Pauta Ayudantia 4 MAT024 2022-02 - Alfredo Mallea (2)

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Ayudant́ıa 4
Matemática IV (MAT-024)
Jueves 29 de Septiembre de 2022
Problema 1. Parametrize las curva intersección de las superficies
a) x+ y + z = 4 y x2 + y2 − x+ y + z = 4 .
b) x2 + y2 + z2 = a2 y x2 + y2 = ax, a > 0 .
c) z = 1− x2 y x2 + y2 = 1 .
Solución:
a) Observar que la ecuación x2 + y2 − x+ y + z = 4 corresponde a un paraboloide
z =
9
2
−
(
x− 1
2
)2
−
(
y +
1
2
)2
Por tanto se trata de la intersección entre un paraboloide y un plano, cuya proyección sobre el
plano XY se obtiene haciendo
x2 + y2 − x+ y + z = 4
x+ y + z = 4
⇒ x2 + y2 = 2x ⇐⇒ (x− 1)2 + y2 = 1
Una parametrización seŕıa x = 1 + cos(θ), y = sen(θ), 0 ≤ θ ≤ 2π, con
z = 4− x− y = 3− cos(θ)− sen(θ).
b) Se trata de la intersección del cilindro x2 + y2 = ax con una esfera. De la segunda ecuación
obtenemos (x− a2 )
2 + y2 = a
2
4 , −
π
2 ≤ θ ≤
π
2
Para z ≤ 0 una parametrización de la curva es:
x =
a
2
+
a
2
cos(θ)
y =
a
2
sen(θ)
z = a| sen
(
θ
2
)
|.
; − π
2
≤ θ ≤ π
2
c) Se trata de la intersección del cilindro x2 + y2 = 1 y el cilindro parabólico z = 1− x2
Una parametrización es
x = cos(θ)
y = sen(θ)
z = 1− cos2(θ) = sen2(θ)
con 0 ≤ θ ≤ 2π
Ayudant́ıa 4 de Matemática IV (MAT-024) 2
Problema 2. Considere un alambre que tiene la forma de la curva C intersección de las superficies
S1 : x
2 + y2 + z2 = 4y, S2 : y + z = 4. Si la densidad de masa en cada punto del alambre está dada
por ρ(x, y, z) = x2. Calcular
a) La masa del alambre.
b) El centro de masa.
c) Exprese mediante integrales el momento de inercia respecto al eje X.
Solución:
a) Despejaremos la variable z de S1 y S2 para encontrar la proyección sonbre el plano XY ,
obteniéndose aśı
x2
2
+ (y − 3)2 = 2,
de donde una parametrización es
r⃗(t) =
(√
2 cos(t), 3 + sen(t), 1− sen(t)
)
, 0 ≤ t ≤ 2π.
Se sigue que la masa es
M =
∫
C
ρ(x, y, z) ds
=
∫ 2π
0
2 cos2(t)||(−
√
2 sen(t), cos(t),− cos(t))|| dt
= 2
√
2π.
b) El centro de masa viene dado por:
x̄ =
∫ 2π
0
(
√
2 cos(t))(2 cos2(t))
√
2 dt
2
√
2π
= 0
=
ȳ =
∫ 2π
0
(3 + sen(t))(2 cos2(t))
√
2 dt
2
√
2π
= 3
=
z̄ =
∫ 2π
0
(1− sen(t))(2 cos2(t))
√
2 dt
2
√
2π
= 1
c)
Ix =
∫
C
y2ρ(x, y, z) ds
=
∫ 2π
0
(3 + sen(t))2(2 cos2(t))
√
2 dt.
Problema 3. Calcular ∫
γ
xy dx+ z2 dy + yz dz
donde γ es el pedazo de la curva intersección de las superficies x2+ y2+ z2 = 9 y x2+ y2 = 4y− 3 ,
con x , z ≥ 0 . Además γ se recorre en sentido positivo visto desde el plano xy .
Solución:
Observar que se trata de la intersección de una esfera con un cilindro
Ayudant́ıa 4 de Matemática IV (MAT-024) 3
x2 + y2 = 4y − 3 ⇔ x2 + (y − 2)2 = 1
Luego una parametrización es
x = cos(t)
y = 2 + sen(t)
z =
√
9− (4y − 3) dt = 2
√
1− sen(t)
→
dx = − sen(t) dt
dy = cos(t) dt
dz = − cos(t) dt√
1− sen(t)
con − π ≤ t ≤ π
Luego la integral queda∫
γ
xy dx+ z2 dy + yz dz
=
π∫
−π
[
cos(t)(2 + sen(t))(− sen(t)) + 4(1− sen(t)) cos(t) + (2 + sen(t)) 2
√
1− sen(t)
(
− cos(t)√
1− sen(t)
)]
dt
= −
π∫
−π
(8 sen(t) cos(t) + sen2(t) cos(t)) dt = 0
Problema 4. Sea F⃗ (x, y) = (u(x, y),−v(x, y)) un campo vectorial incompresible e irrotacional de
clase C2.
(a) Muestre que las funciones u, v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
∂u
∂x
=
∂v
∂y
,
∂u
∂y
= −∂v
∂x
(b) Muestre que u, v son funciones harmónicas, es decir
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= 0,
∂2v
∂x2
+
∂2v
∂y2
= 0.
Solución:
(a) 0 = ∇ · F⃗ = ∂u
∂x
− ∂v
∂y
=⇒ ∂u
∂x
=
∂v
∂y
, además 0 = (∇× F⃗ ) · K̂ = −∂v
∂x
− ∂u
∂y
⇒ ∂u
∂y
= −∂v
∂x
.
(b) Derivando con respecto a x ambos lados de la primera igualdad se tiene:
∂2u
∂x2
=
∂
∂x
∂v
∂y
=
∂
∂y
∂v
∂x
= − ∂
∂y
∂u
∂y
= −∂
2u
∂y2
.
Análogamente para v.
Problema 5. Una part́ıcula se mueve sobre el manto del cilindro x2 + y2 = 1 , de forma tal, que la
coordenada z = z(θ) es solución de la ecuación diferencial
d2z
dθ2
= z
z(0) = 1 ,
dz
dθ
(0) = 0
donde (r, θ, z) son las coordenadas ciĺındricas.
Ayudant́ıa 4 de Matemática IV (MAT-024) 4
(a) Encuentre una parametrización de la curva γ descrita por la part́ıcula (use θ como parámetro).
(b) Si C corresponde al pedazo de la curva γ que se forma cuando −π ≤ θ ≤ π (en la dirección
del parametro), calcular ∫
C
(x2 − y2) dx+ dy + (z2 − 1) dz
Solución:
(a) De la ecuación
d2z
dθ2
= z
z(0) = 1 ,
dz
dθ
(0) = 0
se tiene que z(θ) =
1
2
(eθ +e−θ) = cosh(θ) . Luego una parametrización de la curva γ es
x = cos(θ)
y = sen(θ)
z = cosh(θ)
con θ ∈ R
(b) Para el cálculo de la integral necesitamos las derivadas:
dx = − sen(θ) dθ
dy = cos(θ) dθ
dz = sinh(θ) dθ
Asi la integral queda∫
C
(x2 − y2) dx+ (x2 + y2) dy + (z2 − 1) dz
=
π∫
−π
[
(cos2(θ)− sen2(θ))(− sen(θ)) + cos(θ) + (cosh2(θ)− 1) sinh(θ)
]
dθ
=
π∫
−π
(cos2(θ)− sen2(θ))(− sen(θ)) dθ +
π∫
−π
cos(θ) dθ +
π∫
−π
(cosh2(θ)− 1) sinh(θ) dθ = 0