Primeros exámenes parciales (con respuestas) - Análisis Matemático II

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN 
 
PRIMERA EVALUACIÓN DE 
 ANÁLISIS MATEMÁTICO II 29 /04 / 2015 TEMA 1 
______________________________________________________________________ 
 
1) Dada la función 
yx
yxyxf +=),( 
a) Hallar su derivada direccional en el punto (3, 1) y en la dirección del vector 
V = (3, 4). 
b) Hallar su mínima derivada direccional en el mismo punto (3, 1) y en qué dirección 
ocurre. 
 
2) Dada la función , hallar su máximo y su mínimo absolutos y los 
puntos dónde éstos son alcanzados en el dominio 
221),( yxeyxf ++=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≤+= 1
94
:),(
22 yxyxD 
 
3) Dada la función 
188
),(
22 yxyxf += , hallar la ecuación cartesiana de la recta tangente 
a la curva de nivel de la que pasa por el punto (2, 3) en el punto (2, 3). f
 
 
4) Calcular el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje y del 
dominio limitado por los ejes coordenados y el arco de cardioide θsin1+=r , 
2
0 πθ ≤≤ 
 
5) Calcular el área encerrada por la curva θsin23+=r 
 
 
6) Calcular el valor de la siguiente integral 
 
∫∫∫
D
dzdydxz 
donde 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≥≤++= 0,1
4
:),,(
2
22 zzyxzyxD 
 
 
7) Hallar la ecuación cartesiana del plano tangente y la ecuación vectorial de la recta 
normal a la gráfica de la función 
49
),(
22 yxyxf += en el punto (3, 2, 2). 
 
 
 
 
 
Respuestas al Tema 1 
 
Ejercicio 1. 
a) Derivada direccional:
15
13
− 
b) Mínima derivada direccional:
9
82
− . 
Dirección de la mínima derivada direccional: ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 1,
9
1 
 
Ejercicio 2. 
Mínimo absoluto: e en (0, 0) 
Máximo absoluto: en (0, 3) y (0, - 3) 10e
 
Ejercicio 3. 6
2
3
+−= xy 
 
Ejercicio 4. π
2
5 
 
Ejercicio 5. π11 
 
Ejercicio 6. π 
 
Ejercicio 7. 
Plano tangente: 2
3
2
=−+ zyx 
Recta normal: ( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+= 1,1,
3
22,2,3)( ttX 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN 
 
PRIMERA EVALUACIÓN DE 
 ANÁLISIS MATEMÁTICO II 25/ 04 / 2016 TEMA 1 
______________________________________________________________________ 
 
1) Estudiar las curvas de nivel de la función 
132
1),( 22 ++
=
yx
yxf 
 
2) Calcular el área limitada por la curva 
 
θ
θθ
2cos
cossin +
=r , 
 
en el intervalo 
44
πθπ ≤≤− 
 
3) Hallar la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie 
 
08222222 =−++−++ zyxzyx 
 
en el punto )2,2,2( −
 
 
4) Calcular la integral , dydxyx
D
∫∫
donde 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≥≥≤+= 0,0,1
94
:),(
22
yxyxyxD 
 
 
5) Calcular la integral , ∫∫∫
D
dzdydxz4
donde { }0,1:),,( 222 ≥≤++= zzyxzyxD 
 
 
6) Dada la función , hallar su máximo y su mínimo 
absolutos y los puntos dónde éstos son alcanzados en el dominio 
222),( 22 +−−+= yxyxyxf
{ }1:),( 22 ≤+= yxyxD 
 
7) Dada la función ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
y
xyxf arctan3),( , hallar sus dos derivadas segundas cruzadas y 
verificar el teorema de Schwarz. 
 
 
 
Respuestas 
 
1) Si C = 1 la curva de nivel se reduce al punto (0, 0). 
Si 0< C <1 la curva de nivel es la elipse centrada en el origen 1
3
1
2
1
22
=
−
+
−
C
C
y
C
C
x 
2) 4/3 
 
3) 20262 =−+ zyx
 
4) 9/2 
 
5) π 
 
6) 223−=m en el punto ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
2,
2
2 
 
223+=M en el punto ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
2
2,
2
2 
 
 
7) 222
22
)(
33
yx
yxff yxxy +
−
== 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	Respuestas al Tema 1 
	 
	Ejercicio 3.