Ricardo Figueroa García - Matemática Básica 2 - Vectores y Matrices (2016) - Dana Cruzado Rojas

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MATEMATICA BASICA II
R. FIGUEROA G.
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Eóitomí AMERICA LIMA - PERU
MATEMATICA BASICA 2
VECTORES Y MATRICES
Primera Edición: Marzo 1985 
Segunda Edición: Marzo 1988
Reimpresión de la 
Segunda Edición: Agosto 1990
Agosto 1992 
Agosto 1993
Impreso po r:
EDICIONES E IMPRESIONES GRAFICAS AMERICA S.R.L
Jr. Loreto Nro. 1696 Breña (Lima 5). Telefax 325827
Revisado po r: RICARDO FIGUEROA GARCIA
Egresado de la Universidad Nacional de Ingenería
Facultad de Mecánica
Todos los derechos reservados conforme al Decreto Ley Nro 19437 
Queda prohibido la reproducción por cualquier medio, total o 
parcialmente, sin permiso escrito del autor.
III
PROLOGO
Dada la acogida que le dispensaron los estudiantes a las edi­
ciones preliminares de esta obra, explica la aparición de esta 
nueva edición ampliada, en la que se han hecho las modificacio­
nes necesarias con el propósito de hacer más asequible su lectu­
ra, pues la obra proporciona una excelente preparación para el 
estudio de cursos superiores como el Análisis Matemático y sobre 
todo, el Algebra Lineal.
El estudiante que ha llegado a este curso ya tiene conocimien­
to del Algebra y la Geometría Elemental. En el primer capítulo 
se desarrolla la relación que existe entre estos dos grandes cam 
pos de la matemática; esto es, el estudio de la técnica de los 
vectores. Los sistemas de coordenadas que se utilizan, primero 
el bidimensional (plano) se extiende después al tridimensional 
(espacio), indicando claramente el camino para generalizar los 
conceptos a otras dimensiones, y luego finalizar, haciendo un 
breve estudio de los espacios vectoriales.
En el segundo capítulo se hace referencia al estudio de las ma 
trices de acuerdo con su dimensión o tamaño y sus aplicaciones a 
la solución de ecuaciones lineales.
En el tercer capítulo se expone la teoría de los determinantes, 
de particular importancia en la teoría de las matrices y sus nu­
merosas aplicaciones.
. Con este libro se tiene la intensión de desarrollar la capaci­
dad del estudiante y crear en él hábitos de rutina matemática; 
esto es, la exposición teórica es acompañada de numerosos ejem­
plos y ejercicios con sus respuestas adjuntas, los cuales, indu­
dablemente, ayudarán al estudiante a adquirir destreza y afirmar 
el dominio de la materia. Por ello, recomiendo que los ejercicios 
propuestos se resuelvan sistemáticamente, toda vez que su solu­
ción obedece a un criterio de aprendizaje progresivo.
IV PÁóíogo
Mi reconocimiento a todos los amigos profesores que tuvieron 
la gentileza de hacerme llegar sus sugerencias y observaciones a 
las ediciones preliminares. Sus críticas constructivas hicieron 
posible corregir, mej-orar y ampliar esta nueva edición.
* • Ricardo Figueroa García
CONTENIDO
( g VECTORES
1.1 Introducción. 1.2 Coordenadas Cartesinas
1.3 Vectores en el plano.
1.4 Representación geométrica de un vector.
1.5 Magnitud de un vector. Propiedades.
1.6 Dirección de un vector en R2
1.7 Vector Unitario.
1.8 Adición de Vectores. Propiedades.
1.9 Representación gráfica de la adición de vectores.
1.10 Sustracción de vectores.
1.11 Multiplicación de un escalar por un vector. Representación gráfica. 
Propiedades.
1.12 Vectores Paralelos.
1.13 Producto escalar de vectores.
1.14 Vectores ortogonales.
1.15 Angulo formado por dos vectores.
1.16 Descomposición de vectores.
1.17 Proyección Ortogonal.
1.18 Componentes Escalares.
1.19 Area del paralelogramo y del triángulo.
1.20 Descomposición Lineal. 1.21 Independencia Lineal.
1.22 Criterio de Independencia Lineal.
1.23 Regla de comparación de coeficientes.
1.24 Aplicación de ios vectores a la Geometría Elemental.
1.25 Aplicación de los vectores a la Física.
ECUACIONES VECTORIALES DE LA RECTA
1.26 Rectas en el piano.
1.27 Segmentos de recta.
1.28 División de un segmento en una razón dada.
1.29 Puntos que están sobre una recta.
1.30 Pendientes de una recta. Rectas paralelas y ortogonales.
1
4
5 
9
1 0 fc
11
13
14
15
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33
34 
45 
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77
78 
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99
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108 
110 
115 
120
VI Conten ido
ECUACIONES CARTESIANAS DE LA RECTA
1.31 Forma general de la ecuación de una recta. 128
1.32 Forma Punto-Pendiente. 1 3°
1.33 Forma Pendiente y Ordenada en el origen. 131
1.34 Forma abscisa y ordenada en el origen. 132
1.35 Forma Simétrica. 1^2
RELACIONES ENTRE RECTAS %
1.36 Distancia de un punto a una recta dada. 135
1.37 Intersección de rectas. “U1
1.38 Angulo entre rectas. 149
EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL 159
1.39 VECTORES EN EL ESPACIO 160
1.40 Dirección de un vector en R3. 167
1.41 Vectores Paralelos y Perpendiculares 170
1.42 Proyección Ortogonal. Componentes. 177
1.43 Combinación Lineal. 1.44 Dependencia e Independencia 
Lineal. 181
1.45 Base y Coordenadas de un vector en R 3. 182
1.46 EL PRODUCTO VECTORIAL 187
1.47 Propiedades del producto vectorial. 189
1.48 Interpretación geométrica del producto vectorial.t 192
1.49 PRODUCTO MIXTO DE VECTORES. Propiedades e interpreta-
^ ción geométrica. 201
1.50 RECTAS EN EL ESPACIO. 209
1.51 Posiciones relativas de rectas en el espacio^ 212
1.52 Distancia de un punto a una recta. 217
1.53 Distancia entre dos rectas en el espacio. 219
1.54 PLANOS EN EL ESPACIO. 223
1.55 Ecuación vectorial del plano. 224
1.56 Distancia de un punto a uli plano. 229
T.57 Intersección de planos. 233
1.58 Angulo diedro entre dos planos. 1.59 Angulo entre
una recta y un plano. 237
1.60 Proyección ortogonal de una recta sobre un plano. 238
Conu'r.itio yjj
1.61 Intersección de rectas y planos. 241
1.62 Vectoies de n dimensiones. 251
1.63 ESPACIOS VECTORIALES. 253
1.64 Subespacíos vectoriales. 258
1.65 Independencia Lineal. 264
1.66 Bases y dimensiones de un espacio vectorial. 269
1.67 Suma de subespacíos. 276
g MATRICES
2.1 Introducción. 2.2 Definición. 281
2.3 Orden de una matriz. 282
2.4 Tipos de Matrices. 283
2.5 Igualdad de Matrices. 284
2.6 Suma de Matrices. Propiedades. 285
2.7 Diferencia de Matrices. 286
2.8 Producto de un escalar por una matriz. Propiedades. 286
2.9 Multiplicación de Matrices. 289
2.10 Propiedades de la Multiplicación de Matrices. 293
MATRICES CUADRADAS ESPECIALES
2.11 Matriz Simétrica. 305
2.12 Matriz Antisimétrica. 306
2.13 Matriz Identidad. 307
2.14 Matriz Diagonal. 2.15 Matriz Escalar. 309
2.16 Matriz Triangular Superior. 2.17 Matriz Triangular Inferior.
2 18 Matriz Periódica. 310
2.19 Matriz Transpuesta. 314
2.20 Matriz Hermitiana. 316
2.21 MATRIZ INVERSA 317
2.22 Inversa de una Matriz Triangular. 319
2.23 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES. 327
Transformación elemental fila. Matriz Escalonada 
Matrices Equivalentes. Rango de una Matriz.
Matrices Elementales. INVERSA DE UNA MATRIZ por el método de
VIH Contenido
Gauss-Jordan.
2.24 Sistemas de Ecuaciones Lineales 343
2.25 Rango de un Sistema de Ecuaciones Lineales. 351
2.26 Sistemas Homogéneos de Ecuaciones Lineales. 359
[§) DETERMINANTES
3.1 Definición. 367
3.2 Propiedades. 368
3.3 Existencia de los Determinantes. 375
3.4 Menor de una componentes. 376
3.5 Cofactor de una componente. 377
3.6 Cálculo de determinantes de cualquier orden. 381
3.7 Otras aplicaciones y Propiedades de los determinantes.
3.7.1 Regla de Sarrus. 401
3.7.2 Cálculo de determinantes mediante reducción a la forma escalonada 402
3.7.3 Propiedades Multiplicativas. 412
3.7.4 Rango de una Matriz. * 416
3.7.5 Adjunta de una Matriz. 422
3.7.6 Inversa de una Matriz. 424
3.7.7 Matrices no singulares. 436
3.7.8 Resolución de sistemas de ecuaciones de dos variables. 441
3.7.9 Resolución de sistemas de ecuaciones en tres variables. 442
3.7.10 REGLA DE CRAMER. 443
VECTORES
1.1 INTRODUCCION . Hace muchos años los griegos desarrollaron la
geometría elemental. Crearon una manera siste 
aática de analizar las propiedades de los puntos, las rectas, las 
triángulos, las circunferencias y otras configuraciones. Todo su 
trabajo fue sintetizado en "Los elementos de Euclides" , que han 
constituido las bases de la geometría plana y del espacio hasta 
nustrosdías. En tiempos recientes, se han agregado otros conjun­
tos de axiomas y postulados, cuyo efecto han sido mejorar la es- 
tructura lágica, pero, en esencia, la materia ha permanecido idén 
tica. En 1637, el filésofo y matemático francés Rene Descartes re 
voluciono la matemática de su época al crear la Geometría Analíti 
ca introduciendo las coordenadas rectangulares, llamadas también 
en su memoria, coordenadas cartesianas; logrando así algebrizar 
las ideas geométricas de sus antecesores. LJL-i.á.ea_ua_eate - aátodo 
consiste en traducir, nediante.un sistema de coordenadas, los con 
ceptos y relaciones geométricos a conceptos y relaciones algebrai 
cas, y viceversa. En este capítulo estudiaremos el método anlíti- 
co para lo cual precisamos familiarizarnos con el concepto de vec 
tor, un instrumento de gran valor en la matemática moderna.
1.2 COORDENADAS RECTANGULARES
En estudios anteriores de matemáticas definimos el producto
♦
cartesiano A*B, de los conjuntos A y B, como el conjunto de todos 
los pares ordenados (x,y) en los cuales la p/iimena componente, x , 
es elemento de A y la segunda componente y, es elemento de B.
Por ejemplo, si A={2,3,5} y B={1,3), entonces:
A*B = {(2,1),(2,3),(3*1),(3,3),(5,1),(5,3))
Un conjunto de pares ordenados AxB se puede visualizar como una 
red de puntos, tal como se indica en la Figura 1.
Vk.cto/L*ó
Come los pares ordenados de números reales sea elementos del prQ 
ducto cartesiano R*R, a este conjunto se le denota por R2, es dg
eir:
R 2 = RxR = {(x,y)/xeR , yeR}
Figura t Figura 2
Obsérvese, en la Figura 2, que cada par ordenado (a,b) en R2 
se puede asociar en forma única con un punto P del plano mediante 
un sistema de coordenadas rectangulares, al que se llama también 
* i*tema de coordenada* canteóia.no.
El asociar a cada par ordenado (a,b) un punto P se lleva a cabo 
como sigue:
a) Por un punto que corresponde al número a sobre el eje horizon­
tal (eje de abscisas) se traza una recta paralela al eje verti 
cal.
b) Por el punto que corresponde al número b sobre el eje vertical 
(eje de ordenadas) se traza una recta paralela al eje horizon­
tal.
c) Al punto de intersección P de estas rectas se le asocian las 
coordenada* (a,b). P se llama "la gráfica de (a,b)lf o simple­
mente "el punto (a,b)".
En adelante, a los elementos de R2 los denotaremos con letras 
mayúsculas: A,B,C, etc. Por ejemplo: A=(ax,a2), B-(bx,b2).
DEFINICION 1. Dados dos pares ordenados A=(ax,a2) y B=(blfb2) en
R2, la suma de A y B, denotado por A+B, está defi­
nido por:
Ve.c£o/ie~¿ 3
A+E = (a i,a2) + (bi,b2) - (ei+bi , a2+b2)
Se puede observar que la adición de dos pares ordenados de núme­
ros reales es otro par ordenado de números reales.
Por ejemplo, si A=(2,~5) y B=(2,3)t entonces:
A+B = (2,-5)+(2,3) = (2+2,-5+3) = (4,-2)
DEFINICION 2. Dado un número real r, llamado escalar y el par or
denado A=(ai,a2), se denomina producto del escalar 
r por A, al par ordenado:
rA = r(ai,a2) = (ralfra2)
Obsérvese también que rA^R2.
Por ejemplo, si r=-2 y A=(-1,3), entonces:
rA = -2(-1,3) = [(-2)(-l).(-2)(3)] ■ (2,-6)
PROPOSICION 1.1 Dados los pares ordenados A,B,CeR2 y los escala­
res r,seR, se cumplen las siguientes propiedades 
para la adición de pares ordenados y la multiplicación de escala­
res por pares ordenados:
Ai: Si A,BeR2 -+• (A+B)eR2 (Clausura)
A2: Si A,BeR2 -*■ A+B = B+A (Conmutatividad)
Aj: Si A,B,CeR2 (A+B)+C = A+(B+C) (Asociatividad)
A),: 5í0eR2/A+9 = 0+A = A, ¥AeR2 (Elemento identidad para la
adición de pares)
Pi: Si reR y ÁeR2 -► rAeR2
P2: r(A+B) = rA+rB , ¥reR , ¥A,3eR2
P s: (r+s)A = rA+sA , ¥rfseR , ¥AeR2
P*: (rs)A = r(sA) , ¥r,seR , ¥AeR2 
P 5: 3UR/1A = A , ¥AeR2
A 5: ¥AeR2, 3l-AeR2/A+(-A) = (-A)+A = 6 (Elemento inverso nara la •
adición de pares)
Se recomienda al lector demostrar cada una de estas propiedades 
haciendo uso de las propiedades respectivas de los números reales.
4 Ve.ctosie.4
El conjunto R2 de pares ordenados de números reales, junto con 
las operaciones de suma y producto definidas anteriormente recibe 
el nombre de e.4pac¿o vectorial tidiaie.nAÍonat sobre el conjunto de 
los números reales R y se denota por V2. A los elementos de un es 
pació vectorial se les llama vectores; por tanto, podemos afirmar 
que el par ordenado (x,y) es un vector.
1.3 VECTORES EN EL PLANO
Un vector en el plano es un par ordenado de números . reales 
(x,y), donde x recibe el nombre de primera componente.(coordena­
da) e y se llama segunda componente. A los vectores en el plano 
se les denota por letras minúsculas o mayúsculas con una flecha 
en la parte superior. Por ejemplo: a , í , c , t. , S , etc.
Dado dos vectores en V2: a=(xi,yi) y í=(x2,y2), podemos definir
Xi = x2
i) Si a = t
1 yx = ya
ii) a + S = (xi+x2 , yi+y2)
(Igualdad de vectores)
(Def. 1)
i ü ) ra = (rx i, ry i) (def. 2)
jemplo 1 . Si a=(-2,3) y ?=(4»-1), hallar el vector v=2a+3?.
Solución, v = 2(-2f3) + 3(4,-1)
= (*4,6) + (12,-3)
= (-4+12 , 6-3)
= (8,3)
(Def. 2) 
(Def. 1)
Ejemplo 2. Hallar el vector x en la ecuación: 2(-1,2)+3x=(4,-5)
Solución. Supongamos que: x = (xi,x2)
-»■ 2(-1,2) + 3(xi,x2) = (4,-5)
+ (-2,4) + (3xx,3x2) = (4,-5)
-*■ (-2+3xi , 4+3x2) = (4,-5)
Por la igualdad de vectores se tiene:
-2+3xi = 4 «-*• xi=2 
4+3x2 = -5 ++ X2=-3
Por tanto, el vector buscado es: x = (2,-3)
(Def. 2) 
(Def. 1)
Vectoneó 5
Ejemplo 3. Hallar todos los números reales r y s tales que:
r U , - 6) + s(5,-2) = (7,6)
Solución. (¿r,-6r) + (5s,-2s) = (7,6) (Def. 2)
Ur+5s , -6r-2s) = (7,6) (Def: 1)
Por la igualdad de vectores: 4r+5s = 7
-6r-2 s = 6
Resolviendo el sistema obtenemos: r=-2 , s=3
1.4 REPRESENTACION GEOMETRICA DE UN VECTOR EN EL PLANO
Geométricamente un vector v=(x,y) se representa en el plano 
mediante un segmento de recta dirigido o una flecha. La flecha se
llama vecto/i geomát^iico. Un vector veR2 puede interpretarse como
• ►
una traslación descrita por un par ordenado de números reales 
(x,y), la primera componente indica un desplazamiento paralelo al 
eje X y la segunda un desplazamiento paralelo al eje Y. 
Considerando que una traslación tiene un punto Inicial o de pa/iti 
da S del plano, y un punto inat o de llegada en T, cada vector 
v=(x,y) tiene un número infinito de representaciones geométricas 
en el plano, todas elljté son paralelas, dê igual longitud- e igual 
sentido. (Figura 3)y '
La flecha asociada al par (x,y) que tiene un punto inicial en 
el origen se denomina /iepne¿entación ondinasiia de (x,y) y se dice 
que la flecha o vector tiene posición ordinaria o estandard.
DEFIÍJICIOM 3* VECTOR LOCALIZADO
Un vector localizado en P.a es una pareja de puntos
Pi y P2 que se indican con PiP2 para los cuales Fi es el punto de
partida o inicial y P 2 es el punto de llegada c final (Figura ¿).
Si una flecha tiene coco punto inicial a Piín.yi) y a P2(x2fy2)
*
c o d o punto final, entonces la flecha PiP2 es una representación 
geométrica del vector v=(xfy), donde:
(x F y) = (X2-X1 , y 2-y 1 ) (1)
Si consideramos a los puntos Pi y F2como radio vectores entonces, 
según la definición 3:
v = PjP2 =
*"*■ ? 2 = + v (2 )
«
Esta ecuación nos permite conocer analíticamente el punto final 
P2 del vector v conociendo, desde luego, el punto inicial y las 
componentes del vecor v.
DEFINICION 4. VECTOR DE POSICION
Todo vector que tiene posición ordinaria, es decir,
al vector que tiene su punto inicial en el erigen se llama uecioe
de posición o ziadío vector.
Observaciones:
%
1. El vector localizado PxP2 es equivalente al vector de posi­
ción v=?2-?i. La ley del parlelograno hace evidente esta equi 
valencia. (Figura 5)
2. La notación P(x,y) identifica un punto en el plano y sus coor 
denadas (x,y) identifican a un vector o a su representación
Figura ¿ Figura 5
Veciore*
Ejemplo 1
Solución.
Hallar el vector de posición de P 1P 2 si Pi(5»-2) y 
P 2(2 ,3). Interpretar geométricamente el resultado.
V = P l P 2
Según la definición 3:
= ?.-?!
= (2,3)-(5,-2)
= (2-5, 3+2)
= (-3,3)
► x
Ejemplo 2. Un vector que va de R(3,5) a S(x,y) representa al mi 
mo vectorque va de S(x,y) a T(8,1). Hallar S(x,y).
Solución. Sean: a = R S = 2 - & = (xfy)-(3,5) = (x-3,y-5)
t = ST = f - 3 = (8,1)-(x,y) = (8-x,1-y)
Si a=1> (x-3.y-5) = (8-x, 1-y)
x-3=8-x -*■ x= 1 1 / 2
y-5=1-y y=3
Por tanto, el punto buscado es: S(11/2,3)
Ejemplo 3. En la figura adjunta se tiene:
OP=x3 y OQ=x2y. Si a=S, siendo 
£=(y3+19»6+xy2). Hallar el valor de x+y.
Solución. La.s componentes del vector a
son OP y OQ + a=(xs,x2y)
Luego, si a=S
c3 = y 3+19 + x 3-y3=19
x2y = 6+xy2 + x 2y-xy2 =6
( 1 )
( 2 )
Multiplicando por 3 la ecuación (2) y restando de (1) se tiene:
x 3-3x 2y+3xy2-y3 = 1 (x-y) 3=1 , de donde: x=y+1 (3)
Sustituyendo (3) en (1) obtenemos:
y2+y-6=0 y= - 3 ó y=2
Descartamos la segunda alternativa ya que en la figura dada, OP 
es negativo. Luego, en (3): x=-3+1=-2
.\ x+y=- 5
ro Ve.ciosi&¿
EJERCICIOS
1. Dados: a=(3,-4), £=(8,-1) y c=(-2,5), hallar el vector v si:
a) v = 3a - 2Í + c Rp. v=(-9,-5)
b) v = ¿a + ^(£-c) Rp. v=(17,-19)
c) v = 2(a-S) + 3c Rp. v =('-16,9)
2. Hallar el vector x en las siguientes ecuaciones:
a) 3(0,-2)+2x-5(1,3) = (-3,-5) * Rp. x=(1 ,-8)
b) (15.-12)+2 (-6,5)+x = ¿(1;-2) Rp. x=(|,-2)
♦
3. En las siguientes relaciones hallar, si existen, todos los
números reales r y s.
a) r(-2,3)-s(8,1 ) = (16,15) Rp. s=-3
b) r(5,1)+s(-3f5) = (-2,8) Rp. r=1/2, s=3/2
c) r(-2, 3) + s(4,-6) = (0,2) Rp. ^r,s
4. Dados los vectores a=(3x-5,x-2y+2) y í=(x-y-2,3-2y), hallar
x e y de modo que: 3a=4b Rp. x=5, y=-9/2
5. Si a=(2m-3n,4n-m) y £=(2,-3), hallar los valores de m y n
que hacen que: a=5^. Rp. m=-1, n=-4
6. SI vector v=(3,2) es el vector de posición del segmento AB,
cuyo punto medie es C(3,1). Hallar las coordenadas de los 
extremos del segmento A3. Rp. A(3/2,0), B(9/2,2)
7- Sean los puntos ?(5/2,5), QO/3,13/4), R(-l6/5,7/2) y S(x,y) 
Si PQ y RS representan al mismo vector, calcular el valor de 
30x+80y Rp. -21
8. Sea v=(7,-ó) el vector de posición del segmento AB y C(-|,3)
el punto de trisección más cercano de B, de dicho segmento. 
Hallar las coordenadas de A y B. Rp. A(-3,7), B(4,1)
9. Sean A(a,-2), ‘B(2,4)„ C(8,-3) y D= (x,y)/y=2x+1 . Si AB=GI))
hallar el valor de a-x. Rp. 8
10. En la figura adjunta se tiene:
0P=x3 y 0Q=6-x 
Hallar a, si $=(9xy-y3,y) y a=t.
VectoneA o/
1.5 MAGNITUD DE UN VECTOR
Para cada vector veR2, v=(x,y), existe un escalar o número 
llamado nonma, módulo o magnitud de v, denotado por ||v||, tal
que:
= /x 2+y 2
La fórmula (3) es coincidente con la 
noción intuitiva de longitud de un 
segmento derivada del Teorema de Fi- 
tágoras. La Figura 6 ilustra esta pro 
piedad.
(3)
(x.y)
Figura 6
Ejemplo 1. Hallar la magnitud del vector de extremos A(1,3)
B(-2,7).
Solución. Si v es el vector que va de A a B, entcnces:
v = AB = 5-í = (-2+1f 7 - 3 ) = ( - 3 , 4 )
Luego, según ( 3 ) : | | v | | = / ( - 3 ) 2+ ( 4 ) 2 = 5
PROPIEDADES DE LA NORMA DE UN VECTOR EN R2.
Nií ¥acR2 , ||a||>0 . n
N2: ||a||=0 a = 0 f )
N 32 ¥teR , ¥aeR2, ||ra|| = |r|||a||
N*: ¥a,í>eR2, | |a+í| | ^||a|| + | |1>| | (Desigualdad triang.)
Demostración de Ni:
En efecto, si a=(x,y) -*■ ||a| | = /x2+y2 
Si x^O e y^O + ||a|| ¿ 0.
Sabemos que si existe la raiz cuadrada de un número, esta 
es positiva, por lo tanto, ||a||>0.
Demostración de N 2:
(-0 Si a=6 a=(0,0) -► | |a| | = /O^+O2 = 0
(«-) Si ||a||=0 # ||a|| = /x2+y2 = 0 . La igualdad es váli
si x=y=0, esto es, a=(0,0)=0. ||a| | = 0 «-*■ a=0
10 Vcctc
Demostración de N$:
En efecto, si a=(x,y) * ra=(rx,ry)
y ||ra|| = /(rx)2+(ry) 2 * /r2(x2+y2) = /r2 /x2+y2
Por consiguiente i ||ra|| * |r|.||a||
1.6 DILECCION DE UN VECTOR EN R2.
A cada vector no nulo, v=(x,y)eR2, le corresponde una direc 
ción dada por la medida del ángulo a (ángulo de dirección de v), 
que forma el vector con el semieje positivo de les X, para el 
cual:
Sena =
1 1*11 /x2*y
<*)
Cosa =
11*11 /x*+y
y 0o i m(o) í 360°.
De las ecuaciones (¿) se sigue que:
v = (x,y ) = ||v||(Cosa,Sena) (5)
Por tanto, un vector queda determinadc por su magnitud y su di­
rección.
Observación. La dirección m(a) del vectcr v se obtiene de la ma
ñera siguiente:
Mediante un ángulo de referencia ai y haciendo uso de una tabla 
de valores se halla el valor de <xx con C°<s(ai)<90° para el cual
Si x>C 
x<0 
x<0 
x>0
P
P
y>0
y>0
y <0
y<0
Tgai = ¡*¡ , x/C
a(a) = m(ai) 
m(a) * 180°-ic(ai) 
m(a) = 18C°+m(ax) 
m(a) * 360°-o(ai)
(Cuadrante I) 
(Cuadrante II) 
(Cuadrante III) 
(Cuadrante IV)
Desde luego, si x~0 pero y¿0, entonces m(a)=9C° ó m(a)»27C° res 
pectivamente para y>0 ó y<0.
Ejemplo 2. Hallar la magnitud y dirección del vector v=(-3,¿).
Ve c.to/Le¿ 11
Solución, Según (3)» la magnitud del
vector v es:
llvll = Á - 3 ) 2 + U ) 2 = 5
Por las ecuaciones (4) la dirección 
del vector está dada por:
Sena = 4o
Dado que Sena>0 y Ccsa<0, entonces a está en el II cuadrante 
Angulo de referencia: Tgai = \~^\ - ^ ai = 5308*
Por tanto: m(a) = 180°-53o8' = 126°52*
Ejemplo 3. Expresar el vector v=(3,-3/3) en términos de
nitud y de su ángulo de dirección.
su mag
Solución. Según (3): ||v|| = /(3)2+(-3/3) 2 = 6
y por las ecuaciones (¿):
/"3 iSena = — ^ y Cosa = -g
Como Sena<0 y Cosa>0, entonces a está 
situado en el IV cuadrante.
Angulo de referencia: Tgai = |̂ | = /3
de donde: m(ai)=60° + m(a)=360o-60°=300° 
Por tanto, según la ecuación (5):
v = 6(Cos300°,Sen300°)
1.7 VECTOR UNITARiO
un
Dado
vector
un vector no nulo v=(xry), llamamos vecto/i uniianio a 
u que tiene la misma dirección de v para el cual:
x % y
o bien:
■+u =
-+•
V
-y
V
= ( ■yv
u = (Cosa , Sena)
) (6)
(7)
Ejemplo 4 Hallsr un vector unitario que tiene la misma 
ción y sentido del vector v=(-3»/7)
direc-
SoluciÓn. Según (3): l|v|| = /(-3)2+(/7) 2 = 4
12 Vcctosie.*
* _ (-3,/7) _ ¡ 3y por (6 ;: u ------j-------( - 7 , - 7 )
Ejemplo 5. Hallar un vector de modulo 10, que tenga la misma
dirección y sentido opuesto al vector que va de 
SU, 2) a T(1,6).
Soíucíin. Sea v=ST=$-§=(1-4,6-2) = (-3. ¿)
Un vector unitario en I b. dirección de v es:
~ . Luego, el vector tuscado es: v = -||v||u
v = ( 6 , - 8 )
EJERCICIOS
En los ejercicios del 1 el i, se dan las coordenadas de los 
puntos A y B. Expresar cada vector v=AB en términos de su 
magnitud y de su ángulo de dirección.
1. A (.-3,1) , 3(-5,6)
2 . A(/l2,-3) , B(/27,-¿)
3. A(5/3,4) , B(/4?,5) 
A. A(3/5>-/i5) » B(/2Ó,-/60)
R. v=2/2(Cos135°,Sen135°) 
R. v=2(Cos330°,Sen330°) 
R. v=2(Cos150°,Sen150°) 
R. v=2/3(Cos2A0°,Sen240°)
5. Hallar un vector v cuya magnitud es igual a la del vector
. .
a-“(4.,-3) y cuya dirección es la misma que la del vector
t - ( 1 l / 5 ) - Hp. ? . ( | . ^ 2 )
6. Hallar un vector de modulo 10 que forma un ángulo de 37°
con el eje X positivo. (Sug. Cos37°=4/4) Rp, v=(8,±6)
7. Hallar un vector de módulo 15 que forma un ángulo de 53°
con el eje Y positivo. (Sug. Cos53°=3/5) Rp. v=(-12,9)
S.jj^Hallar un vector que tenga la misma magnitud del vector que 
* va de A(-2,3) a B(-5»4) y que tenga el sentido opuesto al 
vector que va de S(9.-1) a T(12,-7). Rp. v*/5(-1,2)
9".?-Hallar un vector v de longitud 6/3 y que tiene la misma di­
rección de un vector que forma un ángulo de 30° con el sen­
tido positivo del eje X. Rp. v = (9,t3v^3)
V e.ci.o/ie.6 13
OPERACIONES VECTORIALES
1.8 ADICION DE VECTORES EN EL PLANO
Dados dos vectores a y $ en R2 tal que a=(xi,yi) y 
$=(x2,y2), definimos la adición del modo siguiente:
a+S = (xi,yi)+(x2,y2) = (xi+x2,yi+y2)
Por ejemplo, si a=(5,-7) y $=(-3,2), entonces: 
a+$ = (5-3.-7+2)
= (2,-5)
PROPIEDADES DE LA ADICION VECTORIAL. Si a,í> y c son vectores
en R2, entonces se cum­
plen las siguientes propiedades:
Ai: (a+b)eR2 Clausura
A2: a + í = í + a Conmutatividad
A a: (a + í) + c = a + (S + c) Asociatividad
A*: 30eR2 , ¥aeR2/a+0=9+a = a Elemento neutro para la adición 
A$: VaeR2 , 3 (-a)eR2/a+(-a)=(-a)+a = 0 Opuesto de un vector
Demostración de Ai:
En efecto, si a=(xi,yi) y Í=(x2,y2), entonces:
a + .% = (xi+x2, yi+'y2) (Def. 1)
Puesto que la adición es cerrada en R
-► (xi+x2)eR y (yi+y2)eR
Por tanto: (xi+x2,yi+y2)eR2 (a+b)eR2
%
Demostración de A2: Consta de dos partes: Existenciay Unicidad.
Existencia. Si a=(x¡,yi), se tiene:
a + 0= (xifyi)+(0,0) = (xi+0,yi+0) = (xi,yi) = a 
Análogamente: 0 + a = a
Unicidad. Sea 9i otro elemento de R2 que también cumple
a + 6i = 6 1 + a = a
Esta igualdad es cierta ¥aeR2, en particular si a=9, entonces:
u Ve.cio/te.4
6 + 0i = 0i + 0 - 0
Análogamente, haciendo a=6i en Ai» se tiene que:
0i + 0 = 0 + 0i = 0a
Por lo que las dos igualdades anteriores prueban que
0 i = 0
Se deja al lector demostrar las propiedades A2, A 3 y As haciendo
uso de las propiedades que cumple la adición en R.
1.9 REPRESENTACION GRAFICA DE LA ADICION DE VECTORES EN EL PLANO
Dados a y íeR2, la flecha que representa a la suma í+íl se
obtiene de la manera siguiente:
Representamos una traslación a lo largo de una flecha cualquiera 
que represente al vector a=(xi,yj) seguida de una traslación del 
punto final de esta flecha a lo largo de la flecha que represen­
ta al vector Í=(x2»y2)* La traslación total correspondiente al 
vector a+t, es una flecha que tiene como punto inicial el del 
vector a y como punto final el del vector í. (Figura 7)
En esta construcción los vectores a y b son lados adyacentes de 
un paralelogramo y la suma a+b es la diagonal correspondiente.
La obtención de la suma de vectores siguiendo este procedimiento 
recibe el nombre de te.y det payiate.togA.amo, que se ilustra en el 
siguiente ejemplo.
V&ctonc* 15
Ejemplo 1. Dados los vectores a = (-1,4-) y S=(3»2), hallar a+S y
*
construir una gráfica que 
nes ordinarias correspondientes a los
Solución. Por definición:
a+? = (-1+3,4+2)
= (2 , 6)
Observemos que la flecha que va de S 
a T representa al vector a y la fle­
cha que va de R a T representa a 1>.
(Por segmentos de paralelas)
DEFINICION 5. NEGATIVO DE UN VECTOR EN R2
Si aeR2, tal que'a=(x,y), se denomina negativo o 
inverso aditivo de a al vector:
-a = (-x,-y)
Por ejemplo, el negativo del vector 
a=(-3,2 ) es -a=(3,-2 )
Observación. Dado el vector aeR2,
su negativo -aeR2 es 
colineal, de la misma magnitud; es 
to es: |-a|=|a|, pero de sentido o 
puesto que el vector a.
muestre las representacio-
vectores.
1.10 SUSTRACCION DE VECTORES
Dados dos vectores a,SeR2, tal que a=(xx,yi) y í=(x2,y2), 
definimos la diferencia a-í> del modo siguiente: 
a - í = a + (-Í) = (xi,y i) + (-x2,-y2)
a - í> = (xx-x2,yi-y2) (8)
Ejemplo 2, Si a=(4,2) y S=(-3>3)> hallar la diferencia a-S y tra
zar una gráfica que muestre la representación ordina­
ria de los tres vectores.
óvluci&n. Por definición: a-í = (U, 2)-(-3»3) = (á,2)+(3,-3)
= U+3,2-3) •= (7,-1)
16 Vecto/ie¿
La representación ordinaria de cada uno de ios vectores se 
muestran en la Figura 8. Debemos destacar que, el inverso aditi 
vo de (-3,3) es (3,-3) (negativo del vector í¡), que es colineal 
y de la misma magnitud que (-3»3) pero de sentido opuesto.
La representación geométrica de a-S puede obtenerse aplicando 
la regla del paralelogramo a la suma a+(-?>). La Figura 9 nos mu 
estra otra manara de representar la diferencia a-^.
/■
y
(-3 ,3 )
X
- J L ' 2 )
\S
0
■ V a_D -''i7--1)-os ^
(3 ,-3 )
Figura 8 Figura 9
Observaciones:
1 Si a, SeR2, entonces la diferencia a-S satisface la condición 
í+(a-b)«S, lo que explica porque algunas veces se dice que la 
diferencia a*S ®^_el^vector^ que v.a de $ â a.
2. El vector diferencia une los puntos finales de los vectores 
S y a (Figura 9)-
3* Si a, ícR2, son vectores no nulos, entonces a-S ¿ S-a
Ejemplo 3. Sea x un vector tal que (3,-i)=x+(1,-6). Si
(3,-2 )=tx+r(-1 ,1 ), hallar el valor de 3r+6t.
ScCución. En la primera ecuación se tiene:
(3,-¿)-(1,-6) = x + (1,-6) - (1,-6)
+ (3-1,-4.+6) = x + 0 
+ (2 ,2 ) = x 
Luego, si (3,-2) = t(2,2)+r(-2 ,1 )
Por igualdad de vectores: 3=2t+2r 
Resolviendo el sistema obtenemos: r=-5/3 y t=-l/6
•\ 3r+6t = - 6
+ (3,-2) = (2t+2r,2t+r)
y -2=2t+r
(AJ
Vcctoneó 17
\
Ejemplo 4. Dados: a=(-2,2), ?>=(3,-2) y c=(-1,l), resolver la e-
cuación: 3a - 2 [3(t>-2c) + 2aJ + 3x = 2c + x.
Solución* Restando 2c+x a cada extremo de la ecuación dada
tiene: 3a-6(S-2c)-4a+3x-(2c+x) = (2e+x)-(2c+x)
-a-6l>+1 2 c+3x-2c-x = 0
de donde: 2x = a+6Í-10c = (-2,2) + 6(3»-2)- 10(-1,1)
= (-2+18+10 , 2-72-10)
= (26,-20) 
x = (13,-10)
se
• •
Ejemplo 5. Mediante segmentos orientados demostrar la propieaad
Aa: (a+S)+c = a+(S+c).
1
De.mc¿¿/iación, En efecto, sean los segmentos orientadas:
PT = a , TS = S , SR = o 
Por la interpretación gráfica de la 
suma de vectores se tiene:
En el APTS: P S = P T + TS = a + í>
En el ATSR: TR = TS + SR=í¡ + c
En el ¿PSR: PR = PS + SR
-*■ x = (a + S) + c (1 )
En el APTR: PR = PT + TR
PR = x
x = a + (S + c) (2 )
Por tanto, de (1) y (2) se sigue que: (a+í) + c = a+*($+c)
Ejemplo 6. Sean a=(-2,3) y í=(4-,-3). Un segmento dirigido, que
2“* 1 ̂representa a (•ja--gb) tiene por punto inicial 
S(5,-3/2); hallar el punto final.
Solución, Sea T(x,y) el punto final del segmento ST.
Entonces:
Si ST = |a - g1> -►
(x-5.y + 4) = (-2,í)
Í-S = §(-2,3) - gU,-3)
{x-5 = - 2 -► y+3/2 = 5/2 x=3 = 1Por tanto, el punto final es: T(3»1)
18 !/ecto*.e.¿
Ejemplo 7. Se tiene: 2(2,-3)+c = (3,-5)+(a,7) y c está sobre la
recta L:y=x+2. Si A(3.5) y B(-2.6), hallar el punto
P tal que PC = -AB.
Solución, Si ceL + e=(x,x+2)
- 2(2,-3) + (x,x+2) = (3» "5) + (a+7>
{x = a- 1x+2 = 8 x=6Luego, c=(6,8) . Si P(xi,yi) y PC=-AB
(6-xi,8-yi) = (5.-1) '*“*■
p(i,9)
-► c-P = -(B-A) = A 
6-xi = 5 * xi=1
8-y i = -1 -*■ y =9
-B
Ejemplo 8
ma de ?>+c*
Los vectores a,S y ceR2, cumplen que: a+2Í=c y 
a-3Í=2c. Siendo a un vector unitario, hallar la ñor
Solución• De las ecuaciones dadas se tiene
Luego, c-2Í¡ - 2c+3Í = -5$
Sustituyendo en (1) obtenemos: % ~ - -̂ a
ií+cii = 4 ii¡nEntonces: í>+c = -̂ a
Como a es un vector unitario = 1
a = c-2$
a = 2c+3Í
• * |í+c
( 1 )
(2)
¿7
Ejemplo 9. En la figura adjutíta se tiene:
. 5OM = |x y 0L=27/2
Si a=(2x3» lx2+4y2) y $=(^xy2, - -|xy), hallar 
x-y de modo que: 2s = (-j)a-2 o.
Solución• Las componentes de s son OM y ÓL + s 27
* x
Luego: 2(|x,¿|) = ^(2x3, ¿x2U y 2) - 2 (^xy 2, - -|xy)
<5x,27) = (|x9- |xy2, j x 2+ j y 2+ |xy)
5x = |x3 - ycyz 
27 = -|x2 + *|xy + -|y2
Ve.cto/ie.4> 19
if = (x+y) (x-y) 
= (x+y)z + (x+y) = ¿
( 1 )
(2 )
Sustituyendo (2) en (1) se tiene: ¿(x-y) = 122
x-y = |
B
Ejemplo 10. Sea el exágono regular.de lado a,
mostrado en la figura. Al sumar 
BA, AC, DC y AE se obtiene un vector s; hallar 
la norma de s.
Solución• Por geometría elemental sabemos
que Jl$=r=a y ¿ 3=r/3* entonces:
| |AC | |=||AE||=a/J , por ser lados de un 
triángulo equilátero.
Trasladamos los vectores indicados a un 
sistema bidimensional con origen en A cu 
yo eje X siga la dirección de AD, y apli 
cando la ecuación (5) tenemos:
BÁ = | 1BA | | (Cos240o,Sen2¿0o) = aí-j,*^)
AC = | 1 AC | | (Cos30°,Sen30°) = a/5(^ , = a<f ' ̂
DC = ||DC||(Cos120°,Sen120°) = a(- ~ , )
¿1 = | |ÁE| |(Cos330°,Sen330°) = a/5(¡^| ,-\) = a(| , - & )
Luego, s = BA + AC + DC + AE = (2a,0)
.% Ilíll - 2a
Ejemplo 11. En la figura adjunta se tiene:
I I a I I =3. M$||=2 ||c||=2/ÍÓ ,
Tga=l/3 y Tg8=3. Hallar el valor de m de mo 
do que:
■* J_ oí *ma + 3b = nc
Solución, Si Tga=1/3 + Sena=1//Í0 y Cosd=3/*/T0
Tg6=3 SenB=3//10 y CosB=1//Í0
Un vector unitario en el sentido de a es (1,0) a=3(1,0)
2C V e.ct.OA*ró
S = | |S| | (-Cosa,-Sena) = 2/TÜ(-3//T?J,-1//Tü) = (-6,-2) 
c = 11 c| | (CosB.Senfí) = /Tü( 1//TÜ*, 3//TU) = (1,3)
Entonces, si m(3#0) + 3(-6,2 ) * n(l,3)
Sustituyendo en (1) obtenemos: m-16/3
3m - 18 = n (1) 
0 - 6 * 3n -► n=-2
Ejemplo 12- En el gráfico se presenta una
pirámide regular cuyas aristas 
laterales miden 2a. Si el lado de la base 
cuadrada mide a, calcular: | |?i + falJ.
Solución.. En el plano BVD se tiene:
fi = BP + PV 
? 2 = D P + P V = - P D + P V = - 3 P + P V 
Luego: + f* = 2PV -► ||?i + ?a|I = 2| |PV||
- 1 I?» + f.l I - 2h = 2 A z I y T ^ y
de donde: | |?i + ?2 || - a/TZ
Ejemplo 13. La figura adjunta es un tetrao
dro regular de arista a, M es 
ci -unto medio de AC- Si s=vi+V2+V3+v*, ha­
llar la norma de s.
Solución. En el ABVC: CB = v* + v2
En el AAVM: AM= vj + íj 
Efectuando la suma se tiene: s = C B + A M = C B + M C = M B 
*** I I a I | = | | MB | I (Altura de un triángulo equilátero de lado a)
- I l s i l =
Ejemplo 1̂ . En el triángulo ABC, M es un
punto de ÁC tal que ÁM = ^MC
Si la norma del vector BM es 2, hallar la
norma del vector: v = 2BÁ + 3BC.
»
Solución. En el AAMB: BÁ=BM-ÁM = BM - |mc
En el ABMC: BC = BM + MC
21
Luego: v = 2(BM - ^MC) + 3(BM + MC), de donde: v = 5BM
/. I Ivf | = 51 | BMI I = 10 '
Ejemplo 15. En la figura adjunta, el trián­
gulo OAB es isósceles con 0A=AB 
y PH es perpendicular a 0B y mide 6 unidades 
Si I IAQI |=21 |QB||, hallar | |PQ| |.
Solución, Sea 0H=x + P(x,6)
AOMA * AOHP AMPH
OM
OH
8
z
2
x
(1 . 6) PA = Í-? = (2 ,8)-(|,6) = (^.2 )Luego: P(^
Además: AB = í-t = U , 0 ) - ( 2 , 8 ) = ( 2 , - 8 )
Si I|AQI|=2||QB|| - ÁQ = |ÁB = |(2,-8)
En la figura: PQ = PÁ + AQ = ( ^ , 2 ) + | ( 2 , - 8 ) = -g(11f -20)
I iPQl I = 4 /(11) 2 + (-2C) 2 - 1 /521
Ejemplo 16. La figura es un prisma rectan­
gular- de altura 3h y sus bases 
son triángulos equiláteros de lado 2h. P es 
punto medio de AB, Q es punto medio de FE ; 
hallar la norma de PQ.
Solución, Si por P trazamos PM||BC, entonces:
I |PM|| = 1 \ |BC|| = h 
Por el teorema de Pitágoras: ||PQ||a= I|PM| | 2 +| |MO | |
+ I | PQ | | 2 = h2+(3h) 2 = 10h2 II PQ I I =’ h/TO
Ejemplo 17. En la figura adjunta, si P
es tal que el área del trián 
guio APC es el doble del área del trián­
gulo CPB; hallar ||CP||.
Solución, Por geometría elemental sabe
mos que:. a(AAPC) _ AP x PC _ AP _
a(ACPB) PB x PC PB
22 Victo**.*
de donde: AP * 2PB £ - 1 = 2 (S - £)
♦ (xU.y-2) = 2(2-*, 10-y) x+4 ® 2(2-x) 
y-2 = 2(10-y)
x=0
y=22/3
Entonces: CP * * (0,-2— )-(2,2) * ^(-3,8)
Por consiguientes 11CP11 = ^ /(-3)2+8a 3 ^ /73
Ejemplo 18. Si ABCDEF es un exágono regular
cuyo lado aide a unidades, cal­
cular el valor de: | |*jAE + ^5f ||.
Solución* Trasladando los vectores a un sis
tema cartesiano de origen A y eje 
X sobre AD, tenenos:
ÁÉ = | |1É| |(Co8330°,Sen330°) = - ■£)
.* F _ = §(3,-/3)
CF == ||C?||(Cos2A0o .Sen2AQ°) = 2a(--|, - ̂ )
- CF = a(-1,-/3)
Luego: -^AE + ^CF = ^(3,-/3) + ^a(-1,-/5) = -g( - 1, - 5/3)
5/3)2 = | /T3
Ejemplo 19. En el rombo de diagonales D
y d tal como se indica en 
la figura, hallar la norma del vector: p <
V - V j + V 2 + V , + V %
donde los vectores v 1,va, v 3 y llegan j
a los puntos medios de los lados del rom I 
bo. k
Solución. Considerando un sistema cartesiano con sus ejes X e 1
sobre las diagonales PR y SQ, respectivamente, teñe-
Rí - ? - í «mos: vi =
v i
I
PQ
v«
' - i ’ - f r K
Vzc tone.* 23
v = QH = Í - $ . /D d\- ^ ’~ v
Luego: v * Vi + V 2 V 3 -»•Vi,
• t
- (o ,
= (0,-d)
-)2 « i
i t V 1 I = d
- f a,
EJERCICIOS
« ^ ^ 4a 2En los ejercicios del 1 al $, si a,o y c son vectores en E , 
demuestre la validez de cada afirmación.
1. a + S = í + a (Propiedad conmutativa: A2)
2. a + (-a) = (-a) + a = 0 (Inverso aditivo: A$)
3. Si a + í = c a = c - í>
l, Si a + S = S ->- a = 6 (Unicidad del‘idéntico aditivo)
5. Si a + í = 0 +■ a = (Unicidad del inverso aditivo)
6. Mediante segmentos orientados demuestre la oropiedad k2i
a+S = % + t .
7. Dado el triángulo ABC, demostrar que: AB + BC + CA = 6. 
(Sug. Usar la def.3: AB=§-Í)
8. Dados los vectores a=(5»2), 1>=(-3»A) y c=(7,¿); resolver la
ecuación: 2x tpa - 3% = 4c. Rp. x=(-3>9)
9. Sea x un vector en R2 tal que: (-5,2)=2x+(1,-8).
Si (-5»3)=tx+r(2,-1), hallar el valor de 2t+r. Rp. -2
10. Dados los puntos A(5,1)> B(-2,3), C(-3»-2) y D(1,-4); deter­
minar el punto X(x,y) de modo que: 3AB-XD = 3AX - ^CD + BC.
Rp. X (-2,17/2)
11. Se tiene 2 [(5,-1)+?J =3(1 ,3)-(-1, a). Si A(2,3), B(3,-1) y el 
punto final del vector c, en posición ordinaria, está sobre 
el conjunto P={(x,y)/y=x2-1); hallar las coordenadas de un 
punto P tal que: AP+2PC=AB. Rp. p(-9,9)
12. En el exágono regular ABCDEF, de lado a, 
hallar la norma de s, sabiendo que:
s = §(AD + ¿DE) + ^EB. Rp. -2a
Ve.ctoA.A-6
Siendo a=(5,-2), í=(2,-5) y c-( 
tario en la dirección y sentido
3,1 ), hallar un vector uni 
de v=2a-3Í+4c.
♦ / 8 15Rp. U = (- , 17 )
La base de la pirámide regular de la fi 
gura es un exágono regular de lado a.
Si VÁ=VB=VC=VD=VÍ=VF=bF hallar la norma 
de s, si s = VÁ+VB+VC+VD+VÉ+VF.
Rp. 6»/b2-a2
Dados los vectores a=(-5#2) y 1>=(3»-¿}f hallar un vector u 
nitario de sentido opuesto al vector a^í. Rp, u=(</5»-3/5)
En la figura adjunta, P es un punto tal 
que el triángulo de área Ai es tres ve­
ces el área del triángulo de área A2. 
Hallar la norma del vector v.
Rp. ¿ /T 7
0 , 8 )
( - 6 , 0 )
Los vectores a,1¡ y c en R2, cumplen que: 2a-3Í=c y 3a-2Í=5c 
Siendo a un vector unitario, calcular la norma de b-c.
Rp. 2/13
Se ¿lene un prisma rectangular de altura 
2h y cuyas bases son triángulos equiláte­
ros de lado h. Si A y B son puntos medios 
de PQ y RS respectivamente, hallar ||AB||
Rp. | /T7
En la figura adjunta, OABC es un cuadra 
do* P#Q»R y S son puntos medios de I0 3 
lados OA,AB,BC y CD respectivamente. Ha 
llar ||ST + BH|| si T es punto medio de 
PQ y H es punto medio de QR. Rp; 2/2
Sean a y t vectores en R2 tales que í> es el opuesto de a.
Si í> tiene el mismo sentido que el vector c=(-1/3,1/4) y la 
norma de a es 5, hallar el vector x=2S+a. Rp. x={-¿,3)
Vectoee* 25
1.11 MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
Dado un vector v=(x,y)eR2 y un escalar reR, el producto 
del escalar por el vector es otro vector rv para el cual:
rv = r(x,y) = (rx,ry)
La magnitud de rv es ||rv¡|= |r|||v|| 
que la de v, aunque su sentido puede 
vectores v y rv son paralelos.
y su dirección es la misma 
ser opuesto, es decir, los
Nota. Al vector rv se denomina máítipío e¿ca¿ae de v.
REPRESENTACION GRAFICA. Según que r sea positivo o negativo la
/gráfica de rv puede ser:
*■ x
r>0 r<0
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
SÍ a y 5 son vectores en R2 y r,seR (escalares), se cumplen 
las siguientes propiedades:
Mi: raeR Clausura
M2: (rs)a := r (sa) Asociatividad
M 3: la = a Neutro multiplicativo
M* : •f .ra = 0 ++ r = 0 ó a = 9 Cero multiplicativo
M 5: - la = ■-a Inverso aditivo
M 6 : r(a+£) += ra + rS Distribuidad respecto a 
la adición de vectores.
(r+s) a += ra +■ +sa Distribuidad respecto a 
la adición de escalares
M 7: llrall = Ir |.Ma|| Magnitud respecto a múl 
tiplos escalares.
26 Vecto/ie.¿
Demostración de Mc:
i) Si reR y a,$eR2, tal que a=(xi,yi) y $=(x2,y2), demostrare- 
d o s que:
r(a + $) = ra + r$
En efecto: r(a+$) *. r[(x1 ?yx) + (x2,y2)3
= r(xi+x2 , yi+y2)
= [r{xi+x2) , r(yi+y2)J 
= (rxi+rx2 # ryi+ry2)
= (rxx # ryx) + (rx2 t ry2)
« r(xx , yx) + r(x2 , y2)
= ra + r$
ü ) Si r,seR y aeR2, tal que a=(xxtyx) demostraremos que:
ra + sa = (r+s)a
En efecto: ra + sa = r(xi,yi) + s(xx,yi)
= (rxx » ryx) + (sxx » syx)
= (rxx + sxx » ryx + syx)
= [(r+s)xx , (r+s)yx3 
* (r+s)(xx , yi)
= (r+s)a
1.12 VECTORES PARALELOS
Dos vectores a y $, no nulos, son paralelos o proporciona­
les si y solo si uno de ellos es un múltiplo escalar del otro, 
es decir:
a | |b a = rb , -VreR (9)
Observaciones:
1. Si r>0 y $7*0 -*■ a y r$ tienen la misma dirección y sentido. 
Si r<0 y $7*0 ■* a y r$ tienen la misma dirección y sentidos 
opuestos.
$ O
a - r$ a = r$
r>0 r<0
VeotcACM 21
2. Es conveniente establecer que el vector nulo 3 es paralelo a 
todo vector, esto es:
0 | | a ó a||G , VaeR2
En efecto, si 0||a -+ 0 = ra = Oa (OeR)
3- Todo vector es paralelo a si mismo.
En efecto, si 1eR -+■ a = 1a , por lo que: aj|a , VaeR2
Ejemplo 1. Determinar si los vectores dados son paralelos.
1 ) S=U,- 1 ) , $=(-1 2 ,3)
2 ) $=(3,-6) , $=(1 ,2 )
Solución. 1) Si a i J $ ->• U , - 1 )=r (-12, 3) r=-l/3
[-1 = 3r - r=-1/3
Cono r es único y r<0, a y $ son paralelos, tienen la misma 
dirección y sentidos opuestos.
2) Si a|¡$ - (3.-6)=r(1,2) [ 3 = r r=3
-6=r -*■ r=- 3
Como r no es único ■+• aJsfí, es decir, no existe ningún reR que 
cumple (3,-6)=r(1 ,2 ), pues esto implicaría que 3=r=-3» lo que 
es imposible.
Ejemplo 2. Demostrar que si a.SeR2 son vectores paralelosy o¿6
entonces existe un escalar r para el cual se ¿lene:
a = rí¡ >"
de.moMtAao.L6n. En efecto, sean a=(xi,yi) y Í=(x2,y2)> y sean ai
y a2 los ángulos de dirección de a y d respectiva
mente. Según las ecuaciones (4) se tiene:
Senai = — — , Cosai = Xl
I ! a * '
ya . X2Sena2 = — ~=— , Cosa2 =
b| I Mb
Como por hipótesis a es paralelo a S, entonces:
m(aj) = in(a2) ó m(ai) = m(a2) ± 180°
28 Vecione.4
de donde se deduce que: X\ ^ I ̂ I xt » y i ~ ^ ̂ y 2
ii^ii + -Ubi!
Por hipótesis ||Í|1^0t por lo que j ¡ es un nóaero real r,
' Ü l ‘
entonces: xj = rx2 » yj - ry2
Luego: (xi.yi) * r(x2iy2); o sea: a = r£
»
Ejemplo 3. Demostrar que si: a||í « £j|c y + allc*
Dcmo^ÍJLac¿6nP En efecto, si a¿8 y £¿0 . entonces:
i) a| |S a = rS /reR
ii) S||c *► t = se /seR
Luego, a = r£ = r(sc) = (rs)c + a||c
Ejemplo Demostrar que si 3=$+c y í| |a, entonces:
3 1 |a ++ c||a
í)e.mc¿t/iu$Í6n. (-►) Supongamos que 3||a -*■ 5reR/ a=ra
Pero por hipótesis: S[ |a 3seR/ í=sa 
Luego, si c=*3-Í=ra-sa=(r-s)a ■+• c||a
(*■) Análogamente, supongamos que: c||a -*■ 3tcR/ c=ta
Pero por hipótesis t||a * 3aeR/ £=sa
Luego, si 3=£+c=sa+ta=(s+t)a -*• 3|¡a
%
*
Ejemplo 5. Si a=(1-2o,1) y £=(-7,ta+2), determinar los valores
de m, de moso que a sea paralelo s S.
Solución, Si a| fí ■** 3reR/ a = r£
*> (1-2m, 1) = r(-7,n+2) (D
[l=r(c+2 ) (2 )
Al dividir (1) entre (2) obtenemos: 2h2 + 3!d-9=0
de donde: m= - 3 ó m=3/ 2
-4
Ejemplo 6, Si a=(1,18) lo expresamos como a=x+y, donde x||£ e
y||c» Si £=(-1,4.) y c^(2a,3m), hallar el vector x.
Solución, Si x||£ x = r(-1 .4,)
y ||c + y = s(2m,3m) = sm(2,3) = t(2,3)
Vectone* 29
Luego, si a=x+y ♦ (1,18)=r(-1,¿)+t(2,3) ^1="r+2t 1 (D
( 2 )
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) obtenemos: r=3 y t=2
$ = ( - 3 . 1 2 )
Ejemplo 7. Se tiene que: a=(m,2m)f a-í=(2m,p), S||a y la norma
de a-í> es 20. Hallar la norma de í.
Solución., Si í||a ->■ $ = ra = r(m,2m) = mr(1,2) (1)
a-í = (2m,r) (m,2m)-mr(l,2 ) = (2m,p)
-*■ (m-mr,2m-2 ) = (2m,p)
Por igualdad de vectores: m-rm = 2m f de donde: r=-1 
Luego, en (1): í = -m(1,2) + ||í|| = m/J (2)
Además: a-í = (m,2ro)+m(1,2) » 2m(1,2) ||a-b|| = 2m/3
Si ||a-í||=20 2m/5 = 20 m=2/5 . Finalmente en (2):
lltll- 10
Ejemplo 8. El vector a=(3,0) se descompone en dos vectores í> y
í paralelos a los vectores (2rt - -jr) y (p,-3p) reja
pectivamente, donde r^O y p^O. Hallar la longitud de í y í.
Solución. Si í||(2r,--|r) + í = ^(4,-3) = s(4,-3)
c| | (p,-3p) + c = p(1,-3)
Si t = t + c - (3,0) = sU,-3)+p(1.-3> -► | 3=‘4s+P
t0=-3s-3p
Resolviendo el sistema obtenemos: s=1 y p=-1
Luego: í = (4,-3) * l|í|I = /(4)2+(-3)a = 5
c = -(1-3) = (-1,3) - ilcM = /(~l)2+(3) 2 = /Tü
Ejemplo 9. Dados los vectores a=(2a,2), o=(6,n), c=(c,3n). Si
a||í||c, calcular el valor de an+c.
Solución. Si a|\t a = tí -► (2a,2) = t(6,n) -*-*■ X ^ a ~ ^
[ 2 = tn
Eliminando t del sistema obtenemos: an=6 
Si í||e •+ í = re -»* (6,n) =r (c, 3n) (6=rc) (n=3rn)
de donde: r=1/3 y c=18. Por tanto: an+c = 24
Ve.ctcAe.4
Ejemplo 10. Si o=(/5,-/2ü) y c=(/TZ,/5); hallar | | v i | |. | | v2 | |,
siendo vi||í, v2||c y vi+v2=(-7,4).
Solución. Si Vj||í + Vj - s(/5,-2/5) - s/5(1»-2) = t(lf 
v2 ||c -> v2 = k(2/3,/3) = k/3(2,l) = r(2,l)
- 2 )
ntonces, si: t(1,-2) + r(1,2) = (-7,4-) Jt+2r = -7 
[-2t+r = í
Resolviendo el sistema obtenemos: r=-3 y t=-2
Luego: va = -2(1,-2) | I vi | | = ¡ -2 |/{1) 2 + (-2) 2 = 2/5
V* = - 3 ( 2 , 1 ) - I | v a I I = 3 / ( 2 ) 2 + (1) 2 = 3/5
04 0 Vi V 2 = 30
Ejemplo 11, La figura adjunta es un octaedro
regular de arista a en donde ac­
túan los vectores vj , v2 , v 3 , vi* y v5. Ha-
llar | ) s | | si, s = vi + v2 +
Solución, Los vectores v¡ y v 3 son paralelos
y de sentido opuesto" + v¡ = -v3
Además: OA = n+vs + s - v2 + OA = AB
v 3 ,
, **■ , ■* v 3 + Vi* + v 5 •
4 4 11*11 = |¡Á3¡I = a
En la figura se tiene un exágono 
regular cuyo lado nide a . Si 
= I ! ? 3 I M I M M I Í S | | = a, hallar
b = f, * t 2 + ?, + f + * 5 *
Ejemplo 12.
| | s | |, donde:
Solución. Fi=r i* y í2=í 3 por ser paralelos y
de la cisma magnitud, dirección y 
sentido. Entonces: s = 2?i + 2Í2 + f5
Trasladando estos vectores a un sistema de 
ejes rectangulares se tiene:
?i = ¿(Cos90°,Sen90°) = a(0,1)
?2 = a{Cos60°, StíJibG0) - a(^ ,
f s = a(Cosí 80°,Sen180°) = a(-1,0)
Luego, 1 = 2a(0,1)+a(1,/3)+a(-1,0) = a(0,2+/3) * |!s||=a(2+/5)
r
 i
Ve.ct 31
E J E R C I C I O S
1. Demostrar que: a||c , í| |c y c?¿0 a||t
2. Demostrar que para vectores no nulos a, ai , t • ti :
a| |ai f t||ti y a||t + ai||ti
3- Demostrar que si a y í tienen la misma dirección entonces:
lia + t|| = l|a|| + ||t||
4* Si £=(2,2m-3) y t=(1-m,-5)» determinar los valores de m de
modo que a sea paralelo a t. Rp. m=-1 ó m=7/2
5* Si a=(m, 5) + (3» 3) > t=4-(-m,-3)-2( 1,2) y aj |t; determinar el va
lor de c. Rp. m=2
6. Dadcs los vectores a=(a,3m) y t=(-2m,b). Hallar.a+b de modo
que a+S=(8,-¿) y sea a||t. Rp. 5
7. Sean los vectores a y í; a=(af2a), a-S=(2a,p), S||a y la ñor
ira de a-t e3 /112. Hallar ||t||. Rp. 2/7
8. El vector a=(xpy) es paralelo al vector t=(2,4-)# tal que:
u = , — *̂) es un vector unitario paralelo a ambos. Hallar
✓3 /5
el vector a. Rp. a=(±1,+2)
Sean a y í dos vectores en R2, tales que t es el inverso adi 
tlvo de a. Si t tiene el mismo sentido que el vector 
c=(-1/3»1/4) y ||a||=5f hallar x=a+2t. Rp. x=(-4,3)
10. Hallar la norma de la suma de los vectores unitarios u y v ,
si u||a y v|¡t sabiendo que a=U,-3) y t=(-5,0). Rp. /7Ü/5
11. Los vectores a y t son tales que a es del mismo sentido que
b, - 4 — = ( - ^ , y £=(1.3). Hallar 2x - Rp. 1
Maii m *05 2
9.
12. En la figura adjunta tenemos un cubo y como 
,!techo” una pirámide regular, todos de aris 
+ a a. Si s = DE + H + KC + HC + FG, hallar B 
la norma de s. Rp. a
G
»«A
32
13. £1 vector e*(2,-1) es expresado coao c=a+$, donde los vecto­
res a y t son paralelos a xs(3v»4i) e y=(-3n»-n), respectiva 
nenie, siendo n/0 y n¿0. Hallar a-$. Rp- -¿(48,31)
14. En la figura adjunta, sea 0 la inter­
sección de las diagonales de un cua­
drado ABCD. Si 0 es el baricentro del 
triángulo Isósceles APD con ||i£||=
I |FÉ>I |. Hallar Ifij.
Rp. HQ-(1/2,-3/2)
15* Dados los vórtices consecutivos de un paralelogramo A(7,-1), 
B{-3*1) y C(-5.5). Determinar el cuarto vórtice D y la longi 
tud de la diagonal BD- Rp. D (5* 3) » 2/T7
16* La figura aostrada es un paralelogramo 
rectangular donde ||£E*|i=¿a, i |AF| | =3a 
||AGjJx6a* Hallar ||s|| si:
s * XB + 0G + ÁB *AF
Rp. 13a
17. Si a*(a,b) y $*(1/2,-4/3) son dos vectores en R2. Hallar a+t 
si II• Il=(l/3)/73 y si a y $ tienen sentidos opuestos.
Rp. 5/3
18. En la figura ABCD es un cuadrado de 
lado 3a y A ,B ,C ,D I es un cuadrado 
de lado a, si |(D rD 1 1 h a l l a r B rQ.
Rp. B*Q = ^(a,-a)
19. La figura representa un prlssa super 
puesto a un cubo, si todas las aris­
tas son de longitud a y si:
s = fe + cb + Iba + Im ♦ Igc
Hallar el valor de ||s||2.
Rp. + /5)a
t/ec¿osie¿ 33
1.13 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
Dados los vectores a=(ai,a2) y í>=(bi,b2)» el producto esca 
lar o interno de a y í se denota por a.í, y se define por:
a • S = (fli>32)*(bi,b2) — 3 i b i + a 2b ( 1 0 )
Observaciones:
i) El producto escalar de vectores es una operación cuyo resul 
tado es un escalar y no un vector.
ü ) Si t,$eRn, entonces:
Í.S = aibx + a2b2 +
n
+ a^b = 2- a, b. n n i i
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR. Si a,1> y c son vectores en R2
y reR es un escalar, entonces 
se cumplen las siguientes propiedades:
Ei: a.S = í.a
E2: r(a.í) = (ra).S
E 3: c.(a+c; - c.a + c.b
Conmutatividad 
Asociatividad escalar
(a+S).
-»■En: a.a =
c = a.c +
a | | 2*0
S.c
Distribuidad
Magnitud respecto al producto escal.
Es: a.a = 0
INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO ESCALAR EN R2
Sean a y $ dos vectores y a-S (el vector que va de B a A). Si a 
es perpendicular a í, ocurre que la representación geométrica de 
los vectores a,S y a-í es un triángulo rectángulo, para los cua­
les, por aplicación del teorema de Pitágoras se tiene que:
i - t \ z _ a + i i t i
+■
(a-S).(a-É) = ||S||2 + ||S||2 (En)
a.a - a.í¡ - í.a+ Í.S = ||a||2 +||í||2 (Eq) 
||S|I2- 2S t + ||í||2 * ||S||a+||t||a (En)
de donde: -2a.S = 0 -*-*■ a.S = 0
Como hemos establecido la condición de perpen
dicularidad para a y entonces podemos dar
B
3 k Ve.cto/ie.4
la siguiente definición.
1.14 VECTORES O R T O G O N A L E S Dos vectores a y ? son ortogonales
si y sólo si a.?=0.
Si es el caso que a y ? son ambos no nulos, entonces se dice que 
los vectores son perpendiculares y anotaremos:
a ± a. b = 0 (XI )
Por ejemplo, si a=(l/2,-3) y ?=(-2.-1/3)>
a.? = (1/2)(-2) + (-3)(-1/3) 
Como a y ? no son nulos, entonces: al?.
entonces según (1 0) 
= - 1 + 1 = 0
DEFINICION 6. Para cada vector a=(ai,a2)eR2, definimos un co­
rrespondiente vector e^eR2, que se lee o/itogonat
a a, mediante:
= ( - a 21 e i ) (13)
Gráficamente el vector ax se obtiene 
haciendo rotar el vector a-,-sobre su 
punto inicial, un ángulo de 90° en di 
rección contraria a las agujas del re 
l o j .
Se verifica luego que si a xa*1, enton
+ + i Aces a.a =0,
En efecto, í -x -
ai
a,ax = (aiiaa).(-a2,ai) 
= - a i a2 + a2 a i = 0
-a2 a i
• • a x a
PROPOSICION 1.2 (Desigualdad de Cauchy-Schwartz) Sean a y ? ve¿
tores en R2, entonces se cumple:
i ) | S . Í | « l l a l l | | t | |
ii> = ||a|| !¡S|| ~ a||S
Demo.i¿/iaci6n. i) Si a=0 o í=0, entonces se. nota claramente que
la proposición es válida.
Supongamos que a/0 y ?/0 y consideremos la función para un núme­
ro reR:
f(r) = ||a+r? | | 2 = (a+r?).(a+r?) (1 )
y ocurre que f(r) ^ Ó , VreR
Ve.cio/ie.4 35
Desarrollando (1) nos dá el polinomio de segundo grado:
f (r) = (S.S)r^+2 (a,S)r + (a.a) 
Completando cuadrados se tiene:
f ( p ) = r + - ^ í 1 2 ! - 4 4 1 - 2 +
L (S.S) ( i . i H ( t . S )
= (Í í) (r + Ü - V + (a.a)(t.t)-(a.t) 2V t.t) t.t
Si hacemos r0 = ~ | 4 - f(r0> = (a-t) ( ^ )-(a,S)2
b.b b.b
f •
Como f(r0) £ 0 y b.S = | |S||2>0, esto implica que:
(a. a) (í .Í)-(a.Í) 2i0 ( a . t ) z 4 (a.a)(Í.Í)
- |£.i|2 ^ | | £ | H I Í | | 
la.Sl « \\t\\ llíll
( 2 )
• •
ii) Demostraremos que: la.íi] = l|a|| 11^11 **"* *I|Í• •
(♦) Si !||i - |S.Í| = ||S|I lltll
t
En efecto, si a||S a=rí¡
Luego: |a.Í| = |(rÍ).S| = |r(Í.t>)! = |ri||o| | 2
= |r|||Í||||Í|| = |írí||]|í||
/. is.ü = iiaii iiíii
(<-) Si lS.il = Mil II lili - ílli
En efecto, si |a.S| = | |a| | M Ü | - (t.t) 2 = |\t\ \ 2 [ |S| | 2
(a.Í)2=(a.a)(Í.Í)
Sustituyendo en (2) ocurre que: f(rc)=|a+roS|=0
a + r0Í = a - (-^3)í> = 0 a = r?>
b.b
Por tanto: a||S
PROPOSICION 1.3 (Desigualdad triangular). Sean a y t vectores
en R2, entonces: ||a+Í|| ^ ||a||+||Í||
Más aún: ||atÍ||= ||a||+ I|S|| si y solo si un vector es un múlti
pío escalar no negativo del otro.
Demo¿t/iac¿6n. En efecto: | |a+o| | 2=.(a+í>) . (a+S)
= | | a | ¡ 2+ 2 a . Í + | |Í|| 2
36 Ve.ctOA.e.4
- I |a+í>l 12 « 1|S||2 + 2\t.t\ + ||S||2
Por la desigualdad de Schwartz, se tiene que:
-> ||t+í|l2 .< Ilall2 + 2 1 |a| | ||t|| + ||£||2
• ♦
t I I + l l í l l ) 2
llí+tll 4 11*11 + I|*|I
Ejemplo 1. Demostrar que: ||a+í>||2 - ||a||2 + ||?||2 + 2a.í
De.mo¿t/iac¿&n. En efecto: ||a+?||2 = (a+í>).(a+S) (EO
= a.(a+S) + Íu(a+S) (E3)
= a.a + a,15 + ÍS.a + S.S (Es)
= a.a + t.t + 2a.t (Ei y Ea)
/. n t + s n 2 - iiaii2 + n t n 2 + 21.% (e^)
Ejemplo 2. Demostrar que a+S y a-l> son ortogonales si y sólo s
I I S I H I S I I .
De.moót/iac¿6n, Demostraremos primero la ortogonalidad.
En efecto, por hipótesis:
I I Í I M I Í I I + llall2 = ||í||2
t i l 2 - l l í l l 2 = 0 
+ (a+S).(a-í>) = 0
Por tanto, según (11), a+í> y a-S son ortogonales.
Ahora demostraremos la igualdad de las magnitudes.
En efecto, por hipótesis, a+í y a-í son ortogonales
+ (a+í).(a-í) = 0
•+• a.a - a.í + í.a - S.íi = 0
- Hall2 - llfcll* * D ■* Hall2 = lltll2 
Por tanto: ||a||=||t||
Ejemplo 3. Demostrar que: (a+í)"1 = aA + í)i
De.mo4¿siac¿6n. En efecto, sean: a=(ax,a2) y í=(bi,b2)
+ a + ? = (ai+bi,a2+b2)
(a + £)x = (-a2-b2f ai+bi)
Ve.ctCA.e.4 37
- (-a2,ax) + (-b2,bx)
( í + ? ) x = s a ; i x
Ejemplo 4. Demostrar que si el vector v=($a.c)a-(a^.cjS es para
lelo al vector c.
De.mo4ttA.ad6n. En efecto, sean a=(ai,a2)» í=(bx,b2) y c=(cj,c2)
vectores en R2,
/
(Sa.c)a = [(-b2,bi).(ci,c2)J (ai,a2)
= (-b2ci+bic2)(ai,a2)
= (-aib2ci + aibic2 > -a2b2cx + a2bxc2) 
(aa .c)1> = [(-a2,ax),(cx,C2 )j(bi,b2)
= (-a2cx+axc2)(bx,b2)
~ (-a2bxci + axbxc2 , -a2b2Cx t axb2c2) 
Restando (1)-(2) obtenemos:
v = (a2bxcx*axb2cx . a2bxc2-axb2c2)
= [(a2bx-axb2)cx , (a2bx-axb2)e2]
= ,(a2bx-aib2)(cx»c2)
El coeficiente de c es un escalar, por tanto:
•¥ i i +v = .re ■»* v e
( D
( 2 )
/
Ejemplo 5, Demostrar por métodos vectoriales, que un triángulo
inscribo en un semicírculo es un triángulo rectángu­
lo.
De.mo¿t/iad6n. Supongamos el ABCA inscrito
en el semicírculo cuyo cen­
tro es el origen y cuyo radio es j|í¡||.
Según la figura debemos probar que BC-LCA.
En efecto, BC.CA = (?-a).(S+a)
= Í>.S + S.a - a.ti - a.a B _a
= Il$lI2-Il a j | 2
Pero ||S||=||a|| per ser radios del semicírculo.
Por tanto: BC.CA = 0 BCJ.CA
Ejemplo 6 Resolver la ecuación: 2 [(1/2 ,6) + í 1 - 
si í = ( 1,0) y j = ( 0 , 1) .
o - i - 2x
Soludón. 2[(l/2,6) + (1,0)“ - (xj,x2)] = (0,1)X - 2(xx,x2)
38 Vedo'ieA
(1,2) + (0,2) - 2( x i ,x 2 ) = (-1,0) - 2(- x 2 ,x i )
(2,1¿) = 2( x i ,x 2 ) - 2 ( - x j ,x i )
1 = Xi + x 2
(1,7) = (x1+x2,x2-xi) *-*■
7 = X 2 - Xl
de donde obtenemos: xi=-3 y x2=4 -► x = (-3,4)
Ejemplo 7. Sean a.íeR2, demostrar que si 2ax-S = 2Í>x-a, enton­
ces a+í> es ortogonal a a-íi.
De.mo¿tA.ac.¿6n. En efecto, si 2ax-í>=2$x-a + a-í) = 2(íx-a1) (1)
Aplicando el ortogonal a ambos miembros de (1) y 
haciendo uso de las propiedades: (a+ÍS)“ = ax+í>x
(ax)x = -a
se tiene: (a-í)J* = 2 (SJ_-a")"
+ ax-íx = 2 (-í + a) -+ ¿(a-í) = 2 (ax-$x) (2 )
Sumando (1) y (2) obtenemos: 5(a- í>) =0 *> a-í=0
Luego, (a+í>). (a-1>) = (a+í).0 = 0 
Por tanto, según (11): (a+í) J_ (a-t>)
Ejemplo 8, Hallar la norma del vector í=(-3m,m), sabiendo que
ha sido descompuesto en el vector a=(-5,3) y en otro 
vector paralelo al vector c=(1 ,1 ).
Solución. Si S=m(-3,1) + | |í|| = |m |/(-3) *+■( 1) 2 = |m|/TÜ (1)
y si: í>=a+rc m(-3,l) = (-5, 3)+r( 1 ,1 )
Multiplicando cada extremo, escalarmente por (1»1)“L, se tiene:
m(-3,1).(-1,1) = (-5,3).(-1,1) + r( 1,1). (-1,1)
-*• m(3+l) = (5+3) + r(0) , de donde: m=2
Por tanto, en (1) se tiene: ||í|| = 2/TÜ
Ejemplo 9. Si a y b son vectores unitarios y paralelos, hallar
la norma de ax+b.
Solución, Sabemos que si: a||í + a = rí
o bien: a||b ax.b = 0
Entonces: ||ax+b | | 2 = |\t¿||2+2ax.b + ||b| | 2
= (1) + 2 (0) + (1)
H a M l l = / 5
V c c io s ie .4 39
Ejemplo 10. Si a=(-6,15), í¡=(-2,9) y c=(-2ra,3m) y se sabe que:
x+y=a, Í\\t e y||c. Hallar x.y-*-.
Solución, Si x||í> **■ x = tí> -*■ x = t(-2»9) (1)
y II c + y = se + y = sm(-2,3) = r(-2,3) (2 )
Luego, si: t(-2,9)+r(-2,3) = (-6,15) - ( ' 2 t - 2 r = - 6 * t + r = 3
[9t+3r=15 + 3t+r=5
Resolviendo el sistema obtenemos: t=1 y r=2 
Sustituyendo en (1) y (2): x=(-2,9) » y=(-4»6)
■\ x.yx = (-2,9) - (-6,-4) = 12-36 = -24
Ejemplo 11. Si a, í y a+í son vectores unitarios, hallar la ñor
ma del vector a-S.
Solución, Si el vector a+S es unitario ||a+í>|| = 1
+ ||a+£l| 2=1 - | | a | | z+2a.S+ I I I 2=1
-»■ 1 + 2a. í¡ + 1 = 1 a.í> = - 1 / 2
Luego: \\t-$\\2 = ||a| | 2 - 2a.S + \\t\ \ 2 = 1-2(-1/2)+1 = 3
a-í¡|| = / 3
Ejemplo 12. Si a+í>+c=0 y ||a||-2, ||í>II=5f ||c||=8; hallar a.?> 
Solución, Si a+£+c=0 a+S = -c ||a+í> | | 2 = ||-c| | 2
- i|a|í2+2a.í+|\%\\2 = ||c| I2 
-*■ 4 + 2a.í + 25 = 64
de donde: a.í> = 3 5 / 2
Ejemplo 13. Si a=(l,x), S=(2x,x) y c=(2x , - 1 ) , donde x es un nú-
«
mero real; hallar la suma de los elementos del con­
junto M = {(x,y)/(a-c).b = a.c-1}.
Solución, Tenemos: a-c = (1,x)-(2x,-1) = (1-2x,x+1)
* M = { (x,y)/(l-2x,x+1). (2x,x) = (1,x). (2x,-1)-1}
= {(x,y)/2x-4x 2+x2+x = 2x-x-1 }
= {(x,y)/3xz-2x-1 =0}
Por tanto, si M = (xi,x2} Xi+X2=2 / 3
40 Ve.ctone.4
Ejemplo y(. Dado el vector í=(2,3) y la función f:R2-"R/f(p)=p.í>
El vector a es tal que f(a)=-1ó y a||c=(1,2). Calcu
lar la norma de a.
Solución. Si f(p)=p.S + f(a) = a.í = -16
a||c -► a =r c = r ( 1 ,2 ) (1 )
Entonces: a.íi = r(1,2).(2,3) -16 - r(2+6) **• r=-2
Luego, en (1): a = -2(1,2) \\t\\ = I-2 I/T+I = 2/5
Ejemplo 15. Sea el cuadrilátero PQRS.
Sean: a=PQ , S=QR , c=RS y 
3=Sf. Hallar c.3 si se sabe que:
l|a+S||=7 . I|c||=3 y I |3||=5.
Solución. De la figura obtenemos:
S = a+S+c - | |3-c || = | |a+í | |=7
Elevando al cua.drado: | |31 | 2-2<l. c+| | c | | 2 = 49
+ 25 - 2c.3 + 9 = 49
de donde: c.3 =-7.5
Ejemplo 16. En la figura A , G y E son
puntos correspondientes a 
vórtices de un triángulo equilátero ins 
crito y los segmentos AB , GD y EF son 
tangentes a la circunferencia tales que 
MÁB||=3 , ||CD||=4, ¡|ÉF||=5. Hallar 
s.u, si s = AB+CD+fF y u = (2,2/5).'
Solución. Traslados los segmentos AB,
CD y EF sobre un sistema car 
tesiano de modo que sus puntos inicia­
les cóincidan con el origen. Entonces?
AB = ||ÁB|!(CosO°fSenO°) = 3(1,0)
EF = | |ÉF| |(Cos120o,Sen120°) = 5(-¿/f) 
CD = | |CD| |(Cos2A0°,Sen2A0o) = ¿(-1,-^2) 
Luego: s = (3,0) + (-|,^2) + (-2,-2/3)
Por consiguiente: s.u = •|(-3,/5).2(1,/5) = -3+3 = 0
Ve.cto/ie.á
Ejemplo 17. En la figura, m(^ABC)=90° y
||OB||=3 . Hallar x si: 
x = OB.ÓC + OÁ.OB - OÁ.OC
Solución. x = OB. (OB+BC)+OÁ.OB-OÁ. (OB+BG)
-► x = ||OB||J+OB.BC+OA.OB-OÁ.OB-OÁ.BC
= I |OB"l I a+BC (OB-OÁ) = I |OB| |2+bc.ab 
Pero: BCxAB -*■ BC.AB = 0
• x = I IOB112 = (3) 2 = 9• #
Ejemplo 18. Dados a=(m,3p) y í>=(-2p,n). Hallar el valor de
de modo que: a+í>=(8,-4) y a.S=0 .
Solución, Si (m»3p) + (-2p,n) = (8»-4.) ^ fm-2p=8 + m=2p+8
L3p+n=-4 + n=-3p-¿ 
Además: (m, 3p) • (-n,-2p)=0 -mn~6p2=0 mn = -6p2
Sustituyendo (1) y (2) en (3) se tiene: (2p+8) (-3p-¿)=-6p2 
de donde: p=-1 , luego» en (1 ) y (2) obtenemos: m=6 y n= - 1
• m+n _ c• • “"L” " * “ )
(D
(2 )
(3)
Ejemplo Un triángulo DBF se encuentra
sobre un plano inclinado como 
se muestra en la figura adjunta. Hallar el 
vector DF.
Solución, Tenemos: DF = DE + EF
I | OA | j = / 0 2 ) 2+(5) 2 = 13 
Un vector unitario en el sentido de OA es: u = j^^
Entonces: DE = 3u = ! EF = 2u'L = 2 ( = (*T§»T3>
DF = + (-j§, = (2,3)
Ejemplo ZJd
a.í¡ + S. c +
Dados tres vectores unitarios a , í y c que satiafa 
. cen la condición a+í+c=0, calcular el valor de:
•*a. c •
Solución, Si a+í+c^Q c lla+ÍH = M-íll
Ve ctojie.4
a
Elevando al cuadrado ambos miembros se tiene:
 ̂ 2 + 2a.t + ||í| | 2 = I |c ||2 — 1+2a.í+1=1
Análogamente se obtiene: S.
* a
•>a.% = -1 / 2
c = - 1 / 2 t a. c
*,í> + í.c + a. c = -3/2
= - 1/2
Ejemplo En la figura adjunta, los
triángulos OCB, PBS y RST 
son todos ellos semejantes. Hallar RT 
si P y R son puntos medios de OB y PS 
respectivamente.
Solución. La figura muestra tres trián
gulos rectángulos isósceles,
en donde: ||0B||=4/5 y ||PS||= /(2/2)2+(2/5) 2 = 4
Un vector unitario en el sentido de OB es: u = - ^ = ^?(1,1)
4/2 2
Entonces: PB = 2/5u = 2(1,1) ; BS = 2/Ju1 = 2(-1,l) = (-2,2)
Luego: PS = PB + BS = (2,2) + (-2,2) = (0,4)
Un vector unitario en el sentido de PS es: v = -
Entonces: RS = 2v = (0,2) y SÍ = 2v-*- = (-2,0)
RT = RS + ST = (-2,2)
= (0 , 1 )
E j e mp 1 < V 2. Sea ABCD un rectángulo, una de cuyas diagonales tie
ne por extremos A=(-6,1) y C=(-2,8). Si los lados 
de mayor longitud tienen el mismo sentido del vector a=(2,1 ); ha 
llar los vértices B y D.
_ 4y
Solución. AC = C-A = (-2, 8)-(-6,1 ) = U, 7)
Si ÁB||a + AB = r(2,1)
BC | |a ->• BC = t (-1,2)
Como AC = AB + BC
+ (4,7) = r(2,1) + t(-1,2)%
De donde obtenemos: r=3 y t=2 
Por tanto: ÁB=3(2,1 ) = ( 6 , 3) -*• B = J+ÁB = ( 6 ,3 ) + (-6,1) = (0,4)
BC = AD = 2(-1,2) = (-2,4) ■* D = Í+AD = (-6, 1) + (-2, 4) = (-8.5)
Vccto*ie¿ o
E J E R C I C I O S
Sean a y í vectores en R2. Utilizando las propiedades del 
producto escalar, demostrar:
<
a) ||a+Í| | 2 - || a-Í| | 2 = ¿a.Í
b) M Í + Ü I 2 + ||Í-Í|I2 = 2 ( | |a| |2+| |S| |2)
Demostrar que los vectores a y Í en R2 son ortogonales, si y 
solo si:
I |a+Í| ! 2 - ||S| | 2 + M Ü I 2
Dados los vectores a y ? , demostrar que:
a) (a*L)'t = -a c) a^-í*1, = a.Í
b) ax.Í = -a.Í-1- d)
Dados los vectores a y ? , demostrar que:
a) a.Í = -||a|| ||Í|i M a y ? tienen sentidos opuestos
b) | |a+Í| | = | |a| | + | |Í| | a y Í tienen el mismo sentido
Deducir de la desigualdad triangular que si a y Í están en 
R2, entonces:
Mal M |S| I | « IIS+ÍII « I |a| 1 + 1 |S| I
(Sug. Escribir: a=Í-(a-Í), y aplicar la Proposición 1.3)
Demostrar que si a y ? son vectores paralelos en R2, enton­
ces: |a.Í| = | |a| | | |Í| |
Si a y ? son vectores en R2, demostrar que:
a) .< \\t\\ Míll
b) |i.i^| = Mili Mili ~
Demostrar mediante un contrejemplo que a.Í=Í.c no implica ni 
que b=c, ni que a=0.
Siendo a=(2,-3), Í=(-2,1) y c=(3,2), hallar un vector unita­
rio ortogonal al vector v=5a-3(Í+c). Rp. ^=(§5*2 3)
Si a=(¿m,m-3) y b=2,m+3), determinar los valores de m tales 
que a sea perpendicular a b. Rp. m=1 o m=-9
Ve.c,to*.e.¿
11. Expresar en la forma v=xí+yj el vector cuya longitud es 3/5 
y es ortogonal al vector w=2a-3Í+5c, siendo a=(-1 ,2 ),
í>=(3,-5), c=(3,-4). Rp* v=3i-6j ó v=-3i+6j
12. Sean los, vectores a=(m2-3»m-1), í>-(4/m2,4/m), donde m^O es 
un número real positivo. Si a y í> son ortogonales, hallar el
vector v=9Í>-4a. Rp* v=(19»22)
13. Si t=(1,0) y }=(0,1) resolver para x:
a) 3[íJ-+x-U/3,2)] = (9.-11 ̂ x M j Rp." £=(5,-1)
b) ( 6 , 12) + 3 [ ( -2 ,1 /3 )-2 3 '+ 3 Ía +x] = '^í+a^-í-1 Rp. $=(-1,-5)
c) 3(-2, -3)J" + ^¡x+Í-l-(3,-1)]'L = (5,2)1 -2xx Rp. x=(5,4)
14- Sean a y % dos vectores en R2. Si a es unitario y se cumple 
que a.í=9/4 y a.(S+J)=3. hallar a. Rp. a= (±/7/4. 3/4)
15. Sean los vectores a=(x,x+4), $=(5x-5>x-4)• Si x>0 y a.í>=-10,♦ . w
hallar ||a+t>||. Rp. 5
16. Sean los vectores a, í y c tales que: ||a||=/Z5, \\t\\*3/2 y 
í.c=12. Si a=í-c, hallar ||c||. Rp. 4/2
17. Sean los vectores a, $ y c tales que: a= í+c, |I a||=5, ||í||= 
2/5 y £.c=10. Hallar ||c||. Rp. 5
18. Si a=(2,x), í=(x,-2x) y c=(x-2,x +1), donde x>0 y si (a+í).c=
a.í+1, hallar el vector v=a+í-t-c. Rp, v=(5,1)
19. Si a+S-c=0 y ||a||=2 , | |í| | =4/5, |!c| |=8; calcular a. c
Rp. 10
20. Sea el rectángulo ABCD de área 48u2 y cuyes dos vértices con 
secutivos son A=(-2,5) y B=(2,1). Si la diagonal AC tiene el
mismo sentido del vector v=(5,1 ), hallar los vértices C y D.
Rp. C=(8,7), D=(4»11)
21. Si aaR y u=(a-2,5-3a) es un vector unitario, hallar el valor
de: j|a(u+2uA)+2ux||. Rp. 5 6 z/Tü
22. Sean a,í>eR2, ambos unitarios, demostrar que: | |*ga + -=jí|| < 1
k.
I ' c c í C A f á 15
RELACIONES ENTRE VECTORES
1.15 ANGULO FORMADO POR DOS VECTORES
Sean a y b dos vectores no nulos que tienen el eíscjo ori­
gen y sea 6 el menor de los ángulos positivos formado per dichos 
vectores, que satisface: 0 ̂ 6 ^ tt.
Los vectores a, S y la diferencia a-S 
forman un triangulo cuyos lados miden
! I a I I. I!$ll y I ¡a-t>| !. (Figura 10)
Por la ley de los cosenos se tiene:
||a-$l|J=||a||2+||$||2-2¡|£||||£||Cos6
Desarrollando el cuadrado del primer 
miembro obtenemos:
I |a-í>| |2=| | a | j.2+| ! S | |2-2a.í
Comparando ambas ecuaciones se deduce que:
Figura 10
«+■ +a.b = |)a|| ||b||Cos9
de donde:
Cos0 =
** t a. b
I ¡a | i ||S||
(1 2 )
(13)
Ejemplo 1, Hallar el valor del ángulo que forma el vector a que
va de A(¿>5) a S(6,¿)t con el vector S que va de 
C(-3,1) a D(-2,-2).
Solución. a = AB = (6,4.)-(¿,5) = (2,-1) a = /5
Luego, según (13):
t = CD = (-2,-2)-(-3*1) = (1.
Cose = .Ü-M-lLiLV
(/3)(/T0)
3) -
= 1 1 1 
5/2
o = / 1 0
• • e = 15o
Ejemplo 2. Hallar la norma del vector 3, sabiendo que a y ? for
man un ángulo de 60°, a = a+í>, ||a| | = 3 y ||?ll = 5.
Solución. Si a = a+S | |3| | = | |a+S| |
¿6 \¿e.c¿c/ieó
w%
Elevando al cua' se tiene: l|a| | 2 “ ||a|l2+2a.D + |lí| | 2
Según la ecuación (12): ||c¡ | | 2 = | | a | | 2+2 | | a | | | |í | |Cos60 +||o| | 2
= 9 + 2(3)(5)(1 /2) + 25 = 19
I|2 |l = 7
Ejemplo 3. Calcular a.Í) donde a y í son
vectores de la figura adjunta 
para los cuales: | |a| ¡=4- y | |í| ]=2/3*
Solución, Si 0 es el- ángulo que forman
ambos vectores, entonces:
6 = 9C°-(12°+18o) = 60°
Luego, según (12): a.Í = ||a|| | |í||CosB
a.Í = i/3
Ejemplo ¿í. Los vectoresa y b forman un ángulo de tt/6 radianes.
Sabiendo que i|a||=/3 y ||í||=1, hallar el ángulo q*
forman los vectores u=a+í y v=a-í.
Solución, Según la ecuación (12) tenemos:
t.t = ! ! a | | ||S| |Cos (tt/6) = (/I)d)(/3/2 )= 3/ 2
u.v = ¡jú||||v||Cos6
(a+í),(a-í) = | (a+o| j | |a-í| |Cos6
- Ila||2-I!í|¡2= (/ÍTaj \>+2t.U\ |í| |2)(4|S| |2-2?.S+| |S| i2)Cos8
+ (✓l)2-(1) 2 = (/(/5)2+2(3/2) + (1)2)(/(/1)j-2(3/2) + (-!)2)Cos9
de donde: CosQ = 2/fl ■* Q - arcCos(2//7)
Ejemplo 5. Los vectores a, í y c forman dos a dos un ángulo de
60°, sabiendo que |¡ajj=4.f [jí| |=2 y |¡c||=6, deter­
minar el módulo del vector v=a+ítc.
Solución. Si v=a+í+c + ||v|| = ||a+í+ej|
Elevando al cuadrado se tiene:
ilv||2= I|Í||2+|íÍ||2+||Í||2+2Í.Í+2Í.Í+2Í.Í
= I¡ & I!2+l1^1 l2+l I o Il2 + 2 (||a|¡||í|| + |J a||||c||+| |S|¡||c¡|)
Gos60°.
\ Ve.cto4.ej>
||v|¡2= 16+4+36 + 2(4*2 + 4x6 + 2x6) (1/2) = 100
/- IIv|| = 10
Ejemplo 6. Los vectores a y í tienen igual longitud y forman un
ángulo de 60°. Si la longitud de a+£ es 4 unidades 
mayor que la longitud de uno de ellos, hallar la longitud de a.
Solución. Tenemos: a.£ * | |a| | | |£| |Cos60° -*■ 2a.£ = | |a|
IIS+ÍII = 4 + Hall
Elevando al cuadrado: ||a||2+2a.£+||£|i2 = 16+8||a|I+||a||2
Como ||a||=||£|| IIa||2-4||a||-8=0
/. | |a| | = 2+2 / 3
||a|| = 2 ± /Z+8
Ejemplo 7. Si el vector a=(-/3,/55) gira 45° en el sentido hora
rio se determina el vector £=(x,y). Hallar x+y.
Solución. Si ll£||=|l*ll /x2+y2 * /8+50
+ xa+y2 = 58 (1)
Cos45 = a.£
lalllltll
{1 = (-2/?, 5/2). (x,y)
2 (/5H)(/5§)
1de donde: 2x-5y+29=0 *► y = *^(2x+29) (2)
Sustituyendo (2) en (1) obtenemos:
x 2+4x-21=0 ^ x=-7 o x=3 
Elegimos x=3 por cuanto el lado terminal de £ está en el primer 
cuadrante. Luego, en (2) se tiene: y=7
x+y = 10
Ejemplo 8. Los vectores a y £ forman entre si un ángulo de 45°
y la norma de a es /J5. Hallar Il£||f sabiendo que 
a-£ es perpendicular al vector a.
Solución. Si (a-£) 1 a (a-£).a = 0
-► a.a - a.£ = 0 -► ||a||2 = a.£
- I |a| |2 = M a l M l£| |Cos30°
4/3 = ||£||(/3/2) 
11*11 « a
\V¿8 Vecic/ic¿
lo 9. En el cuadrado adjunto, el lado 
mide a unidades. Hallar el valor 
del ángulo 0, si P y T son puntos que trise 
can los lados del cuadrado.
Solución* %Como P y T trisecan a los lados
del cuadrado, entonces: q
0P=(a,a/3) y 0T=(a/3,a)
Luego: ||0P|| = ||0T||
Si Cos0 *
OP.OT = (a,|) 
OP.OT
OP | | I IOT | |
= /a2+(a/3)2 = | /T0
(fia) = ± a 2 + -ja2 = | a 2 
+ Cose = (2/3')&2 -
(■| /TCJ)2
3
5
0 * arcCos(3/5)
Ejemplo 10. Sean a y ? vectores unitarios en R2. Demostrar que
la suma es un vector unitario si y sálo si el ángu 
lo formado por dichos vectores es de 120°.
De.mo¿tsiación, i) Primero demostraremos que ||a+S||=1
En efecto, supongamos que 0=120° es el ángulo 
formado por a y ? . Entonces:
l l í + í l 2 _
I a+£|
= 1 
= 1
iaii2+ i m i 2+2s.$ 
sII 2+ Il^lI2 +2 ||a||||í||Cos0
+ 1 + 2 ( 1 ) ( l ) ( - 1 / 2 ) = 1
ii) Demostraremos que a y ? forman un ángulo de 120°.
En efecto, por hipótesis: ||a||=||?||=||a+S||= 1
Luego, si ||a+b| | 2 = 1 * ||a||2+||t||2+2a.£ = 1
* 1 + 1 + 2 ||a||||?||Cos9 = 1
de donde: Cos0 = -1/2 -*■ 0 = 120°
Ejemplo’ 11. Hallar el valor de r= | ] a - |, si | | a | | =1,
II?!I=2 y el ángulo entre a y S es 60°.
Solución* Tenemos: a.S = |\t\|||t||Cos60° = (1)(2)(1/2) = 1
y c .c to n e .4 49
r = 4 1 |2a+í| | r2 = *̂ (4| |a| | 2 + 4a.1)+ | |?>| | 2) -i i i i ^ _ ( i i i #** i i * ^ ; g i z r\ i i ~ i í ^
/. r = 2/5/3
Ejemplo 12. Sean a, t> y c vectores en R2. Suponer que ||a||=1 »
|]í||=1 y llc||=4. Si | | a-í+c | | = | | a+2?+cl | y el án­
gulo entre a y í mide tt/4; hallar el coseno del ángulo entre los 
vectores í y c.
Solución. Tenemos: a.S = | |a| lililí Cos(tt/4) = (1) (1) =
||a-í+c||2 = ||a+2Í+c||2 
- j |a| | 2 + J |í¡ |2+| | c | | 2+2 (-a.í+a. c-íi. c) = |\t | | 2U | 11 i I 2+ I\c H 2 +
2 (2 a. í>+a. c+2Í>. c)
de donde: j\%||2+2a,í+2S.c = 0
* 1 + 2(/5/2) + 2 |\% | | | | c | | CosB ++ Cose = - 1
Ejemplo 13. Por métodos vectoriales, determinar los cosenos de
los ángulos formados por las aristas y las diagona 
les de un paralelepípedo rectangular.
Solución, Sean a, S y c las aristas y 5
una de las diagonales del pa­
ralelepípedo rectangular; además, sean: 
a=m°(d,a) , B=m°(d,b) , y=m°(d,c)
En la figura: 2 = v+c = a+í+c
.í + T T - M ™ 2•td.a » a.a + a a. c = +a
í.t = í.t + í.í + t.t = iltll2 
3.3 = 3.3 + S.3 + 3.3 = llcll2
Entonces: Cosa « .3 i |a| |
Hall I |3| | í |a| | | | t | |
Cosg = iiíii
iiíii lian iiíii lian
Cosy » c.3 lian
llcll I|3 || |icl| ||3||
I
50 Ve,c£one.¿
Ejemplo 14. En la figura OACB es un para
lelogramo. Si OC=(5,3), BA= 
(-3»9) y a el ángulo determinado por OA y
OB hallar el coseno de a.
So ¿ación. Si BA=(-3.9)
<5c = OÁ + AC
í-§=(-3,9) (1)
pero ÁC=QB
■ Í+S=(5,3) (2 )Entonces: OC = OA + OB
De (1) y (2) obtenemos: í=(1,6) y í¡=(4,-3)
-*• Sx=(3a)
Í.SXCosa = (1,6). (3U) = 3+2 ¿ 27
l l í l l I |SX | | ( /H 3 S ) (/5+T&) 5 /57 5/57
Ejemplo 15. En el paralelogramo ABCD se
tiene: ||AB||=6, ||AD||=4 ,
m(^A)=60°; M es punto medio del lado AB
y N es punto medio del lado BC. Hallar 
Cos0f sabiendo que: ||a||=6 y ||?II=4/T3*
Solución. AD = 4(Cos60°f Sen60°) = 2(1,/3)
AB = 6(CosO°fSenO°) = 6(1,0)
Luego: ffi = |íB = 3(1,0) y i = ^ÁD = (1,/3)
DM = AM-AD = 3(1,0)-2(1,/3) = (1,-/3)
Pero: a = rDM | |a| | =r| |DM~( | + 6 = r/í + 3 , de donde: r=3
A a=3(1,-/5)
Análogamente: AÑ = AB+BÑ = 6 ( 1,0) +(1 , /3) = (7,/J)
Si í>=tAN -► |\t\|=t| |AÑ| | U/Tí = t/4.9+3 , de donde: t=2
t = 2(7,/3)
Por tanto: Cos0 = --------- = 3(1, -/3) »2(7_,/3) _ _ 1
l|a|| ||í|| (3/1+3)(2/49+3) /T3
Ejemplo 16. En un AABC se tiene: AC=(-2,4) y AB=(3,-1). Hallar
el ángulo que forma el vector BC con el vector í*1.
Solución. Tenemos: í-í=(-2,4) y §-í=(3,-1) 7
Restando se tiene: í-$=(-5,5) + BC=5(-1,1)
Cose = I p j X = 5(-1.1).(0.1) = _1 , e=i5°
| |BC | | 5/2 /2
D
a
Ve.ctoA.e¿ 51
E J E R C I C I O S
1 . ♦si a
3.
6 .
Hallar la medida del ángulo entre los vectores a y 
va de A(2,5) a B U , 4) y t va de C<3,-2) a D(2.1).
Rp. 6=135°
Si ABC es un triángulo y AC=(¿,1), AB=(-á,-3)# hallar el co­
seno del ángulo que forma el vector BC con el vector unita­
rio J=(0,1). Rp. Cos6=/3/5
En un triángulo ABC se tiene: AB=(2/5,2/2) y AC=(/5,-/2). De 
terminar la medida del- ángulo formado por BC y el semieje po
sitivo de las abscisas. Rp. 0=120
En un plano cartesiano, los puntos A(r,s), B(na+r,nb+s) y 
C{-nb+r,ma+s) son diferentes del origen y m¿0 9 n^O. Hallar 
la medida del ángulo formado por los vectores AB~y AC.
Rp. 0=90*
Hallar el ángulo que forman el vector a que va de A(-1,3) a 
B(6,4) con fl vector Í! que va de C(5»-1) a D(2,-5).
Rp. 0=135'
Calcular a.í» , donde a y í son los 
vectores de la figura adjunta, pa­
ra los cualesr ||a||=8 y ||$||=/75
Rp» -4.8
7. Calcular ||a+í|| sabiendo que a y í forman un ángulo de 150°
y que: ||a||=/Z5 y ||í||=6 Rp. 2/3
8. Sean a, { y c vectores diferentes de cero, y supuesto que el 
ángulo entre a y c es igual al ángulo entre b y c; para que
valor de t es el vector c perpendicular al vector:
<5 = llalla + tS. Rp. t=-||a||
9. Los vectores a y b forman un ángulo de 60°, sabiendo que 
llall = 5f 11*6| | =8, determinar: ||a+í|| y ||a-í||.
Rp. /Í29 y 7
52 V c d o s iC A
10. Los vectores a y o forsan un ángulo de 
Ua|Í.= 3 y l!?ll-5. determinar: ||a*c|[
120 , sabiondo que
y I ( & - ? l ¡ .
Rp. /T5 i» nt
1 1 . Qué condición deben satisfacer los vectores a y £ para que 
el vector a+S bisecte al ángulo formado oor los vectores a >
%. 1 Rp. Ilílhlltll
12. El vector a=(x,y) se obtiene girando al vector t-(-2,4) 60°
en el sentido horario. Hallar el vector a.
Rp. a=(2/3-1,2+/5)
13- Si ||a||=a y ||í>|Í=b, demostrar que ol vector c 
ca el ángulo formado por a y í,
•f,,aotba
a+V bise
U.
15.
16.
Sean a y ? dos vectores no nulos tales que ||a||=¡|?|¡=m. Si 
el ángulo entre a y $ es ir/3 radianes, y la norma de su dife 
rencia es 2-m; hallar m. Rp. m=1
Tres vectores a, í y ceR2 satisfacen las siguientes propieda 
des: ||a||=||c||=?» ll?II=1 y I|a-?+e||=[(a+í+c||. Si elán­
gulo que forman a y í es n/8, hallar el que forman ? y c.
Rp. 7tt/8
Dados tres vectores no nulos en R2: a, í y c. Supuesto que 
el ángulo que forman a y c es igual al que forman b y c. De­
mostrar que c es ortogonal al vector ||?| |a-||a||?.
17. Los vectores a y ? forman 
dulo de a es 6. Hallar el 
a un ángulo de 30°.
entre si un ángulo de 60° y el rao- 
modulo de b para que a-D forme coi
u L ' •
18. En el paralelogramo AECD se tiene: 
l|ÁB||=3, l|ÁD||=6. n{^A)=60°, F y 
Q son puntos de trisección de los 
lado3 AB y BC respectivamente, ría- 
llar Cos0 sabiendo que ¡|a|¡=¿/7 y
l | í | | = 3 / Í 9 .
Rp. Cosg = ^
/133
Vecton.es 53
1.16 DESCOMPOSICION DE VECTORES
Sean los vectores no paralelos a y í) en R2. Si dese un pun 
to de vista gráfico un vector v del plano podemos expresarlo co­
mo una suma de componentes vectoriales ra y tí), que son múltiplos 
escalares de a y í, entonces se dice que se ha efectuado una des 
composición del vector v en sus componentes paralelos a los vec­
tores a y í (Figura 11).
También se dice que v puede expresarse como una combinación li­
neal de los vectores a y í, los cuales reciben el nombre de ba­
ses del conjunto de vectores veR2.
Podemos afirmar entonces que todo vector veR2 se puede expresar 
como una suma de múltiplos escalares de vectores unitarios orto 
gonales: í=(1,0) y j=(0,1)
En efecto: v (x,y) = (x,0) + (0,y)
= x (1,0) + y(0,1)
de donde:
v XI + yj
Expresión en la cual, los escalares x e y se llaman componentes 
escaian.es de v paralelas a í y j. Los vectores xi e yj son las 
componentes vectoriales de v paralelas a i y J (Figura 12)*
Figura 12
1.17 COMBINACION LINEAL
Todo vector acR2, puede expresarse mediante una y sólo una 
combinación lineal de un par dado de vectores unitarios ortogona 
les u y ux. Es decir, existe una y sólo una pareja de escalares
Ve.cto/i&¿
s y t tales que:
(1*>
Al
se
multiplicar escalarmente por u
tiene: — s.̂
u. a = su.u + ta^u^ = s||u||2+ 0
de donde: «►u, a = s ( 1 )
Al multiplicar (14) por ux, se tie
= 0 +t| |uA| |
(2 )
ux .a = sux.u + t
de donde: u ♦ a = t Figura 13
Por sustitución de (1) y (2) en (14) obtenemos
a = (u. a)u + (u~. aju4- (15)
También podemos afirmar que el vector a se puede expresar como 
una suma de múltiplos escalares de vectores ortogonales no nulos 
que no sean unitarios.
En efecto, si u = t
iíi
±y u = U‘ u
entonces por (1 5 ) se tiene:
a = (— I - .í) 
Vllbll /
u
t
+u
lili
( - J i . s
V llbii ■
i
que equivale a:
= (-Si
M l b
U \t + ( _ L Ü \ s
Ibll
(16)
/Ejemplo 1. Dados los vectores a=(-2,2) y D=(3,1)f expresar a
roo una combinación lineal de í y í¡x.
Si b= (3,1) + í1 = (-1,3) y | | í> | | =/To
Haciendo uso de la ecuación (16) se tiene:
j"(-2,2).(3,1)
co
Solución,
«*•a =
10
j (3» 1) + ( - 1 , 3 )
- 6+2 2+6
Verificación:
= (:t Tj£)(3.1) + (-1,3)
= - §(3,0 + §(-1,3)
i = r- k . 1 ) + / i J2 , 
a ( 5* V + { 5’̂ ’ = ( - 2 , 2 )
Ve.c£osie.¿ 55
1.17 PROYECCION ORTOGONAL
Sean a y £ dos vectores y £ no nulo. La proyección ortogo­
nal o componente vectorial de a sobre £, denotada por Proy-ga, es 
el vector:
ProygS = í - % ^ - ) 6 , UQ
b ' I|S||2'
(17)
Si aplicamos (17) a (16). obtenemos:
a » Proyga + Proygxa (18)
Geométricamente esta definición significa que se puede construir 
un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea el vector a y cuyos 
catetos contienen a los vectores Proy^a y Proy^j-a.
Propiedades. i) Proy*(a+S) = Proy+a + Proy+Sc * c J c
ii) Proyg(rí) = rProyga
Observación. Los vectores £ y Proy-ga son paralelos de tal modo 
que si el ángirlo 0 entre a y £ es agudo entonces £ 
y Proy^a tienen la misma dirección y sentido (Fig. U), en tanto 
que si 0 es obtuso entonces £ y Proy^a tienen la misma dirección 
y sentido opuestos. (Fig. 15)
Ejemplo 2. Si a=(l2f5) y b=(-3*4)f hallar Proy^a.
¿oíuclÓn. Según (17) se tiene:
Prov+a = <12.5M-3.¿) = . J6 
b (/9+16)2 25
56 l/ecto/ie.̂
Vemos que Proy^a y s son paralelos y tienen sentidos opuestos en 
este caso»
1.19 COMPONENTES ESCALARES
* £ +Al número a* se denomina com.pone.nte. encalan de a en la
nti
dirección de £, siendo b no nulo, y se denota por:
Compía = ----- (19)
Pb | | S “(■** í \ £)— x— * se puede establecer la réla-*1 |b| |/| | b | |ción siguiente entre proyección (un vector) y componente (un nú­
mero). £
Proyía = (Compía)— 5— (20)yb b. 1 ^ 1 ,
Si Comp-fca>0, entonces la Proy^a tiene el mismo sentido de b, del 
mismo modo, si Comp£a<0 entonces la Proy^a tiene sentido opuesto 
a £. (Fig. 15)
Por lo que, podemos afirmar que la componente escalar de un vec­
tor es la longitud dirigida u orientada del vector. Esto es, si
— p— es un vector unitario, 1¿ ecuación (20) se puede escribir: I I d | |
Compga = ±|JProy^a|| (21)
Nota. El signo sé'debe elegir según que £ y Proy^a tengan o no
el mismo sentido. Para los vectores de la Figura 15 se to 
ma: Compra = -||Proy£a||.
Propiedades, i) Comp*(a+b) = Compra + Comp+bc c c
ii) Comp^(ra) = rCompga
Ejemplo 3, Hallar la proyección ortogonal y la componente esca­
lar del vector a=(-3»-4) sobre el vector £=(4.,-2)
Solución, Si £=(¿,-2) ■+■ ||£||=/20, luego según (17) se tiene:
r„ n t .
V cc tO A C A 57
Obtenemos la componente aplicando (19)» esto es:
Comp-ía = (-3,-4).U,.-2) b ^12±8 = . 2/5 
b /50 2/5 5
Cono la Comp^a<0, la Proy^a y S tienen sentidos opuestos. 
Calculando la longitud de la proyección:
| |Proy^| | = /(-4/5)2+(2/5)2 = ^ 
observamos que: Compra = -||Próy-£a||
Ejemplo 4. Hallar las componentes escalares de a=(-2,2) que son
paralelas' a los vectores í¡=(3»1) y t> .
Solución, Si ?=(3»1) ||S||=/TÜ y Si=(-1,3)
De la ecuación (16): a = ( -a-¿— )— -— + ( a*^ )— ^—
' i i í í .n i í i i M i í i r i i í i i
Entonces: t - [l=MLálúl\ + f(-2,2).(-1.3)T _|i_'
L /Tü J ||t|| L /TO J ||t||
= + ( _ L \ _ Ü -
V /Tü/||í|| ' /Tü'||S||
De donde: Compra = --— y Competa = ®
/TÜ /Tü
Ejemplo $, Los lados de un triángulo son los vectores a, í y
a-S. Si ||a||=5» Il^il=3 y Compía=-5/2» hallar la 
longitud del lado a-b.
Solución, Si Compra = -5/2 *► - ™ — ~ ~ o ñ*^ ~ -15/2
1 i i í i 1 2
Luego: ||a-S||2= ||a||2-2a.S+ ||íi|l2
= (5)2 - 2(-15/2) + (3)2 = 49
Ilí-íll = 7
Ejemplo A Los lados de un triángulo son los vectores a, S y
a+S. Si ||a||=5» I!Í|1=2/2 y |)a+í||=/53; hallar el 
valor de 2Comp^a-Comp-j(a+í) •
Solución, Si ||a+b||=/53 ||a||2 + 2a.í + ||b||2 = 53
-*• (5) 2+2a. b+ (2/2)2 = 53 + a.t=10
Luego: 2 0 0 ^ =■ 2( j ^ ¡ ) = Z{^ = ^
CoBp-(att) = i i í l l J = I1*11*■♦■!=* = 25+10 . ?
11*11 5 5
/. 2Conp-ga - Compj(a+í) = 5/3-7
Ejemplo J\ Si a+$+c+3=0 , ||a+S|I=a, Ilc||=by ||3||=c. Hallar
Comp^S .
Solución. Tensaos: a+í * -(c+3) ! |a+í| | = | |c+3| | a=||e+3||
Elevando al cuadrados a2 = ||c||2+2c.3+||3||2 
Entonces: a2 * b2 + 2c.3 + b 2, de donde; c.3 = ^(a2-b2-c2)
Luego: Comp+3 = = -wr(a2-b2-c2)
c M o l í 2 b
Ejemplo 8. Si el vector í> forma un ángulo de 30° con el semieje
positivo de las X, 11^11=2, Comp£a=-2 y Comp|aa=2/3. 
Hallar el vector a.
Solución. t = I|S||(eos30°fSen30°) = (/3,1)
Según la ecuación (18): a = Proy-^a + P roy^a
♦ a = ( C o o p t a ) + ( C o m p £ J . a ) - l — = + (2/5)
II°II u ||b||
t = (-/5,-1)+(-/5,3).= (-2/5,2)
*
Ejemplo 9. Si a=(-2,/T2) y b=(-3»/3), hallar el ángulo formado
por los vectores a y Proygi-a.
Solución. Sea: c = Proy^xa = l -a *^— \$x
b M l í t l l * /
AM AA A É A te f (-2,/Í2).(-/5.-3)1/ . /5, 3». « T V
58 Vcctonc./»
Sean: u||a y v||c + u=(-1,/5) y v=(1,/3)
El ángulo que forman u y v es el mismo que forman a y c.
■*
Luego: Cos0 = ----v « (~^ > ( . 1 »/3) B J.
Ilull ||v|| (/T+3)(/Í+3) 2
Vecto/iej 59
Ejemplo 10. Si Proy£a=(-2, 8) , Proy^i-a= {4,1) y í=a+a'L# hallar la
Solución»
norma de S.
Si a =
Luego:
Proy^a + Proy^a 
t = (2,9)+(-9*2) = (-7,11)
- a = (-2,8)+(4,1) = (2,9)
• • ||S|| = /170
Ejeirplo 11. Dado el vector a=(-4,2) y Proy£ia=(-3»3)» supuesto
que Compra es positivo, hallar Compra.
Solución» Si a = Proy-ga + Proy^xa
(-¿,2) = Proy^a + (-3*3)
de donde: Proy^a = (-1,-1)
Según (21): Compra = i||Proy+aj|
-*• Compra = ± /(-1) 2 +