certamen_3_Pauta - Alfredo Mallea

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Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Campus Santiago
Mat-024
Certamen 3 Mat-024
Nombre :
Paralelo o Nombre del profesor:
Prgta.1: Calcule
∫
γ
y2 dx
Donde γ corresponde al cardioide r = 1 + sen θ recorrido en sentido positivo.
Solución:
∫
γ
y2dx = −
∫∫
r≤1+sen(t)
2y dA = − 4
∫ π/2
−π/2
∫ 1+sen(t)
0
r sen(t) · r dr dt
= − 4
3
∫ π/2
−π/2
sen(t)[1 + 3 sen(t) + 3 sen2(t) + sen3(t)] dt
= − 4
3
∫ π/2
−π/2
(3 sen2(t) + sen4(t)) dt
= − 8
3
∫ π/2
0
(3 sen2(t) + sen4(t)) dt
= − 8
3
[
1
2
+
1
8
]
3π
2
= − 5π
2
Prgta.2: Considerar el sólido acotado por las superficies
z = 48− x2 − y2 ; z = 2x2 + 2y2
Sea S su frontera. Calcular
∫∫
S
−→
F · −→n dS
donde
−→
F (x, y, z) = (x, y, z) y −→n apunta hacia afuera.
Solución:
Intersección de las superficies:
z = 48− x2 − y2
z = 2x2 + 2y2
⇒ 2x2 + 2y2 = 48− x2 − y2 ⇒ x2 + y2 = 16
Por otra parte. Sea R la región sólida acotada por la superficie cerrada S . Usando
directamente el Teorema de la divergencia (con div(
−→
F ) = 3 ) se tiene:
∫∫
S
−→
F · −→n =
∫∫∫
R
div(
−→
F ) dV
=3
∫∫∫
R
dV
=12
∫ π/2
0
∫ 4
0
∫ 48−r2
2r2
r dz dr dθ
=6 pi
∫ 4
0
r(48− 3r2) dr
=6π
(
24r2 − 3
4
r4
∣∣∣∣4
0
)
= 1152π
Prgta.3: Calcular el área de la superficieS : x2 + y2 = 4 acotada por los planos z = 0 y
z = y .
Solución:
Parametrización de la superficie S .
x = 2 cos(t)
y = 2 sen(t)
z = z
con
0 ≤ t ≤ π
2
0 ≤ z ≤ 2 sen(t)
ϕt × ϕz =(2 cos(t) , 2 sen(t) , 0)
‖ϕt × ϕz‖ =2
Luego el área queda
A =
∫∫
S
dS =4
∫ π/2
0
∫ 2 sen(t)
0
2dz dt
=8
∫ π/2
0
2 sen(t) dt
= − 16 cos(t)
∣∣∣∣π/2
0
= 16
Prgta.4: Sea S una superficie cualquiera, con borde la curva cerrada
γ :

x =
1
2
+
1
2
cos(t)
y = sen(t)
z =
1
2
− 1
2
cos(t)
Calcular
∫∫
S
∇ ×
−→
F · −→n dS
a) Usando el Teorema de Stokes.
b) Usando el Teorema de la Divergencia.
Donde −→n tiene 1ra coordenada positiva y
−→
F (x, y, z) = (y,−x, z) .
Solución:
a) Usando Teorema de Stokes.
Parametrización de γ .
γ :

x =
1
2
+
1
2
cos(t)
y = sen(t)
z =
1
2
− 1
2
cos(t)
dx = −1
2
sen(t)
dy = cos(t)
dz =
1
2
sen(t)
∫∫
S
∇ ×
−→
F · −→n dS =
∫
γ
y dx− x dy + z dz
=
∫ π
−π
(
−1
2
sen2(t)− 1
2
cos(t)− 1
2
cos2(t) +
1
4
sen(t)− 1
4
sen(t) cos(t)
)
dt
= − 1
2
∫ π
π
dt = −π
b) Usando Teorema de la divergencia.
Notar que la superficie S no es cerrada. Sea S1 la tapa de la superficie S , se trata
de un pedazo elíptico del plano x+ z = 1 .
S1 :
 4
(
x− 1
2
)2
+ y2 ≤ 1
x+ z = 1
Luego la superficie S ∪ S1 es una superficie cerrada como en el Teorema de la
Divergencia. Sea R el sólido encerrado por S ∪ S1 . Se tiene
∫∫
S
∇ ×
−→
F · −→n dS =
∫∫
S∪S1
∇ ×
−→
F · −→n dS −
∫∫
S1
∇ ×
−→
F · −→n dS
=
∫∫∫
R
div(∇ ×
−→
F ) dV −
∫∫
S1
∇ ×
−→
F · −→n dS
se sabe que div(∇ ×
−→
F ) = 0 . Luego queda:
= −
∫∫
S1
∇ ×
−→
F · −→n dS
S1 esta orientada por la normal exterior. Además ∇ ×
−→
F (x, y, z) = (0, 0− 2)
= −
∫∫
4x2+y2≤4x
(0, 0,−2) · (−1, 0,−1) dA
= − 2
∫∫
4x2+y2≤4x
dA = −2
(
1
2
)
π = −π