LAB-ANALISIS DE GRAFICA - Michaell Palacios (1)

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Manual de Laboratorio de Física General 
 
9 
ANÁLISIS DE FUNCIONES 
GGrrááffiiccaass ddee FFuunncciioonneess Práctica de Laboratorio Nº 01 
 
Tópicos Relacionados 
Ecuación de una recta, variable dependiente, variable independiente, 
constante, pendiente de una recta, función, relación, parábola, hipérbola. 
 
1. Objetivos 
 
1.1 Obtener correctamente gráficas de un conjunto de datos 
experimentales, realizar el análisis correspondiente y 
descubrir el comportamiento de un fenómeno físico a partir 
de estas gráficas. 
1.2 Aprender el uso adecuado de los diferentes papeles 
gráficos: milimetrado, logarítmico y semilogarítmico. 
1.3 Aprender y practicar el uso de calculadoras científicas y 
hojas de cálculo. 
 
2. Equipos y Materiales 
 
- Tres (03) hojas de papeles gráficos milimetrados. 
- Tres (03) hojas de papeles gráficos semilogarítmico. 
- Tres (03) hojas de papeles gráficos logarítmicos. 
- Una (01) calculadora científica (personal). 
- Una (01) regla 0,30 m, 1/1000 m. 
 
3. Fundamento teórico 
 
3.1 Tabla de Datos.- Para investigar la relación entre dos 
cantidades físicas en el laboratorio, debemos realizar 
mediciones experimentales las cuales nos proporcionarán 
por lo menos dos listas de números a los cuales les 
llamaremos datos. Estos datos se organizan en forma de 
tablas con sus respectivas columnas o filas y adoptan el 
nombre de Tabla de Datos Experimentales. 
 
3.2 Gráficas.- La función del experimentador es descubrir la 
relación que existe entre las dos columnas de una tabla de 
datos experimentales. Una forma conveniente de establecer 
Manual de Laboratorio de Física General 
10 
esta relación es mediante una representación gráfica de 
tales datos. Para construir una gráfica, debemos ayudarnos 
con un plano cartesiano donde la recta horizontal es 
denominada eje de abscisas y la vertical, eje de las 
ordenadas. 
 
A continuación enunciaremos algunos conceptos que serán 
necesarios para familiarizarnos con una gráfica: 
 
Función: Una cantidad y (variable dependiente) es función 
de otra cantidad x (variable independiente), si su valor se 
determina por el valor de la variable x. Una función se 
expresa matemáticamente de la forma ( )y f x= , y nos 
dice “ y depende de x ” o “ y es una función de x ”. Como 
ejemplo, tomemos el módulo de la velocidad en función del 
tiempo, cuya expresión sería ( )v f t= . 
 
Variables: Son las cantidades físicas que intervienen en el 
experimento y cuyo comportamiento se desea estudiar. 
Como se mencionó arriba, estas pueden ser: 
 
 Variable Independiente: Es la variable que podemos 
controlar, y que podemos variar en un proceso 
experimental. Dos ejemplos típicos en Física son el 
tiempo y la masa. 
 Variable Dependiente: Es aquella variable cuyo valor 
depende del que toma la variable independiente. 
 
Constantes: Son aquellas que toman un valor fijo, no 
cambian nunca durante el experimento ni en la formula o 
ecuación planteada. 
 
Papel gráfico milimetrado: Es un papel que en dirección 
horizontal y vertical, esta dividido en segmentos de 1 mm 
de longitud. Por su fácil uso se aplica a todas las funciones 
(Ver Anexo Nº1: Modelo de Papeles – Comparación 
Gráfica). 
 
Papel semilogaritmico: Es un papel que en dirección 
vertical esta dividido en segmentos de escala logarítmica y 
en dirección horizontal esta dividido en escala milimétrica 
(Ver Anexo Nº1: Modelo de Papeles – Comparación 
 Manual de Laboratorio de Física General 
 
11 
Gráfica). Este tipo de papel es útil cuando x e y están 
relacionados por una función de tipo Exponencial: 
 
Papel logarítmico: Es un papel que en dirección horizontal 
y vertical está dividido en segmentos en escala logarítmica 
con la particularidad de que cada segmento esta en una 
proporción de orden 10 con respecto al segmento anterior 
(Ver Anexo Nº1: Modelo de Papeles – Comparación 
Gráfica). Este tipo de papel es útil cuando x e y están 
relacionados por una función de tipo Potencial: 
 
3.3 Pasos a seguir para construir una gráfica 
 
3.3.1 Seleccionar y denominar las escalas y 
coordenadas adecuadas 
Ubicaremos las variables dependientes paralelos al eje Y y 
las variables independientes paralelos al eje X. 
 
Escogemos una escala de modo que un cuadro sea 
múltiplo de 1, 2, 5, 10 (puede ser de 4) unidades de manera 
que la gráfica se lea con facilidad. 
 
Dibujamos las escalas a uno o dos cuadros del margen de 
cada eje y enumeramos las escalas de manera que la curva 
resultante no este confinada a un área pequeña de la 
grafica. 
 
No es esencial que la gráfica contenga el punto ( 0 , 0 ). Por 
ejemplo puede comenzar desde el punto ( 0 , 8 ), pero si 
debe estar ubicado y escrito este punto en la grafica. 
 
La división más pequeña de la grafica debe ser menor o 
igual al límite de error de los puntos que se localice. 
 
Marque las coordenadas de cada eje. Asigne magnitudes y 
unidades. No marcar todos los cuadros. Marcar cada 2, 4 ó 
5 (cinco es recomendado). 
 
Manual de Laboratorio de Física General 
12 
T (ºC)
t (min)
Calor latente de fusión
Temperatura en función del tiempo
1 mm = 2 s
Escalas
Eje Y:
Eje X:
R. Medina 13/06/06
40 + + + +
+
+
+
12108 14
+
1 mm = 2 ºC
5
10
64 16
+
+
++
+ +
0
2
30
35
15
20
25
Figura Nº 1: Ejemplo de grafica del experimento de calor latente de fusión 
 
 
3.3.2 Localizar los puntos que representan los datos 
en el papel gráfico. 
Se deben localizar los puntos determinados 
experimentalmente usando líneas horizontales y verticales 
en la forma de un signo “+”, que permite considerar una 
coordenada cada vez. 
 
Si trazamos mas de una curva en un papel gráfico, se 
deben usar diferentes símbolos (líneas “+”, puntos, etc.) 
para cada grafica diferente y si es posible, usar diferentes 
colores. Hacer una Leyenda respectiva. 
 
 
GRAFICA Nº 1: 
 Manual de Laboratorio de Física General 
 
13 
3.3.3 Ajustar la curva entre los puntos (se verá en el 
siguiente laboratorio). (Ver Anexo Nº1: Modelo de 
Papeles – Comparación Gráfica) 
 
3.3.4 Preparar el título y la descripción del gráfico. 
El titulo se debe colocar dentro del margen del papel gráfico 
en una posición que no interfiera con la curva. El titulo debe 
incluir una descripción minuciosa del propósito de la grafica, 
además deben estar enumeradas correlativamente. El 
contenido exacto de la descripción depende de las políticas 
del docente o departamento. (Como ejemplo, ver Figura 
Nº2) 
 
3.4 Principales Funciones 
 
3.4.1 Función Lineal: Una función es lineal cuando la 
variable independiente aparece elevada a la primera 
potencia, se representa en la forma: 
 
y m x b= ⋅ + (1) 
 
ym
x
Δ
=
Δ
, es la pendiente de la recta (2) 
b es el intersecto de la recta con el eje y cuando 0x = 
 
3.4.2 Función Cuadrática: Una función es cuadrática 
cuando la variable independiente esta elevada al cuadrado, 
se representa de la siguiente manera: 
 
2y a bx cx= + + (3) 
 
, , a b c : Constantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Manual de Laboratorio de Física General 
14 
 
 
 
 
 
 
Figura Nº 2: Función lineal 
 
 
 
 
 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
tiempo (s)
es
pa
ci
o 
(m
)
Δe = 35 m 
Δt = 10 s
GRAFICA Nº 2: 
Movimiento Rectilíneo Uniforme 
Escala: 
 tiempo (s) : 1 cm < > 2 s 
 espacio (m) : 1 cm < > 5 m 
b 
Donde: 
m = 3.5 
b = 4.6 
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15 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
X
Y
 
Figura Nº 3: Función Cuadrática 
 
 
Un ejemplo de Función Cuadrática es el descrito por la 
trayectoria del movimiento de proyectiles 
 
En la Figura Nº 4 se muestra un caso especial de la 
ecuación (3), cuando 0a = , 0b = y c es una 
GRAFICA Nº 3: 
Curva Parabólica (Función Cuadrática)
Y = 2 – X + 2 X2 
Donde: 
a = 2 
b = -1 
c = 2 
Escala: 
 X (u1) : 1 cm < > 1 u1
 Y (u2) : 1 cm < > 5 u2
Manual deLaboratorio de Física General 
16 
constante, entonces la ecuación (3) es equivalente a la 
función ny kx= , cuando n=2 y k c= 
 
 
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 5 10 15 20 25 30
tiempo ( s )
es
pa
ci
o 
 ( 
cm
 )
 
Figura Nº 4: Función Cuadrática - Potencial 
 
 
Un ejemplo de Función Cuadrática - Potencial es el descrito 
por un móvil con Movimiento Rectilíneo Uniformemente 
Variado, cuando el móvil tiene una velocidad inicial igual a 
GRAFICA Nº 4: 
Curva Parabólica (Función Cuadrática - Potencial) 
e = 1.2 t2
Donde: 
a = 0 
b = 0 
c = 1.2 
Escala: 
 x = t (s) : 1 cm < > 5 s 
 y = e (cm) : 1 cm < > 100 cm 
 Manual de Laboratorio de Física General 
 
17 
cero y parte del origen de coordenadas, es decir : 
2
2
ay x= ⋅ , donde a es la aceleración del móvil. 
 
3.4.3 Función Potencial: En este tipo de función x esta 
elevado a una exponente constante. Se representa de la 
siguiente manera: 
 ny kx= (4) 
Justificación: Tomando logaritmos a ambos lados de 
ny kx= obtenemos: 
 ( )log log logy k n x= + ⋅ (5) 
 
Haciendo un cambio de variable logY y= , logX x= y 
logB k= 
 
De (5) obtenemos una relación lineal: 
 Y B n X= + ⋅ (6) 
 
Si graficamos Y vs X obtendremos una recta con 
pendiente n . La pendiente puede ser positiva o negativa y 
no necesita ser un entero. Para evitar tomar logaritmos a la 
función, es de utilidad el papel gráfico log-log (logarítmico), 
donde al graficar allí cualquier conjunto de datos o función 
de la forma ny kx= , obtendremos una línea recta como 
curva trazada y calcularíamos la pendiente y la intersección 
como si estuviésemos trabajando con un papel grafico 
milimetrado. (Ver Figura Nº 4 y 5) 
 
 
Manual de Laboratorio de Física General 
18 
1
10
100
1000
1 10 100
tiempo (s)
es
pa
ci
o 
(c
m
)
 
Figura Nº 5 : Función Cuadrática en papel grafico log-log (Logarítmico) 
 
 
Observación: Para calcular la pendiente se escogen dos 
puntos sobre la recta y evaluando es: 
 
12
12
loglog
loglog
xx
yyn
−
−
= (7) 
 
GRAFICA Nº 5: 
Función Cuadrática - Potencial
 Manual de Laboratorio de Física General 
 
19 
con (x1 , x2), (y1 , y2) leídos directamente sobre el papel 
logarítmico. El intercepto de la recta es ( )logB k= se lee 
directamente sobre el papel logarítmico 
 
3.4.4 Función Exponencial: Una función es exponencial 
cuando la variable independiente aparece como exponente 
de algún numero: 
 0
bxy y e= (8) 
 
En la ecuación (8) e es la base de los logaritmos 
neperianos y su valor es 
2.7182818284590452353602874713527 aproximadamente, 
b es una constante. 
 
Si la constante b es positiva, entonces la concavidad de la 
parábola depende del signo de x . Para la Figura Nº 6, 
estamos viendo un decrecimiento exponencial, en este 
caso el signo de x es negativo. 
 
Si los valores para x son positivos, entonces la concavidad 
de la parábola depende del signo de la constante b. Para la 
Figura Nº 6, estamos viendo un decrecimiento exponencial, 
en este caso el signo de b es negativo. 
 
La función exponencial tiene la propiedad siguiente: 
 
 
dy b y
dx
= ⋅ (9) 
 
Cualquier múltiplo constante de la función exponencial 
bxe tiene la propiedad de que su tasa de crecimiento es b 
veces la función misma. 
 
Para intervalos xΔ largos, la ecuación (9) implica: 
 
 
y b y
x
Δ
= ⋅
Δ
 (10) 
Manual de Laboratorio de Física General 
20 
Si el signo de x es negativo estaremos tratando con un 
decaimiento exponencial y la ecuación (8) adopta la 
siguiente forma: 
 0
b xy y e − ⋅= (11) 
 
Un tipo especial de papel hace que el análisis de 
crecimiento y decrecimiento exponencial sea mucho más 
simple (papel semilogaritmico). 
 
 Manual de Laboratorio de Física General 
 
21 
 
Figura Nº 6 : Función Exponencial – Decreciente (Papel milimetrado) 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
tiempo (horas)
A
ct
iv
id
ad
 (%
)
GRAFICA Nº 6: 
Desintegración Radiactiva del Cesio 137 
A(t) = 100 e-0.5 t
Escala: 
 X = t (s) : 1 cm < > 1 h 
 y = A (%) : 1 cm < > 10 % 
Donde: 
yo = 100 
b = -0.5 
Manual de Laboratorio de Física General 
22 
Justificación: Si tomamos logaritmos decimal a la ecuación 
(8), obtendremos: 
 
 ( ) ( ) ( )0log log logy y bx e= + (12) 
 
Haciendo un cambio de variables: logY y= , ( )0logB y= 
y ( ). logm b e= , la ecuación (12) toma la siguiente forma: 
 
 .Y B m x= + (13) 
 
El grafico de Y vs. x es una línea recta con pendiente 
positiva si b es positiva, y pendiente negativa si b es 
negativa. 
 Manual de Laboratorio de Física General 
 
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1
10
100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
tiempo (horas)
A
ct
iv
id
ad
 (%
)
Figura Nº 7 : Función Exponencial – Decreciente graficado en papel semilogaritmico, 
observar que el resultado es una función lineal. 
 
 
GRAFICA Nº 7: 
Desintegración Radiactiva del Cesio 137 (papel Semilogaritmico) 
Escala: 
 X = t (s) : 1 cm < > 1 h 
Manual de Laboratorio de Física General 
24 
Existe un papel grafico especial (papel semilogaritmico) en la 
cual, el eje vertical es graduado en forma logarítmica 
(potencias de 10), el eje Horizontal esta graduada en forma 
decimal (milimetrada). La curva puede ser trazada sin tener 
que calcular ningún logaritmo a los datos. En dicho papel ya 
se puede calcular la pendiente y la constante de la ecuación 
(13) cuando la grafica es recta. Luego, se puede calcular yo y 
b de la ecuación (8) de la siguiente manera: 
 
 0 10
By = y 
log
mb
e
=
 
 (14) 
 
Observación: cuando una tabla de datos de parejas (x, y) se 
gráfica en papel semilogarítmico, se localiza la pareja de 
puntos sobre el papel, sin previamente calcular el logaritmo 
de "y" pues el papel semilogarítmico lo hace de modo gráfico 
y lo que aparece graficado es (x , Log(y)) como par 
ordenado. En este papel el eje horizontal corresponde a una 
escala milimetrada y el eje vertical a una escala logarítmica. 
Si la escala logarítmica se repite el papel se llama de dos 
ciclos. Los valores en esta escala se enumeran de tal forma 
que cada ciclo debe terminar en un número 10 veces mayor 
que el anterior, es decir, si el primer ciclo empieza en 10, 
debe terminar en 100, el segundo empieza en 100 y termina 
en 1000. El número de ciclos necesario estará dado por el 
número de potencias de 10 que abarquen los valores de "y" 
 
El valor de la pendiente m en el papel semilogarítmico se 
calcula escogiendo dos puntos (x1. Logy1 ), (x2, Logy2) por 
donde pase la recta, y evaluando es: 
 
 
12
12 loglog
xx
yy
m
−
−
=
 
 (15) 
 
El intercepto de la recta es ( )0logB y= . 
 
 Manual de Laboratorio de Física General 
 
25 
4. Procedimiento 
 
Se graficarán y analizarán los resultados de tres experimentos: 
 
4.1 La posición de un automóvil que baja por la pendiente de 
una colina fue observada en diferentes tiempos y los 
resultados se resumen en la siguiente tabla: Medida (en 
metros) del espacio recorrido por un móvil que se mueve en 
línea recta a velocidad constante en función del tiempo 
expresado en segundos. 
 
 
Tabla N° 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2 Medida (en metros) del espacio recorrido por un móvil que 
se mueve en línea recta con aceleración constante en 
función del tiempo expresado en segundos. 
 
Tabla N° 2 
t (s) e (m) 
1,0 1,00 
2,2 4,84 
3,4 11,56 
4,4 19,36 
5,9 34,81 
7,1 50,41 
 
t ( s ) e ( m ) 
1.1 8.45 
2.9 14.75 
4.1 18.95 
6.6 27.70 
8.0 32.60 
9.8 38.90 
10.5 41.35 
12.1 46.95 
13.9 53.25 
15.5 58.85 
Manual de Laboratorio de Física General 
26 
4.3 Medida de la actividad radiactiva del radón, donde el día 
uno se detectó una desintegración de 4.3 x 1018 núcleos. 
Los porcentajes de la muestra sin desintegrar, para 
distintos días se muestran en la tabla Nº 3. 
 
Tabla N° 3 
 
t (días) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
A (t) % 83 69 57 47 39 32 27 22 18 15 
 
A partir de los datos anteriores, realice lo siguiente graficas:I. En papel milimetrado los valores de las Tablas N° 1, 
N°2 y N°3. 
 
II. En papel logarítmico los valores de las Tablas N° 1, N°2 
y N°3. 
 
III. En papel semilogaritmico los valores de las Tablas N° 
1, N°2 y N°3. 
 
 
5. Cuestionario 
 
5.1 Usando las gráficas obtenidas en el paso 1 del 
procedimiento, halle la pendiente y el ángulo de inclinación 
de las graficas lineales de los diferentes papeles. Use las 
ecuaciones (2), (7) y (15) respectivamente. (use calculadora 
científica para ello). 
 
5.2 Según la tabla N° 3: ¿Cuántos núcleos habían al inicio (día 
cero)? y ¿Cuántos núcleos quedarán por desintegrar el día 
N° 7? 
 
5.3 Calcule el valor de E paso a paso para cada factor; 
Primero: realizar el cálculo para cada factor con 
aproximación a centésima (use las reglas de redondeo, Ver 
Anexo Nº2). Segundo: realizar el cálculo para cada factor 
con todos los decimales que pueda dar la calculadora que 
esta usando. 
 
 Manual de Laboratorio de Física General 
 
27 
( ) ( )
( )
3 2ln 1000 log arcos 0.25 .( 37 )
.arctan 10
e sen
E
π
⋅ ⋅ − °
= 
 
5.4 Investigue datos experimentales cuya grafica describa una 
línea recta y grafíquelas en papel milimetrado. 
Adicionalmente grafique estos datos usando el software 
Logger Pro del laboratorio de física. 
 
5.5 Investigue datos experimentales cuya grafica describa una 
curva parabólica y grafíquelas en papel milimetrado. 
Adicionalmente grafique estos datos usando el software 
Logger Pro del laboratorio de física. 
 
5.6 Busque información sobre la existencia de otros papeles, 
además del milimetrado , logarítmico y semilogaritmico 
 
5.7 ¿Cuáles son las características de una función?, explique. 
 
5.8 como aplicaría este tema en su carrera profesional? 
 
 
6. Observaciones 
 
6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - 
 
 
7. Conclusiones 
 
7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
Manual de Laboratorio de Física General 
28 
8. Sugerencias 
 
8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
 
9. Referencias 
 
9.1 Problemas y ejercicios de análisis matemático, B. 
Demidovich, Ed. MIR, Moscú, URSS, 1973, Cap. 1, Pág. 7 
– 19. 
 
9.2 Tópicos de Cálculo I, M. Mittac & L. Toro, ed. “San Marcos”, 
Lima, Perú, 1990 Cap. 2, pág. 47-100. 
 
9.3 Intermediate Physics for Medicine and Biology, R. K. Hobbie, 2 
ed., John Wiley & Sons, 1988, Minneapolis, Minnesota, USA, Ch. 
2, Pg., 28-39. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
"Una gráfica puede decir más que mil palabras." 
ANONIMO