ayudantia 2 pauta

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Universidad Técnica
Federico Santa Maŕıa
Departamento de Matemática
Ayudant́ıa 2
1 Semestre 2020
Coordinación MAT-023
1. Sea T : R3[x]→ R3[x] una T.L. definida por
T (p(x)) = p′(x)− xp′′(x)
Sean B1 = {1− x2, 1 + x2, 1− x3, 2 + x} y B2 = {1, x2 + x3, x3 − x2, 1− 2x} dos bases de R3[x]
a) Determine Ker(T ) y la dimensión de Im(T )
b) Determine los valores propios de [T ]B2B1
Solución:
a) Sea p(x) = a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ R3[x]. Entonces
Ker(T ) = {a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ R3[x] : T (a+ bx+ cx2 + dx3) = 0}
Ker(T ) = {a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ R3[x] : b = 0 ∧ d = 0}
Ker(T ) = 〈{1, x2}〉
Por lo tanto la dimensión del Ker(T ) es 2 y por el teorema de la dimensión, obtenemos que la dimensión
de Im(T ) es 2.
b)
[T ]B2B1 =

0 0 0 1
0 0 32 0
0 0 −32 0
0 0 0 0

Sea A = [T ]B2B1 , entonces |A− λI| = −λ
3(−32 − λ) = 0.
Luego los valores propios son λ = 0 y λ = −32 .
2. Considere la funciones
f(x, y) = Arcsen
(
x
x+ y
)
, g(x, y) = ln(1− x2 − y2 + z)
determine el máximo dominio posible de cada una de ellas.
Solución:
Para la primera de las funciones notamos que la función Arcsen(t) solo está definida para valores |t| ≤ 1 luego
el máximo dominio posible será el conjunto (
x
x+ y
)
≤ 1.
De antemano se tiene que x = 0 = y están excluidos del posible dominio, por otro lado(
x
x+ y
)
< ≤ 1
|x| ≤ |x+ y|,
|x|2 ≤ |x+ y|2,
x2 ≤ (x+ y)2
y(y + 2x) ≥ 0
lo cual tiene dos opciones, o bien
y ≥ 0, y ≥ −2x,
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o bien
y ≤ 0, y ≤ −2x.
Se concluye que el dominio de la función es la unión de los siguientes dos conjuntos,
U1 = {(x, y) : y ≥ 0, y ≥ −2x} U2 = {(x, y) : y ≤ 0, y ≤ −2x}.
gráficamente
Para la segunda función, notamos que el argumento de logaritmo debe ser positivo, es decir,
1− x2 − y2 + z > 0.
Como la expresión esta definida para todo (x, y, z) ∈ R3, se tiene que el dominio pedido será
z > x2 + y2 − 1,
la cual geometricamente se puede describir como la región que en encuentra dentro del paraboloide de la siguiente
imagen.
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3. La siguiente imagen muestra las curvas de nivel de una función f = f(x, y). Utiĺıcela para estimar los valores de
f(−3, 3), f(3, 2).
De las curvas de nivel es posible estimar que f(3,−2) es algún valor en el intervalo [20, 30]. Por otro lado para
el valor f(−3, 3) podemos estimar que es algún valor en el intervalo [50, 60].
4. Las siguientes imágenes muestran las curvas de nivel de dos funciones, bosqueje dos posibles gráficas de las
respectivas funciones asociadas a ellas.
Solución:
De las curvas respectivas es posible esbozar los siguientes graficos para las respectivas funciones.
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5. Dada la función
f(x, y) =

xyk
x2 + y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
Determine los valores de k de modo tal que
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0
Solución:
Tomando coordenadas polares
x = r cos(θ) y = r sin(θ) (con r > 0 y θ ∈ R),
tenemos que
ĺım
r→0+
f(r cos(θ), r sin(θ) = ĺım
r→0+
rk+1 cos(θ) sink(θ)
r2
= ĺım
r→0+
rk−1 cos(θ) sink(θ)
Notemos que, para k− 1 > 0, la función tiende a 0. Por otro lado, si k < 1, la función no es acotada en el origen
y para k = 1, el ĺımite depende de θ. Por lo tanto, la función es continua si y sólo si k > 1.
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6. Determine si existen los siguientes ĺımites
a) ĺım
(x,y)→(−1,1)
(x+ 1)(y − 1)3
(x+ 1)2 + (y − 1)6
b) ĺım
(x,y)→(0,0)
sen(2x2) sen(3x)
x2 + y4
Solución:
a) Sea u = x+ 1 y v = y − 1, asÃ
ĺım
(x,y)→(−1,1)
(x+ 1)(y − 1)3
(x+ 1)2 + (y − 1)6
= ĺım
(u,v)→(0,0)
uv3
u2 + v6
Sean φ(t) = (t,mt
1
3 ) y f(u, v) = uv
3
u2+v6 asÃ
ĺım
t→0
f(φ(t)) = ĺım
t→0
t2m3
t2 +m6t2
= ĺım
t→0
t2m3
t2 +m6t2
=
m3
1 +m6
Por lo tanto depende de m y asi el ĺımite no existe.
b)
0 ≤ | sen(2x
2)|| sen(3x)|
x2 + y4
≤ 2x
2|3x|
x2 + y4
≤ 6|x|, x 6= 0
Asà por el teorema de acotamiento
ĺım
(x,y)→(0,0)
sen(2x2) sen(3x)
x2 + y4
= 0
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