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Aritmética 2

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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) 
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta 
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión 
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, 
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna 
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de 
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su 
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de 
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o 
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su 
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección 
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación 
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales 
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos 
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída 
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la 
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier 
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia 
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de 
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. 
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de 
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su 
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda 
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia 
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y 
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a 
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente 
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y 
principios de las Naciones Unidas. 
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a 
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin 
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y 
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá 
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho 
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de 
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1.	 Toda	persona	tiene	derecho	a	la	libertad	de	reunión	y	de	asociación	pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, 
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las 
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta 
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de 
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto 
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida 
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los 
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al 
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a 
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el 
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por 
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y 
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme 
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por 
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa 
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una 
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas 
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así 
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el 
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; 
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, 
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de 
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. 
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho 
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, 
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La 
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional 
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual 
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana 
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades 
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre 
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el 
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento 
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que 
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de 
la	comunidad,	a	gozar	de	las	artes	y	a	participar	en	el	progreso	científico	y	
en	los	beneficios	que	de	él	resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y 
materiales	que	le	correspondan	por	razón	de	las	producciones	científicas,	
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional 
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan 
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona 
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único 
fin	de	asegurar	el	reconocimiento	y	el	respeto	de	los	derechos	y	libertades	
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden 
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en 
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada	en	esta	Declaración	podrá	 interpretarse	en	el	sentido	de	que	confiere	
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y 
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los 
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
2
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AritméticA
Matemática
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® matemátIca delta 2, secundaria
 aritmética
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 mauro enrIque matto muzante
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capÍtulo I
delItos contra los derecHos de autor 
Y conexos
Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la 
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artículo 217.o.- será reprimido con pena privativa de libertad no 
menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa, 
el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, 
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una 
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier 
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y 
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios 
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el 
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con 
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total 
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución 
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma 
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o 
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, 
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior 
importe cada uno.
MateMática Delta 2 - aritMética 3
PresentaciónPresentación
Estimado estudiante, ahora que entraste a un siguiente grado, habrás notado que el nivel 
secundario es distinto al que cursaste en la primaria; los cursos son diferentes, la forma de enseñar 
de los docentes también lo es; por ende, sabemos que necesitas todo el apoyo posible para 
entender mejor cada materia.
Ante ello, hemos diseñado toda una estrategia para que el proceso de tus aprendizajes sea 
didácticamente beneficioso para ti, ya que hemos ordenado los temas de acuerdo al avance 
curricular que necesitas y los hemos organizado por secciones que te faciliarán cumplir con los 
objetivos.
El contenido teórico que te presentamos a continuación, permitirá que continúes fortaleciendo 
tus capacidades y competencias matemáticas, y que estas sean, a su vez, aplicadas en tu vida 
cotidiana; el uso de tu razonamiento lógico debe ser de constante aplicación en las situaciones 
que se te presenten, esto te llevará a un siguiente nivel.
La distribución de las asignaturas ya las conoces: Aritmética, Álgebra, Geometría, Trigonometría y 
Razonamiento Matemático; en ellos encontrarás los estándares de aprendizaje que el Ministerio 
de Educación ha programado para este nivel.
Asimismo, complementamos lo planteado con algunas preguntas que han sido tomadas de 
exámenes de admisión, concursos de Matemática, preguntas tipo, etc., para que estés preparado 
desde ahora.
Inicia el año escolar dispuesto a aprender nuevos conocimientos y continúa durante todo el año 
con la misma dedicación.
Delta Editores
Apertura
En esta sección 
encontrarás 
temas 
novedosos que 
propiciarán 
sostener 
una relación 
cercana con la 
Matemática.
se aborda el 
desarrollo del 
tema, donde 
encontrarás las 
definiciones 
organizadas 
siguiendo una 
secuencia 
didáctica.
Marco 
teórico
Conoce tu libro
Tema
109MateMática Delta 2 - aritMética
Razones
Una razón es la relación que se establece entre dos cantidades. Esta relación permite 
compararlas y tal comparación se realiza generalmente mediante una división indicada.
En general:
Si las cantidades son A y B, entonces la relación entre A y B se puede escribir como:
A
B
Esta expresión se lee como:
� La relación de A y B.
� La razón entre A y B.
Además:
• A es el antecedente
• B es el consecuente
Si tenemos que A
B
5
7
= ⇒ Se leerá como
� La relación entre A y B es de 5 a 7.
� La razón entre A y B es 5/7.
� Por cada 5 unidades de A se tiene 
 7 unidades de B.
� Además: A = 5k ∧ B = 7k
Ejemplo 1
En un recipiente se encuentran mezclados 45 litros de ron con 27 litros de gaseosa, 
estableceremos la relación que hay entre los volúmenes de estos dos ingredientes.
� R será el volumen de ron.
� G será el volumen de gaseosa.
R
G
45
27
= o
R
G
15
9
= o
R
G
5
3
=
Podemos realizar las siguientes lecturas:
� En 
R
G
45
27
= Por cada 45 litros de ron hay 27 litros de gaseosa.
• En R
G
15
9
= Por cada 15 litros de ron hay 9 litros de gaseosa.
• En R
G
5
3
= Por cada 5 litros de ron hay 3 litros de gaseosa.
Como observamos, la relación entre R y G se puede expresar de formas similares. Sin 
embargo, se recomienda usar aquella expresión donde los valores están reducidos; así 
tendremos que:
R
G
5
3= Se leerá como
• La relación entre R y G es de 5 a 3.
• La razón entre R y G es 5/3.
• Por cada 5 de R se tiene 7 de G.
• Además: R = 5k ∧ G = 3k
Ejemplo 2
Para cocinar el arroz, se recomienda que por cada 2 tazas de arroz se deben utilizar 3 
tazas con agua. Establezcamos la relación:
Ar
Ag
2
3
• Ar serála cantidad de arroz
• Ag será la cantidad de agua
=
Como dijimos, la relación se puede escribir de formas similares pero con sus valores 
correspondientes.
7
La razón es uno 
de los conceptos 
matemáticos 
aplicados con mayor 
frecuencia en la vida 
diaria. El promedio de 
goles anotados por 
cada partido de un 
jugador es realmente 
una razón. 
La pendiente o 
inclinación de 
un tejado puede 
expresarse como una 
razón.
Obse rva
Título del tema
Para una mejor 
organización, 
los temas están 
numerados.
Comentarios 
y/o lecturas 
que 
refuerzan el 
desarrollo 
del tema
4
Ejercicios 
resueltos
se muestran 
ejercicios que 
están resueltos 
didácticamente, 
los mismos que 
servirán para 
el análisis del 
estudiante.
Síntesis
Contenido 
del tema, que 
incluye teoremas, 
postulados, 
fórmulas, 
propiedades, 
leyes, etc., 
resumido en 
organizadores 
gráficos para tener 
un panorama 
general del 
contenido.
Modela y 
resuelve
Los problemas 
con numeración 
impar serán 
resueltos por el 
docente, mientras 
que los pares 
serán resueltos 
por el estudiante 
siguiendo la 
secuencia 
realizada.
111MateMática Delta 2 - aritMética
H – 2
5
H
M + 3
8
M
En una granja se crían pavos y cerdos, encontrándose estos en la relación de 
5 a 9 respectivamente. Si al contar las patas de estos animales se obtienen 2208, 
determina en qué relación se encontrarán ahora, luego de que nacieron 28 pavos 
y se vendieron 52 cerdos.
Resolución:
Sean:
P: número de pavos
C: número de cerdos
• Los pavos y cerdos están en relación de 5 a 9.
P
C
= 5
9
• P = 5k
• C = 9k
• Al contar las patas se obtienen 2208. 
Patas de pavos + Patas de cerdos = 2208
2(5k) + 4(9k) = 2208
 46k = 2208 k = 48
 
Nueva
relación =
P + 28
C – 52 =
240 + 28
432 – 52 =
268
380
67
95
Rpta. La nueva relación es de 67 a 95.
Al inicio de una fiesta se observó que por cada 11 varones habían 8 mujeres. Si 
luego de media hora, tras un nuevo conteo, se ha determinado que la cantidad de 
varones disminuyó en sus 25 y la de mujeres aumentó en sus 
3
8 . Halla cuál es la 
nueva relación de mujeres y hombres bajo estas condiciones.
Resolución:
Sean:
H : cantidad de hombres que había al inicio.
M: cantidad de mujeres que había al inicio.
• Por cada 11 varones habían 8 mujeres.
H
M
= 11
8
�	H = 11k
�	M = 8k
• Los varones disminuyen en sus 2
5
 y las mujeres aumentan en sus 3
8
.
Nueva
relación = =
3
5 H
11
8
M
= 2455
× H
M =
24
55
× 11k
8k =
3
5
Rpta. La nueva relación entre hombres y mujeres es de 3 a 5.
Platón
(420-348 a. C.)
Filósofo griego. 
Junto con su 
maestro Sócrates 
y su discípulo 
Aristóteles, Platón 
es la figura central 
de los tres grandes 
pensadores en que 
se asienta toda la 
tradición filosófica 
europea. Ejerció una 
gran influencia en 
el desarrollo de las 
ciencias exactas. 
Fundó en Atenas la 
famosa Academia. 
En su entrada 
había un rótulo que 
decía: «Nadie entre 
aquí que no sepa 
Geometría».
Entre otras frases 
características de 
Platón, se encuentran 
las siguientes: «Los 
números gobiernan 
el mundo» o «cuando 
Dios ordenó el 
mundo, lo adornó de 
formas y números».
¿Sa bía s qu e.. .?
1
2
Ejercicios resueltos
• Nacieron 28 pavos y se venden 52 cerdos.
P = 5(48) = 240
C = 9(48) = 432 
124
Rpta. Rpta. 
Al llegar a un hotel nos han dado un mapa con los 
lugares de interés de la ciudad, observando que 
se utilizó una escala de 1:1200. Si hoy queremos 
ir a un parque que se encuentra a 8 cm del hotel 
en el mapa, calcula a qué distancia del hotel se 
encuentra este parque.
Resolución:
Al llegar a un hotel nos han dado un mapa con 
los lugares de interés de la ciudad, observando 
que se utilizó una escala de 1:12 500. Si hoy 
queremos ir a un hospital que se encuentra a 
10,8 cm del hotel en el mapa, calcula a qué 
distancia del hotel se encuentra este hospital.
Resolución:
Tiene términos 
medios diferentes.
Tiene términos 
medios diferentes.
Tiene términos 
medios iguales.
Tiene términos 
medios iguales.
Ejemplo:
8 – 5 = 4 – 1 Ejemplo:
15
35
 = 27 
63
Ejemplo:
20 – 15 = 15 – 10 Ejemplo:
18
12
 = 12 
8
a – b = c – d
Se lee:
«a es a b como c 
es a d»
Donde:
b ≠ c
a
b
 = c
d
Se lee:
«a es a b como c 
es a d»
Donde:
b ≠ c
a – b = b – c
Se lee:
«a es a b como b 
es a c»
a
b
 = b
c
Se lee:
«a es a b como b 
es a c»
Proporción aritmética
P. A.
Proporción geométrica
P. G.
Discreta DiscretaContinua Continua
a + d = c + b a × d = b × c
= =
Suma de 
los términos 
extremos
Producto de 
los términos 
extremos
Suma de 
los términos 
medios
Producto de 
los términos 
medios
Propiedad Propiedad
Modela y resuelve 
1 2
Síntesis
Nombre de la 
sección
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas 
reales o 
simuladas, 
planteadas de 
acuerdo al tema.
Algoritmo de 
resolución 
del problema 
planteado.
Organizador 
visual
Enunciado del 
problema o de 
la situación 
planteada. Espacio para 
resolver 
el problema.
Nombre de la 
sección
Nombre 
de la sección
5MateMática Delta 2 - aritMética
Practica y 
demuestra
se plantean 
preguntas 
que han sido 
organizadas 
por niveles de 
complejidad y de 
elección múltiple, 
en las cuales 
el estudiante 
demostrará lo 
aprendido durante 
la sesión.
Test
Esta 
evaluación 
incluye 
preguntas 
del contenido 
de los temas 
desarrollados 
en la unidad 
y son de 
elección 
múltiple.
6
Nombre de la 
sección
Número de test
Preguntas planteadas, 
estas pueden ser 
situaciones reales o 
simuladas.
Alternativas
Espacio para 
realizar anotaciones 
de resolución
AlternativasPreguntas y/o 
situaciones 
problemáticas reales o 
simuladas, planteadas 
de acuerdo a la unidad.
22
 A S/ 27 360 B S/ 28 260
 C S/ 26 730 D S/ 29 610
 E S/ 28 170 
 Para entrar al cine hay 2 boleterías. En la primera, 
atienden a 6 personas en 72 segundos y en la 
segunda atienden a 15 personas en 2 minutos. 
Calcula cuántas personas serán atendidas en 
10 minutos.
1
 Halla cuántas cajas grandes se necesitan para 
transportar 180 000 caramelos, si en cada caja 
grande entra una docena de cajas pequeñas y en 
cada una de estas cajas pequeñas hay una decena 
de bolsas y en cada bolsa hay 20 caramelos.
2
 Un anciano deja al morir a cada uno de sus 
hijos S/ 6840. Habiendo fallecido uno de ellos, 
la herencia de esta se repartió entre los demás, 
entonces cada uno recibió un total de S/ 9120. 
¿Cuánto era la fortuna del anciano?
3
 A un baile al cual asistieron 120 personas, se 
observó lo siguiente: la mujer que llegó primero 
bailó con 7 hombres, la que llegó segundo bailó 
con 8 hombres, la que llegó tercero bailó con 
9 hombres y así sucesivamente, hasta que la 
que llegó última bailó con todos los hombres. 
Determina cuántas mujeres asistieron al baile.
4
 Un bus parte de su paradero inicial, con cierta 
cantidad de pasajeros y llega al paradero final 
con 61 pasajeros; cada pasaje cuesta S/ 3 y el 
bus ha recaudado S/ 255. Encuentra con cuántos 
pasajeros partió el bus, si en cada paradero 
subían 5 pero bajaban 2 pasajeros.
5
 Clarisa vende pescados en el mercado. Si vende 
a S/ 18 cada kilogramo, se compraría un televisor 
y le sobrarían S/ 6, pero si los vende a S/ 20 cada 
kilogramo, le sobrarían S/ 90 luego de comprar el 
televisor. ¿Cuánto cuesta el televisor?
6
 A S/ 680 B S/ 720 C S/ 740
 D S/ 750 E S/ 780
 A 120 B 125 C 130
 D 140 E 135
 A 60 B 75 C 50
 D 40 E 64
 A 58 B 54 C 52
 D 57 E 51
 A 26 B 25 C 28
 D 23 E 29
Practica y demuestra
Nivel I
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 3
133AritméticA 2 - SecundAriA
Test n.° 3
El máximo común divisor de los números 
A=28n . 90n + 3 y B = 363 . 50n tiene 616 divisores. 
Determina el valor de n2, si n > 3.
Sabiendo que el máximo común divisor de 
A = 36n . 45n + 2 y B = 544 . 84n + 2 tiene 
171 divisores, halla el valor de n. Donde n > 4.
Sabiendo que el máximo común divisor 
de A = 18n + 1 . 42n – 2 y B = 524 . 36n – 2 tiene 
70 divisores,encuentra el valor de n.
Se tienen dos barcos de metal, uno de 154 cm 
y otro de 210 cm. Se desea dividirlas en trozos 
de igual medida. Descubre cuántos trozos como 
mínimo se podrán obtener.
En una fiesta se observa que la cantidad de 
hombres y mujeres están en relación de 5 a 8, 
respectivamente. Si luego de este conteo llegan 
24 parejas y debido a esto la razón anterior 
cambia a 34 , determina cuántos hombres 
estaban en la fiesta antes de llegar estas parejas.
Hace 7 años, las edades de dos hermanas se 
encontraban en relación de 4 a 3 y dentro de 
8 años sus edades estarán en relación de 7 a 6. 
Calcula cuántos años tiene el mayor.
1 4
2 5 
63
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
9A
25C
20B
16D
5A
4C
3B
6D
6A
4C
5B
7D
25A
26C
27B
24D
28A
32C
30B
31D
26A
27C
28B
29D
7MateMática Delta 2 - aritMética
1
3
2
4
R
es
ue
lv
e 
pr
ob
le
m
as
 d
e 
ca
nt
id
ad
Traduce 
cantidades a 
expresiones 
numéricas.
Números enteros 10
Definición
Ubicación de los números enteros en la recta numérica
Operaciones con números enteros
Fracciones 26
Definiciones
Clasificación de las fracciones
Homogeneización de fracciones
Operaciones con fracciones
Números decimales 45
Fracción generatriz
Operaciones con números decimales
Divisibilidad 59
Divisores y múltiplos
Propiedades de los divisores y múltiplos
Teorema del mínimo común múltiplo
Criterios de divisibilidad
Números primos 75
Clasificación de los números enteros positivos
Números primos entre sí
Teorema de Gauss
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo 93
Máximo común divisor
Mínimo común múltiplo
Teoremas
Razones 109
Definiciones
Homogeneización de razones
Proporciones 121
Definiciones
Teoremas en una proporción
Escalas
Estadística 135
Definiciones
Etapas de la investigación estadística
Estructura y elementos de una tabla de frecuencias
Medidas de tendencia central
Probabilidad 155
Definiciones
Frecuencia y probabilidad
Eventos independientes y dependientes
unidad competencia y capacidades contenidos pedagógicos páginas
Comunica su 
comprensión 
sobre los 
números y las 
operaciones.
Usa estrategias 
y procedimientos 
de estimación y 
cálculo.
Argumenta 
afirmaciones 
sobre las 
relaciones 
numéricas y las 
operaciones.
Índice
Malba Tahan, o mejor dicho Julio César de Mello y Souza, 
fue un profesor y escritor brasileño nacido en Río de Janeiro 
el 6 de mayo de 1895. Pasó su infancia en la ciudad de 
Queluz, en Sao Paulo, Brasil.
Se formó como profesor en la Escuela Normal; luego, 
como ingeniero en la Escuela Nacional de Ingeniería.
Desempeños
•	 Establece relaciones entre datos y acciones de ganar, perder, comparar e igualar cantidades, o 
una combinación de acciones. Las transforma a expresiones numéricas que incluyen operaciones 
matemáticas con números enteros, fraccionarios o decimales.
•	 Comprueba si la expresión numérica (modelo) planteada representó las condiciones del problema: 
datos, acciones y condiciones.
•	 Expresa con diversas representaciones y lenguaje numérico su comprensión de la fracción como razón 
y	operador,	y	del	significado	del	signo	positivo	y	negativo	de	enteros	y	racionales,	para	interpretar	un	
problema según su contexto y estableciendo relaciones entre representaciones.
•	 Selecciona, emplea y combina estrategias de cálculo, estimación y procedimientos diversos para 
realizar	operaciones	con	números	enteros,	 fraccionarios	 y	decimales	 y	 simplificar	procesos	usando	
propiedades de los números y las operaciones.
Malba Tahan
Competencia - Resuelve problemas de cantidad:
Se casó con Nair Marques da Costa con la que tuvo tres hijos. 
Creó la mistificación literaria que llamó Malba Tahan, a través del cual publicó numerosas 
obras, incluyendo su famoso libro El hombre que calculaba. Firmando como Malba Tahan o 
como profesor Mello y Souza , escribió varios libros sobre la enseñanza de las matemáticas. Fue 
principalmente heraldo y precursor de una nueva forma de enseñar la Matemática.
Al principio, escribió cuentos de influencia árabe, como por ejemplo Cuentos de Malba Tahan, 
Ceo de Alá, Amor de Beduino, entre otros; estas narraciones, que contienen descripciones de 
cómo era el territorio medioriental, hacían pensar que eran escritos realmente por un árabe, sin 
imaginar que era un brasileño el autor de las mismas.
El año 1934 escribió su primer título de recreaciones matemáticas, Matemática divertida y 
curiosa.
y «El hombre
que calculaba»
8
Cuento de los 35 camellos
Uno de los cuentos más conocidos y quizás el que mejor ilustra la creatividad narrativa de 
Malba Tahan, es el de la división de la herencia de 35 camellos entre tres hermanos. En ese 
cuento, el primer hermano debería recibir la mitad del número de los camellos, el segundo, un 
tercio, y el tercero, un noveno. Cuando Beremiz Samir añadió a los 35 camellos de la herencia, 
un camello que tomó prestado, las divisiones por 2; 3 y 9, se hicieron posibles, dando 18 camellos 
al primer hermano, 12 para el segundo y 4 para el tercero, que sumados dan un total de 34 camellos. 
Hecha la división, misteriosamente sobraron 2 camellos, si comparamos con la cantidad inicial. Así, 
Beremiz Samir resolvió el problema de la división de los camellos entre los hermanos y aún pudo 
argumentar a su favor. Él devolvió el camello que había tomado prestado y recibió el camello 
restante como pago por el servicio de calcular. Sin duda, es una historia sorprendente, con 
desenlace justo e inteligente.
Julio César falleció en Recife, el 18 de junio de 1974, a los 79 años. En 2013, el Gobierno de Brasil 
instituyó, en su homenaje, el Día Nacional de las Matemáticas cada 6 de mayo, en conmemoración 
a la fecha de su nacimiento.
El hombre que calculaba
En 1937, Malba Tahan reunió el conocimiento matemático 
y los cuentos árabes en una obra extraordinaria, El hombre 
que calculaba, la que –en cada capítulo– presenta retos 
y problemas resueltos por el persa Beremiz Samir, principal 
protagonista de la obra. En sus cuentos, Malba Tahan logra 
reunir en una sola narrativa, aventura, romance, fantasía, 
informaciones históricas y culturales, juegos y raciocinios 
matemáticos. Sus historias, incluso, siempre presentaban 
un	 final	 sorprendente,	 no	 raro	 de	 contenido	 moral	 o	
filosófico,	para	la	formación	de	los	jóvenes	lectores.
Desempeños
•	 Determina las condiciones y el espacio muestral de una situación aleatoria. Representa la probabilidad 
de un suceso o representa su probabilidad mediante su frecuencia relativa. A partir de este valor 
determina si un suceso es seguro, probable o imposible de suceder.
•	 Expresa con diversas representaciones su comprensión sobre las medidas de tendencia central para 
representar	un	conjunto	de	datos,	así	como	el	significado	del	valor	de	la	probabilidad.
•	 Recopila datos de variables cualitativas y cuantitativas mediante encuestas, o seleccionando y 
empleando procedimientos, estrategias adecuadas al tipo de estudio. Los procesa y organiza en 
tablas con el propósito de analizarlos y producir información. Revisa los procedimientos utilizados y los 
adecúa.
•	 Selecciona y emplea procedimientos para determinar medidas de tendencia central de datos 
discretos, la probabilidad de sucesos de una situación aleatoria. Revisa sus procedimientos y resultados.
Competencia - Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre:
Fuente:
www.malbatahan.com.br
9MateMática Delta 2 - aritMética
5k – 12
4k – 12
10
10
Tema
Números enteros
La palabra número natural proviene del latín numerus; el conjunto de estos números 
naturales se simboliza con .
 = {0; 1; 2; 3; 4; ...}
La palabra número entero proviene del alemán zahlen (números). El conjunto de estos 
números enteros se simboliza con y es un conjunto de números que incluye a:
Los números positivos (1; 2; 3; ...), sus opuestos (...; –3; –2; –1) y el cero (0).
El conjunto de todos los números enteros se representa por:= {... ; –3; –2; –1; 0; +1; +2; +3; ...}
Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, 
multiplicarse y dividirse de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los 
enteros es necesario determinar también el signo del resultado.
El conjunto de los 
números naturales 
 está incluido en 
el conjunto de los 
números enteros .
 ⊂ 
Además:
• El opuesto de +5 
es –5.
• 0 es el único 
número entero que 
no tiene opuesto, ni 
tampoco signo.
• Para resaltar 
la diferencia 
entre positivos y 
negativos, a veces 
también se escribe 
el signo «más» 
delante de los 
positivos: +1; +5, 
etc. 
Not a
Ubicación de los números enteros en la recta numérica
... –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 ...
Observa que:
•	 Todo	número	negativo	es	menor	que	cero		 :	 	–7	<	0
•	 Todo	número	positivo	es	mayor	que	cero				 :	 	+7	>	0
•	 Si	se	tienen	dos	enteros	negativos,	es	mayor	aquel	que
	 esté	ubicado	más	a	la	derecha	en	la	recta	numérica								:			–7	>	–10
Operaciones con números enteros
Adición de números enteros
Ley interna o de clausura
Ley asociativa
(2 + 3) + (–5) = 2 + [3 + (–5)] 
 5 + (–5) = 2 + (–2)
 0 = 0
(m + n) + p = m + (n + p) = (m + p) + n = m + n + p
Ley conmutativa
 m + n = n + m
Ejemplo: 2 + (–5) = (–5) + 2
 –3 = –3
Ley del elemento neutro de la adición
m + 0 = m
Ejemplo: (–5) + 0 = –5
Ley del elemento opuesto o inverso aditivo
m + (–m) = 0 ⇒ m = –(–m)
Ejemplo: 5 + (–5) = 0 ⇒ 5 = –(–5)
Regla de los signos
Si m y n , entonces (m + n) .
Ejemplo:
1
Signos iguales
(se suman)
Signos diferentes
(se restan)
Al resultado se le 
coloca el mismo signo 
que los números 
sumados.
Al resultado se le 
coloca el signo del 
número de mayor 
valor absoluto.
( + ) y ( – )
( – ) y ( + )
( + ) y ( + )
( – ) y ( – )
11
11MateMática Delta 2 - aritMética 11
Los números enteros 
permiten contabilizar 
pérdidas o expresar 
ciertas magnitudes 
como la temperatura 
o la altura que toman 
valores por debajo de 
cero. 
Por ejemplo: la altura 
del monte Everest 
es de 8848 m por 
encima del nivel del 
mar y se expresa 
como 
+8848 m; la orilla 
del Mar muerto está 
a 423 m por debajo 
del nivel del mar y se 
expresa como –423 m.
Import a nt e
Algunos símbolos 
matemáticos son:
∀	 :	 para todo
˅	 :	 o
˄	 :	 y
⇔	 :	 si y solo si
⇒	 :	 entonces
∴	 :	 por lo tanto
Recu e rda
• Al multiplicar dos números del 
mismo signo, el resultado tiene 
signo positivo.
• Al multiplicar dos números de 
diferente signo, el resultado 
tiene signo negativo.
Sustracción de números enteros
La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del 
sustraendo.
m – n = m + (–n) 
Ejemplos:
•	 7	–	5	=	7	+	(–5)	=	2
•	 6 – (+9) = 6 + (–9) = –3
Ley interna o de clausura
Ejemplos:
•	 10 – (–5) = 10 + (+5) = 15 
•	 (–20) – (+ 6) = (–20) + (–6) = –26 
Multiplicación de números enteros
La multiplicación de varios números enteros da como resultado otro número entero, 
que tiene como signo el que se obtiene de la aplicación de la siguiente regla.
Regla de los signos
( + ) por ( + ) = ( + )
( – ) por ( – ) = ( + )
( + ) por ( – ) = ( – )
( – ) por ( + ) = ( – )
•	 (+2)	×	(+5)	=	+10	=	10	 •	 (+7)	× (+5) = +35 = 35
•	 (–2)	×	(–5)	=	+10	=	10	 •	 (+7)	× (–5) = –35
•	 (+2)	×	(–5)	=	–10	 •	 (–7)	× (+5) = –35
•	 (–2)	×	(+5)	=	–10	 •	 (–7)	× (–5) = +35 = 35
La multiplicación de números enteros cumple con las siguientes leyes:
Ley interna o de clausura
•	(+2)	× (–5) = –10 
•	(–4)	× (–8) = +32 
Si m y n , entonces (m – n) .
Si m y n , entonces (m × n) .
Ejemplos:
Ate n ción
En la sustracción 
no se cumple la Ley 
conmutativa:
m – n n – m
5 – 2 2 – 5
12
División de números enteros
En la división de dos números enteros, el signo del cociente se obtiene aplicando la 
misma regla de signos que usamos en la multiplicación.
•	 (+10) ÷ (+5) = +2 = 2 •		(+40) ÷ (+8) = +5 = 5 
•	 (–10) ÷ (–5) = +2 = 2 •		(+40) ÷ (–8) = –5 
•	 (+10) ÷ (–5) = –2 •		(–40) ÷ (+8) = –5 
•	 (–10) ÷ (+5) = –2 •		(–40) ÷ (–8) = +5 = 5 
•		(–8) × (–3) × (–6)
 ⇒	[(–8) × (–3)] × (– 6) = (–8) ×	[(–3) × (–6)] 
 (+24) × (– 6) = (–8) ×	(+18)
 –144 = –144
A los números 
negativos, 
antiguamente, se 
les conocía como 
números deudos o 
números absurdos.
Sin embargo, los 
chinos no aceptaban 
la idea de que un 
número negativo 
sea solución de una 
ecuación.
Leonhard Euler es 
el primero en darles 
estatuto legal, en 
su libro «Elementos 
de	álgebra»	(1770)	
en el que trata de 
demostrar que:
(–1) × (–1) = +1
Él argumentaba que 
el producto tiene 
que ser +1 o –1 y 
que sabiendo que se 
cumple:
(+1) × (–1) = –1,
entonces tendrá que 
ser: 
(–1) × (–1) = +1
¿Sa bía s qu e.. .?
Ley asociativa
(m × n) × p = m × (n × p) = (m × p) × n = m × n × p
•		(2) × (3) × (–5)
 ⇒	[(2 × (3)] × (–5) = 	[(2) × (–5)] × (3) 
 6 × (–5) = (–10) × (3)
 –30 = –30
Ley conmutativa
m × n = n × m
•		(2) × (–5) = (–5) × (2)
 –10 = –10
•		(–4) × (–3) = (–3) × (–4)
 +12 = + 12
Ley del elemento neutro o identidad
m × 1 = m
Ejemplos:
•		(–5) × 1 = (–5) = –5 •		(+9) × 1 = (+9) = +9
Ley distributiva
En la adición:
m × (n + p) = m × n + m × p
En la sustracción:
m × (n – p) = m × n – m × p
Ley del inverso multiplicativo
Si al multiplicar dos números enteros m y e se obtiene 1 como producto, se dice que 
uno de los factores es igual al inverso multiplicativo del otro.
m × e = 1 ⇒ m = 1e
Ejemplos:
Ejemplos:
13MateMática Delta 2 - aritMética
Potencia de números enteros
La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero cuyo 
signo se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:
Las potencias de exponente par siempre son positivas.
Ejemplos:
•		(+15)2	=	+225	=	225						 •		(–12)2 = +144 = 144
•		(–18)2	=	+324	=	324						 •		(–2)6 = +64 = 64 
•		(–6)4	=	+1296	=	1296						 •			(–5)4 = +625 = 625 
Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.
Ejemplos:
•		(+7)3	=	+343	 •		(–6)3 = –216
•		(–8)3 = –512	 •		(–3)5 = –243 
•		(–2)5 = –32		 •		(–1)5 = –1
Propiedades
a0	=	1		;		a	≠	0
a1 = a
am × an = am + n
•	(+5)0 = 1
•	(+4)5 ÷ (+4)3 = (+4)2 •	(–2)10 ÷ (–2)4 = (–2)6
•	[(+42)]3 = (+4)6
•	(+4)3 × (+5)3 = [(+4)(+5)]3 = (+20)3 •	(–2)4 × (+5)4 = [(–2)(+5)]4 = (–10)4
•	(–5)1 = –5
•	(+4)2 × (+4)3 = (+4)5 •	(–2)3 × (–2)4 = (–2)7
(am)n = am ×	n
an × bn = (a × b)n
am
an
 = am – n
Una potencia no 
es más que una 
expresión abreviada, 
que se utiliza para 
escribir el producto de 
factores iguales.
Por ejemplo: 
23 = 2 ×	2 ×	2 = 8
donde:
•	 2 es la base. 
•	 3 es el exponente.
•	 8 es la potencia.
En general:
¿Sa bía s qu e.. .?
3 factores
an = a ×	a ×	... ×	a
n factores
Donde:
•	 a es la base
•	 n es el exponente
•	 El resultado de la 
operación es la 
potencia.
•	(–49)0 = 1 •	(+898)0 = 1
Potencia de exponente cero
Potencia de exponente uno
•	(+235)1 = +235 •	(–169)1 = –169
Producto de potencias de bases iguales
•	(+12)4 × (+12)5 = (+12)9
Cociente de potencias de bases iguales
•	(–5)7 ÷ (–5)6 = –5
Potencia de una potencia 
•	[(–126)]4 = 1224 •	[(+9)9]2 = (+9)18
Producto de una potencia con el mismo exponente 
14
La raíz de índice par solo existe cuando el radicando es positivo.
Ejemplos:
•	 +16 = +4 = 4
•	 +81 = +3 = 3
•	 +64 = +2 = 2
Ejemplo 1
Efectúa la operación (–4) × [(–6) – (–8)] – (+3) × [(–11) + (+7)]. 
(–4) × [(–6) – (–8)] – (+3) × [(–11) + (+7)] 
(–4) × [(–6) + (+8)] – (+3) × [(–11) + (+7)]
(–4) × (+2) – (+3) × (–4)
 (–8) – (–12)
 (–8) + (+12)
 (+4)
(–6) × [(–7)	+ (+3) –	(7	+	6	– 14)] –	(+7)	×	(+3)
(–6) × [ (–4) – (13 – 14) ] – (+21)
(–6) × [ (–4) – (–1)] + (–21)
(–6) × [ (–4) + (+1) ] + (–21)
Ejemplo 2
Efectúa la operación (–6) × [(–7)	+ (+3) – (7	+	6	– 14)] – (+7) × (+3).
(–6) × (–3) + (–21)
(+18) + (–21)
 (–3) 
La raíz de índice natural (mayor que 1) de un número entero no siempre es otro número 
entero, y cuyo signo está sujeto a la aplicación de las siguientes reglas:
Raíz de números enteros
La raíz de índice impar tiene el mismo signo que el radicando.
Ejemplos:
•	 	 +8
3
 = +2
•	 	 –64
3
 = –4
•			 –32
5
 = –2
Operaciones combinadas con números enteros
Jerarquía de las operaciones
1.º Efectúa las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
2.º Calcula las potencias y raíces.
3.º Calcula los productos y cocientes.
4.º Calcula las sumas y restas.
Repa sa
Las raíces cuadradas 
son expresiones 
matemáticas que 
surgieron al plantear 
diversos problemas 
geométricos como 
la longitud de la 
diagonal de un 
cuadrado, entre otros 
cálculos. Veamos:
x
1
2
x2 = 22 + 12
x2 = 5
 x = 5
La creencia popular 
es que; por ejemplo:
16 = ±4
Dicha	afirmación	no	
es correcta por las 
siguientes razones:
•	 La	raíz	cuadrada	de	
un número positivo 
debe ser positivo.
•	 16 es un número 
real, por lo tanto 
ocupa un solo 
punto en la recta 
numérica; si 
aceptamos que 
16 = ±	4 entonces 
ese número estaría 
ocupando dos 
puntos en la recta 
numérica el punto 
+4 y el –4, lo cual 
es inadmisible para 
un número real.
6
15MateMática Delta 2 - aritMética
El comedor «Sabores andinos» abrió sus puertas incluyendo en su menú la 
venta de bebidas calientes. Los encargados llevaron registros detallados de las 
ganancias y pérdidas obtenidas durante la primera semana de este lanzamiento. 
A continuación describimos lo que ocurrió: el día lunes el comedor perdió S/ 98, 
el	martes	perdió	S/	54,	el	miércoles	ganó	S/	18,	el	jueves	perdió	S/	37	y	el	viernes	
ganó	S/	43,	el	sábado	ganó	S/	87	y	el	domingo	ganó	S/	94.	Determina	si	el	comedor	
ganó o perdió la primera semana.
Resolución:
Organizaremos los datos de ganancias y pérdidas en un cuadro de doble entrada.
El	monte	Everest	es	 la	montaña	más	alta	del	planeta	Tierra,	con	una	altura	de	
8848 metros sobre el nivel del mar. Está localizada en la cordillera de Mahalangur 
Himal, en el continente asiático, y marca la frontera entre China y Nepal. 
Un	montañista	ha	escalado	y	se	encuentra	a	5790	m	s.n.m.,	decide	seguir	
subiendo y asciende 820 metros, luego descansa unos 30 minutos y asciende 
189 m; sin embargo, debido a que hay peligro de una avalancha decide 
descender 542 m para refugiarse. Determina a qué distancia sobre el nivel del 
mar se encuentra el montañista.
Resolución:
Para saber exactamente donde se encuentra el montañista, efectuamos la 
operación:
Entonces:
(+242) + (–189)
= +53
Día Ganancia Pérdida
lunes S/ 98
martes S/ 54
miércoles S/ 18
jueves S/			37
viernes S/ 43
sábado S/			87
domingo S/ 94
Total S/ 242 S/ 189
(+5790)	+	(+820)	+	(189)	+	(–542)
(+6799)
⇒ (+6799) + (–542)
⇒	(+6257)
Rpta. Se	encuentra	a	6257	m	s.n.m.
Rpta. El comedor ganó S/ 53.
1
2
La cima del Everest 
es el punto en que 
la	superficie	de	la	
Tierra	alcanza	la	
mayor distancia 
sobre el nivel del 
mar. En ocasiones, 
varias montañas 
son reclamadas 
alternativamente 
como las «montañas 
más altas de la 
Tierra». El Mauna 
Kea en Hawái es la 
más alta cuando se 
mide desde su base; 
se eleva a más de 
10 200 m cuando se 
mide desde su base 
en el
suelo centro-oceánico,
pero solo alcanza 
4205 m sobre el nivel 
del mar.
+5790
+820
+189 –542 cúspide
nivel del mar
¿Sa bía s qu e.. .?
Ejercicios resueltos
16
Rpta. Rpta. 
1 2Milagros	compró	un	automóvil	usado	a	S/	8750,	
pagó S/ 830 por un cambio de llantas y S/ 200 por 
afinarlo. Después lo alquiló durante dos años a razón 
de S/ 1500 por trimestre. Finalmente, lo vendió a 
S/	7750.	¿Cuánto	ganó	o	perdió?
Resolución:
Martín compró un automóvil a S/ 9540, pagó 
S/	970	por	un	cambio	de	llantas	y	S/	320	por	afinarlo.	
Después lo alquiló durante un año y medio a razón 
de S/ 1200 por trimestre. Finalmente, lo vendió a 
S/	6820.	¿Cuánto	ganó	o	perdió?
Resolución:
Adición y sustracción
O
pe
ra
ci
on
es
O
pe
ra
ci
on
es
G
rá
fic
am
en
te Multiplicación y división
Enteros negativos Enteros positivos
 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 +	∞–	∞
•	(+5)	+	(+8)	=	+13	
•		(–8)	+	(–2)	=	–10	
•		(+4)	+	(–7)	=	–3		
•	(–6)	+	(+10)	=	+4		
(+) × (+) = (+) , (+) × (–) = (–)
(–) × (–) = (+) , (–) × (+) = (–)
(+) ÷ (+) = (+) , (+) ÷ (–) = (–)
(–) ÷ (–) = (+) , (–) ÷ (+) = (–)
Números enteros ( )
Si poseen el mismo signo se suman las cantidades y se coloca el mismo signo.
Si poseen diferente signo se restan las cantidades y se coloca el signo de la cantidad 
que tenga el mayor valor absoluto.
Modela y resuelve 
Síntesis
17MateMática Delta 2 - aritMética
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
5
3 4
6Un contratista ofrece a un obrero S/ 24,50 por 
cada día de trabajo, pero le descontará S/ 5,60 
por cada día que llegue tarde a trabajar. Si luego 
de 25 días de trabajo, el obrero ha recibido como 
pago	S/	567,70.	Halla	cuántos	de	estos	días	llegó	
tarde.
Resolución:
Un contratista ofrece a un obrero S/ 28,80 por 
cada	día	de	 trabajo,	 pero	 le	 descontará	S/	 7,60	
por cada día que llegue tarde a trabajar. Si luego 
de 28 días de trabajo, el obrero ha recibido como 
pago	 S/	 738.	 Halla	 cuántos	 de	 estos	 días	 llegó	
tarde.
Resolución:
Un ganadero decide vender sus toros de lidia para 
una corrida, analizando las siguientes situaciones: 
Si vende cada toro a S/ 2980, perdería S/ 5525 
en total. Sin embargo, si vendiera a S/ 3680 cada 
toro,	ganaría	S/	3575	en	total.	Calcula	cuántos	son	
los toros que ha decidido vender.
Resolución:
Un ganadero decide vender sus vacas lecheras, 
analizando las siguientes situaciones: Si vende 
cada vaca a S/ 3240, perdería S/ 4200 en total, 
pero,	si	vendiera	a	S/	3750	cada	vaca,	ganaría	
S/ 3450 en total. Calcula cuántas son las vacas 
que ha decidido vender.
Resolución:
18
Si compro 6 calculadoras me sobrarían S/ 200; 
pero si compro 10 observo que me faltarían
S/ 100 para comprar 4 calculadoras más. 
Encuentra de cuánto dinero dispongo.
Resolución:
Si compro 8 calculadoras me sobrarían S/ 180; 
pero si compro 10 observo que me faltarían 
S/	75	para	comprar	4	calculadoras	más.	Encuentra	
de cuánto dinero dispongo.
Resolución:
7 8
Rpta. 
9 10
Rpta. 
Rpta. 
Fernando, trabajando solo, planea construir una 
silla en 12 horas; pero luego de 5 horas de trabajo, 
recibe la ayuda de Roberto y juntos terminan 
la silla en 3 horas después. Determina cuánto 
tiempo hubiera demorado Roberto en construir la 
silla, de haber trabajado solo.
Resolución:
Rpta. 
Camilo, trabajando solo, planea construir una mesa 
en	 16	 horas;	 pero	 luego	 de	 7	 horas	 de trabajo, 
recibe la ayuda de Eduardo y juntos terminan 
la mesa en 5 horas después. Determina cuánto 
tiempo hubiera demorado Eduardo en construir la 
mesa, de haber trabajado solo.
Resolución:
19MateMática Delta 2 - aritMética
11 12
Rpta. 
Un comerciante minorista compró 124 ejemplares 
de un libro de Matemática a S/ 84, en una editorial. 
Luego del traslado, observa que ha perdido 
13 libros. Calcula a qué precio debe vender cada 
uno del resto de libros para ganar S/ 4236 en total.
Resolución:
Rpta. 
Un comerciante minorista compró 132 ejemplares 
de un libro de Matemática a S/ 92, en una editorial. 
Luego del traslado, observa que ha perdido 
18 libros. Calcula a qué precio debe vender cada 
uno del resto de libros para ganar S/ 2448 en total.
Resolución:
Rpta. Rpta. 
13 14Luego de una función de teatro, se obtuvo una 
recaudación de S/ 2959. Si en total se vendieron 
174	entradas,	pagando	cada	adulto	S/	25	y	cada	
niño S/ 12. Halla cuántos niños ingresaron. 
Resolución:
Luego de una función de circo, se obtuvo una 
recaudación de S/ 3120. Si en total se vendieron 
183 entradas, pagando cada adulto S/20 y cada 
niño S/ 15. Halla cuántos adultos ingresaron. 
Resolución:
20
15 16 Ocho amigos realizaron un viaje y acordaron pagar 
los gastos en partes iguales, pagando la mitad 
antes de iniciar el viaje. Al finalizar el viaje 3 de 
ellos no pagaron su saldo, de modo que cada uno 
de los restantes tuvo que pagar S/ 42 adicionales. 
Determina cuánto costó el viaje en total.
Resolución:
Rpta. 
17 18
Rpta. 
Un vehículo de transporte público que hace 
el servicio de Lima hasta Ancón, cobra S/ 2,50 
como pasaje único. En el trayecto hacia Ancón 
se observa que cada vez que baja un pasajero, 
suben dos. Si el vehículo llegó a Ancón con 
31 pasajeros y una recaudación de S/ 120, encuentra 
cuántos pasajeros subieron en el paradero inicial.
Resolución:
Rpta. 
Un vehículo de transporte público que hace el 
servicio de Lima hasta Zapallal, cobra S/ 2,80 
como pasaje único. En el trayecto hacia Zapallal 
se observa que cada vez que baja un pasajero, 
suben 3. Si el vehículo llegó a Zapallal con 
38 pasajeros y una recaudación de S/ 126, encuentra 
cuántos pasajeros subieron en el paradero inicial.
Resolución:
Nueve amigos realizaron un viaje y acordaron 
pagar los gastos en partes iguales, pagando la 
tercera parte antes de iniciar el viaje. Al finalizar 
el viaje, 4 de ellos no pagaron su saldo, de modo 
que cada uno de los restantes tuvo que pagar 
S/ 56 adicionales. Determina cuánto costó el 
viaje en total.
Resolución:
Rpta. 
21MateMática Delta 2 - aritMética
21 22
19 20
Rpta. Rpta. 
Un fabricante invirtió S/ 15 120 para producir 
cierta cantidad de pantalones. Si luego vende 
una parte en S/ 8330 al precio de S/ 98 cada 
uno, observando que ha ganado en esta venta 
S/ 2210; calcula cuántos pantalones le quedan por 
vender.
Resolución:
Un fabricante invirtió S/ 12 320 para producir 
cierta cantidad de pantalones. Si luego vende 
una	 parte	 en	 S/	 7600	 al	 precio	 de	 S/	 95	 cada	
uno, observando que ha ganado en esta venta 
S/ 2000; calcula cuántos pantalones le quedan 
por vender.
Resolución:
Rpta. 
Un carpintero fabricó 60 camas por S/ 25 680. Si 
logró vender tres docenas por un total de S/ 18 144,
halla el precio al cual debe venderse cada una de 
las camas restantes sabiendo que desea ganar 
en total S/ 4944.
Resolución:
Rpta. 
Un	carpintero	fabricó	70	mesas	por	S/	17	780.	Si	
logró	vender	tres	docenas	por	un	total	de	S/	10	872,
halla el precio al cual debe venderse cada una de 
las mesas restantes sabiendo que desea ganar en 
total S/ 2000.
Resolución:
22
 A 	 S/	27	360	 B S/ 28 260
 C 	 S/	26	730	 D S/ 29 610
 E 	 S/	28	170	
 Para entrar al cine hay 2 boleterías. En la primera, 
atienden	 a	 6	 personas	 en	 72	 segundos	 y	 en	 la	
segunda atienden a 15 personas en 2 minutos. 
Calcula cuántas personas serán atendidas en 
10 minutos.
1
 Halla cuántas cajas grandes se necesitan para 
transportar 180 000 caramelos, si en cada caja 
grande entra una docena de cajas pequeñas y en 
cada una de estas cajas pequeñas hay una decena 
de bolsas y en cada bolsa hay 20 caramelos.
2
 Un anciano deja al morir a cada uno de sus 
hijos S/ 6840. Habiendo fallecido uno de ellos, 
la herencia de esta se repartió entre los demás, 
entonces cada uno recibió un total de S/ 9120. 
¿Cuánto	era	la	fortuna	del	anciano?
3
 A un baile al cual asistieron 120 personas, se 
observó lo siguiente: la mujer que llegó primero 
bailó	con	7	hombres,	la	que	llegó	segundo	bailó	
con 8 hombres, la que llegó tercero bailó con 
9 hombres y así sucesivamente, hasta que la 
que llegó última bailó con todos los hombres. 
Determina cuántas mujeres asistieron al baile.
4
 Un bus parte de su paradero inicial, con cierta 
cantidad de pasajeros y llega al paradero final 
con 61 pasajeros; cada pasaje cuesta S/ 3 y el 
bus ha recaudado S/ 255. Encuentra con cuántos 
pasajeros partió el bus, si en cada paradero 
subían 5 pero bajaban 2 pasajeros.
5
 Clarisa vende pescados en el mercado. Si vende 
a S/ 18 cada kilogramo, se compraría un televisor 
y le sobrarían S/ 6, pero si los vende a S/ 20 cada 
kilogramo, le sobrarían S/ 90 luego de comprar el 
televisor.		¿Cuánto	cuesta	el	televisor?
6
 A S/ 680 B 	S/	720	 C 	 S/	740
 D 	S/	750	 E 	S/	780
 A 120 B 125 C 130
 D 140 E 135
 A 60 B 	 75	 C 50
 D 40 E 64
 A 58 B 54 C 52
 D 	 57	 E 51
 A 26 B 25 C 28
 D 23 E 29
Practica y demuestra
Nivel I
23MateMática Delta 2 - aritMética
	 Nicolás	pagó	S/	7585	por	un	automóvil,	S/	790	por	
cambio de llantas y S/ 225 por afinarlo. Después 
lo alquiló durante dos años a razón de S/ 1200 por 
trimestre, y luego lo vendió por S/ 6400. Descubre 
cuánto ganó Nicolás.
7
 Un empleado ha sido contratado por 15 meses, 
tiempo por el cual se le ha ofrecido pagar 
 S/ 14 640 y un televisor. Cumplidos los ocho meses, 
el empleado renunció al trabajo, y recibió como 
pago	 S/	 7346	 y	 el	 televisor.	 Calcula	 en	 cuánto	
está valorizado el televisor.
8
 Un profesor propone 110 problemas a sus 
alumnos en su tarea final y ofrece 5 puntos por 
cada problema bien resuelto, con la condición 
de descontarle 2 puntos por cada problema 
mal resuelto. Si uno de sus alumnos obtuvo 
261 puntos, halla cuántos problemas resolvió 
correctamente, sabiendo además que no pudo 
resolver 20 problemas.
9
 A 58 B 	71	 C 63
 D 	75	 E 	67
 A S/ 920 B S/ 990 C S/ 950
 D S/ 985 E S/ 960
 A S/ 7200 B S/ 7300 C S/ 7350
 D S/ 7400 E S/ 7450
 A 	S/	97	 B S/ 91 C S/ 89
 D 	S/	87	 E S/ 93
 A 47 B 41 C 45
 D 43 E 49
 Un técnico cobró S/ 3096 por la instalación de una 
red de 14 computadoras. Si en seis computadoras 
tuvo que cambiar procesadores por S/ 183 en 
cada una, y en las otras agregarles tarjetas de 
video	por	S/	87	en	cada	computadora,	encuentra	
cuál fue su ganancia en cada computadora.
11
 Un ganadero compró cierto número de reses 
a	S/	 128	 570;	 vendió	 una	 parte	 a	 S/	 84	 240,	 a	
 S/ 3240 cada una, ganando S/ 6500 en esa venta. 
Descubre cuántas reses compró inicialmente. 
12
 A S/ 212 B S/ 202 C S/ 224
 D S/ 232 E S/ 219
 Una avión lleva 295 pasajeros. En primera clase 
viajan	80	personas	y	cada	una	pagó	S/	375;	en	
segunda clase viajaron 115 personas y cada una 
pagó S/ 246. Determina cuánto pagó cada persona 
que viajó en tercera clase, si la recaudación total 
fue	S/	78	490.
10
Nivel II
24
 A S/ 1896 B S/ 1920
 C S/ 1824 D S/ 1830
 E S/ 1854
 A 18 B 20 C 28
 D 23 E 25
 A 	71	m	 B 69 m C 	 73	m
 D 82 m E 	67	m
 A 35 B 42 C 28
 D 45 E 32
 Si un comerciante vende a S/ 11 cada calculadora, 
gana	S/	75;	pero	si	decide	vender	cada	calculadora	
a	S/	6,	pierde	S/	50.	¿Cuántas	calculadoras	tiene	
para	vender?
14
 Un confeccionista compró dos rollos de tela 
gastando	en	el	primer	rollo	S/	792	y	en	el	segundo	
S/	 1927.	 Un	 metro	 de	 la	 segunda	 tela	 cuesta	
 S/ 8 más que un metro de la primera tela y, con 
S/	 74	 se	 puede	 comprar	 un	metro	 de	 la	 primera	
tela junto a un metro de la segunda tela. Calcula 
cuántos metros compró en total.
15
 Se disponen 6 filas de 10 alumnos cada fila. Si se 
retiran los alumnos del perímetro, halla cuántos 
alumnos quedan.
16
	 Un	 hotel	 cobra	 durante	 los	 primeros	 7	 días														
S/ 54 diarios por persona y, a partir del octavo 
día reduce su tarifa a S/ 46 diarios por persona. 
Determina cuánto gastarían tres personas que 
planean pasar 12 días en dicho hotel.
17
 A 568 B 584 C 552
 D 648 E 608
 Un edificio tiene 8 pisos; cada piso con 
7	 departamentos,	 3	 de	 ellos	 con	 vista	 a	 la	
calle; cada departamento tiene 8 o 13 focos. 
Encuentra cuántos focos hay en el edificio, si 
los departamentos que no tienen vista a la calle 
tienen más focos que los otros.
18
 A S/ 154,00 B S/ 155,40
 C S/ 156,40 D S/ 159,60
 E S/ 157,50
 El precio de un litro de yogur es de S/ 10,50. En una 
promoción del tipo «lleve 3 y pague 2», una persona 
que	llevó	22	litros,	¿cuánto	pagó?
13 Nivel III
25MateMática Delta 2 - aritMéticaA 564 B 548 C 554
 D 	572	 E 558
 A 	S/	197	 B 	S/	187	 C S/ 203
 D S/ 195 E S/ 193
 En un salón hay 24 alumnos y en otro salón hay 
31 alumnos. Si a cada alumno de uno de los 
salones se le obsequia 12 caramelos, y a cada 
alumno del otro salón se le obsequia 4 caramelos 
menos.	 ¿Cuántos	 caramelos	 como	 máximo	 se	
van	a	repartir	en	total?
19
	 Un	 avión	 lleva	 275	 pasajeros.	 En	 primera	 clase	
viajan 82 personas y cada una pagó S/ 248; en 
segunda clase viajaron 125 personas y cada una 
pagó	S/	217.	Descubre	cuánto	pagó	cada	persona	
que viajó en tercera clase, si la recaudación total 
fue	S/	60	177.
20
 A 59 B 72 C 54
 D 63 E 66
 A S/ 43,60 B S/ 48,60
 C S/ 44,60 D S/ 45,60
 E S/ 46,60
 A 64 m B 63 m C 62 m
 D 60 m E 58 m
 A 1254 B 1284 C 1238
 D 1276 E 1268
 En un salón de clase de primer grado, los alumnos 
se	 sientan	 en	 carpetas	 de	 7	 alumnos	 cada	 una	
observándose que en una de las carpetas hay 
tres alumnos (no sobran carpetas vacías). Si los 
trasladamos a otro salón donde solo hay carpetas 
de 6 alumnos cada una, ocuparían una carpeta 
adicional, calcula cuántos alumnos hay en dicho 
salón de clase.
21
 Un señor entra a una tienda comercial y compra 
dos camisas de $ 38 cada una, un par de zapatos 
a	$	129	y	un	pantalón	a	$	76.	Si	el	 señor	paga	
con	5	billetes	de	S/	200,	¿cuánto	le	dan	de	vuelto,	
en soles, sabiendo que el local comercial cobra el 
dólar	a	S/	3,40?
23
 Un confeccionista compró dos rollos de tela 
gastando en el primer rollo S/ 806 y en el segundo 
S/ 1443. Un metro de la segunda tela cuesta 
S/ 8 más que un metro de la primera tela y, con 
S/	70	se	puede	comprar	un	metro	de	la	primera	tela	
junto a un metro de la segunda tela. Halla cuántos 
metros compró en total.
24
 Un juego de niños consiste de una caja roja 
dentro	de	la	cual	hay	7	cajas	azules;	en	cada	caja	
azul hay 18 cajas verdes y en cada caja verde hay 
9	cajas	blancas.	¿Cuántas	cajas	hay	en	total?	
22
5k – 12
4k – 12
26
26
Tema
Fracciones
El conjunto de los números racionales
Aspectos previos
Es un conjunto numérico cuyos elementos provienen de dividir dos números enteros y 
se simboliza con la letra .
Ejemplos:
El conjunto de los números racionales es un conjunto denso, pues entre dos números 
racionales encontraremos infinitos números racionales.
Ejemplos:
Entre el 0 y el 1 encontramos al número racional 0 + 12 = 
1
2
0 1
2
1
Entre el 0 y 12 encontramos al número racional 
0 + 1
2
2 = 
1
4
0 1
4
1
2
Entre el 0 y 1
4
 encontramos al número racional 
0 + 1
4
2 = 
1
8
0 1
8
1
4
Si seguimos con el proceso encontraremos infinitos números racionales entre el 0 y el 1.
Por otra parte, es necesario mencionar que el conjunto de los números racionales 
contiene a los números enteros .
Número fraccionario
Como número racional, el conjunto de los números fraccionarios resultan de la división 
indicada de dos números enteros, siempre y cuando esta división resulte inexacta y el 
denominador sea diferente de cero.
Ejemplos:
/ a ∈ ; b ∈ ; b 0ab =
 
Import a nt e
Sea
p < q
Se afirma que:
 p + p < q + p
 2p < q + p
 p < 
q + p
2
También:
 p + q < q + q
 p + q < 2q
Entonces:
p < q + p
2
 < q
Por esto, siempre 
se puede encontrar 
un número racional 
entre otros dos, lo 
que demuestra que 
el conjunto es 
denso.
2
0 1
8
1
4
1
2
1
5
4
 ; 9
15
 ; −16
9
 ; 27
−12
 ; −28
−8
 ; 8
−40
 ; −15
25
 
15
3
 ; 24
9
 ; −6
8
 ; 16
−9
 ; −5
−1
 ; 18
9
 ; 318
17
2
2
 ; 6
3
 ; 12
4
 ; 15
3
 ; −6
6
 ; 8
−4
 ; −15
5
 ; ...
p + q
2 < q
27
27MateMática Delta 2 - aritMética
Fracción o número quebrado
Son aquellos números fraccionarios cuyos términos de la división indicada son ambos 
enteros positivos.
Ejemplos:
Como la fracción se ha usado y se usa como problema de reparto, los términos que 
tiene son enteros positivos. Estos términos son llamados numerador y denominador; 
así, una fracción se simbolizará como: 
De forma práctica, en la fracción a
b
 se tendrá en cuenta que:
• El denominador indica en cuántas partes iguales se divide cada unidad de referencia.
• El numerador representa las partes iguales que se eligen de cada unidad de referencia.
• La unidad de referencia es la que va a ser dividida en partes iguales; por ejemplo un 
terreno, una herencia, dinero, mercadería, etc.
Ejemplo:
¿Qué significa la fracción 2
9
?
Suponiendo que la unidad de referencia es un terreno; entonces en la fracción 29 , el 
denominador 9 indica que el terreno se va a dividir en nueve partes iguales, mientras 
que el numerador 2 plantea que se debe elegir dos de las partes iguales.
Gráficamente tendremos:
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
2
9
 f = ab , a 
+ , b + y la división es inexacta. 
a es el numerador.
b es el denominador. 
• 15
3
 no es fracción 
porque al dividir 15 
entre 3 se obtiene 
5, el cual es un 
número entero.
● La fracción no tiene 
unidades de medida, 
es abstracta, 
solo podemos 
interpretarla y hacer 
operaciones con 
ellas con respecto a 
la misma unidad de 
referencia.
Repa sa
Clasificación de las fracciones
Teniendo en cuenta la comparación del valor de sus términos, las fracciones se clasifican 
en fracciones propias e impropias.
Fracción propia
Cuando el numerador es menor que el denominador, la fracción se denomina propia.
En general:
Sea la fracción a
b
, será propia si 0 < a < b.
Ejemplos:
Criterio 1
5
3
 ; 16
9
 ; 1
5
 ; 24
15
 ; 101
100
 ; 48
40
 ; 15
25
 
3
8
 ; 5
15
 ; 24
30
 ; 1
6
 ; 48
49
 ; 105
250
28
Ejemplo:
Calcula cuántas fracciones propias existen, que sean mayores que 57 y su denominador sea igual a 18.
Resolución:
La fracción buscada con denominador 18 es:
f = a18
Es propia a < 18 
Es mayor que 57 
a
18 > 
5
7
7a > 90 ⇒ a > 12,9
Observamos que 12,9 < a < 18 a = 13; 14; 15; 16; 17
Las fracciones son:
Finalmente, se forman 5 fracciones.
a 13 14 15 16 17
a
18
13
18
14
18
15
18
16
18
17
18
Complemento de una fracción
Toda fracción propia tiene su complemento. El complemento de una fracción propia es 
lo que le falta a esta para ser igual a la unidad.
En general:
Sea la fracción propia a
b
, su complemento se calcula como:
 1 – ab = 
b – a
b
Ejemplo 1
• Dada la fracción 7
10
, su complemento es 3
10
.
• En la fracción 
3
5 , su complemento es 
2
5 .
Ejemplo 2
Calcula el numerador de una fracción equivalente a 
35
45 tal que la diferencia de sus 
términos sea igual a 126.
Resolución:
• La fracción 35
45
 es simplificada hasta obtener la fracción irreducible 7
9
; por 
consiguiente la fracción buscada es 7k
9k
 .
• La diferencia entre sus términos es 126.
9k – 7k = 126 k = 63 
Numerador = 7(63) = 441
Denominador = 9(63) = 567
Finalmente, el numerador de la fracción buscada es 441.
• Para la fracción 7
10
, 
su complemento es: 
10 – 7
10 = 
3
10
• Para la fracción 3
5
, 
su complemento es: 
5 – 3
5 = 
2
5
Obse rva
29MateMática Delta 2 - aritMética
Ejemplos:
Fracción impropia
Cuando el numerador es mayor que el denominador, la fracción se denomina impropia.
En general: Sea la fracción ab , será impropia si 
a
b > 1 ⇒ a > b
Ejemplos:
24
5 ; 
12
7 ; 
47
9 ; 
34
3 
Las fracciones impropias generan los números mixtos, llamados así porque tienen una 
parte entera y otra parte en fracción propia, siendo la suma de estas dos partes igual a la 
fracción impropia.
Sea el número mixto 
a b
c
, se cumple que:
a 
b
c = a + 
b
c
 = 
a × c + b
c
Ejemplos:
• 445 = 
4 × 5 + 4
5 = 
24
5 
• 5 29 =
5 × 9 + 2
5 = 
47
9 
Not a
Teniendo en cuenta su denominador, las fracciones pueden ser fracción decimal u 
ordinaria.
Fracción decimal
Son aquellas fracciones cuyo denominador es una potencia de 10.
Ejemplos:
Fracción ordinaria
Son aquellas fracciones cuyo denominador no es una potencia de 10.
Ejemplos:
Las fracciones 
decimales facilitan 
enormenteel cálculo 
de las adiciones o 
multiplicaciones de 
fracciones. 
Incluso, el convertir 
una fracción decimal 
a número decimal es 
muy sencillo. 
Por ejemplo:
• 5
10
 = 0,5
• 26
100
 = 0,26
• 47
1000
 = 0,047
Not a
Criterio 2
Algunos conjuntos de fracciones no equivalentes, se pueden clasificar en fracciones 
homogéneas o fracciones heterogéneas, de acuerdo al denominador que presenten.
Fracciones homogéneas
Son aquellas fracciones cuyos denominadores son de igual valor.
Ejemplos:
5
8 ; 
7
8 ; 
1
8 ; 
26
8 ; 
46
8
Fracciones heterogéneas
Son aquellas fracciones cuyos denominadores son diferentes.
Ejemplos:
5
3 ; 
24
7 ; 
9
10 ; 
45
22 ; 
28
200
Criterio 3
1
10 ; 
3
100 ; 
24
1000 ; 
16
10 000 ; 
24
10
 ; 45
1000
 ; 1525100
2
5 ; 
3
200 ; 
18
300 ; 
24
7 ; 
37
45
 ; 126
4000
 ; 16300
• 24
5
 = 4 + 4
5
 = 4 4
5
• 12
7
 = 1 + 5
7
 = 1 5
7
30
Luego:
3
4
 ; 6
8
 ; 9
12
 ; 12
16
 ; 15
20
 ; ... ; 3k
4k
 son fracciones equivalentes, donde 3k
4k
 representa de 
forma general a cualquiera de las fracciones equivalentes a 3
4
.
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simplifica la fracción 540
720
.
Luego, 540
720
 ; 270
360
 ; 180
240
 ; 135
180
 ; ... ; 3
4
 son fracciones equivalentes, donde 3
4
 representa 
una fracción irreductible.
540 ÷ 2
720 ÷ 2 =
270
360
540 ÷ 3
720 ÷ 3 =
180
240
540 ÷ 4
720 ÷ 4 =
135
180
540 ÷ 180
720 ÷ 180 =
3
4
Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones:
5
9
 ; 3
8
 ; 5
12
 ; 1
6
 ; 7
18
 ; 3
4
Resolución:
1.° Homogeneizamos los denominadores de las fracciones mostradas, para ello 
buscamos el común denominador, calculando el mínimo común múltiplo de 9; 8; 
12; 6; 18 y 4.
 MCM(9; 8; 12; 6; 18; 4) = 72
Resolución:
Resolución:
Cuando una fracción 
se ha simplificado 
hasta que sea 
irreducible, a esta 
última se dice que 
es su representante 
canónico.
Ejemplo:
Son equivalentes 
y tienen como 
representante 
canónico a 34 .
15
20
; ; ;18
24
21
28
27
36
Recu e rda
Amplificación y simplificación de fracciones
Amplificar una fracción consiste en multiplicar su numerador y denominador por el 
mismo número entero positivo. Cada vez que se amplifica una fracción, se obtiene una 
fracción equivalente a la inicial.
Simplificar una fracción consiste en dividir su numerador y su denominador por el 
mismo entero positivo; solo se pueden simplificar aquellas fracciones en las que su 
numerador y denominador son divisibles por el mismo entero positivo. Al simplificar 
completamente una fracción se obtiene una fracción irreducible.
Ejemplo 1
Amplifica la fracción 3
4
.
3 × 2
4 × 2 =
6
8
3 × 3
4 × 3 =
9
12
3 × 4
4 × 4 =
12
16
3 × 5
4 × 5 =
15
20
3 × k
4 × k =
3k
4k
3
4
Las fracciones 
equivalentes 
representan la misma 
parte de una unidad 
de referencia.
Ejemplo:
Import a nt e
1
2
2
4
4
8
1
2 = 
2
4 = 
4
8
31MateMática Delta 2 - aritMética
54
72
40
72
28
72
30
72
27
72
12
72> >> > >
3
4
5
9
5
12
3
8
1
6
5 × 8
9 × 8
3 × 9
8 × 9
5 × 6
12 × 6
1 × 12
6 × 12
7 × 4 
18 × 4
3 × 18 
4 × 18; ; ; ; ;
40
72
27
72
30
72
12
72
28
72
54
72
3.° Ordenando de mayor a menor tendremos:
Not a
Para establecer la 
relación de orden 
entre las fracciones
a
b y 
c 
d , algunos 
recurren a 
homogeneizar así:
a × d
b × d
c × b
d × b
Ejemplo:
5 
8
7 
12 ?¿
5 × 12
8 × 12
7 × 8
12 × 8
60
8 × 12
56
12 × 8>
7
18
5 × 60
6 × 60 ; 
3 × 45
8 × 45 ; 
2 × 40
9 × 40 ; 
15 × 90
4 × 90 ; 
13 × 9
40 × 9
300
360 ;
135
360 ;
80
360 ;
1350
360 y
117
360 son las fracciones homogeneizadas.
Incluso se pueden ordenar de forma creciente:
80
360
117
360
135
360
300
360
1350
360 < < < < 
2
9
13
40
3
8
5
6
15
4
Operaciones entre fracciones
Adición y sustracción
• Cuando tienen el mismo denominador:
Se suman o restan los numeradores (según el signo de la operación) y se escribe 
el mismo denominador.
 Ejemplo 1
Repa sa
La homogeneización 
de fracciones permite 
sumar fracciones de 
forma rápida; incluso 
establece la relación 
de orden que hay 
entre dos fracciones.
Por ejemplo, sean las 
fracciones 5
6
 y 3
8
 
homogeneizando se 
tiene:
5 × 4
6 × 4
3 × 3
8 × 3
=
=
+
=
=
=
5
6
3
8
5
6
3
8
20
24
9
24
29
24
Entonces:
Además:
5
6
20
24
>
> .porque
3
8
9
24
Homogeneización de fracciones
Cualquier conjunto de fracciones heterogéneas puede ser convertido a un conjunto de 
fracciones homogéneas utilizando la amplificación de fracciones.
Ejemplo:
Homogeneiza las siguientes fracciones 5
6
 ; 3
8
 ; 2
9
 ; 15
4
 y 13
40
.
Resolución:
Para lograr esta homogeneización, amplificaremos las fracciones hasta conseguir un 
denominador común. Este común denominador se puede obtener calculando el mínimo 
común múltiplo de los denominadores.
MCM(6; 8; 9; 4; 40) = 360
Luego:
2.° Amplificamos las fracciones hasta obtener denominador 72.
Finalmente, ordenando: 3
4
 ; 5
9
 ; 5
12
 ; 7
18
 ; 3
8
 ; 1
6
.
4
15
 + 
7
15
 − 
2
15
 + 
11
15
 = 
4 + 7 – 2 + 11
15
 = 
20
15
 = 
4
3
32
40
• Cuando tienen distinto denominador:
 Se homogeneizan las fracciones; después se suman o restan los numeradores 
(según el signo de la operación) y se escribe el mismo denominador.
Ejemplo:
En el cumpleaños de Ana se dividió una torta en varias partes iguales. Ana se 
comió 
1
12
 de torta, Luisa se comió 2
12
 de torta, Pedro se comió 3
12
 de torta y Carlos 
se comió 4
12
 de torta. ¿Qué fracción de torta quedó?
Resolución:
Observamos que la torta fue dividida en 12 partes iguales, como muestra la imagen.
3
8
5
12
1
6
7
16
25
48
3 × 6
48
5 × 4
48
7 × 3
48
1 × 8
48
18 + 20 + 8 – 21
48
+ + + –+ = =– =
Las partes coloreadas son las que se han comido: 10
12
 
Por consiguiente, queda 2
12
 de torta.
MCM(8; 12; 6; 16) = 48
Multiplicación de fracciones
El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto 
de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. Sin 
embargo, se recomienda simplificar con el fin de agilizar las operaciones.
Ejemplos:
b) Calcula los 3
5
 de los 7
10
 de los 8
9
 de S/ 360.
25
8
14
45
18
35
= = =
25 × 14 × 18 
8 × 45 × 35
5 × 2 × 9 
4 × 9 × 5
1
2
4
5
9
2
5
9
3
5
7
10
8
9 360
3 × 7 × 8 × 360 
5 × 10 × 9
= S/ 134,40
=
A L
L
P
P
P
CC
C
C
¿Sa bía s qu e.. .?
¿Cómo 
representaban 
los egipcios las 
fracciones?
Ellos tenían una 
curiosa manera 
de representar las 
fracciones.
• Solían utilizar 
fracciones unitarias, 
es decir fracciones 
de numerador. 
1. Tan solo 
existían algunas 
excepciones como 
2
3
.
• No podían escribir 
directamente, por 
ejemplo 3
4
. En su 
lugar realizan la 
descomposición:
Y además usaban 
fracciones unitarias 
no repetidas, por 
ejemplo, no se 
admitía:
3
4 =
1
2 +
1
4
3
4 =
1
4 +
1
4 +
1
4
×
× × ×
×
2
1
1
1
1
1
1
4
1
Ejemplo 2
a)
33MateMática Delta 2 - aritMética
Ejemplos:
b) Si los 3
8
 de una fracción es igual a 15
28
 , calcula dicha fracción.
Sea la fracción buscada N, se cumple que:
3
8
15
28
15
28
15
28
10
7
N N N
N
= = =
=
3
8
8
3÷
Potenciación de fracciones
Se eleva a la potencia solicitada tanto al numerador como al denominador de la fracción.
• •
• •
• •
• •
3
4
32
42
2
=
2
5
23
53
3
=
5
4
54
44
4
=
3
4
3
4
3
4
2 4 6
× =
3
4
3
4
3
4
8 3 5
÷ =
3
4
3
4
2 105
=
División de fracciones
Para dividir una fracción a
b
 entre otra fracción c
d
, se multiplica la fracción que hace de 
dividendo por la fracción inversa de la fracción que hace de divisor. Es decir:
2
5
5
2
53
23
–3 +3
= =
4
3
3
4
35
45
–5 +5
= =
× ×
5
7
2
1
64
45
45
64
16
15
16
15
3
4÷
= ==
16 × 45 
15 × 64×
1
1
3
4
a
b
a
b
a
b
n m
n + m
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
n m
n n × m
m
n – m
=
a
b
b
a
bn
an
–n +n
=
=
donde: n ∈ 
×
÷
Producto de 
potencias con la 
misma base
División de 
potencias con la 
misma base
Potencia de una 
potencia
Potenciade 
exponente 
negativo
a) Reducir: 16
15
 ÷ 64
45
 .
a
b
 ÷ 
c
d
 = 
a
b
 × 
d
c
a
b
n
 = 
an
bn
 ; n ∈ 
Ejemplos:
34
Se tiene un turrón de la forma que muestra la figura. Si el 
pedazo faltante (parte sombreada) se vendió en S/ 13,50, 
calcula cuánto costará el turrón entero.
Hemos dividido el turrón de valor S/ N en 30 partes iguales. 
Podemos afirmar que:
4
30
13,50 × 30
4× N = S/ 13,50 N =
 N = 101,25
Rpta. Finalmente, el turrón entero costará S/ 101,25.
Determina cuántas fracciones impropias existen, que sean menores que 13
4
 y su 
numerador sea igual a 24.
Resolución:
La fracción buscada con numerador 24 es:
f = 24b
Es impropia 24 > b 
Es menor que 134 
24
b < 
13
4 
24 × 4
13 < b 7,4 < b
Observamos que 7,4 < b < 24 b = 9; 10; 11; 13; 14; ...; 23 
Las fracciones son: 
Rpta. Finalmente, se 
forman 14 fracciones.
b 9 10 11 13 14 ... 23
24
b
24
9 
24
10 
24
11 
24
13 
24
14 
24
23 
La fracción a
b
 es
impropia cuando: 
a > b
Nota que b ≠ 8;12, 
porque no puede 
obtenerse un número 
entero.
24
8 = 3
24
12 = 2
Resolución:
Juan y María mezclan café de Colombia, 
café de Brasil, café de Guinea y café de 
Venezuela en paquetes de 1 kg. Observa la 
fracción de kilogramos que utilizan de cada 
tipo de café y halla la fracción de kilogramos 
que representa el café de Colombia utilizado 
en la mezcla A y en la mezcla B.
En la mezcla A, calculamos qué fracción representa los kilogramos de café que 
tenemos entre Brasil, Guinea y Venezuela.
Rpta. El café de Colombia en la mezcla A es 
1
20
 de kg.
En la mezcla B, realizamos un procedimiento similar.
Rpta. Por el complemento, el café de Colombia en la mezcla B es 61 
120
 de kg.
1
8
1
5
1
6
= =++ =
1 × 15 
120
kg
1 × 20
120
1 × 24
120
15 + 24 + 20
120
59 
120
+ +
1
2
1
4
1
5
= =++ =
1 × 10 
20
19 
20
kg1 × 4 
20
1 × 5
20
10 + 5 + 4
20+ +
Resolución:
MCM(8; 5; 6) = 120
MCM(2; 4; 5) = 20
Ejercicios resueltos
35MateMática Delta 2 - aritMética
Rpta. Rpta. 
Si a la cuarta parte de los 2
5
 de un número, se le 
agrega los 2
5
 de sus 3
8
 y se resta los 3
8
 de su quinta 
parte, se obtiene 21. Luego a los 5
8
 de los 5
9
 de otro 
número, se le agrega los 3
4
 de sus 7
18
 , obteniéndose 
345. ¿Cuánto es la suma de ambos números?
Resolución: 
Si a la quinta parte de los 3
4
 de un número, se 
le agrega los 3
4
 de sus 5
8
, se obtiene 396. Luego 
a los 5
3
 de los 7
18
 de otro número, se le agrega 
los 2
9
 de sus 5
4
, obteniéndose 175. ¿Cuánto es la 
suma de ambos números?
Resolución: 
Observa que está dividido 
en 7 partes iguales de las 
cuales se han escogido 4. 
Entonces, dicho gráfico se 
puede expresar a través de 
la fracción: 
 4
7
 
donde:
- 4 es el numerador 
 (n.° de partes escogidas)
- 7 es el denominador 
 (n.° total de partes)
F. propias: 2
7
; 15
40
; etc.
F. impropias: 11
6
; 35
21
; etc.
F. homogéneas: 2
15
; 6
15
; 11
15
F. heterogéneas: 1
14
; 2
19
; 5
20
Ejemplo:
El complemento de 3
8
 es 5
8
 
porque: 3
8
 + 5
8
 = 1
Por amplificación
Por simplificación
Fracción Clasificación
Complemento de una fracción
Fracciones equivalentes
Operaciones entre fraciones
Se tiene el gráfico:
Adición y sustracción
Pasos:
1.° Homogeneiza las fracciones.
2.° Resuelve.
Ejemplo: 5
6
 – 3
4
 + 1
8
MCM(6; 4; 8) = 24
5
6
 = 20
24
 ; 3
4
 = 18
24
 ; 1
8
 = 3
24
 
Entonces:
20
24
 – 18
24
 + 3
24
 = 5
24
 
Multiplicación
Ejemplo: 
25
8
 × 12
24
 × 9
21
 × 21
5
 = 45 
16
División
Equivale a multiplicar el 
dividendo por el inverso del 
divisor.
Ejemplo:
2
5
 ÷ 8
15
 = 2
5
 × 15
8
 = 3
4
1
1
3
4
Modela y resuelve 
Síntesis
36
3 4Un empresario observa que ha perdido los 4
9
 de su 
inversión; con lo que aún tiene vuelve a invertir y 
pierde los 2
7
 de su nueva inversión. Si luego de esto 
aún le queda S/ 420, calcula cuánto dinero perdió.
Resolución: 
5 6Demetrio ha consumido los 5
12
 de una bolsa de 
leche, y los 718 de otra bolsa de igual volumen que 
el anterior. Determina qué parte del volumen total 
de leche ha consumido Demetrio.
Resolución: 
Jorge ha consumido los 2
5
 de una bolsa de leche, 
y los 3
4
 de otra bolsa de leche de igual volumen 
que el anterior. Determina qué parte del volumen 
total de leche ha consumido Jorge.
Resolución: 
Un empresario observa que ha perdido los 2
5
 de su 
inversión; con lo que aún tiene vuelve a invertir y 
pierde los 38 de su nueva inversión. Si luego de esto 
aún le queda S/ 420, calcula cuánto dinero perdió.
Resolución: 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
37MateMática Delta 2 - aritMética
9 10
7 8Un cilindro tiene aceite hasta los 2
3
 de su capacidad; 
si se añaden 60 litros más, entonces estaría lleno 
hasta sus 4
5
. Halla la capacidad del cilindro.
Resolución: 
El profesor Martínez dispone sus ingresos 
mensuales de la siguiente manera: los 5
12
 para 
alimentación; 1
5
 en alquiler de una habitación, 3
8
 en 
cubrir sus pasajes, y los S/ 48 restantes los ahorra. 
Encuentra a cuánto asciende el gasto mensual del 
profesor Martínez.
Resolución: 
El profesor Jiménez dispone sus ingresos 
mensuales de la siguiente manera: los 2
9
 para 
alimentación; 1
4
 en alquiler de una habitación, 
2
15
 en cubrir sus pasajes, y los S/ 568 sobrantes 
los ahorra. Encuentra a cuánto asciende el gasto 
mensual del profesor Jiménez.
Resolución: 
Un cilindro tiene aceite hasta los 5
9
 de su capacidad; 
si se añaden 65 litros más, entonces estaría lleno 
hasta sus 7
10
. Halla la capacidad del cilindro.
Resolución: 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
38
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
11
13
12
14
Un comerciante compró mercaderías que luego 
vendió, ganando los 2
5
 de su inversión. Con lo 
que tenía volvió a comprar mercadería y vendió, 
esta vez ganó los 3
8
 de lo que invirtió; viendo que 
era bueno el negocio invirtió lo que tenía y perdió 
los 2
5
 de lo que invirtió esta vez, quedándose con 
S/ 9240. Descubre cuánto dinero ganó en la 
primera inversión.
Resolución: 
Andrés y Braulio pueden tarrajear una pared en 
6 días; Andrés y Carlos lo pueden hacer en 4 días; 
mientras que si trabajan los tres juntos la pared se 
tarrajea en 3 días. Calcula en cuántos días podrá 
tarrajear la pared Andrés, si trabaja solo.
Resolución: 
Un comerciante compró mercaderías que luego 
vendió, ganando 1
8
 de su inversión. Con lo que 
tenía volvió a comprar mercadería y vendió, esta 
vez ganó los 3
7
 de lo que invirtió; viendo que era 
bueno el negocio invirtió lo que tenía y perdió 
los 3
5
 de lo que invirtió esta vez, quedándose 
con S/ 7200. Descubre cuánto dinero ganó en la 
primera inversión.
Resolución: 
Antonio y Bernardo pueden cavar una zanja en 
8 días; Antonio y César lo pueden hacer en 6 días, 
mientras que si trabajan los tres juntos, la zanja se 
realiza en 4 días. Calcula en cuántos días podrá 
cavar la zanja, si Antonio trabaja solo.
Resolución: 
39MateMática Delta 2 - aritMética
 A S/ 7200 B S/ 4320
 C S/ 7560 D S/ 5760
 E S/ 3780
 He gastado los 2
5
 de mi dinero. Si en lugar de los 2
5
 
hubiese gastado los 3
8
, tendría 252 soles más de lo 
que tengo. Calcula cuánto me quedaría, si en lugar 
de gastar los 2
5
 de mi dinero gastaba los 3
7
 .
 Se compra un número par de naranjas. Si se 
vende la cuarta parte quedan menos de 118 
por vender, pero si se vendiera la sexta parte, 
quedaría más de 129 por vender. Determina 
cuántas naranjas me quedan, si vendí los 3
4
. 
 A Eva le quedan los 2
3
 de los 4
5
 del dinero que le 
dio su padre, y a Norma la mitad de los 5
6
 de los 
3
7
 del dinero que le dio su tío. Si Eva gastó S/ 56 
y Norma S/ 69, halla cuánto dinero más le queda 
a una que a la otra.
 Pepe gastó la tercera parte de su propina en revistas 
y los tres sétimos del resto de su propina en un día 
de paseo. De este modo observa que ha gastado 
S/ 78; encuentra cuánto

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