Álgebra 2

Vista previa del material en texto

DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) 
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta 
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión 
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, 
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna 
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de 
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su 
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de 
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o 
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su 
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección 
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación 
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales 
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos 
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída 
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la 
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier 
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia 
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de 
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. 
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de 
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su 
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda 
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia 
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y 
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a 
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente 
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y 
principios de las Naciones Unidas. 
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a 
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin 
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y 
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá 
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho 
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de 
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1.	 Toda	persona	tiene	derecho	a	la	libertad	de	reunión	y	de	asociación	pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, 
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las 
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta 
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de 
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto 
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida 
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los 
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al 
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a 
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el 
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por 
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y 
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme 
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por 
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa 
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una 
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas 
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así 
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el 
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; 
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, 
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de 
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. 
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho 
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, 
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La 
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional 
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual 
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana 
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades 
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre 
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el 
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento 
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que 
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de 
la	comunidad,	a	gozar	de	las	artes	y	a	participar	en	el	progreso	científico	y	
en	los	beneficios	que	de	él	resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y 
materiales	que	le	correspondan	por	razón	de	las	producciones	científicas,	
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional 
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan 
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona 
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único 
fin	de	asegurar	el	reconocimiento	y	el	respeto	de	los	derechos	y	libertades	
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden 
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en 
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada	en	esta	Declaración	podrá	 interpretarse	en	el	sentido	de	que	confiere	
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y 
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los 
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
2
secundaria
Nombres: _________________________________________________
_________________________________________________________
Apellidos: _________________________________________________
_________________________________________________________
DNI: ____________________________________________________
Domicilio: _________________________________________________
__________________________________________________________
Institución educativa: _________________________________________
__________________________________________________________
Correo electrónico: __________________________________________
_________________________________________________________
álgebra
Matemática
Impreso en el perÚ / prInted In peru
La Editorial se hace responsable por el rigor 
académico del contenido del texto de acuerdo con 
los principios de la Ley General de Educación.
 título de la obra 
® matemátIca delta 2, secundaria
 álgebra
© derechos de autor reservados y registrados
 mauro enrIque matto muzante
© derechos de edición, arte y diagramación
 reservados y registrados conforme a ley
 delta edItores s.a.c.
 edIcIón, 2020
 coordinador de área:
 Mauro Enrique Matto Muzante
 diseño, diagramación y corrección: 
 Delta Editores s.A.C.
 Ilustración general:
 Banco de imágenes Delta Editores s.A.C.
 delta edItores s.a.c.
 Jr. Pomabamba 325, Breña
 Tels. 332 6314 332 6667 
 Correo electrónico: informes@eactiva.pe 
 www.eactiva.pe
 Tiraje: 4500 ejemplares
 Impresión:
 FINIshING s.A.C.
 Jr. La Maquinaria 160, Chorrillos 
 Lima - Perú
 Tels. 265 3974 251 7191
 IsBn n.o 978-612-4354-33-5
 proyecto editorial n.o 31501051900810
 ley n.o 28086
 Hecho el depósito legal en la Biblioteca nacional del perú 
 n.o 2019-10448
proHIBIda
la reproduccIón total o parcIal
leY de lucHa contra la pIraterÍa leY 28289
puBlIcada el 20 de JulIo de 2004
tÍtulo vII
delItos contra los derecHos Intelectuales
capÍtulo I
delItos contra los derecHos de autor 
Y conexos
Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la 
autorización del autor. 
 
artículo 217.o.- será reprimido con pena privativa de libertad no 
menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa, 
el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, 
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una 
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier 
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y 
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios 
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el 
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con 
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total 
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución 
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma 
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o 
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, 
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior 
importe cada uno.
Apertura
En esta sección 
encontrarás 
temas 
novedosos que 
propiciarán 
sostener 
una relación 
cercana con la 
Matemática.
se aborda el 
desarrollo del 
tema, donde 
encontrarás las 
definiciones 
organizadas 
siguiendo una 
secuencia 
didáctica.
Marco 
teórico
Conoce tu libro
Tema
163MateMática DELTA 2 - álgebra
Relaciones
11
La FIFA organiza las eliminatorias de la CONMEBOL 
(Confederación Sudamericana de Fútbol) o CSF 
para el campeonato mundial.
¿Cuál sería el fixture de la eliminatoria?
¿Cuántos enfrentamientos en total tendrá la 
eliminatoria?
Par ordenado
Es un conjunto de dos elementos donde se distingue un primer elemento y un segundo 
elemento denotado por:
 (a ; b)
Conceptos previos
Ejemplo:
• Son pares ordenados: (–7 ; 1)(2 ; 15)
• No es par ordenado: {3; 2}
Igualdad de pares ordenados
Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus respectivas componentes son 
iguales.
(a ; b) = (c ; d) ↔ a = c ∧ b = d
Ejemplo:
Si (7 ; 3b –1) = (2a + 3 ; 5), halla el valor de M = ab.
Resolución:
Por la propiedad de pares ordenados:
 (7 ; 3b –1) = (2a + 3 ; 5)
2a + 3 = 7
 2a = 4
 a = 2
3b – 1 = 5
 3b = 6
 b = 2
Piden el valor de M = a . b = 2 . 2 = 4
Producto cartesiano
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, definimos el producto cartesiano de A por B como 
el conjunto de todos los pares ordenados (a ; b) donde el primer elemento se toma de 
A y el segundo de B. Es decir:
A × B = {(a ; b) / a ∈ A ∧ b ∈ B} 
El producto cartesiano se puede determinar de diferentes maneras, entre ellas tenemos 
el diagrama del árbol, el diagrama sagital y el diagrama cartesiano.
primer elemento segundo elemento
Import a nt e
Not a
Import a nt e
(a ; b) (b ; a)
Relación: es 
el resultado 
de comparar 
dos cantidades 
expresadas en 
números.
Fuente: RAE
A × B ≠ B × A
El producto 
cartesiano de A por 
A, es decir, A × A se 
denota por A2.
Título del tema
Para una mejor 
organización, los temas 
están numerados.
Comentarios 
y/o lecturas que 
refuerzan el 
desarrollo del tema
152
1
2
3
4
5
6
Resuelve la inecuación
Resolución:
2x + 5
3 + 1 < 5.
Despeja la variable:
2x + 5
3 < 5 – 1
2x + 5 < 3(4)
2x < 12 – 5 ⇒ x <
7
2
3 7
2
4
x ∈ 〈–∞ ; 
7
2
〉
Rpta. 〈–∞ ; 
7
2
〉
Rpta. C.S. = [3 ; 9]
Rpta. 〈–∞ ; 5] ∪ [11 ; +∞ 〉
Resuelve la inecuación x2 + 27 ≤ 12x.
Resolución:
Tenemos: x2 – 12x + 27≤ 0
x –9
x –3
(x – 9)(x – 3) ≤ 0
P.C.: x – 9 = 0 ; x – 3 = 0
 x = 9 x = 3
+ – +
3 9
P(x) ≤ 0 ↔ x ∈ [3 ; 9] 
Resuelve la inecuación x2 + 55 ≥ 16x.
Resolución:
Tenemos: x2 – 16x + 55 ≥ 0
 x –11
 x –5
 (x – 11)(x – 5) ≥ 0 
P.C.: x – 11 = 0 ; x – 5 = 0
 x = 11 x = 5
+ – +
5 11
P(x) ≥ 0 ↔ x 〈–∞ ; 5] ∪ [11 ; +∞ 〉
Indica el menor valor entero de x.
Resolución:
Multiplicamos por el MCM(2; 4; 5) = 20
Rpta. 21
Rpta. {–3; –1}
x
2
+
x
4
+
x
5
+ 1 < x
x
2
+
x
4
+
x
5
+ 120 < 20(x)
10(x) + 5(x) + 4(x) + 20(1) < 20x
 19x – 20x < –20
 –x < –20
 × (–1): x > 20
19 20 21
El menor valor entero de x es 21.
Halla el conjunto solución de la igualdad. 
|2x + 5| = |x + 4|
Resolución:
Sabemos que: |x| = |a| → x = a ∨ x = –a
Entonces:
2x + 5 = x + 4 ∨ 2x + 5 = –x – 4
2x – x = 4 – 5 2x + x = –4 – 5 
 x = –1 3x = –9
 x = –3Luego: C.S.= {–3; –1}
Rpta. 34
Calcula la suma de los valores enteros de x que 
verifican la inecuación.
x
2 – 1 ≤ 4
Resolución:
Sabemos que: |x| ≤ a ⇒ –a ≤ x ≤ a
Entonces: –4 ≤ x2 – 1 ≤ 4
+ 1 : –3 ≤ x2 ≤ 5
× 2 : –6 ≤ x ≤10
Los valores enteros de x:
x = {–6; –5; –4;...; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Piden:
S = – 6 – 5 – 4 – ...+ 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 
S = 7 + 8 + 9 + 10 = 34
Ejercicios resueltos
Nombre de la 
sección
Algoritmo de 
resolución 
del problema 
planteado.
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas 
reales o simuladas, 
planteadas de 
acuerdo al tema.
Ejercicios 
resueltos
se muestran 
ejercicios que 
están resueltos 
didácticamente, 
los mismos que 
servirán para 
el análisis del 
estudiante.
3MateMática Delta 2 - álgebra
Síntesis
Contenido del tema, 
que incluye teoremas, 
postulados, fórmulas, 
propiedades, leyes, etc., 
resumido en organizadores 
gráficos para tener un 
panorama general del 
contenido.
Modela y resuelve
Los problemas con 
numeración impar serán 
resueltos por el docente, 
mientras que los pares serán 
resueltos por el estudiante 
siguiendo la secuencia 
realizada.
120
Síntesis
Modela y resuelve 
2
4
1
3
Ecuaciones 
cuadráticas
Forma
Ax2 + Bx + C = 0; A ≠ 0
Solución Propiedades de las raíces
Factorización Fórmula
Aspa simple 
Agrupación 
Identidades
x = –B 
B2 – 4AC
2A
 Discriminante
 = D = B2 – 4AC
Reconstrucción de una 
ecuación de raíces x1 y x2
x2 – Sx + P = 0
Donde: S = x1 + x2 ∧ P = x1 . x2
1. Suma de raíces : x1 + x2 =
–B
A
2. Producto de raíces: x1 . x2 = 
C
A
Recuerda
(x1 + x2)
2 – (x1 – x2)
2 = 4x1 . x2
Raíces simétricas 
(opuestas) x; –x
Suma: 0
B = 0
Raíces recíprocas
(inversa multiplicativa) x; 
1
x
Producto:1
A = C
Resuelve la ecuación x2 = –3x. Resuelve la ecuación x2 = 11x.
Resolución: Resolución: 
Resolución: Resolución: 
Desarrolla la ecuación 4x2 = 9. Desarrolla la ecuación 9x2 = 16.
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Nombre de la 
sección
Nombre de la 
sección
Espacio para resolver 
el problema.
Organizador 
visual
Enunciado del 
problema o de la 
situación planteada.
110
5
6
7
8
Practica y demuestra
1
4
2
3
Nivel I
Indica si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
( ) Si x + 5 = 3 x = 2
( ) La ecuación 3x + 6 = x – 2, es lineal
( ) {(2 ; 1)} es la solución de
( ) x = 4 es la solución de 2x – 3 = 9 – x
x + y = 3
x – y = 2
 A VFVF B FFVV C VVFF 
 D FVFV E FFVV
Relaciona la ecuación con el valor que la verifica.
I. 2(x – 1) = x + 1
II. x
2
 + 1 = 3
III. 2 + x
3
 = 4
IV. 2x – 5 = 1 – x
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
e. 6
 A Ia; IIb; IIIc; IVe B Ib; IIe; IIIc; IVa
 C Ib; IIa; IIId; IVe D Ic; IIe; IIIa; IVd 
 E Ib; IIc; IIIe; IVa
Resuelve la ecuación x – [–(x + 1) – 4 – x] = 11. 
 A {–1} B {2} C {0} 
 D {1} E {3}
Determina el valor de x que verifica la ecuación.
x + 1
32 + = 5
 
 A 5 B 6 C 9 
 D 7 E 8
 A 10 B 9 C 7 
 D 11 E 12
Resuelve la ecuación.
x + 2
3
x + 1
2+ = x
 A {7} B {8} C {9} 
 D {6} E {5}
Indica el valor de x que verifica la ecuación.
x – 3
2 + 1
5 + 6 = 7
Halla el valor de x en el sistema.
3x + 2y = 10
 2x – y = 9
 A –1 B 4 C –2 
 D 5 E 6
Resuelve el sistema.
 4x + y = 14
3x – 2y = 5
 A {(1 ; 4)} B {(2 ; 3)}
 C {(2 ; 1)} D {(3 ; 2)} 
 E {(2 ; 4)}
Preguntas 
planteadas, 
estas pueden 
ser situaciones 
reales o 
simuladas.
Espacio 
para realizar 
anotaciones de 
resolución.
AlternativasNombre de la sección
Test
Esta evaluación incluye 
preguntas del contenido de 
los temas desarrollados en 
la unidad y son de elección 
múltiple.
Practica y 
demuestra
En esta sección se 
plantean preguntas que 
han sido organizadas por 
niveles de complejidad 
y de elección múltiple 
en la que el estudiante 
demostrará lo aprendido 
durante la sesión.
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas reales o 
simuladas, planteadas de 
acuerdo a la unidad.
Número de test
Alternativas
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 4
191MateMática DELTA 2 - álgebra
Relaciona cada inecuación con su conjunto 
solución.
Determina el conjunto solución de la inecuación
x
4 + 
x
3 – 
x
2 > x – 11, si x es positivo.
Halla el número de valores enteros que verifican 
la desigualdad.
(x – 4)(3x – 4) < 2(x – 4)
Si M = {2; 5; 2; 3; 6; 2} y N = {1; 4; 2; 1}, ¿cuántos 
elementos tendrá M × N?
Si (n ; n) = (3x – 9 ; x + 7), calcula el valor de A.
A = 
n
5
5
4
Luego de resolver la inecuación x2 + 1 ≤ 4x, 
encuentra el mayor valor entero que puede tomar 
la variable x.
1
2
3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
6
A Ib; IIe; IIIc; IVa B Ie; IId; IIIc; IVb
C Ib; IIe; IIId; IVa D Ie; IIa; IIId; IVb 
A 1 B 2
C 3 D 4
I. x2 > 9 
II. x2 < 9
III. |x + 3| < 6
IV. –4x < –12 
a. 〈–∞ ; 3〉
b. 〈3 ; +∞ 〉
c. 〈–9 ; 3〉
d. 〈–3 ; 3〉
e. 〈–∞ ; –3〉 ∪ 〈3 ; +∞ 〉
A 0 B 1
C 4 D 2
A 0 B 1
C 2 D 3
A 12 B 9
C 6 D 2
A [0 ; 12〉 B 〈0 ; 12]
C 〈0 ; 12〉 D [1 ; 12〉
4
5MateMática Delta 2 - álgebra
1
3
2
4
R
es
ue
lv
e 
pr
ob
le
m
as
 d
e 
re
gu
la
rid
ad
, e
qu
iv
al
en
ci
a 
y 
ca
m
bi
o
Traduce datos 
y condiciones 
a expresiones 
algebraicas y 
gráficas.
operaciones básicas en 8
El conjunto de números racionales ( )
Operaciones con números racionales
Número racional como decimal
Operaciones combinadas
potenciación 23
Definiciones
Propiedades
Operaciones combinadas
polinomios 37
Definiciones
Polinomios
Operaciones con polinomios
productos notables 53
Productos de binomios
Identidades de Legendre
Binomio al cubo
Trinomio cuadrado perfecto
división algebraica 68
Métodos para dividir polinomios
Teorema del resto
Factorización 84
Factor primo
Métodos para factorizar
ecuación lineal y sistema de ecuaciones lineales 99
Definiciones
sistema de ecuaciones lineales
Métodos para resolver sistemas lineales
ecuación cuadrática 113
Análisis de las raíces
Propiedades de las raíces
Raíces especiales
planteo de ecuaciones 128
Enunciado verbal
Enunciado algebraico
desigualdades e inecuaciones 147
Definiciones
sistema de inecuaciones
Planteo de inecuaciones
relaciones 163
Conceptos previos
Tipos de relaciones
Funciones 176
Definición previa
Propiedades
Funciones especiales
unidad competencia y capacidades contenidos pedagógicos páginas
Comunica su 
comprensión 
sobre las 
relaciones 
algebraicas.
Usa estrategias 
y procedimientos 
para encontrar 
equivalencias y 
reglas generales.
Argumenta 
afirmaciones 
sobre relaciones 
de cambio y 
equivalencia.
Índice
y su método
para dividir
Luego, Ruffini fue elegido catedrático de Elementos de Matemáticas en 1791. Sin embargo, 
Ruffini no era solo matemático. También, en 1791, obtuvo la licencia para ejercer la 
medicina en Módena.
Algunos años más tarde, Napoleón Bonaparte fundó la República Cisalpina, en la que se 
sugiere a Ruffini formar parte del consejo; este, al negarse a pronunciar el juramento de 
fidelidad a la República, fue apartado de la docencia y cargos públicos.
Al verse en esta nueva situación, Ruffini asumió que si ya no podía enseñar Matemática, 
podría dedicarle más tiempo a su profesión de médico y a sus pacientes. Así, ejerció la 
medicina durante 6 años, hasta la caída del dominio napoleónico, año en que fue restituido 
a su puesto por las tropas austriacas y retornó a las aulas a dar clases de matemáticas 
aplicadas en la Escuela Militar.
Durante el año 1814 lo nombraron rector de la Universidad de Módena, y en 1816, presidente 
de la Sociedad Italiana «Dei Quaranta». Un año más tarde, durante la epidemia de tifus, 
contrajo esta enfermedad, la misma que lo acompañó hasta el día de su muerte el 9 de 
mayo de 1822. 
Paolo Ruffini nació el 22 de septiembre 
de 1765 en Valentano (actualmente en 
Italia), fue hijo de Maria Francesca Ippoliti 
y el médico Basilio Ruffini. Estudió Medicina, 
Matemática, Filosofía y Literatura en la 
Universidadde Módena, donde se graduó 
en 1788. Tuvo como profesores a Luigui Fantini 
en Geometría y a Paolo Cassiani en Cálculo. 
Desde un año antes, empezó a dictar clases de 
Matemática en la misma universidad.
Ruffini
Polinomios
6
Desempeños
• Establece relaciones entre valores desconocidos y las transforma a expresiones algebraicas, a 
ecuaciones lineales, a inecuaciones, a funciones lineales con expresiones fraccionarias o decimales.
• Comprueba si la expresión algebraica o gráfica (modelo) que planteó le permitió solucionar el 
problema, y reconoce qué elementos de la expresión representan las condiciones del problema: 
datos, términos desconocidos, relaciones de equivalencia entre dos magnitudes.
• Expresa, con diversas representaciones, su comprensión sobre la solución de una ecuación lineal y 
sobre el conjunto solución de una desigualdad, así como su comprensión de las diferencias entre una 
proporcionalidad directa e inversa, para interpretarlas y explicarlas en el contexto de la situación.
• Selecciona y combina recursos, estrategias heurísticas y el procedimiento matemático para simplificar 
expresiones algebraicas usando propiedades de la igualdad y propiedades de las operaciones, 
solucionar ecuaciones e inecuaciones lineales, y evaluar el conjunto de valores de una función lineal.
• Plantea afirmaciones sobre las propiedades que sustentan la igualdad o la simplificación de expresiones 
algebraicas para solucionar ecuaciones e inecuaciones lineales que descubre; también sobre las 
diferencias entre la función lineal y una función lineal afín. Justifica la validez de sus afirmaciones 
mediante ejemplos y sus conocimientos matemáticos.
Fuentes:
biografiasyvidas.com, buscabiografias.com, matesfacil.com, uptc.edu.co, rtve.es
El método de Ruffini
Paolo Ruffini es conocido por los 
matemáticos por ser el descubridor del 
método que lleva su nombre, el mismo 
que permite hallar los coeficientes del 
polinomio que resulta de la división de 
un polinomio por el monomio x – a.
Otra de sus grandes contribuciones a la Matemática fue la demostración de la imposibilidad 
de la solución general de las ecuaciones algebraicas superiores al cuarto grado, aunque 
cometió ciertas inexactitudes que serían corregidas por el matemático noruego Niels 
Abel. En aquella época, todo el mundo –incluido el matemático Lagrange– creía que 
las ecuaciones de quinto grado podían resolverse por radicales. Sin embargo, Ruffini 
aseguró todo lo contrario, basándose en la teoría de grupos siguiendo y superando a 
Lagrange en el uso de permutaciones.
La mayoría de los matemáticos de su época ignoraron a Ruffini, pues se adelantó 
a su tiempo con una demostración para la que no estaban preparados, incluido 
Lagrange. Además se anticipó a la teoría de grupos, desarrollada más tarde 
por Galois.
Entre sus obras destacan Teoría general de la ecuación general de grado 
superior al cuarto y Reflexión en torno a la solución de la ecuación algebraica 
general.
(3x3 – 5x2 + 2) : (x – 2)
Cociente = 3x2 + x + 2 Resto = 6
Multiplicamos
Sumamos ambas filas
Al faltar el 
coeficiente en x, 
ponemos 0
 3 –5 0 2
2 6 2 4
 3 1 2 6•
7
8
Tema 1
Operaciones básicas en 
Es todo número que puede representarse como la división de dos números enteros, 
es decir, una fracción común a
b
 con numerador a y denominador b diferente de cero.
Operaciones con números racionales
El conjunto de números racionales ( )
Import a nt e
Las fracciones 
homogéneas tienen 
denominadores 
iguales.
Las fracciones 
heterogéneas tienen 
denominadores 
diferentes.
 = 
a
b / a ∈ Z, b ∈ Z – {0}
Ejemplos:
a) –34
Es la división de dos 
enteros, entonces es 
racional.
b) 
Se puede escribir como 
24
10
, entonces es racional.
2,4
c) 
Es la división de dos 
enteros, entonces es 
racional.
d) 
El valor de p no puede 
escribirse como una 
división de enteros, 
entonces NO es racional.
p
e) 
Se puede escribir como 
3
1
, entonces es racional. f) 
No está definido, entonces 
NO es racional.
1
7
3 30
¿Sa bía s qu e.. .?
Re cu e rda
 es la inicial de la 
palabra quotient 
(cociente, en inglés).
a
b
Numerador
Denominador
Adición / Sustraccion
Para realizar adición y/o sustracción en Q, se debe tomar en cuenta el denominador.
• Con el mismo denominador, se suman y/o restan los numeradores.
 Ejemplos:
x
y ±
z
y =
x ± z
y
• Con denominadores diferentes, se busca un denominador 
común. Luego, se suman y/o restan los numeradores.
 Ejemplos:
a) 5
3
+ 1
3
– 4
3
=
5 + 1 – 4
3
=
2
3
b) 2
7
– 3
7
+ 8
7
=
2 – 3 + 8
7
=
7
7
= 1
a) 7
2
+ 2
3
= 7 × 3 + 2 × 2
2 × 3
= 25
6
Multiplicación
• Cuando se multiplican números racionales, se multiplican los 
numeradores y los denominadores.
 Ejemplos:
x
y ±
z
w =
xw ± zy
yw
a
0
, no está definido b)
8
5
– 3
4
=
8 × 4 – 5 × 3
5 × 4
=
= 21 + 4
6
=
17
20
32 – 15
20
a) 9
2
. 8
3
=
9 . 8
2 . 3
= 12
b) 12
25
. 10
18
=
12 . 10
25 . 18
=
=
3 . 4
1 . 1
=
4
15
2 . 2
5 . 3
x
y
. z
w =
xz
yw
La constante 
matemática pi (p)
su valor es:
p = 3,141592.....
Se llaman:
9MateMática Delta 2 - álgebra
Import a nt e
Re cu e rda
División
Cuando se dividen números racionales en forma horizontal, se 
invierte el divisor y se multiplica.
Ejemplos:
x
y ÷
z
w =
x
y
. w
z dividendo
x
y ÷
z
w
divisora)
9
2
÷
6
5
= 9
2
=
3 . 5
2 . 2
=
15
4
b)
5
6
.
5
3
÷
25
9
= 5
3
=
5 . 9
3 . 25
=
1 . 3
1 . 5
9
25
. =
3
5
Cuando se dividen números racionales en forma vertical, se 
multiplican los extremos y este se divide entre el producto de los 
medios.
Ejemplos:
a) 8
30
=
4 . 15
8 . 30
=
1
4
=
1 . 1
2 . 2
15
4
b) 15
16
=
45 . 24
15 . 16
=
9
2
=
3 . 3
1 . 2
24
45
x
y
z
w
=
xw
yz
Obse rva
xy
a ÷
x2
a =
xya
axx =
y
x
a2b
xy
ab2
y2
=
aabyy
xyabb =
ay
bx
Los números racionales se caracterizan por tener una escritura decimal que solo puede 
ser de tres tipos, exacta, periódica pura y periódica mixta.
Número racional como decimal
Exacta
La parte decimal tiene un número finito de cifras, expresión «finita» o «terminal».
Ejemplos:
a) 2
5
= 0,4 b) 1
125
= 0,008
Periódica pura
Toda la parte decimal se repite indefinidamente.
Ejemplos:
a) 1
11
= 0,090909... = 0,09 b)
2
3
= 0,6666... = 0,6
Periódica mixta 
Tiene parte decimal exacta y parte decimal que se repite.
Ejemplos:
a) 1
30
= 0,033333... = 0,03 b)
11
90
= 0,1222... = 0,12
Responde:
De los siguientes números, cuáles son racionales:
a) 0,45 decimal exacto, se puede escribir como: 
45
100
=
9
20
 entonces es un número 
racional.
b) 0,1234567... decimal no periódico, entonces NO es un número racional.
c) 0,23333... decimal periódico mixto, se puede escribir como: 23 – 2
90
=
21
90
=
7
30
; 
entonces es un número racional. 
Fracción generatriz
Transformación de 
un decimal a fracción
• Decimal exacto
cifras significativas
0,ab = 
ab
100
dos cifras 
decimales
tantos ceros 
como cifras
decimales
• Decimal periódico 
puro
cifras periódicas
0,ab = 
ab
99
dos cifras
periódicas
tantos nueves
como cifras 
periódicas
• Decimal periódico 
mixto
cifras significativas 
menos cifras no 
periódicas
0,abc = 
abc – a
990 
tantos nueves como cifras 
periódicas, seguidas de 
tantos ceros como cifras 
decimales no periódicas.
10
1 . 1
3 . 2
13
5
Operaciones combinadas
Cuando aparecen operaciones combinadas, es necesario seguir la prioridad de los 
signos de operación en el siguiente orden:
1.° Se realizan las multiplicaciones y divisiones.
2.° Se realizan las adiciones y sustracciones.
3.° Si en un término aparecen operaciones de multiplicación y división, se evaluará de 
izquierda a derecha.
4.° Si en la expresión aparecen signos de colección, deberá operarse primero la parte 
interna, de acuerdo a los pasos anteriores. 
Calcula el valor de
3
5
M = +
2
3
÷
5
6
×
10
4
Resolución:
Tenemos:
3
5
M = +
2
3
÷
5
6
×
10
4
Evaluamos la división.
3
5
M = +
.
2
3
×
6
5
×
10
4
Evaluamos la multiplicación.
3
5
M = +
2 . 6 . 10
3 . 5 . 4
= 3
5
+
1 . 1. 10
1 . 5 . 1
3
5
M = +
10
5
=
.
Al final, sumamos las fracciones 
homogéneas.
Determina el valor de
7
2
A = +
1
2
1
6
+
4
3
1
4
1
8
Resolución:
Tenemos:
7
2
A = +
1
2
1
6
+
4
3
1 . 2
4 . 2
1
8
Evaluamos el paréntesis interior, luego 
de buscar fracciones homogéneas.
7
2
A = +
1
2
1
6
+
4
3
2 – 1
8
7
2
A = +
1
2
1
6
4 . 1
3 . 8
+ =
7
2
+
1
2
1
6
+
7
2
A = +
1
2
1 + 1
6
=
7
2
+
1 . 2
2 . 6
A = 
7 . 3
2 . 3
+
1 . 1
1 . 6
=
21 + 1
6
=
22
6
=
11
3
Multiplicamos, dentro del paréntesis.
Sumamos, dentro del paréntesis.
Multiplicamos
Al final, sumamos y reducimos.
Import a nt e
Signos de colección
( ) : paréntesis
[ ] : corchetes
{ } : llaves
Obse rva
Homogeneizar:
4
5
; 3
4
; 2
3
1. Buscamos el 
menor número 
que contiene a los 
denominadores 
(Mínimo común 
múltiplo)
MCM(5; 4; 3) = 60
2. Buscamos 
que todos los 
denominadores 
sean 60 (en este 
caso) multiplicando 
al numerador 
y denominador 
por una misma 
cantidad en cada 
fracción.
4 . 12
5 . 12
; ;3 . 15
4 . 15
2 . 20
3 . 20
48
60
45
60
40
60
; ;
Ejemplo 2 
Ejemplo 1 
11MateMática Delta 2 - álgebra
Encuentra el valor de R.
R = 
1
3
1 +
5
3
+
5
2
1
2
+ 1
Resolución:
Tenemos:
R = 
3
3
5
3 +
1
2
+ 1
3
+ 2
2
5
2
=
3 + 1
3
5
3
+
1 + 2
2
5
2
5
2
Homogeneizamos (denominador y 
numerador) para sumar fracciones.
R = 
5 . 3
3 . 4
+
2 . 3
2 . 5
=
3
5
+
5
4
R = 5 . 5
4 . 5
+ 3 . 4
5 . 4
37
20
= =
25 + 12
20
Multiplicamos extremos, este dividimos entre 
el producto de los medios para luego reducir.
Al final, homogeneizamos fracciones para 
sumarlas.
Halla el perímetro de la figura (lados en centímetros).
3
2
2
5
1,7
0,3
3
4
7
5
Resolución:
Sabemos que el perímetro es la suma de las medidas de todos los lados.
P = 32 + 1,7 +
7
5 +
3
4 +
2
5 + 0,3
P = 3 . 2
2 . 2
+
3
4
+
7
5
+
2
5
+ 17
10
+
3
10
=
6 + 3
4 +
7 + 2
5
+
17 + 3
10
P = 
9 . 5
4 . 5
+
9 . 4
5 . 4
+
20 . 2
10 . 2
MCM(4; 5; 10) = 20, buscamos que los denominadores 
sean 20.
P = = = 6,05 cm 
45 + 36 + 40
20
121
20
Obse rva
En:
f =
todos los términos 
(dos en el 
numerador y dos 
en el denominador) 
tienen como factor 
común a: n
Entonces:
n . b + n . c
n . d – n . e
f =
f =
nb + nc
nd – ne
b + c
d – e
Ejemplo 3 
Ejemplo 4 
12
A = 1 +
1
2 – 1
1 + 
3
2
2 – 
1
L = 2 . ÷
Determina el valor de A.
Halla el valor de L.
Resolución:
Tenemos:
Resolución:
Tenemos:
A = 1 + 1
2 – 1
1 + 
3
2
2 – 
1
2 . 2
2
3
2
= 1
2 Primero reduce el denominador.
1
1
1
1
1
n
1
a
1
2
1
a
a
1
1
a
1
n
= 
= 
= 
= 
= 
1 . 2
1 . 1
a . 1
1 . 1
1 . 1
n . a
= 2 
• f =
• h =
Luego, realiza producto de 
extremos sobre producto de 
medios.
A = 1 +
1
2 – 11 + 2
= 1 +
1
1
–
2 +
2 . 3
3
1
3
1
3
= 1 +
1
5
3
1
A = 1 +
1 . 3
1 . 5
1 . 5
5
3
5
8
5
3
8
3
4
= +
+
L = 1 . 7
7
3
7
10
7
=+
L = 1
1
7
3
+
L = 1 1 . 3
1 . 77
3
1
1 = 1 ++
=
Obse rva
.L =
1
+ 1
3
2 . 3
3
4
3
3
4
+
Ejemplo 5 
Ejemplo 6
13MateMática Delta 2 - álgebra
 Determina el valor de A + B.
7
9
–
2
9
+
4
9
A =
2
3
. 9
4
B =
Resolución:
Tenemos:
7
9
–
2
9
+
4
9
A =
7 – 2 + 4
9
 = =
9
9
= 1
B =
2
3
. 9
4
=
2 . 9
3 . 4
1 . 3
1 . 2
= =
3
2
A + B = 1 + 
3
2
2 + 3
2
= =
5
2 5
2
 Encuentra el valor de la expresión R.
Rpta. 
 Halla el valor de S.
Resolución:
3
5
+
1
2
÷ ×
3
4
6
5
S =
Tenemos: 3
5
+
1
2
÷ ×
3
4
6
5
S = Producto y división de 
izquierda a derecha
3
5
+
1
2
× ×
4
3
6
5
 = Simplificamos para multiplicar
3
5
 = +
1 . 4 . 1
1 . 1 . 5
=
3
5
+
4
5
3 + 4
5
 = =
7
5
Rpta. 
 Calcula el valor de R.
R =
4
3
4
3
2 +
2 –
Resolución:
Tenemos:
R =
4
3
+
2 . 3
3
4
3
–
2 . 3
3
 =
2 . 3 + 4
2 . 3 – 4
 =
10
2
= 5
Rpta. 5
Homogeneizamos las fracciones; 
luego, simplificamos.
Multiplicamos y sumamos
Resolución:
Buscamos el MCM(2; 3; 6) = 6 de los 
denominadores para homogeneizarlos:
3
2
–
1
3
+
7
6
R = 2 –
R =
2 . 6
6
–
3 . 3
2 . 3
–
1 . 2
3 . 2 +
7
6
 =
12 – 9 – 2 + 7
6
 =
8
6
=
4
3
Rpta. 
4
3
 Indica el valor de E.
E =
1
2
1
3
1
2
+ 1 + 1+ 1
Resolución:
Tenemos:
E =
1
2
=
1
2
=
1
2
=
1
2
1
3
1
2
2
2
+ + 1+ 1
1
3
1 + 2
2
+ 1+ 1
1 . 3
3 . 2
+ 1+ 1
1
2
+ 1+
2
2
=
1
2
3
2
+ 1 =
3
4
+
4
4
=
3 + 4
4
=
7
4
Rpta. 
7
4
 Descubre el valor de M.
M =
1
2
1 +
1
3
1 –
1
4
1 +
1
5
1 –
Resolución:
Tenemos:
M =
1
2
+
2
2
1
3
–
3
3
1
4
+
4
4
1
5
–
5
5
=
2 + 1
2
3 – 1
3
4 + 1
4
5 – 1
5
=
3
2
2
3
5
4
4
5
= 1
Rpta. 1
1 4
5
2
3
6
Ejercicios resueltos
7
5
14
 Determina el valor de H.
Resolución:
Tenemos:
H =
4
3
÷ +
8
6
2
3
1
. 3
1
3
H =
4
3
÷ +
8
6
2
3
1 3
. 1
1
31
=
4
3
. 6
8
+
1 . 1
2 . 3
. 3 . 3
1 . 1
 =
1 . 2
1 . 2
+
3
2
=
5
2 Rpta. 
5
2
 Halla el denominador de la fracción equivalente a M.
M =
2
a
+
2
3a
–
1
6a
Resolución:
Buscamos el MCM(a; 3a; 6a) = 6a, de los 
denominadores para homogeneizarlos:
M =
6 . 2
6 . a
+
2 . 2
2 . 3a
– 1
6a
 =
12 + 4 – 1
6a
 =
15
6a
=
5
2a
Luego, el denominador es 2a.
Rpta. 2a
 Calcula el perímetro de la figura (medidas en cm).
1,1
2,4
5
2
2
3
1
3
2
5
Resolución:
Tenemos:
E = 2,4 + 
5
2
 + 1,1 + 
2
3
 + 
2
5
 + 
1
3
 
 = 3,5 + 
5
2
 + 
2
5
 + 
2 + 1
3
 = 
7
2
 + 
5
2
 + 
2
5
 + 
3
3
 = 
7 + 5
2
 + 
2
5
 + 1 = 7 + 
2
5
 = 
7 . 5
5
 + 
2
5
 = 
37
5
 cm
Rpta.
37
5
 Reduce H.
H =
x – 1
x + 3
+
2x + 16
2x + 6
3x + 6
3x + 9
+
Resolución:
Simplificamos:
H =
x – 1
x + 3
+ +
2(x + 8)
2(x + 3)
3(x + 2)
3(x + 3)
 =
x – 1
x + 3
+
x + 8
x + 3
+
x + 2
x + 3
 =
x – 1 + x + 8 + x + 2
x + 3
=
3x + 9
x + 3
=
3(x + 3)
x + 3
= 3
Rpta. 3
 Encuentra el valor de E.
E = 
1
2
1 +
1
4
1 +
1
6
1 +
1
8
1 +
1
2
1 –
1
4
1 –
1
6
1 –
1
8
1 –
Resolución:
Tenemos:
E = 
1
2
2
2
+
1
4
4
4
+
1
6
6
6
+
1
8
8
8
+
1
2
2
2
–
1
4
4
4
–
1
6
6
6
–
1
8
8
8
–
 = 
3
2
5
4
7
6
9
8
1
2
3
4
5
6
7
8
= 9
Rpta. 9
 Indica el valor de la expresión E. 
E = 1 +
2 + 
1
1 – 1
2
1
Resolución:
Realizamos operaciones:
E = 1 +
2 + 
1
1 – 1
2
1 = 1 +
2 + 
1
1
1
1
2
= 1 + 1
2 + 2 
 = 1 +
1
4
= =
4 + 1
4
5
4
Rpta. 
5
4
7
8
9
10
11
12
cm
15MateMática Delta 2 - álgebra
Modela y resuelve 
Síntesis
Operaciones 
básicas en Q
Operaciones
Adición/Sustracción
Se busca un denominador común, luego 
suma y/o resta los numeradores.
Multiplicación
Se multiplican los numeradores y los 
denominadores.
División
Se invierte el divisor y se multiplica.1.o ( ); [ ]; { } signos de colección
2.o × ; ÷ multiplicación y división (de izquierda a derecha)
3.o + ; – sumas y restas
x
y
z
w
± = xw zyyw
x
y
z
w
. = xzyw
x
y
z
w
÷ =
x
y
w
z
.
a
b
a
b
Donde:
a ∈ Z
b ∈ Z – {0}
Numerador
Denominador
Fracción
• Operaciones combinadas
 Determina el valor de P. Determina el valor de A.
Resolución: 
5
3
P = – +
7
3
14
3
3
5
A = – +
7
5
14
5
Resolución: 
 Halla el valor de E. Halla el valor de N.
Resolución: 
12
15
E = ÷
6
5
15
6
N = ÷
10
9
Resolución: 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
1
3
2
4
16
 Encuentra el valor de T. Encuentra el valor de E . 
Calcula el valor de R. Calcula el valor de V.
Resolución: Resolución:
Resolución:Resolución:
Resolución: Resolución:
T =
1
4
+ –
5
8
3
2
E =
1
3
+ –
1
2
5
6
Determina el valor de R. Determina el valor de S.
S = + 2
4
5
. 10
6
÷
4
3
R =
4
3
5
6
+ 3
5
V =
3
2
1
4
+ 23
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
5 6
7 8
9 10
+ 1
5
6
. 18
14
÷
5
7R =
17MateMática Delta 2 - álgebra
Halla el valor de E. Halla el valor de R.
 Reduce A. Reduce A.
 Efectúa N. Efectúa A.
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
E = +
2
31 +
2
32 –
2
2
1
R = +
2
32 +
2
31 –
2
1
2
A = ÷
1
3
÷ 2 +
3
2
9
4
×
2
3
A = ÷
1
2
÷ 3 + 5
3
10
9
×
4
3
Resolución:
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
11 12
13 1415 16
A = 1 – 1 + 1 –
1
3
1
3
1
3
N = 1 + 1 – 1 +1
2
1
2
1
2
18
 Encuentra el valor de L. Encuentra el valor de A.
 Descubre el valor de L.
 Determina el valor de C.
 Descubre el valor de E.
 Determina el valor de R.
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:Resolución:
L = 2 + 12 –
2
5 +
3
10
– 23 A = 1 +
2
3 –
1
2 + –
5
6
2
5
E = +x – 1x + 3
3x + 12
3x + 9 +
2x + 12
2x + 6 L = +
x + 3
x – 4
2x – 16
2x – 8 +
3x – 21
3x – 12
C = 
1 + 15 1 +
1
6 1 +
1
7 1 +
1
8
1 – 15 1 –
1
6 1 –
1
7 1 –
1
8
R = 
1 + 17 1 +
1
8 1 +
1
9 1 +
1
10
1 – 17 1 –
1
8 1 –
1
9 1 –
1
10
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
17
21 22
18
19 20
19MateMática Delta 2 - álgebra
 Halla la suma del numerador y denominador de la 
expresión reducida.
 Halla la suma del numerador y denominador de la 
expresión reducida.
23
25
24
26
Calcula el perímetro de la figura (medidas en 
metros).
Calcula el perímetro de la figura (medidas en 
metros).
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
1,3
2
3
5
4
3
2
4
5
1,2
6
5
1,4
3
5
3
2
2,1
5
4 2
3
7
5
M = 
1
4 +
1
21 +
1 – 1 2
31 +
Y = 
5
3 +
1
31 +
1 – 1
2
31 –
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
20
Practica y demuestra
Nivel I
6 Relaciona cada operación con su respuesta.
I. 32– +
7
2
II. 54 +
7
4
III. 4 × 32
IV. 43
÷ 1
6
a. 8
b. 2
c. 1
d. 3
e. 6
 A Ic; IId; IIIb; IVa B Ie; IId; IIIa; IVb
 C Ib; IIa; IIId; IVe D Ib; IId; IIIe; IVa 
 E Id; IIa; IIIb; IVe
3 Ordena en forma ascendente los resultados.
E = 32
5
2 +
7
2 O =
4
3
8
3+
L = 353 
. . 15
9 V =
3
2
3
4
÷
 A L-O-V-E B V-E-L-O
 C V-O-L-E D L-E-V-O 
 E O-V-E-L
4 Calcula el valor de H.
 A 
2
3 B 
4
3 C 
5
6
 D 
1
3
 E 3
2
1
2
H = +
1
3
–
1
6
 
5
 A 2 B 5 C 6
 D 3 E 1
Halla el valor de R.
R = 2 . .
3
5
25
6
. 9
15
2 Descubre el valor de x.
x = .23
4
5
÷ 2
5
 A 
5
2 B 
4
3 C 
3
4
 D 
2
3 E 
5
3 7 Determina el valor de
indica la mitad de su valor.
 A 3 B 1 C 5
 D 2 E 4
N = 45
3
2+
3
10– + 2; luego,
1 Indica si la operación es verdadera (V) o falsa (F).
 A VFVF B FFVV C VVFF
 D FVFV E FFVV
2
3 +
5
2 =
7
5( )
( )
( )
( )
4
3 –
1
2 =
5
6
3
4
. 1
6 =
1
12
5
2
÷ 3
4 =
10
3
8 Luego de reducir H = 34 +
2
5
1
6 ; podemos afirmar:
 A El valor de H está entre 1 y 2. 
 B El valor de H está en 2.
 C El valor de H está entre 2 y 3. 
 D El valor de H es 1.
 E El valor de H está entre 0 y 1.
21MateMática Delta 2 - álgebra
Nivel II9
10
11
12
13
14
15
16
Encuentra el valor de G.
G = 13 +
2
3
. 3
4 ÷
3
4
 A 1 B 2 C 
1
3
 D 
2
3
 E 3
Descubre el valor de M.
M = 12 +
1
2
3
2 –
2
3
 A 
5
6 B 
1
2 C 
3
8
 D 
4
5
 E 
11
12
Calcula el valor de M. 
M = 131 +
1
21 +
 A 
1
2 B 2 C 
3
2
 D 
5
2 E 3
Halla el valor de L.
L =
1
2
+ 1
1 –
1
2
+ 2
 A 3 B 4 C 2
 D 5 E 1
Determina el valor de A.
A = 121 –
1
31 +
1
41 –
 A 
1
8 B 
1
4 C 
4
3
 D 
3
4 E 
1
2
Encuentra el valor de E.
E = 
2
5
 + 
1
2
 – 
2
3 
 + 
1
10 
 A 
2
3 B 
1
3 C 
3
5
 D 
4
15
 E 
3
10
Calcula el valor de H.
2 + 13H =
3 – 13
+ 42
1
 D 
1
4 E 
3
4
 A 1 B 
1
8 C 
2
3
Descubre el valor de L.
 A 
5
2 B 
7
3 C 
4
3
 D 
8
7 E 
7
6
L = 23 +
1
3 1 +
1
3
1
2 + 1
22
18
19
20
21
22
23
24
17 Halla el numerador reducido de A.
A = 43 2 +
3
2 + 1 –
1
3
1
2
 A 4 B 5 C 3
 D 6 E 7
Determina el valor de M.
M =
5
4 ÷ ÷
3
2 × +
2
3
1
5
5
9
 A 
17
3 B 
8
3 C 
9
2
 D 
7
2 E 
10
3
Encuentra el valor de L = 12
1
2
1
2 + 1+ 1 + 1;
 A 
3
2 B 
5
4 C 
15
8
 D 
11
4 E 
13
8
luego, indica los dos tercios de L.
Reduce la expresión ; luego,A = 3x +
5
2x
– 1
4x
 A 2x B 8x C 3x
 D 6x E 4x
indica su denominador.
Descubre el valor de R.
 A 
5
3 B 
3
5 C 5
 D 15 E 18
R =
1 + 12 1 +
1
3 1 +
1
4 1 +
1
5
1 – 12 1 –
1
3 1 –
1
4 1 –
1
5
Calcula el valor de A.
 A 1 B x + 1 C 2
 D x – 1 E 3
Halla el valor de P.
P = 1 + 1 11 +
1 – 1
3
 A 
5
3 B 
3
2 C 
2
3
 D 
7
5 E 
7
3
Determina el valor de H.
H = 1 +
2 + 13
2 – 1
1 – 1
3
 D 
11
3 E 
11
3 
 A 
17
3 B 
13
6 C 5
Nivel III
A = x – 3x + 1 +
2x + 14
2x + 2 +
3x – 3
3x + 3
Tema
23MateMática Delta 2 - álgebra
Potenciación
2
Los átomos son muy pequeños; los tamaños típicos 
son alrededor de 100 pm (diez mil millonésima parte 
de un metro = 10–10 m).
¿Sería cómodo hacer cálculos con cantidades muy 
grandes o muy pequeñas sin expresarlas como 
potencia?
Potenciación
Es la operación que permite encontrar la cantidad llamada potencia P dadas las 
cantidades b (base) y n (exponente).
bn = P
bn = b × b × b × ... × b
n factores
Definiciones
Exponente entero positivo
Si b es cualquier número real y n es un número entero positivo, entonces la enésima 
potencia de b es:
Ejemplos:
a) 53 = 5 . 5 . 5 = 125 b) –35 = –3 . 3 . 3 . 3 . 3 = –243
3 factores 5 factores
c) (–2)4 = (–2)(–2)(–2)(–2) = 16
4 factores
d)
2
3
–
3
= =
2
3
– .
2
3
–8
27
– .
2
3
–
3 factores
Exponente cero
Si a es un número real diferente de cero, elevado al exponente cero, entonces el 
resultado es 1.
 a0 = 1; a ≠ 0
Ejemplos:
a) 340 = 1 b) 
c) (–7)0 = 1 d) –90 = –1 
3
5
0
= 1
 Exponente entero negativo
 Si b es un número real diferente de cero y n es un número entero positivo, entonces:
b–n = ; b ≠ 0
1
b
n
=
1
bn
Ejemplos:
a) 3–2 =
1
3
2
=
1
3
. 1
3
=
1
9
c) = 23 = 2 . 2 . 2 = 8
1
2
–3
b) (–5)–3 =
1
–5
–1
125
1
–5
1
–5
=
d)
2
3
–
–2
=
3
2
–
2
=
3
2
–
3
2
– =
9
4
(+)par = +
(–)par = +
(+)impar = +
(–)impar = –
• 24 = 16
• (–2)4 = 16
• 23 = 8
• (–2)3 = –8
Recu e rda
Obs e rva
24
 Exponentes racionales
 Si n es cualquier entero positivo, entonces la raíz enésima principal de a se define 
como:
an = r, significa rn = a
Para cualquier exponente racional 
m
n donde m y n son enteros y n > 1, definimos:
b
m
n = ( bn )m = bm
n
Ejemplos:
a) 9
1
2 = 9 = 3 
c) 125
1
3 = 125
3
 = 5
b) 4
3
2 = ( 4)3 = 23 = 8
d) 32
–1
5 = 1
32
1
5
= 1
32
5 = 
1
2
Propiedades
Multiplicación de potencias de bases iguales
bm . bn = bm + n
Ejemplos:
a) 34 . 35 = 34 + 5 = 39
c) 1
2
2
. 1
2
6
=
1
2
2 + 6
=
1
2
8
b) 42 . 4–3 . 45 = 42 – 3 + 5 = 44
d) –1
3
4
. –1
3
3
= –1
3
4 + 3
= –1
3
7
División de potencias de bases iguales
bm
bn
= bm – n ; b 0
Ejemplos:
a)
26
24
= 26 – 4 = 22 = 4
c)
x5
x2
= x5 – 2 = x3
b)
57
5–2
= 57 – (–2) = 59
d)
b–2
b–5
= b–2 – (–5) = b3
Potencia de una multiplicación
(a . b)n = an . bn
Ejemplos:
a) (4 × 3)3 = 43 × 33
c) (3 × 2)–4 = 3–4 × 2–4
b) (2 × 3 × 5)4 = 24 × 34 × 54
d) (x . y . z)5 = x5 . y5 . z5
Obse rva
Import a nt e
(+)
(–)
(+)
(–)
impar
impar
par
par
= (+)
= (–)
= (+)
= ∃ R
b
n = b
n m m
Not a
5n × 2n = (5 × 2)n 
 = 10n
25MateMática Delta 2 - álgebra
Potencia de potencia
(bn)m = bn . m
Ejemplos:
a) (34)5 = 34 . 5 b) ((52)–2)3 = 52 . (–2) . 3 = 5–12
c) ((2)2)–2 = 22 . (–2) = 2–4 d) ((x2)–4)–1 = x2 . (–4)(–1) = x8
Potencia de una división
a
b
n
=
an
bn
; b 0
Ejemplos:
a) b)4
5
3
=
43
53
x
y
4
=
x4
y4
c) d)3
5
6
=
36
56
2
w
n
=
2n
wn
Exponentes sucesivos
bnm
p
 = bn
q
 = ar
Ejemplos:
a) 350
1
 = 35
0
 = 31 = 3 b) x30
4
 = x3
0
 = x1 = x
c) 1227
0
 = 122
1
 = 122 = 144 d) y23
40
 = y2
31
 = y23 = y8
Raíz de un producto
a . b = .n an bn
a) 9 . 25 = 9 . 25 = 3 . 5 = 15
b) –8 . 27 =
3
–8
3 . 27
3
= (–2) . 3 = –6
Raíz de un cociente
a
b
n = a
n
b
n
Ejemplos:
Ejemplos:a) 259
5
3
= 25
9
=
b) 8116
3
2
= =4 81
4
16
4
Import a nt e
103
23
=
10
2
3
= 53
Obse rva
a
n
 . b
n
 = a . b
n
a
b
n=a
n
b
n
26
Raíz de raíz
n m p
a =
n . m . p
a
b) x5 = x5
3 . 2
= x5
63
d)
3
Ejemplos:
a) 81 = 81
2 . 2
= 81
4
c) 25 = 25
2 . 3 . 2
= 25
123 4 xy
3 . 2 . 4
xy= = xy
24
Operaciones combinadas
Cuando aparecen operaciones combinadas, es necesario seguir la prioridad de los 
signos de operación en el siguiente orden:
1.° Si en la expresión aparecen signos de colección, deberá operarse primero la parte 
interna.
2.° Se realizan las potencias y radicales.
3.° Se realizan las multiplicaciones y divisiones evaluando de izquierda a derecha.
4.° Se realizan las adiciones y sustracciones.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Determina el valor de
Calcula el valor de M.
Resolución:
Tenemos: H = 5
2
– 1
2
16
9
÷ +2
4 – 3 + 2
1
1
3
H = 
5
2
– 1
2
4
3
. 1
8
+ +
1
3
=
5
2
– 1
2
1 . 1
3 . 2
1 . 2
3 . 2
H = 
5
2
– – =
1
2
1 + 2
6
=
5 . 2
2 . 2
1 . 1
2 . 2
10 – 1
4
=
9
4
H = 
5
2
–
1
2
16
9
÷ +
24
23 . 2–2
1
3
9
4
M = 2–1 – (–2) . 3 – + 33 – 4 – (–2) . 2
. 2
1
2
÷
M = 
2–1
2–2
. 3 – +
1
2
9
4
÷
33
34 . 3–2
M = 2 . 3 – + 3 . 
1
2
2
3
. 2
M = 6 – 5 = 1
M = 6 – + 2
1
2
5
2
. 2 = 6 – . 2
.
27MateMática Delta 2 - álgebra
1
2
3
4
5
6
Indica la suma de todos los valores que faltan. Reduce la expresión R.
5
53
5
53
= 54
= 54
x3
x3
8
8
x3
x3
=
=
(a3) = a–6
(a3) = a–6III.
II.
I.
III.
II.
I.
Resolución:
Completamos:
7
4
–2
Efectúa E.
E = 
x10 . y12 . z6
x8 . y–4 . z5
Resolución:
Reducimos bases iguales.
Piden: 7 + 4 + (–2) = 11 – 2 = 9
E = 
x10
x8
. y
12
y–4
. z
6
z5
 = x10 – 8 . y12 – (–4) . z6 – 5 = x2 . y16 . z1
Rpta. x2 . y16 . z
Rpta. 9
Reduce E.
Resolución:
Tenemos:
E = 
310
3 . 81
= 
310
3 . 34
= 
310
31 . 34
= 
310
31 + 4
 = 310 – 5 = 35
Rpta. 35
R = x
3
4
 . x2
4
x–5
4
R = x
34 . x2
4
x–5
4
Resolución:
Tenemos:
= 
x3 . x2
x–5
4
x3 + 2 – (–5)
4
= 
= x10
4
 = x5
Rpta. x5
Halla el valor de N.
N = 
2
3
–2 2
+ +
4
9
–1
–1
7
4
Resolución:
Tenemos:
= 
9
4
+
9
4
+
7
4
= 
9 + 9 + 7
4
=
25
4
= 
25
4
= 
5
2 5
2
Rpta.
Calcula el valor de M.
M = 27–9
–2–1
Resolución:
Realizamos operaciones:
M = 
1
27
1
27
1
9
1
2
= 
1
9
= 
1
27
3 = = 
Rpta.
1
3 1
3
N = 
3
2
2
+ +
9
4
1 7
4
1
2
1
2
1
2
E =
3 × 3 × 3. ... × 3
3 + 3 + 3 + ... + 3
10 factores
81 veces
E =
3 × 3 × 3. ... × 3
3 + 3 + 3 + ... + 3
10 factores
81 veces
1
27
1
3
Ejercicios resueltos
28
218 . 1036 . 10–24
210 . 1012
[26 . 1012 . 10–8]3
210 . 1012
[(23 . 106)2 . (104)–2]3
1024 . 1012
7 10
11
12
8
9
Determina el valor de H.
98 + 18 – 8
8
H = 
Resolución:
Tenemos:
Rpta. 4
H = 
49 . 2 + 9 . 2 – 4 . 2
4 . 2
= 
49 . 2 + 9 . 2 – 4 . 2
4 . 2
7 . 2 + 3 . 2 – 2 . 2
2 . 2
= 
(7 + 3 – 2) . 2
2 . 2
= 
8 . 2
2 2
= = = 4
8
2
Encuentra el valor de L.
L = 
[(8 000 000)2 . 10 000–2]3
1 024 000 000 000 000
Resolución:
Tenemos:
L = 
= = 218 – 10 . 1036 – 24 – 12
= 
= 28 = 256
Rpta. 256 
Halla el valor de G.
G = 
63 . 95 . 43
1084
Resolución:
Tenemos:
G = 
(2 . 3)3 . (32)5 . (22)3
(22 . 33)4
= 
23 . 33 . 310 . 26
28 . 312
= 23 + 6 – 8 . 33 + 10 – 12 
= 21 . 31 = 6 
Rpta. 6 
Realiza la operación A.
A = 46 ÷ [(12 ÷ 6)4 × 3 – (13 – 7)2 + 64
3 ]2 – 49
Resolución:
Tenemos:
A = 46 ÷ [(2)4 × 3 – (6)2 + 64
3 ]2 – 49
 = 46 ÷ [16 × 3 – 36 + 4]2 – 7
 = 46 ÷ [48 – 36 + 4]2 – 7
 = 46 ÷ [16]2 – 7
 = 46 ÷ [42]2 – 7
 = 46 – 4 – 7 = 16 – 7 = 9
Rpta. 9
Reduce R.
(((xy)3y)2x)5
((x2y)3y)8
R = 
Resolución:
Tenemos:
R = 
(((x1y1)3y1)2x1)5
((x2y1)3y1)8
= 
((x3y3y1)2x1)5
(x6y3y1)8
= 
(x6y6y2x1)5
(x6y3y1)8
(x6 + 1y6 + 2)5
(x6y3 + 1)8
= 
= 
x7 . 5y8 . 5
x6 . 8y4 . 8
= x35 – 48 . y40 – 32 = x–13y8 = 
Rpta. 
y8
x13
y8
x13
Reduce la expresión V.
V = x3 . x2 
3
. x3 
V = x3 . x2 
3
. x3 
Resolución:
Tenemos:
= x3 . x2 
3
.
2 3 2
x3
2
= 
2
x3 .
2 3
x2 .
3 2 x3
2
= x3
2
 . x2
6
 . x3
12
= x
3
2 . x
2
6 . x
3
12 = x
3 . 6
2 . 6 +
2 . 2
6 . 2
3
12+
= x
18 + 4 + 3
12 = x
25
12 = x25
12
Rpta. x25
12
29MateMática Delta 2 - álgebra
3 4
2
Síntesis
1
Modela y resuelve 
Cero
Entero negativo
Fraccionario
Potenciación
Exponente Propiedades
Entero positivo
b0 = 1; b ≠ 0
b–n = 
1
bn ; b ≠ 0
bn . bm = bn + m
Multiplicación de 
bases iguales
División de bases 
iguales
(ab)n = an . bn
(bn)m = bn . m
Potencia de una 
multiplicación
Potencia de 
potencia
Potencia de una 
división
bn = b × b × b × b × ... × b
n factores
= bm
n donde
n ≠ 0
bn
bm = b
n – m
=ab
n an
bn
Operaciones 
combinadas
Raíz de una 
multiplicación a . b = .
n an bn
Raíz de una 
división
a
b
n =
an
bn
m n
a =
n . m
a
Raíz de 
raíz
1.° ( ); [ ]; { }
2.° ( )n; n
3.° × ; ÷
4.° + ; – 
Primero parte interna de los signos de colección
Potenciación y radicación
Multiplicación y división de izquierda a derecha
Finalmente, sumas y restas
b
m
n
Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
( ) ab–2 =
1
ab2
( ) x2
6
= x1
3
( ) x
3
x–2
= x5
( ) –42 = 16
Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
( ) xy–3 =
x
y3
( ) x3
12
= x1
3
( ) 
a5
a–3
= a2
( ) –52 = –25
Calcula el valor de H. Calcula el valor de O.
Resolución: Resolución: 
H =
56 . 53 . 5–3
25
47 . 43 . 4–5
16O =
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
30
9 10
11 12
5 6
7 8
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Halla el valor de L.
L = 64 + 64
3
Halla el valor de A.
A = 81 + 125 
3
Determina la expresión equivalente a C.
C = (3–2)3 . (33)4 . (35)–1
Determina la expresión equivalente a R.
R = (2–3)3 . (25)2 . (2–2)–1
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Encuentra el valor de M. Encuentra el valor de P.
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
M = 36
3 . 60
3
803
P = 12
4 . 40
4
30
4
Reduce E. Reduce E.
E = 
((a2b)3b)2
(a3 . b2)3
E = 
((x3y)2x)3
(x2 . y3)2
31MateMática Delta 2 - álgebra
13
17 18
19 20
14
15 16
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Calcula el valor de N. Calcula el valor de A.
N =
16
9
–2–1
A =
8
27
–3–1
Efectúa H. Efectúa O.
H =
2n + 1 + 6 . 2n
2 . 2n
O =
3n + 1+ 12 . 3n
3 . 3n
Halla el valor de Y.
 Y = 232 – 231 + 230
Halla el valor de E.
 E = 223 – 222 + 221 – 220
Reduce la expresión S. Reduce la expresión T.
S = x
3
3
x6
. x
x
3 T =
a5
4
a8
.
a
a3
32
21 22
23 24
25 26
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Determina el valor de R. Determina el valor de A.
Encuentra el valor de M. Encuentra el valor de M.
M = 35
3 . 126
283 . 152 . 64
Calcula el valor de R. Calcula el valor de N.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
M = 20
6 . 215
355 . 123 . 62
R = 35
–2 –1
+ +94
7
9
0,5
R = 16 
4
 – 2 65
5
6
2
.
3
A = 54
–2 –1
– +258
1
25
0,5
N = 27
3
 – 10 35
5
3
4
.
3
33MateMática Delta 2 - álgebra
Rpta. 
27 28
¿Cuánto tiempo en minutos demoraría el viaje del 
Halcón Milenario (a su velocidad máxima), de la 
Tierra a la estrella Alfa Centauro?
29 30
Rpta. Rpta. 
Reduce y halla el valor de S. Reduce y halla el valor de F.
x2S = x3 x
3 4.. n3F = n2 n3
3 4..
El carguero ligero YT-1300 fue uno de los diseños más famosos de la Corporación de Ingeniería Corelliana. El 
ejemplo más notable de este modelo era el Halcón Milenario, un YT-1300 modificado capitaneado por Han 
Solo. Esta nave puede alcanzar una velocidad de 1,5c. Si tenemos las distancias aproximadas a las estrellas:
• De la Tierra a Alfa Centauro : 45 000 000 000 000 km.
• De la Tierra a Barnard : 60 000 000 000 000 km.
• De la Tierra a Wolf359 : 75 000 000 000 000 km.
Si el HalcónMilenario viajara a su velocidad 
máxima de la Tierra a la estrella Wolf359, ¿cuánto 
tiempo demoraría en segundos?
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta. 
distancia = velocidad × tiempo 
1c = 3 . 105 km/s
34
5
6
7
8
Practica y demuestra
1
4
2
3
Nivel I
Indica si la operación es verdadera (V) o falsa (F).
( ) 3 . 23 = 63 
( ) 27 = 3 3 
( ) 34 + 32 = 36 
( ) 5
3
 . 25
3
= 5
 A VFVF B FFVV C VVFF
 D FVFV E FFFV
 A Ia; IId; IIId; IVc 
 B Ie; IId; IIIa; IVb
 C Ib; IIa; IIId; IVe
 D Ia; IId; IIIb; IVe 
 E Ic; IIb; IIIb; IVc
Relaciona cada operación con su respuesta.
I. 42–1
a. 2
II. 612
6
b. 12
III. 3 × 22
c. 1
16
IV. 4
2–1
e. 8 
d. 36 
Determina el valor de M.
M = 4 . 8 . 2
5
27
 A 1 B 4 C 16
 D 8 E 2
Calcula el valor de R.
R = 2
5
–2
+ 4
3
–1
+ 3
 A 7 B 10 C 8
 D 9 E 6
Reduce E.
E =
2 × 2 × 2 × ... × 2
2 + 2 + 2 + ... + 2
10 factores
32 veces
 A 8 B 16 C 32
 D 4 E 64
Halla el valor de N.
 A 512 B 36 C 128
 D 48 E 64
N = 10
5
55
+ ((2–2)
1
3 )–6
Encuentra el valor de Q.
 A 
5
2 B 
13
2 C 
11
2
 D 
17
2 E 
7
2
Q = 5 . 6 . 8
15
+ 27
3
4
Descubre el valor de M.
 A 14 B 15 C 16
 D 81 E 13
M =
36 + 2 . 35 – 34
34
35MateMática Delta 2 - álgebra
9
10
11
12
13
14
15
16
Nivel IIDetermina el valor del exponente de x, luego de 
reducir S.
S = x 
. x . x . ... . x
x2 . x2 . x2 . ... . x2
48 factores
10 factores
 A 8 B 4 C 6
 D 5 E 10
Indica el doble del valor de P.
P = 15 . 6–1 + 2
3
–2
– (–2)3
 A 10 B 20 C 8
 D 30 E 15
H = 
Calcula el valor de H.
 A 1 B 2 C 3
 D 4 E 5
61 +
3
12 – 27
3
Halla el valor de a para que B sea 5.
 A 5 B 8 C 6
 D 9 E 7
B =
2a + 1 + 3 . 26
2a
 Si I = 40 000 000 000 y Z = 0,00005, encuentra el 
valor de L. 
 L = I . Z2
 A 10 B 0,1 C 1
 D 4 E 100
Descubre el valor de M.
M = 
1
4
–2 –2
–1
+
1
9
+
1
6
–1 –2
–1
 A 
1
6 B 
1
3 C 
1
5
 D 
1
4 E 2
Simplifica A.
A =
(xx + 1)y
xy
xy
 A 1 B x C x–1
 D x2 E x
Determina el valor de L.
 A 1 B 2 C 4
 D 8 E 12
2m + 3 . 4m + 2n
8m – 2 . 16n + 2
L =
1
x
36
17
21
22
23
24
18
19
20
Calcula el valor de A.
 A 3 B 4 C 6
 D 9 E 12
A =
63 . 95 . 43
1084
Halla el valor de E.
E = (16–4–2
–1
)–2–1
 A 2 B –2 C 
1
2
 D 
1
4
 E 4
Encuentra el valor de Z.
Z = 1 – 
1
6
1
2
50
2
32
3–1
+
–2
– 2(–2)3
0
 A – 6 B 12 C 10
 D 4 E 8
Si el exponente de x al reducir F es 2, descubre 
el valor de a.
F = x
3
xa
3
x2
 A 12 B 8 C 6
 D 10 E 4
Nivel III
Simplifica y determina el valor de T.
Indica cuántas proposiciones son incorrectas.
• x4
1
2
 = x2
• x =x x3
4
• (xa
b
)
c
 = xc . a
b
• –a3
3
 = –a
 A una B tres C dos
 D cuatro E ninguna
T = 20
2 . 32 . (213)2
45 . 123 . 982 . 49
 A 20 B 10 C 50
 D 30 E 120
Si se sabe que abc = 4, calcula el valor de Q.
a bQ = . b c . c a
 A 7 B 9 C 11
 D 8 E 10
El USS Enterprise NCC-1701 es una nave del 
universo de Star Trek, tiene una velocidad máxima 
de 9 Warp, si conocemos las equivalencias:
1 Warp = 2,5 . 104 c (velocidad de la luz) 
1 c = 3 . 108 m/s (metros por segundos) 
1 año luz = 9 . 1015 m
En cuánto tiempo viajando a velocidad máxima 
llegará a la galaxia de Andrómeda, si esta dista 
del planeta Tierra 2,7 . 106 años luz.
Nota: distancia = velocidad × tiempo
 A 5 . 104 horas. B 106 horas
 C 2 . 105 horas D 105 horas 
 E 3 . 106 horas
MateMática Delta 2 - álgebra
Tema
37
Polinomios
3
María compra 8 manzanas y 6 naranjas, 
Elena compra 7 naranjas y 5 peras, 
Lorena compra 8 peras y 4 manzanas. 
¿Cómo podemos sumar lo comprado?
René Descartes
Francia: 1596 
Suecia: 1650
¿Sa bía s qu e.. .?
René Descartes, 
fue quien comenzó 
la utilización de las 
últimas letras del
alfabeto (x, y ∧ z) 
para designar 
las cantidades 
desconocidas.
Import a nt e
La notación 
algebraica nos 
permite reconocer 
cuáles son las 
variables en una 
expresión.
P(x) = x3 + xy + y3
Una expresión algebraica es una combinación de números (coeficientes) y letras 
(variables) enlazadas por la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y 
radicación, pero un número limitado de veces.
Ejemplos:
a) V(r) = 1,25pr3 Expresión algebraica de variable r
b) P(x) = 2x5 + 6x – 9 Expresión algebraica de variable x
c) Q(x; y) = –3x5 + 5xy2 + 16y4 Expresión algebraica de variables x e y
d) A(x) = 1 + x + x2 + x3 + .... No es una expresión algebraica, porque tiene infinitos términos
Definiciones
Término algebraico 
Es la mínima expresión algebraica, está formada por el producto de números 
(coeficientes) y letras (variables).
– 6x2y3
exponentes
variables
signo
coeficiente
variable
A(x; y) = 2x2 + xy + y4
variables
Obse rva
M(x; y) = –4x3y5
Coeficiente: –4
Parte literal: x3y5
Términos semejantes 
Dos o más términos son semejantes si presentan las mismas variables con exponentes 
iguales.
a) –15x5y7 ; 1x7y5 ; 3x5y5 No son términos semejantes
b) 19x3y6 ; –6y6x3 ; 33x3y6 Son términos semejantes
c) 10x2y5 ; 3y5x2z ; 42x2y5w No son términos semejantes
Ejemplo:
Calcula el valor de a . b si los siguientes términos son semejantes: 
P(x; y) = 12x7y2b – 1z2; Q(x; y) = 7x3a – 2y9z3
Resolución:
Si P(x; y) y Q(x; y) son semejantes, tienen igual parte literal (exponentes de sus 
respectivas variables son iguales).
Entonces: 3a – 2 = 7 ∧ 2b – 1 = 9
 a = 3 b = 5
Nos piden: a . b = 3 . 5 = 15
38
Reducción de términos semejantes
Para reducir dos o más términos semejantes sumamos o restamos los coeficientes 
(según indique el signo) con la misma parte literal.
Ejemplo:
Reduce la siguiente expresión H(x) = 3x3 – 5x + 6x2 – x + x3 – 4x2.
Resolución:
Juntamos los términos semejantes:
H(x) = 3x3 + 1x3 + 6x2 – 4x2 – 5x – 1x
H(x) = (3 + 1)x3 + (6 – 4)x2 + (–5 – 1)x
H(x) = 4x3 + 2x2 – 6x
Polinomios
Es aquella expresión algebraica finita, formada por uno o más términos, ligados entre 
sí por operaciones de suma y/o resta, cuyos exponentes de las variables son números 
enteros positivos.
En el general:
P(x) = a0x
n + a1x
n – 1 + ... + an – 1x + an ; a0 ≠ 0 
nombre del 
polinomio
mayor 
exponente
variable coeficiente
principal
grado
término
independiente
Donde: a0; a1; ... ; an son coeficientes del polinomio.
Definiciones
1. Si a0 = 1, entonces P(x) es llamado mónico.
2. Si a0 = a1 = ... = an – 1 = an = 0, entonces P(x) es llamado polinomio idénticamente nulo.
3. Si los exponentes son consecutivos, entonces P(x) es llamado completo y ordenado 
(creciente o decreciente).
Propiedades
1. Suma de coeficientes: a0 + a1 + ... + an – 1 + an = P(1)
2. Término independiente (T. I.): an = P(0)
Ejemplos:
Sean los polinomios:
a) P(x) = 1x4 – 2x3 + x2 – 5x + 7
El polinomio es mónico: a0 = 1
Es de grado 4: el mayor exponente es 4.
Es completo y ordenado: exponentes consecutivos. 
Su término independiente es 7.
b) Q(x) = 3x5 + 3x4 – x2 + 17
El polinomio no es mónico: a0 ≠ 1 
Es de grado 5: el mayor exponente es 5. 
No es completo pero sí ordenado.
Su término independiente es 17.
c) R(x) = 3x2 + 9x4 – x6 + 11
El polinomio no es mónico: a0 ≠ 1(a0 = –1) 
Es de grado 6: el mayor exponente es 6.
No es completo ni ordenado.
Su término independiente es 11.
Recu e rda
Se reducen 
términos solo si son 
semejantes.
En un polinomio 
los exponentes son 
enteros positivos
Polinomio con:
• Un término: 
Monomio 
 4xy3
• Dos términos: 
Binomio
 4x3 – 7xy
• Tres términos: 
Trinomio
 2x3 – 4xy2 + 6y4
• Con n términos: 
Polinomio de n 
términos. 
3x – 5 + 7x2 – 2x5 + x7
Import a nt e
El número de 
términos de un 
polinomio completo 
es igual a su grado 
más uno.
Obse rva
Exponentes 
consecutivos desde 
el mayor hasta el 
T. I. (completo y 
ordenado en forma 
decreciente).
P(x) = 2x3 + x2 – 4x1 + 7x0
Exponentes 
consecutivos desde 
el T.I. hastael mayor 
(completo y ordenado 
en forma creciente).
P(x) = 2x0 + 3x1 – x2 + x3
39MateMática Delta 2 - álgebra
Valor numérico (V.N.)
Es el número que se obtiene luego de reemplazar las variables del polinomio por números.
Ejemplo 1
Sea el polinomio: R(x) = x3 + 3x2 – 6x – 7 
Halla el valor de: R(2)
Resolución:
Tenemos: R(x) = x3 + 3x2 – 6x – 7
Entonces: R(2) = (2)3 + 3(2)2 – 6(2) – 7 = 8 + 3 . 4 – 12 – 7
 R(2) = 8 + 12 – 12 – 7 = 1
Ejemplo 2
Sea el polinomio: P(x; y) = 3xy2 + 5x2y – 5xy + 1 
Halla el valor de: P(2; 1)
Resolución:
Tenemos: P(x; y) = 3xy2 + 5x2y – 5xy + 1
Entonces: P(2; 1) = 3 . 2 .12 + 5 . 22 . 1 – 5 . 2 . 1 + 1 = 6 + 5 . 4 – 10 + 1
 R(2; 1) = 6 + 20 – 10 + 1 = 17
Grado de un polinomio
Grado relativo (G.R.) 
Es el mayor valor del exponente de una variable.
Ejemplo:
P(x; y) = 5x5y7 G.R.(x) = 5G.R.(y) = 7 Q(x; y) = 2x
2y3 – 5x7y + 11x5y5 G.R.(x) = 7G.R.(y) = 5
Grado absoluto (G.A.) 
- De un monomio: Es la suma de exponentes de sus variables.
- De un polinomio: Es el mayor grado absoluto de los términos del polinomio.
A(x; y) = 7x5y4
 ⇒ G.A.(A) = 9
B(x; y) = 3x2y7 + 7x7y6 – 13x9y2
 ⇒ G.A.(B) = 13
5 + 4 = 9 2 + 7 = 9 7 + 6 = 13 9 + 2 = 11
 Dado el polinomio: P(x; y) = 15a4x3y9 + 9y10x5 – x12y.
 Halla M = G.R.(x) + G.R.(y) + G.A.(P)
 Resolución:
 P(x; y) = 15a4x3y9 + 9y10x5 – x12y
G.R.(x) = 12
G.R.(y) = 10
G.A.(P) = 153 + 9 10 + 5 12 + 1
Luego: M = 12 + 10 + 15 ⇒ H = 37
Polinomios idénticos
Dos polinomios P(x) y Q(x) son idénticos cuando tienen los mismos valores numéricos 
para cualquier valor que se asigne a sus variables. Es decir:
V.N.[P(x)] = V.N.[Q(x)] ⇒ P(x) ≡ Q(x)
Ejemplo:
Encuentra el valor de a + b + c, si 2x2 – 3x + 1 ≡ a(x + 1)2 + b(x + 1) + c 
Resolución:
En los polinomios idénticos hacemos que x = 0
Entonces: 2 . 02 – 3 . 0 + 1 = a(0 + 1)2 + b(0 + 1) + c 
 0 – 0 + 1 = a + b + c ⇒ a + b + c = 1
Import a nt e
Sea:
P(x) = 3x +5
Si: x → x + 1
P(x + 1) = 3(x + 1) + 5
Si: x → x2 
P(x2) = 3x2 +5
De safío
P(x; y) = 2n2x3y4z5
- ¿Es de grado 14?
- No, es de grado 7 
- ¿Por qué?
Not a
Si:
P(x) Q(x) 
axn + b = cxn + d
Entonces:
a = c b = d
Los coeficientes de 
los términos con igual 
grado son iguales.
40
Polinomios homogéneos
Un polinomio es homogéneo cuando sus términos tienen igual grado.
Ejemplos:
a) 3x2y4 – 5x6 + 2x5 y Sus términos tienen grado 6, entonces es homogéneo. 
 2 + 4 = 6 = 5 +1
b) 5x3y5 – 7x6y2 + 2x4y4 Sus términos tienen grado 8, entonces es homogéneo.
 3 + 5 = 6 + 2 = 4 + 4Import a nt e
(+)(+) = (+) 
(–)(–) = (+)
(–)(+) = (–) 
(+)(–) = (–)
Operaciones con polinomios
Adición y sustracción de polinomios
Para sumar o restar polinomios, reducimos sus términos semejantes. 
Ejemplo:
Sean los polinomios:
P(x) = 2x2 – 5x + 3; Q(x) = 3x2 + 5x – 9; R(x) = 5x2 + 2x – 5
Determina: P(x) + Q(x) – R(x)
Resolución:
Piden: P(x) + Q(x) – R(x) = 2x2 – 5x + 3 + 3x2 + 5x – 9 – (5x2 + 2x – 5) 
 P(x) + Q(x) – R(x) = 2x2 – 5x + 3 + 3x2 + 5x – 9 – 5x2 – 2x + 5 
 P(x) + Q(x) – R(x) = 0x2 – 2x – 1 = –2x – 1
Multiplicación de polinomios
Multiplicación de monomios 
Multiplicamos los coeficientes (parte numérica), luego la parte literal.
Ejemplo:
(–5x2y)(7x3y2) = (–5)(7)x2 + 3y1 + 2 = –35x5y3
Multiplicación de polinomio por polinomio
Se aplica la propiedad distributiva, luego multiplicamos los monomios.
Ejemplos:
Desarrolla (x2 – x + 2)(x + 2).
(x2 – x + 2)(x + 2) = x2(x + 2) – x(x + 2) + 2(x + 2)
 = x2(x) + x2(2) – x(x) – x(2) + 2(x) + 2(2) 
 = x3 + 2x2 – x2 – 2x + 2x + 4 
 = x3 – x2 + 4
Desarrolla (2x – 5)(x3 + 3x – 8).
(2x – 5)(x3 + 3x – 8) = 2x(x3 + 3x– 8) – 5(x3 + 3x – 8)
 = 2x(x3) + 2x(3x) + 2x(–8) – 5(x3) – 5(3x) – 5(–8) 
 = 2x4 + 6x2 – 16x – 5x3 – 15x + 40 
 = 2x4 – 5x3 + 6x2 – 31x + 40
a)
b)
Recu e rda
bn . bm = bn + m
Propiedad distributiva
a(b ± c) = ab ± ac
41MateMática Delta 2 - álgebra
1
2
3
4
5
6
Dado el polinomio P(x) = 2x3 + x4 – 2x2 + 6 – x.
Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
( V ) El polinomio es mónico.
 El coeficiente principal es 1(1x4).
( F ) La suma de coeficientes es 7.
 P(1) = 2 + 1 – 2 + 6 – 1 = 6.
( V ) El término independiente es 6.
 P(0) = 0 + 0 – 0 + 6 – 0 = 6.
( F ) P(x) es de grado 3.
 El mayor exponente es 4.
( F ) Es idénticamente nulo.
 Los coeficientes tendrían que ser iguales a 
cero.
Rpta. VFVFF
Si los términos 3axa + 3b y7 ; 5bx9y2a + 1
son semejantes, determina el valor de M = 2a – b.
Resolución:
Si los términos son semejantes, tienen igual parte 
literal:
a + 3b = 9 (1)
2a + 1 = 7 (2)
De (2): 2a = 7 – 1 ⇒ a = 3
En (1): 3 + 3b = 9 ⇒ b = 2 
Nos piden: M = 2(3) – 2 = 6 – 2 = 4
Rpta. 4
Sea F(x) = 2x + 1x – 1 , halla el valor de A = F(F(2)).
Resolución:
Tenemos:
2x + 1
x – 1F(x) = 2 . 2 + 1
2 – 1 F(2) = =
5
1 = 5
Entonces: A = F(F(2)) = F(5)
Para: x = 5
Para: x = 2
2x + 1
x – 1F(x) = 2 . 5 + 15 – 1 F(5) = =
11
4
Luego: A = F(5) = 114
Rpta. 114
Si el polinomio
 P(x) = 2xa – b + 3 – 3xb – c + 1 + 7xc – 2
es ordenado y completo en forma ascendente, 
calcula el valor de H = 2a – 3b + 4c.
Resolución:
Tenemos el polinomio completo y ordenado en 
forma ascendente:
P(x) = 2xa – b + 3 – 3xb – c + 1 + 7xc – 2
Entonces:
• c – 2 = 2 ⇒ c = 4
• b – c + 1 = 1 ⇒ b – 4 + 1 = 1 ⇒ b = 4
• a – b + 3 = 0 ⇒ a – 4 + 3 = 0 ⇒ a = 1
Nos piden: H = 2(1) – 3(4) + 4(4) = 6
0 1 2
Rpta. 6
Sea P(x – 2) = x3 – x2, reduce la expresión E.
 E = 
P(–1) + P(1)
P (0)
Resolución:
Tenemos: P(x – 2) = x3 – x2
• x – 2 = –1 ⇒ x = 1: P(1 – 2) = 13 – 12 ⇒ P(–1) = 0
• x – 2 = 1 ⇒ x = 3: P(3 – 2) = 33 – 32 ⇒ P(1) = 18 
• x – 2 = 0 ⇒ x = 2: P(2 – 2) = 23 – 22 ⇒ P(0) = 4
Entonces: E = 0 + 184 =
9
2
Rpta. 9
2
Dada la identidad en x, encuentra el valor de nm. 
 11x – 1 ≡ n(x – 2) + m(2x + 3)
Resolución:
Tenemos polinomios idénticos (tienen igual valor 
numérico)
x = 2 : 11 . 2 – 1 = n(2 – 2) + m(2 . 2 + 3)
 21 = n . 0 + m . 7 
 3 = m
x = 1 : 11 . 1 – 1 = n(1 – 2) + 3(2 . 1 + 3) 
 10 = n(–1) + 15
 n = 15 – 10 = 5 
Piden: n . m = 5 . 3 = 15
Rpta. 15
Ejercicios resueltos
42
7
8
9
10
11
12
Si el polinomio
 P(x) = (a – b + 1)x2 + (b – 2c + 1)x + c – 2
Es idénticamente nulo, descubre el valor de M.
M = a + b + c
Resolución:
Un polinomio idénticamente nulo tiene todos los 
coeficientes cero.
Entonces:
c – 2 = 0 ⇒ c = 2
b – 2c + 1 = 0 ⇒ b = 2(2) – 1
 b = 3
a – b + 1 = 0 ⇒ a = (3) – 1
 a = 2
Piden: M = 2 + 3 + 2 = 7
Rpta. 7
Sea H(x – 1) = 2x – 1 ∧ F(x + 1) = 2x + 3. 
Determina el valor de M = F(H(2)).
Resolución:
Tenemos: H(x – 1) = 2x – 1
x – 1 = 2 ⇒ x = 3: H(x – 1) = 2x – 1
 H(3 – 1) = 2 . 3 – 1
 H(2) = 5
Entonces: M = F(H(2)) = F(5)
 F(x + 1) = 2x + 3 
x + 1 = 5 ⇒ x = 4 : F(4 + 1) = 2 . 4 + 3
 F(5) = 11 
Luego: M = F(5) = 11
Rpta. 11
Si el término independiente del polinomio
P(x + 1) = x2 – 3x + 2n, vale 3n + 5. 
Halla la su suma de coeficientes de dicho polinomio.
Resolución:
Término independiente de P(x): P(0) = 3n + 5 
x + 1 = 0 ⇒ x = –1 : P(–1 + 1) = (–1)2 – 3 (–1) + 2n
 3n + 5 = 1 + 3 + 2n 
 n = –1
Piden:
Suma de coeficientes de P(x): P(1)
x + 1 = 1 ⇒ x = 0 : P(0 + 1) = 02 – 3(0) + 2(–1)
 P(1) = 0 + 0 – 2 = –2 
Rpta. –2
Calcula el valor de n, de tal manera que la 
siguiente expresión:
 P(x; y) = xn – 6 + xy
n
5 + 5x11 – n 
sea un polinomio.
Resolución:
En un polinomio los exponentes son enteros 
positivos o cero, entonces:
n – 6 ≥ 0 ⇒ n ≥ 6 
 n = {6; 7; 8; 9; 10; ...} 
n
5
: n es múltiplo de 5 ⇒ n = {5; 10; ...}
11 – n ≥ 0 ⇒ 11 ≥ n ⇒ n ≤ 11
 n = {0; 1; 2; ... ; 10; 11}
Luego: n = 10
Rpta. 10
Encuentra la sumade los coeficientes del 
siguiente polinomio:
G(x – 1) = (3mx – 4m)2 + (3x – 4)2m + x2 + 4
Sabiendo que es el cuádruple de su término 
independiente.
Resolución:
Dato: G(1) = 4G(0). Tenemos: 
G(x – 1) = (3mx – 4m)2 + (3x – 4)2m + x2 + 4
x – 1 = 1 ⇒ x = 2: G(1) = (2m)2 + (2)2m + 22 + 4
x – 1 = 0 ⇒ x = 1: G(0) = (–m)2 + (–1)2m + (–1)2 + 4
Entonces:
4m2 + 22m + 4 + 4 = 4(m2 + 1 + 1 + 4)
4m2 + 22m + 8 = 4m2 + 24 ⇒ 22m = 22 . 2 ⇒ m = 2
Piden: G(1) = 42 + 22 . 2 + 22 + 4 = 40
Rpta. 40
Sea f(x) = ax + b un polinomio lineal tal que f(1) = 5 
y f(3) = 7. Descubre el valor de f(12).
Resolución:
Tenemos: f(x) = ax + b
x = 1: f(1) = a . 1 + b ⇒ a + b = 5
 b = 5 – a (1) 
x = 3: f(3) = a . 3 + b ⇒ 3a + b = 7 (2)
(1) en (2): 3a + 5 – a = 7 ⇒ a = 1 
En (1) : b = 5 – 1 ⇒ b = 4 
Luego: f(x) = x + 4
Piden: f(12) = 12 + 4
 f(12) = 16
Rpta. 16
43MateMática Delta 2 - álgebra
Síntesis
Modela y resuelve 
Polinomios
Grado Valor numérico (V.N.) Especiales
Términos semejantes
G.R.
Monomio Polinomio
G.A.
Exponente de 
la variable.
Mayor exponente 
de la variable.
Se suman o restan
Valor del polinomio cuando sus 
variables son reemplazadas con 
números.
Suma de 
exponentes.
Mayor suma de 
exponentes.
exponentes 
enteros positivos
Suma de coeficientes de P(x): P(1)
Término independiente de P(x): P(0)
Tienen igual parte literal (variables y 
sus respectivos exponentes iguales)
Ordenado 
completo
Exponentes 
consecutivos 
hasta/desde 
CERO
Homogéneo Términos de 
igual grado
Idénticos Igual valor numérico
Idénticamente
nulo
Coeficientes 
igual a cero
3
5
4
6
21 Dado el polinomio P(x) = (2x2 – x + 1)(3x2 + 2) + 5.
Entonces:
Dado el polinomio Q(x) = (4x2 – x + 2)(2x2 + 3) + 1.
Entonces:
• El grado del polinomio es 
• El término independiente es 
• La suma de coeficientes es
• El coeficiente principal es 
• El grado del polinomio es 
• El término independiente es 
• La suma de coeficientes es
• El coeficiente principal es 
Dado el polinomio P.
P(x; y; z) = 5x4y6z2 – 3x5y4z7 + 8x3y5z4w4
Entonces:
Si P(x) = 3x2 – 2x + 1, indica el valor de P(3).
Dado el polinomio P.
P(x; y; z) = 3x7y6z4 – 11x3y7z3 + 6x2y4z5w5
Entonces:
Si Q(x) = 4x2 – 3x + 2, indica el valor de Q(2).
• Grado relativo a x es 
• Grado relativo a z es 
• Grado relativo a y es
• Grado absoluto es
• Grado relativo a x es 
• Grado relativo a z es 
• Grado relativo a y es
• Grado absoluto es
Rpta. Rpta. 
44
9
11
13
10
12
14
8
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
7 Dado el polinomio Q(x) = (2x – 3)(x + 5), determina 
el término independiente de Q(x).
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Dado el polinomio M(x) = (3x – 5)(x + 2), determina 
el término independiente de M(x).
Resolución:
Halla el grado del polinomio P.
P(x) = 5(x3)4 – 3x5 . x4 + 3x9 – 2
Halla el grado del polinomio Q.
Q(x) = 3x – 4(x4)2 – 7x4 . x5 + 7x6
Si P(x) = 2x2 – x + 5, encuentra el valor de P(P(2)). Si H(x) = 2x2 – 3x + 1, encuentra el valor de H(H(2)).
Si el polinomio P(x) = 2xa – 2 + 3xb – 1 + 4xc – 3 + 5 
es completo y ordenado, calcula el valor de abc.
Si el polinomio P(x) = 7 + 3xa – 2 + 5xb – 1 – 11xc – 3 
es completo y ordenado, calcula el valor de abc.
45MateMática Delta 2 - álgebra
15
17
19
16
18
20
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Descubre el valor de E(3).
A(x) = 2x – 5
V(x) = x2 – 4x + 7
E(x) = V(x – 2) + A(x)
Descubre el valor de L(2).
Z(x) = 3x – 2
I(x) = x2 – 2x + 6
L(x) = I(x – 1) + Z(x)
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Dada la identidad en x: 4x + 22 = a(x + 3) + b(3x – 1), 
determina el valor de (a + b).
Dada la identidad en x: 5x + 11 = a(x + 4) + b(2x – 1), 
determina el valor de (a + b).
Si el término independiente del polinomio P es 
4n + 6 y P(x + 3) = x2 – 5x + n. 
Halla la suma de coeficientes de dicho polinomio.
Si el término independiente del polinomio Q vale 
4n + 7 y Q(x + 2) = x2 + 3x + n. 
Halla la suma de coeficientes de dicho polinomio.
46
23
25
24
26
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
21 22Si el G.A.(F) = 15 y G.R.(x) = 2, calcula el 
coeficiente del monomio.
 F(x; y) = m(n + 1)xm – ny2m + n
Si el G.A.(M) = 9 y G.R.(y) = 2, calcula el coeficiente 
del monomio.
M(x; y) = a(b + 2) xa + by2a – b
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Sea el polinomio P(x) = x2 + 7, encuentra el valor 
de E.
Sea el polinomio H(x) = x2 + 3, encuentra el valor 
de A.
E = 
P(x + 1) – P(x – 1)
2x
A = 
H(x + 2) – H(x – 2)
4x
Descubre la suma de valores de n, de tal manera 
que la siguiente expresión P(x; y) sea un polinomio.
Descubre la suma de valores de a, de tal manera 
que la expresión Q(x; y) sea un polinomio.
P(x; y) = x
n
3 + xy
n
2 + 5x13 – n Q(x; y) = 3x
a
5 + 5xy
a
2 – 7y22 – a
47MateMática Delta 2 - álgebra
29 30
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
27 28Si el polinomio P(x) = ax + b es tal que
P(1) = 5; P(–1) = 9, determina el valor de P(P(4)).
Si el polinomio P(x) = ax + b es tal que
P(2) = 1; P(–1) = 10, determina el valor de P(P(3)).
Resolución: Resolución: 
Sean los polinomios P y Q; de tal manera que 
P(x) Q(x), halla el valor de ab.
P(x + 1) = x2 + ax + b
Q(x – 1) = x2 + 3x ‒ 5
Sean los polinomios A y C; de tal manera que 
A(x) B(x), halla el valor de mn.
A(x + 1) = x2 + 2x + 7
B(x – 1) = x2 + mx + n
Resolución: Resolución: 
48
2
3
4
Practica y demuestra
1
5
6
7
Nivel I
Dado el polinomio D(x) = x4 – x5 + 3x3 – 3 + x2 + 7x, 
indica el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las 
proposiciones: 
( ) El polinomio es mónico.
( ) El grado del polinomio es 5.
( ) El término independiente es 3.
( ) La suma de coeficientes es 8.
 A VFVF B FFVV C VVFV
 D FVFV E FFFV
Relaciona correctamente. 
P(x; y; z) = 3x2y3z – 7x5y2z3 + 8xy5z2w4
I. Grado relativo a x a. 3
II. Grado absoluto b. 5
III. Grado relativo a z c. 6
IV. Grado relativo a y d. 10
 e. 12
 A Ib; IIe; IIIa; IVc 
 B Ic; IId; IIIa; IVb 
 C Ib; IIe; IIIb; IVe
 D Ib; IId; IIIa; IVb 
 E Ic; IIe; IIIb; IVc
Si P(x) = 2x2 + x – 4, indica el valor de M. 
M = P(1) + P(–1)
 A –2 B 4 C 2
 D –4 E 0
Dado el polinomio P(x; y) = 7x9y5 – 12xy12 – 9x6y10, 
halla el valor de M = G.A.(P) – G.R.(y).
 A 4 B 7 C 16
 D 12 E 9
Calcula el valor de A(x) = 3E(x) – 2C(x).
E(x) = 2x2 + 3x + 5
C(x) = 3x2 – 3x – 2
 A 3x2 + 3x + 7 B 15x + 19
 C 14x + 16 D 12x2 + 11 
 E 2x2 + x – 3
Encuentra el grado del polinomio P. 
P(x) = 2(x2)3 – 3x2 . x3 + 5x4 – 7
 A 4 B 3 C 5
 D 7 E 6
Si P(x) = x2 – 4x + 4, determina el valor de A. 
A = P(P(4))
 A 1 B 4 C 3
 D 16 E 2
Descubre el valor de R = P(Q(–1)) + 5,
si P(x) = 3x2 – 5x + 1 ∧ Q(x) = 3x + 5.
 A 5 B 8 C 3
 D 2 E 4
Si el polinomio P(x) = 3xa + 4xb + 7xc – 1, es 
completo y ordenado en forma creciente, indica 
el valor de B. 
B = a + b + c
 A 6 B 4 C 3
 D 5 E 2
8
9
49MateMática Delta 2 - álgebra
11
12
13
15
16
14
17
10
Nivel II
En el polinomio homogéneo
P(x; y) = 3x2ya – 1 + 7x5y2 – 11xb + 2y3, halla el 
valor de N = 2a – b.
 A 12 B 8 C 14
 D 4 E 10
Calcula el coeficiente del monomio
A(x; y) = 3(a + b)xa + 2yb – 5, si el grado absoluto 
es 5.
 A 6 B 18 C 24
 D 36 E 48
Dado el polinomio
P(x) = 3xa – 5 + 2xb – a + 2 – 5xc – b – 3
completo y ordenado en forma decreciente, 
encuentra el valor de N.
N = a + 2b + c
 A 24 B 26 C 28
 D 30 E 32
Respecto a los polinomios: 
Q(x; y) = 3x3 – 2x2y + 5xy2 – 3y3
P(x) = (x2 + 1)(x + 3)
Indica el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las 
proposiciones:
( ) Grado P(x) = Grado Q(x; y).
( ) El polinomio Q(x; y) es homogéneo.
( ) El término independiente de P(x) es 3.
( ) El grado relativo a x de Q(x; y) es 2.
 A VVFF B FFVV C VVVF
 D FVFV E FFFV
Si P(x – 1) = x2 + x – 3, descubre el valor de H.
H = P(1) + P(–2)
 A 1 B 0 C 2
 D ‒2 E 3
Determina el