ANÁLISIS Y DISEÑO DE VIGAS RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS - GAARA OF THE SAND (8)

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© DR. Juan Ignacio Velázquez Dimas FIUAS 2015 Curso: Diseño Estructural II 
 
1 
VIGAS RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS. 
 
El acero de compresión a veces es necesario por: 
 
1. Las dimensiones de la sección son restringidas por consideraciones arquitectónicas. 
En este caso, el concreto en compresión no es capaz de resistir el momento actuante 
por lo tanto, se añade acero en esta zona. 
 
2. Existe una tendencia a no usar dicho refuerzo a raíz del uso del Método de Diseño por 
Resistencia en donde la capacidad total de compresión del concreto es tomada en 
cuenta. 
 
3. Se ha observado que el acero de compresión contribuye a reducir las Deformaciones a 
Largo Plazo. 
 
4. En algunas ocasiones, el acero de compresión se añade para sujetar el refuerzo de 
cortante (Estribos), algunas veces este refuerzo se ignora para fines de cálculo. 
 
Las ecuaciones para determinar Mn son más complicadas que las usadas para una sección 
rectangular simplemente armadas, sobre todo si el acero de compresión no fluye. Debido 
a lo anterior, el procedimiento por tanteos es más simple para determinar Mn. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 
Para la demostración de las ecuaciones de vigas doblemente armadas, se discutirán dos 
casos: 
 
a) Ambos aceros fluyen. s’y, sy  fs’=fs=fy. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 






ysys
ysys
ff
ff

 ''
 :caso este Para 
 
El momento total Mn, se determina a partir del análisis de las vigas I y II, es decir: 
 
 1................IIIn MMM  
 
 
Donde: 
 
     
   3..................
2
'
2
2....................'''
2
1














a
dfAA
a
dTM
ddfAddTM
yssII
ysI
 
 
Con (2) y (3) en (1): 
 
     4................
2
''' 






a
dfAAddfAM yssysn 
 
De la figura se puede obtener: a, de la condición de equilibrio: 
 
 
 
 5...................
´85.0
'
'´85.02
cbf
fAA
afAAcbafTC
yss
yssc

 
 
Con la definición de: 
 
b
d
As
As´
d´
c
cu=0.003
s
s´ a=1c
0.85f´c
Cc
Cs
d´
T
d-d´
As´fy=Cs
Asfy=T1
0.85f´c
a Cc
(As-As´)fy=T2
2
a
d 
2
a
= +
Deformaciones Esfuerzos
Viga I Viga II
a) b) c) d) e)
 
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3 
bd
As y 
bd
As ''  
 
 6..................
´85.0
'
cf
df
a
y 
 
 
b) Acero de compresión no fluye, es decir s’<y  fs’<fy por s, de la figura b). 
 
  












c
d
c
c
c
dc
c
dc
dcc
scus
scu '003.0'003.0
''
'
'
'


 
 
1
1


a
cca   7.................
'
1003.0' 1 





 
a
d
s 
 
Ahora, se tiene de las figuras d) y e) que: 
 
 8....................´85.0
'
'
1003.0'' 1

















ys
c
ssssss
fAT
cbafC
A
a
d
EAEC 
 
 
Del equilibrio: 
 
TCC sc  
 
 
 10.....................
'
'´85.0
9.........'.........
'
1003.0´85.0
1
1





 








c
dc
EAbccffA
A
a
d
EcbaffA
scusys
ssys


 
 
Nota: Las ecuaciones (9) y (10) son cuadráticas en a ó c, respectivamente. 
 
Se resuelve la ecuación (9) y se obtiene Mn. 
 
   '50.0 ddCadCM scn  0 TM 
 
       '9...................0''003.0'003.0´85.0 12  dAEafAAEacbf ssysss  
 
Nota: Se debe tener cuidado en este tipo de vigas, ya que para recubrimientos 
 grandes,s’ puede ser de tensión, en estos casos, la contribución del As’ a la 
 resistencia es mínimo. 
 
 
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Limitaciones del refuerzo según ACI. 
 
'75.0   bmáx Cuando el Acero de Compresión Fluye. 
 
y
s
bmáx
f
f '
'75.0   Cuando fs<fy. 
 
      
 cbf
dAEcbffAAfAA
a
ssyssyss
´85.02
''003.0´85.04'6000'6000 1
2

 
 
 
 
 
EJEMPLO 1 
 
Determinar Mn para la siguiente sección, así como los esfuerzos en los lechos de acero. 
 
 f´c=300 kg/cm
2
. 
 fy=4200 kg/cm
2
. 
 
 As’=3#6=3#19= (3) (2.84)=8.52 cm
2
. 
 As=5#8=5#25= (5) (5.10)=25.50 cm
2
. 
 836.08357.0
4200
300
05.1 11   
 
Primero hay que determinar d. 
 
d’=4 cm. 
 
   
   
. 28
10.5310.52
10.533010.5225
21
2211 cmd
AA
AdAd
d 





 
 
1er. Tanteo: 
 
c=12 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 cm
20 cm
4 cm
5 cm
5 cm
21 cm
As
As´
 
cu=0.003
s
s´
a
T
Cc
Cs
c
c-d´
d-c
a=1c
 
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5 
 
   cmca 032.1012836.01   
 
  0021.0
102
4200
002.0003.0
12
412'
'
'
'
6








 ycus
scu
c
dc
dcc


 
 
   ./ 4000002.0102'' 26 cmkgEf sss   
 
   kgfAC sss 34080400052.8''  
 
      kgccbfCc 5116312836.02030085.0´85.0 1   
 
kgCCC cs 852435116334080  
  yscus
cus ff
c
cd
ccd






0021.0004.0003.0
12
1228


 
 
   c.Aumentar 85243 107100420050.25  kgCkgfAT ys 
 
2do. Tanteo. 
 
Nota: En secciones Doblemente Armadas, la fuerza total de compresión NO es 
 directamente proporcional a la profundidad del Eje Neutro por lo que esta, no 
 puede obtenerse a partir de una proporcionalidad después del primer tanteo, como 
 es el caso de secciones Simplemente Armadas. 
 
   . 54.1215836.0 15 1 cmacacmc   
 
  ysys ff 

 '0021.00022.0003.0
4
415
'  
 
   . 35784420052.8' kgfAC yss  
 
     . 6395454.122030085.0´85.0 kgcbafCc  
 
. 99738 kgC  
 
  ysys ff 

 0021.00026.0003.0
15
1528
 
 
   c.Aumentar 107100420050.25  CfAT ys 
 
3er. Tanteo. 
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6 
 
. 794.13 50.16 cmacmc  
 
  ysys ff 

 '0021.000227.0003.0
50.16
450.16
'  
 
  
    
. 106133
 70349794.132030085.0
 35784420054.8
kgC
kgC
kgC
c
s






 
 
     26 / 418100209.01020021.000209.0003.0
50.16
50.1628
cmkgf sys 

 
 
   .......... 106133 106636418150.25 okkgCkgfAT ys  
Cálculo de Mn. 
 
      42835784
2
794.13
2870349'
2












 ddC
a
dCM scn 
 
. 434.23 95.2343390 mtMcmkgM nn  
 
Solución con ecuaciones: 
 
Asumiendo que ambos aceros fluyen: 
 
    
   
. 983.13
2030085.0
420052.850.25
´85.0
'
cma
cbf
fAA
a
yss




 
 
. 73.16
836.0
983.13
1
1 cmc
a
cca 

 
 
Deformaciones: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ysys
cus
scu
ff
c
dc
dcc







'0021.000228.0'
003.0
73.16
473.16'
'
'
'



 
0.003
As
As´ c c-d´
d2-c d1-c
s´
s1
s2
 
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 
ysys
cus
cus
ff
c
cd
ccd






11
1
1
1
1
0021.000237.0
003.0
73.16
73.1630



 
 
 
ysys
cus
cus
ff
c
cd
ccd






22
2
2
2
2
0021.0001483.0
003.0
73.16
73.1625



 
 
  001483.0102 622  sss Ef  
 
./ 2966 22 cmkgf s  
     . 71298983.132030085.0´85.0 kgcbafCc  
 
   . 35784420052.8' kgfAC yss  
 
. 107082357471298 kgCCC sc  
 
    . 642604200310.5111 kgfAT ss  
 
    . 302532966210.5222 kgfAT ss  
 
. 94513302536426021 kgTTT  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TAREA 2b. 
 
1. Una viga de concreto rectangular mide 12 in. de ancho y tiene un peralteefectivo de 
18 in.. El acero de compresión consiste en dos varillas #8 localizadas 2.50 in. a partir 
de la cara superior. Si f´c=4000 psi. y fy=60000 psi.. 
 
¿Cual es el momento de diseño Mu=Mn,  = 0.90? 
 
Considere los siguientes casos de acero a tensión As: 
(a) As=3#10 en una capa. 
(b) As=4#9 en dos capas. 
(c) As=6#10 en dos capas. 
 
Revisar si As’ fluye. 
 
Nota: Considere como espacio libre entre capas de varillas el equivalente a un 
 diámetro de las varillas a usar. 
 
2. Determinar Mn para la sección que se muestra, f´c=200 kf/cm
2
 y fy=4200 kf/cm
2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3#4
30 cm
30 cm
30 cm
4 cm
6 cm
3#4
30 cm
30 cm
30 cm
4 cm
6 cm
 
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3. Calcular la resistencia de la siguiente sección, f´c=200 kf/cm2 y fy=4200 kf/cm
2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Determinar Mn para el sistema T formado, asumir: f´c=200 kg/cm
2
, fy=4200 kg/cm
2
 y 
As=6#8 en dos capas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Calculé el momento negativo que puede resistir la siguiente sección: 
 
 
Asuma: 
f´c=250 kg/cm
2
. 
fy=2800 kg/cm
2
. 
 
 
 
 
 
 
 
60 cm
75 cm
5 cm
5 cm
5 cm
35 cm
8 cm
As
8#8
 
 
 
d=50cm
122 cm
30 cm
15 cm
40 cm
As
6#6