algebralineal - Anette Rachel Pinacho Matias (2)

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Álgebra lineal y Geometŕıa I
Gloria Serrano Sotelo
Departamento de MATEMÁTICAS
1. Espacio vectorial. Subespacios vectoriales
Sea k un cuerpo.
Definición 1.1. Un k-espacio vectorial o espacio vectorial sobre k es un conjunto E con
dos operaciones, suma y multiplicación por elementos de k, que verifican:
Suma
1. Es una operación cerrada: e + e� ∈ E, cualesquiera que sean e, e� ∈ E.
2. Es asociativa: (e + e�) + e�� = e + (e� + e��), cualesquiera que sean e, e�, e�� ∈ E.
3. Tiene elemento neutro: Existe 0 ∈ E tal que 0 + e = e + 0 = e, para todo e ∈ E.
4. Todo elemento de E posee un opuesto: Para cada E ∈ E existe −e ∈ E tal que
e + (−e) = (−e) + e = 0.
5. Es conmutativa: e + e� = e� + e, cualesquiera que sean e, e� ∈ E.
Multiplicación por elementos de k
1. Es una operación cerrada: λe ∈ E, cualesquiera que sean λ ∈ k y e ∈ E.
2. λ(e + e
�
) = λe + λe
�
, cualesquiera que sean λ ∈ k y e, e� ∈ E.
3. (λµ)e = λ(µe), cualesquiera que sean λ, µ ∈ k y e ∈ E.
4. (λ + µ)e = λe + µe, cualesquiera que sean λ, µ ∈ E y e ∈ E.
5. 1e = e, siendo 1 la unidad de k.
Los elementos del espacio vectorial E se llaman vectores y los del cuerpo base k escalares.
Ejemplos 1.2.
• Rn = {(x1, . . . , xn) : xi ∈ k, 1 ≤ i ≤ n} es un R-espacio vectorial con las operaciones:
Suma (x1, . . . , xn) + (x�1, . . . , x
�
n) = (x1 + x
�
1, . . . , xn + x
�
n) y multiplicación por escalares
λ(x1, . . . , xn) = (λx1, . . . ,λ xn).
• k[x] = {polinomios en x con coeficientes en k} es un k- espacio vectorial con las operacio-
nes suma de polinomios y producto de un polinomio por un escalar.
• C = {a + bi : a, b ∈ R} es un R-espacio vectorial con las operaciones suma de números
complejos y producto de un número complejo por un número real.
• C es también un C-espacio vectorial respecto de la suma y el producto de números com-
plejos.
• Matrices de orden m× n con coeficientes en k
M(m× n, k) = {A = (aij) : aij ∈ k, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}
es un k- espacio vectorial con las operaciones: Suma de matrices, A + B = (aij + bij), y
producto de una matriz por un escalar, λA = (λaij).
Una combinación lineal de los vectores e1, . . . , en ∈ E es un vector de E de la forma
λ1e1 + · · · + λnen para ciertos escalares λ1 . . . λn ∈ k.
Los subconjuntos del espacio vectorial E que conservan la estructura lineal son los que son
cerrados por combinaciones lineales:
Definición 1.3. Un subconjunto V de E es un subespacio vectorial de E si es cerrado por
combinaciones lineales, es decir, si λv + µv
� ∈ V cualesquiera que sean v, v� ∈ V y λ, µ ∈ k.
1
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Ejemplos 1.4.
• Las rectas y los planos que pasan por el origen son subespacios de R3.
• Los polinomios de grado menor o igual que dos forman un subespacio de k[x].
• El conjunto S(n, k) = {A ∈ M(n, k) : A = At} de las matrices simétricas de orden n con
coeficientes en k es un subespacio vectorial de M(n, k)
Se representa por �e1, . . . en� el conjunto de las combinaciones lineales de los vectores e1, . . . , en.
Por definición, �e1, . . . en� es un subespacio vectorial de E, el subespacio generado por
los vectores e1, . . . , en.
Si E = �e1, . . . en�, es decir, si todo vector de E se expresa como combinación lineal de
e1, . . . , en, se dice que {e1, . . . , en} forman un sistema de generadores de E.
Ejemplos 1.5.
• Los polinomios 1, x, x2 generan el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o
igual a cero.
• Los vectores u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 2) forman un sistema de generadores del plano de R3
de ecuación x + 2y − z = 0.
• Las matrices
�
1 0
0 0
�
,
�
0 1
1 0
�
y
�
0 0
0 1
�
generan S(2, R).
2. Dependencia e independencia lineal. Bases. Dimensión
Sea E un k-espacio vectorial.
Los vectores {e1, . . . , en} de E son linealmente dependientes si alguno de ellos es combi-
nación lineal de los otros, esto es, si ei = α1e1+· · ·+êi+· · ·+αnen para ciertos α1, . . . , αn ∈ k.
Los vectores {e1, . . . , en} de E son linealmente independientes si ninguno de ellos es
combinación lineal de los restantes o, lo que es equivalente, si existe una combinación lineal
de ellos igual al vector cero, necesariamente los escalares de la combinación lineal son cero,
si λ1e1 + · · · + λnen = 0 ⇒ λ1 = · · · = λn = 0.
Definición 2.1. Los vectores {e1, . . . , en} forman una base de E si generan E y son lineal-
mente independientes.
El vector cero es combinación lineal de cualesquiera vectores, 0 = 0e1+ · · ·+0en, luego nunca
puede formar parte de una base.
Teorema 2.2. (Caracterización de una base) Los vectores {e1, . . . , en} forman una base de
E si y sólo si cualquier vector de E se puede expresar de modo único como combinación
lineal de ellos.
Demostración.
• Si {e1, . . . , en} es una base de E, probaremos que para todo vector e de E existen escalares
únicos λ1, . . . , λn tales que e = λ1e1 + · · · + λnen:
Como {e1, . . . , en} generan E, cualquiera que sea e ∈ E es e = λ1e1 + · · ·+λnen para ciertos
λi ∈ k. Además, los escalares λ1, . . . , λn son únicos, pues si existen otros escalares µ1, . . . , µn
tales que e = µ1e1 + · · · + µnen, igualando, resulta que (λ1 − µ1)e1 + · · · + (λn − µn)en = 0,
de donde se deduce que λ1 − µ1 = · · · = λn − µn = 0 ya que {e1, . . . , en} son linealmente
independientes, luego λ1 = µ1 . . . λn = µn.
• Rećıprocamente, si todo vector de E se expresa de modo único como combinación lineal
de los vectores {e1, . . . , en} demostraremos que {e1, . . . , en} forman una base de E:
{e1, . . . , en} generan E pues todo vector de E es combinación lineal de ellos y son linealmente
independientes, ya que si λ1e1 + · · ·+λnen = 0 necesariamente λ1 = . . . λn = 0 pues el vector
cero es 0 = 0e1+· · ·+0en y por hipótesis los escalares de la combinación lineal son únicos. �
Si e = λ1e1 + · · ·+λnen es la expresión del vector e en la base {e1, . . . , en} de E, los escalares
(λ1, . . . λn) son las coordenadas del vector e en esa base.
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Ejemplos 2.3.
• Los vectores {(1, 0, 0 . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1)} forman una base de Rn.
• Los números complejos {1, i} forman una base de C como R-espacio vectorial.
• Los polinomios {1, x, x2} forman una base del espacio vectorial de los polinomios de grado
menor o igual a dos. Las coordenadas del polinomio 5− 3x + 2x2 en esta base son (5,−3, 2).
• Los vectores u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 2) forman una base del plano de R3 de ecuación
x + 2y − z = 0. Las coordenadas, respecto de esa base, del vector e = (1, 1, 3) del plano son
(1, 1), pues e = u + v.
• Las matrices A1 =
�
1 0
0 0
�
, A2 =
�
0 1
1 0
�
y A3 =
�
0 0
0 1
�
definen una base de S(2, R).
Las coordenadas de la matriz simétrica A =
�
2 3
3 1
�
en esa base son (2, 3, 1), ya que A =
2A1 + 3A2 + A3.
Probaremos ahora que toda colección de vectores linealmente independientes de un
espacio vectorial se puede ampliar hasta formar una base del espacio.
Teorema 2.4. (Teorema de Steinitz) Sean {v1, . . . , vm} vectores linealmente independien-
tes de E y {e1, . . . , en} una base de E. Se pueden sustituir m vectores de la base {e1, . . . , en}
por los vectores {v1, . . . , vm} para obtener una nueva base de E.
Demostración. Iremos sustituyendo, uno a uno, m vectores de la base {ei} por los vectores
{v1, . . . , vm}.
• Probaremos que {v1, e2, . . . , en} es una base de E.
Como {e1, . . . , en} es una base y v1 ∈ E es v1 = λ1e1 + · · · + λnen (1)
y no todos los escalares {λi} son nulos, pues en ese caso v1 = 0 y el vector cero no puede
formar parte de una colección de vectores linealmente independientes.
Podemos suponer, reordenando la base si es preciso, que λ1 �= 0. Despejando, resulta que
e1 =
1
λ1
v1− λ2λ1 en− · · ·−
λn
λ1
en, de lo que se deduce que los vectores {v1, e2 . . . , en} generan E.
Los vectores {v1, e2 . . . , en} son linealmente independientes ya que si µ1v1 + ·· · + µnen = 0,
sustituyendo v1 por (1) se obtiene µ1λ1e1 + (µ1λ2 + µ2)e2 + · · · + (µ1λn + µn)en = 0 y
µ1λ1 = µ1λ2 +µ2 = · · · = µ1λn +µn = 0 por ser {e1, . . . , en} linealmente independientes. Por
otra parte, como λ1 �= 0 debe ser µ1 = 0, de lo que se deduce que también µ2 = · · · = µn = 0.
• Probaremos que {v1, . . . , vm, . . . , en} es una base de E.
Supongamos que ya hemos sustituido m − 1 vectores de la base {e1, . . . , en} por vectores
vi. Reordenando si es preciso, podemos suponer que hemos sustituido los m primeros y que
tenemos la nueva base {v1, . . . , vm−1, em, . . . , en}. Expresando vm en función de esta base se
tiene
vm = α1v1 + · · · + αm−1vm−1 + βmem + · · · + βnen ,
donde algún βi tiene que ser no nulo, pues en otro caso vm seŕıa combinación lineal de
{v2, . . . , vm} y hemos supuesto que {v1, . . . , vm} son linealmente independientes. Como antes,
reordenando si es necesario, podemos suponer que βm �= 0. Y el mismo argumento del apar-
tado anterior prueba que podemos sustituir em por vm de manera que {v1, . . . , vm, . . . , en}
es una base de E. �
Teorema 2.5. (Teorema de la base)Todas las bases de un k-espacio vectorial tienen el
mismo número de elementos.
Se llama dimensión del espacio vectorial E al número de elementos de una base y se repre-
senta por dimk E.
Demostración. Sean {e1, . . . , en} y {e�1, . . . , e�m} dos bases de E. Por el teorema de Steinitz
aplicado a la base {e1, . . . , en} y a los vectores linealmente independientes {e�1, . . . , e�m},
debe ser m ≤ n, y ahora a la base {e�1, . . . , e�m} y a los vectores linealmente independientes
{e1, . . . , en} da n ≤ m. Por tanto, n = m. �
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Es claro que la dimensión de un espacio vectorial coincide con el número máximo
de vectores linealmente independientes y con el número mı́nimo de generado-
res. Por tanto, en un espacio vectorial de dimensión n cualesquiera n vectores
linealmente independientes forman una base.
Ejemplos 2.6.
• dimR Rn = n
• dimR C = 2 y dimC C = 1 pues C = �1, i� considerado como R-espacio vectorial y C = �1�
considerado como C-espacio vectorial
• Los vectores v1 = (2, 0, 3, 1), v2 = (−3, 1, 1, 1), v3 = (−1, 1, 2, 0) y v4 = (0, 1, 1, 2) for-
man una base de R4, pues son linealmente independientes, ya que det(v1, v2, v3, v4) �= 0, y
dimRR4 = 4.
• Los polinomios {1, x, x2} forman una base del espacio vectorial E de los polinomios de grado
menor o igual a dos, luego dimk E = 3. Las coordenadas de los polinomios {1−2x, x2 +1, 2+
x−x2} respecto de la base de E anterior son (1,−2, 0), (1, 0, 1) y (2, 1,−1) respectivamente,
y como estos vectores son linealmente independientes ya que su determinante es distinto de
cero, resulta que {1− 2x, x2 + 1, 2 + x− x2} es otra base del espacio E de los polinomios de
grado menor o igual a dos.
3. Problemas propuestos
1. Probar que el conjunto de matrices cuadradas diagonales con coeficientes en un cuerpo
k tiene estructura de espacio vectorial sobre k.
2. Determinar cuáles de los siguientes subconjuntos de Rn son subespacios vectoriales:
a) E = {(0, x2, . . . , xn)}
b) E = {(1, x2, . . . , xn)}
c) E = {(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ Q}
d) E = {(x1, x2, . . . , xn) :
�n
i=1 xi = 0}
e) E = {(x1, x2, . . . , xn) :
�n
i=1 xi = 5}
3. Sea F (R, R) el espacio de todas las funciones de R en R. Estudiar si E es un subes-
pacio de F (R, R), donde:
a) E = {f ∈ F (R, R) : f(3) = 0}
b) E = {f ∈ F (R, R) : f(1) = f(2)}
c) E = {f ∈ F (R, R) : f(−x) = −f(x)}
d) E = {f ∈ F (R, R) : f es continua}
e) E = {f ∈ F (R, R) : f es derivable}
4. Demostrar que los vectores (−5, 2, 8,−16), (−5, 3, 17,−14), (1, 1, 11, 6) de R4 son
linealmente independientes.
5. Demostrar que los vectores (m, 1, 0), (−1, m, 0) y (0, 1, 1) son linealmente indepen-
dientes en R3, sea quien sea m. Comprobar que esta propiedad no se cumple en
C3.
6. Considérense las matrices
�
−3 2
−4 1
�
,
�
2 3
1 5
�
,
�
9 x
−3 y
�
. Determinar x e y para que
dichas matrices sean linealmente independientes.
7. Pruébese que las funciones sin x, sin 2x, . . . , sin nx son linealmente independientes so-
bre el cuerpo R.
Pruébese otro tanto para las funciones e
α1x, e
α2x, . . . , e
αnx donde α1, . . . , αn son n
números reales distintos.
8. Demostrar que el subespacio E = {(a, b, 0) : a, b ∈ R} de R3 está generado por
cualquiera de los pares de vectores siguientes:
a) e = (1, 1, 0), e� = (1, 0, 0)
b) e = (2,−1, 0), e� = (−1,−1, 0)
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9. Determinar x e y en el vector (3, 2, x, y) ∈ Q4 para que pertenezca al subespacio
generado por (1, 4,−5, 2), (1, 2, 3, 1).
10. Pruébese que el subespacio de R3 generado por los vectores (1, 1, 1), (0, 1, 0) coincide
con el subespacio generado por (2, 3, 2) y (1, 0, 1).
11. Hallar un vector común al subespacio E1 engendrado por los vectores (1, 2, 3) y
(3, 2, 1) y al subespacio E2 engendrado por (1, 0, 1) y (3, 4, 3).
12. Sea A =
�
1 2
3 m
�
.
a) Encontrar el valor de m para que existan matrices cuadradas no nulas B tales
que AB = 0.
b) Demostrar que dichas matrices (incluida el 0) forman un subespacio vectorial.
Encontrar un sistema de generadores linealmente independientes.
13. Averiguar si V es un subespacio vectorial real y en caso afirmativo calcula una base
y su dimensión:
a) V = {(a, b, 0) : a, b ∈ R}
b) V = {(a, b, c) : a + b + c = 0}
c) V = {(a, b, c) : a2 + b2 + c2 ≥ 1}
d) V = {(a, b, c) : a = b + c}
e) V = {(a, b, c) : a, b, c ∈ Q}
14. En un espacio vectorial E sobre el cuerpo de los números complejos C se dan tres
vectores a, b, c y se consideran los vectores
u = b + c, v = c + a, w = a + b
a) Probar que los subespacios vectoriales engendrados por a, b, c y por u, v, w son
el mismo.
b) Demostrar que los vectores u, v, w son linealmente independientes śı y sólo si lo
son a, b, c.
15. Determinar λ para que los vectores (2, 4, 6), (1, 2, 3), (5, λ ,15) estén en un mismo
plano (subespacio de dimensión 2).
16. Determinar en Q5 una base del subespacio generado por los vectores (1, 2,−4, 3, 1),
(6, 17,−7, 10, 22), (2, 5, 0,−3, 8), (1, 3,−3, 2, 0).
17. Demostrar que el subconjunto H = {(x, y, z) ∈ R3 : x+2y− z = 0} es un subespacio
de R3 y calcular una base del mismo. ¿Cuál es su dimensión?.
18. Comprobar que los vectores (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3) forman una base del espacio
vectorial R3 y calcular las coordenadas del vector (4, 6, 12) respecto de esta base.
19. Comprobar que los vectores e = (1,−1, 0), e� = (2, 1, 0), e�� = (0, 1, 1) forman una
base. Encontrar las coordenadas respecto de la misma del vector (1, 1, 1).
20. Comprobar que las matrices
�
1 0
0 0
�
,
�
1 1
0 0
�
,
�
1 1
1 0
�
,
�
0 0
0 1
�
forman una base del
espacio vectorial de las matrices de orden 2. Calcular las coordenadas de la matriz�
5 3
1 1
�
respecto de esta base.
21. Consideremos el espacio vectorial de los polinomios p(x) ∈ R[x] de grado menor que
3.
a) Demostrar que los polinomios 1 + x, x + x2, 1 + x2 forman una base.
b) Hallar las coordenadas del polinomio 3 + 2x + 5x2 en dicha base.
22. ¿Cuál es la condición para que dos números complejos
z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i
formen una base del espacio vectorial real de los números complejos?.
23. Se considera el espacio vectorial R4 y se pide:
a) Hallar una base que contenga al vector (1, 2, 1, 1).
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b) Hallar una base que contenga a los vectores (1, 1, 0, 2) y (1,−1, 2, 0).
c) Hallar una base que contenga a los vectores (1, 1, 0, 0), (0, 0, 2, 2) y (0, 3, 3, 0).
24. Se consideran los vectores de R3 (1, 1, 0), (1, 0, 1) y (0, 1, 1).
a) Demostrar que forman una base de R3.
b) Hallar las coordenadas de los vectores de la base (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) (“base
canónica o estándar”) respecto de esta base.
25. Se consideran en R4 los vectores (1, 0, 0, 1), (1,2, 0, 0). Completar a una base de R4.
26. En el R-espacio vectorial de los polinomios p(x) ∈ R[x] de grado menor o igual que
3, demostrar que p0(x) = 1, p1(x) = x + 1, p2(x) = (x + 1)
2
, p3(x) = (x + 1)
3
forman
una base. Calcular las coordenadas del polinomio 2x
3
+ x
2 − 4x− 4 en dicha base.
27. Sea R2[x] el espacio vectorial de los polinomios en una variable, de grado menor o
igual que 2. Sea M el subespacio engendrado por:
{x2 − 1, x + 1, x2 − 7x− 8}
Hallar una base de R2[x] que contenga a una base de M .
28. Sea B = {e, e�, e��} una base de R3 y v un vector cuyas coordenadas respecto de B
son (1,−1, 2).
a) Demostrar que el conjunto S = {e+e�, e+e� +e��} es linealmente independiente.
b) Completar S a una base B� tal que las coordenadas de v respecto de B� sean
(1, 1, 1).
29. Se consideran sobre R4 los vectores (1 + λ, 1, 1, 1), (1, 1 + λ, 1, 1), (1, 1, 1 + λ, 1),
(1, 1, 1, 1 + λ). Determinar en función de λ la dimensión del subespacio que generan
y calcular una base.
30. Se consideran en R4 el subespacio E � de los vectores (x1, x2, x3, x4) tales que 2x1 +
3x2 = 2x3 + 3x4. Probar que los vectores u1 = (1, 0, 1, 0), u2 = (0, 1, 0, 1) son lineal-
mente independientes y están en E
�
. Extenderlos a una base de E
�
.
31. Probar que los polinomios p0(x) = 1, p1(x) = 1− x, p2(x) = 1− x2, p3(x) = x − x3
forman base del espacio vectorial real R3[x] de los polinomios de grado menor o igual
que 3.
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Álgebra lineal y Geometŕıa I
Gloria Serrano Sotelo
Departamento de MATEMÁTICAS
1. Subespacios suma e intersección. Suma directa de subespacios
Definición 1.1. Sean E1 y E2 subespacios vectoriales de E. Se definen la suma E1 +E2 y
la intersección E1 ∩ E2 por
E1 + E2 = {e ∈ E : e = u+ v , donde u ∈ E1 y v ∈ E2}
E1 ∩ E2 = {e ∈ E : e ∈ E1 y e ∈ E2}
Probaremos que ambos son subespacios vectoriales de E comprobando que son cerrados por
combinaciones lineales:
Si u + v, u′ + v′ ∈ E1 + E2 y λ, µ ∈ k el vector λ(u + v) + µ(u′ + v′) está en E1 + E2
pues λ(u+ v) + µ(u′ + v′) = λu+ λv+ µu′ + µv′ = (λu+ µu′) + (λv+ µv′) ∈ E1 +E2,
ya que E1 y E2 son cerrados por combinaciones lineales.
Si e, e′ ∈ E1∩E2 y λ, µ ∈ k, su combinación lineal λe+µe′ es un vector de E1 y también
de E2, ya que ambos son subespacios y, por tanto, cerrados por combinaciones lineales.
Luego λe+ µe′ es un vector de la intersección E1 ∩ E2.
Es claro que:
• E1 + E2 ⊇ E1 y E1 + E2 ⊇ E2. La suma E1 + E2 es el mı́nimo subespacio que contiene a
E1 y a E2.
• E1 ∩ E2 ⊆ E1 y E1 ∩ E2 ⊆ E2. La intersección E1 ∩ E2 es el mayor subespacio que
está contenido en E1 y en E2.
• Sistema de generadores de la suma. Si {u1, . . . , ur} es una base de E1 y {v1, . . . , vs} es una
base de E2, los vectores {u1, . . . , ur, v1, . . . , vs} forman un sistema de generadores de E1+E2.
Teorema 1.2. Se verifica la siguiente fórmula de dimensión
dimk(E1 + E2) = dimk E1 + dimk E2 − dimk(E1 ∩ E2)
Demostración. Sea {e1, . . . , em} una base de E1∩E2 que, por el teorema de Steinitz, podemos
ampliar para formar una base {e1, . . . , em, . . . , er} de E1 y otra {e1, . . . , em, vm+1, . . . , vs} de
E2.
Los r + s −m vectores {e1, . . . , em, . . . , er, vm+1, . . . , vs} generan E1 + E2. Probaremos que
además son linealmente independientes, con lo que quedará demostrado el teorema.
Si λ1e1 + . . . λmem + · · ·+ λrer + µm+1vm+1 + · · ·+ µsvs = 0 (∗), despejando se obtiene
µm+1vm+1 + · · ·+ µsvs = −λ1e1 − . . . λmem − · · · − λrer ,
luego el vector µm+1vm+1 + · · · + µsvs ∈ E2 está también en E1, pues es combinación lineal
de los vectores de una base de E1. Por tanto, el vector µm+1vm+1 + · · ·+µsvs está en E1∩E2,
y expresándolo como combinación lineal de los vectores de la base {e1, . . . , em}, se tiene que
µm+1vm+1+· · ·+µsvs = α1e1+· · ·+αmem, de donde α1e1+· · ·+αmem−µm+1vm+1−· · ·−µsvs =
0, luego α1 = · · · = µm+1 = · · · = µs = 0, pues los vectores {e1, . . . , em, vm+1, . . . , vs}
son linealmente indepedientes. Sustituyendo en la combinación lineal inicial (∗) se obtiene
λ1e1 + . . . λmem + · · · + λrer = 0, lo que implica que λ1 = · · · = λm = · · · = λr = 0 ya que
{e1, . . . , em, . . . , er} son linealmente independientes. �
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Ejemplo 1.3. Dados los subespacios de R4
E1 = 〈u1 = (1,−1, 1, 0), u2 = (0, 1,−1, 1), u3 = (2,−1, 1, 1)〉
E2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x+ y + z = 0, x+ z + t = 0}
Calculemos bases y dimensiones de E1 + E2 y de E1 ∩ E2. Para ello calcularemos primero
una base de E1 y otra de E2:
dimRE1 = rg(u1, u2, u3) = 2 y E1 = 〈u1 = (1,−1, 1, 0), u2 = (0, 1,−1, 1)〉.
E2 = {(x,−x−z, z,−x−z) ∈ R4} = 〈v1 = (1,−1, 0,−1), v2 = (0,−1, 1,−1)〉 y dimRE2 = 2.
Resulta que
dimR(E1 + E2) = rg(u1, u2, v1, v2) = 3 y E1 + E2 = 〈u1, u2, v1〉
dimR(E1 ∩ E2) = dimRE1 + dimRE2 − dimR(E1 + E2) = 1 y como v2 = −u2 es E1 ∩ E2 = 〈u2〉 .
Definición 1.4. La suma directa de los subespacios E1 y E2 es la suma, E1 +E2, cuando
la intersección es cero, E1 ∩ E2 = {0}. Se representa por E1 ⊕ E2.
En particular, dimk(E1 ⊕ E2) = dimk E1 + dimk E2.
2. Subespacios suma e intersección. Suma directa de subespacios
Definición 2.1. Los subespacios E1 y E2 de E son suplementarios si E1 + E2 = E y
E1 ∩ E2 = {0}, esto es, si E = E1 ⊕ E2.
Proposición 2.2. Sean E1 y E2 subespacios de E. Las proposiciones siguientes son equiva-
lentes:
(a) E1 y E2 son subespacios suplementarios.
(b) Todo vector de E se expresa de modo único como suma de uno de E1 y otro de E2.
(c) Si {u1, . . . , um} es una base de E1 y {v1, . . . , vs} es una base de E2 los vectores
{u1, . . . , um, v1, . . . , vs} forman una base de E.
Demostración.
(a) ⇒ (b)
Por hipótesis E = E1 + E2, luego para todo e ∈ E es e = u + v, con u ∈ E1 y v ∈ E2.
Esta descomposición es única pues si e = u′ + v′ es otra, resulta que u + v = u′ + v′, luego
u − u′ = v′ − v y por tanto el vector u − u′ = v′ − v ∈ E1 ∩ E2, pero E1 ∩ E2 = {0} y se
deduce que u = u′ y v = v′.
(b) ⇒ (c)
Por hipótesis, todo vector e ∈ E se expresa de modo único como suma de uno u ∈ E1 y otro
v ∈ E2, e = u+ v.
Si {u1, . . . , um} es una base de E1, u ∈ E1 se expresa de modo único como combinación lineal
u = λ1u1 + · · ·+ λmum. Análogamente, si v ∈ E2 es v = µ1v1 + · · ·+ µmvs, con los escalares
µi únicos, siendo {v1, . . . , vs} una base de E2.
Aśı, se deduce que todo vector e ∈ E se expresa de modo único como combinación lineal
e = λ1u1 + · · ·+ λmum + µ1v1 + · · ·+ µmvs, luego por el teorema de caracterización de una
base los vectores {u1, . . . , um, v1, . . . , vs} forman una base de E.
(c) ⇒ (a)
Si {u1, . . . , um} es una base de E1 y {v1, . . . , vs} es una base de E2, por definición de suma,
los vectores {u1, . . . , um, v1, . . . , vs} generan E1 + E2 y como por hipótesis estos vectores
forman una base de E, resulta que E1 + E2 = E. Por último, de la fórmula de dimensión,
dimk(E1 +E2) = dimk E1 + dimk E2 − dimk(E1 ∩E2), resulta que dimk(E1 ∩E2) = 0, luego
E1 ∩ E2 = {0}. �
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Ejemplo 2.3.
• Los subespacios de R3 E1 = 〈(1, 2,−1), (3, 1, 2)〉 y E2 = 〈(0, 1, 1), (1,−1, 1)〉 no son suple-
mentarios, pues dimRE1 + dimRE2 = 2 + 2 6= 3 = dimR R3.
• Los planos E1 = 〈u1 = (1, 0,−1, 0), u2 = (0, 1, 1, 2)〉 y E2 = 〈v1 = (−1, 0, 1, 1), v2 = (1,−1, 1, 2)〉
son suplementarios, pues {u1, u2, v1, v2} es una base de R4 ya que rg(u1, u2, v1, v2) = 4.
• Un subespacio suplementario del plano V = 〈v1 = (1, 0,−1), v2 = (0, 1, 1)〉 es la recta
V ′ = 〈u = (2, 1,−2)〉, pues rg(v1, v2, u) = 3. La recta 〈u1 = (0, 2, 4)〉 es otro subespacio
suplementario del plano V .
• Los subespacios de M(n, k) de las matrices simétricas, S(n, k) = {A ∈M(n, k) : A = At},
y de las matrices hemisimétricas, H(n, k) = {A ∈ M(n, k) : A = −At}, son suplementarios
pues toda matriz cuadrada A descompone de modo único en la forma A = 1
2
(A+At)+ 1
2
(A−
At), siendo1
2
(A+ At) una matriz simétrica y 1
2
(A− At) una matriz hemisimétrica.
3. Problemas propuestos
1. Sea E el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3 y sean
E1 = {p(x) ∈ E : p(0) = 0} y E2 = {p(x) ∈ E : p′(0) = 0}.
(a) Demostrar que E1 y E2 son subespacios de E.
(b) Calcular una base y la dimensión de cada uno de los subespacios siguientes
E1, E2, E1 + E2, E1 ∩ E2
(c) ¿Son E1 y E2 subespacios suplementarios?
2. Sea F el subespacio de R3 generado por (1, 1,−1) y G el subespacio de ecuaciones
3x− y = 0, 2x+ z = 0. Determinar F ∩G.
3. Determinar en R3 un subespacio suplementario de cada uno de los subespacios engendra-
dos por los siguientes vectores:
(a) v1 = (−3, 1, 0)
(b) v1 = (−1, 2, 1), v2 = (2,−4, 3)
(c) v1 = (−1, 2, 1), v2 = (2, 1,−2), v3 = (1, 1,−1)
4. Dados los subconjuntos de R4
E1 =< (1, 2,−3, 0), (2, 1, 1, 3), (5, 4,−1, 6) > ; E2 = {(x, y, z, t) : x− 2y − z = 0, t = 0}
(a) Demostrar que E1 y E2 son subespacios vectoriales y calcular bases y dimensiones de
los mismos.
(b) Calcular bases y dimensiones de E1 + E2 y E1 ∩ E2.
(c) Calcular un suplementario de E2.
5. Sean E y E ′ dos subespacios de R3 definidos por:
E = {(a, b, c) : a = b = c} , , E ′ = {(0, b, c) : b, c ∈ R}
Demostrar que R3 = E ⊕ E ′.
6. Sean E y E ′ dos subespacios de R3 definidos por: E = {(x, y, z) : x+ y + z = 0}, E ′ =
{(t, 2t, 3t) : t ∈ R} Demostrar que E y E ′ son subespacios suplementarios.
7. Sean E, E ′, E ′′ los subespacios vectoriales de R3
E = {(a, b, c) : a+ b+ c = 0}, E ′ = {(a, b, c) : a = c}, E ′′ = {(0, 0, c)}
Demostrar que R3 = E + E ′, R3 = E + E ′′, R3 = E ′ + E ′′. ¿En qué casos se trata de suma
directa?.
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8. Sea E = M(2,R) el R-espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 con coefi-
cientes en R y sea V el subconjunto de E definido por:
V =
{(
x y
z t
)
∈ E : 2x− y + t = 0, x = z
}
(a) Probar que V es un subespacio vectorial de E y calcular su dimensión y una base.
(b) Calcular las coordenadas de la matriz
(
1 0
1 −2
)
∈ V en la base elegida en el apartado
anterior.
(c) Calcular un suplementario de V .
9. Se considera el espacio R4 y los subespacios E y V generados, respectivamente, por las
parejas de vectores e = (1, 0, 1, 0), e′ = (0, 1, 0, 1) y v = (0, 0, 1, 3) y v′ = (1, 0, 0, 1).
Estudiar si R4 es suma directa de E y V .
10. Sea E1 el subespacio de R3 generado por (2, 3, 1) y E2 el subespacio generado por (0, 1, 2)
y (1, 1, 1). Probar que R3 = E1 ⊕ E2 y expresar el vector generado por (1, 0, 1) ∈ R3 como
suma de un vector de E1 y otro de E2.
11. Sea E = 〈1, x, x2, x3〉 el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a
3 y sea V = {p(x) ∈ E : p(1) = 0} .
(a) Probar que V es un subespacio de E y calcular su dimensión y una base.
(b) Calcular las coordenadas del polinomio x2−3x+2 ∈ V respecto de la base del apartado
anterior.
(c) Encuentra un subespacio suplementario de V .
12. Considérense los siguientes subespacios de R4: E1 =< (1, 0,−1, 0), (2,−1, 2, 0), (3,−2, 3, 0) >
y E2 =< (0, 1, 1, 0), (1, 1, 3, 0), (−2, 1, 1, 1) >.
(a) Calcular bases y dimensiones de E1, E2, E1 + E2, E1 ∩ E2.
(b) ¿Se verifica que R4 = E1 ⊕ E2?
(c) Calcula dos subespacios suplementarios diferentes de E1.
13. Se consideran los subespacios de R4 generados por los siguientes vectores:
E1 =< (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1) >, E2 =< (1,−1, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1) >
Se pide:
(a) Hallar las dimensiones de E1, E2, E1 + E2, E1 ∩ E2.
(b) Estudiar si E1 + E2 = R4.
(c) ¿E1 y E2 son subespacios suplementarios?
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Álgebra lineal y Geometŕıa I
Gloria Serrano Sotelo
Departamento de MATEMÁTICAS
1. Aplicaciones lineales. Núcleo e Imagen. Tipos de aplicaciones lineales.
Sean E y E ′ k-espacios vectoriales.
Definición 1.1. Una aplicación E
T−→ E ′ es lineal si T (e + v) = T (e) + T (v) y T (λe) =
λT (e) o, lo que es equivalente, T (λe+ µv) = λT (e) + µT (v), cualesquiera que sean e, v ∈ E
y λ, µ ∈ k.
Si E
T−→ E ′ es una aplicación lineal la imagen del vector cero es el vector cero:
T (0) = T (0e+ 0v) = 0T (e) + 0T (v) = 0.
Ejemplo 1.2.
• La aplicación
R3 T−→ R2
(x, y, z) 7→ (x+ z + 2, y − z)
No es lineal pues T (0, 0, 0) = (2, 0) 6= (0, 0)
• La aplicación derivada sobre el espacio E de los polinomios en una variable, E D−→ E, es
lineal : D(λp(x) + µq(x)) = λp′(x) + µq′(x) = λD(p(x)) + µD(q(x)).
• La aplicación
R3 T−→ R2
(x, y, z) 7→ (x+ y, z2)
No es lineal ya que T (λ(x, y, z)) no es igual λT (x, y, z) para todo valor de λ.
T (λ(x, y, z)) = T (λx, λy, λz) = (λx+λy, λ2z2) 6= (λx+λy, λz2) = λ(x+y, z2) = λT (x, y, z).
La igualdad se da si λ2 = λ, esto es, sólo para λ = 0, 1
1.1. Núcleo e imagen de una aplicación lineal.
Definición 1.3. Sea E
T−→ E ′ una aplicación lineal, se definen su núcleo, kerT , y su imagen,
ImT , por:
kerT = {e ∈ E : T (e) = 0} ⊆ E
ImT = {e′ ∈ E ′ : e′ = T (e) , para algún e ∈ E} ⊆ E ′
Teorema 1.4. Si E
T−→ E ′ una aplicación lineal, kerT es un subespacio vectorial de E e
ImT es un subespacio vectorial de E ′ y se verifica la fórmula de dimensión:
dimk E = dimk kerT + dimk ImT
Demostración.
• kerT es cerrado por combinaciones lineales:
Si e, v ∈ kerT y λ, µ ∈ k se tiene que T (λe + µv) = λT (e) + µT (v) = 0, lo que prueba que
λe+ µv ∈ kerT .
• ImT es cerrado por combinaciones lineales:
Si T (e), T (v) ∈ ImT y λ, µ ∈ k se tiene que λT (e) +µT (v) = T (λe+µv), lo que prueba que
λe+ µv ∈ ImT .
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• Sea {v1, . . . , vm} una base de kerT .
Ampliemos esta base para formar una base {v1, . . . , vm, em+1, . . . , en} de E.
Tomando imágenes por T , los vectores {T (v1), . . . , T (vm), T (em+1), . . . , T (en)} generan ImT ,
y como T (v1) = · · · = T (vm) = 0 por definición de núcleo, resulta que {T (em+1), . . . , T (en)}
es un sistema de generadores de ImT . Probaremos que {T (em+1), . . . , T (en)} son linealmente
independientes con lo que quedará demostrada la fórmula.
Si λm+1T (em+1) + · · · + λnT (en) = 0, por ser T lineal, T (λm+1em+1 + · · · + λnen) = 0, por
tanto el vector λm+1em+1 + · · · + λnen pertenece a kerT , luego λm+1em+1 + · · · + λnen = 0,
ya que {em+1, . . . , en} generan un suplementario de kerT y como además son linealmente
independientes resulta que λm+1 = · · · = λn = 0. �
Ejemplo 1.5. Sea E el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3.
Calculemos el núcleo y la imagen de las siguientes aplicaciones lineales:
(a) Operador derivada: E
D−→ E, definido por D(p(x)) = p′(x).
(b) E
T−→ R, definida por T (p(x)) =
∫ 1
−1 p(x)dx
kerD = {p(x) ∈ E : p′(x) = 0} = {polinomios constantes} = 〈1〉.
ImD = 〈1, x, x2〉, pues la derivada de un polinomio de grado menor o igual que tres
es un polinomio de grado menor o igual que 2.
ImT es un subespacio vectorial de R y como ImT 6= (0), ha de ser ImT = R = 〈1〉,
luego dim kerT = dimE − dim ImT = 4− 1 = 3.
Calculemos una base del kerT :∫ 1
−1
(a+ bx+ cx2 + dx3)dx = ax+ b
x2
2
+ c
x3
3
+ d
x4
4
]1
−1
= 2a+
2
3
c
luego
kerT = {a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ E : 2a+ 2
3
c = 0} = {a+ bx− 3ax2 + dx3 : a, b, d ∈ R}
= {a(1− 3x2) + bx+ dx3 : a, b, d ∈ R} = 〈1− 3x2, x, x3〉
1.2. Aplicaciones lineales inyectivas, epiyectivas y biyectivas.
Definición 1.6. Sea E
T−→ E ′ una aplicación lineal. T es inyectiva o epiyectiva si como
aplicación de conjuntos lo es, esto es:
• T es inyectiva si siempre que T (e) = T (v) se deduce que e = v, cualesquiera que sean
e, v ∈ E
• T es epiyectiva si ImT = E ′.
T es biyectiva si es a la vez inyectiva y epiyectiva. Las aplicaciones lineales biyectivas se
llaman isomorfismos.
Un endomorfismo de E es una aplicación lineal de E en si mismo, E
T−→ E. Se llaman
automorfismos a los endomorfismos biyectivos.
Ejemplo 1.7.
• Sea V un subespacio vectorial de E, la inclusión natural
V ↪→ E
v 7→ v
esuna aplicación lineal inyectiva.
• Si E representa el espacio vectorial de los polinomios, p(x), de grado menor o igual que
tres y E ′ el de los polinomios de grado menor o igual que dos, la aplicación derivada
E
D−→ E ′
p(x) 7→ p′(x)
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es una aplicación lineal epiyectiva.
• La aplicación identidad
E
Id−→ E
e 7→ e
es un automorfismo de E.
Proposición 1.8. Una aplicación lineal E
T−→ E ′ es inyectiva si y sólo si kerT = {0}.
Demostración.
⇒ Si e ∈ kerT es T (e) = 0, luego T (e) = T (0) pues T (0) = 0. Como T es inyectiva, de
T (e) = T (0) se deduce que e = 0.
⇐ Si T (e) = T (e′), por ser T lineal T (e− e′) = 0, luego e− e′ ∈ kerT , y como kerT = {0}
resulta que e = e′, lo que prueba que T es inyectiva. �
1.3. Operaciones con aplicaciones lineales: Suma, multiplicación por escalares,
composición. Aplicación lineal inversa.
– Dadas aplicaciones lineales E
f−→ E ′ y E g−→ E ′, las aplicaciones suma y multiplicación
por un escalar, definidas repectivamente por
E
f+g−−→ E ′
e 7→ f(e) + g(e)
E
λf−→ E ′
e 7→ λf(e)
son aplicaciones lineales, pues cualesquiera que sean e, v ∈ E y α, µ ∈ k se verifica
(f + g)(αe+ µv) = α(f + g)(e) + µ(f + g)(v) y (λf)(αe+ µv) = α(λf)(e) + µ(λf)(v), como
es fácil comprobar.
El conjunto de las aplicaciones lineales de E en E ′ se representa por Homk(E,E
′) y es un
k-espacio vectorial con las operaciones anteriores.
– La composición de aplicaciones lineales
E
f //
g◦f
66E ′
g // E ′′ E
f //
g◦f A
AA
AA
AA
A E
′
g
��
E ′′
definida, para cada e ∈ E, por (g ◦ f)(e) = g(f(e)), es una aplicación lineal:
(g◦f)(αe+µv) = g(f(αe+µv)) = g(αf(e)+µf(v)) = α(g◦f)(e)+µ(g◦f)(v), ∀e, v ∈ E,α, µ ∈ k .
–Una aplicación E
f−→ E ′ tiene inversa si existe otra aplicación E ′ f
−1
−−→ E tal que
f ◦ f−1 = f−1 ◦ f = Id .
Las aplicaciones biyectivas tienen aplicación inversa y, rećıprocamente, cualquier aplicación
que tiene inversa es biyectiva.
La inversa de una aplicación lineal es también una aplicación lineal.
Ejemplo 1.9. Sea T un endomorfismo del k-espacio vectorial E tal que T 2 = T + I. Pro-
baremos que T es automorfismo y calcularemos T−1 en función de T .
De T 2 = T + I se sigue I = T 2 − T = T (T − I), lo que prueba que T tiene inversa y esta es
T−1 = T − I y por tanto es biyectiva.
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2. Aplicaciones lineales en coordenadas: Matrices
2.1. Matriz asociada a una aplicación lineal.
Dada una aplicación lineal E
T−→ E ′ y bases {e1, . . . , en} de E y {e′1, . . . , e′m} de E ′, existe
una única matriz A = (aij) ∈M(m× n, k) determinada por
T (ej) =
m∑
i=1
aije
′
i , para j = 1, . . . , n
A es la matriz asociada a T respecto de la las bases {e1, . . . , en} de E y {e′1, . . . , e′m} de E ′.
Las columnas de A son las coordenadas de los vectores T (e1), . . . , T (en) respecto de la base
{e′1, . . . , e′m} de E ′.
Si e = x1e1 + · · ·+ xnen y T (e) = x′1e′1 + · · ·+ x′me′m, la expresión en coordenadas de T es
T (x1, . . . , xn) = (x
′
1, . . . , x
′
m) , siendo A ·
x1...
xn
 =
x′1...
x′m
 la expresión matricial del
sistema lineal que T define.
Obsérvese que:
• A es la matriz de coeficientes del sistema lineal anterior y kerT es el subespacio de solu-
ciones del sistema homogéneo asociado.
• Los vectores {T (e1), . . . , T (en)} forman un sistema de generadores del subespacio imagen,
ImT , luego su dimensión coincide con el rango de la matriz A y por tanto la dimensión del
núcleo es la de E menos el rango de A
dimk ImT = rgA , dimk kerT = dimk E − rgA
Ejemplo 2.1. Dada la aplicación lineal
R3 T−→ R4
(x, y, z) 7→ (x− y, x+ 2z, y, y + z)
calculemos su matriz asociada y probemos que T es inyectiva.
A =

1 −1 0
1 0 2
0 1 0
0 1 1
 , rgA = 3⇒ dimR kerT = 3− 3 = 0⇒ kerR T = {0}
Ejemplo 2.2. Sean {e1, e2, e3} una base de E y {e′1e′2, e′3, e′4} una base de E ′ y k = R.
Considérense la aplicación lineal E
T−→ E ′ definida por
T (e1) = e
′
1 + e
′
2 − e′3 , T (e2) = 2e′2 − e′4 , T (e3) = 3e′1 + 3e′2 − 3e′3
calculemos su expresión en coordenadas y bases y dimensiones de ImT y kerT .
La matriz asociada a T , por columnas, es A =
(
T (e1) T (e2) T (e3)
)
=

1 0 3
1 2 3
−1 0 −3
0 −1 0

dimR ImT = rgA = 2 , ImT = 〈T (e1), T (e2)〉 = 〈e′1 + e′2 − e′3, 2e′1 − e′4〉
dimR kerT = dimRE − rgA = 1
kerT ≡
{
x+ 3z = 0
x+ 2y + 3z = 0
kerT = {(−3z, 0, z), z ∈ R} = 〈(−3, 0, 1)〉 = 〈−3e1 + e3〉
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2.2. Matrices asociadas a la suma de aplicaciones lineales y al producto de una
aplicación lineal por un escalar.
Sean A = (aij) y B = (bij) las matrices asociadas a las aplicaciones lineales E
f−→ E ′ y
E
g−→ E ′ respecto de la las bases {e1, . . . , en} de E y {e′1, . . . , e′m} de E ′.
• La matriz asociada a la aplicación lineal suma f + g es la matriz A+B. En efecto:
(f + g)(ej) = f(ej) + g(ej) =
m∑
i=1
aije
′
i +
m∑
i=1
bije
′
i =
m∑
i=1
(aij + bij)e
′
i
• La matriz asociada a la aplicación lineal λf es la matriz λA. En efecto:
(λf)(ej) = λf(ej) = λ
m∑
i=1
aije
′
i =
m∑
i=1
λaije
′
i
2.3. Matriz asociada a la composición de aplicaciones lineales.
E
f //
g◦f
66E ′
g // E ′′
Sea A = (aij) la matriz asociada a f respecto de la las bases {e1, . . . , en} de E y {e′1, . . . , e′m}
de E ′ y sea B = (bij) la matriz asociada a g respecto de la las bases {e′1, . . . , e′m} de E ′ y
{e′′1, . . . , e′′s} de E ′′, esto es:
f(ej) =
m∑
i=1
aije
′
i , para j = 1, . . . , n ; g(e
′
i) =
s∑
k=1
bkie
′′
k , para i = 1, . . . ,m
La matriz asociada a g ◦ f respecto de las bases {e1, . . . , en} de E y {e′′1, . . . , e′′s} de E ′′ es la
matriz producto B · A. En efecto:
(g ◦ f)(ej) = g(f(ej) =
m∑
i=1
aijg(e
′
i) =
m∑
i=1
aij
s∑
k=1
bkie
′′
k =
s∑
k=1
(
m∑
i=1
bkiaij)e
′′
k =
s∑
k=1
(B · A)kje′′k
Ejemplo 2.3. Dadas las aplicaciones lineales
R3 f−→ R2
(x, y, z) 7→ (x− y, y + 2z)
R2 g−→ R3
(x, y) 7→ (x+ y, 2y, x− y)
Calculemos las matrices asociadas a f ◦ g y g ◦ f y la dimensión y una base del subespacio
Im(f ◦ g) de R2 y del subespacio Im(g ◦ f) de R3.
3. Cambios de base
Sea {e1, . . . , en} una base de E, que llamaremos base inicial o antigua, y {ē1, . . . , ēn} otra
base de E, a la que nos referiremos como base nueva. Los vectores ēj de la base nueva
expresados como combinación lineal de los de la base antigua, ēj =
∑n
i=1 bijei, definen la
matriz B = (bij) que expresa el cambio de base en el espacio vectorial E.
La matriz de cambio de base B = (bij) es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de
los vectores de la base nueva en función de los de la antigua.
La aplicación lineal que realiza el cambio de base de matriz B es la aplicación identidad
respecto de las bases {ē1, . . . , ēn} y {e1, . . . , en}.
〈ē1, . . . , ēn〉 = E
IdB−−→ E = 〈e1, . . . , en〉 , IdB(ēj) = ēj =
n∑
i=1
bijei ,
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cuya expresión en coordenadas es B
x̄1...
x̄n
 =
x1...
xn
, siendo e = x̄1ē1+· · ·+x̄nēn y e = x1e1+
· · ·+ xnen las expresiones en coordenadas del vector e respecto de la base nueva y respecto
de la base antigua, coordenadas nuevas (x̄1, . . . , x̄n) y coordenadas antiguas (x1, . . . , xn). Se
obtiene aśı:
3.1. Fórmula del cambio de base para vectores.x̄1...
x̄n
 = B−1
x1...
xn

Ejemplo 3.1. Comprobemos que los polinomios {x− 1, 2− 3x2, x−x3, x3 +x2− 1} forman
una nueva base del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 3, E =
〈1, x, x2, x3〉. Y calculemos la expresión del polinomio p(x) = 3 − x + x2 en función de esa
nueva base.
• det(x− 1, 2− 3x2, x− x3, x3 + x2 − 1) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 2 0 −1
1 0 1 0
0 −3 0 1
0 0 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −2 6= 0
Lo que prueba que {x− 1, 2− 3x2, x− x3, x3 + x2 − 1} es una base de E (base nueva), y la
matriz de cambiode base respecto de la base inicial {1, x, x2, x3} es la matriz cuyas columnas
son las coordenadas de los polinomios {x− 1, 2− 3x2, x−x3, x3 +x2− 1} respecto de la base
{1, x, x2, x3}:
B =

−1 2 0 −1
1 0 1 0
0 −3 0 1
0 0 −1 1

• Si (a, b, c, d) son las coordenadas del polinomio p(x) en la base nueva, como sus coordenadas
iniciales son (3,−1, 1, 0), se tiene:
a
b
c
d
 = B−1

3
−1
1
0
 =

−5
1
4
4

Es decir la expresión de p(x) en la nueva base es:
p(x) = −5(x− 1) + (2− 3x2) + 4(x− x3) + 4(x3 + x2 − 1)
3.2. Cambio de base para aplicaciones lineales.
Sea A la matriz asociada a la aplicación lineal E
T−→ E ′ respecto de las bases {e1, . . . , en} de
E y {e′1, . . . , e′m} de E ′. Efectuemos cambios de base en E y en E ′ de matrices respectivas
B y B′;
〈ē1, . . . , ēn〉 = E
IdB−−→ E = 〈e1, . . . , en〉
〈ē′1, . . . , ē′m〉 = E
IdB−−→ E = 〈e′1, . . . , e′m〉
Si Ā es la matriz de T respecto de las nuevas bases {ē1, . . . , ēn} y {ē′1, . . . , ē′m}, se tiene el
siguiente diagrama conmutativo, del que se deduce la fórmula de cambio de base
E
TA // E ′
E
IdB
OO
TĀ // E ′
IdB′
OO TĀ = Id
−1
B′ ◦ TA ◦ IdB ⇒ Ā = B
′−1 · A ·B
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Es fácil deducir las correspondientes fórmulas cuando sólo se cambia la base de E, Ā = A ·B,
o sólo la de E ′, Ā = B′−1 · A.
En particular, si E
T−→ E un endomorfismo de E, A su matriz asociada respecto de la base
{e1, . . . , en} de E y Ā es la matriz de T respecto de la nueva base {ē1, . . . , ēn}, se tiene:
Fórmula de cambio de base para endomorfismos: Ā = B−1 · A ·B
Ejemplo 3.2. Sea {e1, e2, e3} una base de E y E
T−→ E el endomorfismo de E definido por:
T (e1) = e1 + 2e2 − e3, T (e2) = 2e1 − e3, e3 + e2 ∈ kerT
(a) Averigemos si ImT y kerT son subespacios suplementarios. De e3 + e2 ∈ kerT se
deduce que T (e3) = −T (e2), luego la matriz asociada es A =
 1 2 −22 0 0
−1 −1 1
, y se
tiene:
dimR ImT = rgA = 2 y {T (e1) = (1, 2,−1), T (e2) = (2, 0,−1)} es una base de ImT .
dimR kerT = dimRE − dimR ImT = 1 y {e3 + e2 = (0, 1, 1)} es una base de kerT .
Los vectores {(1, 2,−1), (2, 0,−1), (0, 1, 1)} forman una base de E pues su determi-
nante es no nulo, luego ImT y kerT son subespacios suplementarios.
(b) Calculemos la matriz Ā de T respecto de la base {2e1 + e2, e2 − e3, e1 + e2 − e3}. La
matriz del cambio de base es B =
2 0 11 1 1
0 −1 −1
, luego
Ā = B−1 · A ·B =
1 −2 −11 −6 −4
2 8 7

(c) Sea {e′1, e′2, e′3} una base del espacio vectorial E ′ y E
T ′−→ E ′ la aplicación lineal definida
por
T (e1) = e
′
1 + e2, T (e2) = e
′
1 − e′2, T (e3) = e′2 + e′3
Calculemos la matriz asociada a la composición T ′ ◦ T respecto de las bases
{2e1 + e2, e2 − e3, e1 + e2 − e3} de E y {e′1, e′2, e′3} de E ′.
Las matrices A′ de T ′ y C de T ′◦T respecto de las bases {e1, e2, e3} de E y {e′1, e′2, e′3}
de E ′ son
A′ =
1 1 01 −1 1
0 0 1
 C = A′ · A =
 3 2 −2−2 1 −1
−1 −1 1

La matriz C̄ de T ′ ◦ T respecto de las bases {2e1 + e2, e2 − e3, e1 + e2 − e3} de E y
{e′1, e′2, e′3} de E ′, viene dada por:
E
(T ′◦T )C// E ′
E
IdB
OO
(T ′◦T )C̄
>>}}}}}}}
C̄ = C ·B =
 8 4 7−3 2 0
−3 −2 −3

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4. Problemas resueltos
1. Sea T el endomorfismo de R3 definido por
T (x, y, z) = (x+ y, x+ z, x− y + 2z)
(a) Calcular la dimensión y una base de los subespacios kerT e ImT .
(b) ¿Se verifica que R3 = kerT ⊕ ImT ? En caso afirmativo, calcular las coordenadas del
vector (1, 2, 3) en la nueva base que la identificación anterior define.
(c) Determinar λ para que la imagen del vector e = (λ, 1, 0) pertenezca al subespacio
generado por e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0).
Solución. Las ecuaciones del endomorfismo y su matriz asociada respecto de la base {e1, e2, e3}
son, respectivamente:
x+ y = x̄
x+ z = ȳ
x− y + 2z = z̄
 A = (T (e1), T (e2), T (e3)) =
1 1 01 0 1
1 −1 2

Como T (e3) = T (e1)− T (e2) es rgA = 2.
(a) dim(ImT ) = rgA = 2 e ImT = 〈T (e1), T (e2)〉.
dim(kerT ) = 3− rgA = 1
kerT = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = 0, x+ z = 0} = 〈(1,−1,−1)〉
(b) kerT es un subespacio suplementario de ImT pues
det(T (e1), T (e2), ē3) =
∣∣∣∣∣∣
1 1 1
1 0 −1
1 −1 −1
∣∣∣∣∣∣ = −2 6= 0 .
Si escribimos ē1 = T (e1), ē2 = T (e2), ē3 = ē3, la matriz B del cambio de base es
B =
1 1 11 0 −1
1 −1 −1

y las coordenadas del vector (1, 2, 3) en la nueva base son:x̄ȳ
z̄
 = B−1 ·
12
3
 =
 2−1
0
 .
(c) (λ+ 1, λ, λ− 1) = T (e) ∈ 〈e1, e2〉 precisamente si rg(T (e), e1, e2) = 2, es decir, si:
0 = det(T (e), e1, e2) =
∣∣∣∣∣∣
λ+ 1 1 0
λ 0 1
λ− 1 0 0
∣∣∣∣∣∣ = λ− 1 =⇒ λ = 1 .
2. Calcular la matriz asociada a la aplicación lineal
R3 T−→ R2
(x, y, z) 7→ (x+ 3y − 2z, y − z)
en las bases {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} de R3 y {ū1 = (1,−1), ū2 = (1, 1)}
de R2.
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Solución. La aplicación T viene dada en coordenadas, por tanto referida a dos bases prefi-
jadas {e1, e2, e3} de R3 y {u1, u2} de R2. La matriz de T en estas bases es la matriz cuyas
columnas son las coordenadas de los vectores T (e1), T (e2), T (e3) en la base {u1, u2},
A =
(
1 3 −2
0 1 −1
)
.
La matriz pedida es la matriz Ā asociada a T en las bases {e1, e2, e3} y {ū1, ū2}. De modo
que, si B = ( 1 1−1 1 ) es la matriz del cambio de base en R2, del diagrama conmutativo:
R3
TA //
TĀ B
BB
BB
BB
B R2
R2
IdB
OO
resulta B · Ā = A, luego:
Ā = B−1 · A = 1/2
(
1 −1
1 1
)(
1 3 −2
0 1 −1
)
Ā =
(
1/2 1 −1/2
1/2 2 −3/2
)
.
3. Sea E el R-espacio vectorial de los polinomios p(x) ∈ R[x] de grado menor que 3. Se
define una aplicación E
T−→ E por:
T (p(x)) = p(0) + p′(0)(x− 1) + p′′(0)(x− 1)2
(a) Probar que T es lineal y calcular su matriz en la base {1, x, x2} de E.
(b) Es T un isomorfismo?. Razónese la respuesta.
Solución.
(a) T es lineal, en efecto:
T (λp+ µq) = (λp+ µq)(0) + (λp+ µq)′(0)(x− 1) + (λp+ µq)′′(0)(x− 1)2
= λp(0) + µq(0) + λp′(0)(x− 1)
+ µq′(0)(x− 1) + λp′′(0)(x− 1)2 + µq′′(0)(x− 1)2
= λT (p) + µT (q) .
Por otra parte, la matriz de T en la base {1, x, x2} tiene por columnas las coordenadas en
esta base de los vectores T (1) = 1, T (x) = x− 1, T (x2) = 2(x− 1)2,
A =
1 −1 20 1 −4
0 0 2
 .
(b) Como rgA = 3, pues det(A) 6= 0, se tiene que dim ImT = 3 = dimRE, luego T es
epiyectiva. De la fórmula de la dimensión dimRE = dimR kerT + dimR ImT se sigue que
kerT = {0} y en consecuencia T también es inyectiva.
4. Hallar las ecuaciones de la tranformación lineal T de R3 tal que:
(a) La restricción de T al plano π ≡ x+ y + z = 0 es una homotecia de razón 3.
(b) T deja invariante la recta r
2x+ 4y + 3z = 0
x+ 2y + z = 0
}
(c) T (0, 0,−1) = (10,−5,−3)
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Solución. El plano π y la recta r son subespacios suplementarios, pues π ∩ r = {0} ya que
el sistema lineal determinado por sus ecuaciones tiene determinante no nulo. Por tanto, si
elegimos como base (nueva) en R3 {ē1, ē2, ē3}, siendo 〈ē1, ē2〉 = π y 〈ē3〉 = r bases respectivas
de π y r, la matriz asociada a T en esta base es:
Ā =
3 0 00 3 0
0 0 λ
 ,
pues por la condicin (a) es T (ē1) = 3ē1, T (ē2) = 3ē2 y de la condicin (b) se deduce que
T (ē3) = λē3 para algn λ ∈ R.
Calculemos bases de π y r:
π = 〈ē1 = (1, 0,−1), ē2 = (0, 1,−1)〉 ; r = 〈ē3 = (−2, 1, 0)〉 .
Por ltimo, el λ de la matriz Ā se determina imponiendo la condicin (c), pero para ello hay
que efectuar previamente un cambio de base. Si A es la matriz de T en la base antigua y B
es la matriz del cambio de base es:
A = B · Ā ·B−1 =
 1 0 −20 1 1
−1 −1 0
3 0 00 3 0
0 0 λ
−1 −2 −21 2 1
−1 −1 −1

=
−3 + 2λ −6 + 2λ −6 + 2λ3− λ 6− λ 3− λ
0 0 3

y aplicando(c)
A ·
 00
−1
 =
10−5
−3
 , resulta λ = −2 .
Y las ecuaciones de Tson:
A ·
xy
z
 =
x̄ȳ
z̄
 −7x− 10y − 10z = x̄5x+ 8y + 5z = ȳ
3z = z̄
5. Problemas propuestos
1. Sea R3 f−→ R2 la aplicación definida por:
f(x, y, z) = (x− y + z, x+ y − z)
Probar que es una aplicación lineal y calcular bases y dimensión del núcleo y la imagen. ¿Es
epiyectiva?
2. Sea T : R3 → R3 la aplicación definida por:
T (x, y, z) = (y − z,−x+ 4z, y + z)
Probar que es una aplicación lineal. Hallar el núcleo y la imagen. ¿Es un isomorfismo?
3. Sea E el espacio vectorial de los polinomios de grado menor que 4. Se define la aplicación
T : E → E por T (p(x)) = (x− 1)p′(x), siendo p′(x) la derivada del polinomio p(x).
(a) Demostrar que T es lineal. Calcular su núcleo y su imagen.
(b) Calcular los polinomios p(x) tales que T (p(x)) = p(x).
4. Sea T ∈ Endk(E). Pruébese que el conjunto S de vectores que permanecen invariantes
forman un subespacio vectorial.
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5. Sobre el espacio vectorial E de las matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes reales,
se considera la aplicación T : E → E definida por:
T
(
a b
c d
)
=
(
5a− 3b 6a− 4b
−a+ 9
2
b+ 3c− 2d 6a− 3b− d
)
Probar que T es lineal y calcular su núcleo y su imagen.
6. Sea f ∈ Endk(E) tal que f 2 = Id. Pruébese que los subconjuntos E+ y E− de E definidos
por E+ = {x ∈ E : f(x) = x}, E− = {x ∈ E : f(x) = −x} son subespacios de E y se verifica
E = E+ ⊕ E−.
Utiĺıcese lo anterior para demostrar que toda función real de variable real es suma, de manera
única, de una función par más una impar.
7. Sea T un endomorfismo idempotente, T 2 = T , del espacio vectorial E. Pruébese que la
imagen de T está formada por los vectores invariantes por T y conclúyase que
E = kerT ⊕ ImT
8. Calcular la matriz asociada a la aplicación lineal
f : R3 → R2
(x, y, z) 7→ (x+ 3y − 2z, y − z)
en las bases {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} de R3 y {(1,−1), (1, 1)} de R2.
9. Para cada número real θ, sea τθ : R3 → R3 la aplicación definida por la fórmula:
τθ(x, y, z) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ, z)
(a) Pruébese que τθ es un automorfismo del espacio vectorial R3 y hállese su matriz en la
base estándar del espacio.
(b) Interprétese geométricamente la aplicación τθ y calcúlense sus subespacios invariantes.
10. Considérese la aplicación lineal f : R3 → R3 definida por f(x, y, z) = (2x + y,−z, 0).
Calcular su matriz y a partir de ella:
(a) Determinar ker f y hallar una base de dicho subespacio.
(b) Hallar Imf y el rango de f .
(c) ¿Pertenece (6,−2, 0) al ker f?.
11. Sea E el espacio vectorial de las matrices reales de la forma
(
0 a
b c
)
con a+ b+ c = 0.
Calcular una base de E y respecto de la misma calcular la matriz del endomorfismo T : E →
E definido por: (
0 a
b c
)
7→
(
0 a− 2b
2b− 3c 3c− a
)
Deducir de lo anterior bases de kerT e ImT .
12. Hallar la matriz de una aplicación lineal f : R3 → R3 definida por las condiciones:
(a) f(1, 0, 0) es proporcional a (0, 0, 1).
(b) f 2 = f .
(c) ker f = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ z = 0}.
¿Es f única?.
13. Sea T : R3 → R3 el endomorfismo T (x, y, z) = (y − z, z − x, x− y). Se pide:
(a) Calcular la matriz de T en la base ordinaria.
(b) Calcular la matriz de T en la base e1 = (0, 1, 1), e2 = (1, 0, 1), e3 = (−1, 0, 0).
(c) Hallar una base de kerT , ImT , precisando sus dimensiones.
(d) Calcular una base de kerT 2. ¿Coincide este núcleo con el de T?. Razónese la respuesta.
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14. Sea T : R3 → R3 la aplicación lineal definida por:
T (x, y, z) = (x+ y + z, x+ 2y, z − y)
(a) Calcular la matriz asociada a T y con ella encontrar kerT , ImT , kerT 2 e ImT 2.
(b) Hallar bases de dichos subespacios vectoriales.
15. Sea E un espacio vectorial de dimensión 3 y {e1, e2, e3} una base del mismo. Un endo-
morfismo T de E verifica que:
T (e1) = e1 + e2, T (e3) = e3, kerT =< e1 + e2 >
Deducir la matriz de T y calcular ImT , kerT 2 y kerT 3.
16. Sea T una aplicación lineal y sean V y V ′ subespacios vectoriales de E y E ′ respectiva-
mente. Demostrar que
(a) Imagen de V = {e′ ∈ E ′ : e′ = T (v) para algún v ∈ V } es un subespacio vectorial de
E ′, el subespacio imagen de V por la aplicación T , que representaremos por T (V ).
(b) Antiimagen de V’ = {e ∈ E : T (e) ∈ V ′} es un subespacio vectorial de E, el subespacio
antiimagen de V ′ por la aplicación T , que representaremos por T−1(V ).
(Observa que T (E) = ImT y T−1(0) = kerT )
17. Sea E el espacio vectorial de los polinomios p(x) ∈ R[x] de grado menor o igual que 4.
Se define f : E → E, T (p(x)) = p′(x).
(a) Probar que T es una aplicación lineal.
(b) Calcular T−1(3x2 − 1).
(c) Calcular bases y dimensin de kerT e ImT .
18. Calcular la matriz de la aplicación lineal T : R3 → R3 tal que T (1, 0, 0) = (0, 1, 0) y cuyo
núcleo está generado por los vectores (0, 1, 1), (1, 0, 1), (2, 1, 3).
19. Sea E un R-espacio vectorial de dimensión 4 y {e1, e2, e3, e4} una base del mismo. Dado
el endomorfismo T de E definido por:
T (e1) = e1 − e2, T (e2) = e2 − e3 + e4, T (e3) = e1 − e3 + e4, e1 + e4 ∈ kerT
Calcular la matriz de T y deducir bases de kerT e ImT . ¿Se verifica que E = kerT ⊕ImT?.
20. Sea E =< x, sinx, cosx >. Calcular la matriz del endomorfismo T : E → E definido por
T (f(x)) = f(0)x+ f ′(0) sinx+ f ′′(0) cosx
en una base de E. Decidir si T es isomorfismo.
21. Dado el endomorfismo T : E3 → E3 cuya matriz es A =
−2 4 21 λ λ
−1 2 1
, demostrar que
para cualquier valor de λ la dimensión del subespacio imagen es 2. Hallar el núcleo y la
imagen para λ = −2.
22. Considérese el endomorfismo T de R3 definido por
T (x, y, z) = ((m− 2)x+ 2y − z, 2x+my + 2z, 2mx+ 2(m− 1)y + (m+ 1)z)
A partir de su matriz, demuéstrese que la dimensión del núcleo es 0 excepto para valores
particulares de m. Para dichos valores, estudiar T .
23. Sea B = {u1, u2, u3} una base del espacio vectorial E.
(a) Probar que los vectores u′1 = 2u1− u2 + u3, u′2 = u1 + u3, u′3 = 3u1− u2 + 3u3 forman
una base de E.
(b) Calcular las coordenadas del vector u = u1 − 4u3 en la base de (a).
(c) Hallar las coordenadas respecto de la base inicial del vector v = −2u′1 + 3u′2 + u′3.
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24. Sea T el endomorfismo de R3 cuya matriz en la base {e1, e2, e3} es
 2 −1 41 0 3
−1 2 2
. Hallar
la matriz de T en la base {e′1, e′2, e′3} siendo:
e1 = e
′
1, e2 =
1
2
e′2, e3 = e
′
3 + e
′
1 −
1
2
e′2
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Universidad de Salamanca Gloria Serrano SoteloDepartamento de MATEMÁTICAS
1. Espacio vectorial dual. Base dual. Funciones coordenadas
Sea E un k-espacio vectorial.
El conjunto E∗ de las aplicaciones lineales de E en k, E∗ = {E ω−→ k lineales }, es un k-
espacio vectorial respecto de la suma de aplicaciones lineales y del producto de una aplicación
lineal por un escalar.
E∗ se llama espacio dual de E y los elementos de E∗ se llaman formas lineales.
Teorema 1.1. (Base dual) Si {e1, . . . , en} es una base de E , las n formas lineales
{ω1, . . . ωn} definidas por ωi(ej) = δij =
{
1 si i = j
0 si i 6= j
, para 1 ≤ i, j ≤ n, forman una
base de E∗, la base dual de {e1, . . . , en}. En particular, dimk E∗ = dimk E
Demostración.
• {ω1, . . . ωn} generan E∗.
Sea ω ∈ E∗ y ω(ei) = λi ∈ k para i = 1 . . . n.
La forma lineal λ1ω1 + · · · + λnωn coincide con ω sobre la base {e1, . . . , en}, (λ1ω1 + · · · +
λnωn)(ei) = λi = ω(ei), luego λ1ω1 + · · · + λnωn = ω, pues dos aplicaciones lineales que
coinciden sobre todos los vectores de una base son iguales.
• {ω1, . . . ωn} son linealmente independientes.
Si λ1ω1 + · · ·+λnωn = 0, para todo i = 1 . . . n se verifica que (λ1ω1 + · · ·+λnωn)(ei) = λi =
0. �
Las formas lineales ωi son las funciones coordenadas sobre E, esto es, si e = x1e1 + · · ·+xnen
es ωi(e) = xi.
Por otra parte, si e = x1e1 + · · ·+xnen y ω = p1ω1 + · · ·+ pnωn se tiene:
ω(e) = x1p1 + · · ·+ xnpn
2. Morfismo traspuesto
Dada una aplicación lineal E
T−→ E ′, para cada θ ∈ E ′∗ la aplicación lineal E θ◦T−−→ k es una
forma lineal θ ◦ T ∈ E∗, lo que permite definir una aplicación
E ′∗
T ∗−→ E∗
θ 7→ θ ◦ T
que es lineal: T ∗(λθ + µθ′) = (λθ + µθ′) ◦ T = λ(θ ◦ T ) + µ(θ′ ◦ T ) = λT ∗(θ) + µT ∗(θ′).
T ∗ es la aplicación lineal traspuesta o morfismo traspuesto de T .
Proposición 2.1. Si A es la matriz asociada al morfismo E
T−→ E ′ respecto de las bases
{e1, . . . , en} de E y {e′1, . . . , e′m} de E ′, la matriz asociada al morfismo traspuesto E ′∗
T ∗−→ E∗
respecto de las bases duales {ω′1, . . . , ω′n} de E ′∗ y {ω1, . . . , ωn} de E∗ es la matriz traspuesta
de A.
Demostración. Si B = (bij) es la matriz de T
∗ en las bases duales y A = (aij) la matriz de
T en las bases dadas, se tiene:
T ∗(ω′j) =
n∑
i=1
bijωi ⇒ bij = T ∗(ω′j)(ei) = ω′j(T (ei)) = ω′j(
m∑
k=1
akie
′
k) =
m∑
k=1
akiω
′
j(e
′
k) = aji
�
1
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Ejemplo 2.2. Dada la aplicación lineal
R4 T−→ R3
(x, y, z, t) 7→ (x− 2y + t, y + z, x− t)
Calculemos bases y dimensión de ImT ∗ y kerT ∗, siendo (R3)∗ T
∗
−→ (R4)∗ su morfismo tras-
puesto.
A =
1 −2 0 10 1 1 0
1 0 0 −1
⇒ At =

1 0 1
−2 1 0
0 1 0
1 0 −1
 , rgAt = dim ImT ∗ = 3⇒ dim kerT ∗ = 3−3 = 0
Se deduce:
ImT ∗ = {(1,−2, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 0, 0,−1)} , kerT ∗ = {0}
3. Cambio de base en el dual
Sea {e1, . . . , en} una base de E y {ω1, . . . , ωn} su base dual en E∗. Y sean {ē1, . . . , ēn} otra
base de E (base nueva de E) y {ω̄1, . . . , ω̄n} su base dual (base nueva de E∗). Si representamos
por B la matriz del cambio de base en E y por B∗ la matriz de cambio de base en E∗, se
verifica:
B∗ = (Bt)−1
En efecto:
La aplicación que realiza el cambio de base de matriz B es
〈ē1, . . . , ēn〉 = E
IdB−−→ E = 〈e1, . . . , en〉
y su morfismo traspuesto
〈ω1, . . . , ωn〉 = E∗
IdBt−−→ E∗ = 〈ω̄1, . . . , ω̄n〉
es preciasamente el inverso del morfismo del cambio de base en E∗ de matriz B∗, (IdBt)
−1 =
IdB∗ , luego B
∗ = (Bt)−1.
• Cambio de base para formas lineales
Si ω = p1ω1 + · · · + pnωn = p̄1ω̄1 + · · · + p̄nω̄n, esto es, (p1, . . . , pn) son las coordenadas
antiguas de ω y (p̄1, . . . , p̄n) sus coordenadas nuevas , se tiene:p̄1...
p̄n
 = (B∗)−1 ·
p1...
pn
⇔
p̄1...
p̄n
 = Bt ·
p1...
pn
⇔ (p̄1 . . . p̄n) = (p1 . . . pn) ·B
Ejemplo 3.1. Sea {e1, e2, e3} una base del R-espacio vectorial E y {ω1, ω2, ω3} su base dual.
(a) Probar que los vectores ē1 = e1− e2, ē2 = e1 + 2e2 + e3 y ē3 = e1 + e2 forman una nueva
base de E y calcular su base dual {ω̄1, ω̄2, ω̄3}.
(b) Calcular la expresión de la forma lineal ω = 3ω1 + 2ω2 en la base {ω̄1, ω̄2, ω̄3}
Solución
(a) |B| =
∣∣∣∣∣∣
1 1 1
−1 2 1
0 −1 0
∣∣∣∣∣∣ = 2 6= 0⇒ {ē1, . . . , ēn} es una base de E y B es la matriz del cambio de base.
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B∗ = (Bt)−1 =
1
|B|
AdjB =
1
2
 1 0 1−1 0 1
−1 2 3
⇒

ω̄1 =
1
2
ω1 −
1
2
ω2 −
1
2
ω3
ω̄2 = −ω3
ω̄3 =
1
2
ω1 +
1
2
ω2 +
3
2
ω3
, pues las colum-
nas de B∗ son las coordenadas de las formas lineales de la nueva base {ω̄1, ω̄2, ω̄3} de E∗
respecto de la base {ω1, ω2, ω3}.
(b)
(
3 2 0
)
·B =
(
1 7 5
)
⇒ ω = ω̄1 + 7ω̄2 + 5ω̄3.
4. Espacio bidual. Teorema de Reflexividad
El espacio bidual, E∗∗, es el dual del espacio dual E∗:
E∗∗ = {E∗ −→ k lineales} , dimk E∗∗ = dimk E∗ = dimk E .
Teorema 4.1. (Reflexividad). Si E es un k-espacio vectorial de dimensión finita, la apli-
cación E
φ−→ E∗∗ definida por φ(e)(ω) = ω(e), para cada e ∈ E y ω ∈ E∗, es un isomorfismo.
Demostración.
• φ es lineal.
φ(λe+µe′)(ω) = ω(λe+µe′) = λω(e)+µω(e′) = λφ(e)(ω)+µφ(e′)(ω) = (λφ(e)+µφ(e′))(ω),
para toda ω ∈ E∗.
• φ es inyectiva.
Si e ∈ kerφ es φ(e) = 0, luego φ(e)(ω) = ω(e) = 0 para toda ω ∈ E∗. En particular, si
{ω1, . . . , ωn} es la base dual de la base {e1, . . . , en} en la que las coordenadas del vector e
son (x1, . . . , xn), resulta que ωi(e) = xi = 0 para i = 1, . . . , n, lo que prueba que e = 0.
• φ es epiyectiva pues es inyectiva y dimk E∗∗ = dimk E. �
Observación. El teorema de Reflexividad permite identificar los vectores de E como elementos
del espacio bidual E∗∗ en el modo e(ω) = ω(e). De manera que si {ω1, . . . , ωn} son las
funciones coordenadas sobre E, los vectores {e1, . . . , en} de su base dual se pueden entender
como las funciones coordenadas sobre el espacio dual E∗.
5. Subespacio incidente. Dimensión. Propiedades
Sea V un subespacio de E. Se define el siguiente subconjunto de E∗:
V 0 = {ω ∈ E∗ : ω(v) = 0 , para todo v ∈ V }
Teorema 5.1. V 0 es un subespacio de E∗, el subespacio incidente con V , y su dimensión
es:
dimk V
0 = dimk E − dimk V
Demostración.
1) V 0 es cerrado por combinaciones lineales.
Si ω, ω′ ∈ V 0 y λ, µ ∈ k, para cada v ∈ V se tiene: (λω + µω′)(v) = λω(v) + µω′(v) = 0 ⇒
λω + µω′ ∈ V 0.
2) Construyamos una base de V 0.
Sea {v1, . . . , vm} una base de V . Ampliemos esta base para formar una base {v1, . . . , vm, em+1, . . . , en}
de E y sea {θ1, . . . , θm, θm+1, . . . , θn} su base dual.
Probaremos que las n−m formas lineales {θm+1, . . . , θn} forman una base de V 0:
{θm+1, . . . , θn} están en V 0, ya que θm+1(vi) = 0, . . . , θn(vi) = 0, para i = 1, . . . ,m,
pues {θ1, . . . , θm, θm+1, . . . , θn} es la base dual de {v1, . . . , vm, em+1, . . . , en}.
{θm+1, . . . , θn} generan V 0.
Si ω ∈ V 0 ⊆ E∗ es ω = λ1θ1 + · · · + λmθm + λm+1θm+1 + · · · + λnθn y como
ω(v) = 0 para todo v ∈ V , se tiene que ω(vi) = λi = 0 para i = 1, . . . ,m. Luego
ω = λm+1θm+1 + · · ·+ λnθn.
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{θm+1, . . . , θn} son linealmente independientes pues forman parte de una base.
�
Proposición 5.2. Propiedades del incidente.
(1) E0 = {0} , {0}0 = E∗.
(2) Si E1 y E2 son subespacios de E tales que E1 ⊆ E2 se verifica E01 ⊇ E02 .
(3) Si V es un subespacio de E, V 00 = V .
(4) Si E1 y E2 son subespacios de E se verifica:
(E1 + E2)
0 = E01 ∩ E02 , (E1 ∩ E2)0 = E01 + E02
(5) Si E = E1 ⊕ E2 también E∗ = E01 ⊕ E02
(6) Si E
T−→ E ′ es una aplicación lineal y E ′∗ T
∗
−→ E∗ su morfismo traspuesto, se verifica:
kerT ∗ = (ImT )0 , ImT ∗ = (kerT )0
Demostración.
(1) dimk E
0 = dimk E − dimk E = 0⇒ E0 = {0}.
{0}0 ⊆ E∗ y dimk{0}0 = dimk E − 0 = dimk E∗ ⇒ {0}0 = E∗.
(2) Si ω ∈ E02 es ω(e2) = 0 para todo e2 ∈ E2 y como E1 ⊆ E2 también es ω(e1) = 0 para
todo e1 ∈ E1, luego ω ∈ E01 .
(3) Si e ∈ V para toda ω ∈ V 0 es ω(e) = 0 y por reflexividad e(ω) = 0, luego e ∈ V 00,
aśı V ⊆ V 00 y como dimk V 00 = dimk E∗− dimk V 0 = dimk E∗− dimk E− dimk V = dimk V
es V = V 00.
(4)
E1 ⊆ E1 + E2 ⇒ E01 ⊇ (E1 + E2)0
E2 ⊆ E1 + E2 ⇒ E02 ⊇ (E1 + E2)0
}
⇒ (E1 + E2)0 ⊆ E01 ∩ E02
Por otra parte, para cada ω ∈ E01∩E02 ⇒
{
ω ∈ E01 ⇒ ω(e1) = 0 ,∀e1 ∈ E1
ω ∈ E02 ⇒ ω(e2) = 0 , ∀e2 ∈ E2
}
, luego ω(e1+
e2) = 0 para todo e1 + e2 ∈ E1 + E2 y por tanto ω ∈ (E1 + E2)0, lo que prueba que
E01 ∩ E02 ⊆ (E1 + E2)0 y aśı (E1 + E2)0 = E01 ∩ E02 .
(5) Si E = E1 ⊕ E2 ⇒
{
E = E1 + E2 ⇒ E0 = (E1 + E2)0 ⇒ {0} = E01 ∩ E02
E1 ∩ E2 = {0} ⇒ (E1 ∩ E2)0 = {0}0 ⇒ E01 + E02 = E∗
}
, luego
E∗ = E01 ⊕ E02 .
(6)
(ImT )0 = {ω′ ∈ E ′∗ : ω′(T (e)) = 0 ,∀e ∈ E} = {ω′ ∈ E ′∗ : T ∗ω′ = 0} = kerT ∗
ImT ∗ = {ω ∈ E∗ : ω = T ∗\ω′ = ω′ ◦ T} == {ω ∈ E∗ : ω(e) = 0 ,∀e ∈ kerT} = (kerT )0
�
6. Ecuaciones paramétricas e impĺıcitas de un subespacio
Sea V un subespacio de E y {v1, . . . , vm} una base de V . Para todo e ∈ V se tiene:
Ecuación paramétrico vectorial de V : e = λ1v1 + · · ·+ λmvm, para ciertos λi ∈ k.
Si se expresa esa ecuación en coordenadas respecto de una base de E, e = (x1, . . . , xn),
vj = (a1j, . . . , anj), se obtienen unas ecuaciones paramétricas de V :
x1 = λ1a11 + · · ·+ λma1m
...
...
...
xn = λ1an1 + · · ·+ λmanm
http://ocw.usal.es/ensenanzas-tecnicas/algebra-lineal-y-geometria-i/descargar-curso-completo/viewDe la ecuación paramétrico vectorial se sigue que la matriz cuyas columnas son las coorde-
nadas de los vectores e, v1, . . . , vm, respecto de una base de E, tiene rango m,
rg(e, v1, . . . , vm) = m, para todo e ∈ V .
De modo que, elegido un menor de orden m no nulo, esta condición equivale a la anulación
de n − m menores de orden m + 1, que dan el número mı́nimo de ecuaciones linealmente
independientes que definen unas ecuaciones impĺıcitas de V .
Ejemplo 6.1. Sea V el subespacio de R4 generado por los vectores {v1 = (1, 0, 1, 1), v2 =
(0, 1, 1, 1), v3 = (1,−1, 0, 0)}. Calculemos unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones
impĺıcitas de V .
dimV = rg(v1, v2, v3) = 2, V = 〈v1, v2〉.
• Ecuación paramétrico vectorial de V : e = λv1 + µv2, para todo e ∈ V .
• Ecuaciones paramétricas

x = λ
y = µ
z = λ+ µ
t = λ+ µ
.
• Ecuaciones impĺıcitas
rg

x 1 0
y 0 1
z 1 1
t 1 1
 = 2⇒

∣∣∣∣∣∣
x 1 0
y 0 1
z 1 1
∣∣∣∣∣∣⇒ −x− y + z = 0∣∣∣∣∣∣
x 1 0
y 0 1
t 1 1
∣∣∣∣∣∣⇒ −x− y + t = 0

7. Subespacio incidente y ecuaciones impĺıcitas
Sea V un subespacio de E de dimensión m.
Por reflexividad se tiene:
V = {e ∈ E : e(ω) = ω(e) = 0 para todo ω ∈ V 0}
Luego si se conoce una base del subespacio incidente con V , V 0 = 〈θ1, . . . , θn−m〉, el subes-
pacio V queda determinado por las n−m escuaciones:
V = {e ∈ E : θ1(e) = · · · = θn−m(e) = 0} ,
que en coordenadas respecto de una base de E y su base dual dan unas ecuaciones impĺıcitas
de V .
Ejemplo 7.1. Sean {e1, e2, e3, e4} una base de E y {ω1, ω2, ω3, ω4} su base dual. Si V es el
subespacio de E del que se conoce una base {θ1 = 2ω1− 3ω3 +ω4, θ2 = ω1− 2ω2 +ω3− 3ω4}
de su subespacio incidente V 0, unas ecuaciones impĺıcitas de V son:
θ1(e) = 0
θ2(e) = 0
}
e=xe1+ye2+ze3+te4−−−−−−−−−−−−→
{
2x− 3z + t = 0
x− 2y + z − 3t = 0
Rećıprocamente si se conocen unas ecuaciones impĺıcitas del subespacio V se tiene automáti-
camente una base de su subespacio incidente V 0.
V ≡
{
x− y + 2t = 0
2y − 3z = 0
}
⇒ V 0 = 〈ω1 − ω2 + 2ω4, 2ω2 − 3ω3〉 .
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8. Problemas propuestos
1. Sean {e1, e2, e3} una base de E y {ω1, ω2, ω3} su base dual. Probar que las formas lineales
ω̄1 = 2ω1− 3ω2, ω̄1 = ω1 +ω2−ω3 y ω̄1 = ω2 +ω3 forman una base de E∗ y calcular su base
dual {ē1, ē2, ē3}
2. Sea E el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 con coeficientes
reales, E = {ax2 + bx+ c : a, b, c ∈ R}.
(a) Demostrar que los polinomios 1 + x2, x+ x2, 1 + x+ x2 forman una base de E.
(b) Sea {ω1, ω2, ω3} la base dual de la base anterior y {ω1, ω2, ω3} la base dual de {1, x, x2}.
Calcular las coordenadas de ω1, ω2, ω3 en la base {ω1, ω2, ω3}.
(c) Considerando el morfismo derivada D : E → E dado por D(p(x)) = p′(x), calcular las
coordenadas de la imagen de ω1 en la base {ω1, ω2, ω3} por el morfismo inducido en
el dual.
3. Sea E un R-espacio vectorial, {e1, e2, e3} una base de E y {ω1, ω2, ω3} su base dual. Sea
T el endomorfismo de E definido por T (x, y, z) = (−3x+ 2y + z, 3x+ y + 5z,−3x− 3z) .
Si T ∗ : E∗ → E∗ es el endomorfismo inducido en el dual, averigua si las formas lineales
T ∗(ω1 + 2ω2), T
∗(2ω1 + ω2), T
∗(ω1 + ω2) forman una base de E
∗.
4. Sea E el espacio vectorial real de todos los polinomios con coeficientes reales de gra-
do menor o igual que 2. Sea {ω1, ω2, ω3} la base dual de la base {1, x, x2}. Se definen las
aplicaciones ω1, ω2, ω3 : E → R por las fórmulas:
ω1(p(x)) =
∫ 1
0
p(x)dx , ω2(p(x)) =
∫ 1
0
xp(x)dx , ω3(p(x)) =
∫ 1
0
x2p(x)dx
Pruébese que {ω1, ω2, ω3} es una base de E∗. Hállense las coordenadas de dichos elementos
respecto de la base {ω1, ω2, ω3}. Determinar en E una base para la cual {ω1, ω2, ω3} sea su
base dual.
5. Sea E1 el subespacio de R4 generado por los vectores e1 = (1, 0, 1, 0), e2 = (2, 5, 4, 0)
y sea E2 el subespacio de R4 generado por los vectores u1 = (0, 5, 5, 0), u2 = (5, 5, 7, 0),
u3 = (−10, 1, 5, 1).
(a) Calcula una base y la dimensión de los subespacios E1, E2 E1 + E2 y E1 ∩ E2.
(b) Halla los subespacios incidentes de los del apartado anterior.
6. En un espacio vectorial de dimensión 5 sea {e1, e2, e3, e4, e5} una base y {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5}
su base dual. Sea F el subespacio generado por los vectores
u1 = e1 + e2 + e3, u2 = e2 − e4, u3 = e3 + 2e4 − e5
Hállese la dimensión de F y calcúlese una base de su espacio incidente.
7. Sea {e1, e2, e3} una base de un R-espacio vectorial E y {ω1, ω2, ω3} su base dual. Dada la
aplicación lineal T : E∗ → E definida por
T (ω1) = e1 − e2, T (ω2) = 2e1 + e2 + e3, T (ω3) = 3e2 + e3
Calcular bases de kerT , ImT , (kerT )◦, (ImT )◦.
8. Hallar las ecuaciones paramétricas e impĺıcitas del subespacio de R4 generado por los
vectores (−2, 2, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (−6, 7, 4, 3).
9. Se consideran los siguientes subespacios de R4 generados por:
E1 =< (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1,−1, 1,−1) >
E2 =< (1, 2, 3, 4), (−1, 0, 1, 3), (0, 1,−1, 2), (1, 2,−1, 4) >
E3 =< (1, 2, 3, 0), (1, 0, 1, 0), (0,−1, 2, 0), (−1, 1, 3, 0) >
Hallar las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones impĺıcitas de dichos subespacios.
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10. Se considera en Q5 el subespacio V determinado por las ecuaciones 2x1−x2+x4−x5 = 0,
4x1 + 2x2 + x5 = 0, 3x2 − x4 + 2x5 = 0. Determinar las ecuaciones paramétricas de V y
calcular un suplementario.
11. Hallar las ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial de R3 definido por 2x−y+z =
0. Deducir una base del mismo y calcular respecto de ella las coordenadas del vector (1, 3, 1).
12. Hallar las ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial de R4 que tiene por ecuacio-
nes impĺıcitas x+ y − z + t = 0, x− y + z = 0.
13. Sean E1 y E2 los siguientes subespacios de R4:
E1 ≡ 〈(1, 1, 1, 0), (0,−1,−1, 0), (2, 1, 1, 0)〉
E2 ≡
{
x+ t = 0
x− y + z + 2t = 0
(a) Calcular bases y dimensiones de E1, E2, E1 ∩ E2 y E1 + E2.
(b) ¿Es cierto que R4 = E1 ⊕ E2?. Calcular un suplementario de E1.
(c) Calcular una base del subespacio incidente (E1)
◦ y las ecuaciones impĺıcitas de E1.
(d) Calcular unas ecuaciones paramétricas de E2.
14. Sea E un R-espacio vectorial de dimensión 3, {e1, e2, e3} una base de E y {ω1, ω2, ω3}
su base dual.
(a) Dados los subespacios F =< e1 − e2, 2e1 − e3 > y F ′ =< 2e2 + e3, e1 + e2 + e3 >,
calcula una base de (F ∩ F ′)◦ y las ecuaciones impĺıcitas y paramétricas de F ∩ F ′.
(b) Demuestra que las formas lineales {ω̄1, ω̄2, ω̄3} definidas por
ω̄1(e) = x+ y + z, ω̄2(e) = y − 2z, ω̄3(e) = x+ y
para cada vector e = xe1 + ye2 + ze3, forman una base del espacio dual E
∗. Calcula
una base {ē1, ē2, ē3} de E cuya base dual sea {ω̄1, ω̄2, ω̄3}.
(c) Calcula las coordenadas del vector u = e1−e2 +e3 en la base {ē1, ē2, ē3} y el incidente
del subespacio < u > en función de {ω̄1, ω̄2, ω̄3}.
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Álgebra lineal y Geometŕıa I
Gloria Serrano Sotelo
Departamento de MATEMÁTICAS
1. Subvariedades afines de un espacio vectorial
Sea E un k-espacio vectorial de dimensión n y sean V un subespacio de E y e0 un vector de
E. El conjunto
H = e0 + V
es una subvariedad af́ın de vector de posición e0 y subespacio director V .
Se llama dimensión de la subvariedad af́ın H a la dimensión de su subespacio director,
dimkH = dimk V .
Las subvariedades afines de dimensión 0 son los puntos, las de dimensión 1 las rectas, las de
dimensión 2 los planos y las de dimensión n− 1 los hiperplanos.
Las subvariedades afines que pasan por el origen son los subespacios.
Definición 1.1. Dos subvariedades afines son paralelas si el subespacio director de una de
ellas está contenido en el de la otra.
Si dimkH ≤ dimkH ′, las subvariedades afines H = e0 + V , H ′ = e′0 + V ′ son paralelas si
V ⊆ V ′ o lo que es equivalente V 0 ⊇ V ′0.
2. Ecuaciones paramétricas e impĺıcitas de una subvariedadaf́ın H
Sea H = e0 + V y {v1, . . . , vm} una base de V .
Ecuación paramétrico vectorial de H:
∀e ∈ V es e = e0 + λ1v1 + · · ·+ λmvm, para ciertos λi ∈ k.
Expresando esta ecuación en coordenadas respecto de una base de E se obtienen unas cua-
ciones paramétricas de H.
Ecuaciones impĺıcitas de H:
De la ecuación paramétrico vectorial se sigue que la matriz cuyas columnas son las coorde-
nadas de los vectores e− e0, v1, . . . , vm, respecto de una base de E, tiene rango m,
rg(e− e0, v1, . . . , vm) = m, para todo e ∈ H .
De modo que, elegido un menor de orden m no nulo, esta condición equivale a la anulación
de n − m menores de orden m + 1, que dan el número mı́nimo de ecuaciones linealmente
independientes que definen unas ecuaciones impĺıcitas de H.
Por otra parte, si en vez de una base del subespacio director V de H se conoce una base de su
subespacio incidente V 0 = 〈θ1, . . . , θn−m〉, se pueden obtener directamente unas ecuaciones
impĺıcitas de H = e0 + V .
∀e ∈ H es e− e0 ∈ V ⇔

θ1(e− e0) = 0
...
θn−m(e− e0) = 0

Ejemplo 2.1. Sea V el subespacio de R4 generado por los vectores {v1 = (1, 0, 1, 0), v2 =
(−1, 1, 1, 2), v3 = (0, 1, 2, 2)}. Calculemos unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones
impĺıcitas de la subvariedad af́ın H de vector de posición e0 = (1, 0, 0, 2) y subespacio
director V .
dimH = dimV = 2 y V = 〈v1, v3〉.
1
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• Ecuaciones paramétricas

x = 1 + λ
y = µ
z = λ+ 2µ
t = 2 + 2µ
.
• Ecuaciones impĺıcitas
rg

x− 1 1 0
y 0 1
z 1 2
t− 2 0 2
 = 2⇒

∣∣∣∣∣∣
x− 1 1 0
y 0 1
z 1 2
∣∣∣∣∣∣⇒ x+ 2y − z = 1∣∣∣∣∣∣
x− 1 1 0
y 0 1
t− 2 0 2
∣∣∣∣∣∣⇒ 2y − t = −2

3. Subvariedad afin intersección. Posiciones relativas. Subvariedad af́ın
suma
Sean H y H ′ subvariedades afines de E.
• La subvariedad af́ın intersección H ∩H ′ es la máxima subvariedad af́ın contenida en
H y en H ′. Los puntos de H ∩H ′ son las soluciones del sistema lineal determinado por las
ecuaciones impĺıcitas de H y de H ′.
Dos subvariedades afines se cortan si tienen algún punto en común, por tanto, H y H ′ no
se cortan si H ∩H ′ = ∅.
Dos subvariedades afines se cruzan si ni son paralelas ni se cortan.
• La subvariedad af́ın suma H +H ′ es la mı́nima subvariedad af́ın que contiene a H y a
H ′.
Si H = e0 + 〈v1, . . . , vm〉 y H ′ = e′0 + 〈u1, . . . , us〉, su suma es:
H+H ′ = e0+〈e0−e′0, v1, . . . , vm, u1, . . . , us〉 y dim(H+H ′) = rg(e0−e′0, v1, . . . , vm, u1, . . . , us)
Ejemplo 3.1. Considérense las subvariedades afines de R4
r ≡

x+ y = 1
y + z = 0
z + t = 2
π ≡
{
x+ y + z + t = 3
2x− z = 1
(a) Calcula un vector de posición y el subespacio director de la recta r y del plano π.
(b) Averigua si la recta r es paralela al plano π.
(c) Calcula la subvariedad af́ın intersección r ∩ π.
(d) Calcula la mı́nima subvariedad af́ın que contiene a ambas.
(e) Estudia la posición relativa del plano π y el plano π′ ≡
{
2x− z + t = 2
x+ y − z = 0
.
Solución.
(a) r = {(x, 1− x,−1 + x, 3− x) ∈ R4} , π = {(x, y,−1 + 2x, 4− 3x− y) ∈ R4}
r = e0 + 〈v〉 , e0 = (0, 1,−1, 3), v = (1,−1, 1,−1)
π = e′0 + 〈u1, u2〉 , e′0 = (0, 0,−1, 4), u1 = (1, 0, 2,−3), u2 = (0, 1, 0,−1)
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(b) La recta y el plano no son paralelos, ya que el subespacio director de r, 〈v〉, no está con-
tenido el subespacio director de π,〈u1, u2〉, pues
rg(v, u1, u2) =

1 1 0
−1 0 1
1 2 0
−1 −3 −1
 = 3
(c) Sustituyendo las coordenadas de un punto cualquiera (λ, 1− λ,−1 + λ, 3− λ) de r en
las ecuaciones del plano π se tiene{
λ+ 1− λ− 1 + λ+ 3− λ = 3
2λ+ 1 + λ = 1
⇔
{
3 = 3
λ = 0
Luego la recta y el plano se cortan en el punto P = (0, 1,−1, 3), r ∩ π = P .
(d) r+π = e0+〈e0−e′0, v, u1, u2〉, pero e0−e′0 = u2, luego r+π = e0+〈v, u1, u2〉 y dim(r+
π) = 3. Luego la mı́nima subvariedad af́ın que las contiene es el hiperplano de vector
de posición e0 y subespacio director 〈v, u1, u2〉. Calculemos su ecuación impĺıcita:
Para todo e = (x, y, z, t) ∈ r+π es e− e0 ∈ 〈v, u1, u2〉, luego rg(e− e0, v, u1, u2) = 3
y por tanto det(e − e0, v, u1, u2) = 0, que en coordenadas da la ecuación impĺıcita de
r + π:
r + π ≡
∣∣∣∣∣∣∣∣
x 1 1 0
y − 1 −1 0 1
z + 1 1 2 0
t− 3 −1 −3 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇒ r + π ≡ x+ y + z + t− 3 = 0
(e) Discutamos el sistema lineal determinado por las ecuaciones impĺıcitas de π y de π′.
x+ y + z + t = 3
2x− z = 1
2x− z + t = 2
x+ y − z = 0
A =

1 1 1 1
2 0 −1 0
2 0 −1 1
1 1 −1 0

Se tiene que rgA = 4 y por tanto coincide con el rango de la matriz ampliada. El
sistema es pues compatible y el conjunto de soluciones, que es la subvariedad af́ın
intersección π ∩ π′, tiene dimensión 0, luego se reduce a un punto. Es decir, los planos
π y π′ se cortan en un punto Q, que se obtiene resolviendo el sistema, Q = (1, 0, 1, 1).
4. Problemas propuestos
1. Calcular las ecuaciones paramétricas e impĺıcitas de la recta que pasa por el punto P =
(1, 2, 1, 2) y cuya dirección queda determinada por el vector (1, 3,−2, 7).
2. Calcular las ecuaciones paramétricas e impĺıcitas del hiperpano de R4 que pasa por el
punto P = (0, 1, 2,−4) y cuyo subespacio director es V = 〈(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 2, 1, 2)〉.
3. En un espacio vectorial de dimensión 4, hállese la recta que pasa por el origen y corta a
las dos rectas siguientes:
r1 : x = 2 + 3λ, y = 1− λ, z = −1 + 2λ, t = 3− 2λ
r2 : x = 7λ, y = 1, z = 1 + λ, t = −1 + 2λ
4. Hállese el hiperplano de R4 que pasa por las rectas:
r1 : 2x− y = 0, x+ z = 0, 3x− t = 0
r2 : x+ y − 3 = 0, 2x− z + 1 = 0, t = 0
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5. Hallar la ecuación del haz de hiperplanos que contienen al plano que pasa por los puntos
(1,−2,−3, 1), (0, 0, 1, 5), (3,−1, 5, 0).
6. Hállese la dimensión de la mı́nima subvariedad af́ın que contiene a dos planos bidimen-
sionales que se cruzan. Calcúlese la dimensión de la mı́nima subvariedad af́ın que pasa por
los puntos:
(−1, 2,−1, 0, 4), (0,−1, 3, 5, 1), (4,−2, 0, 0,−3), (3,−1, 2, 5, 2)
7. Hállense las ecuaciones paramétricas de la mı́nima subvariedad af́ın que pasa por las
rectas:
r : x1 = x2 = x3 = x4 = x5
r′ :
x1 − 1
3
=
x2
5
= x3 − 2 =
x4 + 1
7
=
x5
−4
8. Dadas las subvariedades afines de R4:
H =< (0,−1, 0, 1), (1, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0) > H ′ =< (−2, 1, 1, 0), (−3, 0, 0, 1) >
(a) Calcular sus ecuaciones impĺıcitas.
(b) Estudiar su posición relativa.
(c) Calcular la mı́nima subvariedad af́ın que las contiene.
9. Hallar la subvariedad af́ın de R4 que pasa por el punto (1, 0, 0, 0) y cuyo subespacio
director es el núcleo del endomorfismo T : R4 → R4 cuya matriz en la base estándar es
1 −1 2 0
1 0 1 1
3 −2 5 1
0 −1 1 −1

10. Sea E el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que 2. Sea
V el plano de los polinomios de grado menor o igual que 1. Sea ω : E → R la forma lineal
definida por ω(p(x)) =
∫ 1
0
x ·p(x) dx. Considerando la base {1, x, x2}, calcular las ecuaciones
de la recta que pasa por 1 + x2 y es paralela a la recta intersección del plano ω−1(2) con V .
11. Calcular el plano que contiene a la recta s ≡ x = y = z = t+ 1 y corta a las rectas
r1 ≡

x+ y = 0
y + 2z = 0
z + 3t = 1
r2 ≡
x− 2
2
= y =
z
−1
= t+ 1
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Álgebra lineal y Geometŕıa I
Daniel Hernández Serrano
Daŕıo Sánchez Gómez
Departamento de MATEMÁTICAS
SEMINARIO I.
1. Espacios Vectoriales
1.1. Espacios y subespacios vectoriales.
1. Demuéstrese que el conjunto C = {(x, y, y,−x), x, y ∈ R} con la operación:
(x, y, y,−x) + (w, z, z,−w) = (x+ w, y + z, y + z,−(x+ w))
y con el producto escalar para λ ∈ R:
λ(x, y, y,−x) = (λx, λy, λy,−λx) ,
es un espacio vectorial sobre R.
2. Averiguar si V ⊂ R3 es un subespacio vectorial real.
a) V