Transformações Lineais em Matemática

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Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa
Departamento de Matemática
Campus Santiago
TRANSFORMACIONES LINEALES para MAT023
Verónica Gruenberg Stern
DEFINICION
Sean U, V dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K y sea T : U −→ V una función.
Diremos que T es una transformación lineal ssi satisface las siguientes dos condiciones:
1. T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2) ∀ u1,u2 ∈ U .
2. T (α · u) = α · T (u) ∀ α ∈ K, ∀ u ∈ U .
TEOREMA
T : U −→ V es una transformación lineal ssi
T (α · u1 + β · u2) = α · T (u1) + β · T (u2) ∀ α, β ∈ K, ∀ u1,u2 ∈ U .
EJEMPLOS
1. Considere la función T : R −→ R tal que T (x) = 5x. Veamos si T es o no una
transformación lineal.
(a) Sean x, y ∈ R. Entonces, T (x+ y) = 5(x+ y) = 5x+ 5y = T (x) + T (y).
(b) Sea x ∈ R, (espacio vectorial), y sea α ∈ R (cuerpo). Entonces,
T (αx) = 5αx = α5x = αT (x).
Aśı, hemos probado que T es una transformación lineal. Notar que de la
misma manera podŕıamos haber probado que T (x) = k · x es una transfor-
mación lineal, para cualquier constante real k.
2. Considere la función T : R2 −→ R2 tal que T (x, y) = (x+ y, x− y). Veamos si T
es o no una transformación lineal.
(a) Sean (x, y), (u, v) ∈ R2. Entonces,
T ((x, y) + (u, v)) = T ((x + u, y + v)) = (x + u + y + v, x + u − y − v) =
(x+ y, x− y) + (u+ v, u− v) = T (x, y) + T (u, v)
(b) Sea (x, y) ∈ R2 y sea α ∈ R. Entonces,
T (α(x, y)) = T (αx, αy) = (αx+ αy, αx− αy) = α(x+ y, x− y) = αT (x, y)
Aśı, hemos probado que T (x, y) = (x+y, x−y) es una transformación lineal.
1
3. Considere la función T : R2 −→ R3 tal que T (x, y) = (x + y, x − y, 2x + 3y).
Análogamente,
(a) Sean (x, y), (u, v) ∈ R2. Entonces,
T ((x, y) + (u, v)) = T ((x+ u, y + v)) =
(x+ u+ y + v, x+ u− y − v, 2x+ 2u+ 3y + 3v) =
(x+ y, x− y, 2x+ 3y) + (u+ v, u− v, 2u+ 3v) = T (x, y) + T (u, v)
(b) Sea (x, y) ∈ R2 y sea α ∈ R. Entonces,
T (α(x, y)) = T (αx, αy) = (αx+ αy, αx− αy, 2αx+ 3αy) =
α(x+ y, x− y, 2x+ 3y) = αT (x, y)
4. Considere la función T : R2 −→ R2 tal que T (x, y) = (x+ y,−1). Veamos si T es
o no una transformación lineal.
Sean (x, y), (u, v) ∈ R2. Entonces, T ((x, y) + (u, v)) = T ((x+ u, y + v)) =
(x+ u+ y + v,−1) = (x+ y,−1) + (u+ v, 0).
Esta última expresión no es igual a T (x, y) + T (u, v). Luego, T no es una trans-
formación lineal.
5. σ : U −→ V, σ(u) = 0V es una transformación lineal.
6. id : U −→ U, id(u) = u es una transformación lineal.
7. Considere D : C1[a, b] −→ C[a, b], D(f) = df
dx
.
Como
d
dx
(αf(x) + βg(x)) = α
df
dx
(x) + β
dg
dx
(x), se tiene que D es una transfor-
mación lineal.
8. Considere Dn : Cn[a, b] −→ C[a, b], Dn(f) = d
nf
dxn
. Análogamente al ejemplo
anterior, Dn es una transformación lineal.
9. Considere I : C[a, b] −→ R, dado por
I(f) =
∫ b
a
f(t)dt
Como
∫ b
a
(αf(x) + βg(x)) = α
∫ b
a
f(x) + β
∫ b
a
g(x), se tiene que I es una transfor-
mación lineal.
10. Sea x ∈]a, b] y considere Ix : C[a, b] −→ C1[a, b], dado por
Ix(f) =
∫ x
a
f(t)dt
Análogamente, Ix es una transformación lineal.
2
PROPIEDADES
Sea T : U −→ V una transformación lineal. Entonces, se cumplen las siguientes
propiedades:
1. T (0U) = 0V . Es decir, toda transformación lineal lleva al vector nulo de U en el
vector nulo de V .
2. Sean u1,u2, · · · ,us ∈ U, α1, α2, · · · , αs ∈ K; entonces
T (α1 · u1 + α2 · u2 + · · ·+ αs · us) = α1 · T (u1) + α2 · T (u2) + · · ·+ αs · T (us).
3. T (−u) = −T (u), ∀u ∈ U. Es decir, toda transformación lineal lleva al inverso
aditivo de un vector en el inverso aditivo de la imagen del vector.
4. Si u1,u2, · · · ,us son vectores l.d., entonces T (u1), T (u2), · · · , T (us) son l.d. Es
decir, toda transformación lineal conserva la condición de dependencia lineal.
DEMOSTRACION
1. ∀ u ∈ U : T (u) = T (u + 0U) = T (u) + T (0U)⇒ T (0U) = 0V .
2. Es clara, por inducción.
3. ∀ u ∈ U : T (−u) = T (−1 · u) = −1 · T (u) = −T (u).
4. Como u1,u2, · · · ,us son vectores l.d., existen escalares α1, α2, · · · , αs ∈ K no to-
dos nulos tal que
∑s
i=1 αi · ui = 0U . Por lo tanto, si aplicamos T a ambos lados,
T
(
s∑
i=1
αi · ui
)
= T (0U)
s∑
i=1
αi · T (ui) = 0V
Como no todos los αi son nulos, hemos probado que el conjunto formado por los
s vectores T (ui) del espacio vectorial V es l.d.
EJERCICIOS
Determine si las siguientes son o no transformaciones lineales:
1. T : R2 −→ R2 tal que T (x, y) = (x+ y, 0)
2. T : R2 −→ R2 tal que T (x, y) = (2x− 3y, 4x− y).
3. T : R2 −→ R2 tal que T (x, y) = (ax + by, cx − dy), donde a, b, c, d son números
reales cualquiera.
3
4. ev0 : Rn[x] −→ R, tal que ev0(p) = p(0).
5. T : Rn[x] −→ Rn+1[x], tal que T (p) = D(p) + Ix(p).
6. T : R2 −→ R, tal que T (x, y) = x2 + y2.
7. T : R2 −→ R3, tal que T (x, y) = (x, y, xy).
El Espacio Vectorial de las Transformaciones Lineales
Sean U y V espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Consideremos el conjunto
L(U, V ) = {T : U −→ V tal queT es una transformación lineal}
Con las operaciones usuales de adición de funciones y de producto por escalar, se
tiene que L(U, V ) es un espacio vectorial sobre K. Claramente, L(U, V ) 6= ∅ pues
la transformación nula, es una transformación lineal. Además, debemos probar que:
1. T, S ∈ L(U, V ) ⇒ T + S ∈ L(U, V )
2. T ∈ L(U, V ), α ∈ R ⇒ α · T ∈ L(U, V ).
Probemos 1: Sean T, S ∈ L(U, V ). Debemos probar que T +S es una transformación
lineal. Por lo tanto, sean u1,u2 ∈ U, λ1, λ2 ∈ K. Formamos
(T + S)(λ1u1 + λ2u2) = T (λ1u1 + λ2u2) + S(λ1u1 + λ2u2). Como T, S ∈ L(U, V ),
= λ1T (u1) + λ2T (u2) + λ1S(u1) + λ2S(u2)
= λ1T (u1) + λ1S(u1) + λ2T (u2) + λ2S(u2)
= λ1(T + S)(u1) + λ2(T + S)(u2). Por lo tanto, T + S ∈ L(U, V ).
Probemos 2: Sean T ∈ L(U, V ), α ∈ R. Ahora debemos probar que α · T es una
transformación lineal. Como antes, sean u1,u2 ∈ U, λ1, λ2 ∈ K. Formamos
(αT )(λ1u1 + λ2u2) = αT (λ1u1 + λ2u2). Por la linealidad de T :
= α(λ1T (u1)+λ2T (u2)) = λ1(αT (u1))+λ2(αT (u2)). Por lo tanto, αT ∈ L(U, V ).
De esta forma, hemos probado que L(U, V ) es un espacio vectorial.
DEFINICION
Sea T ∈ L(U, V ). Definimos el kernel ó núcleo de T como el conjunto
ker(T ) = {u ∈ U : T (u) = 0V }
es decir, es el conjunto de todos los elementos de U que tienen como imagen al 0V .
TEOREMA
Sea T ∈ L(U, V ). Entonces kerT ≤ U .
DEMOSTRACION Debemos probar que:
4
1. kerT 6= ∅, lo cual es claro pues T (0U) = 0V , de donde 0U ∈ kerT .
2. u1,u2 ∈ kerT ⇒ u1 + u2 ∈ kerT . En efecto:
T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2) = 0V + 0V = 0V
3. u ∈ kerT, α ∈ K ⇒ αu ∈ kerT . En efecto: T (αu) = αT (u) = α0V = 0V .
TEOREMA
Sea T ∈ L(U, V ). Entonces ImT ≤ V .
DEMOSTRACION Debemos probar que:
1. ImT 6= ∅, lo cual es claro pues T (0U) = 0V , de donde 0V ∈ ImT .
2. v1,v2 ∈ ImT ⇒ ∃u1,u2 ∈ U : T (u1) = v1, T (u2) = v2 . Por lo tanto,
T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2) = v1 + v2. Luego v1 + v2 ∈ Im T .
3. v ∈ ImT, α ∈ K ⇒ αv ∈ ImT . Ejercicio.
EJEMPLOS
1. σ : U −→ V ⇒ kerσ = U , Imσ = {0V }.
2. id : U −→ U ⇒ ker id= {0U}, Im id =U .
3. D : Rn[x] −→ Rn[x] ⇒ kerD = {p(x) : p(x) = cte.}, ImD = Rn−1[x].
4. T : R3 −→ R2, T (x, y, z) = (x + y, y + z). Entonces, (x, y, z) ∈ kerT ⇐⇒
T (x, y, z) = (0, 0) ⇐⇒ x+ y = 0 ∧ y + z = 0. Aśı, x = z = −y, de donde
kerT = {x, y, z) ∈ R3 : x = z = −y} = {(−y, y,−y), y ∈ R}
= {y · (−1, 1,−1), y ∈ R} = 〈(−1, 1,−1)〉.
Luego, también hemos encontrado una base para el kerT y dim kerT = 1.
Para encontrar la imagen de T buscamos los (u, v) ∈ R2 : ∃(x, y, z) ∈ R3 :
T (x, y, z) = (u, v). Ello es aśı si x+y = u ∧ y+z = v. Como este es un sistema
de 2 ecuaciones con 3 incógnitas, fijamos una de ellas, digamos y = 0 y tenemos
que x = u, z = v, de donde
T (x, 0, z) = T (u, 0, v) = (u+ 0, 0 + v) = (u, v), ∀(u, v) ∈ R2
En general, hacemos y = y0 y tenemos que x = u − y0 ∧ z = v − y0, de donde
T (x, y0, z) = T (u− y0, y0, v − y0) = (u− y0 + y0, y0 + v − y0).
Luego, ImT = R2.
5. T : R3 −→ R, T (x, y, z) = x + y + z. Análogamente, (x, y, z) ∈ kerT ⇐⇒
T (x, y, z) = 0 ⇐⇒ x+ y + z = 0 ⇐⇒ z = −x− y, de donde
kerT = {(x, y, z) ∈ R3 : z = −x− y} = {(x, y,−x− y), x, y ∈ R}
5
= {(x, 0,−x) + (0,y,−y), x, y ∈ R} = {x(1, 0,−1) + y(0, 1,−1) : x, y ∈ R}
= 〈(1, 0,−1), (0, 1,−1)〉.
Nuevamente, hemos encontrado una base para el kerT y dim kerT = 2.
Como cualquier u ∈ R puede ser obtenido como suma de 3 números reales,
ImT ≤ R, y dimR = 1, entonces una base para ImT puede ser C = {1}.
6. T : R3 −→ R5, T (x, y, z) = (x+ y, y + z, x+ 2y + z, x+ y, 0)
(x, y, z) ∈ kerT ⇐⇒ T (x, y, z) = (0, 0, 0, 0, 0) ⇐⇒
x+ y = 0
y + z = 0
x+ 2y + z = 0
x+ y = 0
=⇒ x = −y
z = −y Por lo tanto,
kerT = {(x, y, z) ∈ R3 : x = −y, z = −y} = {(−y, y,−y), y ∈ R} = 〈(−1, 1,−1)〉
TEOREMA
Sean U, V espacios vectoriales sobre K, B = {u1,u2, · · · ,un} una base de U , y sean
v1,v2, · · · ,vn ∈ V arbitrarios. Entonces, ∃! T : U −→ V lineal, tal que T (ui) = vi.
OBSERVACION
Este teorema establece que una transformación lineal de un espacio vectorial de
dimensión finita en otro espacio vectorial queda completamente determinada si se conoce
las imágenes de todos los elementos de una base. En el siguiente ejemplo veremos una
aplicación directa de este hecho.
EJEMPLOS
1. Sea T : R2 −→ R3 lineal tal que T (1, 0) = (1,−2, 3), T (0, 1) = (−1, 1,−1).
Determinar expĺıcitamente la transformación lineal.
Para ello, sabemos que: ∀(x, y) ∈ R2 : (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1).
Aplicando T a ambos lados de la ecuación:
T (x, y) = T (x(1, 0) + y(0, 1)) = xT (1, 0) + yT (0, 1) = x(1,−2, 3) + y(−1, 1,−1)
Luego, T (x, y) = (x− y,−2x+ y, 3x− y).
2. Sea T : R2[x] −→ M2×2(R), una transformación lineal tal que
T (1 + x) =
(
1 −1
1 0
)
, T (x+ x2) =
(
0 −1
−1 1
)
, T (1 + x2) =
(
1 −2
0 1
)
6
Encuentre la transformación lineal para cualquier polinomio en R2[x], determine
dim kerT , dim ImT y encuentre una base para ellos.
Sea p(x) = a + bx + cx2 un polinomio cualquiera en R2[x]. Sabemos que
B = {1 + x, x+ x2, 1 + x2} es base de R2[x], luego escribimos p(x) como combi-
nación de los elementos de la B :
a+ bx+ cx2 = α(1 + x) + β(x+ x2) + γ(1 + x2) de donde
a = α + γ
b = α + β
c = β + γ
=⇒ b− a = β − γ
c = β + γ
y obtenemos los valores
α =
a+ b− c
2
, β =
b− a+ c
2
, γ =
a+ c− b
2
Luego:
T (a+ bx+ cx2) =
a+ b− c
2
T (1 +x) +
b− a+ c
2
T (x+x2) +
a+ c− b
2
T (1 +x2)
=
(
a −a− c
a− c c
)
Para encontrar el kernel, hacemos
(
a −a− c
a− c c
)
=
(
0 0
0 0
)
de donde a = c = 0. Luego,
KerT = {a+ bx+ cx2 : a = c = 0} = {bx, b ∈ R} = 〈x〉
Por lo tanto, la dimKer(T ) = 1.
Ahora,
(
a −a− c
a− c c
)
= a
(
1 −1
1 0
)
+ c
(
0 −1
−1 1
)
de donde una base para ImT es B =
{(
1 −1
1 0
)
, c
(
0 −1
−1 1
)}
y
dim(ImT ) = 2.
TEOREMA
Sea T ∈ L(U, V ); entonces, T es 1-1 ⇐⇒ ker T = {0U}.
DEMOSTRACION
(⇒) Sea x ∈ kerT . Entonces T (x) = 0V = T (0U). Como T es inyectiva,
T (x) = T (0U)⇒ x = 0U . Por lo tanto, kerT = {0U}.
(⇐) Sean x, y ∈ U : T (x) = T (y). Luego, T (x) − T (y) = 0 ⇒ T (x − y) = 0.
Ahora, kerT = {0U} ⇒ x− y = 0U , de donde x = y, por lo que T es inyectiva.
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EJEMPLOS
1. Determine si las transformaciones lineales determinadas en los ejemplos anteriores
son inyectivas.
(a) Para T : R2 −→ R3 con T (x, y) = (x − y,−2x + y, 3x − y) tenemos
que (x− y,−2x+ y, 3x− y) = (0, 0, 0) ⇐⇒
x− y = 0
−2x+ y = 0
3x− y = 0
⇐⇒ x = y = 0
Luego, KerT = {(0, 0)} por lo que T es inyectiva.
(b) Para T : R2[x] −→ M2×2(R) con T (a+bx+cx2) =
(
a −a− c
a− c c
)
vimos que KerT = {a + bx + cx2 : a = c = 0} = {bx, b ∈ R} por
lo que T no es inyectiva.
2. Sea T : R4[x] −→ R3, definida por T (a + bx + c2 + dx3 + ex4) = (a + b, c + d, e).
Pruebe que T es lineal, determine dim kerT , dim ImT y encuentre una base para
ellos.
(a) Dejamos como ejercicio probar que T es lineal.
(b) p(x) ∈ kerT ⇐⇒ T (p(x)) = (0, 0, 0)⇐⇒
a+ b = 0
c+ d = 0
e = 0
Esto implica que b = −a, d = −c. Luego p(x) ∈ kerT ⇐⇒
p(x) = a− ax+ cx2 − cx3, lo cual implica que p(x) = a(1− x) + c(x2 − x3).
Una base para kerT es {(1− x), (x2 − x3)}. Por tanto, dim kerT = 2.
(c) Consideremos la base canónica de R4[x]. Tenemos que: T (1) = (1, 0, 0),
T (x) = (1, 0, 0), T (x2) = (0, 1, 0), T (x3) = (0, 1, 0), T (x4) = (0, 0, 1).
Claramente, los 3 vectores linealmente independientes que encontramos (vec-
tores de la base canónica de R3) forman la base de ImT . Por lo tanto, dim
ImT = 3.
(d) Notar que dimR(kerT ) + dimR(ImT ) = 2 + 3 = 5 = dimR4[x]
Esta última relación es un hecho general, y tenemos el siguiente
8
TEOREMA
Sea T : U −→ V lineal, con dimKU = n. Entonces
dimK( kerT ) + dimK( ImT ) = n
TEOREMA
Sean U, V,W espacios vectoriales sobre K y sean T ∈ L(U, V ), S ∈ L(V,W ). En-
tonces, la composición de las transformaciones lineales también es lineal, es decir,
S ◦ T ∈ L(U,W ).
DEMOSTRACION Sean α, β ∈ K, x, y ∈ U. Entonces
(S ◦ T )(αx+ βy) = S(T (αx+ βy)) = S((αT (x) + βT (y)) = (αS(T (x)) + βS(T (y)))
= (α(S ◦ T )(x) + β(S ◦ T )(y).
TEOREMA
Sea T : U −→ V lineal e inyectiva. Entonces la inversa de T , que denotamos por
T−1 : ImT −→ U también es una transformación lineal.
DEMOSTRACION Sean v1,v2 ∈ ImT =⇒ ∃ u1,u2 ∈ U :
T−1(v1) = u1, T
−1(v2) = u2. Luego, T (u1) = v1, T (u2) = v2.
Por lo tanto, v1 + v2 = T (u1 + u2) =⇒ u1 + u2 = T−1(v1 + v2) =⇒
T−1(v1 + v2) = T
−1(v1) + T
−1(v2).
De la misma manera, se prueba que T−1(αv) = αT−1(v). Aśı, T−1 es lineal.
DEFINICION
Sea T : U −→ V lineal. Diremos que T es un isomorfismo si y sólo si T es inyectiva
e ImT = V . En este caso, diremos que U y V son isomorfos, y escribimos U ∼= V .
OBSERVACION
T ∈ L(U, V ) isomorfismo =⇒ T−1 ∈ L(V, U) también es un isomorfismo.
EJEMPLO
Sea V un espacio vectorial sobre R, tal que dimRV = n. Sea B = {u1,u2, · · · ,un}
una base ordenada de V , de modo que si v ∈ V , entonces formamos la matriz de
coordenadas de v en la base B:
[v]B =

α1
α2
. . .
αn

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Definimos la función ϕ : V =⇒ Rn, con ϕ(v) = (α1, α2, · · · , αn).
Dejamos como ejercicio demostrar que ϕ es lineal, inyectiva y epiyectiva. Por lo
tanto, ϕ es un isomorfismo.
Notar que, en particular, hemos probado que si dimV = n, entonces, V ∼= Rn.
MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL
Consideraremos en esta sección espacios vectoriales de dimensión finita.
Sean U, V espacios vectoriales sobre un cuerpo K, tal que dimKU = n, y dimKV = m.
Sean B1 = {u1,u2, · · · ,un}, B2 = {v1,v2, · · · ,vm} bases ordenadas de U y V ,
respectivamente. Sabemos que existen escalares αij únicos (i = 1, · · · ,m j = 1, · · ·n):
T (u1) = α11v1 + α21v2 + · · ·αm1vm
T (u2) = α12v1 + α22v2 + · · ·αm2vm
· · · = · · ·
T (un) = α1nv1 + α2nv2 + · · ·αmnvm
La matriz de m filas y n columnas (αij)m×n se llama matriz asociada a la trans-
formación lineal T , con respecto a las bases B1 y B2.
Denotamos esta matriz por
[T ]B2B1 =

α11 α12 · · · α1n
α21 α22 · · · α2n
· · · · · · · · · · · ·
αm1 αm2 · · · αmn

EJEMPLO
Sea T ∈ L(R3,R2), T (x, y, z) = (x− 2y + 3z, 4x− y − z).
1. Si B1 = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} y B2 = {(1, 2), (1,−1)} son bases ordenadas
de R3 y R2 respectivamente, encuentre [T ]B2B1 .
Para encontrar la matriz asociada a la transformación lineal con respecto a estas
bases, escribimos:
T (1, 1, 0) = (−1, 3) = α11(1, 2) + α21(1,−1)
T (1, 0, 1) = (4, 3) = α12(1, 2) + α22(1,−1)
T (0, 1, 1) = (1,−2) = α13(1, 2) + α23((1,−1)
Resolviendo los tres sistemas de ecuaciones, obtenemos:
[T ]B2B1 =
(
2/3 7/3 −1/3
−5/3 5/3 4/3
)
10
2. Sea u = (1, 2, 3). Encuentre [u]B1 , [T (u)]B2 , y [T ]
B2
B1
· [u]B1 .
Escribimos (1, 2, 3) = α(1, 1, 0) + β(1, 0, 1) + γ(0, 1, 1), de donde
[u]B1 =
 01
2

Para encontrar [T (u)]B2 , primero calculamos T (1, 2, 3) = (6,−1).
Ahora, (6,−1) = α(1, 2) + β(1,−1), de donde
[T(u)]B2 =
(
5/3
13/3
)
Calculamos ahora
[T ]B2B1 · [u]B1 =
(
2/3 7/3 −1/3
−5/3 5/3 4/3
)
·
 01
2
 = ( 5/3
13/3
)
= [T(u)]B2 .
Esta última propiedad es general, vale decir, [T ]B2B1 · [u]B1 = [T(u)]B2 .
11
RELACION ENTRE
OPERACIONES DE TRANSFORMACIONES LINEALES Y
OPERACIONES ENTRE MATRICES
Consideremos, como antes, los espacios vectoriales U, V sobre un cuerpo K, tal que
dimKU = n, y dimKV = m. Sean B1 = {u1,u2, · · · ,un}, B2 = {v1,v2, · · · ,vm}bases ordenadas de U y V , respectivamente. Sean T, S ∈ L(U, V ). Entonces:
1. [T + S ]B2B1 = [T ]
B2
B1
+ [S ]B2B1 , es decir, la matriz asociada a la suma de trans-
formaciones lineales es la suma de las matrices asociadas a cada transformación
lineal.
2. [αT ]B2B1 = α[T ]
B2
B1
, ∀ α ∈ K, es decir, la matriz asociada al producto por escalar
de una transformación lineal es el escalar multiplicado por la matriz asociada a
la transformación lineal.
3. Sea W un espacio vectorial sobre K, B3 = {w1,w2, · · · ,wp} una base ordenada
de W . Sea L ∈ L(V,W ) y supongamos que la composición de funciones L ◦
T está definida. Entonces, [L ◦ T ]B3B1 = [L ]
B3
B2
· [T ]B2B1 , es decir, la
matriz asociada a la composición de transformaciones lineales es el producto de
las matrices asociadas a cada transformación lineal, en el orden correspondiente.
4. Supongamos que T es un isomorfismo entre U y V . Sabemos que ∃ T−1 : V −→ U
que también es un isomorfismo. Entonces, [T−1 ]B1B2 = ([T ]
B2
B1
)−1, es decir, la
matriz asociada a la inversa de una transformación lineal es la inversa de la matriz
asociada a la transformación lineal.
EJEMPLOS
1. Consideremos las transformaciones lineales
S, T : R2 −→ R2 con T (x, y) = (x+ y, x− y), S(x, y) = (2x− 3y, 4x− 5y)
L : R2 −→ R2[x] con L(a, b) = a + bx + (a + b)x2. Las matrices asociadas a
estas transformaciones lineales en las respectivas bases canónicas son:
[T ]CC =
(
1 1
1 −1
)
[S ]CC =
(
2 −3
4 −5
)
[L ]CC =
 1 00 1
1 1

Luego:
12
(a) [T + S ]CC =
(
1 1
1 −1
)
+
(
2 −3
4 −5
)
=
(
3 −2
5 −6
)
(b) [−5T ]CC = −5 ·
(
1 1
1 −1
)
=
(
−5 −5
−5 5
)
(c) [L ◦ S ]CC =
 1 00 1
1 1
 · ( 2 −3
4 −5
)
=
 2 −34 −5
6 −8

2. Sean U, V como arriba, y considere la función ζ : L(U, V ) −→ M(R,m × n)
tal que ζ(T ) = [T ]B2B1 . Pruebe que es un isomorfismo y que, por lo tanto,
dimKL(U, V ) = dimKM(R,m× n) = m · n
MATRIZ CAMBIO DE BASE
Consideremos ahora la transformación lineal identidad de un espacio vectorial U
en śı mismo, donde dimRU = n. En el dominio U , consideremos la base B1 =
{u1,u2, · · · ,un}, y en el recorrido U , consideremos la base B2 = {v1,v2, · · · ,vn}.
Sabemos que existen escalares αij únicos:
id(u1) = (u1) = α11v1 + α21v2 + · · ·αm1vm
id(u2) = (u2) = α12v1 + α22v2 + · · ·αm2vm
· · · · · · · · ·
id(un) = (un) = α1nv1 + α2nv2 + · · ·αmnvm
Por lo tanto, la matriz asociada a la transformación lineal identidad, [ id ]B2B1 , posee
la siguiente propiedad:
∀w ∈ U =⇒ [id(w)]B2 = [ id ]B2B1 · [w]B1 , de donde
[w]B2 = [ id ]
B2
B1
· [w]B1
Como la identidad es un isomorfismo, la matriz asociada es invertible, y se tiene que
([ id ]B2B1)
−1[w]B2 = [w]B1
.
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