Pauta Ayudantia 5 MAT024 2022-02 - Alfredo Mallea (2)

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Ayudant́ıa 5
Matemática IV (MAT-024)
Jueves 6 de Octubre de 2022
Problema 1. Sea α ∈ R una constante y F⃗ : R3 −→ R3 un campo vectorial definido por:
F⃗ =
(
4αe2xy2 , 2y(α2e2x − z) , −αy
2
2
)
a) Determine el(los) valor(es) de α tal que el campo F⃗ sea conservativo. Justifique.
b) Usando el valor de α encontrado en el inciso anterior, Calcule el trabajo que realiza el campo F⃗
para llevar una part́ıcula desde el punto (1, 2, 0) hasta el punto (2, 4, 3) .
Solución:
a) Observar que independientemente de α , el dominio de F⃗ es R3 , el cual es abierto, convexo,
simplemente conexo, etc. Basta entonces comprobar que el campo es irrotacional.
∇×
−→
F =

−→
i
−→
j
−→
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
4αe2xy2 2y(α2e2x − z) −αy
2
2
 = (−αy + 2y , 0 , 4yα2e2x − 8αye2x)
Tomando α = 2 se cumple ∇× F⃗ = (0, 0, 0) y por tanto F⃗ es conservativo en R3 . Con esto
F⃗ (x, y, z) =
(
8e2xy2 , 8ye2x − 2yz , −y2
)
es un campo gradiente o equivalentemente el valor de la integral de F⃗ no depende del camino.
b) Como F⃗ es un campo gradiente, basta hallar un potencial de F⃗ . Hacer
f(x, y, z) =
∫
8e2xy2 dx+ h(y, z) = 4e2xy2 + h(y, z)
Tambien se debe cumplir
df
dy
(x, y, z) = 8ye2x − 2yz . Derivando respecto de y e igualando se
tiene
8e2xy +
dh
dy
= 8ye2x − 2yz → dh
dy
= −2yz → h(y, z) = −y2z + g(z)
Por lo tanto f(x, y, z) = 4e2xy2 − y2z + g(z) . Derivando nuevamente, ahora respecto de z e
igualando se obtiene
−y2 + dg
dz
= −y2 → dg
dz
= 0 → g(z) = cte
Ayudant́ıa 5 de Matemática IV (MAT-024) 2
Por lo tanto, un potencial del campo F⃗ es f(x, y, z) = 4e2xy2− y2z . Asi el trabajo que realiza
el campo F⃗ para llevar una part́ıcula desde el punto (1, 2, 0) hasta el punto (2, 4, 3) es
w =
(2,4,3)∫
(1,2,0)
F⃗ · dr⃗ = f(2, 4, 3)− f(1, 2, 0) = 64e4 − 16e2 − 48
Problema 2. Determine una función f : R → R, de modo que el campo vectorial
F⃗ (x, y, z) =
(
2xex
2+y sin(f(z)) , ex
2+y sin(f(z)) +
2y
1 + y2
, 2ex
2+y cos(f(z)) +
3
4
f2(z)
)
sea un campo gradiente. Determine además una función potencial asociada.
Solución:
Notemos que para que el campo F (x, y, z) = (P,Q,R) sea gradiente se debe cumplir que
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
∧ ∂P
∂z
=
∂R
∂x
∧ ∂Q
∂z
=
∂R
∂y
donde
∂P
∂y
= 2xex
2+y sin(f(z)) ∧ ∂Q
∂x
= 2xex
2+y sin(f(z))
∂P
∂z
= 2xex
2+y sin(f(z))f ′(z) ∧ ∂R
∂x
= 4xex
2+y sin(f(z))
∂Q
∂z
= ex
2+y cos(f(z))f ′(z) ∧ ∂R
∂y
= 2ex
2+y cos(f(z))
aśı se tiene que basta que f ′(z) = 2 y aśı una de las funciones que nos sirve es f(z) = 2z y por lo tanto
el campo gradiente asociado es
F (x, y, z) =
(
2xex
2+y sin(2z) , ex
2+y sin(2z) +
2z
1 + y2
, 2ex
2+y cos(2z) + z3
)
,
ahora, existe una función potencial f tal que F⃗ = ∇f , o sea (P,Q,R) = (fx, fy, fz), y se debe satisfacer
que
f(x, y, z) =
∫ (
ex
2+y sin(2z) +
2y
1 + y2
)
dy = ex
2+y sin(2z) + ln(1 + y2) + w(x, z)
además
∂f
∂x
= 2xex
2+y sin(2z) +
∂w
∂x
= 2xex
2+y sin(2z) ⇒ ∂w
∂x
= 0
por último
∂f
∂z
= 2ex
2+y cos(2z) +
∂w
∂z
= 2ex
2+y cos(2z) + z3 ⇒ ∂w
∂z
= z3
Ayudant́ıa 5 de Matemática IV (MAT-024) 3
aśı, tenemos que w(x, z) =
z4
4
+ C, para algún C ∈ R, entonces una función potencial para F⃗ es:
f(x, y, z) = ex
2+y sin(2z) + ln(1 + y2) +
z4
4
+ C, C ∈ R.
Problema 3. Sea C la curva definida por la intersección de las superficies de ecuaciones x2 + z2 =
16, y + z = 4 con y ≤ 2, y sea g una función escalar C1(R ). Calcular (de dos formas) la circulación a
largo de C del campo vectorial dado por F⃗ : R3 → R3 tal que F̄ (x, y, z) =
(
− z
x2 + z2
, g(y),
x
x2 + z2
)
,
indicando claramente la orientación elegida para la curva.
Solución:
Una primera resolución se obtiene, hallando una función potencial del campo. En el
abierto simplemente conexo D =
{
(x, y, z) ∈ R3 : z > 0
}
, el campo vectorial es irrotacional [veri-
ficar que ∀(x, y, z) ∈ D se tiene ∇ × F⃗ (x, y, z) = (0, 0, 0)] por lo tanto el campo es el gradiente
de una función potencial Φ : D → R3 tal que Φ(x, y, z) = − arctan
(
x
z
)
+ h(y), siendo la función
escalar h tal que h′ = g (una primitiva de g, que existe por ser continua en R ). En efecto,
∇Φ(x, y, z) =
(
− z
x2 + z2
, h′(y),
x
x2 + z2
)
=
(
− z
x2 + z2
, g(y),
x
x2 + z2
)
= F̄ (x, y, z); se sobreen-
tiende en esta identidad que el campo vectorial está restringido a D. Entonces la circulación pedida
no depende de C ⊂ D, sino sólo de los puntos P1 = (2
√
3, 2, 2) y P2 = (−2
√
3, 2, 2) y entonces resulta
que la circulación es, de modo inmediato, dada por:∫
C
F⃗ ·dr⃗ =
∫
C
∇Φ·dr⃗ = Φ(P2)−Φ (P1) = − arctan(−
√
3)+h(2)+arctan(
√
3)−h(2) = 2 arctan(
√
3) =
2π
3
.
Una segunda resolución se obtiene, utilizando una curva alternativa. En lugar de hallar una
función potencial del campo, podŕıa aprovecharse que la circulación no depende de la curva sino sólo
de sus extremos (ordenados), uniéndolos con una curva menos problemática que el trozo de elipse C.
Una tal curva alternativa podŕıa ser el arco de circunferencia C, parametrizado por γ̄ :
[
π
6 ,
5π
6
]
→ R3
tal que γ̄(t) = (4 cos(t), 2, 4 sin(t)), de modo que γ̄′(t) = (−4 sin(t), 0, 4 cos(t)), y entonces la circulación
queda∫
C
F⃗ ·dr⃗ =
∫ 5π
6
π
6
F⃗ (γ̄(t))·γ̄′(t)dt =
∫ 5π
6
π
6
(
− sin(t)
4
, g(2),
cos(t)
4
)
·(−4 sin(t), 0, 4 cos(t))dt =
∫ 5π
6
π
6
dt =
2π
3
.
Problema 4. Considere γ = γ1 + γ2, donde γ1 es la curva dada por la circunferencia de ecuación
(x− 3)2+ y2 = 4 y γ2 es la curva dada por la circunferencia de ecuación x2+ y2 = 1, ambas recorridas
con orientación positiva (para fijar, le conviene pensar en que el movimiento parte en el punto (1, 0)
sobre la circunferencia de radio más grande). Determine el trabajo realizado por el campo de fuerzas
F⃗ (x, y) =
(
−y
x2 + y2
,
x
x2 + y2
)
para mover una part́ıcula una sola vez alrededor de γ.
Solución:
Como γ = γ1 + γ2 y W =
∫
γ
−→
F ·
−→
dr, calcular el trabajo es igual a
W =
∫
γ1
−→
F ·
−→
dr +
∫
γ2
−→
F ·
−→
dr
Por otro lado, tenemos que P = −yx2+y2 , Q =
x
x2+y2 , tenemos que
∂
∂y
(
−y
x2 + y2
)
=
y2 − x2
(x2 + y2)2
=
∂
∂x
(
x
x2 + y2
)
,∀(x, y) ̸= (0, 0).
Ayudant́ıa 5 de Matemática IV (MAT-024) 4
Aśı, tenemos que:
(i) γ1 encierra la región D1 = {(x, y) : (x− 3)2 + y2 < 4}. D1 es una región simplemente conexa y
además, se tiene que ∂∂y
(
−y
x2+y2
)
= ∂∂x
(
x
x2+y2
)
,∀(x, y) ∈ D1. Luego, F es un campo conserva-
tivo en D1 y, al ser γ1 una curva cerrada simple, se tiene que∫
γ1
−→
F ·
−→
dr = 0.
(ii) γ2 encierra la región D2 = {(x, y) : x2+ y2 < 1}. D2 no es una región simplemente conexa (dado
que ninguna curva contenida en D2 que encierre al origen puede ser deformada hasta un punto),
luego no poder ocupar el argumento anterior. Usando directamente la definición de integral de
ĺınea, tenemos que una parametrización de γ2 está dada por x = cos(θ), y = sen(θ); θ ∈ [0, 2π],
y entonces, x′ = − sen(θ) y y = cos(θ). Aśı, tenemos que∫
γ2
−→
F ·
−→
dr =
∫ 2π
0
− sen(θ)
cos2(θ) + sen2(θ)
(− sen(θ)) + cos(θ)
cos2(θ) + sen2(θ)
(cos(θ))dθ = 2π.
Por lo tanto, el trabajo realizado por la part́ıcula está dado por
W =
∫
γ1
−→
F ·
−→
dr +
∫
γ2
−→
F ·
−→
dr = 0 + 2π = 2π.
Problema 5. Sean P (x, y) = 2xy2f(x)−2x3y2+6x2y , Q(x, y) = yf(x)+2x3 , donde f(x) es una
función diferenciable.
a) Hallar la función f(x) con f(0) =
1
2
, tal que∮
γ
P (x, y) dx+Q(x, y) dy = 0
sobre cualquier curva cerrada.
b) Para la función f(x) encontrada, hallar∫
β
P (x, y) dx+Q(x, y) dy
donde β es una curva que va de A = (0, 0) hasta B = (2, 1) .
Solución:
a) Se quiere hallar f tal que Qx = Py . Observar que
Qx − Py = 0 ⇔ yf ′(x) + 6x2 −
(
4xyf(x)− 4x3y + 6x2
)
= 0
⇔ f ′(x)− 4xf(x) + 4x3 = 0
Se trata de una ecuación lineal de 1er orden. Hacer
f(x) = e
∫
4x dx
[∫
e−
∫
4x dx(−4x3) dx+ C
]
= e2x
2
[
−
∫
e−2x
2
4x3 dx+ C
]
= e2x
2
(
x2 e−2x
2
+
1
2
e−2x
2
+C
)
= x2 +
1
2
+ C e2x
2
Ayudant́ıa 5 de Matemática IV (MAT-024) 5
Luego para tener f(0) =
1
2
tomar C = 0 . Asi f(x) = x2 +
1
2
.
Luego se tieneP (x, y) = xy2 + 6x2y ; Q(x, y) = x2y +
1
2
y + 2x3
Se cumple: Qx − Py = 2xy + 6x2 − (2xy + 6x2) = 0 y por lo tanto la integral∫
γ
P (x, y) dx+Q(x, y) dy = 0
sobre cualquier curva cerrada γ .
b) La integral no depende del camino. Tomar h(x, y) =
1
2
x2y2+2x3y+
y2
4
. Se cumple ∇h(x, y) =
(P (x, y) , Q(x , y)) . Luego
(2,1)∫
(0,0)
P (x, y) dx+Q(x, y) dy = h(2, 1)− h(0, 0) = 73
4
.
Problema 6. Si f, g son funciones de clase C2, muestre las siguientes identidades:
a) ∇2(fg) = f∇2g + g∇2f + 2(∇f · ∇g).
b) ∇ · (f∇g − g∇f) = f∇2g − g∇2f .
c) ∇ · (f∇f) = ||∇f ||2 + f∇2f .
donde ∇2 = ∇ · ∇
Solución:
a) ∇2(fg) = ∇ · ∇(fg) = ∇ · (g∇f + f∇g) = g∇2f +∇f · ∇g + f∇2g +∇g · ∇f , ahora se usa el
hecho que el producto interno es simétrico para funciones reales y se obtiene lo solicitado.
b) ∇ · (f∇g − g∇f) = f∇2g +∇g · ∇f − g∇2f −∇f · ∇g = f∇2g − g∇2f.
c) ∇ · (f∇f) = f∇2f +∇f · ∇f = f∇2f + ||∇f ||2.
Problema 7. Sea r⃗ = (x, y, z) y supongamos que r denota ||r⃗||. Verifique las siguientes identidades.
a) ∇ · (rnr⃗) = (n+ 3)rn
b) ∇× (rnr⃗) = 0⃗
Solución:
a) ∇ · (rnr⃗) = rn∇r⃗ + r⃗ · ∇rn = 3rn + nr⃗ · rn−2r⃗ = (n+ 3)rn.
b) ∇× (rnr⃗) = 0⃗ = rn∇× r⃗ +∇rn × r⃗ = 0⃗ + nrn−2r⃗ × r⃗ = 0⃗.