Solucionário San Marcos Habilidade Matemática

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ADMISIÓN twitter.com/calapenshko 
 
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qué ngrosarán 
 
 
 
SOLUCIONARIO 
( DE LOS 
EXÁMENES 
"a 
] | | | DE 
e VAN MARCOS
 
twitter.com/calapenshko 
Solucionario San Marcos Habilidad Matemática 
Titular de la obra: Ediciones Millenium 
Hecho en el Depósito Legal de la Biblioteca Nacional del Perú N” 2014-16026 
Editado por Ediciones Millenium 
Impreso en: Talleres de Ediciones Millenium 
Prohibida su reproducción total o parcial. Derechos reservados. D.LEG. N*., 822 
Distribución y ventas al por mayor y menor: 
- Libreria Casa de La Cultura: Pasaje Malvas 126, Breña: Tel.: 424-6370 
- Librería Jáuregui. Pasaje Malvas 103, Breña. Tel.: 431-4678
Solucionario San Marcos 
HABILIDAD 
MATEMATICA 
DECO 
[Nile twitter.com/calapenshko 
 
1. San Marcos 2010-| 1 19. San Marcos 2015-1 (A-D-E) 122 
2. San Marcos 2010-11 (A-D-E) 11 20. San Marcos 2015-11 (A-D-E) 130 
3. San Marcos 2010-11 (B-C-F) 18 21. San Marcos 2015-11 (B-C-F) 138 
4. San Marcos 2011. 27 22. San Marcos 2016-1 (A-D-E) 142 
5. San Marcos 2011-1 27 23. San Marcos 2016-1 (B-C-F) 148 
6. San Marcos 2011-11 (B-C-F) 33 24. San Marcos 2016-11 (B-C-F) 155 
7. San Marcos 2011-11 (A-D-E) 39 25. San Marcos 2016-11 (A-D-E) 162 
8. San Marcos 2012-l 45 26. San Marcos 2017-1 A-B-D) 169 
9. San Marcos 2012-11 (B-C-F) 55 27. San Marcos 2017-1(CyE) 173 
10. San Marcos 2012-11 (A-D-E) 61 28. San Marcos 2017-11 (A-B-D) 177 
11. San Marcos 2013-i 66 29. San Marcos 2017-11 (CyE) 183 
12. San Marcos 2013-11 (A-D-E) 72 30. San Marcos 2018-1 (A-B-D) 189 
13, San Marcos 2013-11 (B-C-F) 79 31. San Marcos 2018-1(CyE) 193 
14. San Marcos 2014-1 (A-D-E) 84 32. San Marcos 2018-11 (A-B-D) 197 
15. San Marcos 2014-1 (B-C-F) 94 33. San Marcos 2018-11 (Cy E) 198 
16. San Marcos 2014-11 (A-D-E) 100 34. San Marcos 2019-1(4-B-D) 205 
17. San Marcos 2014-11 (B-C-F) 107 35.San Marcos 2019-1(CyE) 211 
18. San Marcos 2015-1 (B-C-F) 114 * CLAVES 
 
ONES 
AM EE 
 twitter.com/calapenshko
Habilidad Matemática | UNMSM 
 
SAN MARCOS 2010-1 
 
1: 
 
 
HABILIDAD MATEMÁTICA 
 
Determine el número total de bolitas 
oscuras que habria en la figura 10. 
2.24% 
 
fig.1 fig.2 fig. 3 
A) 77 B) 45 C) 50 
D) 66 E) 55 
Miguel, Mario, Fernando y David son 
sospechosos de haber robado una 
billetera en una reunión a la cual los 
cuatro habian asistido. Cuando se 
les interrogó acerca del robo, ellos 
afirmaron lo siguiente: 
Miguel: Yo no fui. 
Fernando: Mario fue. 
Mario: Fernando miente al decir que 
fui yo. 
David: Yo la robé. 
Si se sabe que solo uno robó la 
billetera y que tres mienten, ¿quién 
dice la verdad? 
A) Miguel 
B) Mario 
C) David 
D) Fernando 
E) David y Fernando 
Jaime, Carlos, Alberto y Juan 
nacieron en años distintos: 1982, 
1983, 1985 y 1987, no 
necesariamente en ese orden. Si se 
sabe que el menor no es ni Jaime ni 
Juan, y que Jaime es tres años 
menor que Alberto, ¿cuál de las 
siguientes afirmaciones es correcta? 
A) Alberto nació en 1985. 
B) Carlos nació en 1982. 
C) Jaime nació en 1983. 
D) Juan nació en 1985. 
E) Carlos nació en 1987. 
En una caja hay 30 bolos numerados 
desde el 1 hasta el 30, todos con 
diferente numeración. ¿Cuántos 
bolos como minimo se deben extraer 
al azar para tener la certeza de haber 
extraido, entre ellos, un bolo con 
numeración impar menor que 17? 
A) 23 
Bj] 22 
C) 24 twitter.com/calapenshko 
D) 21 
E) 25 
En un juego se lanzan tres dardos a 
un tablero circular idéntico a la 
figura adjunta; solo se gana cuando 
los dardos inciden en sectores 
distintos y la suma de los digitos que 
figuran en ellos es un número primo, 
sin importar — el orden de 
lanzamiento. 
¿De cuántas maneras diferentes se 
puede ganar? 
SA 
 XOY 
De un concurso de baile se retiraron 
20 participantes y quedaron más de 
la tercera parte del total. Si se 
hubieran retirado 5 más, quedarian 
menos 7 participantes. ¿Cuántos 
participantes había inicialmente? 
A) 34 B) 30 ¡MELSR!¡ 
B) D) 33 E) 31
Habilidad Matemática UNMSM 
 
7. Al examen de un curso de 
Matemática, solo asistieron % del 
número total de alumnos 
matriculados. De los que asistieron, 
aprobaron los 3/5 y desaprobaron 
30. ¿Cuántos alumnos matriculados 
hay en dicho curso? 
A) 100 B) 75 C) 180 
B) D) 80 E) 120 
Si 
abc xa = 5481 
abc x b= 6264 
abc xc= 2349 
Halle la suma de las cifras de abc? 
A) 30 B) 18 Cc) 21 
B) D) 27 E) 24 
En un pais africano, la inflación en 
el mes de septiembre fue del 10% y 
la inflación en el mes de octubre, 
5%. ¿Cuál es la inflación acumulada 
durante estos dos meses? 
A) 12,5% B) 15% C) 15,5% 
D) 10,5% E) 16% 
10. En la siguiente progresión 
aritmética, m es un entero 
positivo. 
a :33; e :113 
(n+1)términos (3n+1)términos 
¿Cuál es el máximo valor de n - m? 
A) 112 Bj) 21 C) 79 
Bj D) 100 E) 50 
11. Si 
a+b=1 yab=y2, 
simplifique la expresión 
(a? + b*) (ar + b*) a (ar/2 + 7 Leda 
AJab+1 B)ba+1 C) 1 
B)D)a+1 EJO 
12. Si 
xXY = 2 (donde x > 0) 
halle el valor de la expresión 
=P 
(any (Ay + (12) 
 
2x?Y — 6x Y 
A) 3 B)11/4 C)16/5 
D) 13/4 E) 16/3 
13. En el conjunto de los números 
reales, definimos el operador $ de 
la siguiente manera: 
1 
aBb=;a + b' 
—(a + b), siab <0 
Halle r1 € (r2 € ra), sabiendo que r; 
< ra < ra son las raices de la ecuación 
(2x - 1)(2x? - 3x- 2) =0 
siab=>0 
A) 1/10 B) 1/5 
Cc) -1/10 D) 1/3 
E) 2/5 
14. Si: P(x) + Q(x) = ax + b. 
P(x) - Q(x) = a+ bx y P(5)=4, 
calcule P(Q(1)). 
A) 4/3 B) 1/3 0)5/3 
B) D)2/3 E)-4/3 
15. Si: 7% - 672) = 7**, 
Calcule el valor de la expresión 
1 
Ena=n*a- Ne =n _ 
 
Fas-nas="” 
A) 7/5 B) 87/98 
C) 4/5 D) 48/49 
E) 49/50 y)
Habilidad Matemática UNMSM 
 
16. En la figura, ABCD es un rectángulo 
y OC = PD Cp. Si M y N son puntos 
medios de BC y AD, respectivamente, 
halle la razón entre el área de la 
región sombreada y el área de la 
región no sombreada. 
 
 
 
B Mi C 
O 
P 
A N 
A) 3/5 B) 8/3 C) 5/3 
B) D) 3/8 E) 5/8 
17. En la figura, los puntos A, B y € son 
centros de las circunferencias 
tangentes. Si el radio de la 
circunferencia mayor es 5 cm, halle 
el perimetro del triángulo ABC. 
A) 5cm Bjl10cmC) 15 cm 
D)20cm Ej8cm 
18. En la figura, halle AB, dado que 
(AE)(AC) = 128. 
B 
"AO 
XÍ 
D 5 
A) 8,0 
B) D) 7,5 
B) 6,4 
E) 8,4 
C) 7,2 
19. En la figura, se tiene que Q es el 
punto medio de BC,MP//AC y 
AQ//FP. 
Si AB = 6 cm y mZMPF = =m2ZMAF. 
Halle MQ. 
 
B 
Q 
Pp 
A E C 
A) 2 cm B) 3/2cm C)1cm 
D)2/3cm Ej3cm 
20. En la figura, el radio de una rueda es 
el triple del radio de la otra. Si la 
longitud de la correa de transmisión 
de ambas ruedas mide M, halle la 
longitud del radio menor. 
3M 
A) 141+1243 
B) 
3M 
8mr+1243 
C) 
D) 
3M 
E) 
 
 
1271+843 
3M 
141+1443 
3M 
81+1443 
 
UNIMSV cammracoredto 20009 
 
SOLUCIONARIO J 
 
 
NIN SN 
HABILIDAD LÓGICO MATEMÁTICA 
1. ¿Esferas negras 
1(2 
F, > 12 Él 
213) 
Eg A 
3/4 5, 630 
Se deduce que: 
1 55| 
 
 
Rpta.| 55 
 
Miguel Mario Fernando David 
SY % Y Y 
hoi no Fernando Mario Yola 
miente fue robé 
md) O O rx 
Posición2 (M) (Y) (mM (Mv! 
. De la posición 1 si Fernando dice la verdad, 
Mario sería el ladrón. Pero hay una 
contradicción ya que Miguel al mentir 
ocultaría su acción. 
* De la segunda posición. Si Fernando miente, 
Mario no sería el que robó. Si David miente 
éste tampoco robó. Mario que dice la verdad 
éste afirma que Fernando miente. Ahora si 
Miguel miente éste está negando que en 
realidad ha robado la billetera, por lo tanto 
sería el único ladrón. 
 
 Rpta. | Mario 
1982 1983 1985 
X F 
e 
K 
Y 
Juan Xx 
 
Alberto — Jaime=3 
Jaime — 1985 
* Carlos + 1987 — Rpta.: 
Alberto + 1982 
Juan => 1983 
- Carlos nació en 1987. 
 
 Rpta. | 1987 
 
 
Esferas 30 
Se desea cualquiera de: | No desea otro 
MIOISIO, (5) — | tipo de esferas 
22 posibilidades 
8 esferas 
1.2 saca 
ga 
22 extraciones, que no l esfera que se desea 
quería 
-. 23 extracciones]-Rpta. 23 
abc 
2349 
6254 
5481 
= abc. 61383 
+ Suma de cifras es 27 
 
 
Resolución: 
Por aumentos sucesivos: 
O
 
6
 
-
.
N
r
o
c
e
e
 
Pp 
A 
O 
O 
E 
Rh
 
b
o
d
a
 
o
 
N
A
 
+
+
 
+ 
+ 
+
+
+
.
$
+
+
 4
 
N
U
 
O
o
 
b
n
 
p
o
 
inflación 105/110 
acumulación 100 o 00 | 
 
 inflación > =15,5% 
acumulación 
 
Resolución: 
* participantes =x 
 
 
¡iy x-20> E Resolución: 
Como m>0, meN 
2 
ga 
x>30 
x-2b<7 
e. 3n+1 = = 
Luego: 33 24 A4-A42113 
ALO ne 
FO Fosas o É 
33 está ubicado en el lugar n+3. 
> t,¿¿=m+r(n+2)=33 
 
 
33+(3n+2)r=113 
(3n+2)r=80 
Número alumnos=x n=106, r=1/4 
En (): m=6 
desaprobaron asistieron Para que n-m sea máximo, n debe ser 
9 3 máximo y m mínimo. 
E | (3,) | 30 n-m= 100 
Resolución: 
+ x=100 
 
 
 
 
Resolución: 
8. —Resolución: 
+b=1, ab= 
De la pregunta: 8 ab= 2 
a b 14. Resolución: 
(ab + b%)a? +10) -(22 +22) P9 +06) =áx eb 
a 2 P(x) -Q(:) =bx + a 
at+b 4 (ab)? + (ba)? +p0+b (22422) 
b a a b Sumando 
Bestando 
a+ b+ 224 22-22-22=1 po) (L+Blc+1 | | o - BEI) 
Rpta. 2 2 
12. Resolución: Dato: P(5)=4 
la+b)j6 _ «E > =d4d =>a+ b=3 
 
 
 
 
 
 
Si x? = 2 donde x>0 P(5) = 
po? . (yo Fr (xy? E 5 
2x2 6x9) PQ)? 
 
=P(0) 
 = P(0) = 
 
Rpta. 
 
 13. Resolución: 
(2x -1) (2x?-3x-2)=0 . Resolución: 
Cambiando 7” 
33 67 e") e 
Se obtiene: 
70? +6a-1=0 
7a A” 
 + + tk 
1x2 2x3 3x4 49x50 
 
Dato: El radio mayor mide 5 cm = R 
Se observa que: 
B 
r+x= E (+) 
n+y=R* 
2PiaBc) + 
2PraBc; =10 cm 
16. Resolución: 
 
 
 
 
 
 
A 21 
Forma: l 
18. Resolución: 
SroraL = 4k-4a= 16ka 
oa 
Trazamos BH._L AE 
A oa Suo soma. = 9 
SsomB. =16ka -— bka = 
 
Dato: (AEJ(AC) = 128 
2a(2a + b) = 128 
d2a +b) =64 
Se observa: ABHE — AABC 
A y (La +b)=x* >x? =64 
x 2a+b 
 
 
 
 19. Resolución: 
 
17. 
 
+ Trazamos QR//AC=mBRQ =mBAC =3a. Se observa: (y +12 + 4r/3=M 
* “Trazamos MR(mediana del AAMB) —, 
BR=AR=MR=3. 2 3r)2409 ¿ZO mM 
+ Luego ARMQ es isósceles: 3607 3609 
4 rar J3=M 
 
 
12nr + 215 + 12r 4/3 = M 
20. Resolución: EN 
141 +124/3 
 
3M 
147 +12483 
 
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Habilidad Matemática | UNMSM 
 
SAN MARCOS 2010-11 
(AREAS A-D-E) 
 
 
HABILIDAD MATEMÁTICA 
 
21. 
22. 
23. 
24. 
Si a un número par o se le suma el 
par de números pares que le preceden 
y el número impar que le sigue, se 
obtiene 403. La suma de los digitos 
del menor de los cuatro números es: 
A) 8 B) 17 Cc) 11 
D) 14 Ej 20 
Usando los digitos 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 
8; 9, sólo una vez cada uno, se forman 
tres números de tres cifras cada uno, 
tal que su suma sea mínima. ¿Cuál es 
esta suma? 
A) 774 
D) 651 
B) 876 
E) 963 
C) 1234 
De cinco amigas, Sonia, Raquel, Iris, 
Pamela y Maribel, se sabe que solo 
una de ellas tiene 15 años. Al 
preguntárseles quién tiene 15 años, 
respondieron del siguiente modo: 
Sonia: “Raquel tiene 15 años”. 
Raquel: “Iris tiene 15 años”. 
Iris: “Maribel tiene 15 años”. 
Pamela: “Yo no tengo 15 años”. 
Maribel: “Iris mintió cuando dijo que 
yo tenia 15 años”. 
Si solo es cierta una de 
respuestas, ¿quién tiene 15 años? 
A) Sonia B) Pamela C) Raquel 
D) Iris E) Maribel 
las 
En un juego que consiste en lanzar 
dos dados a la vez, Néstor, Victor, 
Mario y Javier obtuvieron los 
siguientes resultados: 3; 5; 8 y 12, no 
necesariamente en ese orden. Si 
Victor no obtuvo ningún valor par en 
su lanzamiento y Néstor obtuvo un 
puntaje mayor que el de Javier, pero 
menor que el de Mario, ¿cuánto 
11 
25. 
20. 
al. 
28. 
29. 
suman los puntajes de Javier y 
Néstor? 
A) 11 B) 13 C)8 
D) 15 E) 17 
Un número N de diez cifras tiene las 
siguientes caracteristicas: la cifra de 
la izquierda indica la cantidad de 
ceros que tiene N; la siguiente cifra, la 
cantidad de veces que aparece el 
digito 1 en N; la siguiente, la cantidad 
de veces que aparece el dígito 2 en N; 
y así sucesivamente. Halla la suma de 
la cifras de N. 
Aj 12 B) 10 Cc) 16 
D) 14 E) 8 
Si dy = 4; dy = 6 y An =_ E 
para n => 3; determine as. 
A) 24/4 B)19/4 C)4/21 
D) 21/4 E) 4/25 
Al dividir 287 entre un número 
positivo n se obtiene como cociente 
(n = 1) y de residuo (n - 2). ¿Cuál es el 
valor de n? 
A] 15 B) 18 C) 16 
D) 19 E) 17 
Halle n tal que 
1 3 n 
A 
A) 9 Bj) 10 c) 12 
D] 13 E) 14 
Si ab) = Dam)» entonces el mayor 
mvalor de n es:
Habilidad Matemática | UNMSM 
 
30, 
31. 
32. 
33. 
A) 6 B) 10 C)8 
D) 11 E) 12 
Six e (0; 7), entonces encuentre la 
suma de los extremos del intervalo al 
que pertenece: 
2 
ES 
A) 22/15 B) 28/15 C)8/3 
D) 1/6 E) -1/6 
Six -x?= 1, (x * 0), entonces los 
valores de x? + x? y x?* - x? son: 
A)2 y 3 B) 2 y 1/2 
C)3y1/3 D) 3 y 4 
E) 4 y 1/4 
¿Qué condición deben cumplir los 
números reales b y c para que el 
polinomio x? + bx + € sea divisible 
por x- 1? 
A)b=c=1 B)b+c=-1 
C)b+c=1 D)c+b=2 
E) b=c=-1 
Con el dinero que tengo puedo 
comprar 20 libros u 80 cuadernos. Si 
al final compré 8 libros, ¿cuántos 
cuadernos puedo comprar con el 
dinero que me queda? 
A) 48 B) 52 
D) 44 E) 40 
C) 36 
12 
. Si el conjunto solución de [2x—al <a 
34. Si 2% = g2yy3" 
= (3b)”, halle 3a + 2b. 
B) 96 C) 99 
E) 66 
A) 48 
D) 44 
2 
es (-3; 6), halle a. 
 
A) 3 B) -2 C) -4 
D) 1 E) -3 
. En la figura, halle x. 
R 
RA 
At E 
A 
A) 20* B) 30* E) 25" 
D) 35? E) 40? 
. En la figura, O es el centro del circulo 
cuyo diámetro es un lado del 
cuadrado ABCD. Halle la longitud de 
BP. 
B C 
4 cm 
 
Habilidad Matemática UNMSM 
 
38. 
39. 
 
 
 
 
A) 112 cm? 
A) S(VZ - 1) cm B) 104 cm? 
B) 2(V5 - VZ) cm C) 120 cm2 
C) 2(V5 = 1) cm D) 128 cm? 
2 
D) 5(2 - VZ) cm EE 
1 
E) 2(V5 - 2) cm 40. En la figura, l es incentro y G es 
baricentro del triángulo ABC, AB = 
5cm, BC = 8cm e Halle AC. 
En la figura, MNPQ es un cuadrado A) 6,5 cm 
cuyo lado mide 10 m. Halle el área del 
cuadrado ABCD. B) 6 cm 
A)32m? p Pp C) 7,25 cm 
n 
B) 25 m2 D) 6,25 cm 
B C 
C) 54 m? A Q E) 6,75 cm 
D) 36 m2 
E) 60 m2? 
a Fl 
M h | Q 
| G 
En la figura, AM = MN = NC y —=2 
PC 3 
A Cc 
Si el área de la región sombreada es 8 
cm?, calcule el área de la región 
triangular ABC. 
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13
SOLUCIONARIO 
21. PLANTEO DE ECUACIONES 
H Par =P 
P+(P-2)+ (P-4 )+(P+1) =403 
4P-5= 403 
4P =408 
P=102 
=>P-4 =102 -4 =98 
/. suma de cifras = 17 
 
 Rpta.: 
. MÁXIMOS Y MÍNIMOS 
Sean los dígitos: 1, 2, 3, 4,5,6,7,8,9 
= como la suma tiene que ser la mínima las 
cifras de centenas y decenas debe ser la 
mínima. 
SUMA MÍNIMA = 7 
 
 
774 
 
 
 
23. ORDEN DE INFORMACIÓN 
—+ 
SONIA: Raquel tiene 15 años. 
RAQUEL: Iris tiene 15 años. 
IRIS: Maribel tiene 15 años. 
PAMELA: Yo tengo 15 años. 
MARIBEL: Iris mintió cuando dijo 
que yo tenía 15 años. 
Como se puede deducir en el primer caso no 
hay contradicción; pero en el segundo caso 
si lo hay entonces asumimos el caso l. 
> Pamela tiene 15 años. 
 
 Rpta.: | Pamela 
24. JUEGOS LÓGICOS 
Los puntos son: 3, 5, 8, 12. 
Dato: Javier < Néstor < Mario 
Victor no obtuvo valor par, entonces obtuvo 
8612. 
=> Javier Néstor Mario 
| | | 
3 5 8612 
= suma = Javier + Victor = 8 
 
 Rpta.: 
. JUEGOS LÓGICOS 
0123456789 
 
 
Por Descartes: En la casilla no se puede 
escribir el número 9, por que todos serían 9 
y se debería escribir al menos la cifra 1 en 9, 
similar no se puede escribir el 8, así sucesiva- 
mente; hay solución cuando se escribe el 6. 
012345675809 
e6|2|1jojojo|1jojolo 
y de 10 cifras: 10 
 
 
 
Rpta.: 
. OPERACIONES MATEMÁTICAS 
dz + Ay 
2 
2a,=0,+04 
ad; = 
20¿= 07+03 
2a,=a,+a, 
Reemplazando: a,= 5 
27. CUATRO OPERACIONES 
287 ln_ y 287= n(n-1)+n-2 
Mk n= 17 
n-2 
Rpta.: 
SERIES 
ds Dr 14 +24... + 2 =39 
Todo por 2: 
14+42+3+4+..4+n=78nin+U_ 78 a = 
n(n+1)=156 
n=12 
 
 
Rpta. 
 
. CUATRO OPERACIONES 
ab ya) = Da 
Para que n sea máximo a debe ser máximo: 
3b1a) = b3n 
y b mínimo. 
31, = 13 
An=10 
 
 
INECUACIONES 
Del dato: 
Dex<?7 
3<x+3<10 
—2<5-x<5 ho 1 Sd 
10 x+3 3 
Dex<?7 
LT <x<0 
 
 
Reemplazando: 
mb Suma extremos: 9_1_ 22 
Ss 15 
 
Rpta. 
 
SITUACIONES ALGEBRAICAS 
. Dato cats ; 
Elevando al cuadrado: 
ao 
old) 
1 2 ik 3 
e 
Elevando al cubo: 
> Los valores son 3 y 4. 
 
Rpta.:| 3y4 
SITUACIONES ALGEBRAICAS 
«e +bx+c 
x-1 
Para que cumpla la condición entonces: 
x-1=0 
78 
iva 
ms [Ez 
INTERPRETACIÓN DE ENUNCIADOS 
33. 1libro =3S. ( 
1 cuad. =S/. e 
Dinero =20( 
Dinero =80€e 
20 = B80c 
1f =d4e 
Dato compro: 
8 <> 32c 
81 + xc =80c 
32c + xe = B0c 
x =48 
Dinero: 
 
Rpta.: 
 
HABILIDAD OPERATIVA 
34. (2P=04 5 (6h = yz 
a =16 (3by% = (33)? 
b=9 
34 +2b =48+18=66 
 
 Rpta.: | 66 
DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO 
35. |[2x-a|<a? axe (23,6) 
Entonces: 
Íx=a<a aéx=as-0 
2 2 
a* +1 a arta y m0) 
 
 
ad+a a=3 
—3<x<b6> =5 E ao--d 
a=— 2 
a 3 a=3 
/. El valor de a que satisface la desigualdad 
es3. 
 
 
 
 Rpta.: | 180 
SITUACIONES GEOMÉTRICAS 
 
x =20-2a 
(90% 8) + x=20% 4900) ...(2) 
De (2): x=20%+0-« 
RÁ 
E + De (1) 
 
 Rpta.: 
ar 
 
SITUACIONES GEOMÉTRICAS 
e 
 
Del gráfico: 
BO-= 2445 pOr teorema de 
Pitágoras 
Entonces: 
BP =BO-0OP 
 
SITUACIONES GEOMÉTRICAS 
38. 
 
En el triángulo MDC aplicamos el teorema 
de Pitágoras. 
(2)? + (x + 5) = 102 
x=3 
-. Área del cuadrado ABCD es 
(2:31 =36m:*. 
 
 Rpta.: 
ÁREAS DE REGIONES 
 
Área total = 2605x 3 
Pero 605=8 . S= 
260 x <-x3 =104 cm? 
 
 Rpta. 
104 m* 
 
GEOMETRÍA INTUITIVA 
 
 
Teorema del incentro: 
2k _5+8 
k x 
 
 
 
 
Habilidad Matemática | UNMSM 
 
SAN MARCOS 2010-I1 
(AREAS B-C-F) 
 
 
 
HABILIDAD MATEMÁTICA 
 
41. Un padre de familia ha propuesto a su 
hijo 8 problemas, ofreciéndole un 
dólar por resolver correctamente el 
primer problema, 2 dólares por el 
segundo, 4 dólares por el tercero, y asi 
sucesivamente. Si el hijo resuelve 
todos los problemas correctamente, 
¿cuántos dólares recibirá? 
A) 132 dólares 
B) 200 dólares 
C) 250 dólares 
Dj) 248 dólares 
E) 255 dólares 
42. La promoción de una nueva gaseosa 
dice que por 3 de sus tapitas se regala 
una nueva gaseosa. Si ya se tienen 11 
tapitas, ¿cuántas gaseosas más se 
podrá consumir como máximo? 
A) 4 B) 3 C) 6 
D) 5 E) 7 
43, Marisol, Rosario y Patricia nacieron en 
mayo, agosto y noviembre de los años 
1998, 1999 y 2000, no 
necesariamente en ese orden. Si se 
sabe que: 
* Las tres nacieron en meses y años 
diferentes; 
* Marisol es la menor; 
* La mayor nació en noviembre; y 
* El cumpleaños de Rosario coincide 
con el Día de la Madre del presente 
año. 
¿En qué mes y año nació Patricia? 
A) Mayo de 1999 
B) Mayo de 1998 
C) Noviembre de 1998 
D) Agosto de 2000 
18 
44. 
45. 
46. 
E) Noviembre de 1999 
Pedro, Carlos, Alberto y Luis tienen 
20: 5) 4 y 2 canicas, no 
necesariamente en ese orden. Se sabe 
que cada uno dijo: 
Pedro: “Yo tengo más que Carlos”. 
Carlos: “Yo tengo el doble de canicas 
que Luis”. 
Alberto: “Yo tengo 2 canicas”. 
Luis: “Yo tengo 4 canicas”. 
Si uno de ellos miente, ¿cuántas 
canicas tienen Luis y Pedro juntos? 
Aj6 Bj 9 cy 22 
D) 25 Ej 24 
En la figura se muestra un trozo de 
madera delgada, en la cual se 
trazaron lineas rectas formando 12 
triángulos equiláteros congruentes. 
¿Cuántos cortes rectos como minimo 
debemos realizar con una sierra 
eléctrica para obtener los 12 
triángulos separados? 
A) 3 
B) 7 
C)4 
D) 5 
E) 6 
Pilar tiene 2 hijos, una hija y 9 
nietos. José, el primogénito, tiene un 
hijo más que su hermano Jorge; y su 
hermana Carmen tiene dos hijos más 
que su hermano menor. ¿Cuántos 
hijos tiene José? , 
Aj 4 B) 3 a) 1 
D) 2 E) 5
 
 
Habilidad Matemática UNMSM 
47. Halle el valor de la expresión: 2a-b. 
A) -6 Bj) 10 C) 4 
2 14+%42%,.. Js +5+ TIT D) 12 E) 8 
48, 
49. 
50. 
al. 
5 5 
a) BV 0% 
D)2 E) = 
En el conjunto de números reales, se 
define el operador = (a + 1)2 
Si A 100 
Determine el valor de x? + 2x + 6. 
A) 7 B) 1 +vV2 
c) 1-42 D) 5 
E 21 
7 
Sea N el mayor número entero 
comprendido entre 300 y 4000, tal 
que al ser dividido entre 18; 35 y 42, 
deja siempre un residuo igual a 11. 
¿Cuál es la suma de las cifras de N? 
A) 9 B) 20 Cc) 18 
D) 14 E) 11 
¿Cuál es el valor de 
1 2 3 4 5 
— = — — — — A NN, 
A) 2/3 
D) 3/2 
B) 8/9 
E) 1 
C) Y 
Sabiendo que f(x + 6) = ax + b, f(2) = - 
14 y f(-3) = -29, halle el valor de 
19 
52. 
53. 
54. 
55. 
Determine el valor de n, sabiendo que 
el desarrollo de (x+a)2"+25 tiene 
524 términos. 
Aj) 295 Bj 305 C) 209 
D) 269 E) 259 
Si (b+c)=-bcya+b+c=2, 
entonces el valor de a? + b2 + (2 es: 
B) 242 
E) 442 
A) 2 C)3 
D) 4 
Para comprar n libros me falta S/. a; 
pero si compro (n - 1) libros me sobra 
S/. b. Si todos los libros tienen el 
mismo precio, ¿cuánto cuesta cada 
libro? 
A) S/. (a + 2b) 
C) S/. (a + b) 
(a+2b) 
Ea 
B) S/. (2a + b) 
2(a+b) D) ss == 
Sabiendo que: 
a+rb+c=0; ab+ac+bc=-7 y 
abc = -6, calcule: 
1 1 1 
e RE 
18 49 29 
A) e B) E C) 56 
7 7 
D) 36 E) 6
Habilidad Matemática UNMSM 
 
56.En la figura, ABC es un triángulo 
equilátero. Halle el área sombreada 
 
A 12 cm 
A) 1643 cm? 
B) 8V3 cm? 
C) 1243 cm? 
D) 243 cm? 
E) 20V3 cm? 
57. Un poste se quiebra dejando en pie la 
tercera parte de su altura total. Si al 
caer, su extremo superior describe un 
arco de 4V3rm de longitud, halle la 
distancia entre el pie del poste y el 
extremo superior que está en el suelo. 
A) 8V3m B)18m C)ó6m 
D) 6V3m E)9m 
58.En la figura, L,//L, y a + PB = 308". 
Halle 6. 
 
 
* >| 
a 
“ y] > 
A) 522 B)322 Cj42% 
D) 48? E) 38" 
20 
59.Determine el área sombreada en la 
figura, donde A, B, C, D son 
circulos que son tangentes entre si 
y, a su vez, tangentes al circulo 
mayor, de centro O y radio 30 cm. 
 
A) 562,5xn cm2 
B) 2501 cm? 
C) 5751 cm? 
D) 743,751 cm2 
E) 1601 cm2 
60.Un tiene recto 
volumen V cm?, Si la razón entre 
su altura y el diámetro de su base 
cono circular 
v3 
es Ea el volumen de la esfera de 
mayor radio inscrita en el cono es: 
v3 
A) 3 Vem? 
B) Even 
O) Evem 
os 
D) gy em 
E) Lvem? ) ¿Vem
AA UNMSM 2010-11 (13-03-2010) 
SOLUCIONARIO 
SERIES RAZONAMIENTO LÓGICO 
41. De la condición: (VERDADES Y MENTIRAS) 
1d e 
A Según el enunciado: 
A E La cantidad de canicas: 20, 5, 4 2 
Recuerda que: el doble 
 
Pida nl De las 4 afirmaciones una es falsa. 
 
 Analizamos la información de las 4 afir- 
Rpta.: | 255 maciones: 
Pedro: "Yo tengo más que Carlos". 
RAZONAMIENTO LÓGICO Carlos: "Yo tengo el doble de canicas que 
42. Según la información: Luis”, 
11la____ Estas3 gaseosas son consumidas Alberto: "Yo tengo 2 canicas". 
Y y quedan 3 tapitas más. Luis: "Yo tengo 4 canicas". 
Si lo que dice Carlos fuera VERDADERO, lo 
que dicen Alberto y Luis sería FALSO; lo 
Estas gaseosa es consumida cual no es posible, ya que por condición sólo 
y queda una tapita más. una es falsa. Por lo tanto lo que afirma Carlos 
es FALSO y las otras 3 son VERDADERAS. 
Esta gaseosa es consumida pero Luego: — Luis tiene 4. 
ya no alcanza para canjear. Alberto tiene 2. 
-34+1+1=5)] Pedro tiene 20 (ya que Pedro tiene 
más que Carlos). 
Rpta.: Carlos tiene 5. 
Nos piden: 4+20 = 24| 
 
 
 
RAZONAMIENTO LÓGICO 
. Según el enunciado: Rpta.: 
Personas: Marisol, Rosario, Patricia 
Meses: mayo, agosto, noviembre 
Años: 1998, 1999, 2000 
Asi: JUEGOS LÓGICOS 
"Marisol es la menor" —, Ella nació el 2000. 45. 
"El cumpleaños de Rosario coincide en el 
Día de la Madre" => Rosario nació en mayo. 
 
 
"La mayor nació en noviembre" => No es 
Marisol (la menor) ni Rosario (nació en 
mayo); por lo tanto la mayor esPatricia. 
+ Patricia nació en noviembre de 1998. 
e Ñ o 
Rpta.: | noviembre de 1998. 1.% corte por AB;
 se coloca € acir : 
 
 
2.2 por CD, se coloca encima. 
G 
4 
3.2 se corta por EF y GH. 
Hd cortes=4 
 
 
Rpta.: 
 
JUEGOS LÓGICOS 
46. 
Pd Al > 
JOSÉ JORGE 
*hijos: x+1 x a 
3x+3=9 x=2 
$ hijos de José: 3 
 
Rpta.: 
SERIES GEOMÉTRICAS INFINITAS 
a7. intros. 
52 
S 
S=5%4+ 5414144. 
55 
Multiplicamos por 5: 
53,52 1,1 5S=5%+5 4d tn 
S 
 
 
OPERACIONES MATEMÁTICAS 
48. Para resolver se debe dar forma a la parte 
externa igual a la condición: 
LA =(a+1) 
IN aos =(9+1)? 
/Azo=?- (241)? 
LA 2 (421 +1 
x=. 2-1 
Para determinar el valor de: “+2x+4+6 
lo expresamos como (x+1)?+5. 
(21418 +5=7 
 
Rpta.: 
CUATRO OPERACIONES 
. Del enunciado: 
* 3000<N<4000 
o 
N=18+11 
O o 
N=35+11 »> N=630+11 =630x +11 
o 
N=42+11 
> 3000<630x+11-<4000 
2089 < 630x < 3989 
47 < x <63 
Xoán 8 
N=630(x)+11= c30j 
 
50. RESOLUCIÓN 
Tema: Series 
Sea la serie geométrica decreciente infinita: S 
S=t, +tp+t¿+t¿+t+... 
AAA 
gd *G *q q E D< q=1 
t; Sos a 
1-q 
+ apróx. 
Análisis y procedimiento Se 
pide el valor aproximado de $. 
sti 
3 08 3 gs 
al a Sa Ne 5 
Sl tatata 
4 5 
+ ... 
 
1 1 osa 
¿S=sl+ AA At 
3 qe + de 3 
PRA 
MA A A 
1 
3 EIA 
d
s
 
| 
1 
51. RESOLUCIÓN 
Tema: Situaciones algebraicas 
Análisis y procedimiento 
De la condición 
fix + Sa (10) + b , al hacer el cambio de variable 
x+6=n, tenemos 
=> | fin)=a(n-6)+b 
Analizamos los datos: 
* f(2)=-14 
A A 
a(-4)+b=-14 > -4a+b=-14 (l) 
+ f(3)=-29 
íáIIIIAAKÁKÁS<X|A 
a(-9+b=-29 —> —9%a+b=-29 (11) 
23 
Al resolver (1) y (11), se obtiene a=3; b=-2 
Nos piden: 2a-b 
=2(3)-(-2)=8 
52, RESOLUCIÓN 
Tema: Situaciones algebraicas 
Análisis y procedimiento 
Por las características que presenta el problema; es 
decir, es operativo y tiene en su desarrollo cierta 
formación, aplicamos el método de razonamiento 
inductivo. 
Desarrollo del binomio cantidad detérminos 
(x+a)!=x+a 2=1+1 
(x+a).=4+20x+a* 3=2+1 
(+= 2+3%a+30áx+a? 4=3+1 
Se observa que la cantidad de términos se obtiene 
como el exponente del binomio aumentado en 
uno. 
Para el caso (x+aj ares, la cantidad de términos 
es 2n4+54+1=524, por dato. 
n=259 
53. RESOLUCIÓN 
Tema: Situaciones algebraicas 
Recordemos el desarrollo de un trinomio al 
cuadrado. 
(ruta l= + +22 +2 (xy +xz+4z) 
Análisis y procedimiento 
Datos: 
alb+c)=-bc (1) 
a+b+c=2 (11) 
Piden el valor de a“+b*+e?. 
Elevamos al cuadrado en el dato Il. 
(a+b+c)j¿=2* 1 > Y 
aA+bi+ c+ 2lab+ac+bc)=4
> ac+bi4e 2 alb+c) ee] alles 
—bc...dato (1) 
> al+b?+0c?+ 210] =4 
a+ ba 
RESPUESTA 
El valor de a+bt+4 e? esd, 
54. RESOLUCIÓN 
Tema: Planteo de ecuaciones 
Análisis y procedimiento 
En el problema, con un mismo capital se puede 
realizar la compra de libros de dos formas 
diferentes. Para ello, asumimos el valor de cada 
libro=S/.x. 
Entonces 
si compró si compró 
n libros [n—1) libros 
Capital: nx —a = (n-1)x +b 
— —— 
falta sobra 
nx-a = nx-x+b 
x=a+b 
55. RESOLUCIÓN 
Tema: Situaciones algebraicas 
Análisis y procedimiento 
Datos: a+b+c=0 (1) 
ab+ac+bc=-7 (ID 
abe=-6 (11) 
Piden el valor de A 1 
at Le E 
Al dividir l con Ml se obtiene 
ab+ac+bc _ -7 Lo 
abe -=6 c b 
Elevamos al cuadrado y desarrollamos el trinomio 
cuadrado 
CA A E a 
ab ac bc) 36 
 
Según el dato |, a+b+ec=0. 
 
1 1 1 0 49 
Por lo tanto, lt le 
o. 2 Le] 36 
1,1,1_.% 
at pb? el 6 
56. RESOLUCIÓN 
Tema: Situaciones geométricas 
Recuerde que el área de un triángulo equilátero 
está dada por la siguiente fórmula. 
IÓ 
MEX, "> 
Análisis y procedimiento 
En el gráfico se tiene un triángulo equilátero ABC. 
Nos piden el área de la región sombreada. 
 
 
 
ELA ge es equilátero; entonces, AB=BC=AC=12. 
> BN=4 
—+ SAayc=2S4A ABN 
Del área de la región triángular ABC se tiene 
MEE 
4 
S=12/3 cm? 
38 
RESPUESTA 
El área de la región sombreada es 123 cm?, 
57. RESOLUCIÓN 
Tema: Situaciones geométricas 
Recuerde sobre la longitud de un arco de 
circunferencia lo siguiente: 
 
 
2nRo? 
L= 
3607 
Análisis y procedimiento 
curva que descubre 
la punta del poste al 
B caerse hasta llegar al piso 
 
 
H— x13 —— 
El triángulo rectángulo CAD es un notable de 
30" y 60*. 
=> mxACD=60* 
=> m«BCD=120* 
> AD=xy/3 
Por dato del problema 
(BD =4/3x1m 
1209 
2r(2x)x TN 4/3xm 
2 x=3/3m 
Nos piden la longitud de AD =xv3 =9m 
58 RESOLUCIÓN 
Tema: Situaciones geométricas 
Recuerde que cuando L1// La se cumple 
 
 
 
 
< si L, 
Xx x=m+n 
n « Es 
Análisis y procedimiento 
Nos piden el valor de 6, se conoce que (1+(4=308", 
en el gráfico se tiene 
 
Por propiedad 
180”-a+0=/fP-902 
O=0+f8-2709 ani 
y E | 
308% 
L ¡MOL 
0=38" 
25
59. RESOLUCIÓN 
Tema: Situaciones geométricas 
Piden el área de la región sombreada. En el 
oráfico tenemos lo siguiente: 
 
En el triángulo rectángulo COB, tenemos 
OC=30-K. Aplicando el teorema de pitágoras, 
resulta (30-R)9+ 15%=(R+15)?. 
Resolviendo obtenemos: K=10 
Finalmente: 
Área de la región sombreada= 
círculo mayor circulos en blanco 
= ax(30? -2x[rx(15)? +x(10?] =2501 
RESPUESTA 
El área de la región sombreada es 250 rem. 
60. RESOLUCIÓN 
Tema: Situaciones geométricas 
Recordemos lo siguiente: 
H 
volumen 2, volumen de _ 4 3 
del cono la esfera 3 
26 
Análisis y procedimiento 
Piden el volumen de la esfera inscrita en el cono: 
c 
/ 
 
hl sR 
EE 
ML a 
2 EA 
A o pa 
Por dato 
h 4/3 
Y 2 — h=r43 
Luego, hA0OC es notable de 30% y 60?. 
Za=60" = a=30* 
Entonces, .EOB es notable de 30% y 60%. 
ds 
r 3 
Podemos plantear lo siguiente: 
4 rR3 
volumen de la esfera _ 3 _ 4? 
volumen del cono > de. r2lr/3) 
 
Hb A 9 43 343 F 
volumen de la esfera 4 
V 9 
dato | 
4 
volumen de la esfera ed 
RESPUESTA : 
1 IN "a 
El volumen de la esfera de mayor radio inscrita 
á 
en el cono es 9" em?
Habilidad Matemática | UNMSM 
 
SAN MARCOS 201 1-1 
 
61. 
62. 
63. 
64. 
65. 
66. 
Un reservorio de agua lleno hasta sus 3/4 
partes pesa 3000 kg, pero lleno hasta su 
quinta parte pesa 1900 kg. ¿Cuál es el peso 
del recipiente lleno en toda su capacidad? 
 
A) 3600 kg B) 3400 kg 
C) 3300 kg D) 3500 kg 
E) 3200 kg 
Sim-4p=3n y a==—, halle 2a 
n+p? : 
A) 32 B) 8 C) 16 
D) 4 E) 2 
Una cruz está formada de 6 regiones 
cuadradas congruentes como muestra la 
figura. Si AB = 2465 cm, halle el área de la 
cruz. 
A) 120 cm? | 7 
B) 100 cm? . 
C) 108 cm? 
D) 124 cm? 
E) 144 cm? A 
 
 
 
4 
== 
F 
— 
Una clínica de un zoológico atiende solo a 
perros y lobos. De los perros internados, 
90% actúan como perros y 10% actúan 
como lobos. De la misma manera, de los 
lobos internados, 90% actúan como lobos y 
10% actúan como perros. Se observó que 
20% de todos los animales internados en 
esa clínica actúan como lobos. Si hay 10 
lobos internados, halle el número de perros 
internados. 
A) 40 
D) 10 
B) 20 
E) 70 
C) 50 
Ana compró una bolsa de caramelos, 
consumió la cuarta parte y regaló 5; 
después Ana comió la mitad de los que tenia 
y obsequió los 5 que le quedaban, ¿Cuántos 
caramelos contenía la bolsa al inicio? 
A) 18 B) 25 C) 30 
D) 20 E) 22 
Disminuyendo una misma cantidad a los dos 
E a 
términos de la fracción propia y resulta la 
b 
fracción —. ¿Cuál es aquella cantidad? 
a 
A)3a+bB)2a+b C)ja+b 
2bE)b-a 
Da+ 
27 
67. Senx.=-D"+1 y S, 
68. 
69. 
=11+X +: +2Xp. 
n eN. Halle Sio1 — $100. 
AJO 
D) -2 
B) -1 
E) 2 
C) 1 
Se disminuye el ancho de un afiche 
rectangular en 10% y el largo en 30%. ¿Qué 
porcentaje del área original representa el 
area del afiche restante? 
A) 45% B) 63% 
D) 70% E) 56% 
C) 77% 
Halle el menor número que al ser dividido 
por 3; 5; 9 y 12 siempre da residuo 1, 
 
A) 361 B) 179C) 359D) 181E) 287 
70. Sib>0, al<b y 1 
a+wb 
< ve, determine vVb+a. 
2b 
A) 3a B) 2b c) 2Vab 
D) 2 E) 2a 
72. 
73. 
. Halleel resto de dividir: 
4(3x — 7) -(3x-5)"+8 por x—3, 
en RIx]. 
A) 32 B) -16 C)8 
D) -5 E) 12 
Una joven debe lavar n docenas de camisas; 
recibirá a nuevos soles por cada camisa bien 
lavada y pagará b nuevos soles por cada 
camisa mal lavada. Si recibió m nuevos 
soles en total, ¿cuántas camisas fueron mal 
lavadas? 
 
 
m+12an an—m m-an 
A) a+b B) a+b ) 12a+b 
12an — m 12am-—mn 
a +b a +b 
Sea a = v2 + v5. Indique el polinomio 
cuya raíz es 4 di 
Ax? +vV5x +1 DO 
B)x*-2x+2 
C)x* + V2x + 15
Habilidad Matemática UNMSM 
 
D) x* + V5x + V2 
E) x? — 14x +9 
74, Los números positivos x e y satisfacen el 
sistema: 
2log,x + 2logay =0 
log¿x — log,y = 2 
halle x + y. 
g 3 5 
A) : B) : 0) : 
Dy1 Ej = ) ys 
75. Resuelva la ecuación: 
721+2 E 5(6%) as 3q21+2 
a)! B) () 25 ); ) as ) 
DY — ln E) 125 
76. El cuadro MNPQ está dividido en 16 
77, 
78. 
cuadraditos de 1 cm de lado cada uno, Halle 
el área del triángulo ABC. 
 
A) V2cm? 
B) 24 2cm? a 
C) 3/2cm? A. 
D) V5cm? B 
E) 2cm? 
 
 
 
M Q 
Halle el área de la región limitada por el 
trapecio ABCD, si AB = 16 cm, CD = 4 em y 
2AC = AE. 
A) 40V2cm? 
B) 304 2cm? 
C) 50V2cm? 
D) 20V5cm? D 
E) 60V2Zcm? 
B A 
E 
En la figura: AB = DE y M es punto medio de 
BC. Halle la medida del ángulo MEC. 
 
 
28 
Fa, 
80. 
A) 340 
D) 320 
B) 360 C) 330 
E) 370 
Una empresa, que transporta combustible 
en la cisterna cilíndrica de la figura, cobra 
por decimetro cúbico el precio de b nuevos 
soles por cada kilómetro recorrido, Si 
recorrió w kilómetros con la cisterna llena, 
¿cuánto cobra la empresa en nuevos soles? 
 
 
 
 
 
140rbw 
B) —=— 
3 
0) 560001 bw 
3 
140000xbw 
3 
15001 bw 
7 
En la figura se muestra un cubo donde ÁN 
es su diagonal. 
1 
SI EF = y (AE + FN) y el área de la región 
triangular AED es 21 2cm? halle AB. 
B) 2V3cm B 
C) V3cm 
D) 4V2cm 
E) 3V3cm 
 
A, 
A) 2V2cm 
 
 
 O 
 
 
EIA PAS Il) 
SOLUCIONARIO 
poo DS BE 
E 
2 
Peso _ Pesodel _, Pesodel (3L)? +(2L) =(2465) 
del recipiente, líquido , 1312 =4x65 
reservorio R 20k L? =20 
Sea el contenido total =20k , 
ATOTAL =66S, donde: S=L 
3 La Sa 
(-) 
; del contenido: 4k+R=1900 Rpta.: | 120 cm* 
k=100 » R=1500 
El peso del recipiente lleno es: 20k+R 
20-100 +1500 
 
 
 
 
 Rpta.: | 3500 kg perro 
actúan como 
CUATRO OPERACIONES lobo 
2 Ss m-p actúan como 
im-4p=3n a a= en lobo 
m-p-3p=3n actúan como _ 
m-p=3n+3p perro o 
m-p=3 (n+ p) 20 _ 
Piden: 2.? e 
ar 2-3 >0-3 +. N.? de perros: 7k =70 
n+p 
 
 Rpta.: 
 
 FRACCIONES 
65. Acaramelos=x 
 
 
 
 
 
 
 
67. Sesabe que: x, =|-1)" +1 
5; =XFXg94X3+Xg FX +... PX, 
1 2 3% %m o“ 
5 =04+2+0+2+0+..4+ 2 + O 
| a 
E =0+2+0+2+0+...+ 2 
- Sto1—S1o0 = 0 
 
 
 
AFINAL 
 
 
7 
102 
7 63 
—A=—LA= (100% 
10 100 100 ) 
. ÁFINAL = 63% 
 
 Rpta.: 
CUATRO OPERACIONES 
o 
N=3 +1 
o 
N=5+1 
o o 
N=9+1 = N=180+1 
N=12 +1 N__ =180+1 
2 N,. =181 
 
 Rpta.: 
70. 
ACI - DESI AD 
JE 
b>0, a <b, A 
: 2d > 
a<b 
A co 
+24b y ob 
a+b 
as =b =2a 
E RS 
 
 Rpta.: 
D ION LIDIANA 
4(3x - 7% -(3x- 5)" +8 
x-3 
Teorema del resto: 
x3=0 =- x=3 
Reemplazando en el dividendo: 
48 -3-7P - (3-3-5P +8= 
Rc — RÁ 
go. - ¿20 48=8 
 
 
 Rpta.: 
INTERPRETACIÓN DE 
ENUNCIADOS 
* camisas 
PP mal lavadas 
12n 
¿Xx 
* camisas -12n-x 
bien lavadas ' 
al12n-x)-bx= m 
_12an—m 
= a+b 
¡A a 
| po 1 
—] El 12 Lan mo 
| ai. al qe 
ECUACIONES 
Sea a.= 12 +45 
a?=7+24/410=x A xo =7- 210 
x2-14x+9=0 
 
 
Rpta.: | x?-14+9=0 
 
LOGARITMACIÓN EN R 
2logz x+2log, y=0 => logz Ae =0;x, ye R* 
xy =1 la) 
logz x-log, y=2 > log 5=2 
=4 
De (a) y (Pp): 
 
Rpta.: 
 
HABILIDAD OPERATIVA 
75. 22%+2_ 5(6x)- 32x+2=0 
42:24 4(2xx 39) 9(2:x 3) -9F 2 =0 
4x2x(2x 439x324 3%) =0 
(2% 4 3%)(4x 2* -9x3%)=0 
 
 
 
 
8 11 
2 
x1 A, ==7+ 
=2 cm 2 
Rpta.: | 2 cm 
As 
 
SITUACIONES GEOMÉTRICAS 
77. Prolongando DC hasta F => CF=12 
* Luego: 12x4=axa> q - /48 
* Ahora: h?= /48. -4? > h=442 
- Área del trapecio: 
(1620).445 00% am 
Rpta.: 
 
 
ACI MÉTRI 
78. Por dato: AB=ED , 
Trazamos BD => m XD
 
 
 
 
 
79. 
 
a-av2 
2 =2/2= a=2 
 
 Rpta.: 
twitter.com/calapenshko 
 
 
81. 
82. 
83. 
84. 
85. 
SAN MARCOS 2011-11 
(ÁREAS: B-C-E) 
Cuatro estudiantes, luego de rendir un 
examen, obtuvieron 10, 11, 14 y 15 de 
nota. Si Aldo obtuvo nota impar; Hugo y 
Dante obtuvieron, cada uno, menos nota 
que Juan; y Hugo obtuvo más nota que 
Aldo, ¿cuál es el promedio de las notas de 
Juan y Dante? 
A) 10,5 
D) 12 
B) 14,5 
E) 13 
C) 12,5 
Pedro y sus amigos desean entrar al cine, 
por lo cual deben pagar en total S/. 200; 
pero 5 de ellos no tienen dinero para la 
entrada, por lo que los demás deben aportar 
S/. 2 más de lo previsto. ¿Cuánto pagó 
Pedro? 
A) S/. 20 
D) s/. 10 
B) S/. 8 
E) S/. 9 
C) s/. 12 
Se compra un artículo en p nuevos soles; 
?en cuánto debe venderse si se desea ganar 
el rd del precio de venta? 
100+r A) 
B) p(100+r) 
100 
p(100—r) 
) 100 
100rp 
) 100-r 
E) 100p 
100=r 
100p 
 nuevos soles 
nuevos soles 
nuevos soles 
 nuevos soles 
nuevos soles 
Se tiene 127 números consecutivos enteros 
positivos. Al dividir el mayor entre el menor 
de ellos, se obtiene 29 de residuo. ¿Cual es 
la cifra de las unidades del producto del 
centésimo segundo y del vigésimo tercer 
número? 
A) 1 
D)6 
B) 3 
E) 2 
C) 4 
Un joyero fabrica un total de 16 anillos, 
unos de oro y otros de plata. Si vende 3 
anillos de cada metal precioso, le queda un 
número de anillos tal que el número de los 
de plata es el cuádruple de los de oro. 
Indique la proposición verdadera referida al 
número de anillos que fabricó el joyero. 
A) 5 anillos de oro 
B) 11 anillos de oro 
33 
86. 
87. 
BB. 
89. 
90. 
31. 
0) 5 anillos de plata 
D) 10 anillos de plata y 6 de oro 
E) 6 anillos de plata y 10 de oro 
Un vendedor tiene cierto número de 
naranjas; vende la mitad a Juan y la tercera 
parte del resto a Pedro; si le quedan aún 20, 
¿cuántas naranjas tenía al inicio? 
A) 80 B) 60 C) 90 
D) 40 E) 50 
Un señor tiene cien mil cabellos. Si cada tres 
dias pierde 360 cabellos y cada semana le 
crecen 140, ¿en cuántos días se quedará 
completamente calvo? 
A) 820 B) 960 C) 1000 
D) 780 E) 980 
Lucia, Julia y María están en una 
competencia ciclística sobre una pista 
circular y comienzan, simultáneamente, de 
la misma línea de partida y en la misma 
dirección. Si Lucía completa una vuelta en 
50 segundos, Julia la completa en 48 
segundos y María en 60 segundos; ¿después 
de cuántos segundos pasarán las tres juntas 
por la línea de partida? 
A) 1200 B) 600 
D) 800 E) 1800 
C) 900 
¿cuál es el menor semiperimetro que puede 
tener un rectángulo de área 357 cm? si la 
medida de sus lados, en centimetros, son 
números enteros? 
A) 58 cm B) 38 cm 
D) 17 cm E) 28 cm 
C) 51 cm 
Halle el residuo que se obtiene al dividir 587 
entre 9. 
A) 5 
D) 3 
B) 2 
E) 4 
c) 1 
Sean x e y dos números positivos 
si [E-3 [2 - 1, halle, 
dy da x 
13 5 15 
Ns uds ON
 
92. 
93. 
94. 
95. 
96. 
97. 
D) E E) , 
9 8 
Indique la expresión que se obtiene al 
simplificar 
z 2 y E 
398. 
2-ab 
siendo ab > 2. 
2 2 
Ad BD +1 
)1 2 D)2 : 
) as ) ab 
Bots 
La suma, el producto y el cociente de dos 
números son iguales a K. Halle K. 
1 
AJO 5 C)1 
1 
D)=.¿ E) — 3 99, 
Asuma la existencia de todas las raices 
reales, para A, B y C números reales 
adecuados, en la expresión: 
 
Halle €. 
A) 2B-A B)2VA — YB 
C)IVA-VB D)A—B 
AB 
Ey 
Sea f: (-2; 7]>R la función definida por f(x)= 5 
-|x — 1|. Halle el rango de f. 
A) (-2; 1) B) (-1; 5] 
D) (-2; 6] E) (1; 2] 
C) (-1; 2) 
En la figura, si a + fi + y = 40009, halle x, 
A) 200 
B) 409 
C) 300 
D) 500 
E) 609 
 
En la figura ABCD es un trapecio isósceles; P 
y T son puntos de tangencia. Sila longitud 
de la base mayor es el triple de la base 
menor y PT = 4,8 cm, halle la longitud de la 
base menor. 
34 
 
 
A) 3,5 cm 
B) 3,6 cm F 
03 cm 
D) 3,8 cm 
E) 3,2 cm D A 
Un triángulo tiene dos lados de ¡igual 
longitud L = 4 m. si el área del triángulo es 
6 m?, ¿cuál es la longitud de su altura 
respecto al tercer lado? 
A)V2 + 87m 
B) .17+847m 
C).2+8V7m 
D)42 + 77m 
E) [7+2V7m 
En la figura, Dia Ri =Hías 2, 
Halle el perímetro de la región sombreada, 
en centimetros. 
A) 300x cm 
D) 32012 cm 
B) 250 cm C) 280x cm 
E) 270x cm 
100. La figura muestra una esferita de acero 
suspendida por la cuerda flexible QH. Se 
impulsa la esferita en el sentido indicado de 
tal forma que manteniéndose siempre tensa 
la cuerda, la esferita lleva a MN. Calcule la 
longitud recorrida por la esferita, si MN = NP 
= PQ = 9cm. 
1 
B) 12x cm Cjércm 
A CUIT 
A) 107 cm 
D) 9rcm
UNMSM 2010-11 (12-03-2011) des e e 
 
SOLUCIONARIO 
ORDEN DE INFORMACIÓN 
sl. 10 11 14 15 
Aldo No Sí No No 
Hugo No No Sí No 
Dante Sí No No No 
Juan No No No Sí 
Juan=15 Dante=10 
Promedio= A =12,5 
PLANTEO DE ECUACIONES 
82. Número de personas: x 
200 _200 _ 
> x5 x “a 
x=25 
Cada uno aporta y = 10 
PORCENTAJES 
Pc=p 
G=r%Pyv 
Pu=Pc+Pu 
Pu=p+=——Py 
P*00 
Pg Pp 
a 
100 -—r 
Puy = 
Pisa 100p 
100 -r 
Rpta.: 100p_ nuevos soles 
100-—r 
 
 
 
35 
CUATRO OPERACIONES 
84. ti, to, ta, L4...t197 
x+1,x+2,x+3,x+4..., x+127 
>x+127=(x+1)3+29 
x+127-29=(x+1)q 
x+98=(x+1)q 
x+1+97=(x+1)g 
x+1+97 
y x+1 
entero 
x+1 97 97 
4d A 
=>x+1=-97 
x=9%6 
 
Producto = (Xx + ES 1 = 2 
 
Producto=...2 
Rpta.: 2 
PLANTEO DE ECUACIONES 
85. Del dato 
O:x 
P: 16-x 
16 anillos 
nos dicen que 
4(x-3)=(16-x)-3 
x=5 =0=5, P=11 
Por lo tanto, la proposición verdadera es 5 
anillos de oro. 
PLANTEO DE ECUACIONES 
Donde 
Juan: (Ea P ñ 
 
A le OO Io 
 
Por dato 
3n+ n+20=6n 
4n+20=6n 
10=n 
El número de naranjas es 6(10)=60. 
Rpta.: 60 
PLANTEO DE ECUACIONES 
87. Sea n el número de días que pasó para 
que quedara completamente calvo. 
100 000 - 120n +20n =0 
n=1000 
Por lo tanto, se quedará calvo en 1000 
días. 
Rpta.: 1000 
CINEMÁTICA INTUITIVA 
88. Para que lleguen al mismo tiempo a la 
línea de partida. 
* Lucía +50” 
* Julia + 48” 
+ María >50" 
Tiempo mínimo: mcm(50, 48, 60)=1200 
Rpta.: 1200 
MÁXIMOS Y MÍNIMOS 
89. y 
 
 
 
bc) (y) = 357 
IS 
7 51 
¿y 
Para que sea mínimo: x= 21 
y=17 
x+ y=38 
Rpta.: 38 cm 
90. De (589 entre 9, se obtiene 
(9 + 46 = 9 + 4369 4 (43 
=9+(9+ 1,2 
=94+9+1]2 
Jo 
«04 1 
Por lo tanto, el residuo que resulta es 1. 
 
 
 
Rpta.: 1 
SITUACIONES ALGEBRAICAS 
x Y pe. ql, -1 
21. dv dx 
2 y 2Yx y 
Cambio de variable 
a3 cd 
2 2a 
a? -3=2a 
al-2a+3=0 
a 3 
a +1 
>a=3Vva=-l1* 
> J2=3>%=9 => 
y v 
x-y 9-1 _8 
x 9 
Rpta.: E 
SITUACIONES ALGEBRAICAS 
2 2 AA 
2-ab o 
Cua A 
4 4 a A DN 19) 
——ab AA UN 
M = ab = ab o 
 
AU Ml e 
 
 
 
m=É == 06) _24ab SITUACIONES ALGEBRAICAS 
95. Calcule el rango de f. 
2,7 R 
¿M=2+1 EST 
ab x y=f(x) 
Eptas: Á- +1 y=fb)=5- |x-1| 
ab 2exs7 
CUATRO OPERACIONES ARO 
O=<|x-1|<6 
93.0+b=ab=% =k 6<-|x-1|<0 
=1<5-|x-1|<5 
i) a=bk 5-|x-1] 
-1< ys5 
ii) a+b=ab 15 
bk + b= bk:b A ra 
k+1=bk Pb 
ii) bk-b=k SITUACIONES GEOMÉTRICAS 
=b?=1= b= 
GS 96. Calcule x. 
Dato: a + fi + y = 400? 
Enii:k+1=-k Propiedad 
2k =-1 
1 k=-= 
2 
 
Rpta.: E 
 
 
 
 
Ñ En el gráfico tenemos 
SITUACIONES ALGEBRAICAS 
94. YYA -/B ==. EE EE 
Elevando al cuadrado resulta 
VA 8 = JA -JA-C En la región sombreada se obtiene por 
VB =Y/A-C propiedad lo siguiente: 
2x + 180” -a + 180%=y =P 
Otra vez se eleva al cuadrado Lx = a+p+y- 360". Ni 
2 O) 
N o x= a yO IN Rpta.: A- B mn 
 
AAA le Oo) 
 
SITUACIONES GEOMÉTRICAS 6 
ab=6 3 a=+* 1) 
97. En el trapecio isósceles, calcule BC. b 
l6=b*+ 4 (2) 
(1) en (2) 
6 2 
16=8*+|$- 
Resolviendo 18-2W/7 
Rpta.: v8 27m 
 
 
PERÍMETROS 
BC//PT y PT//AD , . 
na 99. 2Ri=) 
Base menor i=1 i=1 
a+b=x R+R +R¿+...+R,= 124224324... 472 
Base mayor -IRBATS 
mina R, FR¿+R¿+...+R¿= 6 
Como BP+CT=a+b=x R, FR¿+R,+...+R,=140 
PA+TD=m+n=3x Luego 
se concluye que EL 2Pp y = 2R,+R+R3+...+R,) 
PA 3 DET E 
2Po ¿ = 280n 
Rpta.: 2801 cm 
SITUACIONES GEOMÉTRICAS 
 
 
 
 
Datos: PT = 4,8cm = sE 
 
 
4 
x=32 
Rpta.: 3,2cm 
AREAS Longitud recorrida 
98 B Ls 2nx21 2rx12 2x3 
s=“B=6 E AN 
4 4 Longitud recorrida: 7x1 + Esñi 
Longitud recorrida: 107 dy me ALO 
HO R 
pl 
AS 
 
Habilidad Matemática | UNMSM 
 
SAN MARCOS 2011-11 
(ÁREAS: A-D-F) 
 
103, De cinco amigos que 
Si cierta cantidad de bolas se cuenta de 4 
en 4, sobran 3; si se cuenta de 6 en 6, 
sobran 5; y si se cuenta de 10 en 10, sobran 
9. ¿Cuál es el número mínimo de bolas que 
se tiene? 
A) 57 
B) 129 
C) 60 
D) 59 
E) 119 
En un estante se han colocado 120 
juguetes: 95 de ellos usan pilas, 86 tienen 
ruedas, 94 son de color rojo, 110 son de 
plástico y 100 tienen sonido. De todos estos 
juguetes, ¿cuántos tienen todas las 
caracteristicas mencionadas? 
A) 5 
B) 25 
015 
D) 12 
E) 10 
rindieron un 
examen, se sabe que: Juan obtuvo 20 
puntos más que el doble del puntaje de 
Luis; Aldo, el triple del puntaje de Pedro; 
Pedro, el doble del puntaje de Carlos; y 
Juan, el cuádruple del puntaje de Carlos. 
¿Quién obtuvo el mayor puntaje? 
A) Pedro 
B) Carlos 
C) Juan 
D) Aldo 
E) Luis 
Al multiplicar el número de mis hijos por 
31 y la edad del mayor por 12, la suma de 
los productos resultantes es 170. ¿Cuál es la 
edad de mi hijo mayor? 
A) 2 años 
B) 7 años 
C) 9 años 
D) 8 años 
E) 13 años 
El peso de dos botellas es (2x —- 3)kg y el 
peso de media docena de ellas es (a + x)kg. 
Si todas las botellas tienen el mismo peso y 
39 
nueve botellas pesan (2a + x/2)kg, halle el 
peso de una botella. 
A) 2kg 
B) 2,5kg 
C) 3kg 
D) 3,5kg 
E) 1,5kg 
Un número racional de denominador 112 
es mayor que 1/8, pero menor que 1/7, 
Halle la suma de las cifras de su numerador. 
A) 15 B)6 Cc) 8 
D) 14 E) 9 
Dos cajas contienen en total 825 
naranjas, y una de las cajas tiene 125 
naranjas más que la otra. ¿Cuál es el valor 
de la caja que tiene más naranjas si una 
docena de naranjas cuesta S/. 3,607? 
A) S/. 142,50 
B) S/. 105,00 
C) s/. 171,00 
D) S/. 152,40 
E) S/. 123,50 
Si la suma de los digitos del número abc 
es 9, calcule 
1, abc + Y, cab + Y, bea 
A) 909 n 
B) 989 n 
C) 969 n 
D) 999 n 
E) 979 n 
Halle la edad de cierta persona, sabiendo 
que la suma de los años que tiene más su 
edad en meses es igual a 470. 
A) 36 años, 2 meses 
B) 34 años, 8 meses 
C) 35 años, 5 meses 
D) 37 años, 4 meses 
E) 38 años, 9 meses 
A lo largo de un camino AB, se coloca n 
piedras separadas 2 metros una de otra; la 
primera en A y la última en B. Se coge la 
primera piedra y se la lleva a B recorriendo 
la menor distancia; se coge la segunda 
piedra y se la lleva a B, recorriendo también 
la menor distancia; y así sucesivamente. Si
 
Habilidad Matemática. twitter.com/calapenshko UNMSM 
al terminar se ha recorrido 20 veces la 
distancia entre la primera y la última piedra, A) 572u* B) 550u* C) 375u* 
halle n. D) 250u* E) 275u* 
A) 19 B) 20 C) 21 
D) 22 E) 23 117. En la figura, si m + BA = 309 y el radio 
mide R cm, calcule mL 
Halle el mayor número real r que 
satisface la relación r < + 4x + 6, para todo 
xeR 
A) -2 B)O c)1 
D) 2 E) -1 
112. Siab = 3 y a? + b? = 19, calcule el valor 
de a? + b?. 
A) 75 B) 60 C) 80 
D) 120 E) 90 
Halle el conjunto de los primeros reales x, 
tal que la suma del número x y su inverso 
multiplicativo sea mayor que 2. 
A) [x e Ríx > 1) 
B) (x e R/x < 1) 
O) (x e Ríx < -1; 
D) (x e Ríx +0) 
E) (x e Rx > 0/x + 1) 
La suma de los cuadrados de dos 
números reales positivos es 11 y la 
diferencia de sus logaritmos, en base 10, es 
1/2. Determine el producto de dichos 
A) VII B)vV10 C) 10 
D)W7 E) V10 
115. $12 +1 +5x2=12, 
halle 2(y + 1) 
A) Log,9 
B) log,3 
C) 3log,5D) 7log,7 
E) 1/2l09,3 
116. En la figura, la región sombreada se divide 
en dos partes equivalentes. Halle el área de 
una de ellas. 
 
40 
A) V2R cm 
B) 2V2R cm 
Z 
108) en cm 
D) 4W2R cm 
E) Pe om 
118. Halle el área de la región limitada por el 
gráfico de la relación. 
R =((x, y) ER?/x = ly] Vx = 5) 
A) 25u* B) 20u* C) 30u* 
D) 15u? E) 12,5u? 
119. Se divide la altura de un cono circular 
recto en 3 partes iguales por 2 planos 
paralelos a la base. Si el volumen del cono 
es 54m?, determine el volumen del tronco 
de cono con bases en los planos paralelos. 
A)16m? B)12m? C) 15 m* 
D) 14m? E)10m* 
120. En una figura, AH = 8 cm y HC = 1 cm. 
Halle BC. 
 
 
A) (4113 — 8)cm 
B) (V110 — 8)cm 
0) (V15-8)m Lo 0 
D)(V1O07-8B)em 2 
E) (V119-8)cm |
 
SOLUCIONARIO 
HABILIDAD MATEMÁTICA 
RAZONAMIENTO ARITMÉTICO 
101.N.? de bolas: 4+3=4 - 1 
6+5=6-1 >60-1 
10+9=10- 1 
:. N.2 de bolas=60k - 1=59 
1 
Rpta.: 59 
JUEGOS LÓGICOS 
102. Intersectamos juguetes de plásticos con 
juguetes que tienen sonido 
U: 120 
S(100) 
o: 
Luego, la intersección con juguetes de 
color rojo 
 
P(110) 
 
U: 120 
 
R(94) 90 
 
Después, la nueva intersección con jugue- 
tes que tienen rueda 
U: 120 
 
R(86) 64 
 
Finalmente, esta nueva intersección con 
juguetes que usan pilas 
U: 120 
 
P(95) 30 
 
Rpta.: 5 
PLANTEO DE ECUACIONES 
103. Ju Lu Al Pe Ca 
áx: ? 3(2x); 2x; x 
 
=> 4%=2Lu+20 
2x=Lu+10 
Lu=2x - 10 
Por lo tanto, Aldo tiene mayor puntaje. 
Rpta.: Aldo 
 
 
ECUACIONES DIOFÁNTICAS 
104.31n+ 12e=170 
2 9 
-. 9 años 
Rpta.: 9 años 
PLANTEO DE ECUACIONES 
 
2x3) arx 2t5 105. Peso por botella= == ; 2 
(i) 2x-3_a+x>6x-9=a+x 
7 f 5x-9=a 
1 3 
x 
RR 2a+= 
WE 
2 3 
3a+3x=4da+x =>2x=a => 
En (i) 
ix - 9=a=2x => 7 >x=3 
/. Peso por botella= F=1,5 kg 
2 
Rpta.: 1,5 kg 
FRACCIONES 
4 : A ar el a racional 112 
Lts Lost 
8*112*7 
Multiplicamos por 112 a los términos de la 
desigualdad 
14 <a <16 => a=15 
Luego suma de cifras de a 
ii 1+D=6 
Rpta.: 6 
PLANTEO DE ECUACIONES 
 
107. 825 naranjas 
GAR, CEN, 
x x+125 
2x+125=82 => x=350 
Caja A = 350 naranjas 
Caja B = 475 naranjas 
12 naranjas .. 
 
0 
475naranias «a. Ol. Y 
Desarrollando la regala de 3 simple 
y=142,5 soles 
 
Rpta.: S/. 142,50 soles 
SUMATORIAS 
108. Dato: o 
Suma de cifras de abc=9 
Calculando 
n _ n _ n _ 
Y (abc)j+ Y cab+ Y bca 
5 il ia 
(1+1+...+1) (1+1+...+1) 
ntérminos ntérminos 
(1+1+..,+1) 
ntérminos 
>nlabc)+nicab)+n(bca) 
nlabe+cab+bca) .. n(999) 
Rpta.: 999 
EDADES 
109. Edad: x años y meses 
x+12x+ y=470 
13x + y=470 
tl 
36 2 
'. 36 años y 2 meses 
Rpta.: 36 años, 2 meses 
SERIES 
 
 
 
 
111. 
112. 
113. 
 
3 vez (m2)vez [(n-1) vez => 
2[n-1]4+2[2 lp +2[2(n-3)]+...2[2(2)14-2[2(111 
=20(2(n-1)) 
2(n-1)+4[(n-2) + (n-3)+...+2+1] 
=20[2(n-1)] 
ap -2)(n-1) 
1. vez 
, |- 19[2/n-1)] 
- n=21 
Rpta.: 21 
MÁXIMOS Y MÍNIMO 
rex?+4x+6 
r< (x+2)2+2 
x==2 rd 
Rpta.: 2 
ECUACIONES 
Datos 
> P+bi=? 
> +b?=19 (1) 
” ab=3 (2) 
La ecuación (2) x 2 + la ecuación (1) 
(a+bf =25 
=>a+b=5 (3) 
La ecuación (3) al cubo 
(a+bP=5* 
a? +b? +3(ab)(a + b) =125 
3 5 
e +b=80 
Rpta.: 80 
DESIGUALDADES 
xeR 
js => X361 
XxX 
Además, x > 0 
 fxe Rihx>0 a xx 1) 
Rpta.: (x e R/x>0Axx%1 
LOGARITMO 
114.4? + b?=11 
LOGARITMO 
115.224+1 + 5 x 2Y =12 
Haciendo 2Y = a 
axb=>? 
Rpta.: 10 
21202 +5x2Y-12=0 
20? + 54-12 =0 
2a 3 
a +4 
>a=342 Y 
P2=3/f2 . 
(y + 1) = log,3 
v-4 k 
oy+l =3 
> 2(log,3) = logy3? = log,9 
Rpta.: log,9 
RAZONAMIENTO ANALÍTICO 
 
116. Primero hallamos el área de toda la región 
sombreada. 
(10, 20 
(20, 25) 
--+(30, 20) 
 
 
 
 
Por dato, la región total se divide en dos 
partes equivalentes, por lo tanto, el área 
de una de las partes es: 
2 
A 
Rpta.: 275 u? 
SITUACIONES GEOMÉTRICAS 
117. Trazando 6B y MB-formamos un triángulo 
equilátero y a su vez generamos un trián- 
gulo rectángulo notable BNM de 45”. 
3p_A 
Au
 
 
Rpta.: 2 cm 
SITUACIONES GEOMÉTRICAS 
118. Graficando las relaciones dadas 
| a =1y] 
 
 O 
+. Región sombreada: 1025 ue 
Rpta.: 25 u? 
 
119. Por dato, la altura del cono se divide en 3 
partes iguales mediante planos paralelos. 
 
Dato 
Va = 27k = 54m? >k = 2m* 
Nos piden el volumen del tronco. 
V, =8k-k 
V, =7k= 7(2m%) = 14 m* 
Rpta.: 14 m* 
SITUACIONES GEOMÉTRICAS 
 
120. Trazamos líneas adecuadas para formar 
triángulos isósceles. 
 
 
 | 7 | 
H 7+1 1-3 
Aplicando el teorema de Pitágoras 
HR [ie bc+1P? = 2-1 
>x? + 16x -49 =0 
k3= - -16+ 116)? - 4(1)(49) 
21) 
Xx2= —3 + 413 
 
Nos quedamos con el. valor positivo 
113-8 NS a mn Y " as DAD) 
lr e aa E o 
Rpta.: (/113 13-8)c em 
44
Habilidad Matemática UNMSM 
 
 
121. Para llegar a su colegio, un alumno debe dar 
560 pasos. ¿Cuántos minutos demorará en 
llegar, si da dos pasos en la cuarta parte de 
medio minuto? 
A) 34 minutos B) 36 minutos 
C) 35 minutos D) 33 minutos 
E) 37 minutos 
122. Se tiene una bolsa de caramelos, donde n 
tienen sabor a limón, 5n sabor a fresa y 3n 
sabor a piña. ¿Cuál es la mínima cantidad 
de caramelos que se debe extraer de la bolsa 
para tener la certeza de haber extraído, al 
menos, 5 caramelos de cada sabor? 
a) Zn 8)5n c)%n D) QQ 
123. En un zoológico, hay cuatro gas: Fla 
Meteoro, Rayo y Viento. Viento tiene 32 aña 
más que Meteoro, pero 14 menos que 
Rayo tiene tantos años como la suma de ás E 
edades de Viento y Meteoro. Si dentro 
años la suma de las edades será igué 
siglos y medio, ¿qué edad tiene Rayo?*= 
A) 40 años B) 48 años C) 38 años 
D) 62 años E) 20 años 
124. Un cubo de madera de 2 m de arista es cor- 
tado en cubitos de 2,5 cm de arista. Los cu- 
bitos obtenidos son colocados en línea recta, 
juntos, uno a continuación de otro sobre un 
plano horizontal, formando una fila. Halle la 
longitud de la fila. 
A) 256km B) 51,2 km 
D) 128km E) 5,12 km 
125. Se tiene tres reglas calibradas, de 48 cm cada 
una. La primera está calibrada con divisio- 
C) 12,8 km 
nes de > em, la segunda, con divisiones de 
S cm; y la tercera, con divisiones de Som. 
Si se hace coincidir las tres reglas en sus ex- 
tremos de calibración, ¿cuántas coinciden- 
cias de calibración hay en las tres reglas? 
 
 
 
 
Ld pm] 
47 e 
 
> 
A) 13 B)14 C)4 
D) 12 E) 15 
126. Sean a y b números reales positivos. Si 
(2 $ (2 =2, calcule: 
ba e ap de pe 
NN 
) 100 B) 150 C) 200 
175 E) 120 
fine el operador $ en el campo de los 
 
 
 
__—A) -960 B) -64 C) -1088 
D) -1024 E) -32 
128. Un sapo se dirige dando saltos desde el punto 
A hacia el punto B, distantes entre sí 100 cm. 
Si entre ambos puntos está el punto C a 12,5 
cm de B, ¿con cuántos saltos llegará a €, si 
en cada salto avanza la mitad de la distancia 
que le falta para llegar a B? 
A)4 B6 C)5 D)3 E) 2 
129. El cuadrado de un número primo "p" suma- 
do con el cuadrado del consecutivo a "p" 
más 80, es un número de tres cifras, igual al 
cuadrado de otro número primo. Halle la 
suma de cifras de "p". 
A) 11 B) 10 C) 5 
D) 8 E) 9 
130. ¿Cuál es la cifra de las unidades del número 
M= 117 914 x 314 1177 
A)4 B)8 C)7 D)2 E)6
Habilidad Matemática UNMSM 
 
131. Una playa de estacionamiento, de forma rec- A) ÉCtga 2 B) ÉCtg2a ,,2 C) 3 Tg2a .2 
tangular, tiene un área de 1200 m? y puede 2 2 2 
atender, diariamente, un máximo de 100 ve- 
hículos entre autos y camiones. Si la región D) CCtg2 py?) 3192 py? 
rectangular reservada para cada auto es de 
10 m? y para cada camión es de 20m? sien- 137. Si el área de ircular recto es igual al 
do la tarifa diaria de S/. 8.00 por auto y | el área de un cono circular recto es igual a 
, E área de un círculo cuyo radio tiene la misma 
S/. rias menes ¿cuál sería la máxima longitud que la generatriz del cono, halle la ra- 
o zón entre las longitudes de la generatriz y el 
A) S/. 800.00 B) S/. 940.00 C) S/. 960.00 radio de labase del cono, en el orden indicado. 
D) S/. 920.00 E) S/. 840.00 
Eo pr cf 
 
] 3 _ 3 1 3 
132. Si (3x1) “3 9' con xz, halle 
5-1 2 
aisetca D)2 EJ4 = 
3 138. La base mayor de un trapecio isósceles mide 
igual que una diagonal y la base menor mide 
133. Si x=l0g 4 3V81 , halle el valor de x. el doble de la altura. Halle la razón entre las 
A longitudes de la base menor y la mayor; en el 
rden indicad aniaicoho teo “mes 3 7 3 D)-"3 E) -3 
AHH 24 7 7442 aX 8) o) 
134, Si el conjunto solución de la inecuación 
[deca alive ++) 20 2 E E) * 
 
x"-21x+4 139. En la figura, halle Do. 
(== al U[ b, + -) , halle (b— a). E 
es 3 
A)2 B)4 C)5 D)7 EJ6 A) == 
135. Halle le mínimo valor de la función B) $ 
2-14. 
102899 e c) 
2 
1 +2 1 2 E q Ar BÉ 07 DI Y 16 8 8 D) e 
136. En la figura,a, B, x están medidos en 
¡ . _ a B E E «6 radianes; PQ = r metros y 7+X+>5=a. ) 
Halle el área del ie OQP. 140. En una recta, se ubican los puntos consecu- 
tivos PQ, RyS. Si PQ = a; PR=m;¡PS=b 
y OR = RS, halle una raíz de E ecuación: 
Q + pray pa a sá 
E o p a A) 1 B) 2 Cc) -2 
 
O 46 D)-1 E) 3
TE 
Examen de admisión » - 
SAN MARCOS 2012-1 
Cara AAA 
SOLUCIONARIO 
 
121. RESOLUCIÓN 
TEMA: Maqnitudes proporcionales 
 
Ubicación de incógnita 
Minutos que demorará en llegar. 
Análisis de los datos o gráficos 
Cantidad de pasos (DP) tiempo. 
Operación del problema 
Cantidad de pasos 
= Constante 
Tiempo 
—_-200 Conclusiones y respuesta 
1 1 Xx 
47 x=35 
122, RESOLUCIÓN 
TEMA: _Máximos y mínimos 
Ubicación de incógnita 
¿Cuál es la mínima cantidad de caramelos que se 
debe extraer de la bolsa para tener la certeza de 
P ” ñ "” 
haber extraído al menos 7 caramelos de cada 
sabor? 
Análisis de los datos o gráficos 
Limón: 'n'" 
Fresa: "5n" 
Piña: "3n" 
Número de caramelos: 
Operación del problema 
En la solución de este problema debemos tomar 
en cuenta que nos piden ' caramelos de fre- 
ro
la
 
sa, > de piña y >" de limón para estar 
seguros que suceda debemos considerar primero 
los caramelos de fresa y piña porque son los 2 
grupos que tienen la mayor cantidad y finalmente 
los a de limón que faltan. 
Conclusiones y respuesta 
(5n)+ (Sn) (2) La 
Fresa Piña limón 
l a 
Se necesitan extraer qn caramelos 
123. RESOLUCIÓN 
TEMA: Edades 
Ubicación de incógnita 
Edad de rayo 
Análisis de los datos o gráficos 
* Viento tiene 32 años más que Meteoro. 
+ Viento tiene 14 años menos que Flash. 
* Rayo tiene tantos años como la suma de las 
edades de Viento y Meteoro. 
Operación del problema 
 
 
 
 
 
E A 
Falsh x+46 x+71 
Meteoro Xx x+25 
Rayo 2x+32 2x+57 
Viento x+32 x+57 
Sad iED
Conclusiones y respuesta 
(x+71) +(x+25)+(2x+57)+(x+57)=250 
 
 
 
 
 
5x+210=250 > x=8 
+ 25 qu 
O" 
Falsh x+46 
Meteoro Xx 
Rayo 2x+32 
Viento x+32 
150 250 
a A 
5x + 110 = 150 254) %o 
sé 4 Son 4 
x=8 personas 
Rayo 2(8) + 32 = 48.:, Rayo tiene 48 años 
124. RESOLUCIÓN 
TEMA: Razonamiento lógico 
Ubicación de incógnita 
Halle la longitud de la fila 
Análisis de los datos o gráficos 
* Longitud de la arista del cubo: ¿m 
* Longitud de la arista de los cubitos: 2,5 cm 
* Los cubitos cortados se colocan en línea rec- 
ta, uno a continuación de otro, 
Operación del problema 
1. Aplicación de fórmula, teorema o propiedad 
Equivalencias: 
1 metro: 100 centímetros 
1 kilómetro = 1000 metros 
Volumen de un cubo=a?* 
2. Solución del problema: 
Longitud de la arista del cubo: 2m=200 cm 
Longitud de la arista de cubitos: 2,5 cm 
volumen del cubo 
volumen del cubito 
_ (200) * cubitos = 3 
(2,5) 
= 512000 
Examen de admisión » - 
SAN MARCOS 2012-1 : 
Al colocarlos en fila: 
512000(2,5) =1280000 cm 
1280000 
100 
Conclusiones y respuesta 
12800 
1000 
= 12800 m 
——— =12,8 km 
Método práctico 
2. 5cm lm 512000cubos| Fr 5 + Jl lkm 1000) 12 8kom 
125. RESOLUCIÓN 
TEMA: MCD - MCM 
Ubicación de incógnita 
Número de coincidencias de calibración de las 3 reglas. 
A de los datos o gráficos 
Las coincidencias de las reglas se dan con el MCM 
de las calibraciones de las mismas. Observación: 
las reglas coinciden al inicio y al final. 
Operación del problema 
 
 
 
 
 
 
 
mecm/( 2.0 2)- MCM (a;c;e) 
(65 “TJ MCD(b:d;f) 
4 
Les 
l ] 
Fon 
l J 
>em 
[ ] 
. á8cm . 
424.8). MOM(A249) 
MOM (27:3 7) MCD(21,35;7) 
4.24 3-2 
=> MOM 27:3 TAJO 
Conclusiones y respuesta 
*. N* Coincidencias = > 1=15 
GF 48
AMA TEE 
126. RESOLUCIÓN 
 
 
 
TEMA: Series 
Ubicación de incógnita 
Calcule: 
a bai bal ob a y 
a 
Análisis de los datos o gráficos 
2 2 
(a Z a 
EE (+) + .2 
Operación del problema 
Del dato: ANDE 
b a) 
Concluimos: la=b 
2 2 3 3 50 50 
A E 
LAI a po 
2 2 3 3 50 50 
A A 
b a al a? a? a? ¿0 go 
Conclusiones y respuesta 
1+1+1+1+1+1+..+1+1 
100 sumandos 
 
1(100) = 100 
127. RESOLUCIÓN 
TEMA: Operaciones matemáticas. 
Ubicación de incógnita 
Halle: (6% + 2% + 4*y* 
Análisis de los datos o gráficos 
x* =2x 1? 
Operación del problema 
6* = 2/6) -6* =-24 
2% - 2/2)-2% =0 
a* = 24) -4*=-8 
Conclusiones y respuesta 
[(-24) + 0 + (-8)]* = (-32)* 
= 2-32) - (32) = -1088 49 
Examen de admisión » - 
SAN MARCOS 2012-11 
-.- .+.+.02+.2. 2.2.2... . . . . 9» »+.-».+.<+».e 
Método práctico: 
Factorizando: 
x*?s x(2 - x) 
(-82)* = -32 x 34 = -1088 
Respuesta: il 088 
128. RESOLUCIÓN 
TEMA: Fracciones 
Ubicación de incógnita 
Cantidad de saltos con los que llegará a "C”. 
0 
Análisis de los datos o gráficos 
Cada salto que da avanza la mitad de lo que le 
falta para llegar a "B". 
Operación del problema 
 
87,5 cm 12,5 cm 
+ d+ $ 
A C B 
1? Salto =(100) =50cm 
1 Recorrido 
2* Salto = =(50) = 25c 
0=7 ” Total : 87, 5cm 
3* Salto = 3(25) =12 5cm 
Conclusiones y respuesta 
+. El sapo da 3 saltos. 
Respuesta: 3 
129, RESOLUCIÓN 
TEMA: Números primos 
Ubicación de incógnita 
Suma de cifras de "p 
Análisis de los datos o gráficos 
p: es primo n: es primo 
p?+(p+1)?+80=abc 
donde: abc = n?
Examen de admisión » - 
SAN MARCOS 2012-1 
[Cba aa asas 
Operación del problema 
Desarrollando: 
po + p?+2p+1+80 = nf 
2p* + 2p = n2-81 
2p [p + 1) = (n- 9) (n + 9) 
Si: 
2p=n+94Ap+1=n-9 
>2p=n+9A p=n-10 
> 2(n-10)=n+9 
n=29| y |p=19 
 
 
Conclusiones y respuesta 
p=19 . Suma de cifras = 10 
Respuesta: 10 
130. RESOLUCIÓN 
TEMA: Multiplicación 
Ubicación de incógnita 
Cifra de las unidades de "M". 
Operación del problema 
117* =...7 
1172=..9 314* =...4 
2_ 
117% =...3 | Serepiten A Serepiten 
117%=..1 cada 4 314 =... 0 cada 2 
6 4_ 1175=... a 
Conclusiones y respuesta 
En M = 117% x 314117; 
o o 
como 314 =4 +2 y 117= 2+1 
>M=...9x....4 
“M=...6 
Respuesta: 6 
50 
131. RESOLUCIÓN TEMA: 
Sistema de ecuaciones 
Ubicación de incógnita 
Máxima recaudación diaria con tarifas de S/. 
8.00 por auto y S/. 15.00 por camión. 
Análisis de los datos o gráficos 
Estacionamiento de 1200 m2 con 10m? por auto 
y 20 m2 por camión. Máxim vehículos en- 
tre autos y camiones. e 
Mm. $ 
a" autos y "b" camiones 
Operación del problema 
10a + 20b = 1200 .... (1) 
a+b = 100 ... (2) 
(1)/10: a+2b=120-(1) 
a+ b= 100 -(2) 
(1)-(2):b = 20 
en (2) :b = 80 
Conclusiones y respuesta 
Máxima recaudación: 
N = 8.80 + 15.20 
N = S/. 940.00 
5/, 940,00 
 
132. RESOLUCIÓN 
TEMA: Teoría de exponentes 
Ubicación de incógnita 
Piden: x — 1 
Análisis de los datos o gráficos 
Resolver: 
3 3x 
RI 
3% yg 
Operación del problema 
3x 3 
(Sl) -3%(8x-1)
Examen de admisión » - 
SAN MARCOS 2012-1 
(3x1 -35 
> (3x-1 94 2 = 332 
Conclusiones y respuesta 
Por comparación: 
34x-1=3 
MI
 
G
o
l
 
Respuesta: - 
133. RESOLUCIÓN 
TEMA: Logaritmos 
Ubicación de incógnita 
Nos piden hallar el valor de "x” 
Análisis de los datos o gráficos 
x=log, 3481 
3 
Operación del problema 
 
 
Recordemos: 
Dado a>0,b>0,b*1confla,b|eR 
Se cumple: 
a p 
Logy4=Log 2 , peR-(0) A |Log,a=1 
 
ño 
x=l0g,y 3481 =Log, ¿ (3481) = Log, ¿3*81= 
1 
7 
E Log33|== 
 
 
Conclusiones y respuesta 
z=—7/3 
Respuesta; —//3 
134, RESOLUCIÓN 
TEMA: Valor absoluto 
Ubicación de incógnita 
Piden: b-a 
Análisis de los datos áficos 
La solución de: 'Yl 
Ah +12 -3)(lxf? +8) 
x2-2|x]+4 20 es:
 (-o;a]u[b;w) 
Operación del problema 
(|x + 11-3) ((x]"+ 8) sb 
(lx 1P +3 
—_—— 
yg 
=|x+1/-32>0 
lx+1]23 
¿x+123 yv x+1<-3 
x>2 x¿-d 
Conclusiones y respuesta 
a A 
4 2 
> xel-o;-4]u[2 00) 
Entonces: a=-4ab=2 
Piden: b-a=2-(-4) 
b-a=6 
q __ - — — _ _— ———————— 
51 Respuesta: Ó
> . Examen de admisión » - 
SAN MARCOS 2012-1 : 
[Kbs AAA dl 
135. RESOLUCIÓN Operación del problema 
TEMA: Funciones 1. Aplicación de fórmula, teorema o pro- 
piedad 
 
Ubicación de incógnita 
2 aCscó 
Mínimo valor de: (,,=8%* - hol A a 
aCtab 
Análisis de los datos o gráficos 
Buscar el mínimo valor del exponente: 
. Rt(27 + x) = +Rt(x) 
E=3x*-4|x] 
2. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA 
Operación del problema 
e-3[12-£11+(2) (2) 
2 2% 4 4 
E=3|x-3) -$=>Em=-5 
En la función: 
 
 
 
 
A A B 
k«)min =8 , 
2 
Del gráfico: q _ 1 Ctgx 
Conclusiones y respuesta a S= 2 cs==+«() 
a+x+P=x..... (II) 
Ejes 
x)min 16 
Dato: 4 cn 
Respuesta: de q» e 
* 16 a + 2x +) = Za....de (11) 
a 
T+X 
136. RESOLUCIÓN x=2a-7 co...) 
TEMA: Reducción al ler cuadrante resolución 
de triángulos 
Conclusiones y respuesta 
Ubicación de incógnita (lll) en () 
Determinar el área de la región triangular OPQ a r?Ctal2a—1) r?CtaZa _> 
O 
Análisis de los datos o gráficos 
Evaluando los datos los temas a desarrollarse son: . 
Resolución de triángulos y reducción al ler cua- aime réCtaZa $ 
drante. rante 59 
 
Examen de admisión » - 
SAN MARCOS 2012-1 : 
137. RESOLUCIÓN Análisis de los datos o gráficos 
TEMA: Cono de revolución AD=AC=a 
Ubicación de incógnita Operación del problema 
gq 
R 
Análisis de los datos o gráficos 
Asedda total = A círculo (a) 
del cono 
 
Operación del problema 
 
 
 
En todo triángulo isósceles: 
 
 
 
_a+b 
AH = 2 
ESAHC (Pitágoras) 
ARg+R)= Ag [asus E 2 
a Ha = a 
Rg +R?=g" 
5 5 a? + 2ab + b? + b? =4a* 
g”-Rg-R*=0 
2b* + 2ab - 3a* =0 
Ti al: eorema gener Conclusiones y respuesta 
2 Z Re RO rr Ln (2a) + da? - 4(2)(-8a?) g= TA 
 
 
 
212) 
Conclusiones y respuesta S ¡5 + 
a 2 
g-144b5 
"E 2 
. 1id7 Respuesta: e Respuesta: 7 
138. RESOLUCIÓN 139. RESOLUCIÓN 
TEMA: Cuadriláteros TEMA: Triángulos notables 
Ubicación de incógnita Ubicación de incógnita 
b Piden: DC _x 
— BD y 
a 53
EEES 
Análisis de los datos o gráficos 
ES ABC (Not 30” y 60) 
Operación del problema 
Trazamos: DH.h BC 
 
Tal que: 
ES.BDH (Not 45”) 
ESS.DHC (Not 30* y 60*) 
ES.DHC: HC = a; DH= ad3 
SS. BDH: BH = 2/3; BD=axd6 
Conclusiones y respuesta 
2 
y Ad6 
x 246 
y d6-d6 
x - 46 
y 3 
Respuesta: da 
140. RESOLUCIÓN 
TEMA: Segmentos 
Ubicación de incógnita 
Piden: x 
34 
Examen de admisión » - 
SAN MARCOS 2012-1 
Análisis de los datos o gráficos 
PQ =a 
PR = m 
PS =b 
Operación del problema 
 
E, 
a 
 
=
=
 
T
a
r
 
=
>
 
Q 
+ 
+
 
 Hita a 
 
Del gráfico: m + m - £*= b 
Despejando: 
* Zm=a+b 
ma: Á -a=h- m-a=b AP 
Reemplazando en la ecuación: 
b+a m-a_g 
b-m 
ete 
x2+2x+1=0 
(x +1)? =0 
x=-l 
xo + X + 
 
Habilidad Matemática UNMSM 
PREGUNTA 141 PREGUNTA 146 
Por cada nueve panes que compró María, le Tres personas se reparten una herencia del modo 
regalaron un pan. Si recibió 770 panes en total, siguiente: el primero hereda el 45%; el segundo, 
¿cuántos panes le regalaron? el equivalente al 60% del primero; el tercero, el 
equivalente a 1/3 del segundo. Si quedó un saldo 
Eos 9y e A yo cd de S/.38 000, halle la herencia. 
ds utomóvi rezo A S243000 B)S/.81000 C)S/.120/000 
llagros pago 3. por un auto ,S/. 
D1S/.200 
bar el camblo de Janias y 57200 par alto. AO AAA 
OOO 
Después lo alquiló durante dos años a razón 
de S/,1500 por trimestre, y luego lo vendió por PREGUNTA 147 
 
S/.7750. ¿Cuánto ganó Milagros? Al sumar un mismo número a 20, 50 y 100, respec - 
A) S/.9790 B) S/.9700 C) S/.9890 tivamente, los tres números resultantes forman una 
D) S/.9970 E) S/.9900 progresión geométrica creciente. Halle la razón. 
3 3 5 7 á 
PREGUNTA 143 AZ By he de 2 13907 07 DÍ a; 
Se aplica un examen a 40 escolares y desaprueban 
16. El número de niñas es la mitad del número 
de aprobados y el número de niños aprobados es PREGUNTA 148 . 
el cuádruplo del número de niñas desaprobadas. La suma de tres números impares positivos y 
¿Cuántas niñas aprobaron el examen? consecutivos excede al mayor de ellos en 28 
A)J6 B)4 C)9 D) 10 E)8 unidades. Halle el producto de los ras números 
impares menos el producto de los números pares 
PREGUNTA 144 que se encuentran entre ellos. 
En la figura se muestra un engranaje de 20 ruedas. A) 3091 B) 4621 C) 6459 
Si la sexta rueda dio 76 vueltas, ¿cuántas vueltas D)) 2369 E) 1512 
dio la décima rueda? 
AN a sm G ed E PREGUNTA 149 
ol | - += — Enuntanque hay cierta cantidad delitros de agua. Si 
AL ARA SN Y) No J) de este tanque extraigo el 30% de lo que no extraigo y 
q9 29 30 40 de lo que extraje devuelvo al tanque el 50% de lo que 
no devuelvo, resulta que en el tanque hay 990 litros. 
A) 44 B) 40 C) 33 ¿Cuántos litros de agua había al inicio en el tanque? 
D) 49 E) 39 
A) 900 B) 1260 C) 1170 
PREGUNTA 145 PEE ds 
En una bolsa hay 165 monedas. Si por cada 5 PREGUNTA 150 
monedas de S/.2 hay 8 monedas de S/.5 y por 
Un empleado recibió su sueldo de S/.1000-en 
cada 2 monedas de S/.5 hay 5 monedas de S/.1, 
halla. el número de monodie da 575: billetes de S/.50 y de S/.10. Si en total recibió 64 
A) 32 B) 56 C) 48 billetes, halle el número de billetes de S/.50 que 
D) 64 E) 40 recibió. 
AJ9 B)11 C)12 D)J8 EJ10 
55
Habilidad Matemática UNMSM 
 
 
PREGUNTA 151 
Halle el conjunto solución de la inecuación 
e —4 <3. . 
abs) Ber» 0) (-5,) 
1 
D) (1; 0) E) (21) 
PREGUNTA 152 
Se definen las operaciones 
a*b=2a+3b+2 .abez 
a A b=(a-—bY+rab 
Halle la suma de los valores de y que satisfacen 
la ecuación 
2* y=4 Ay. 
A)2 B)5 C)jJ0 D)-7 E)7 
PREGUNTA 153 
Si a 
1 
halle el valor d -—=., valor 26d 
27 9 80 82 82 17 03 907 DIF B5 
PREGUNTA 154 
Sia>0y b<O, halle el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones: 
Lab<abt iijab]=-ab? iii. Jab? =-bJa 
E) VFV A)FVV B)VVF C)FVF D)VWW 
PREGUNTA 155 
Halle el producto de las soluciones de la ecuación 
ye+o9 Y)=4p =8 
-5 5 A) 10 C) 10 E)107? 
B)107 D) 108 
PREGUNTA 156 
Un círculo de radio 4 u está inscrito en un triángulo 
equilátero. Si el área de la región interior al C) 0 enó D) 2 
triángulo y exterior al círculo es (V3x —y)u?, 
halle el valor de x+ y. 
A)30 B)64 C)60 D)24 E)48 
56 
PREGUNTA 157 
En la figura, AD=12 cm; CE=4 cm y EB=2 cm. 
Halle el valor deAB?+ CD? ¿ 5 
A) 68 cm? 
B) 80 cm? 
C) 60 cm? 
D) 92 cm? 
E) 100 cm? 
PREGUNTA 158 
En la figura se muestra un arreglo triangular de 
círculos congruentes, de radio R metros. Si en 
cada círculo se inscribe un triángulo equilátero, 
halle el área de la región sombreada, en metros 
cuadrados. 
A) 1275 R? (lr) 
B) 1275R? (28) 
C) 1275R? Ps y3 
D) 1275 R? (rr —/3) 
E) 1275R? [r-E% 
PREGUNTA 159 
Con una lámina rectangular, se construye una caja 
sin tapa cortando regiones cuadradas de 4 cm de 
área en cada esquina. Si el perímetro de la lámina 
es 36 cm y el largo es el doble del ancho, halle el 
volumen de la caja. 
A)32cm? B)96cm?* 
D)48cm? E)64 cm? 
PREGUNTA 160 
En la figura, se tiene un cuadrado ABCD, cuyo 
lado mide 4 cm, y un círculo inscrito. Determine 
el área de la región sombreada. 
“A 
a d0-- 
C) 24 cm? 
Cc 
2 am? BE 
1 cm? 
 E) 75 em
Solucionario 
 
SOLUCIONARIO 
 
HABILIDAD MATEMÁTICA 
 
+41.Si por cada 9 que compra le regalan 1, es 
decir: por cada 9 en realidad lleva 10. 
Entonces: 770|10_ 
 
77 grupos de 9 
Luego: 77x Como recibió 770 
me: l 693 lo que compróLe regalaron: 770- 
693 
77 
Cuatro operaciones 
+42.Milagros: 
Gastó en total: S/. 8750 auto 
S/. 830 llantas 
S/. 200 afinarlo 
S/. 9780 
Ganancia bruta: laño ()4 trimestres 
2 años ( ) 8 trimestres 
Alquiler: 1500x Venta: 
8 
12000 + 7750 = 19750 
Ganancia neta: 
 
 
 
19750- 
9780 
S/. 9970 
Plant ion 
143. Apro. | Desa. 
Hombre | 4k 
Mujeres | 12-k k 12 
24 16 
>4k + 12-k=24 
3k = 12 
k=4 
Mujeres que aprobaron: 12 - 4 = 8 
 
 
Magnitudes 
H14. 
longitud del | N.0 de No de 
radio de cada |= El ab 
la rueda rueda 
Longitud rueda 6.*=(6+5)r=11r 
Longitud rueda 10.* =(1049)r=19r 
5 Vueltas 6? =19x4 
Vueltas 10.? =11x4 
 
¿Vueltas 10.9 =44 
(rueda) 
Planteo de ecuaciones 
$5. 5/2 5k S/5_2x4k 
S/.5 8k S/.1 5x4k 
5k + 8k + 20k = 33k 
33k = 165 
k=5 
N.*” de monedas de S/.5 
8x5=40 
+46 .Herencia=100m 
Persona 1 Persona 2 Persona 3 
45m (45m) =27 07m) 
Total repartido = 81m 
19m = 38 000 => m = 2000 
+. Herencia = 100(2000) = 200 000 
Series 
$47.20+x, S50+x, 100+x 
_ AUS E 
xq xq 
so0+25 75 — WIN qg= 3
Planteo de ecuaciones 
148.Número impar=x 
x+H(x+2)+(x+4)- (1+4)=28 
=x=13 
13x15x17-14x16=3091 
Respuesta 
3091 
Planteo de ecuaciones 
149, Volumen lleno=130n 
 
 
 
No extrae=100n 
 
Extrae=30n 
 de — node 
l0n” 20n 
Y 10n+100n=990 => n=9 
li) Volumen=130n=130(9)=1170 
Planteo de ecuaciones 
 
150. 64 
bsp br 
Xx : 64-x 
=> 50+10(64-x)=1000 
40r=360 
x=9 
-. N.* de billetes S/. 50=9 
Razonamiento algebraico 
151.Hallando el conjunto solución 
A 23 
[19x|-4<15 
119x] <19 
|x] =l 
=12x<1l 
CS =(-1, 1 
 
Solucionario 
 
Operaciones matemáticas 
152.0 *b = la + 3b +2 
aAb=(a-b+ab>aAb=d +bH-ab 
>22*y=4Ay 
22) +3) + 2=4 +y-4 
0=yY-7 +10 
y 3>3y=5 
y 2>y>=-2 
y+»n=7 
Situación algebraica 
153. 
28. 08 Sumando 219% =54 
Si E +y"=30 has 34-97 
3/14 _ 14 _ ecuaciones 
papada x=81 
Hallando Vx == > KE 
1 1 80 dl 
81 9 9 
Razonamiento algebraico 
154.4>0Ab<0 
D db<ab* 
a > py (VU) 
(5H E 
ID lab?| = -ab? 
la] |6*] 
a (-b?) = -ab? ce (V) 
A 
Vadb? =-bxfa 
Valo|=-oda 
ab = —byfa ay O TN 
E FIA Y 
Respuesta A E AN j B r) 
vvv SIIC 
 
Solucionario 
 
aritmación 
155.Hallaremos el producto de las soluciones 
y 6 + log) sz 19 
Tomando logaritmo m.a.m. 
log y 9 +8" = log10* 
(5+1l0g y)llog y = -6 
log y? + 5 log y + 6 =0 
log y = - 3 v log y = -2 
y=10% y=107? 
Respuesta 
107 
 
 
 
156. 
443 
2 do 
Área = — E E 
4/3 x48-nx16=wV3x — ny 
x = 48 
y=16 
x+y = 64 
Respuesta 
64 
Planimetría 
157.Se observa que los triángulos ABE y DCE 
son semejantes, luego 
€ D 
 
 
B 6k = 12 
k=12 
2k 5 AE =4 
2 ED = 38 
A A 
Luego: (AB) = 4? - 2? = 12 
(CD? = 8? - 4? = 48 
(AB) +(CD)? = 60 
Respuesta 
60 
Regiones sombreadas 
158.En primer lugar hallamos el número total 
de círculos en la figura 
Le, Total =1+2+3+...+50 A 
) ON Total = 1275 
 
Ahora calculamos el área de la región 
sombreada en un círculo. 
Riomb.= O a AM 
 
y Solucionario 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2 
Situaciones geométricas 
159.Por dato, si el perímetro de la lámina 4 , 4 
rectangular es 36 cm y el largo es el doble Y 5353 
del ancho, tenemos mn 2 
2L FARC H HEAR 
L L 6L= 36cm A D 
hmm Luego 5k = 2 
2L k =2/5 
Luego cortamos los cuadrados en cada 
esquina y formamos la caja. 
21 16 
2 cm | E = 85) ==— Pa PQ=8|73]== 
2 cm | 
nn ---- RH=2+ (7) = 16 
| 5 5 
2 cm 
v Ahora: /APQR 
S=-|— || —|cm 
; ZUSIS 
> de=== 
o S= qeS em? 
2 cm e 25 
— — 8 cm Ñ ds 
Lom don espues 
128, 
— cm 
Volumen = 8x2 x2 = 32 cm? 25 
Respuesta 
32 cm? 
Regiones sombreadas 
160.Recordamos el triángulo notable 
 
q
Habilidad Matemática UNMSM 
 
 
PREGUNTA 161 
Un granjero tiene cierta cantidad de gallinas. 
Vende 30 docenas, luego obsequia la cuarta parte 
de las que quedaban y, finalmente, adquiere 180 
gallinas. Si en la granja hay 909 gallinas, ¿cuántas 
había inicialmente? 
A) 972 B) 729 C) 1233 
D) 1332 E) 927 
PREGUNTA 162 
En una librería, venden lapiceros de colores a 
S/.1 la unidad y otros de tinta brillante a S5/.1,5 la 
unidad. La librería los vende en paquetes de 10, 
de los cuales tres son de tinta brillante. Si un día, 
por este concepto, se obtiene un ingreso de S/.138, 
¿cuántos lapiceros de tinta brillante se vendió? 
A)30 B)24 C)12 D)18 E)36 
PREGUNTA 163 
En la sucesión mostrada de figuras construidas con 
palitos de fósforo, halle el doble del número de 
palitos de la figura que ocupa el decimotercer lugar. 
ll 
poll 
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 
A)448 B)336 C)19% D)390 
 
 
 
E) 364 
PREGUNTA 164 
En una hacienda hay vacas, caballos y cerdos. Sin 
contar las vacas, hay 24 animales; sin contar los 
caballos, hay 36 animales, y sin contar los cerdos, 
hay 28 animales. ¿Cuál es el número de caballos 
en dicha hacienda? 
AJB BJ6 C)10 D)12 E)18 
PREGUNTA 165 
En una cuadra, hay solo 5 casas, de colores blanco, 
verde, rosado, celeste y amarillo en las que viven 
Alicia, Bertha, Carmen, Dina y Elsa, una en cada 
casa; pero no necesariamente en ese orden. 
- Berthavive junto a la que tiene la casa 
amarilla, pero no junto a la casa de Alicia. 
» Entre las casas de Carmen y Dina, está solo la 
+ Entre la casa celeste de una de lasesquinas y 
la casa blanca, está solo la de Elsa. 
» Alicia no vive en ninguna de las casas de las 
esquinas, pero Carmen si. 
¿Quién vive en la casa rosada? 
A) Dina B)Bertha C)Elsa 
D) Carmen E) Alicia 
PREGUNTA 166 
Maa = 
aa 71517 101 Y Mt n=17) halle q—p. 
A) 110x(171) B)210x(171) C)210x(161) 
D) 110x(161) E) 160x(161) 
PREGUNTA 167 
Un empleado gana en dos dias la misma cantidad de 
lo que otro gana en tres días. El primero trabajó 38 
dias y el otro, 33 días. ¿Cuál es la diferencia positiva 
de sus ingresos si la suma de estos es S/.93007? 
A) S/.2350 B)S/.2460 C)S/.2480 
D) S/.2765 E) S/.2455 
PREGUNTA 168 
Se tiene dos máquinas, una antigua y otra moderna. 
La máquina antigua realiza cierto trabajo en 8 horas, 
funcionando ambas a la vez, hacen el mismo trabajo 
en 3 horas. Si la máquina moderna trabajara sola, 
¿en qué tiempo haría el mismo trabajo? 
A) 4 horas 8 minutos B)4 horas 
C) 4 horas 18 minutos D)4 horas 48 minutos 
E) 5 horas 
PREGUNTA 169 
Paco llena un vaso con vino y bebe una cuarta 
parte del contenido; vuelve a llenarlo, esta vez 
con agua, y bebe una tercera parte de la mezcla; 
finalmente, lo llena nuevamente con agua y bebe 
la mitad del contenido del vaso, Si la capacidad 
del vaso es de 200 mL, ¿qué cantidad de vino 
queda finalmente en el vaso? 
A)100mL B)40mL 
D) 80 mL 
C) 60 mL 
E) 50 mL.
Habilidad Matemática UNMSM 
 
PREGUNTA 170 
Halle la suma del mayor y el menor número de 
tres cifras divisibles por 3, los cuales, disminuidos 
en 3 unidades, son divisibles por 5. 
A) 1101 B)1086 C)1116 D)1071 E)1161 
PREGUNTA 171 
Halle el valor de 
m= (2) "+m(2) +12] +....im (190) 
A)- 3In110 B)- In(1%2x...x101) 
C)- 3In(1x2x...x101) D)- 3In101 
E) — In101 
PREGUNTA 172 
Determine el menor valor entero que puede asumir 
x si satisface simultáneamente las inecuaciones 
y -3x-2<0 
y -x-1>0 
A)- 2 B) -1 Cc) 1 
D) 2 E)0 
PREGUNTA 173 
Si x=log 2(log4(loga64)), halle el valor de 
q1tx3 1 
Aj6 B)7 C) 10 D)8 E) 9 
PREGUNTA 174 
Si el número de subconjuntos de un conjunto de 
n+2 elementos menos el doble del número de 
subconjuntos de un conjunto de n—2 elementos 
es igual a 224, halle el valor de n. 
AJ6 B)J3 C)J4 D)5 E)7 
PREGUNTA 175 
Seanx, y ER. Si F(x, y)= 2-y?, calcule F(3, 
F(3,4)). 
A) 40 B) — 49 C)- 46 
D)- 40 E) - 45 
PREGUNTA 176 
En la figura, AE=4 EB y el área de la región trian- 
gular ABC es 330 cm* Halle el área de la región 
sombreada. B 
A) 10 cm? d 
B) 9 cm? 
C) 11 cm? 
D) 13 cm? 
E) 15 cm? A D c 
PREGUNTA 177 
En la figura, se muestra una rueda que gira sobre 
una superficie circular. Determine el número de 
vueltasque