Tema5_ModelosdeProbabilidad_EDB_2016-II

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2 ESTADÍSTICA BÁSICA 
99,7% 
Tema 5: Modelos de probabilidad 
Tema 5: Modelos de probabilidad 
1. Introducción. 
2. El proceso de Bernoulli. 
3. El proceso de Poisson. 
4. Variables aleatorias asociadas al proceso de Poisson. 
5. La variable aleatoria normal. 
6. Relación entre la normal, la binomial y la Poisson. 
3 
4 ESTADÍSTICA BÁSICA 
1. Introducción 
Objetivo: Catálogo de modelos de probabilidad que sean útiles para describir 
variables aleatorias en problemas reales en ingeniería 
Dados una datos reales... 
...seleccionamos el modelo que más 
se parezca a esos datos 
¿f(x)? 
¿f(x)? ¿f(x)? 
Tema 5: Modelos de probabilidad 
1. Introducción. 
2. El proceso de Bernoulli. 
3. El proceso de Poisson. 
4. Variables aleatorias asociadas al proceso de Poisson. 
5. La variable aleatoria normal. 
6. Relación entre la normal, la binomial y la Poisson. 
5 
6 ESTADÍSTICA BÁSICA 
2. El proceso de Bernoulli 
 
Supongamos un experimento que sólo tiene dos resultados posibles: 
• Éxito/fracaso 
• Observamos un atributo/no observamos dicho atributo 
Ejemplos: 
• Artículo aceptable/defectuoso 
• Cliente satisfecho/no satisfecho 
• Conexión/bloqueo 
• Cara/cruz 
• Votará/no votará 
• Compra/no compra 
7 ESTADÍSTICA BÁSICA 
Supongamos un proceso productivo que genera artículos que pueden ser 
defectuosos o aceptables ... 
Proceso 
productivo 
Artículo 1 Artículo n+2 Artículo 2 Artículo 3 Artículo n Artículo n+1 
... ... 
Artículo 4 
Cada artículo puede ser defectuoso o aceptable 
Asignamos una variable Xi a cada 
artículo... 
Xi= 
1 si el artículo i es defectuoso 
0 si el artículo i no es defectuoso 
Variable aleatoria 
de Bernoulli 
2.1 La distribución de Bernoulli 
 
8 ESTADÍSTICA BÁSICA 
Supongamos un proceso productivo que genera artículos que pueden ser 
defectuosos o aceptables ... 
Proceso 
productivo 
Artículo 1 Artículo n+2 Artículo 2 Artículo 3 Artículo n Artículo n+1 
... ... 
Artículo 4 
x1 x2 x3 x4 xn xn+1 xn+2 
1 ó 0 1 ó 0 1 ó 0 1 ó 0 1 ó 0 1 ó 0 1 ó 0 
A la secuencia de estas v. aleatorias: X1,X2,X3,... PROCESO DE BERNOULLI 
2.1 La distribución de Bernoulli 
 
9 ESTADÍSTICA BÁSICA 
Supongamos un proceso productivo que genera artículos que pueden ser 
defectuosos o aceptables ... 
Proceso 
productivo 
Artículo 1 Artículo n+2 Artículo 2 Artículo 3 Artículo n Artículo n+1 
... ... 
Artículo 4 
0 1 1 0 0 1 0 ... ... 
2.1 La distribución de Bernoulli 
 
9 
10 ESTADÍSTICA BÁSICA 
Hipótesis simplificadoras: 
La probabilidad de que un artículo sea 
defectuoso es siempre la misma = p 
P(Xi=1)=p; i=1,2,... 
Estabilidad: el riesgo de que un artículo sea defectuoso es siempre el 
mismo. El sistema ni empeora ni mejora con el tiempo 
Independencia: la probabilidad de que un artículo sea defectuoso no 
depende de si el anterior artículo fue o no defectuoso. Un artículo será 
defectuoso por causas que aparecen de forma fortuita. NO HAY MEMORIA 
2.1 La distribución de Bernoulli 
 
11 ESTADÍSTICA BÁSICA 
Proceso 
productivo 
Artículo 1 Artículo n+2 Artículo 2 Artículo 3 Artículo n Artículo n+1 
... ... 
Artículo 4 
𝑋1 𝑋2 𝑋3 
Todas las Xi tienen las mismas propiedades 
𝑋1,𝑋2,𝑋3, … es una sucesión de Bernoullis idénticas 
𝑋4 𝑋𝑛−2 𝑋𝑛−1 𝑋𝑛 
2.1 La distribución de Bernoulli 
 
11 
12 ESTADÍSTICA BÁSICA 
Proceso 
productivo 
Artículo 1 Artículo n+2 Artículo 2 Artículo 3 Artículo n Artículo n+1 
... ... 
Artículo 4 
x1 x2 x3 x4 xn xn+1 xn+2 
Xi = 
1 si el artículo i es defectuoso ......... P(Xi =1)=p 
0 si el artículo i no es defectuoso ..... P(Xi =0)=1-p 
E(Xi)=p; Var(Xi)=p(1-p) 
2.1 La distribución de Bernoulli 
 
12 
13 ESTADÍSTICA BÁSICA 
Proceso 
productivo 
Artículo 1 Artículo n+2 Artículo 2 Artículo 3 Artículo n Artículo n+1 
... ... 
Artículo 4 
x1 x2 x3 x4 xn xn+1 xn+2 ... ... 
X= variable aleatoria BINOMIAL 
X~B(n,p) 
Tomamos una muestra de n artículos 
X= número de artículos defectuosos en n 
X=¿? ¿0,1,2,3,4,...,n? 
2.2 La distribución de Binomial 
 
14 ESTADÍSTICA BÁSICA 
X= variable aleatoria BINOMIAL 
X~B(n,p) 
• Espacio muestral: x={0,1,2,...,n} 
• Función de probabilidad 
2.2 La distribución de Binomial 
 
15 ESTADÍSTICA BÁSICA 
Tenemos 4 artículos. La probabilidad de que cada uno sea defectuoso es p 
Sea X=número de artículos defectuosos 
¿P(X=2)? 
Opción 1: DDAA 
primer artículo: 
Defectuoso (D) 
cuarto artículo: 
Aceptable (A) 
P(Opción 1)=P(DDAA)=P(D)P(D)P(A)P(A) 
=p2(1-p)2 
Opción 2: DADA P(Opción 1)=P(DADA)=P(D)P(A)P(D)P(A) 
=p2(1-p)2 
Otras opciones: AADD, ADAD,ADDA,ADAD, cada una de probabilidad p2(1-p)2 
P(X=2)=P[(Opción 1) U (Opción 2) U ... U (Opción 6)] 
= P(Opción 1) + P(Opción 2)+ ... +P (Opción 6)]=6 p2(1-p)2 
Ejemplo: 
2.2 La distribución de Binomial 
 
16 ESTADÍSTICA BÁSICA 
en general... 
Número de opciones: 
combinaciones con r 
defectuosos y (n-r) 
aceptables 
Probabilidad de cada 
una de las opciones 
r con atributo de 
probabilidad p 
n-r sin el atributo 
(probabilidad 1-p) 
2.2 La distribución de Binomial 
 
Proceso 
productivo 
Artículo 1 Artículo n+2 Artículo 2 Artículo 3 Artículo n Artículo n+1 
... ... 
Artículo 4 
x1 x2 x3 x4 xn xn+1 xn+2 
1 ó 0 1 ó 0 1 ó 0 1 ó 0 1 ó 0 1 ó 0 1 ó 0 
X= número de artículos defectuosos en n 
Bernoullis (1 ó 0) 
X= suma de las n Bernoullis 
17 
18 ESTADÍSTICA BÁSICA 
X= variable aleatoria BINOMIAL 
X~B(n,p) 
Propiedades: 
Bernoullis (1 ó 0) 
2.2 La distribución de Binomial 
 
19 ESTADÍSTICA BÁSICA 
Ejemplo: Se sabe por información histórica que cuando la máquina M opera en 
condiciones normales produce un 0.5% de artículos defectuosos. Se produce un 
lote con 200 artículos: 
•¿Cuál es la probabilidad de producir 2 artículos defectuosos? 
•¿Cuál es la probabilidad de producir 4 artículos defectuosos? 
•¿Cuál es la probabilidad de producir más de 4 artículos defectuosos? 
X= número de artículos 
defectuosos en n=200 
Si la máquina funciona correctamente, supondremos que 
X~B(200,0.005) 
Máquina 1 ... 2 200 
2.2 La distribución de Binomial 
 
20 ESTADÍSTICA BÁSICA 
Ejemplo: 
X= número de artículos defectuosos en n=200 
X~B(200,0.005) 
P(X5)=1-P(X4)=1-(0.367+0.369+0.184+0.061+0.015)=0.004 
Se sabe por información histórica que cuando la máquina M opera en 
condiciones normales produce un 0.5% de artículos defectuosos. Se produce un 
lote con 200 artículos: 
•¿Cuál es la probabilidad de producir 2 artículos defectuosos? 
•¿Cuál es la probabilidad de producir 4 artículos defectuosos? 
•¿Cuál es la probabilidad de producir más de 4 artículos defectuosos? 
Si en este lote de artículos hubiese más de 4 artículos defectuosos, los técnicos 
de calidad deberían investigar si algo está fallando (¿por qué?) 
2.2 La distribución de Binomial 
 
Tema 5: Modelos de probabilidad 
1. Introducción. 
2. El proceso de Bernoulli. 
3. El proceso de Poisson. 
4. Variables aleatorias asociadas al proceso de Poisson. 
5. La variable aleatoria normal. 
6. Relación entre la normal, la binomial y la Poisson. 
21 
22 ESTADÍSTICA BÁSICA 
3. El proceso de Poisson 
Proceso de Bernoulli: sucesión de elementos en los que SI/NO se observa un suceso 
Los sucesos aparecen de forma fortuita sobre un soporte discreto 
Algunos elementos tienen el suceso y otros no lo tienen 
Proceso de Poisson: los sucesos aparecen de forma fortuita... 
sobre un soporte continuo (longitud, tiempo, superficie, etc) 
23 ESTADÍSTICA BÁSICA 
Proceso productivo Soporte en el que se observan los 
sucesos: tiempo, longitud, 
superficie ... 
0 1 2 3 4 5 6 ... 
Unidad de medida ... 
X=sucesos observados (p.e. defectos) en cada unidad de medida 
 Proceso de Poisson: los sucesos aparecen 
con una media estable y de forma 
independiente sobre un soporte continuo: 
no hay memoria 
3. El proceso de Poisson 
Tema 5: Modelos de probabilidad 
1. Introducción 
2. El proceso de Bernoulli 
3. El proceso de Poisson 
4. Variables aleatorias asociadas al proceso de Poisson4.1 Distribución de Poisson 
 4.2 Distribución exponencial 
5. La variable aleatoria normal 
6. Relación entre la normal, la binomial y la Poisson 
24 
25 ESTADÍSTICA BÁSICA 
Proceso productivo Soporte en el que se observan los 
sucesos: tiempo, longitud, 
superficie ... 
0 1 2 3 4 5 6 
... 
x1=2 sucesos x2=2 sucesos x3=4 sucesos x4=1 sucesos x5=3 sucesos x6=1 sucesos 
i i-1 
xi=? sucesos 
X=sucesos observados en cada unidad de medida 
x={0,1,2,3,...} 
X es una variable aleatoria de Poisson 
X~P(λ) 
X~Poi(λ) 
4.1 Distribución de Poisson 
25 
26 ESTADÍSTICA BÁSICA 
X es una variable aleatoria de Poisson 
X~P(λ) X~Poi(λ) 
•Función de probabilidad: 
•Medidas características: 
•Aditividad: Sea X1 y X2 dos v. aleatorias de Poisson independientes 
X1 ~Poi(λ1) ; X2 ~Poi(λ2) 
Entonces Y= X1 + X2 es también Poisson 
Y ~Poi(λ1 +λ2) 
número medio de 
sucesos por unidad de 
medida 
4.1 Distribución de Poisson 
Ejemplo: Un servidor de una pequeña red recibe una media de 7 accesos al minuto. 
Suponiendo que los accesos a dicho servidor suceden de forma 
independiente y con un ritmo medio constante. 
Se quiere calcular la probabilidad de que reciba 3 accesos en un minuto, 
que es el número de accesos a partir del cual el servidor tendría un 
rendimiento deficiente. 
X= número de accesos en un minuto; X~Poi(7) 
t 
𝑃 𝑋 = 3 =
73
3!
𝑒−7 = 0.0521 
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Ejemplo: Un servidor de una pequeña red recibe una media de 7 accesos al minuto. 
Suponiendo que los accesos a dicho servidor suceden de forma 
independiente y con un ritmo medio constante. 
Se quiere calcular la probabilidad de que reciba más de 10 accesos en un 
minuto, que es el número de accesos a partir del cual el servidor tendría 
un rendimiento deficiente. 
X= número de accesos en un minuto; X~Poi(7) 
t 
28 
29 ESTADÍSTICA BÁSICA 
4.2 La distribución exponencial 
Proceso productivo 
Soporte en el que se observan los 
sucesos: tiempo, longitud, 
superficie ... 
0 
1 2 3 
t5 t3 t2 t1 t4 
• T=intervalo entre dos sucesos consecutivos de un proceso de Poisson 
• Intervalos: unidades de tiempo, longitud, etc 
• V. aleatoria continua. Sus valores: 𝑡 ≥ 0 
T se denomina variable aleatoria exponencial 
T~Exp(λ) 
La media del proceso de Poisson. Número 
medio de sucesos por unidad de medida 
30 ESTADÍSTICA BÁSICA 
 T=intervalo entre dos sucesos consecutivos de un proceso de Poisson 
T~Exp(λ) 
•Función de densidad: 
•Función de probabilidad 
•Medidas características 
4.2 La distribución exponencial 
𝑓 𝑡 = 𝜆𝑒−𝜆𝜆; 𝑡 ≥ 0, 𝜆 > 0 
𝐹 𝑡 = 𝑃 𝑇 ≤ 𝑡 = 1 − 𝑒−𝜆𝜆 
El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se produce de manera estable e 
independiente, siendo el intervalo transcurrido entre la llegada de dos clientes 
consecutivos una variable aleatoria exponencial. 
Por término medio llega un cliente cada minuto. 
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que no lleguen clientes en 3 minutos? 
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que el intervalo de tiempo entre dos clientes consecutivos 
sea inferior a un minuto? 
Ejemplo: 
T=intervalo (minutos) entre dos clientes consecutivos 
T~Exp(λ); λ=1 cliente/minuto 
(a) 
(b) 
t5 t3 t2 t1 t4 t6 
31 
Ausencia de memoria 
El proceso de Poisson no tiene memoria. 
Por ejemplo, no se acuerda de cuánto tiempo ha transcurrido desde el último suceso observado 
¿Probabilidad de que 
esperemos menos de un 
minuto al próximo 
cliente? 
¿T<1? 
Después de esperar 10 
minutos sin venir clientes... 
¿Probabilidad de que llegue 
en el próximo minuto? 
10 
¿T<1? 
[ ]
( ) ( )11 10 1
10
( 11) ( 10) (10 11)( 11| 10)
( 10) ( 10)
( 11) ( 10)
( 10)
1 1
1 ( 1)
P T T P TP T T
P T P T
P T P T
P T
e e
e P T
e
λ λ
λ
λ
− × − ×
− ×
− ×
< ∩ > < <
< > = =
> >
< − <
=
>
− − −
= = − = <
11 10 t 
1 1
1
0 0
( 1) ( ) 1tP T f t dt e dt eλ λλ − − ×< = = = −∫ ∫
32 
33 ESTADÍSTICA BÁSICA 
La distribución exponencial también es útil para modelizar el tiempo transcurrido desde 
un instante dado hasta que aparece una avería por causa fortuita 
T=tiempo hasta que un equipo, componente, comunicación, etc, falla por causa fortuita 
T~Exp(λ) 
¿Por qué fortuita? Porque NO HAY MEMORIA 
No hay envejecimiento ni mejora, E(T)=1/λ es constante 
0 Tiempo hasta fallo fortuito 
Componente 1 
Componente 2 
Componente 3 
Componente K 
t1 
t2 
t3 
tK 
4.2 La distribución exponencial 
34 ESTADÍSTICA BÁSICA 
Ejemplo: La duración de un componente es una v. aleatoria exponencial de media 5000 h. 
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que dure (más de) 6000 horas? 
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que dure (más de) 6000 horas si lleva funcionando 
1000 horas? (6000 horas adicionales a las 1000 que lleva funcionando) 
T= duración: tiempo hasta FALLO T~Exp(λ) 
E(T)=1/λ=5000 horas λ=(1/5000) fallos/hora 
(a) 
(b) 
No hay envejecimiento. Tampoco fallos ‘infantiles’ (por defectos de fabricación) 
¿Es esta hipótesis siempre razonable? 
4.2 La distribución exponencial 
Tema 5: Modelos de probabilidad 
1. Introducción. 
2. El proceso de Bernoulli. 
3. El proceso de Poisson. 
4. Variables aleatorias asociadas al proceso de Poisson. 
5. La variable aleatoria normal. 
6. Relación entre la normal, la binomial y la Poisson. 
35 
36 ESTADÍSTICA BÁSICA 
5. La variable aleatoria normal 
Sea X una variable aleatoria continua con 𝐸(𝑋) = 𝜇 y 𝑣𝑣𝑣(𝑋) = 𝜎2 
Sigue una distribución normal o Gaussiana si tiene la siguiente función de densidad 
X~N(μ,σ2) 
37 ESTADÍSTICA BÁSICA 
Propiedades más importantes: 
• Simétrica con forma de campana (‘campana de Gauss’) 
• Media y varianza son características independientes 
• Concentrada alrededor de la media (moda=media) 
95% 
μ±2σ 
99,7% 
μ±3σ 
5. La variable aleatoria normal 
38 ESTADÍSTICA BÁSICA 
Otras propiedades importantes: 
• Si hacemos una transformación lineal de una normal, el resultado es 
una variable aleatoria normal 
• La combinación lineal de variables aleatorias normales, da como 
resultado una variable aleatoria normal 
Ejemplo: Sean X₁∼N(μ1, σ1²) y X₂∼N(μ2, σ2²), dos variables aleatorias normales 
independientes la una de la otra. 
Entonces Y=aX₁+bX₂ es también una distribución normal. 
Además se tendrá que 
E(Y)=E(aX₁+bX₂)=aμ₁+bμ₂ 
Por ser ambas variables aleatorias independientes se tiene también 
que 
 Var(Y)=Var(aX₁+bX₂)=a²σ1²+b²σ2², 
5. La variable aleatoria normal 
39 ESTADÍSTICA BÁSICA 
Es difícil de integrar 
• Integramos usando ordenador 
• Integramos usando Tablas 
• Sólo hay tablas de la N(0,1), que también se llama Normal Estándar o Z 
• Transformamos un problema de X~N(μ,σ2) a Z~N(0,1). Esta transformación se 
llama estandarización o tipificación 
5. La variable aleatoria normal 
Entonces: 
Función de distribución de la normal 
estándar: P(z<z0) 
μ 
σ 
a b 
X 
0 
1 
za 
z 
zb 
El área es la misma 
40 
𝑃(𝑧 < −2.25)=0.0122 
41 
Ejemplo: La longitud L en milímetros, de las piezas fabricadas en un proceso es una variable aleatoria que se distribuye según una N(32,0.3²), considerándose aceptables 
aquellas cuya medida se encuentra dentro del intervalo (31.1,32.6). Calcular la 
probabilidad de que una pieza elegida al azar sea aceptable. 
Ejemplo Varios tests de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 
100 y desviación típica 15. 
(a) Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 100. 
(b) ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población? 
(b) 
(a) 
L 
42 
43 ESTADÍSTICA BÁSICA 
El Teorema Central del Límite (TCL) 
• Sean X1,X2,...,Xn un conjunto de v. aleatorias cualquiera tal que 
• Sea Y= X1+X2+...+Xn 
Entonces, si n→∞ Y-N[E(Y),Var(Y)] 
Si sumamos muchas variables aleatorias, el resultado es una 
normal, aunque las variables que sumemos no lo sean 
5. La variable aleatoria normal 
Para completar un proceso productivo es necesario realizar un total de 60 tareas 
que se van ejecutando una a continuación de la otra. Laduración de cada tarea 
sigue una distribución exponencial de media 1 minuto. ¿Cuál es la probabilidad de 
que el proceso se complete antes de una hora? (2 puntos). 
 
Por el TCL El tiempo T total será una normal N(60,60). Por tanto P(T<60)=0.5 
Ejemplo 
Tema 5: Modelos de probabilidad 
1. Introducción. 
2. El proceso de Bernoulli. 
3. El proceso de Poisson. 
4. Variables aleatorias asociadas al proceso de Poisson. 
5. La variable aleatoria normal. 
6. Relación entre la normal, la binomial y la Poisson. 
44 
Aplicación del TCL a la Binomial 
Sea X~B(n,p). Entonces 𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯+ 𝑋𝑛 , 
donde Xi son variables de Bernoulli 
Entonces, si n es suficientemente grande, tal que 𝑛𝑛(1 − 𝑛) > 5 
B(10,0.1) B(30,0.5) 
Ejemplo: Se tiene un lote de 5000 artículos fabricados por la misma máquina M. Se sabe que en 
condiciones habituales de funcionamiento, la máquina produce un 1% de artículos 
defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que en ese lote haya más de 50 artículos 
defectuosos? 
X∼B(5000,0.01). Como np(1-p)=5000×0.01×0.99=49.5 tendremos que X∼N(50,49.5), 
P(X>50)=0.5 
𝑋~𝑁(𝑛𝑛,𝑛𝑛(1 − 𝑛)) 
45 
Aplicación del TCL a la Poisson 
Sea Yi ~Poi(λi) Entonces 𝑌 = 𝑌1 + 𝑌2 + ⋯+ 𝑌𝑛 ~Poi(λ) con λ = λ1 + ⋯+ λ𝑛 
Si n es suficientemente grande, tal que λ>5, entonces 
Y~N(λ, λ) 
Ejemplo: Un cable de fibra óptica tiene por término medio 2 defectos por cada 10 
metros de cable. ¿Qué unidad de medida deberíamos usar para utilizar la 
normal en el cálculo de probabilidades? 
Para que λ>5 defectos por unidad de medida necesitamos 
utilizar como unidad de medida mínima los 25 metros 
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 
0 
0.05 
0.1 
0.15 
0.2 
0.25 
0.3 
0.35 
0.4 
λ=1.5 
0 5 10 15 20 25 30 
0 
0.02 
0.04 
0.06 
0.08 
0.1 
0.12 
0.14 
λ=15 
46 
	Número de diapositiva 1
	Número de diapositiva 2
	Tema 5: Modelos de probabilidad
	Número de diapositiva 4
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	Número de diapositiva 6
	Número de diapositiva 7
	Número de diapositiva 8
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	Número de diapositiva 18
	Número de diapositiva 19
	Número de diapositiva 20
	Tema 5: Modelos de probabilidad
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	Número de diapositiva 41
	Número de diapositiva 42
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	Número de diapositiva 45
	Número de diapositiva 46