GEOMETRIA_Y_TRIGONOMETRIA - Anette Rachel Pinacho Matías

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El 14 de marzo se celebra el Día Internacional del Número Pi. Con esta celebración 
la comunidad docente y científica rinde homenaje al número, a las matemáticas y 
a la ciencia en general. 
 
 
 
 
 
PRESENTACIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cada día se genera más conocimiento en el 
mundo, pero por desgracia no es accesible 
para muchos, por lo que es necesario buscar 
nuevas formas para que todos lo tengan al 
alcance. 
Bajo esta premisa se ha concebido este 
material, en donde se busca que tengas acceso 
de una manera fácil al conocimiento y te 
permita el logro de tus aprendizajes, para ser 
usados en la escuela y en la vida. 
Por tal motivo, esta propuesta fusiona el 
material educativo por excelencia: “el libro” 
fusionado con los recursos multimedia que las 
nuevas tecnologías ofrecen, naciendo así el 
HIPERLIBRO. 
Este concepto está pensado en tí, por lo que se 
presenta en formato de libro, pero de una 
forma dinámica, es decir, te permite acceso a 
otros recursos que estarán al alcance en tan 
solo un clic: como videos explicativos, audios, 
imágenes, simuladores, calculadoras entre 
otros, ofreciéndote la oportunidad de usar la 
red para seguir aprendiendo. 
Te invito a que lo explores y que decidas el 
ritmo de tu aprendizaje, pero sobre todo que 
te sirva para adquirir más saberes, con la 
finalidad de que seas un mejor alumno y una 
mejor persona para el bien de tu escuela, el de 
tus familiares y tu comunidad. 
Éxito. 
Aristófanes Madrigal Uc 
Autor 
 
 
 
Contenido 
I. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS ................................................................................. 1 
PUNTO, RECTA Y PLANO ........................................................................................................... 2 
Intro.......................................................................................................................................... 2 
Valorando lo que sabes ............................................................................................................ 3 
Aprendiendo ............................................................................................................................ 3 
Evaluando tus aprendizajes ...................................................................................................... 5 
ÁNGULOS ..................................................................................................................................... 6 
Intro.......................................................................................................................................... 6 
Valorando lo que sabes ............................................................................................................ 6 
Aprendiendo ............................................................................................................................ 7 
Definición de ángulo ............................................................................................................. 7 
Clasificación de los Ángulos ................................................................................................. 8 
Medición de ángulos ............................................................................................................ 9 
Para saber más ................................................................................................................... 10 
Sistemas de medición de ángulos ....................................................................................... 13 
Manos a la obra ...................................................................................................................... 15 
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................... 18 
Conversión de grados sexagesimales a radianes .................................................................... 18 
Manos a la obra ...................................................................................................................... 21 
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................... 21 
II. FIGURAS GEOMÉTRICAS ..................................................................................................... 22 
Intro........................................................................................................................................ 22 
Valorando lo que sabes .......................................................................................................... 23 
Aprendiendo .......................................................................................................................... 23 
Definición de polígono ....................................................................................................... 24 
Clasificación de los polígonos ............................................................................................. 24 
Para practicar ......................................................................................................................... 26 
TRIÁNGULOS .......................................................................................................................... 27 
Clasificación de los triángulos ............................................................................................. 27 
Propiedades de los triángulos ............................................................................................ 29 
Manos a la obra .................................................................................................................. 35 
 
 
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................... 36 
Construcción de triángulos ................................................................................................. 37 
Manos a la obra ...................................................................................................................... 39 
CUADRILÁTEROS ................................................................................................................. 39 
Clasificación de los cuadriláteros........................................................................................ 39 
Manos a la obra ...................................................................................................................... 41 
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................... 42 
POLIGONOS REGULARES .................................................................................................... 42 
Elementos de un polígono .................................................................................................. 42 
Propiedades de los polígonos regulares ............................................................................. 42 
Manos a la obra ...................................................................................................................... 44 
Perímetros y áreas de un polígono ..................................................................................... 45 
Manos a la obra ...................................................................................................................... 49 
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................... 52 
CUERPOS GEOMÉTRICOS........................................................................................................ 52 
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................... 56 
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA ..................................................................................... 56 
Manos a laobra ...................................................................................................................... 59 
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................... 61 
III. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS ........................................................................................ 62 
TRIANGULACIÓN DE POLÍGONOS ............................................................................................... 62 
Intro........................................................................................................................................ 62 
Valorando lo que sabes .......................................................................................................... 64 
Aprendiendo .......................................................................................................................... 64 
Manos a la obra ...................................................................................................................... 66 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS ................................................................................................ 67 
Intro........................................................................................................................................ 67 
Valorando lo que sabes .......................................................................................................... 67 
Aprendiendo .......................................................................................................................... 68 
Criterios de congruencia para triángulos ............................................................................ 69 
Manos a la obra ...................................................................................................................... 72 
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................... 74 
IV. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS ............................................................................................. 75 
 
 
Intro........................................................................................................................................ 75 
Valorando lo que sabes .......................................................................................................... 76 
Aprendiendo .......................................................................................................................... 76 
ESCALAS.................................................................................................................................. 77 
Manos a la obra ...................................................................................................................... 80 
Criterios de semejanza de triángulos ..................................................................................... 83 
Para practicar ......................................................................................................................... 87 
Manos a la obra ...................................................................................................................... 90 
TEOREMA DE TALES ............................................................................................................... 91 
Manos a la obra ...................................................................................................................... 95 
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................... 96 
CASOS DE APLICACIÓN DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES .......................................................... 96 
Manos a la obra ...................................................................................................................... 98 
TEOREMA DE PITÁGORAS. ...................................................................................................... 99 
Identificación de tipos de triángulos conocidos sus tres lados ......................................... 104 
Manos a la obra .................................................................................................................... 108 
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................. 110 
V. TRIGONOMETRÍA ............................................................................................................. 111 
Intro...................................................................................................................................... 111 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS .............................................................................................. 112 
Manos a la obra .................................................................................................................... 116 
CIRCULO UNITARIO (TRIGONOMÉTRICO) ............................................................................. 118 
Manos a la obra .................................................................................................................... 120 
Uso de la calculadora para obtener las funciones trigonométricas. ................................. 120 
Manos a la obra .................................................................................................................... 122 
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ..................................................................... 123 
Para saber más ................................................................................................................. 129 
Problemas de aplicación con triángulos rectángulos........................................................ 129 
Manos a la obra .................................................................................................................... 132 
Para saber más ................................................................................................................. 134 
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................. 134 
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS ............................................................................................ 135 
Ley de senos ..................................................................................................................... 135 
 
 
Ley de cosenos ................................................................................................................. 137 
Para saber más ................................................................................................................. 139 
Manos a la obra .................................................................................................................... 140 
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................. 140 
 
 
 
1 
 
 
I. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APRENDIZAJES ESPERADOS. 
• Distingue conceptos básicos de: recta, segmento, semirrecta, línea curva. 
 
La palabra Geometría procede de raíces griegas y significa medida de la Tierra. De 
acuerdo con la Real Academia Española, la geometría se define como el “Estudio de las 
propiedades y de las medidas de las figuras en el plano o en el espacio”. 
 
 
2 
 
Existen varias ramas o tipos de Geometría 
algorítmica. 
Aplicación del álgebra a la geometría para resolver por medio del cálculo ciertos problemas 
de la extensión. 
analítica. 
Estudio de figuras que utiliza un sistema de coordenadas y los métodos del análisis 
matemático. 
 
del espacio. 
Parte de la geometría que considera las figuras cuyos puntos no están todos en un mismo 
plano. 
descriptiva. 
Parte de las matemáticas que tiene por objeto resolver los problemas de la geometría del 
espacio por medio de operacionesefectuadas en un plano y representar en él las figuras de 
los sólidos. 
plana. 
Parte de la geometría que considera las figuras cuyos puntos están todos en un plano. 
proyectiva. 
Rama de la geometría que trata de las proyecciones de las figuras sobre un plano. 
 
En este libro se estudiará sobre la geometría plana, es decir, en dos dimensiones. 
 
PUNTO, RECTA Y PLANO 
Intro 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solo hay que mirar a nuestro alrededor para darnos cuenta de que mucho de lo que nos 
rodea son puntos y líneas rectas. En la imagen de arriba puedes observar que las mesas, 
sillas, cuadros, pared, piso y ventana están formadas por rectas. La mayoría de las 
figuras geométricas tienen como contorno una línea recta. 
https://www.youtube.com/watch?v=1357K4j6otA
3 
 
Todas las figuras geométricas están formadas por ciertos componentes elementales, 
entre ellos están el punto, la recta y el plano. Incluso se puede decir que tanto la recta y 
el plano están formados por puntos, se puede hacer la analogía con los átomos ya que 
todos los objetos están formados por estas diminutas partículas. 
Valorando lo que sabes 
 
 
Imagen de Memed_Nurrohmad en Pixabay 
 
Aprendiendo 
El punto no tiene dimensiones (0 dimensiones) y sirve para indicar una posición en el 
plano o espacio, se representa con una letra mayúscula y gráficamente se puede 
observar en la intersección de dos rectas, físicamente lo podemos asemejar a la punta 
de un lápiz. 
 
 
 
La línea recta o simplemente recta es una de las formas más usadas en Geometría, esta 
se puede definir como una sucesión infinita de puntos que siguen una única dirección, 
no tiene principio ni fin y solo tiene 1 dimensión, se puede asemejar a un hilo tenso o el 
borde de una regla y está representada con una letra minúscula. En algunas ocasiones 
se usan flechas para indicar que se extiende hasta infinito. 
 
 Rccta l Recta q Recta r 
Punto A 
Punto B 
De la figura de la izquierda estima 
APROXIMADAMENTE la cantidad de 
puntos, rectas y curvas. 
https://pixabay.com/es/users/memed_nurrohmad-3307648/?utm_source=link-attribution&utm_medium=referral&utm_campaign=image&utm_content=1670432
https://pixabay.com/es/?utm_source=link-attribution&utm_medium=referral&utm_campaign=image&utm_content=1670432
4 
 
La recta tiene dos variantes: la semirecta y el segmento 
Semirecta 
Tiene principio, pero no tiene fin. 
 
Se extiende hasta el infinito, pero en 
un solo sentido. 
 
El punto donde empieza se llama 
Origen. 
 
Se representa: 
 
 
 
 
Segmento 
Tiene principio y tiene fin 
 
Es finita en los dos sentidos 
 
Sus extremos se suelen nombrar 
con letras mayúsculas. 
 
La distancia entre los dos extremos 
es la longitud del segmento 
 
Se escribe con las letras de los 
extremos con una raya arriba. 
 
 
 
 
 
 
La línea curva es una sucesión infinita de puntos pero que cambian continuamente de 
dirección. 
 
 
 
Si se tienen dos puntos cualesquiera sobre una hoja de papel, piensa en las diferentes 
maneras en las que se pueden unir estos puntos, seguramente encontrarás diferentes 
maneras de hacerlo. Aquí te muestro dos formas. 
 
 
Como te habrás dado cuenta, existe un número ilimitado de líneas que se pueden trazar 
para unir dos puntos, pero solo una de ellas te da el camino más corto y esta es la línea 
recta. Por lo tanto, si quieres trazar una recta solo necesitas tener dos puntos 
 
El plano es un objeto ideal infinito que solo tiene dos dimensiones y puede contener 
infinitos puntos y rectas, para trazar un plano se necesitan tres puntos no alineados, o 
tener un punto y una recta, o dos rectas. Un plano se puede representar de forma física 
en una hoja de papel o la superficie de una mesa y se designan mediante letras griegas 
( 𝛼, 𝛽, 𝜋) 
 
Origen 
A B 
M N 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 
𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ 
A 
B 
A 
B 
A 
B 
A 
B 
Origen 
Plano 𝛼 
Plano 𝜋1 
Plano 𝜋2 
5 
 
 
Evaluando tus aprendizajes 
Puedes imprimir el crucigrama y resolverlo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O si lo prefieres puedes realizarlo en línea dando clic en el siguiente enlace. 
https://puzzel.org/es/crossword/play?p=-MOcZLfxOQPxhEOlEsNB 
 
https://puzzel.org/es/crossword/play?p=-MOcZLfxOQPxhEOlEsNB
6 
 
ÁNGULOS 
 
APRENDIZAJES ESPERADOS. 
• Interpreta los elementos y las características de los ángulos. 
• Mide, manual e instrumentalmente, los objetos trigonométricos y da 
tratamiento a las relaciones entre los elementos de un triángulo. 
• Trabaja con diferentes sistemas de medición de los ángulos, realiza conversiones 
de medidas. 
 
Intro 
El estudio de los ángulos les permitió a los hombres abrirse paso en el mundo, edificando 
ciudades, construyendo herramientas y confeccionando su propia vestimenta. Todo esto 
a partir de la comprensión de importancia de aquel pequeño punto en que se intersectan 
dos rectas. 
El 100% de las cosas que rodean a la humanidad están hechas a 
partir de conocimientos geométricos y trigonometría. 
Los ángulos están presentes en cada uno de los objetos que 
nosotros vemos, tocamos o usamos. Hoy en día podemos ver 
ángulos en casi cualquier parte de nuestro alrededor; por ejemplo, 
desde colocar una pantalla en una cierta posición para tener el 
mejor ángulo de visión o son usados para construir desde una 
sencilla rampa hasta un moderno y complejo rascacielos. 
Adaptado de: Importancia de los ángulos en la vida cotidiana https://tiposdeangulos.com/importancia-de-los-angulos-en-la-vida-cotidiana 
 
Valorando lo que sabes 
Relaciona la columna de la derecha con la columna de la izquierda colocando dentro del 
paréntesis la letra que corresponda. 
a) Ángulo llano 
( ) 
b) Ángulo recto 
( ) 
 
 
c) Ángulo agudo 
( ) 
 
 
 
https://tiposdeangulos.com/importancia-de-los-angulos-en-la-vida-cotidiana
7 
 
d) Ángulo obtuso 
( ) 
e) Ángulos complementarios ( ) Son dos ángulos que suman 180° 
f) Ángulos suplementarios ( ) Son dos ángulos que suman 90° 
g) Vértice ( ) Es el punto donde se unen las dos semirectas 
 
Aprendiendo 
Definición de ángulo 
Un ángulo es una porción del plano limitada por dos semirectas llamadas lados, 
que comparten el mismo punto de origen, denominado vértice del ángulo. 
La medida de un ángulo es considerada como la longitud del arco de circunferencia 
centrada en el vértice y delimitada por sus lados, puede medirse en unidades como el 
radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal. 
 
 
 
 
Un ángulo se puede nombrar de varias maneras, 
una de ellas es por medio de letras griegas como 
(𝛼, 𝛽, 𝜙, 𝜃) 
 
 
Otra forma de nombrar a los ángulos es usando 
las letras de los lados y vértices (donde la letra 
del vértice debe quedar en medio) 
 
 
Una tercera forma de nombrar a los ángulos es 
usando números ya sea arábigos o romanos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lado A 
Lado B 
Vértice Ángulo 
𝛼 ∠ 𝛼 o ∢ 𝛼 
 
𝐴 
 
𝐵 
 
𝐶 
 
Se lee: ángulo alfa 
 
∠ 𝐴𝐵𝐶 o ∢ 𝐴𝐵𝐶 
 
Se lee: ángulo ABC 
 
1 I 
∠ 1 ∠ I 
 
8 
 
Clasificación de los Ángulos 
Los ángulos se pueden clasificar según su abertura o medida en: 
 Nombre del 
ángulo 
Figura Características 
 
 
 
 
CONVEXO 
(Mayor a 0° y menor a 
180°) 
Agudo 
 
 
 
 
Mide menos de 90° 
Recto 
 
 
 
 
Mide 90°. El cuadrado 
en el ángulo indica que 
vale 90° 
Obtuso 
 
 
 
Mide más de 90° y 
menos de 180° 
 
Llano 
 
 
 
 
Mide 180° 
 
 
Cóncavo o entrante 
 
 
 
 
Mayor a 180° y menor 
a 360° 
 
 
Completo 
 
 
 
Mide 360° 
 
 
Los ángulos se pueden clasificar según su posición en: 
Nombre del ángulo Figura Característica 
Consecutivos 
 
 
 
Son aquellos que tienen un vértice y lado 
común 
Adyacentes 
 
 
 
 
Son aquellos que tienen el vértice y un lado 
común, y los otros lados situadosuno en 
prolongación del otro. Suman 180° 
Opuestos por el 
vértice 
 
 
 
 
 
Son aquellos que tienen el vértice 
común y sus lados son semirrectas 
opuestas. Siempre tienen igual medida. 
 
 
 
 
 
𝛼 𝛽 
Lado 
común 
Vértice 
común 
2 1 
Lado 
común 
Vértice 
común 
𝐼𝐼 𝐼 
 
∠𝛼 + ∠𝛽 = 180° 
∠𝐼 = ∠𝐼𝐼 
∠𝐴 = ∠𝐵 
 
𝐵 
𝐴 
9 
 
Los ángulos se pueden clasificar según su suma en: 
Nombre del ángulo Figura Característica 
Complementarios 
 
 
 
 
Forman un ángulo recto, es decir, 
suman 90° 
Suplementarios 
 
 
 
Forman un ángulo llano, es decir, 
suman 180° 
 
 
Medición de ángulos 
En nuestra vida cotidiana algunas veces no solo es necesario medir longitudes, 
además se deben de medir ángulos, un instrumento muy común en la escuela para 
medir ángulos es el transportador que viene incluido en todos los juegos de 
Geometría. Pero la medición de ángulos no se limita a ese instrumento. Por ejemplo, 
el inclinómetro mide la inclinación de los ángulos respecto al suelo, el sextante 
que es un instrumento que permite medir ángulos entre dos puntos por ejemplo entre 
un astro y el horizonte. 
 
 
 
 
 
Inclinómetro. De Jnn, CC BY 2.1 jp, 
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=578883 
 Uso del sextante. 
https://es.wikipedia.org/wiki/Sextante#/media/Archivo:Using_the_
sextant_edit1.gif 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
1 
2 
1 
https://es.wikipedia.org/wiki/Sextante%23/media/Archivo:Using_the_sextant_edit1.gif
https://es.wikipedia.org/wiki/Sextante%23/media/Archivo:Using_the_sextant_edit1.gif
10 
 
Ejemplos: 
Sección 1 
Mide al valor entero más cercano los siguientes ángulos usando el transportador y 
de acuerdo con su medida di que tipo de ángulo es: 
a) ∠𝐴𝐵𝐶 = 130° (ver) b) ∠𝑃𝑄𝑅 = 29° (ver) 
 
 
 
Tipo de ángulo: ___Obtuso____ Tipo de ángulo: ___Agudo___ 
c) ∠𝑀𝑁𝑃 = 28° (ver) e) ∠𝑁𝑀𝑃 = 
Tipo de ángulo: _ Agudo__ Tipo de ángulo: __Agudo__ 
 
d) ∠𝑀𝑃𝑁 = 90° (ver) 
Tipo de ángulo: __Recto__ 
 
 
Sección 2 
Usando el transportador traza los siguientes ángulos y de acuerdo con su medida di 
que tipo de ángulo es 
a) 32° (agudo) 
b) 105° (obtuso) 
c) 200° (entrante o cóncavo) 
d) 330° (entrante o cóncavo) 
 
 
 
Para saber más 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B C 
P 
Q 
R 
M 
N 
P 
Ver respuestas 
https://drive.google.com/file/d/1n9IfnBxTlVIjJ_sAiCXCWS8uidoBKpcD/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1qKJLp6M4q5-Y3jdIJ6_W1U8NaWXpP8g-/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1aH98RTUQT1VixG0KkDgnYnKivAW5eEix/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1ukqfp5zIdfxZCw1Yl7rzYExUb93ye3KN/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1ubXQT6Z3sEyVxExxwPakdjM7MNXnTl2s/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1ubXQT6Z3sEyVxExxwPakdjM7MNXnTl2s/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1ubXQT6Z3sEyVxExxwPakdjM7MNXnTl2s/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1ubXQT6Z3sEyVxExxwPakdjM7MNXnTl2s/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1ubXQT6Z3sEyVxExxwPakdjM7MNXnTl2s/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1ubXQT6Z3sEyVxExxwPakdjM7MNXnTl2s/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1ubXQT6Z3sEyVxExxwPakdjM7MNXnTl2s/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1ubXQT6Z3sEyVxExxwPakdjM7MNXnTl2s/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1ubXQT6Z3sEyVxExxwPakdjM7MNXnTl2s/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1ubXQT6Z3sEyVxExxwPakdjM7MNXnTl2s/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1ubXQT6Z3sEyVxExxwPakdjM7MNXnTl2s/view?usp=sharing
https://es.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-angle/measure-angles/a/constructing-angles-review
https://drive.google.com/file/d/1ubXQT6Z3sEyVxExxwPakdjM7MNXnTl2s/view?usp=sharing
11 
 
Sección 3 
Con base a la figura del transportador escribe el valor de los ángulos pedidos. 
 
 
 
 
Sección 4 
Obtén el valor de los ángulos 
a) Si ∠1 𝑦 ∠2 son ángulos complementarios y el ∠2 = 38°. Determina el valor del ∠1 
Como son complementarios los ángulos suman 90°, 
 asi: ∠1 + ∠2 = 90°, como ∠2 = 38° se sustituye el ángulo 2 en la ecuación 
∠1 + 38° = 90° despejando ∠1 
∠1 = 90° − 38° 
∠𝟏 = 𝟓𝟐° 
b) Sea ∠𝐴 𝑦 ∠𝐵 ángulos suplementarios, si el ∠𝐴 = 125°. Determina el valor del ∠𝐵 
Como son suplementarios los ángulos suman 180° 
asi: ∠𝐴 + ∠𝐵 = 180°, como ∠𝐴 = 125° se sustituye el ángulo A en la ecuación 
125° + ∠𝐵 = 180° despejando ∠𝐵 
∠𝐵 = 180° − 125° 
∠𝑩 = 𝟓𝟓° 
c) Sea ∠𝑀 𝑦 ∠𝑁 ángulos suplementarios, si ∠𝑀 = 15° 30´. Determina el valor del ∠𝑁 
Como son suplementarios los ángulos suman 180° 
asi: ∠𝑀 + ∠𝑁 = 180°, como ∠𝑀 = 15° 30´ se sustituye el ángulo M en la ecuación 
15° 30´ + ∠𝑁 = 180° despejando ∠𝑁 
 ∠𝑁 = 180° − 15° 30´ 
Para restar sin calculadora seguimos el siguiente procedimiento 
- Se van restando cada una de las columnas empezando por los segundos. 
- Si los segundos restados es un número negativo, se suma 60'' y se resta 1' en la 
siguiente columna a la izquierda. 
- Si los minutos restados es un número negativo, se suma 60' y se resta 1° en la 
siguiente columna a la izquierda. 
A 
B 
D 
C 
O 
a) ∠𝐴𝑂𝐵 = 50° 
b) ∠𝐴𝑂𝐷 = 150° 
c) ∠𝐵𝑂𝐶 = 40° 
d) ∠𝐶𝑂𝐷 = 60° 
e) ∠𝐵𝑂𝐷 = 100° 
f) ∠𝐴𝑂𝐶 = 90° 
12 
 
 
Como los minutos restados es negativo se suma 60' y se resta 1° 
en la siguiente columna a la izquierda. 
 
 
Así: ∠𝑵 = 𝟏𝟔𝟒° 𝟑𝟎´ 
d) Si ∠1 𝑦 ∠2 son ángulos complementarios y el ∠1 = 25°10´30´´. Determina el valor 
del ∠2 
Como son complementarios los ángulos suman 90°, 
 asi: ∠1 + ∠2 = 90°, como ∠1 = 25°10´30´´ se sustituye el ángulo 1 en la ecuación 
25°10´30´´ + ∠2 = 90° despejando ∠2 
 ∠2 = 90° − 25°10´30´´ 
 
 
 
Como los segundos restados es un número negativo, se suma 60'' 
y se resta 1' en la siguiente columna a la izquierda 
Si los minutos restados es un número negativo, se suma 60' y se 
resta 1° en la siguiente columna a la izquierda 
 
 
 
 
e) Si el complemento del ángulo 𝑥 es 2𝑥, ¿Cuál es el valor de 𝑥 en grados? 
Como son complementarios los ángulos suman 90°, 
asi: 𝑥 + 2𝑥 = 90 Resolviendo la ecuación 
 3𝑥 = 90 El 3 divide a 90 
 𝑥 =
90
3
= 𝟑𝟎° 
f) Calcula el valor de dos ángulos suplementarios tal que un ángulo es 30° mayor que el 
otro. 
Si ∠𝐴 = 𝑥, entonces ∠𝐵 = 𝑥 + 30 ya que es 30° mayor que el otro ángulo 
Como son suplementarios 
∠𝐴 + ∠𝐵 = 180°, sustituyendo el ángulo A y B 
 𝑥 + (𝑥 + 30) = 180 resolviendo la ecuación 
2𝑥 + 30 = 180 cambiando 30 a la derecha 
2𝑥 = 180 − 30 
2𝑥 = 150 El 2 divide a 150 
𝑥 = 75° 
Así: ∠𝟐 = 𝟔𝟒°𝟒𝟗´𝟑𝟎´´ 
13 
 
 ∠𝐴 = 𝑥 = 𝟕𝟓° y ∠𝐵 = 𝑥 + 30 
 ∠𝐵 = 75 + 30 = 𝟏𝟎𝟓° 
 
Sección 5 
Calcula la medida de cada ángulo. Justifica 
a) Si ∠𝛿 = 105° 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
Sistemas de medición de ángulos 
En la medida de ángulos se utilizan varias unidades, generalmente en el ámbito 
escolar se usa el grado sexagesimal, pero en matemáticas la unidad angular más 
usada es el radián, pero también existe el grado centesimal. 
La razón por la cual existen varias formas de medir ángulos es que los mismos son a 
menudo empleados en distintas áreas del conocimiento como en las ciencias 
matemáticas (matemática, física, química, astronomía, entre otras), ciencias naturales 
(geografía), arquitectura, ingeniería civil, dibujo, entre otras. 
En atención al tipo de requerimiento que exige el desarrollo de cada una de estas 
disciplinas, se aplica un mecanismo de medición específico, ejemplo: en la topografía 
los ángulos son medidos bajo el sistema centesimal. 
Sistema Centesimal 
El sistema centesimal divide un círculo en 400 partes iguales, o bien,un ángulo recto 
en 100 partes iguales, y a cada una de esas partes se le denomina grado centesimal 
o gradián, y se simboliza con una «g» minúscula como superíndice del número, por 
ejemplo, 35g. 
A su vez, cada grado centesimal se subdivide en unidades más pequeñas 
dividiéndolo en cien partes iguales, y dando lugar al minuto. Así, el minuto (m) en este 
sistema es la centésima parte del grado (1g = 100m) y el segundo (s) la centésima 
parte del minuto (1m = 100s). 
El ∠𝛿 = ∠𝛾 por ser opuestos por el vértice, así 𝜸 = 𝟏𝟎𝟓°. Como ∠𝛼 es 
adyacente y suplementario de ∠𝛿, se tiene que 𝛼 + 𝛿 = 180°, ya que 
𝛿 = 105° se puede sustituir: 
𝛼 + 105° = 180° despejando 𝛼 se tiene que 
𝛼 = 180° − 105° = 75° y por ser opuesto con el vértice con 𝛽, entonces 
𝛽 = 75° 
 
65° 
𝛼 + 65° + 90° = 180° ya que los tres ángulos completan un ángulo llano, 
resolviendo la ecuación se tiene que 𝛼 = 25°. Como ∠𝛼 y ∠𝛽 son ángulos 
adyacentes y suplementarios se tiene que 𝛼 + 𝛽 = 180°, despejando 𝛽 y 
sustituyendo en la ecuación por 𝛼 = 25° , así 25 + 𝛽 = 180° despejando 
𝛽 se tiene que 𝛽 = 180° − 25° = 155° 
 
 
14 
 
Ejemplos: 
50g 10m 50s se lee: 50 grados centesimales 10 minutos y 50 segundos 
225g 30m 225 grados centesimales y 30 minutos 
0g 5m 15s 5 minutos y 15 segundos 
 12g 42s 12 grados centesimales y 42 segundos 
 
Sistema Sexagesimal 
Para el sistema sexagesimal un círculo o una vuelta completa se divide en 360 
grados sexagesimales, se expresa con el símbolo °, por lo que se expresa como 
360°. 
Cada grado ° se divide en 60 partes llamadas minutos se expresa con ´ 
Y cada minuto se divide en 60 pequeñas partes llamadas segundos ´´ 
 
 
 
 
 
 
Así un ángulo se puede expresar en grados, minutos y segundos 
30°10´50´´ se lee: 30 grados 10 minutos y 50 segundos 
225°30´ 225 grados y 30 minutos 
0°50´40´´ 50 minutos y 40 segundos 
 8°15´´ 8 grados y 15 segundos 
 
Sistema Circular o radial 
El sistema circular usa como unidad de medida el radián (rad). Un radián se define 
como el ángulo central que abarca un arco de longitud igual al radio. 
El ángulo central es un ángulo cuyo vértice es el centro de una circunferencia y sus 
lados son radios de la circunferencia. 
 
 
 
1° 
1°=60´ 
 
 
1´=60´´ 
1 circulo = 360 grados 
 1 grado = 60 minutos 
 1minuto = 60 segundos
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARA SABER MAS 
 
 
Manos a la obra 
 
Ejercicio A 
Mide al valor entero más cercano los siguientes ángulos usando el transportador y de acuerdo con 
su medida di que tipo de ángulo es: 
1) ∠ 𝐶𝐴𝐵 = 2) ∠𝑃𝑄𝑅 = 
 Tipo de ángulo: _______ Tipo de ángulo: ________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
B 
C 
P 
Q 
R 
radio 
1 radián 
Para cualquier tamaño de circunferencia el radián 
siempre tendrá el mismo valor. 
 radián = ° ' . ”≈ 57.296°. 
 
En una circunferencia hay 2𝜋 
radianes por lo que 
aproximadamente equivale a 
6.28 radianes 
 
https://www.geogebra.org/m/W8rChZGs#:~:text=Equivalencia%20de%20radianes%20y%20%C3%A1ngulos,57%C2%B0%2017'%2044.806%E2%80%9D.
16 
 
 
 
3) ∠𝑃𝑄𝑅 = e 44) ∠𝑃𝑅𝑄 = 
Tipo de ángulo: ________ Tipo de ángulo: ______ __ 
 
5) ∠𝑄𝑃𝑅 = 
Tipo de ángulo: ________ 
 
Ejercicio B 
Observa los ángulos formados por las líneas de las siguientes figuras y determina si son agudos, 
rectos, obtusos, llanos, entrantes o completos. 
1) 
 
2) 
 
 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
 
5) 
 
Ejercicio C 
Usando el transportador traza los siguientes ángulos y de acuerdo con su medida di 
que tipo de ángulo es 
1) 90° 
2) 45° 
3) 130° 
4) 180° 
5) 250° 
P 
R
N 
Q 
17 
 
6) 310° 
Ejercicio D 
Con base a la figura del transportador escribe el valor de los ángulos pedidos. 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio E 
Obtén el valor de los ángulos pedidos 
Si ∠𝐴 𝑦 ∠𝐵 son ángulos complementarios. 
1) Si el ∠𝐴 = 20°. Determina el valor del ∠𝐵 
2) Si el ∠𝐵 = 30°10´. Determina el valor del ∠𝐴 
3) Si el ∠𝐵 = 54°23´20´´. Determina el valor del ∠𝐴 
4) Si la medida del ángulo A es el triple de la medida del ángulo B 
5) Si la medida del ángulo A es la mitad de la medida del ángulo B 
 
Si ∠𝑃 𝑦 ∠𝑄 son ángulos suplementarios. 
6) Si el ∠𝑄 = 112°. Determina el valor del ∠𝑃 
7) Si el ∠𝑃 = 56°14´. Determina el valor del ∠𝑄 
8) Si el ∠𝑄 = 98°12´36´´. Determina el valor del ∠𝑃 
9) Si la medida del ángulo P es el doble de la medida del ángulo Q 
10) Si la medida del ángulo Q es 20° mayor que la medida del ángulo P 
Ejercicio F 
Calcula la medida de cada ángulo. Justifica tu respuesta 
1) 2) 
 
 
∢𝐴 = ∢𝑥 = 
∢𝐵 = ∢𝑦 = 
∢𝐶 = ∢𝑧 = 
 
 
a) ∠𝐴𝑂𝐵 = 
b) ∠𝐴𝑂𝐶 = 
c) ∠𝐴𝑂𝐷 = 
d) ∠𝐵𝑂𝐷 = 
e) ∠𝐵𝑂𝐶 = 
f) ∠𝐶𝑂𝐷 = 
A 
B D 
C 
O 
32° 
B 
125° 
A 
C 
𝑥 
𝑦 
140°
𝑧 
18 
 
Evaluando tus aprendizajes 
 
 
 
 
 
 
Conversión de grados sexagesimales a radianes 
Una vuelta completa en grados sexagesimales vale 360° y en radianes vale 2𝜋 
radianes, por lo tanto: 
360°= 𝟐𝝅 rad 
Si dividimos cada miembro por 2 
𝟑𝟔𝟎°
𝟐
= 
𝟐𝝅
𝟐
 rad 
𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 rad 
 
Ejemplos: 
Convierte de grados sexagesimales a radianes 
a) 45° 
180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 Aplicando el método de regla de 3 (asegúrate de 
colocar el valor del ángulo debajo de 180°) 
 45° = 𝑥 𝑟𝑎𝑑 
180°𝑥 = 𝜋(45°) Se despeja x 
 
𝑥 =
(45°)𝜋
180°
=
45
180
𝜋 Se simplifica 
𝑥 =
1
4
𝜋 =
𝜋
4
 
Así 45° = 
𝜋
4
 rad 
b) 110° 20´ 
180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 Aplicando el método de regla de 3 (asegúrate de 
colocar el valor del ángulo debajo de 180°) 
110°20´ = 𝑥 𝑟𝑎𝑑 
https://forms.gle/ufDFiB2Y16pQcX1g7
https://forms.gle/UVaG3gvTmWwtFqPN8
19 
 
180°𝑥 = 𝜋(110°20´) Se despeja x 
𝑥 =
(110°20´)𝜋
180°
 Se divide 
𝑥 ≈ 0.6129𝜋 rad≈ 1.925 rad 
Así 110°20´≈ 1.925 rad 
c) 315°30´1 ” 
 180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 Aplicando el método de regla de 3 
315°30´18´´ = 𝑥 𝑟𝑎𝑑 
180°𝑥 = 𝜋(315°30´18´´) Se despeja x 
𝑥 =
(315°30´18´´)𝜋
180°
 Se divide 
𝑥 ≈ 1.7528𝜋 rad≈ 5.506 rad 
Así 315°30´18´´≈ 5.506 rad 
d) 200.42° 
 180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 Aplicando el método de regla de 3 
200.54° = 𝑥 𝑟𝑎𝑑 
180°𝑥 = 𝜋(200.54°) Se despeja x 
𝑥 =
(200.54°)𝜋
180°
 Se divide 
𝑥 ≈ 1.1141𝜋 rad≈ 3.5 rad 
Así 200.54°≈ 3.5 rad 
 
Convierte de radianes a grados sexagesimales 
a) 
2
3
𝜋 𝑟𝑎𝑑 
180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 Aplicando el método de regla de 3 (asegúrate de 
colocar el valor dado debajo de 𝜋) 
 𝑥° = 
2
3
𝜋 
𝜋𝑥 = 180° (
2
3
𝜋) Se multiplica 180° por la fracción y se conserva 𝜋 
20 
 
𝜋𝑥 = 120𝜋 Se despeja x 
𝑥 =
120𝜋
𝜋
= 120° Se “elimina” 𝜋, es decir, se divide 𝜋 entre 𝜋 
Así 
2
3
𝜋 𝑟𝑎𝑑 =120° 
b) 0.5 𝑟𝑎𝑑 
180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 Aplicando el método de regla de 3 (asegúrate de 
colocar el valor dado debajo de 𝜋) 
 𝑥° = 0.5 
𝜋𝑥 = 180°(0.5) Se multiplica 180° por 0.5 
𝜋𝑥 = 90 Se despeja x 
𝑥 =
90
𝜋
= 28°38´52.4´´ 
Así 0.5 rad = 28°38´52.4´´ 
 
c) 1.62 𝑟𝑎𝑑 
 
180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 Aplicando el método de regla de 3 (asegúrate de 
colocar el valor dado debajo de 𝜋) 
 𝑥° = 1.62 
𝜋𝑥 = 180°(1.62) Se multiplica 180° por 1.62 
𝜋𝑥 = 291.6 Se despeja x 
𝑥 =
291.6
𝜋
= 92°49´8.986´´ Así 1.62 rad = 92°49´8.986´´ 
 
 
d) 
𝜋
9
 𝑟𝑎𝑑 
180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 Aplicando el método de regla de 3 (asegúrate de 
colocar el valor dado debajo de 𝜋) 
 𝑥° = 
𝜋
9
 
𝜋𝑥 = 180° (
𝜋
9
) Se multiplica 180° por la fracción y se conserva 𝜋 
𝜋𝑥 = 20𝜋 Se despeja x 
𝑥 =
20𝜋
𝜋
= 20° 
Así 
𝜋
9
 rad = 20° 
 
21 
 
Manos a la obra 
Convierte de grados sexagesimales a radianes1) 150° 2) 300°20´ 
3) 78°30´18´´ 4) 204.50° 
5) 420°30´ 6) 90.10° 
Convierte de radianes a grados, minutos y segundos 
1) 
𝜋
4
 rad 2) 6.28 rad 
3) 1.5𝜋 rad 4) 0.34 rad 
5) 
3
5
𝜋 rad 6) 2 rad 
Evaluando tus aprendizajes 
 
 
 
 
Calculadora de 
rad a grados 
y de grados a rad 
https://www.matesfacil.com/calculadoras/conversion/calculadora-online-conversion-grados-radianes-angulos-ejemplos-problemas-resueltos.html
https://forms.gle/GvPAVsKeX5X1bhQn7
https://www.matesfacil.com/calculadoras/conversion/calculadora-online-conversion-grados-radianes-angulos-ejemplos-problemas-resueltos.html
https://www.matesfacil.com/calculadoras/conversion/calculadora-online-conversion-grados-radianes-angulos-ejemplos-problemas-resueltos.html
https://www.matesfacil.com/calculadoras/conversion/calculadora-online-conversion-grados-radianes-angulos-ejemplos-problemas-resueltos.html
https://www.matesfacil.com/calculadoras/conversion/calculadora-online-conversion-grados-radianes-angulos-ejemplos-problemas-resueltos.html
https://www.matesfacil.com/calculadoras/conversion/calculadora-online-conversion-grados-radianes-angulos-ejemplos-problemas-resueltos.html
22 
 
 
II. FIGURAS GEOMÉTRICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APRENDIZAJES ESPERADOS 
• Identifica, clasifica y caracteriza a las figuras geométricas. 
• Interpreta las propiedades de las figuras geométricas. 
• Significa las fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes de figuras geométricas 
con el uso de materiales concretos y digitales. 
 
 
Intro 
En la naturaleza encontramos varias formas que asemejan figuras geométricas, pero 
la mayoría de las cosas u objetos creados por el hombre tienen la forma de alguna 
figura geométrica conocida, basta con echar una mirada a nuestro alrededor y veras 
que estamos rodeados por figuras y cuerpos geométricos, tanto en la casa, en la 
calle, en la escuela y en cualquier lugar a donde vayas. 
 
Observa las siguientes imágenes e identifica las figuras geométricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seguramente reconociste rectángulos, cuadrados, círculos y triángulos. 
23 
 
Valorando lo que sabes 
1. Escribe tres objetos de tu casa que tengan la forma de: 
a) Un rectángulo 
b) Un cuadrado 
c) Un círculo 
d) Un triángulo 
 
2. Indica si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas 
i. Los triángulos según la medida de sus ángulos se clasifican en equilátero, 
isósceles y escaleno_____________ 
ii. En cualquier triángulo cada ángulo mide 60° ____________ 
iii. Cada ángulo de un rectángulo mide 90° _____________ 
iv. Los rombos tienes dos pares de lados paralelos_____________ 
v. La figura geométrica con siete lados se le llama eneágono ____________ 
vi. La suma de los ángulos internos de un pentágono es 540°___________ 
vii. Solo algunos cuadriláteros tienen cuatro vértices. _____________ 
viii. Al polígono con menor número de lados se le llama triángulo __________ 
 
3. Identifica las siguientes figuras geométricas y escribe su nombre 
a) b) c) 
 
 
 
 d) e) f) 
 
 
 
 
 
Aprendiendo 
 
Una figura geométrica es la representación visual y funcional de un conjunto no 
vacío y cerrado de puntos en un plano geométrico. Es decir, figuras que delimitan 
superficies planas a través de un conjunto de líneas (lados) que unen sus puntos 
de un modo específico. Dependiendo del orden y número de dichas líneas 
hablaremos de una figura o de otra. Fuente: https://concepto.de/figuras-geometricas/#ixzz6ihkRskU3 
 
En síntesis, las figuras geométricas son superficies delimitadas (cerradas) 
por líneas rectas o curvas. 
 
 
https://concepto.de/figuras-geometricas/#ixzz6ihkRskU3
24 
 
Definición de polígono 
Las figuras geométricas delimitadas por líneas rectas se llaman polígonos 
Todo polígono tiene que cumplir con tres condiciones: 
i. Los segmentos se unen solo en sus extremos 
ii. En un punto (vértice) solo se pueden encontrar dos segmentos 
iii. Cada segmento solo toca a otros dos segmentos 
 
Ejemplos: 
De las siguientes figuras, usando las tres condiciones dadas indica cual es 
polígono y cual no. 
 i) Los segmentos se unen solo en sus extremos 
a) ii) En cada vértice solo hay dos segmentos 
iii) Cada segmento solo toca a otros dos 
segmentos. 
 Por lo tanto, si es un polígono. 
 
 i) Los segmentos se unen solo en sus extremos 
 b) A ii) En el punto A hay 4 segmentos, por lo que no 
cumple con la condición 
iii) Algunos segmentos tocan a más de dos 
segmentos. 
Por lo tanto, no es un polígono. 
 
A los segmentos del polígono se le llaman lados y a los puntos donde se unen dos 
lados se les llama vértices. La intersección de dos lados en un vértice forma un 
ángulo. Una diagonal une dos vértices no consecutivos. 
 
 
 
 
 
 
 
Clasificación de los polígonos 
Los polígonos de acuerdo con su ángulo se clasifican en: convexos y cóncavos 
Convexo: Si todos sus ángulos son menores a 180° y todas sus diagonales son 
internas. 
 
 
 
 
vértice 
ángulo 
diagonal 
Todas las diagonales están dentro del 
polígono (internos). Y cada ángulo es 
menor de 180° 
25 
 
 
Cóncavo. Si uno o más de los ángulos son mayores a 180° y al menos una de 
sus diagonales es externa. 
 
 
 
 
Los polígonos de acuerdo con la medida de sus lados y ángulos se clasifican en: 
regulares e irregulares. 
Regulares: Un polígono es regular si es equilátero y equiángulo, es decir, la 
medida de sus lados es la misma y cada ángulo mide lo mismo. 
 
 
 
 
Irregulares: Son aquellos polígonos que no cumplen con la igualdad de longitud 
de sus lados y/o ángulos. Pueden ser equiláteros, pero no equiángulos o pueden 
ser equiángulos, pero no equiláteros o ninguna de las dos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Algunas diagonales están fuera del 
polígono (externos). Y un ángulo es 
mayor de 180° 
Un cuadrado es un polígono regular ya que sus 
lados tienen la misma longitud (equilátero) y 
cada ángulo mide 90° (equiángulo) 
Un rectángulo es un polígono irregular ya que, 
aunque sus ángulos miden 90°, sus lados 
tienen diferente longitud 
El rombo de la figura es un polígono irregular 
ya que, aunque sus lados miden lo mismo, sus 
ángulos tienen diferente medida 
El triángulo es irregular ya que sus lados y sus 
ángulos tienen diferente medida 
26 
 
Para practicar 
De los siguientes enunciados responde si es FALSO o VERDADERO 
a) Los polígonos de acuerdo con su ángulo se clasifican en convexos y cóncavos 
b) En un polígono una diagonal es un segmento que une dos lados consecutivos. 
c) Un polígono irregular puede tener sus lados iguales 
d) Los cuadrados son polígonos regulares 
e) En un polígono cóncavo todas las diagonales son internas 
f) En un polígono los puntos donde se une dos lados se llama ángulo 
g) Los polígonos de acuerdo con la medida de sus lados y ángulos se clasifican 
en regulares e irregulares 
Los polígonos de acuerdo con el número de lados y vértices se clasifican 
en: 
Número de lados 
y vértices 
Nombre Figura ilustrativa 
3 Triángulo 
 
 
 
4 Cuadrilátero 
 
 
 
5 Pentágono 
 
 
 
6 Hexágono 
 
 
 
7 Heptágono 
 
 
 
8 Octágono 
 
 
 
9 Eneágono 
 
 
 
10 Decágono 
 
 
 
27 
 
12 Dodecágono 
 
 
 
⋮ ⋮ 
∞ (infinito) Círculo 
 
 
 
 
OJO: Cuando el número de lados crece a infinito entonces el polígono se convierte en 
un círculo. 
 
 
TRIÁNGULOS 
El triángulo es el polígono con menor número de lados. Es muy usado en la 
construcción de varias estructuras desde puentes hasta torres de comunicación, ya que 
es el único polígono que no se deforma cuando actúa sobre él una fuerza. Al aplicar una 
fuerza de compresión sobre cualquiera de los vértices de un triángulo formado por tres 
vigas, automáticamente las dos vigas que parten de dicho vértice quedan sometidas a 
dicha fuerza de compresión, mientras que la tercera quedará sometida a un esfuerzo detracción. Cualquier otra forma geométrica que adopten los elementos de una estructura 
no será rígida o estable mientras no se triangule. 
Texto tomado de https://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0053-02/contenido/8_triangulacion.htm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Clasificación de los triángulos 
De acuerdo con la medida de sus lados los triángulos se clasifican en: 
 
Equilátero. Es aquel triángulo que tiene los tres lados de la misma longitud. 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≡ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ Se lee: lado AB idéntico a lado AC e 
idéntico a lado BC 
 
 
 
A 
B C 
https://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0053-02/contenido/8_triangulacion.htm
28 
 
Isósceles. Es aquel triángulo que tiene dos lados de la misma medida. 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ Se lee: lado AB idéntico al lado AC 
 
 
 
 
Escaleno. Es el triángulo en el que la medida de sus lados es diferente 
 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≠ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≠ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≠ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 
 El símbolo ≠ significa diferente 
 
 
De acuerdo con la medida de sus ángulos los triángulos se clasifican en: 
Acutángulo. Es el triángulo que tiene sus tres ángulos agudos 
 
 
 
 
Rectángulo. Es el triángulo que tiene un ángulo recto, por consiguiente, los otros 
dos ángulos son agudos 
 
El símbolo del cuadrado en el vértice B, indica que el 
ángulo es recto, es decir mide 90° 
 
 
Obtusángulo. Es el triángulo que tiene un ángulo obtuso, es decir, mayor de 90° y 
menor de 180°. 
 
Observa que el ángulo ABC es mayor de 90° 
 
 
 
 
A 
 B C 
A 
B C 
A 
B C 
C B 
A 
A 
B C 
29 
 
Propiedades de los triángulos 
Propiedad 1. La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180° 
 
 
 
 
Lo que significa que no se puede formar un triángulo si la suma de sus ángulos es 
menor o mayor de 180°. 
En la mayoría de las ocasiones solo se usará la palabra ángulo para referirse a 
ángulo interno. 
Ejemplos: 
a) Traza un triángulo con ángulos ∠𝐷𝐸𝐹 = 45° ∠𝐷𝐹𝐸 = 80° ∠𝐸𝐷𝐹 = 55° 
De acuerdo con la propiedad 1 la suma de los ángulos internos debe ser 180° 
45° + 80° + 55° = 180° Sí se cumple la Propiedad 1 
 
En este ejemplo como no se conoce la medida de ningún lado se pueden trazar 
cualquier número de triángulos con estos ángulos. 
 
Aquí se muestran 3 triángulos, pero pueden existir más, ya que están a 
escala. 
 
 
 
 
 
 
 
b) Traza un triángulo con ángulos ∠𝑀𝑁𝑃 = 46° ∠𝑁𝑀𝑃 = 85° ∠𝑀𝑃𝑁𝐹 = 52° 
46° + 85° + 52° = 183° 
183° > 180° Por lo tanto, no cumple con la propiedad 
1 y no se forma triángulo. 
c) Calcula el valor del ∠𝐵 
 
 
 
De la propiedad 1 se tiene que ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180°, si: 
∠𝐴 = 38° y ∠𝐶 = 27° sustituimos en la ecuación de arriba 
2 
3 1 
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° 
38° 
B
 
27° 
A 
C
B
D 
E F 
80° 45° 
55° 
D 
E F 
80° 45° 
55° D 
E F 
80° 45° 
55° 
30 
 
 
38° + ∠𝐵 + 27° = 180° despejando el ángulo B 
∠𝐵 = 180° − 38° − 27° 
Así ∠𝑩 =115° 
 
d) Calcula el valor del ∠𝐶 para el siguiente triángulo 
 
 
 
 
 
 
De la propiedad 1 se tiene que ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180°, si: 
Si ∠𝐴 = 𝑥°, ∠𝐵 = 𝑥 + 10° y ∠𝐶 = 𝑥 − 6° sustituimos en la ecuación 
𝑥 + (𝑥 + 10) + (𝑥 − 6) = 180 quitando los paréntesis 
𝑥 + 𝑥 + 10 + 𝑥 − 6 = 180 sumando o restando términos semejantes 
3𝑥 + 6 = 180 despejando x 
3𝑥 = 180 − 6 
3𝑥 = 174 
𝑥 =
174
3
 
𝑥 = 58° 
 
Como el ángulo 𝐶 = 𝑥 − 6 sustituyendo 𝑥 = 58° 
∠𝐶 = 58 − 6 
Así ∠𝑪 = 𝟓𝟐° 
 
Propiedad 2. La suma de los ángulos externos de un triángulo es 360° 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos: 
a) Calcula el valor del ángulo A 
 
 
 
 
A 
B C 
 𝑥 + 10° 𝑥 − 6° 
𝑥 
2 
3 1 
𝑧 
𝑦 
𝑥 
∠𝑥 + ∠𝑦 + ∠𝑧 = 360° 
A 
B C 
132°
C 
150°
C 
𝑥 
31 
 
Aplicando la propiedad 2 
𝑥 + 112° + 140° = 360° Despejando x 
𝑥 = 360° − 112° − 140° 
𝑥 = 108° 
 Como el ∠𝑥 y el ∠𝐴 son suplementarios se tiene que 
108° + 𝐴 = 180° Despejando el ∡𝐴 
𝐴 = 180° − 108° 
𝐴 = 72° 
 
b) Calcula el valor de 𝑥 y 𝑦 
 
 
 
 
 
 
Como el ángulo de 60° y el ángulo 𝑦 son suplementarios, se tiene que 
60 + 𝑦 = 180 Despejando y 
 𝑦 = 180 − 60 
 𝑦 = 120° 
De la propiedad 2 se tiene que 
𝑦 + 2𝑥 + (𝑥 + 30) = 360 Sustituyendo 𝑦 por 120° 
120 + 2𝑥 + 𝑥 + 30 = 360 Sumando términos semejantes 
 2𝑥 + 𝑥 = 360 − 120 − 30 
 3𝑥 = 210 Despejando 𝑥 
 𝑥 =
210
3
 
 𝑥 = 70° 
 
Propiedad 3. La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual al ángulo externo 
no adyacente a ellos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60° 
3 1 
𝑥 + 30 
2𝑥 
𝑦 
A 
B C 
𝛼 
𝛽 
𝑥 
∠𝛼 + ∠𝛽 = ∠𝑥 
32 
 
Ejemplos: 
a) Calcula el valor del ángulo z 
 
 
 
 
 
Aplicando la propiedad 3 
36° + 28° = 𝑧 
𝑧 = 64° 
 
b) Calcula el valor del ángulo 𝛿 y 𝛽 
 
 
 
 
Aplicando la propiedad 3 
𝛽 + 30° = 116° 
𝛽 = 116 − 30 
𝛽 = 86° 
 
Aplicando la propiedad 1 
∠𝛽 + ∠𝛿 + 25° = 180° Sustituyendo 𝛽 = 86° en la ecuación 
86° + ∠𝛿 + 25° = 180° despejando 𝛿 
∠𝛿 = 180° − 86° − 25° 
∠𝛿 = 69° 
 
Propiedad 4. La suma de las longitudes de dos lados de un triángulo será 
mayor que la longitud del tercer lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
¿Es posible formar un triángulo con estos lados? 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 18 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 53 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 32 
 
36° 
28° 
𝑧 
116° 
𝛿 
30° 
𝛽 
25° 
A 
 B C 
Para el cumplimiento de esta propiedad se 
deben de cumplir las tres condiciones 
1) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ + 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ > 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 
2) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ > 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 
3) 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ > 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 
 
33 
 
La primera condición 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ + 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ > 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 
18 + 53 > 32 SI se cumple, ya que 71 es mayor que 32 
71 > 32 
La segunda condición 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ > 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 
18 + 32 > 53 NO se cumple, ya que 50 (que es la suma) es menor que 53 
50 < 53 
 
OJO: Sin importar las letras de los vértices del triángulo, se debe cumplir que la suma 
de cualquiera de los dos lados siempre será mayor que el otro lado. En caso de no 
cumplirse, entonces no se podrá construir un triángulo. 
 
Otros teoremas que tienes que saber sobre triángulos 
a. El triángulo equilátero además de tener sus lados iguales 
también tiene sus ángulos iguales (equiángulos) y cada uno 
mide 60°. 
 
 
b. El triángulo isósceles tiene dos lados y dos ángulos con la misma medida 
 
 
 
 
 
 
 
c. A cada ángulo le corresponde su lado opuesto, en donde a mayor ángulo del 
triángulo le corresponde mayor lado y viceversa. Por lo tanto, a menor ángulo 
del triángulo le corresponde menor lado y viceversa. 
 
 
 
 
 
 
 
d. Para todo triángulo rectángulo es decir aquel triángulo que tiene un ángulo 
que mide 90° los otros dos ángulos son agudos y suman 90°. 
 
 
a 
a 
a 
b b 
a 
𝛽 𝛽 
𝛼 
c 
a 
b 
A 
B C 
Lado opuesto 
del ángulo C 
Lado opuesto del ángulo A 
Lado opuesto 
del ángulo B 
c 
𝛽 
𝛼 
𝛼 + 𝛽 = 90° 
34 
 
EJEMPLOS: 
I. Verifica si los siguientes triángulos existen, en caso de que no existan explica la 
razón. 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
II. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando tu 
respuesta. 
a) Algunos triángulos equiláteros pueden ser obtusángulos 
b) Algunos triángulos isósceles pueden ser obtusángulos 
72° 
64° 34° 
A 
B C 
c=8 
a=14 
b=5 
A 
B C 
A 
 B C 
68° 68°
° 
7 7 
4 
35°
°° 
32°
°° 
67° 
55° 
35° 
De acuerdo con la propiedad 4 la suma de dos 
lados siempre debe ser mayor que el tercer lado. 
Al sumar 𝑏 = 5 con 𝑐 = 8 es menor que 𝑎 = 14 
5 + 8 < 14 
Entonces No existe triángulo 
De acuerdo con la propiedad 1 la suma de los tres 
ángulos internos debe sumar 180°. 
Al sumar 𝐴 = 72°, 𝐵 = 34° y 𝐶 = 64° se tiene: 
72° + 34° + 64° = 170° 
Por lo que No existe triángulo 
De acuerdo con el inciso b deotros teoremas, se 
tienen dos ángulos con la misma medida, 
entonces sus lados opuestos a los ángulos deben 
ser iguales. Por lo que se cumple y se tiene un 
triángulo isósceles. 
De acuerdo con la propiedad 3 la suma de los 
ángulos internos es igual al ángulo externo no 
adyacente a ellos. 
Al sumar 35° y 32° se tiene: 
35° + 32° = 67° 
Por lo que Sí existe triángulo 
En todo triángulo rectángulo la suma de los 
ángulos distintos al recto debe sumar 90° 
55° + 35° = 90° 
Por lo que Sí existe triángulo 
35 
 
c) En todos los triángulos rectángulos los otros dos ángulos miden 45° 
d) Algunos triángulos obtusángulos pueden ser escalenos 
e) Se puede formar un triángulo con las siguientes medidas 3m,5m y 8m 
 
III. Calcula lo que se te pide en cada caso, haciendo uso de las propiedades y 
teoremas de los triángulos. 
 
a) Para el triángulo isósceles de lado AB=3, AC= 3 y BC=4.6cm, con ángulo 
B=40° Calcula el valor de los ángulos A y C 
 
Primero trazamos el triángulo isósceles con las medidas dadas 
En un triángulo isósceles hay dos lados y dos ángulos 
iguales. 
Si al lado AC le corresponde el ángulo opuesto B= 40°, 
entonces al lado AB le corresponde el ángulo C que tiene 
la misma medida que el ángulo B. Así: 
∠𝐶 = 40° 
De acuerdo con la propiedad 1 la suma de los ángulos 
internos es de 180° 
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180° Sustituyendo 
 ∠𝐴 + 40° + 40° = 180° Despejando ∠𝐴 
∠𝐴 = 180° − 40° − 40° 
 ∠𝐴 = 100° 
 
b) El cuadrado ABCD se divide con una diagonal como se muestra en la figura. 
Calcula el valor de los ángulos ∠𝐴𝐶𝐷 y ∠𝐶𝐷𝐴(∠2) 
Para resolver no es necesario conocer los lados del cuadrado. 
Se forman dos triángulos iguales (congruentes) y que son isósceles 
ya que tienen dos lados iguales. 
Si se toma el triángulo de abajo se tiene que AC=CD por lo tanto 
∠1 = ∠2, además el ∠𝐴𝐶𝐷 = 90° 
Aplicando la propiedad, la suma de los ángulos de un triángulo es 
de 180° por lo que si el ángulo ACD =90° entonces la suma de 
∠1 + ∠2 = 90° Como son ángulos iguales entonces cada ángulo vale 
 ∠1 = ∠2 = 45° 
 
Manos a la obra 
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifica tu respuesta 
a) Todos los triángulos equiláteros son acutángulos 
b) Algunos triángulos escalenos pueden ser triángulos rectángulos 
c) Algunos triángulos isósceles pueden tener sus tres ángulos de diferente 
medida 
3 
C 
A 
4.6 
3 
B 
40° 
C 
A B 
D 
1 
2 
36 
 
d) Se puede formar un triángulo con los siguientes ángulos internos ∠1 =
 22°30´ , ∠2 = 56° y ∠3 = 101°30´ 
e) Es posible formar el siguiente triángulo ∠𝐴 = 54°, ∠𝐵 = 86° y ∠𝐶 = 40° 𝑎 = 12,
𝑏 = 16, 𝑐 = 14 ( De preferencia traza el triángulo) 
 
Para cada caso calcula la medida de los ángulos indicados 
 
 
 
 
 
 
∡𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∡𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 Si 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 
∡𝑥 
 ∡𝑥 
 
 
Evaluando tus aprendizajes 
 
 
 
𝑥 
𝑥 − 20° 
28° 
𝑥 
104° 
𝐴 
𝐵 
𝐶 
80° 
𝑥 
145° 
𝑥 18° 
https://forms.gle/1ESFmfWSf8N1jwtt6
37 
 
Construcción de triángulos 
Para construir un triángulo es necesario contar con un juego de geometría, o si no 
al menos tener una regla, compás y transportador. 
A continuación, se construirán triángulos dados algunos elementos 
a) Dados 3 lados 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 6 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 4 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 5 
i. Traza el lado más largo preferentemente de manera horizontal (para este 
caso sería el lado AB). 
ii. Abre el compás con la medida del segundo lado (para este ejemplo sería el 
lado BC) y tomando como centro un extremo del lado más largo traza un arco 
por encima del segmento. 
iii. Abre el compás con la medida del tercer lado (para este ejemplo sería el lado 
AC) y tomando como centro el otro extremo del lado más largo traza un arco 
por encima del segmento de tal manera que se cruce con el arco anterior. 
iv. Une con dos segmentos el punto de intersección 
 
 
i. ii 
 
 
 
 
 
 
 
iii. iv. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para trazar un triángulo equilátero o isósceles se siguen los pasos anteriores 
 
b) Dados dos lados y un ángulo 
𝑄𝑅̅̅ ̅̅ = 8 𝑄𝑆̅̅̅̅ = 5 ∡𝑅𝑄𝑆 = 45° 
i. Traza el lado que contenga al ángulo dado preferentemente de manera 
horizontal (para este caso pueden ser los lados QR o QS, ya que ambos 
contienen Q) 
ii. Con el transportador traza el ángulo tomando como centro uno de los 
extremos del lado. 
iii. Traza el segundo lado con la longitud indicada, tomando como inicio el primer 
segmento y pasando por el punto que se marcó en el ángulo. 
iv. Traza el tercer lado uniendo los extremos de los dos lados 
AB=6 AB=6 
AB=6 AB=6 
38 
 
 
i. ii. 
 
 
 
iii. iv. 
 
 
 
 
 
 
Dados un lado y dos ángulos 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 10 ∡𝐴𝐵𝐶 = 100° ∡𝐴𝐶𝐵 = 25° 
i. Traza el único lado dado preferentemente de manera horizontal 
ii. Con el transportador traza el ángulo que tenga de vértice uno de los extremos 
del lado tomando como centro el extremo del lado (en este ejemplo se traza 
el ángulo ACB) y une con un recta el punto del ángulo y el extremo del lado. 
iii. Traza el segundo ángulo con el transportador en caso de que el ángulo no 
sea parte del lado dado se tendrá que obtener el ángulo faltante, seguir el 
paso ii. 
iv. Extender los lados encontrados hasta que crucen en caso de ser necesario 
 
 
i. ii. 
 
 
 
 
iii. iv 
 
 
 
Se obtiene el ∠𝐶𝐴𝐵 = 180° − 100° − 25° 
∠𝐶𝐴𝐵 = 55° 
 
Q 
QR=8 
45° 
Q 
S 
R 
QR=8 Q R 
QR=8 Q R 
S 
QR=8 
45° 
R 
S 
AC=10 A C AC=10 A C 
B 
AC=10 A C 
B 
AC=10 A C 
B 
39 
 
Manos a la obra 
Traza los siguientes triángulos dados los siguientes elementos 
1) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 12 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 8 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 7 
2) 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ = 7 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ = 4 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ = 9 
3) 𝑄𝑅̅̅ ̅̅ = 4 𝑅𝑆̅̅̅̅ = 6 ∡𝑅𝑄𝑆 = 60° 
4) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 10 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 5 ∡𝐴𝐵𝐶 = 100° 
5) 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ = 7 ∡𝑀𝑁𝑃 = 40° ∡𝑁𝑀𝑃 = 70° 
6) 𝑅𝑆̅̅̅̅ = 9 ∡𝑅𝑆𝑇 = 95° ∡𝑅𝑇𝑆 = 35° 
CUADRILÁTEROS 
Entre los cuadriláteros más comunes están el cuadrado y el rectángulo, pero existen 
otros cuadriláteros que seguramente has visto en la escuela. 
Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados muy diversificado su uso en varios 
objetos de la vida cotidiana y en la mayoría de las cosas construidas; si se aprecia 
en dos dimensiones tendrá la forma de un cuadrilátero, por ejemplo: la puerta, la 
ventana, el móvil, la laptop, la mesa, entre otros. 
 
Clasificación de los cuadriláteros 
Los cuadriláteros se pueden clasificar en convexos y cóncavos. 
Cuadrilátero convexo es aquel que todos sus ángulos son menores de 180° y las 
diagonales son internas. 
 
 
 
 
Cuadrilátero cóncavo es aquel que alguno de sus ángulos es mayor de 180° y al 
menos una de sus diagonales no es interna 
 
 
 
 
 
 
Una de las clasificaciones más usadas de los cuadriláteros es atendiendo al 
paralelismo de sus lados. 
Paralelogramos son aquellos que tienen dos pares de lados paralelos 
No paralelogramos no tienen dos pares de lados paralelos y se subdividen en 
trapecios y trapezoides. 
 
40 
 
PARALELOGRAMOS 
Figura Nombre Características 
 
 
 
 
Cuadrado 
- 4 lados iguales 
- Ángulos iguales (90°) 
- Par de lados paralelos 
- Diagonales perpendiculares e iguales 
 
 
 
 
Rectángulo 
- Dos pares de lados iguales 
- Ángulos iguales (90°) 
- Par de lados paralelos 
- Diagonales iguales y oblicuas 
 
 
 
 
 
Rombo 
- 4 lados iguales 
- 2 ángulos iguales agudos y dos ángulos obtusos 
iguales 
- Par de lados paralelos 
- Diagonales perpendiculares y diferente 
medida 
 
 
 
 
Romboide 
- Dos pares de lados iguales 
- 2 ángulos iguales agudos y dos ángulos obtusos 
iguales 
- Par de lados paralelos 
- Diagonales iguales y oblicuas 
 
 
NO PARALELOGRAMOS 
TRAPECIOS: Un par de lados paralelos 
Figura Nombre CaracterísticasTrapecio 
rectángulo 
- Tiene dos ángulos rectos (90°) 
- Un par de lados paralelos 
 
 
 
Trapecio 
isósceles 
- Tiene dos lados iguales 
Un par de lados paralelos 
 
 
 
Trapecio 
escaleno 
- Tiene todos sus lados distintos 
- Un par de lados paralelos 
TRAPEZOIDES: Ningún lado es paralelo 
 
Deltoide o 
simétricos 
- Par de lados consecutivos iguales 
- Tienen un eje de simetría 
- No tiene lados paralelos 
 
a a 
a 
a a 
b 
b 
a 
a 
a 
a 
a a 
b 
b 
a 
a a 
a a 
b b
a 
41 
 
 
 
 
Trapezoides o 
asimétricos 
- No tiene eje de simetría 
- No tiene lados paralelos 
 
 
Manos a la obra 
Escribe el nombre de los siguientes cuadriláteros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Realiza la siguiente sopa de letras, las palabras pueden estar en horizontal, vertical, 
diagonal y puede estar escrito en sentido inverso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
También puedes resolverlo en línea 
https://puzzel.org/en/wordseeker/play?p=-MQiYzGoPCLAv_f40pQN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://puzzel.org/en/wordseeker/play?p=-MQiYzGoPCLAv_f40pQN
42 
 
Evaluando tus aprendizajes 
 
 
 
 
 
 
 
POLIGONOS REGULARES 
 
Las figuras geométricas cuyos lados y ángulos son congruentes (tienen la misma 
medida) se llaman polígonos regulares. 
Para el caso de tres lados, la figura que es regular se llama triángulo equilátero, para 
la figura de cuatro lados recibe el nombre de cuadrado. 
A partir de los polígonos de cinco o más lados ya no tienen un nombre asignado, por 
ejemplo, para el polígono de cinco lados se le llama pentágono regular, para el de 
diez lados decágono regular. 
 
Un polígono regular de 4 o más lados se puede dividir en igual números de triángulos 
isósceles de igual área, teniendo como vértice común el centro del polígono 
 CUADRADO HEXÁGONO DECÁGONO 
 
 
 
 
 
 4 triángulos 6 triángulos 10 triángulos 
 
Elementos de un polígono 
 
 
 
 
 
 
Propiedades de los polígonos regulares 
Medida de un ángulo interior 
𝑎𝑖 =
180°(𝑛 − 2)
𝑛
 donde n es el número de lados 
 
Ángulo 
interior 
Ángulo 
exterior 
Ángulo 
central 
Diagonal 
Apotema 
https://forms.gle/BJoJ2U4fbyrjbwab8
43 
 
La suma de los ángulos interiores 
𝑆𝑖 = 180°(𝑛 − 2) 
Medida de un ángulo exterior 
𝑎𝑒 =
360°
𝑛
 
La suma de los ángulos exteriores 
𝑆𝑒 = 360° 
OJO: La suma de los ángulos exteriores para cualquier polígono será de 360° 
 
Medida de un ángulo central 
𝑎𝑐 =
360°
𝑛
 
Número de diagonales desde un vértice 
𝑑 = 𝑛 − 3 
 Número TOTAL de diagonales 
𝐷 =
𝑛(𝑛 − 3)
2
 
A continuación, se muestran las diagonales trazadas desde un vértice de un 
decágono regular y las diagonales desde todos los vértices. 
 
 
 
 
 
 
 
 d=7 diagonales D= 35 diagonales 
 
Calcula lo que se te pide para cada polígono regular 
Polígono Ángulo interior 
Suma de ángulos 
interiores 
ángulo 
exterior 
diagonales 
desde un 
vértice 
total de 
diagonales 
Triángulo 
equilátero 
𝑎𝑖 =
180°(3 − 2)
3
 
𝑎𝑖 = 60° 
𝑆𝑖 = 180°(3 − 2) 
𝑆𝑖 = 180° 
𝑎𝑒 =
360°
3
 
𝑎𝑒 = 120° 
𝑑 = 3 − 3 
𝑑 = 0 
𝐷 =
3(3 − 3)
2
 
𝐷 = 0 
44 
 
Pentágono 
𝑎𝑖 =
180°(5 − 2)
5
 
𝑎𝑖 = 108° 
 
𝑆𝑖 = 180°(5 − 2) 
𝑆𝑖 = 540° 
𝑎𝑒 =
360°
5
 
𝑎𝑒 = 72° 
𝑑 = 5 − 3 
𝑑 = 2 
𝐷 =
5(5 − 3)
2
 
𝐷 = 5 
Octágono 
𝑎𝑖 =
180°(8 − 2)
8
 
𝑎𝑖 = 135° 
 
𝑆𝑖 = 180°(8 − 2) 
𝑆𝑖 = 1080° 
𝑎𝑒 =
360°
8
 
𝑎𝑒 = 45° 
𝑑 = 8 − 3 
𝑑 = 5 
𝐷 =
8(8 − 3)
2
 
𝐷 = 20 
Eneágono 
𝑎𝑖 =
180°(9 − 2)
9
 
𝑎𝑖 = 140° 
 
𝑆𝑖 = 180°(9 − 2) 
𝑆𝑖 = 1260° 
𝑎𝑒 =
360°
9
 
𝑎𝑒 = 40° 
𝑑 = 9 − 3 
𝑑 = 6 
𝐷 =
9(9 − 3)
2
 
𝐷 = 27 
Polígono de 
18 lados 
𝑎𝑖 =
180°(18 − 2)
18
 
𝑎𝑖 = 160° 
 
𝑆𝑖 = 180°(18 − 2) 
𝑆𝑖 = 2880° 
𝑎𝑒 =
360°
18
 
𝑎𝑒 = 20° 
𝑑 = 18 − 3 
𝑑 = 15 
𝐷 =
18(18 − 3)
2
 
𝐷 = 135 
 
Manos a la obra 
Calcula lo que se te pide para cada polígono regular 
Polígono Ángulo interior 
Suma de ángulos 
interiores 
ángulo 
exterior 
diagonales 
desde un 
vértice 
total de 
diagonales 
Cuadrado 
 
 
Hexágono 
Heptágono 
Decágono 
45 
 
Perímetros y áreas de un polígono 
Para calcular el perímetro de un polígono se suman las medidas de todos sus lados. 
Nombre Figura Perímetro Área 
Triángulo 
equilátero 
 
 
 
 
 
𝑃 = 3𝑙 
 
 
𝐴 =
√3
4
𝑙2 
Triángulo isósceles 
(conociendo su 
altura) 
 
𝑃 = 2𝑙 + 𝑏 𝐴 =
𝑏 ∙ ℎ
2
 
Triángulo escaleno 
(conociendo su 
altura) 
 
𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝐴 =
𝑏 ∙ ℎ
2
 
Cualquier triángulo 
(sin conocer su 
altura) 
 
𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
𝐴 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) 
 
Semiperimetro 
𝑠 =
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
 
Cuadrado 
 
𝑃 = 4𝑙 𝐴 = 𝑙2 
Rectángulo 
 
𝑃 = 2𝑏 + 2ℎ 𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ 
Rombo 
 
𝑃 = 4𝑎 𝐴 =
𝐷 ∙ 𝑑
2
 
𝑙 𝑙 
𝑙 
𝑙 𝑙 
𝑏 
ℎ 
𝑏 
𝑎 
𝑐 ℎ 
𝑎 
𝑏 
𝑐 
𝑙 
𝑙 
𝑙 
𝑙 
𝑏 
ℎ 
𝑏 
ℎ 
𝑎 𝑎 
𝑎 𝑎 
𝐷 
𝑑 
46 
 
Romboide 
 
𝑃 = 2𝑎 + 2𝑏 𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ 
Trapecio 
 
𝑃 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝐵 𝐴 =
ℎ ∙ (𝐵 + 𝑏)
2
 
Polígono regular de 
5 o más lados 
 
𝑃 = 𝑛 ∙ 𝑙 
 
Donde 𝑛 es el 
número de lados 
𝐴 =
𝑃 ∙ 𝑎
2
 
 
Donde 𝑎 es la apotema 
Círculo 
 
𝐶 = 2𝜋𝑟 𝐴 = 𝜋𝑟2 
 
Ejemplos 
I. Calcula el área sombreada 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
ℎ 
 𝑏 
𝑎 𝑎 
𝑏 
ℎ 
 𝑏 
 𝐵 
𝑎 𝑐 
𝑙 
𝑙 
𝑙 
𝑙 
𝑙 
𝑟 
𝑎 
24cm 
5cm 10cm 
2cm 
4cm 
47 
 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
II. En las figuras que se muestran a continuación, los cuadriláteros ABCD son cuadrados 
de lado “a”. ¿Hallar las áreas sombreadas? 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
III. Resuelve los siguientes problemas de aplicación de perímetros y áreas 
1) Este terreno se vendió en $200.00 pesos el metro cuadrado 
 
a) ¿Cuál es el área del terreno? 
b) ¿Cuál es su precio de venta? 
c) ¿Qué cantidad de malla mínima se necesitará para 
cercar totalmente el terreno? 
 
2m 
1m 
A D 
C B 
A D 
C B 
𝑎 
𝑎 
48 m 
4
8
 m
 
24m 
24m 
48 
 
a) b) y c) 
 
 
 
 
 
 
2) ¿Qué figura tiene mayor área un cuadrado de 6cm de lado o un círculo de 6cm de 
diámetro? Justifica matemáticamente tu respuesta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcular el área lateral de la llanta si el diámetro del rin es 15 pulgadas y el de la 
llanta 18 pulgadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6𝑐𝑚 
6𝑐𝑚 
Área del cuadrado 
𝐴 = 𝑙2 
𝐴 = 62 
𝐴 = 36 𝑐𝑚2 
Área del círculo 
𝐴 = 𝜋𝑟2 r = 3cm 
𝐴 = 𝜋(3)2 = 9𝜋 𝑐𝑚2 
𝐴 = 28.27 𝑐𝑚2 
49 
 
4) Calcula la superficie total de una lata de refresco que tiene de radio 3 cm y de altura 
12 cm. 
La superficie de la lata está formada por la base y la tapa que son círculos y el cuerpo de la 
lata que al cortarla ( o desenrollarla) se tendrá un rectángulo en donde el largo es la medida 
de la circunferencia y el alto es la altura de la lata. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Manos a la obra 
I. Calcula el área sombreada 
 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 3) 
4) OA = 4cm, BC=2cm. O es el centro de 
ambos círculos. 
 
 
 
 
 
 
5) 
 
 
12cm 
12cm 
6cm 
6cm 
6cm 
4cm 
1cm 
8cm 
8 cm 
O B 
C 
A 
12 m 
8m 
50 
 
II. En las figuras que se muestran a continuación, los cuadriláteros ABCD son 
cuadrados de lado “a”. ¿Hallar las áreas sombreadas? 
 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
 Calcula el área de la región sombreada si M y 
N son puntos medios 
 
III. Resuelve los siguientes problemas de aplicación de perímetros y áreas 
1) Un jardín tiene la siguiente forma si se va a sembrar pasto en la parte indicada 
a) Calcula el área del jardín que tendrá pasto 
b) Calcula el área total del jardín 
c) ¿Qué longitud deberá tener la cerca para 
cubrir la parte con pasto? 
 
2) Un portón de lámina se construirá con un rectángulo y un triángulo isósceles 
como se muestra en la figurael siguiente diseño. 
 
a) Calcula la cantidad mínima de lámina que se usará 
para realizar el portón. 
b) Calcula la longitud total de las barras (marcadas de 
negro) que se usará 
 
 
3) Determina lo que se te pide realizando las operaciones correspondientes 
El plano de mi casa 
 
a) Largo de la habitación B 
b) Ancho de la habitación D 
c) Largo de la habitación G 
d) Área de la casa 
e) Perímetro del pasillo 
f) Área de la habitación mayor 
g) Área de la habitación F 
h) Perímetro de las habitaciones 
 F y G 
 
 
3 m 
𝑎 
1cm 
𝑎
2
 
𝑎
2
 
𝑎 
B C 
A D 
M 
N 
A B 
 
C 
A B 
C D D 
𝑎 
pasto 
12m 
8
m
 
4
m
 
9m 
4 m 
3 m 2.4m 
51 
 
4) ¿Cuál será el área de contacto para una llanta de 18 pulgadas de diámetro 
en su parte exterior y el ancho de 7 pulgadas? 
 
 
 
 
 
 
 
5) Se desea construir una mesa de forma de triángulo equilátero. ¿Cuánto debe 
medir cada lado si la superficie de la mesa debe ser de 1m2 ? 
 
 
6) Un portón de lámina se construirá con un rectángulo y un triángulo isósceles 
como se muestra en la figura el siguiente diseño. 
 
c) Calcula la cantidad mínima de lámina que se 
usará para realizar el portón. 
d) Calcula la longitud total de las barras (marcadas 
de negro) que se usará 
 
7) ¿Cuál será el costo de la puerta, si cuesta 180 pesos el m2? 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Una barda de 2.50 m de alto por 40 m de largo se debe pintar de un solo lado. 
a) ¿Qué cantidad de cubetas se deben comprar si se estima un rendimiento 
de tan solo el 50% de acuerdo con las especificaciones técnicas de 
cubrimiento? Nota: Una cubeta trae 19 litros de pintura 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 pulg 
4 m 
3 m 2.4m 
2m 
0.8m 
52 
 
9) Se va a forrar con papel lustre la siguiente máscara con forma de un 
hexágono regular. Calcular el área forrada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Calcula el área de un terreno 
con la siguiente forma y medidas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Evaluando tus aprendizajes 
 
 
 
 
 
CUERPOS GEOMÉTRICOS 
Un área de estudio de la Geometría espacial son los cuerpos geométricos. La 
mayoría de los objetos creados por el hombre tienen una forma geométrica. 
DATOS 
Radio de cada círculo 2 cm 
Triángulo equilátero de 6 cm de lado 
Rectángulo de 8 cm de ancho y 1 cm de alto 
Lado del hexágono 12 cm y apotema de 10.4 cm 
 
https://forms.gle/udpWM9Ug9zKGPHC29
53 
 
Nombre Figura Características Volumen 
Cubo 
 
Poliedro regular compuesto por seis 
cuadrados iguales. 
 
𝑉 = 𝑙3 
Tetraedro 
 
Poliedro cuya superficie está formada 
por cuatro triángulos equiláteros 
iguales. 
𝑉 = 
√2
12
𝑙3 
Prisma 
triangular 
 
Prisma cuyas bases son triángulos 
equiláteros. 𝑉 =
√3
4
. 𝑙2. ℎ 
Prisma 
cuadrangular 
 
Prisma cuyas bases son cuadrados. 𝑉 = 𝑙2. ℎ 
Pirámide 
triangular 
 
Pirámide que tiene un triángulo de 
base. 
Compuesto por 4 caras, la base 
triangular y tres triángulos que 
confluyen en el ápice de la pirámide. 
𝑉 =
√3
4
. 𝑙2. ℎ 
Esfera 
 
Conjunto de puntos del espacio 
tridimensional que equidistan de un 
punto definido como el centro de la 
esfera. 
Figura geométrica descrita por un 
semicírculo al girar sobre su diámetro. 
𝑉 =
3
4
. 𝜋. 𝑟2 
Cilindro 
 
Figura tridimensional que se forma 
cuando una recta, llamada generatriz, 
gira alrededor de otra recta que queda 
fija, llamada eje. 
𝑉 = 𝜋. 𝑟2. ℎ 
𝑙 
𝑙 𝑙 
𝑙 
𝑙 
𝑙 
ℎ 
𝑙 
ℎ 
𝑙 
ℎ 
𝑟 
𝑟 
ℎ 
54 
 
 
Ejemplos: 
Calcula el volumen de los siguientes Cuerpos Geométricos 
 
 
𝑉 = (5)(2)(1) = 10𝑢3 
 
Como la base es triángulo rectángulo ya que está indicado el 
ángulo recto, Se calcula el área. 
𝐴𝑏 =
(𝑏)(ℎ)
2
=
(4)(3)
2
=
12
2
 
𝐴𝑏 = 6𝑢
2 
Para calcular el volumen se multiplica el área de la base por la 
altura 
𝑉 = 𝐴𝑏 ∙ ℎ 
𝑉 = (6)(6) 
𝑉 = 36𝑢3 
 
Como la base es un pentágono regular. Se calcula el área de la 
base. 
𝐴𝑏 =
𝑃 ∙ 𝑎
2
 
𝑃 = 5𝑙 = 5(3) = 15 𝑎 = 2 
𝐴𝑏 =
(15) ∙ (2)
2
=
30
2
 
𝐴𝑏 = 15 𝑢
3 
 
 
 
Como la base es un rectángulo. Se calcula el área de la base. 
 
𝐴𝑏 = (8)(6) = 48 
 
Volumen de cualquier pirámide 
 
𝑉 =
1
3
𝐴𝑏 ∙ ℎ 
 
𝑉 =
1
3
(48) ∙ (10) = 160 
𝑉 = 160𝑐𝑚3 
 
Cono 
 
Superficie de revolución generada por 
hacer girar un triángulo rectángulo 
alrededor de uno de sus catetos. 
𝑉 =
𝜋. 𝑟2. ℎ
3
 
ℎ 
𝑟 
55 
 
Ejercicios: 
Calcula el volumen de los siguientes Cuerpos Geométricos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al tener altura, anchura y profundidad los cuerpos geométricos se miden en 
unidades cúbicas y varios de ellos están conformados por figuras geométricas. 
Por ejemplo, el prisma se obtiene el volumen calculando el área de la base que 
puede ser cualquier figura geométrica y se multiplica por la altura. 
 
 
56 
 
Evaluando tus aprendizajes 
 
 
 
 
 
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA 
Algunas consideraciones: 
- El centro de una circunferencia se 
representa generalmente con la 
letra O 
Un segmento de recta que pase 
por el centro de la circunferencia 
será el diámetro 
 
Ángulos de una circunferencia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
diámetro 
áng lo 
central
áng lo
inscrito
áng lo
semi inscrito
ángulo 
interior 
ángulo 
exterio
r 
𝛼 =
𝐴�̂�
2
 
𝛼 =
𝐴�̂� − 𝐶�̂�
2
 
𝛼 = 𝐴�̂� 𝛼 =
𝐴�̂�
2
 
O 
https://forms.gle/5qo6is24JH8R1Ahg6
57 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos: 
Calcula el ángulo 𝛼 para los incisos a, b y c 
 
a) 𝐴�̂� = 100° y 𝐶�̂� = 38° 
Para un ángulo interior la fórmula es: 
𝛼 =
𝐴�̂� + 𝐶�̂�
2
=
100° + 38°
2
=
138°
2
 
𝛼 = 69° 
 
b) 𝐴�̂� = 98° y 𝐶�̂� = 30° 
Para un ángulo exterior la fórmula es: 
𝛼 =
𝐴�̂� − 𝐶�̂�
2
=
98° − 30°
2
=
68°
2
 
𝛼 = 34° 
 
c) 𝐴�̂� = 120° 
Para un ángulo inscrito la fórmula es: 
𝛼 =
𝐴�̂�
2
=
120°
2
 
𝛼 = 60° 
 
 
d) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ es el diámetro de la circunferencia, si 𝛼 = 24° Calcula el valor del ∠𝛽 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝛼 =
𝐴�̂� + 𝐶�̂�
2
 
A 
O 
B 
𝛼 𝛽 
Como el ∠𝛼 = 30° es un ángulo inscrito, usando la fórmula 
𝛼 =
𝐵�̂�
2
 despejando el arco 𝐵�̂� se tiene 𝐵�̂� = 2𝛼, sustituyendo 
𝐵�̂� = 2(24°) = 48° 
Como el ∠𝛽 es un ángulo central, usando la fórmula 
𝛽 = 𝐵�̂� 𝑎𝑠í 𝛽 = 48° 
C 
58 
 
e) O es el centro y 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ es el diámetro de la circunferencia ¿Calcula el valor 
del ∠𝐶𝑂𝐷? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) En la circunferencia de centro O y diámetro de TQ. Calcula el valor del 
ángulo OPR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
O B 
D 
C 
64° 
34° 
Como el ∠𝐶𝐴𝐷 = 64° es un ángulo inscrito, usando la fórmula 
∠𝐶𝐴𝐷 =
𝐶𝐵�̂�
2
 despejando el arco 𝐶𝐵�̂� se tiene 𝐶𝐵�̂� = 2𝐶𝐴𝐷, 
sustituyendo 
𝐶𝐵�̂� = 2(64°) = 128° 
Como 𝐶𝐵�̂� + 𝐶𝐴�̂� = 360° se despeja 𝐶𝐴�̂� 
𝐶𝐴�̂� = 360° − 𝐶𝐵�̂� 
𝐶𝐴�̂� = 360° − 128° = 232° 
Como ∠𝐶𝑂𝐷 es un ángulo central, usando la fórmula 
∠𝐶𝑂𝐷 = 𝐶𝐴�̂� 
∠𝐶𝑂𝐷 = 232° 
Como el ∠𝑇𝑅𝑄 = 70° es un ángulo inscrito, usando la fórmula 
∠𝑇𝑅𝑄 =
𝑇�̂�
2
 despejando el arco 𝑇�̂� se tiene 𝑇�̂� = 2(∠𝑇𝑅𝑄), 
sustituyendo 
𝑇�̂� = 2(70°) = 140° 
Como el ∠𝑇𝑂𝑃 = 𝑇�̂� ( ya que es un ángulo central ) 
∠𝑇𝑂𝑃 = 140° 
Como el ∠𝑇𝑂𝑄 es un ángulo llano así: 
∠𝑇𝑂𝑄 = ∠𝑇𝑂𝑃 + ∠𝑃𝑂𝑄 = 180° Despejando ∠𝑃𝑂𝑄 
∠𝑃𝑂𝑄 = 180° − ∠𝑇𝑂𝑃 
∠𝑃𝑂𝑄 = 180° − 140° 
∠𝑃𝑂𝑄 = 40° 
La suma de los ángulos internos de 
un triángulo suma 180° 
∠𝑃𝑂𝑄 + ∠𝑂𝑃𝑅 + 90° = 180° 
Despejando ∠𝑂𝑃𝑅 y sustituyendo ∠𝑃𝑂𝑄 = 40° 
∠𝑂𝑃𝑅 = 180° − 90° − 40° 
∠𝑂𝑃𝑅 = 50° P 
O Q 
R 
40° 
R 
O 
P 
T Q 
59 
 
g) Si el punto O es el centro de la circunferencia. Calcular el valor del 𝐶�̂� si 
∠𝐶𝐷𝐸 = 80° y ∠𝐴𝑂𝐵 = 162°