8; 9; 4; 40) = 360 Luego: 2.° Amplificamos las fracciones hasta obtener denominador 72. Finalmente, ordenando: 3 4 ; 5 9 ; 5 12 ; 7 18 ; 3 8 ; 1 6 . 4 15 + 7 15 − 2 15 + 11 15 = 4 + 7 – 2 + 11 15 = 20 15 = 4 3 32 40 • Cuando tienen distinto denominador: Se homogeneizan las fracciones; después se suman o restan los numeradores (según el signo de la operación) y se escribe el mismo denominador. Ejemplo: En el cumpleaños de Ana se dividió una torta en varias partes iguales. Ana se comió 1 12 de torta, Luisa se comió 2 12 de torta, Pedro se comió 3 12 de torta y Carlos se comió 4 12 de torta. ¿Qué fracción de torta quedó? Resolución: Observamos que la torta fue dividida en 12 partes iguales, como muestra la imagen. 3 8 5 12 1 6 7 16 25 48 3 × 6 48 5 × 4 48 7 × 3 48 1 × 8 48 18 + 20 + 8 – 21 48 + + + –+ = =– = Las partes coloreadas son las que se han comido: 10 12 Por consiguiente, queda 2 12 de torta. MCM(8; 12; 6; 16) = 48 Multiplicación de fracciones El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. Sin embargo, se recomienda simplificar con el fin de agilizar las operaciones. Ejemplos: b) Calcula los 3 5 de los 7 10 de los 8 9 de S/ 360. 25 8 14 45 18 35 = = = 25 × 14 × 18 8 × 45 × 35 5 × 2 × 9 4 × 9 × 5 1 2 4 5 9 2 5 9 3 5 7 10 8 9 360 3 × 7 × 8 × 360 5 × 10 × 9 = S/ 134,40 = A L L P P P CC C C ¿Sa bía s qu e.. .? ¿Cómo representaban los egipcios las fracciones? Ellos tenían una curiosa manera de representar las fracciones. • Solían utilizar fracciones unitarias, es decir fracciones de numerador. 1. Tan solo existían algunas excepciones como 2 3 . • No podían escribir directamente, por ejemplo 3 4 . En su lugar realizan la descomposición: Y además usaban fracciones unitarias no repetidas, por ejemplo, no se admitía: 3 4 = 1 2 + 1 4 3 4 = 1 4 + 1 4 + 1 4 × × × × × 2 1 1 1 1 1 1 4 1 Ejemplo 2 a) 33MateMática Delta 2 - aritMética Ejemplos: b) Si los 3 8 de una fracción es igual a 15 28 , calcula dicha fracción. Sea la fracción buscada N, se cumple que: 3 8 15 28 15 28 15 28 10 7 N N N N = = = = 3 8 8 3÷ Potenciación de fracciones Se eleva a la potencia solicitada tanto al numerador como al denominador de la fracción. • • • • • • • • 3 4 32 42 2 = 2 5 23 53 3 = 5 4 54 44 4 = 3 4 3 4 3 4 2 4 6 × = 3 4 3 4 3 4 8 3 5 ÷ = 3 4 3 4 2 105 = División de fracciones Para dividir una fracción a b entre otra fracción c d , se multiplica la fracción que hace de dividendo por la fracción inversa de la fracción que hace de divisor. Es decir: 2 5 5 2 53 23 –3 +3 = = 4 3 3 4 35 45 –5 +5 = = × × 5 7 2 1 64 45 45 64 16 15 16 15 3 4÷ = == 16 × 45 15 × 64× 1 1 3 4 a b a b a b n m n + m a b a b a b a b a b n m n n × m m n – m = a b b a bn an –n +n = = donde: n ∈ × ÷ Producto de potencias con la misma base División de potencias con la misma base Potencia de una potencia Potenciade exponente negativo a) Reducir: 16 15 ÷ 64 45 . a b ÷ c d = a b × d c a b n = an bn ; n ∈ Ejemplos: 34 Se tiene un turrón de la forma que muestra la figura. Si el pedazo faltante (parte sombreada) se vendió en S/ 13,50, calcula cuánto costará el turrón entero. Hemos dividido el turrón de valor S/ N en 30 partes iguales. Podemos afirmar que: 4 30 13,50 × 30 4× N = S/ 13,50 N = N = 101,25 Rpta. Finalmente, el turrón entero costará S/ 101,25. Determina cuántas fracciones impropias existen, que sean menores que 13 4 y su numerador sea igual a 24. Resolución: La fracción buscada con numerador 24 es: f = 24b Es impropia 24 > b Es menor que 134 24 b < 13 4 24 × 4 13 < b 7,4 < b Observamos que 7,4 < b < 24 b = 9; 10; 11; 13; 14; ...; 23 Las fracciones son: Rpta. Finalmente, se forman 14 fracciones. b 9 10 11 13 14 ... 23 24 b 24 9 24 10 24 11 24 13 24 14 24 23 La fracción a b es impropia cuando: a > b Nota que b ≠ 8;12, porque no puede obtenerse un número entero. 24 8 = 3 24 12 = 2 Resolución: Juan y María mezclan café de Colombia, café de Brasil, café de Guinea y café de Venezuela en paquetes de 1 kg. Observa la fracción de kilogramos que utilizan de cada tipo de café y halla la fracción de kilogramos que representa el café de Colombia utilizado en la mezcla A y en la mezcla B. En la mezcla A, calculamos qué fracción representa los kilogramos de café que tenemos entre Brasil, Guinea y Venezuela. Rpta. El café de Colombia en la mezcla A es 1 20 de kg. En la mezcla B, realizamos un procedimiento similar. Rpta. Por el complemento, el café de Colombia en la mezcla B es 61 120 de kg. 1 8 1 5 1 6 = =++ = 1 × 15 120 kg 1 × 20 120 1 × 24 120 15 + 24 + 20 120 59 120 + + 1 2 1 4 1 5 = =++ = 1 × 10 20 19 20 kg1 × 4 20 1 × 5 20 10 + 5 + 4 20+ + Resolución: MCM(8; 5; 6) = 120 MCM(2; 4; 5) = 20 Ejercicios resueltos 35MateMática Delta 2 - aritMética Rpta. Rpta. Si a la cuarta parte de los 2 5 de un número, se le agrega los 2 5 de sus 3 8 y se resta los 3 8 de su quinta parte, se obtiene 21. Luego a los 5 8 de los 5 9 de otro número, se le agrega los 3 4 de sus 7 18 , obteniéndose 345. ¿Cuánto es la suma de ambos números? Resolución: Si a la quinta parte de los 3 4 de un número, se le agrega los 3 4 de sus 5 8 , se obtiene 396. Luego a los 5 3 de los 7 18 de otro número, se le agrega los 2 9 de sus 5 4 , obteniéndose 175. ¿Cuánto es la suma de ambos números? Resolución: Observa que está dividido en 7 partes iguales de las cuales se han escogido 4. Entonces, dicho gráfico se puede expresar a través de la fracción: 4 7 donde: - 4 es el numerador (n.° de partes escogidas) - 7 es el denominador (n.° total de partes) F. propias: 2 7 ; 15 40 ; etc. F. impropias: 11 6 ; 35 21 ; etc. F. homogéneas: 2 15 ; 6 15 ; 11 15 F. heterogéneas: 1 14 ; 2 19 ; 5 20 Ejemplo: El complemento de 3 8 es 5 8 porque: 3 8 + 5 8 = 1 Por amplificación Por simplificación Fracción Clasificación Complemento de una fracción Fracciones equivalentes Operaciones entre fraciones Se tiene el gráfico: Adición y sustracción Pasos: 1.° Homogeneiza las fracciones. 2.° Resuelve. Ejemplo: 5 6 – 3 4 + 1 8 MCM(6; 4; 8) = 24 5 6 = 20 24 ; 3 4 = 18 24 ; 1 8 = 3 24 Entonces: 20 24 – 18 24 + 3 24 = 5 24 Multiplicación Ejemplo: 25 8 × 12 24 × 9 21 × 21 5 = 45 16 División Equivale a multiplicar el dividendo por el inverso del divisor. Ejemplo: 2 5 ÷ 8 15 = 2 5 × 15 8 = 3 4 1 1 3 4 Modela y resuelve Síntesis 36 3 4Un empresario observa que ha perdido los 4 9 de su inversión; con lo que aún tiene vuelve a invertir y pierde los 2 7 de su nueva inversión. Si luego de esto aún le queda S/ 420, calcula cuánto dinero perdió. Resolución: 5 6Demetrio ha consumido los 5 12 de una bolsa de leche, y los 718 de otra bolsa de igual volumen que el anterior. Determina qué parte del volumen total de leche ha consumido Demetrio. Resolución: Jorge ha consumido los 2 5 de una bolsa de leche, y los 3 4 de otra bolsa de leche de igual volumen que el anterior. Determina qué parte del volumen total de leche ha consumido Jorge. Resolución: Un empresario observa que ha perdido los 2 5 de su inversión; con lo que aún tiene vuelve a invertir y pierde los 38 de su nueva inversión. Si luego de esto aún le queda S/ 420, calcula cuánto dinero perdió. Resolución: Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. 37MateMática Delta 2 - aritMética 9 10 7 8Un cilindro tiene aceite hasta los 2 3 de su capacidad; si se añaden 60 litros más, entonces estaría lleno hasta sus 4 5 . Halla la capacidad del cilindro. Resolución: El profesor Martínez dispone sus ingresos mensuales de la siguiente manera: los 5 12 para alimentación; 1 5 en alquiler de una habitación, 3 8 en cubrir sus pasajes, y los S/ 48 restantes los ahorra. Encuentra a cuánto asciende el gasto mensual del profesor Martínez. Resolución: El profesor Jiménez dispone sus ingresos mensuales de la siguiente manera: los 2 9 para alimentación; 1 4 en alquiler de una habitación, 2 15 en cubrir sus pasajes, y los S/ 568 sobrantes los ahorra. Encuentra a cuánto asciende el gasto mensual del profesor Jiménez. Resolución: Un cilindro tiene aceite hasta los 5 9 de su capacidad; si se añaden 65 litros más, entonces estaría lleno hasta sus 7 10 . Halla la capacidad del cilindro. Resolución: Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. 38 Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. 11 13 12 14 Un comerciante compró mercaderías que luego vendió, ganando los 2 5 de su inversión. Con lo que tenía volvió a comprar mercadería y vendió, esta vez ganó los 3 8 de lo que invirtió; viendo que era bueno el negocio invirtió lo que tenía y perdió los 2 5 de lo que invirtió esta vez, quedándose con S/ 9240. Descubre cuánto dinero ganó en la primera inversión. Resolución: Andrés y Braulio pueden tarrajear una pared en 6 días; Andrés y Carlos lo pueden hacer en 4 días; mientras que si trabajan los tres juntos la pared se tarrajea en 3 días. Calcula en cuántos días podrá tarrajear la pared Andrés, si trabaja solo. Resolución: Un comerciante compró mercaderías que luego vendió, ganando 1 8 de su inversión. Con lo que tenía volvió a comprar mercadería y vendió, esta vez ganó los 3 7 de lo que invirtió; viendo que era bueno el negocio invirtió lo que tenía y perdió los 3 5 de lo que invirtió esta vez, quedándose con S/ 7200. Descubre cuánto dinero ganó en la primera inversión. Resolución: Antonio y Bernardo pueden cavar una zanja en 8 días; Antonio y César lo pueden hacer en 6 días, mientras que si trabajan los tres juntos, la zanja se realiza en 4 días. Calcula en cuántos días podrá cavar la zanja, si Antonio trabaja solo. Resolución: 39MateMática Delta 2 - aritMética A S/ 7200 B S/ 4320 C S/ 7560 D S/ 5760 E S/ 3780 He gastado los 2 5 de mi dinero. Si en lugar de los 2 5 hubiese gastado los 3 8 , tendría 252 soles más de lo que tengo. Calcula cuánto me quedaría, si en lugar de gastar los 2 5 de mi dinero gastaba los 3 7 . Se compra un número par de naranjas. Si se vende la cuarta parte quedan menos de 118 por vender, pero si se vendiera la sexta parte, quedaría más de 129 por vender. Determina cuántas naranjas me quedan, si vendí los 3 4 . A Eva le quedan los 2 3 de los 4 5 del dinero que le dio su padre, y a Norma la mitad de los 5 6 de los 3 7 del dinero que le dio su tío. Si Eva gastó S/ 56 y Norma S/ 69, halla cuánto dinero más le queda a una que a la otra. Pepe gastó la tercera parte de su propina en revistas y los tres sétimos del resto de su propina en un día de paseo. De este modo observa que ha gastado S/ 78; encuentra cuánto
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