Pauta Ayudantia 11 MAT024 2022-02 - Alfredo Mallea

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Ayudant́ıa 11
Matemática IV (MAT-024)
Jueves 24 de Noviembre de 2022
Problema 1. Resolver por separación de variable el siguiente problema
ut − cos(t)uxx = 0 ; 0 < x < π, t > 0
ux(0, t) = 0, u(π, t) = 0 ; t > 0
u(x, 0) = 2 cos( 5x2 ) ; 0 < x < π
Solución: Buscando soluciones no nulas de la forma u(x, t) = X(x)T (t), tenemos
X ′′
X
=
T ′
cos(t)T
= −λ ⇒
{
X ′′ + λX = 0
X ′(0) = X(π) = 0
de donde resulta que los valores propios y las funciones propias respectivamente son:
λn =
(2n− 1)2
4
, Xn(x) = cos
(
(2n− 1)x
2
)
, n ∈ N,
resolviendo ahora la EDO en la variable temporal
T ′ + λ cos(t)T = 0 ⇒ Tn(t) = e−
(2n−1)2 sen(t)
4 , n ∈ N,
y entonces, por el principio de superposición
u(x, t) =
∞∑
n=1
Cne
− (2n−1)
2 sen(t)
4 cos
(
(2n− 1)x
2
)
,
utilizando ahora la condición inicial
u(x, 0) =
∞∑
n=1
Cn cos
(
(2n− 1)x
2
)
= 2 cos
(
5x
2
)
,
de donde, para n = 3 se tiene C3 = 2, Cn = 0, ∀n ∈ N− {3}.
Finalmente, la solución es
u(x, t) = 2e−
25 sen(t)
4 cos
(
5x
2
)
.
Problema 2. Encuentre una función u = u(x, t) que resuelva el siguiente problema con condiciones
de frontera y condiciones iniciales:
utt − 9uxx = 0, 0 < x < 1, t > 0
ux(0, t) = 0, u(1, t) = 0, t > 0
u(x, 0) = cos
(
π
2x
)
− 10 cos
(
15π
2 x
)
, 0 < x < 1
ut(x, 0) = cos
(
11π
2 x
)
, 0 < x < 1
Ayudant́ıa 11 de Matemática IV (MAT-024) 2
Solución: Buscando soluciones no nulas de la forma u(x, t) = M(x)N(t) se obtienen las ecuaciones
M ′′ + λM = 0 y N ′′ + 9λN = 0. Considerando las las condiciones homogéneas en x se obtiene el
problema de Sturm Liouville {
M ′′(x) + λM(x) = 0
M(1) = 0 = M ′(0)
cuyos valores y funciones propias respectivamente son λn =
(2n−1)2π2
4 ,Mn(x) = cos
(
(2n−1)π
2 x
)
, n ∈ N,
respectivamente. Resolviendo la ecuación para N se obtiene
Nn(t) = An cos
(
3(2n− 1)π
2
t
)
+Bn sen
(
3(2n− 1)π
2
t
)
, n ∈ N.
Por lo tanto, la solución general para u(x, t) es de la forma
u(x, t) =
∞∑
n=1
cos
(
(2n− 1)π
2
x
)[
An cos
(
3(2n− 1)π
2
t
)
+Bn sen
(
3(2n− 1)π
2
t
)]
Imponiendo las condiciones iniciales se tiene
u(x, 0) =
∞∑
n=1
An cos
(
(2n− 1)π
2
x
)
= cos
(πx
2
)
− 10 cos
(
15πx
2
)
Luego,
A1 = 1 A8 = −10, An = 0, ∀n ∈ N− {1, 8}.
Usando la segunda condición inicial
ut(x, 0) =
∞∑
n=1
Bn
3(2n− 1)π
2
cos
(
(2n− 1)π
2
x
)
= cos
(
11π
2
x
)
Luego,
B6 =
2
33π
, Bn = 0, ∀n ∈ N− {6}.
Por lo tanto, la solución del problema original es
u(x, t) = cos
(π
2
x
)
cos
(
3π
2
t
)
+
2
33π
cos
(
11π
2
x
)
sen
(
33π
2
t
)
− 10 cos
(
15π
2
x
)
cos
(
45π
2
t
)
.
Ayudant́ıa 11 de Matemática IV (MAT-024) 3
Problema 3. Resuelve la ecuación de Laplace
uxx + uyy = 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1
u(x, 0) = u(x, 1) = 0, 0 < x < 1
u(0, y) = 0, u(1, y) = 4 sen(πy), 0 < y < 1
Solución:
Consideremos u(x, y) = M(x)N(y), reemplazando obtenemos
N ′′(y) + λN(y) =0
N(0) = N(1) =0
y M ′′(x)− λM(x) = 0
Los autovalores son λn = n
2π2 y las autofunciones son Nn(y) = sen(nπy), n ∈ N. Las soluciones de la
ecuación
M ′′(x)− n2π2M(x) = 0 son Mn(x) = Ane−nπx +Bnenπx
Por lo tanto, la solución general es
u(x, y) =
∞∑
n=1
(
Ane
−nπx +Bne
nπx
)
sen(nπy)
Usando las condiciones iniciales, obtenemos
u(0, y) = 0 =⇒
∞∑
n=1
(An +Bn) sen(nπy) = 0 =⇒ An = −Bn
Es decir,
u(x, y) =
∞∑
n=1
2Bn senh(nπx) sen(nπy)
Por otro lado
u(1, y) = 4 sen(πy) ⇒ 4 sen(πy) =
∞∑
n=1
2Bn senh(nπ) sen(nπy) ⇒ 2B1 senh(π) = 4 y Bn = 0, ∀n ≥ 2.
Luego
u(x, y) =
4
senh(π)
senh(πx) sen(πy).
OBSERVACIÓN IMPORTANTE:
Muchas veces es conveniente escribir la solución de M ′′n − n2π2M = 0, como
Mn(x) = Cn senh(nπx) +Dn senh(nπx)
obteniéndose aśı
u(x, y) =
∞∑
n=1
[Cn senh(nπx) +Dn senh(nπx)] sen(nπy),
para luego utilizar las otras dos condiciones y aśı obtener Cn y Dn.
Problema 4. Resuelva la ecuación
utt(x, t) = uxx(x, t) ; 0 < x < π , t > 0
sujeta a las condiciones
Ayudant́ıa 11 de Matemática IV (MAT-024) 4
ux(0, t) = ux(π, t) = 0 , t ≤ 0
u(x, 0) = cos(2x) , ut(x, 0) = cos(x)
Solución:
Para resolver hacer u(x, t) = M(x)T (t) = MT . Luego derivando y remplazando se tiene
MT ′′ = M ′′T → M
′′
M
=
T ′′
T
= −λ
Por otra parte, de las condiciones de borde se tiene
ux(0, t) =M
′(0)T (t) = 0 ∀t → M ′′(0) = 0
ux(π, t) =M
′(π)T (t) = 0 ∀t → M ′′(π) = 0
Se tienen dos ecuaciones ordinarias
M ′′ + λM = 0
M ′(0) = 0 , M ′(π) = 0︸ ︷︷ ︸
(1)
; T ′′ + λT = 0︸ ︷︷ ︸
(2)
La ecuación (1) corresponde a un problema clásico de Sturm- Liouville, para el cuál hay soluciones no
nulas cuando λ = 0 (M0(x) = cte) y cuando λ = n
2 (Mn(x) = cos(nx)) , n = 1 , 2 , 3 , . . . .
Para la ecuación (2) con λ = 0 se tiene T0(t) = A0 + B0t . Con λ = n
2 se tienen soluciones
Tn(t) = An cos(nt) +Bn sen(nt) , n = 1 , 2 , 3 , . . . .
Solución general:
u(x, t) = A0 +B0t+
∞∑
n=1
(An cos(nt) +Bn sen(nt)) cos(nx)
Su derivada respecto de t queda:
ut(x, t) = B0 +
∞∑
n=1
(−nAn sen(nt) + nBn cos(nt)) cos(nx)
Evaluando en t = 0 se obtiene:
�
u(x, 0) = A0 +
∞∑
n=1
An cos(nx) = cos(2x)
igualando coeficiente se obtiene: A2 = 1 y An = 0 , ∀n ̸= 2 .
�
ut(x, 0) = B0 +
∞∑
n=1
nBn cos(nx) = cos(x)
de donde: B1 = 1 y Bn = 0 , ∀n ̸= 1 .
Luego la solución de la ecuación es:
Ayudant́ıa 11 de Matemática IV (MAT-024) 5
u(x, t) = sen(t) cos(x) + cos(2t) cos(2x).
Problema 5. Use el método de separación de variables para resolver
(t+ 1) [ut(x, t)− uxx(x, t)] + u(x, t) = 0, 0 < x < 2, t > 0
donde u(0, t) = u(2, t) = 0 para t ≥ 0 y
u(x, 0) =
{
1, si 0 ≤ x ≤ 1
0, si 1 < x ≤ 2
Solución:
Buscamos una solución de la forma u(x, t) = M(x)N(t). Reemplazando obtenemos
M ′′(x) + λM(x) = 0 y N ′(t) +
(
1
1 + t
+ λ
)
N(t) = 0.
Usando las condiciones de frontera planteamos el problema de autovalores
M ′′(x) + λM(x) = 0 con M(0) = M(2) = 0.
Los autovalores de este problema de Sturm Liouville son λn =
n2π2
4 y las autofunciones son Mn(x) =
sen
(
nπ
2 x
)
, para n ∈ N. Ahora resolvemos N ′(t) +
(
1
1+t +
n2π2
4
)
N(t) = 0. Las soluciones son
Nn(t) = An
(
1
1 + t
)
e−
n2π2
4 t
Por lo tanto, la solución es
u(x, t) =
∞∑
n=1
An
(
1
1 + t
)
e−
n2π2
4 t sen
(nπ
2
x
)
donde
an =
∫ 2
0
f(x) sen
(nπ
2
x
)
dx =
∫ 1
0
sen
(nπ
2
x
)
dx =
2
nπ
[
1− cos
(nπ
2
)]
Luego,
u(x, t) =
∞∑
n=1
2
nπ
[
1− cos
(nπ
2
)]( 1
1 + t
)
e−
n2π2
4 t sen
(nπ
2
x
)
y utilizar el hecho que
cos
(nπ
2
)
=
{
(−1)n2 , si n es par
0, si n es impar
Problema 6. Resuelva el siguiente problema: Hallar u = u(x, t) tal que
ut + u = cos(t)uxx 0 < x < 1, t > 0,
u(0, t) + u(1, t) = 0 t > 0,
ux(0, t) = 0 t > 0,
u(x, 0) = f(x) 0 < x < 1.
f(x) =
{
π
2 si 0 < x ≤
1
2
0 si 12 ≤ x ≤ 1
Solución:
Ayudant́ıa 11 de Matemática IV (MAT-024) 6
Consideramos u(x, t) = M(x)N(t) luego
ut + u = cos(t)uxx →
M ′′(x)
M(x)
=
N ′(t) +N(t)
cos(t)N(t)
= −λ
el cual genera el problema M ′′(x)+ λM(x) = 0 sujeto a las condiciones M(0)+M(1) = 0, M ′(0) = 0,
cuya solución es Mk(x) = cosπ(1 + 2k)x y λk = π
2(1 + 2k)2 y el problema temporal es N ′k(t) +
(1 + cos(t)λk)Nk(t) = 0 cuya solución es Nk(t) = Ake
−t−λk sin(t), de este modo la solución de la
ecuación sin imponer la condición inicial es
u(x, t) =
∞∑
k=0
Ake
−t−λk sin(t) cos(π(1 + 2k)x),
imponiendo la condición u(x, 0) = 1 y usando la ortogononalidad de las funciones propias se tiene que
u(x, 0) = f(x) =
∞∑
k=0
Ak cos(π(1 + 2k)x) ⇒ Ak =
⟨f(x),mk(x)⟩
⟨mk(x),mk(x)⟩
,
aśı
Ak =
⟨f(x),mk(x)⟩
⟨mk(x),mk(x)⟩
= 2
∫ 1
0
f(x) cos(π(1 + 2k)x)dx
=
∫ 1
2
0
π cos(π(1 + 2k)x)dx =
sin
(
π(1+2k)
2
)
1 + 2k
=
(−1)k
1 + 2k
.