FINAL_EDB_2017_I_solucion

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ESTADÍSTICA BÁSICA 
SEMESTRE 2017-I 
FINAL 
SÁBADO 15 DE JULIO DE 2017 
Nombre:___________________________________________________________________________ 
Sección:___________________ 
Sólo puede consultarse el formulario y las tablas que se adjuntan. Utiliza 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓 salvo que se indique lo contrario. 
Justifica todas tus respuestas. 
 
 
1. Se sabe que la probabilidad de que un alumno desapruebe un examen es del 25%, la probabilidad de que un 
alumno estudie para dicho examen es del 90%, y de que un alumno estudie y apruebe es de 85%. 
a) ¿Es independiente el hecho de que un alumno estudie con su aprobación? Fundamente su respuesta 
analíticamente. (1 p) 
b) Calcule la probabilidad de que un alumno apruebe el examen o estudie para dicho examen. (1 p) 
SOLUCIÓN 
Sean los sucesos: 
• 𝐴: Aprobar el examen. 
• 𝐸: Estudiar para el examen 
𝑃(�̅�) = 0.25 
𝑃(𝐴) = 0.75 
 
𝑃(𝐸) = 0.90 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐸) = 0.85 
a) Si 𝐴 y 𝐸 son sucesos independientes, deberá cumplirse que: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐸) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐸) 
Se tiene que 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) = 0.75 × 0.90 ≠ 0.85, por lo que no se cumple dicha condición, se puede afirmar que 
ambos sucesos no son independientes. (1 p) 
 
 
b) La probabilidad de que un alumno apruebe o estudie es 𝑃(𝐴 ∪ 𝐸) 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐸) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐸) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐸) 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐸) = 0.75 + 0.90 − 0.85 
𝑷(𝑨 ∪ 𝑬) = 𝟎. 𝟖𝟎 (1 p) 
 
 
 
 
2. En un parque temático, se han clasificado a los clientes, en relación con el consumo (en dólares) que realizan en 
el parque, en dos categorías: A y B. El consumo de los clientes tipo A es una variable aleatoria con la siguiente 
función de densidad: 
 
 
 
 
 
 
 
El consumo de los clientes tipo B es una variable exponencial de media $40. Además, se sabe que, de los 
clientes que llegan al parque, el 60% es del tipo A y el 40% es del tipo B. 
 
Responda de manera justificada las siguientes preguntas: 
a) Demuestre que 𝑘 tiene un valor de 
1
5000
. Utilice este valor para sus cálculos posteriores. (0.5 p) 
b) Calcule los cuartiles de la distribución del consumo de los clientes del tipo B. (1 p) 
c) Calcule la probabilidad de que un cliente tipo A consuma menos de $60 en el parque temático. (1 p) 
d) Calcule la probabilidad de que, sabiendo que un cliente tipo B está dispuesto a gastar como máximo $60, 
gaste más de $20 en el parque temático. (1.5 p) 
e) Calcule la probabilidad de que un cliente cualquiera consuma menos de $60 en el parque temático. (2 p) 
f) Si en un día determinado llegan 120 clientes del tipo A, ¿cuál es la probabilidad de que más de la mitad de 
dichos clientes consuma menos de $60 en el parque temático? (2 p) 
SOLUCIÓN 
a) Si 𝑓(𝑥) es función densidad, se debe cumplir que: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
+∞
−∞
= 1 
∫ 𝑘𝑥 𝑑𝑥
50
0
+ ∫
200 − 𝑥
15000
𝑑𝑥
200
50
= 1 
∫ 𝑘𝑥 𝑑𝑥
50
0
+ 0.75 = 1 
∫ 𝑘𝑥 𝑑𝑥
50
0
= 0.25 
𝑘(502)
2
−
𝑘(02)
2
= 1 
𝑘 =
1
5000
 (0.5 p) 
 
𝑘𝑥 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 50 
 
200 − 𝑥
15000
 ; 50 < 𝑥 ≤ 200 
𝑓(𝑥) 
b) El gasto de los clientes tipo B se distribuye como una exponencial de media 40: 
𝜇 = 40 =
1
λ
 
λ =
1
40
 (0.25 p) 
 
Sea B el gasto de un cliente del tipo B: 𝐵~𝐸𝑥𝑝 (
1
40
) 
Sus cuartiles serán: 
- 𝑃(𝐵 < 𝑄1) = 0.25 
1 − 𝑒−
𝑄1
40 = 0.25 
𝑒−
𝑄1
40 = 0.75 
−
𝑄1
40
= ln(0.75) 
𝑄1 = 11.51 (0.25 p) 
- 𝑃(𝐵 < 𝑄2) = 0.50 
1 − 𝑒−
𝑄2
40 = 0.50 
𝑒−
𝑄2
40 = 0.50 
−
𝑄2
40
= ln(0.50) 
𝑄2 = 27.73 (0.25 p) 
- 𝑃(𝐵 < 𝑄3) = 0.75 
1 − 𝑒−
𝑄3
40 = 0.75 
𝑒−
𝑄3
40 = 0.25 
−
𝑄3
40
= ln(0.25) 
𝑄3 = 55.45 (0.25 p) 
c) Sea 𝐴 el gasto de un cliente del tipo A: 
 
𝑃(𝐴 < 60) = ∫
𝑥
5000
𝑑𝑥
50
0
+ ∫
200−𝑥
15000
𝑑𝑥
200
50
 = 0.25 + 0.0967 = 𝟎. 𝟑𝟒𝟔𝟕 (1 p) 
 
d) Sea 𝐵 el gasto de un cliente del tipo B: 
𝑃(𝐵 > 20 | 𝐵 ≤ 60) =
𝑃(𝐵 > 20 ∩ 𝐵 ≤ 60)
𝑃(𝐵 ≤ 60)
 
=
𝑃(20 < 𝐵 ≤ 60)
𝑃(𝐵 ≤ 60)
=
(1 − 𝑒−
60
40) − (1 − 𝑒−
20
40)
1 − 𝑒−
60
40
= 𝟎. 𝟒𝟗𝟑𝟓 
 
- Definición correcta de la probabilidad condicionada: 1 p. 
- Cálculo de la probabilidad: 0.5 p. 
 
e) Sea 𝐺 el gasto de un cliente cualquiera, sea 60% la probabilidad de que sea del tipo A, y 40% la probabilidad de 
que sea del tipo B: 
 
𝑃(𝐺 < 60) = 𝑃(𝐺 < 60 | 𝑇𝑖𝑝𝑜 𝐴) × 𝑃(𝑇𝑖𝑝𝑜 𝐴) + 𝑃(𝐺 < 60 | 𝑇𝑖𝑝𝑜 𝐵) × 𝑃(𝑇𝑖𝑝𝑜 𝐵) 
𝑃(𝐺 < 60) = 0.3467 × 0.6 + 0.7769 × 0.4 
𝑃(𝐺 < 60) = 𝟎. 𝟓𝟏𝟖𝟖 
- Definición correcta de la probabilidad total: 1.5 p. 
- Cálculo de la probabilidad: 0.5 p. 
 
f) Sea 𝑋 el número de clientes del tipo A que gastan menos de $60 en un grupo de 120 clientes de dicho tipo: 
𝑋~𝐵(120, 0.3467) (0. 5 p) 
Debido a que 𝑛𝑝𝑞 = 120 × 0.3467 × 0.6533 = 27.18 > 5, por el TCL se puede aproximar la distribución binomial a 
una normal con: 
• Media: 𝜇 = 𝑛𝑝 = 120 × 0.3467 = 41.60 
• Varianza: 𝜎2 = 𝑛𝑝𝑞 = 120 × 0.3467 × 0.6533 = 27.18 
 
𝑋~𝑁(41.60, 27.18) (0. 5 p) 
Entonces, se pide 𝑃(𝑋 > 60) 
𝑧 =
60−41.60
√27.18
= 3.53 (0. 5 p) 
 
Finalmente: 𝑃(𝑋 > 60) = 𝑃(𝑍 > 3.53) ≈ 0 (0. 5 p) 
 
 
 
3. De una población normal se obtienen las observaciones: -0.67, 0.53, -1.20, 0.18, -0.75, 1.43, 1.26, -0.78. Un 
analista afirma que esta muestra procede de una población de media=0.1. Contrasta estadísticamente esta 
afirmación. (4p) 
 
SOLUCIÓN: 
Vamos a realizar el contraste (1p) 
𝐻0: 𝜇 = 0.1 
𝐻1: 𝜇 ≠ 0.1 
Como la población de la que procede nuestra muestra es una normal, podemos realizar el contraste basado en el 
estadístico de contraste t: 
𝑡0 =
�̅� − 0.1
�̂�/√𝑛
. 
 
En esta fórmula ha de emplearse la cuasi-desviación típica, donde se ha de dividir por 𝑛 − 1 . Con la muestra que se 
proporciona calculamos: 
�̅� =
−0.67 + 0.53 + ⋯ + (−0.78)
8
= 0.0000 
�̂� = √
(−0.67 − 0)2 + ⋯ + (−0.78 − 0)2
7
= 1.0004 
y el estadístico queda entonces: 
𝑡0 =
0 − 0.1
1.0004/√8
= −0.2827 (𝟏𝒑). 
 
Al tratarse de una población normal, la distribución de 
referencia es la 𝑡𝑛−1 ≡ 𝑡7. La región de rechazo es 
|𝑡| > 𝑡7;0.025 = 2.365 (𝟏𝒑), 
por lo que, con 𝑡0 = −0.2827 , estamos en la región de 
aceptación de 𝐻0. Por tanto, podemos asumir que la muestra 
procede de una población de media 𝜇 = 0.1. O bien, no hay 
evidencia suficiente para rechazar que 𝜇 = 0.1. (1p) 
 
 
4. Se desea conocer qué porcentaje de vehículos tiene contratada una póliza de seguro vehicular. ¿A cuántos 
vehículos debemos preguntar para estimar dicha proporción con un margen de error de 0.05? (2p) 
 
SOLUCIÓN 
Colocándonos en la situación más desfavorable, donde 𝑝 = 𝑞 = 0.5, y asumiendo que 𝑛 será lo suficientemente 
grande para que �̂� se distribuya como una normal, el tamaño muestral necesario será 
𝑛 = (
𝑧𝛼 2⁄ √𝑝𝑞
𝐿
)
2
= (
1.96 × 0.5
0.05
)
2
= 384.16 ≈ 385 
donde, como buscamos el n que garantice que el margen de error no sea mayor a 0.05, redondeamos al entero 
superior. 
 
 
 
5. Se poseen datos de una muestra de estudiantes de EDB. La información que se tiene es: 
a. Promedio: nota final obtenida en la asignatura (sin descuentos por inasistencias) 
b. IA: índice académico de cada estudiante 
c. Frec: variable binaria que representa que el alumno asiste frecuentemente a clase. 1=menos de 5 
inasistencias, 0=5 ó más inasistencias. 
Con estas variables se realiza una regresión que explique la variable Promedio en función de IA y Frec. Los 
resultados se resumen en la siguiente tabla. 
 
 
 
 
Se pide, justificando la respuesta: 
a) Interpreta los coeficientes de la regresión, incluido el del término constante. (3p) 
b) A partir de los resultados del modelo, ¿le interesa a un alumno ir frecuentemente a clase? (1p) 
 
SOLUCIÓN 
 
a) 
• IA: 0.89. El coeficiente es significativo, por lo que se acepta que ejerce una influencia en el valor del 
promedio. Si IA aumenta en una unidad, independientemente de si el alumno asiste o no a clase, la 
nota del promedio aumenta en 0,89 puntos por término medio. 
• Frec: el coeficiente es significativo, por lo que se acepta que influye enel valor del promedio. Para un 
mismo IA, el asistir regularmente a clase (Frec=1) aumenta el promedio en 1.69 respecto de los que no 
lo hacen (Frec=0), por término medio. 
• El término constante es el valor previsto del promedio cuando los factores toman el valor cero. En este 
caso, esa situación no existe, pues no hay IA=0 en alumnos que estén cursando EDB. 
b) Si, pues independientemente de su IA, asistir a clase supone, por término medio, un aumento de 1.69 
puntos en el promedio.