Pauta Ayudantia 6 MAT024 2022-02 - Alfredo Mallea (2)

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Ayudant́ıa 6
Matemática IV (MAT-024)
Jueves 13 de Octubre de 2022
Problema 1. Sea F⃗ (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) un campo vectorial definido en R2 y de clase C1 en R2.
Suponga que para todo (x, y) ∈ R2 se cumple:
∂Q
∂x
(x, y) = x2 +
∂P
∂y
(x, y), Q(0, y) = 1 + y2
Calcule la integral de ĺınea ∫
C
F⃗ · dr⃗
donde C es la circunferencia unitaria con x ≥ 0.
Solución:
Unimos el punto (0,−1) con el punto (0, 1) con un segmento lineal L y formamos una región
acotada simplemente conexa R cuya frontera está compuesta por ∂R = C ∪ L.
Ahora podemos aplicar el Teorema de Green para dominio simplemente conexo∫∫
R
(Qx(x, y)− Py(x, y)) dA =
∫
C
F⃗ · dr⃗ +
∫
L
F⃗ · dα⃗
o equivalentemente, ∫
C
F⃗ · dr⃗ =
∫∫
R
(Qx(x, y)− Py(x, y)) dA−
∫
L
F⃗ · dα⃗
Ayudant́ıa 6 de Matemática IV (MAT-024) 2
Calculemos la integral doble, usaremos coordenadas polares:∫∫
R
(Qx(x, y)− Py(x, y)) dA =
∫∫
R
x2dA
=
∫ π
2
−π2
∫ 1
0
(r cos(θ))2rdrdθ
=
(∫ 1
0
r3dr
) (∫ π
2
−π2
cos2(θ)
)
dθ
=
1
4
· π
2
=
π
8
.
Calculemos ahora la integral sobre L. Parametricemos L por la función vectorial
α⃗(t) = (0, t), t ∈ [−1, 1] =⇒ α⃗′(t) = (0, 1)
Entonces, ∫
L
F⃗ · dα⃗ =
∫ 1
−1
F⃗ (α⃗(t)) · α⃗′(t)dt
=
∫ 1
−1
(P (0, t), Q(0, t)) · (0, 1) dt
=
∫ 1
−1
Q(0, t)dt
=
∫ 1
−1
(
1 + t2
)
dt =
8
3
.
Por lo tanto, ∫
C
F⃗ · dr⃗ =
∫∫
R
(Qx(x, y)− Py(x, y)) dA−
∫
L
F⃗ · dα⃗ = π
8
+
8
3
.
Problema 2. Considerar la curva γ definida en forma polar como r = 1+ sin(θ), y ≥ 0, recorrida en
sentido positivo. Calcular ∫
γ
y2 dx.
Solución:
Cerrando la curva con la recta C : r⃗(t) = (t, 0), −1 ≤ t ≤ 1, y considerando D como la región
cerrada por las curvas γ ∪C, se tiene que el campo F⃗ (x, y) = (y2, 0) es de clase C1 en el interior de D
que es un conjunto simplemente conexo. Aplicando el Teorema de Green∫
γ∪C
F⃗ · dr⃗ =
∫∫
D
−2y dA,
de donde ∫
γ
F⃗ · dr⃗ =
∫∫
D
−2y dA−
∫
C
F⃗ · dr⃗
= −4
∫ π/2
0
∫ 1+sin(θ)
0
r2 sin(θ) drdθ
= −4− 5π
4
.
Ayudant́ıa 6 de Matemática IV (MAT-024) 3
Problema 3. Utilice el Teorema de Green para calcular el área de la región encerrada por la hipoci-
cloide de ecuación
x2/3 + y2/3 = 1
Solución:
Para la hipocicloide
tenemos la parametrización
r(t) = cos3(t)i+ sin3(t)j , 0 ≤ t ≤ 2π
entonces
x = cos3(t) ⇒ dx = −3 cos2(t) sin(t)dt
y = sin3(t) ⇒ dy = 3 sin2(t) cos(t)dt
Aśı por el Teorema de Green
Area(U) =
∫∫
U
dA =
∫
∂U
xdy
=
∫ 2π
0
cos3(t) · 3 sin2(t) cos(t)dt = 3
∫ 2π
0
cos4(t) sin2(t)dt
= 3
∫ 2π
0
cos2(t)
sin2(2t)
4
dt = 3
∫ 2π
0
(
1 + cos(2t)
2
)
sin2(2t)
4
dt =
3
8
∫ 2π
0
(
sin2(2t) + sin2(2t) cos(2t)
)
dt
=
3
8
∫ 2π
0
(
1− cos(4t)
2
+ sin2(2t) cos(2t)
)
dt =
3
8
[
1
2
t− sin(4t)
8
+
sin3(2t)
6
]∣∣∣∣2π
0
=
3
8
π
Problema 4. Calcule
∫
C
F⃗ (x, y) · dr⃗ donde:
F⃗ (x, y) =
(
yexy + cosx , xexy +
1
y2 + 1
)
y C es el tramo de la curva y = sen(x) , desde x = 0 a x =
π
2
.
Solución:
Observar que F⃗ es de clase C∞ con dominio R2 , simplemente conexo (también puede argu-
Ayudant́ıa 6 de Matemática IV (MAT-024) 4
mentar abierto convexo). Además se cumple
Qx − Py = exy + xyexy − (exy + xyexy) = 0.
Para poder usar el Teorema de Green, necesitamos cerrar la curva con las curvas γ1 y γ2, donde:
γ−1 :
{
x = t
y = 0
dx = dt
dy = 0
con 0 ≤ t ≤ π
2
γ−2 :
{
x = π2
y = t
dx = 0
dy = dt
con 0 ≤ t ≤ 1.
Si R es la región encerrada por estas curvas, tenemos∫
C∪γ−1 ∪γ
−
2
F⃗ · dr⃗ =
∫∫
R
(Qx − Py) dA
de donde: ∫
C
F⃗ · dr⃗ =
∫
γ1
F⃗ · dr⃗ +
∫
γ2
F⃗ · dr⃗
=
π/2∫
0
cos(t) dt +
1∫
0
(
π
2
e
π
2 t +
1
1 + t2
)
dt
= sen(t)
∣∣∣∣π/2
0
+
(
e
π
2 t + arctan(t)
) ∣∣∣∣1
0
= eπ/2 +
π
4
.
Problema 5. Calcula∮
Γ
(
sin(x2 − y2) + 2xy − y
(x− 2)2 + y2
)
dx+
(
2xy − sin(x2 − y2)− x− 2
(x− 2)2 + y2
)
dy,
donde Γ es la frontera de la región R acotada por las rectas x + y = −1, x + y = 1, x − y =
−1, x− y = 1, en sentido antihorario.
Solución:
Claramente F⃗ (x, y) = (P (x, y)), Q(x, y), es de clase C1 en el interior de R, y podemos aplicar
el Teorema de Gren para dominios simplemente conexos
I =
∫∫
R
(∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dA
= −2
∫∫
R
(
(x− y) + (x− y) cos(x2 − y2)
)
dA
=
∫ 1
−1
∫ 1
−1
(u+ u cos(uv)) dvdu
= 0.
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luego de hacer el siguiente cambio de variable: u = x− y, v = u+ y, J(u, v) = 1
2
.