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Matemática IV (MAT024) Campus Santiago San Joaquı́n Apuntes de Clases Capitulo 2Integrales de Linea Contenidos Sección 1: Integral de Linea de 1er tipo; Longitud de Curva; Masa y Centro de masa. Sección 2: Integrales de Linea de 2do tipo; Trabajo. Sección 3: Independencia de Caminos. Sección 4: Teorema de Green. Integral de Trayectoria; Longitud de Curva; Masa y Centro de Masa Sea γ una curva suave, parametrizada por −→r : [a, b] → Rn de clase C1 . Sean M0 , M1 , . . . Mm puntos en la curva γ ordenados según la parametrización −→r . Considerar P = {t0 , t1 , . . . tm } una partición de [a, b] tal que −→r (ti) = Mi . APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM Intuitivamente una aproximación a la longitud de la curva γ esta dada por la longitud de la poligonal cuyos vértices son M0 , M1 , ... , Mm . Sea l la longitud de la curva (si existe) , se tiene: l ≈ m∑ i=1 ‖Mi −Mi−1‖ = m∑ i=1 ‖−→r (ti)−−→r (ti−1)‖ Usando el Teorema del Valor Intermedio para funciones vectoriales se tiene = m∑ i=1 ‖−→r ′(ci)(ti − ti−1)‖ Para algún ti−1 ≤ ci ≤ ti = m∑ i=1 ‖−→r (ci)‖ (ti − ti−1) Observar que esta última expresión corresponde a una Suma de Riemann para la función h(t) = ‖−→r ′(t)‖ , la cual es continua y por tanto integrable; definida en el intervalo [a, b] . Por otra parte la aproximación es mejor tomando puntos más próximos, lo cual se consigue haciendo que ‖P‖ sea más pequeño. Luego haciendo que ‖P‖ → 0 se tiene: l = ĺım P→0 m∑ i=1 ‖−→r ′(ci)‖ (ti − ti−1) = ∫ b a ‖−→r ′(t)‖ dt La última igualdad se cumple por ser −→r de clase C1([a, b]) . Asimismo, si δ(x1 , . . . , xn) es continua y representa la densidad de masa en el punto (x1 , . . . , xn) . Tomar Qi un punto de la curva, entre Mi−1 y Mi , tal que −→r (ci) = Qi . Luego una aproximación a la masa de la curva γ es: m ≈ m∑ i=1 δ(Qi)‖Mi −Mi−1‖ = m∑ i=1 δ(−→r (ci))‖−→r (ti)−−→r (ti−1)‖ = m∑ i=1 δ(−→r (ci))‖−→r ′(ci)(ti − ti−1)‖ = m∑ i=1 δ(−→r (ci))‖−→r ′(ci)‖(ti − ti−1) MAT024 2 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM Esta última corresponde a una suma de Riemann para la función δ(−→r (t))‖−→r ′(t)‖ la cual es continua y por tanto integrable. Luego haciendo ‖P‖ → 0 se obtiene m = ĺım ‖P‖→0 m∑ i=1 δ(−→r (ci))‖−→r ′(ci)‖(ti − ti−1) = b∫ a δ((−→r (t))‖−→r ′(t)‖ dt Con estos argumentos definimos: Definición 1.1. Sea γ una curva suave, regular y rectificable, parametrizada por longitud de arco −→α (s) , 0 ≤ s ≤ L . Sea f : U ⊂ abto R3 → R un campo escalar continuo, tal que γ ⊂ U . Definimos la Integral de f sobre la curva γ (Integral de Linea de 1er Tipo o Integral de Trayectoria) como:∫ γ f ds =: ∫ L 0 f(−→α (s)) ds = ∫ L 0 f(α(s)) ‖α′(s)‖ ds Para una parametrización cualquiera de la curva γ se cumple: Sea −→r : [a , b]→ Rn una parametrización de clase C1 de la curva γ , suave, regular y rectificable. Se cumple ∫ γ f ds = ∫ b a f(−→r (t)) ‖−→r ′(t)‖ dt Teorema En efecto la curva γ se puede reparametrizar por longitud de arco, haciendo s : [a, b] → [0, l] tal que s(t) = ∫ t 0 ‖−→r ′(t)‖ dt . s es un homeomorfismo y por tanto existe su inversa g : [0, l] → [a, b] . Cumple que −→α (s) = (−→r ◦ g)(s) parametriza γ por longitud de arco. Luego haciendo el cambio de variable t = g(s) se tiene: ∫ γ f ds = l∫ 0 f(−→α (s)) ds = l∫ 0 f(−→r (g(s))) ds = b∫ a f(−→r (t)) ‖−→r ′(t)‖ dt Una consecuencia de lo anterior es que la integral no depende de la parametrización nı́ de la orientación que induce la parametrización. Ejemplo 1.1. Sea g : [a , b]→ R de clase C1 y sea ζ = Gr(g) = { (x , y) : y = g(x) } el gráfico de g . Sea f : A ⊂ abto R2 → R continua, tal que ζ ⊂ A . Una parametrización de ζ es: x = x y = g(x) ⇒ x ′ = 1 y′ = g′(x) MAT024 3 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM con a ≤ x ≤ b . Luego la integral de f sobre la curva ζ = Gr(g) queda:∫ ζ f ds = ∫ b a f(x , g(x)) · √ 1 + (g′(x))2 dx Ejemplo 1.2. Considerar la curva ζ definida por la relación ρ = ρ(θ) con α ≤ θ ≤ β y ρ de clase C1 . Una parametrización de la curva ζ es x = ρ cos θ ; y = ρ sen θ . Luego. dx dθ = dρ dθ cos θ − ρ sen θ dy dθ = dρ dθ sen θ + ρ cos θ Luego ( dx dθ )2 = ( dρ dθ )2 cos2 θ − 2ρ dρ dθ sen θ cos θ + ρ2 sen2 θ ( dy dθ )2 = ( dρ dθ )2 sen2 θ + 2ρ dρ dθ sen θ cos θ + ρ2 cos2 θ Entonces ( dx dθ )2 + ( dy dθ )2 = ( dρ dθ )2 + ρ2 Ası́ para una función escalar f , continua, se tiene: ∫ ζ f ds = β∫ α f(ρ cos(θ) , ρ sen(θ)) √ ρ2 + ( dρ dθ )2 dθ Ejemplo 1.3. Calcular ∫ γ xy ds . Donde γ corresponde al arco de la elipse x2 a2 + y2 b2 = 1 ubicada en el primer cuadrante. Solución: Usar la parametrización −→r 1(θ) dada por: x = a cos(θ) y = b sen(θ) ⇒ x ′ = −a sen(θ) y′ = b cos(θ) 0 ≤ θ ≤ π 2 La integral queda: MAT024 4 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM ∫ γ xy ds = ∫ π/2 0 a cos(θ) b sen(θ) √ a2 sen2(θ) + b2 cos2(θ) dθ = ab(a3 − b3) 3(a2 − b2) Observar que si se usa la parametrización −→r 2(x) definida como: x = x y = b a √ a2 − x2 ⇒ x′ = 1 y′ = − bx a √ a2 − x2 0 ≤ x ≤ a La integral queda: ∫ γ xy ds = ∫ a 0 x b a √ a2 − x2 · √ 1 + a2x2 a2(a2 − x2) dx = ab(b3 − a3) 3(b2 − a2) Observar que −→r 1 y −→r 2 parametrizan γ pero en sentidos contrarios, sin embargo el valor de la integral es el mismo. Ejemplo 1.4. Calcular ∫ C (x+ y) ds donde C corresponde al lazo derecho de la lemniscata ρ2 = a2 cos(2θ) . Solución: Usar la parametrización: x = ρ cos θ ; y = ρ sen θ entonces: ( dx dθ )2 + ( dy dθ )2 = ( dρ dθ )2 + ρ2 = a4 sen2(2θ) ρ2 + a2 cos(2θ) = a4 sen2(2θ) + a4 cos2(2θ) ρ2 = a4 ρ2 Y la integral queda: ∫ C (x+ y) ds = ∫ π/4 −π/4 (ρ cos θ + ρ sen θ) √ a4 ρ2 dθ = ∫ π/4 −π/4 a2 ρ (ρ cos θ + ρ sen θ) dθ = a2 ∫ π/4 −π/4 (cos(θ) + sen(θ)) dθ = √ 2 a2 MAT024 5 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM Si δ(x1, x2, . . . , xn) representa la densidad de masa en el punto (x1, x2, . . . , xn) , la masa de la curva γ esta dada por: m = ∫ γ δ(x1, x2, . . . , xn) ds Por otra parte, si (x1 . . . . , xn) representa el centro de masa de la curva γ , entonces xi = ∫ γ xiδ(x1 , . . . , xn) ds∫ γ δ(x1 , . . . , xn) ds Además el momento de inercia respecto del eje xi∫ γ x2i δ(x1 , . . . , xn) ds Proposición Ejemplo 1.5. Sea γ la curva intersección de las superficies x + y + z = 3 y x2 + y2 = 1 . Si la densidad de masa en un punto (x, y, z) es δ (x, y, z) = √ 1− xy , calcule la masa de la curva. Solución: Parametrización de la curva MAT024 6 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM x = cos θ x′ = − sen θ y = sen θ y′ = cos θ z = 3− cos θ − sen θ z′ = sen θ − cos θ con −π ≤ θ ≤ π . Se tiene: m = ∫ γ √ 1− xy ds = ∫ π −π √ 1− sen θ cos θ √ 2− 2 sen θ cos θ dθ = √ 2 ∫ π −π (1− sen θ cos θ) dθ = √ 2 ∫ π −π dθ = 2 √ 2π Si z es la tercera coordenada del centro de masa, entonces z = 1 2 √ 2π ∫ γ z δ(x, y, z) ds = 1 2 √ 2π π∫ −π (3− cos(θ)− sen(θ))(1− sen θ cos θ) √ 2− 2 sen θ cos θ dθ = 1 2π π∫ −π (3− cos(θ)− sen(θ))(1− sen(θ) cos(θ)) dθ Usando argumentos de paridad = 1 2π π∫ −π (3− cos(θ) + sen2(θ) cos(θ)) dθ = 1 2π ( 3θ − sen(θ) + sen 3(θ) 3 ∣∣∣∣π −π ) = 3 Ejemplo 1.6. Un alambre tiene la forma de la circunferencia x2 + y2 = a2 . Determinar su masa y su momento de inercia con respecto a un diametro, si la densidad de masa es δ(x, y) = |x|+ |y| . Solución: Basta calcular la masa en el primer cuadrante y multiplicar por 4. Usar la parametrización x = a cos(t) y = a sen(t) ; 0 ≤ t ≤ π 2 dx = −a sen(t) dy = a cos(t) MAT024 7 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM Luego la masa queda m = ∫ γ (|x|+ |y|) ds = 4 π/2∫ 0 (a cos(t) + a sen(t)) √ a2 sen2(t) + a2 cos2(t) = 4a2 π/2∫ 0 (cos(t) + sen(t)) dt = 4a2 ( sen(t)− cos(t) ∣∣∣∣π/2 0 ) = 8a2 Para el momento de inercia, tomaremos el eje x ( la porción contenida en el cı́rculo) como el diametro. My=0 = ∫ γ y2δ(x, y) ds = ∫ γ y2(|x|+ |y|) ds = 4 π/2∫ 0 a2sen2(t)(a cos(t) + a sen(t)) √ a2 sen2(t) + a2 cos2(t) dt = 4a4 π/2∫ 0 (sen2(t) + sen3(t)) dt = 4a4 ( sen3(t) 3 + 2 3 ∣∣∣∣π/2 0 ) = 4a4 Ejemplo 1.7. Considerar la curva ζ parametrizada por −→r (t) = (a cos(t) , a sen(t) , bt) ; con a , b > 0 y 0 ≤ t ≤ 2π . Calcular la masa de la curva ζ si la densidad de masa está dada como δ(x, y, z) = x2 + y2 + z2 . Se tiene: m = ∫ ζ δ ds = ∫ 2π 0 (a2 cos( t) + a2 sen2(t) + b2t2) √ (−a sen(t))2 + (a cos(t))2 + b2 dt = √ a2 + b2 ( 2a2π + 8b2π3 3 ) MAT024 8 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM Definición 1.2. Sea γ = γ1 + · · · + γp una curva suave a pedazos . f : U ⊂ abto Rn → R un campo escalar continuo, tal que γ ⊂ U . Definimos la integral de f sobre γ como:∫ γ f ds = ∫ γ1 f ds+ . . . + ∫ γp f ds Ejemplo 1.8. Calcular ∫ γ (x+ y)ds Donde γ es el triángulo con vértices en (0,0) ; (-1,1) y (0,2) . solución: Sea γ1 = { x = t y = −t x′ = 1 y′ = −1 − 1 ≤ t ≤ 0 γ2 = { x = t y = t+ 2 x′ = 1 y′ = 1 − 1 ≤ t ≤ 0 γ3 = { x = 0 y = −t x′ = 0 y′ = 1 0 ≤ t ≤ 2 Hacer ∫ γ1 (x+ y)ds = ∫ 0 −1 0 ds = 0 MAT024 9 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM ∫ γ2 (x+ y)ds = ∫ 0 −1 (2t+ 2) √ 12 + 12 dt = 2 √ 2 ∫ 0 −1 (t+ 1) dt = √ 2 ∫ γ3 (x+ y)ds = ∫ 2 0 t √ 02 + 12 dt = ∫ 2 0 t dt = 2 Haciendo γ = γ1 + γ2 + γ3 se tiene∫ γ (x+ y)ds = ∫ γ1 (x+ y)ds+ ∫ γ2 (x+ y)ds+ ∫ γ3 (x+ y)ds = 0 + 2 + √ 2 Problemas Planteados 1. Calcular ∫ γ (x2 + y2) ds donde γ es la curva parametrica x(t) = cos(t) + t sen(t) e y(t) = sen(t)− t cos(t) . 2. Hallar la masa de un alambre cuya forma se puede describir como la curva intersección de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 y el plano x+ z = 0 . La densidad es δ(x, y, z) = |x| . resp: 4√ 2 Integral de Linea de 2do Tipo; Trabajo Definición 2.1. Sea γ una curva suave, regular y rectificable de longitud L , parametrizada por longitud de arco −→α (s) , 0 ≤ s ≤ L . Sea −→ F : U ⊂ abto Rn → Rn un campo vectorial continuo, tal que γ ⊂ U . Definimos la Integral de −→ F sobre la curva γ (Integral de Linea de 2do Tipo) como:∫ γ −→ F = ∫ γ −→ F · −→ T ds Donde −→ T es el vector tangente unitario a la curva γ . Desarrollando los mismos argumentos que para la integral de primer tipo, se cumple para una parametrización cualquiera de la curva γ . MAT024 10 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM Si −→r (t) es una parametrización de clase C1 , de la curva γ suave, regular y rectificable con a ≤ t ≤ b . Se cumple: ∫ γ −→ F = ∫ b a −→ F (−→r (t)) · −→r ′(t) dt Teorema Notación: Usaremos el sı́mbolo ∫ γ −→ F · d−→r para indicar la integral de −→ F sobre la curva γ . ∫ γ −→ F · d−→r Notac.= ∫ γ −→ F = ∫ b a −→ F (−→r (t)) · −→r ′(t) dt Notación: Sea −→ F = (P,Q,R) un campo vectorial continuo en R3 y −→r (t) = (x(t) , y(t) , z(t) ) entonces d−→r = (dx , dy , dz) entonces la integral de −→ F sobre la curva γ se escribe tambien:∫ γ −→ F · d−→r = ∫ γ P dx+Qdy +Rdz Ejemplo 2.1. Calcular ∫ ζ y dz + z dy + x dz en los siguientes casos: 1. ζ es la curva de intersección de las superficies x+ y = 2 y x2 + y2 + z2 = 2(x+ y) . 2. ζ es la curva intersección de las superficies z = xy y x2 + y2 = 1 . solución: 1. Reemplazando x + y = 2 en la ecuación de la esfera y completando cuadrados se llega a la ecuación de la elipse (x− 1)2 + z 2 2 = 1 en el plano xz . Ası́ se tiene una parametrización de la curva ζ . x = 1 + cos(t) y = 1− cos(t) z = √ 2 sen(t) ⇒ dx = − sen(t)dt y′ = sen(t)dt dz = √ 2 cos(t)dt MAT024 11 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM Con esto y usando la definición se tiene ∫ ζ y dx+z dy+x dz = ∫ π −π [(1−cos(t)(− sen(t))+ √ 2 sen(t) sen(t)+(1+cos(t)) √ 2 cos(t)] dt = 2 √ 2π 2. Una parametrización de la curva ζ es x y z x = cos(t) y = sen(t) z = cos(t) sen(t) ⇒ dx = − sen(t)dt dy = cos(t)dt dz = cos2(t)− sen2(t) La integral queda ∫ ζ y dx+z dy+x dz = ∫ π −π [− sen2(t)+cos2(t) sen(t)+(cos2(t)−sen2(t)) cos(t)] dt = −π Ejemplo 2.2. Calcular ∫ ζ x2dy − y2dx x5/3 + y5/3 donde ζ es la porción en el primer cuadrante, de la astroide x2/3 + y2/3 = a2/3 , recorrida en sentido positivo. solución: Considerar la parametrización x = a cos3 t y = a sen3 t dx = −3a cos2(t) sen(t) dy = 3a sen2(t) cos(t) ; 0 ≤ t ≤ π 2 La integral queda ∫ ζ x2dy − y2dx x5/3 + y5/3 = π/2∫ 0 ( a2 cos6(t)(3a sen2(t) cos(t)) + a6 sen6(t)(3a cos2(t) sen(t)) a5/3 cos5(t) + a5/3 sen5(t) ) dt = 3a4/3 π/2∫ 0 sen2(t) cos2(t)(cos5(t) + sen5(t)) cos5(t) + sen5(t) dt = 3a4/3 π/2∫ 0 (sen2(t)− sen4(t)) dt = 3a 4/3π 16 MAT024 12 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM Observación 2.1. A diferencia de la integral de linea de 1er tipo, en esta integral (de 2do tipo) importa la orientación de la curva. En efecto si −→r 1 y −→r 2 son parametrizaciones de la misma curva suave γ , con dominios [a, b] y [c, d] respectivamente, entonces existe una función g : [a, b] → [c, d] difeomorfismo tal que −→r 1(t) = (−→r 2 ◦ g)(t) . Luego∫ −→r 1 −→ F = ∫ b a −→ F (−→r 1(t)) · −→r ′1(t) dt = ∫ b a −→ F (−→r 2(g(t))) · −→r ′2(g(t))g′(t) dt Haciendo el cambio z = g(t) se tienen los casos: g es creciente, entonces g(a) = c y g(b) = d . La integral queda ∫ −→r 1 −→ F = ∫ b a −→ F (−→r 2(g(t))) · −→r ′2(g(t))g′(t) dt = ∫ d c −→ F (−→r 2(z)) · −→r ′2(z) dz = ∫ −→r 2 −→ F Esto significa que si −→r 1 ; −→r 2 parametrizan en la misma dirección, el valor de la integral permanece igual. g es decreciente, entonces g(a) = d y g(b) = c . La integral queda: ∫ −→r 1 −→ F = ∫ b a −→ F (−→r 2(g(t))) · −→r ′2(g(t))g′(t) dt = ∫ c d −→ F (−→r 2(z)) · −→r ′2(z) dz = − ∫ d c −→ F (−→r 2(z)) · −→r ′2(z) dz = − ∫ −→r 2 −→ F Ası́ si −→r 1 ; −→r 2 parametrizan en sentido contrario, el valor de la integral cambia de signo. Observación 2.2. Sean Mi , i = 0 , 1 , . . . , m , son puntos en una curva suave γ ordenados según la parametrización −→r (t) , a ≤ t ≤ b , tal que−→r (ti) = Mi . Sean �i en el intervalo [ti−1 , ti] , tal que−→r (ti)−−→r (ti−1) = −→r ′(�i) (ti − ti−1) . Tomar Pi un punto en la curva γ , entre los puntos Mi−1 y Mi tal que −→r (�i) = Pi . Por otra parte si −→ F : A ⊂ Rn → Rn representa una fuerza y A es un abierto que contiene a la curva γ . Entonces la suma m∑ i=1 −→ F (Pi) · (Mi −Mi−1) = m∑ i=1 −→ F (−→r (�i)) · (−→r (ti)−−→r (ti−1)) = m∑ i=1 −→ F (−→r (�i)) · −→r ′(�i)(ti − ti−1) es una aproximación al trabajo realizado por la fuerza −→ F al desplazar una particula de masa 1, a lo largo de la curva γ . Haciendo ‖P‖ → 0 se tiene: MAT024 13 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM w = ĺım ‖P‖→0 m∑ i=1 −→ F (−→r (�i)) · −→r ′(�i)(ti − ti−1) = ∫ γ −→ F · d−→r Considerar una particula de masa 1, que se desplaza a lo largo de la curva γ . Sea −→ F continua, una fuerza que actua sobre la particula, entonces el trabajo que realiza la particula es w = ∫ γ −→ F · d−→r Proposición Ejemplo 2.3. Calcular el trabajo realizado por el campo −→ F (x, y, z) = (y2, z2, x2) a lo largo de la curva γ , intersección de las superficies x2 +y2 +z2 = 4 y x2 +z2 = 2z con y ≥ 0 . La curva está recorrida de modo que reflejada en el plano xz el sentido es positivo. solución Observar que la ecuación x2 + z2 = 2z representa una circunferencia en el plano xz , cuya ecuación en coordenadas polares es r = 2 sen(θ) . De allı́ se obtiene la parametrización de la curva. x = r cos(θ) = 2 sen(θ) cos(θ) = sen(2θ) y = √ 4− (x2 + y2) = 2 √ 1− sen2(θ) = 2 cos(θ) z = r sen(θ) = 2 sen(θ) sen(θ) = 2 sen2(θ) con θ moviendose entre −π 2 y π 2 . Por otra parte se tiene: dx = 2 cos(2θ) dy = − 2 sen(θ) dz = 4 sen(θ) cos(θ) = 2 sen(2θ) Luego el trabajo queda: w = ∫ γ y2 dx+ z2 dy + x2 dz = ∫ π/2 −π/2 [ 8 cos2(θ) cos(2θ)− 8 sen5(θ) + 2 sen3(2θ) ] d θ = 16 ∫ π/2 0 cos2(θ)[cos2(θ)− sen2(θ)] d θ = 32 ∫ π/2 0 cos4(θ) d θ − 16 ∫ π/2 0 cos2(θ) d θ = 2π MAT024 14 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICAUTFSM Definición 2.2. Sea γ = γ1 + · · ·+ γp una curva suave a pedazos . −→ F : A ⊂ abto Rn → Rn un campo de vectores continuo, tal que γ ⊂ A . Definimos la integral de −→ F sobre la curva γ como:∫ γ −→ F = ∫ γ1 −→ F ds+ . . . + ∫ γp −→ F Ejemplo 2.4. Sea γ el triángulo de vértices (1,0,0) ; (0,1,0) ; (0,0,1) orientado según el orden inducido por estos 3 puntos. Calcular ∫ γ z dx+ x dy + y dz solución: Sea γ1 el segmento de recta que va desde (1,0,0) hasta (0,1,0) ; γ2 el segmento que va desde (0,1,0) hasta (0,0,1) y γ3 el segmento que va desde (0,0,1) hasta (1,0,0) . Ası́ γ = γ1 + γ2 + γ3 . Una parametrización de γ1 es x = 1− y ; y = y ; z = 0 , de donde dx = −dy ; dy = dy y dz = 0 . Se tiene: ∫ γ1 z dx+ x dy + y dz = ∫ 1 0 (1− y) dy = 1 2 Una parametrización de γ2 es x = 0 ; y = 1− z ; z = z , de donde dx = 0 ; dy = −dz y dz = dz . Se tiene: ∫ γ2 z dx+ x dy + y dz = ∫ 1 0 (1− z) dz = 1 2 Para la curva γ3 el resultado es el mismo. Por lo tanto ∫ γ z dx+ x dy + y dz = ∫ γ1 z dx+ x dy + y dz + ∫ γ2 z dx+ x dy + y dz + ∫ γ3 z dx+ x dy + y dz = 3 2 Problemas Planteados 1. Calcular ∫ γ xy(ydx− xdy) x2 + y2 donde γ es la curva ρ2 = a2 cos 2θ , orientada en sentido positivo. Resp.: MAT024 15 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM 2. Calcule ∫ γ y2 dx Donde γ corresponde al cardioide r = 1 + sen θ recorrido en sentido positivo. Resp.: − 5π 2 3. Sea ζ la curva de intersección de las superficies x2 + y2 + z2 = 4 y x − z = 0 . Calcule la integral ∮ ζ (2x− y) dx− yz2 dy − y2z dz Orientada en el sentido positivo, respecto del plano xy . Resp.: 2 √ 2π Independencia de Caminos, Campos Gradientes y Campos Conservativos Observación 3.1. Sea f : A ⊂ Abto Rn → R de clase C1 y −→ F = ∇ f . Considerar γ una curva cualquiera en A que une los puntos P y Q . Sea −→r (t) ; a ≤ t ≤ b una parametrización de γ . Se cumple: ∫ γ −→ F = ∫ b a −→ F (−→r (t)) · −→r ′(t) dt = ∫ b a ∇ f(−→r (t)) · −→r ′(t) dt = ∫ b a (f ◦ −→r )′(t) dt = (f ◦ −→r )(t) ∣∣∣∣b a = f(−→r (b))− f(−→r (a)) = f(Q)− F (P ) Y el valor de la integral no depende de la curva γ que une P con Q . Definición 3.1. Sea −→ F : A ⊂ Rn → Rn un campo vectorial; A es un abierto conexo (Dominio); P ; Q dos puntos en A . Diremos que la integral de −→ F no depende del camino que une P con Q si∫ γ −→ F = ∫ ζ −→ F Cualesquiera sean las curvas γ y ζ en A que unen los puntos P y Q . Si esto ocurre para cualquier par de puntos P y Q en A diremos solo que la integral de −→ F no depende del camino. MAT024 16 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM Notación. Si la integral de −→ F no depende del camino que une P con Q anotamos Q∫ P −→ F Ejemplo 3.1. Considerar P = (1, 1,−1) y Q = (−1, 2, 5) . Calcular ∫ P Q z2 dx+ 2y dy + 2xz dz . Observar que f(x, y, z) = xz2 + y2 cumple: ∇ f(x, y, z) = (z2 , 2y , 2xz) . Por tanto, según lo establecido arriba ∫ P Q z2 dx+ 2y dy + 2xz dz = f(−1, 2, 5)− f(1, 1,−1) = −23 Definición 3.2. Diremos que −→ F : A ⊂ Rn → Rn un campo gradiente, si existe una función f : A ⊂ Rn → R de clase C1 tal que ∇ f(x) = −→ F (x) ; ∀x ∈ A . Tal función f se dice un potencial del campo −→ F . Ejemplo 3.2. El campo −→ F (x, y) = (2x cos(y) , −x2 sen(y)) es un campo gradiente en R2 . Un poten- cial es la función f(x, y) = x2 cos(y) . Observación 3.2. Si −→ F es un campo gradiente el potencial no es único. En efecto si f(x) es un potencial del campo, entonces h(x) = f(x) + C tambien lo es, cualquiera sea la constante C en R . Ejemplo 3.3. −→ F (x, y) = (6xy − y3 , 4y + 3x2 − 3xy2) es un campo gradiente en R2 . En efecto tomar g(x, y) = 3x2y − xy3 + 2y2 se cumple ∇ g(x, y) = (6xy − y3 , 4y + 3x2 − 3xy2) = −→ F (x, y) . Observación 3.3. Si −→ F es un campo gradiente sobre un dominio A ⊂ Rn entonces la integral de −→ F no depende del camino y solo depende de los puntos inicial y final de la curva. Antes de enunciar los Teoremas relevantes sobre Independencia de Caminos y Teorema de Green necesitamos una definición. Definición 3.3. Sea A ⊂ Rn . Diremos que A es un conjunto estrellado si existe un punto P en A , tal que para todo Q ∈ A el segmento de recta que une Q con P esta contenido en A . Ejemplo 3.4. Rn es estrellado; las bolas abiertas (Br(a)) y las bolas cerradas (Br(a)) , son conjuntos estrellados. MAT024 17 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM Ejemplo 3.5. R2 − {(0, 0)} no es estrellado. Sea A ⊂ Rn un conjunto estrellado ; −→ F : A ⊂ Rn → Rn de clase C1 , −→ F (x) = (P1(x) , . . . , Pn(x)) . Se cumple: −→ F es un campo gradiente ⇔ dPi dxj (x) = dPj dxi (x) ; ∀x ∈ A ; i , j = 1, 2, . . . , n Teorema Ejemplo 3.6. Considerar el campo de vectores −→ F (x, y) = (P , Q) = ( − y x2 + y2 , x x2 + y2 ) cuyo Dominio es R2 − {(0, 0)} . Se cumple dQ dx = dP dy = y2 − x2 (x2 + y2)2 Sin embargo no corresponde a un campo gradiente en R2 − {(0, 0)} el cual no es estrellado . Observar que en dominios que no contienen el eje y el campo −→ F si es un campo gradiente. Un potencial para −→ F en A = {(x, y) ∈ R2 / x > 0} es la función f(x, y) = arc tg (y x ) Sea A ⊂ Rn un conjunto estrellado y −→ F : A → Rn un campo de vectores continuo . Las siguientes proposiciones son equivalentes: 1. −→ F es un campo gradiente. 2. La integral de −→ F no depende del camino. 3. La integral de −→ F sobre cualquier curva cerrada es 0. Teorema Ejemplo 3.7. Calcular (0,1,1)∫ (1,0,1) sen y cosx dx+ cos y senx dy + dz. Solución MAT024 18 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM Observar que el campo −→ F (x, y, z) = (sen y cosx , cos y senx , 1) es conservativo. En efecto: ∂ −→ F 1 ∂y = ∂ −→ F 2 ∂x ; ∂ −→ F 1 ∂z = ∂ −→ F 3 ∂x y ∂ −→ F 2 ∂z = ∂ −→ F 3 ∂y Además −→ F está definido y es de clase C∞ en R3 , simplemente conexo. Por lo tanto la integral no depende del camino. Tomemos el camino x = 1− t dx = −dt y = t dy = dt z = 1 dz = 0 0 ≤ t ≤ 1 Ası́, la integral queda∫ (0,1,1) (1,0,1) sen y cosx dx+ cos y senx dy + dz = ∫ 1 0 (− sen t cos(1− t) + cos t sen(1− t)) dt = ∫ 1 0 sen(1− t− t) dt = ∫ 1 0 sen(1− 2t) dt = cos(1− 2t) 2 ∣∣∣∣1 0 = cos(−1)− cos 1 2 = 0 Ejemplo 3.8. Sea γ = γ1 + γ2 , donde γ1 corresponde a la parte superior (y ≥ 0) de la Astroide x2/3 +y2/3 = 1 ; γ2 es el segmento de recta que une los puntos (-1,0) y (0,-1) . γ se recorre en sentido positivo. Calcular: ∫ γ 2xy dx+ (y2 − x2)dy (x2 + y2)2 solución: Considerar P (x, y) = 2xy (x2 + y2)2 Q(x, y) = y2 − x2 (x2 + y2)2 ⇒ dP dy (x, y) = dQ dx (x, y) = 2x3 − 6xy2 (x2 + y2)3 Por tanto el campo es conservativo en R2−{(0, 0)} . Considerar la porción ζ , del cı́rculo x2 + y2 = 1 que va desde (1,0) hasta (0,-1) , parametrizada como x = cos(t) e y = sen(t) ; 0 ≤ t ≤ 3π 2 . Se cumple: MAT024 19 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM ∫ γ 2xy dx+ (y2 − x2)dy (x2 + y2)2 = ∫ ζ 2xy dx+ (y2 − x2)dy (x2 + y2)2 = 3π/2∫ 0 2 cos(t) sen(t)(− sen(t)) + (sen2(t)− cos2(t)) cos(t) 1 = 3π/2∫ 0 (− sen2(t) cos(t)− cos3(t)) dt = − 3π/2∫ 0 (sen2(t) + cos2(t)) cos(t) dt = − 2 3 − sen(t) ∣∣∣∣3π/2 0 = 1 Bosquejo de una demostración del Teorema: las implicaciones (1)⇒ (2) , (2)⇒ (3) y (3)⇒ (2) no son complicadas de explicar, basta un dibujo . Para la implicación (2) ⇒ (1) se puede definir una función potencial de −→ F = (P1 , . . . , Pn) ası́: Sea Q0 un punto de A fijo. Para x = (x1 , . . . , xn) ∈ A se define g(x) = ∫ Q0 x−→ F · d−→r . Como la integral de −→ F no depende del camino g está bien definido. Se cumple ∇ g(x) = −→ F (x) . En efecto (groseramente) MAT024 20 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM dg dxi (x) = ĺım h→0 g(x+ h−→e i)− g(x) h = ĺım h→0 1 h ∫ Q0 x+h−→e i−→ F · d−→r − ∫ Q0 x−→ F · d−→r = ĺım h→0 1 h ∫ Q0 x+h−→e i−→ F · d−→r − ∫ Q0 x+h−→e i−→ F · d−→r − ∫ x+h−→e i x−→ F · d−→r = ĺım h→0 1 h ∫ x x+h−→e i−→ F · d−→r Para calcular esta última integral, usar el segmentode recta que une x con x+ h−→e i . Una parametri- zación es x1(t) = x1 (fijo) ... xi(t) = t ... xn(t) = xn (fijo) ⇒ dx1 = 0 ... dxi = dt ... dxn = o con xi ≤ t ≤ xi + h . Luego se tiene: = ĺım h→0 1 h ∫ xi+h xi Pi(x1 , . . . , t , . . . , xn) dt Aplicando L’hopital queda = ĺım h→0 Pi(x1 , . . . , xi + h , . . . , xn) = Pi(x) Por lo tanto ∇ g(x) = −→ F (x) . Ejemplo 3.9. Calcular ∫ C ~F · d~r , donde ~F (x, y) = [ 2 cos 2x− e−x (cosxy + y senxy) ] ~ı− [ x e−x senxy ] ~ solución: Observar que −→ F es un campo gradiente y ϕ(x, y) = e−x cosxy + sen 2x+K es un potencial de −→ F . MAT024 21 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM ∫ B A ~F · dα = ϕ(B)− ϕ(A) = ϕ(1, 1)− ϕ(0, 0) = e−1 cos(1) + sen(2)− 1 · 1− 0 = e−1 cos(1) + sen(2)− 1 Ejemplo 3.10. Hallar la integral curvilı́nea∫ (1,0) (0,π 2 ) (xex cos y − yex sen y)dy + (xex sen y + yex cos y)dx solución: Veamos si el campo −→ F (x, y) = (xex sen y + yex cos y , xex cos y − yex sen y) corresponde a un campo gradiente en R2 . P (x, y) = xex sen y + yex cos y ⇒ ∂P ∂y = xex cos y + ex cos y − yex sen y Q(x, y) = xex cos y − yex sen y ⇒ ∂Q ∂x = xex cos y + ex cos y − yex sen y como ∂P (x, y) ∂y ) = ∂Q(x, y) ∂x −→ F es un diferencial total, entonces existe una función f(x, y) tal que : ∂f(x, y) ∂x = P (x, y) ; y ; ∂f(x, y) ∂y = Q(x, y) Si ∂f(x, y) ∂x = P (x, y) = xex sen y + yex cos y , integrando respecto a x se tiene: f(x, y) = ∫ (xex sen y + yex cos y)dx+ g(y) = xex sen y − ex sen y + yex cos y + g(y) derivando con respecto a y se tiene: ∂f(x, y) ∂y = xex cos y − ex cos y + ex cos y − yex sen y + g′(y) = Q(x, y) xex cos y − yex sen y + g′(y) = xex cos y − yex sen y donde g′(y) = 0⇒ g(y) = Cte por lo tanto MAT024 22 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM f(x, y) = xex sen y − ex sen y + yex cos y ∫ (1,0) (0,π 2 ) (xex cos y − yex sen y)dy + (xex sen y + yex cos y)dx = ∫ (1,0) (0,π 2 ) df(x, y) = f(x, y) ∣∣∣(1,0) (0,π 2 ) = f(1, 0)− f(0, π 2 ) = 1 Ejemplo 3.11. En el ejemplo 3.6 se tiene el campo −→ F (x, y) = = ( − y x2 + y2 , x x2 + y2 ) Considerar la curva γ : x2 + y2 = a2 recorrida en sentido positivo. Se tiene∫ γ −ydx+ xdy x2 + y2 = ∫ 2π 0 (−a sen(t))2 + (a cos(t))2 a2 = 2π distinto de cero. Recordar que este campo no es un campo gradiente en ninguna región que contenga al (0,0) . Para este campo se tienen los siguientes resultados. Proposición 3.1. Considerar la curva cerrada γ . Se cumple∫ −ydx+ xdy x2 + y2 = 2nπ donde n es un entero positivo si la curva γ se recorre en sentido positivo, es un entero negativo si se recorre en sentido horario y vale 0 si la curva no contiene, en la región interior a ella, al origen Un resultado más general es el siguiente: Proposición 3.2. Considerar el campo −→ F (x, y) = = ( − y x2 + y2 , x x2 + y2 ) Sean −→r : [a, b] → R2 − {(0, 0)} ; α : [a, b] → R de clase C1 tal que: −→r (t) = ‖−→r (t)‖( cos(−→α (t)) , sen(−→α (t)) ) Entonces ∫ −ydx+ xdy x2 + y2 = α(b)− α(a) MAT024 23 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM Para una demostración usar x = ρ cos(α(t)) ; y = ρ sen(α(t)) donde ρ(t) = ‖−→r (t)‖ y trabajar directamente en la integral. Este campo se conoce como Elemento del ángulo y mide la variación del ángulo de la curva γ respecto del origen. Teorema de Green Sea γ una curva cerrada simple, suave o suave a pedazos. Sea R la región plana (conexa) encerrada por γ . Considerar −→ F : A ⊂ R2 → R2 de clase C1 ; A es abierto y conexo, tal que γ ; R ⊂ A . Suponer que −→ F = (P , Q) . Se cumple∫ γ P dx+Qdy = ∫∫ R ( dQ dx − dP dy ) siempre que γ se recorra en sentido positivo. Teorema de Green Ejemplo 4.1. Sea γ el cardioide r = 1 + sen θ . Calcular ∫ γ y2dx Si γ se recorre en sentido positivo. Solución: Usando Green queda: ∫ r=1+sen θ y2dx = ∫∫ R − 2y dA MAT024 24 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM En coordenadas polares = − 2 ∫ π/2 −π/2 ∫ 1+sen θ 0 2r2 sen θ dr dθ = − 4 ∫ π/2 −π/2 ( r3 3 ∣∣∣∣1+sen θ 0 ) sen θ dθ = − 4 3 ∫ π/2 −π/2 (1 + senθ)3 sen θ dθ = − 4 3 ∫ π/2 −π/2 (3 sen2 θ + sen4 θ) dθ Usando Fórmulas de Wallys = − 8 3 ( 3 2 + 3 8 ) π 2 = − 5π 2 Calculando la integral de linea directamente La curva esta definida por la ecuación r = 1 + sen(θ) . Luego una parametrización (la natural) es: x = r cos(θ) = (1 + sen(θ)) cos(θ) dx = [r′ cos(θ)− r sen(θ)]dθ y = r sen(θ) = (1 + sen(θ)) sen(θ) dy = [r′ sen(θ) + r cos(θ)]dθ Con −π ≤ θ ≤ π . Evaluando ∫ γ y2dx = ∫ π −π r2 sen2(θ)(r′ cos(θ)− r sen(θ)) dθ = ∫ π −π (1 + sen(θ))2 sen2(θ)[cos2(θ)− (1 + sen(θ)) sen(θ)]dθ Luego de calculos menores y una proposición sobre integrales de funciones impares, queda: = ∫ π −π [sen2(θ) cos2(θ)− 3 sen4(θ) + sen4(θ) cos2(θ)− sen6(θ)]dθ Más cálculos menores y un poco de cultura general, queda = 4 ∫ π/2 0 [sen2(θ)− 3 sen4(θ)− 2 sen6(θ)]dθ Y usar las Formulas de Wallys = 4 ( 1 2 − 3 · 1 · 3 2 · 4 − 2 · 1 · 3 · 5 2 · 4 · 6 ) π 2 = − 5π 2 MAT024 25 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM Ejemplo 4.2. Sea γ = γ1 + γ2 + γ3 + γ4 donde γ1 : y = √ 4− x2 γ2 : x = −2 ; −4 ≤ y ≤ 0 γ3 : −2 ≤ x ≤ 2 ; y = −4 γ4 : x = 2 ; −4 ≤ y ≤ 0 Calcular ∫ γ x dx− y dy x2 + y2 γ se recorre en sentido positivo. Solución: Observar que dQ dx − dP dy = 4xy (x2 + y2)2 . Luego usando Green se tiene:∫ γ x dx− y dy x2 + y2 = ∫∫ R 4xy (x2 + y2)2 = 0 La integral doble vale 0, pues la región R es simétrica respecto del eje y además se cumple que f(x,−y) = −f(x, y) y el argumento es el mismo que las funciones impares en una variable. Ejemplo 4.3. Determine ∫ C ~F · d~r donde ~F = (x, x2/2) y C es la unión de las curvas C1 y C2, dadas por las ecuaciones: x2 + y2 = 4y y x2 + y2 = 2y, respectivamente. La curva C1 recorrida en sentido positivo y C2 recorrida en el sentido negativo. Solución: MAT024 26 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM Solución. Usando Teorema de Green: ∂Q ∂x − ∂P ∂y = x se tiene: ∫ γ1 ~F · d~r = ∫∫ x2+y2≤4y x dA ∧ ∫ γ2 ~F · d~r = − ∫∫ x2+y2≤2y x dA ⇒ ∫ γ1 ~F · d~r + ∫ γ2 ~F · d~r = ∫∫ x2+y2≤4 x dA− ∫∫ x2+y2≤2y x dA = 0 ∫∫ x2+y2≤4y x dA = ∫ π 0 ∫ 4 sen θ 0 r2 cos θ dr dθ = ∫ π 0 64 3 sen3 θ cos θ dθ = 64 3 sen4 θ 4 ∣∣∣∣π 0 = 0 Calculando directamente (sin usar Green) x = r cos θ = 4 sen θ cos θ ⇒ dx = (4 cos2 θ − sen2 θ) y = r sen θ = 4 sen2 θ ⇒ dy = 8 sen θ cos θ∫ γ1 x dx+ x2 2 dy = ∫ π 0 ( 16 sen θ cos θ(cos2 θ − sen2 θ) + 64 sen3 θ cos3 θ ) dθ = 16 ∫ π 0 sen θ cos3 dθ − 16 ∫ π 0 sen3 θ cos θ dθ + 64 ∫ π 0 (sen3 θ cos θ − sen5 θ cos θ) dθ −16 4 cos4 θ ∣∣∣∣π 0 = −4(1− 1) = 0 Análogamente ∫ γ2 x dx+ x2 2 dy = 0 Observación 4.1. Si γ y R son como en el Teorema de Green y −→ F = (P,Q) es tal que dQ dx − dP dy = 1 , entonces el área de la región R se puede calcular haciendo una integral de linea. Área(R) = ∫∫ R dA = ∫ γ P dx+Qdy En particular considerar los campos −→ F 1(x, y) = (0, x) ; −→ F 2(x, y) = (−y, 0) se cumple: MAT024 27 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM Sean R y γ como en el Teorema de Green, entonces: Área(R) = ∫ γ x dy = − ∫ γ y dx Teorema Ejemplo 4.4. Calcular el área encerrada por la elipse x2 a2 + y2 b2 = 1 . Solución: Usar la igualdad A(R) = ∫ γ x dy , donde γ es la elipse y se recorre en sentido positivo. Parametrización de la elipse γ : { x = a cos θ y = b sen θ dx = −a sen θ dy = b cos θ −π ≤ θ ≤ π . Luego se tiene A(R) = ∫ γ x dy = ∫ π −π a cos θ(b cos θ) dθ = ab ∫ π −π cos2 θ dθ = π ab Ejemplo 4.5. Use el Teorema de Green para calcular el área de la región encerrada por un arco de la cicloide x(t) = a(t− sen(t)) y(t) = a(1− cos(t)) con a > 0 ; 0 ≤ t ≤ 2π y el eje x . Solución: Sean γ1 el arco de la cicloide, desde t = 0 hasta t = 2π , y γ2 el segmento del eje x , desde (0,0) hasta (1,0). La parametrización de γ1 ya esta dada arriba, solo que parametriza en sentidonegativo. La parametrización de γ2 es: x = t y = 0 con 0 ≤ 1 , de donde dy = 0 . Luego se tiene: MAT024 28 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM A = ∫∫ R dA = − ∫ γ1 x dy + ∫ γ2 x dy = 0∫ 2π a [t− sen(t)] a sen(t) dt + 0 = a2 0∫ 2π [ t sen(t)− sen2(t) ] dt = a2 [ sen(t)− t cos(t)− 1 2 ( t− sen(2t) 2 )] ∣∣∣∣ 0 2π = 3a2π Una generalización del Teorema de Green a regiones multiplemente conexas (regiones con ”hoyos”) es Sean γ ; γ1 ; . . . , γn curvas suaves o suaves a pedazos, cerradas, simples, rectificables, recorridas en sentido positivo, tal que cumplen: γi está en la región interior a la curva γ para todo i = 1, 2, 3, . . . , n . γi está en la región exterior de γj cuando i 6= j , para todo 1 , j = 1, 2, 3, . . . , n . γi ∩ γj = φ para i 6= j , para todo i , j = 1, 2, 3, . . . , n . Sea R la región interior a γ y exterior a las curvas γi , para todo i = 1, 2, 3 . . . , n . Considerar−→ F : A ⊂ R2 → R2 de clase C1 en el dominio A (abierto y conexo) que contiene a R∪ γ ∪ γ1 ∪ · · · ∪ γn Se cumple:∫ γ Pdx+Qdy = n∑ i=1 ∫ γi Pdx+Qdy + ∫∫ R ( dQ dx − dP dy ) dA Teorema De Green para Regiones Multiplemente Conexas MAT024 29 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM La demostración se puede hacer por inducción y es una aplicación directa del Teorema de Green. Basta hacer el caso n = 1 . Ejemplo 4.6. Calcular ∫ ζ xdx+ ydy x2 + y2 donde ζ esta formado por el arco de la parábola y = x2 − 1 con −1 ≤ x ≤ 2 y el segmento de recta que une los puntos (2,3) y (-1,0) . ζ se recorre en sentido positivo. Solución: Sea P (x, y) = x x2 + y2 y Q(x, y) = y x2 + y2 . Se cumple: dP dy (x, y) = − 2xy (x2 + y2)2 = dQ dx (x, y) Observar que el campo −→ F (x, y) = (P (x, y) , Q(x, y) ) tiene una discontinuidad en (0,0) . Por tanto no se puede usar el Teorema de Green, nı́ el Teorema sobre Campos Conservativos (”La integral sobre cualquier curva cerrada vale 0”) . Sin embargo se puede usar el Teorema de Green para Regiones Multiplemente Conexas y elegir una curva que facilite los cálculos. Tomar la curva σ : x2 + y2 = 1 . Se cumplen todos las hipotesis del Teorema de Green para Regiones Multiplemente Conexas. Usando la parametrización clásica x = cos(t) ; y = sen(t) , se tiene: Se puede tomar cualquier curva que cumpla las hipotesis del Teorema y que facilite los cálculos ∫ ζ xdx+ ydy x2 + y2 = ∫ σ xdx+ ydy x2 + y2 = ∫ 2π 0 (− sen(t)) cos(t) + sen(t) cos(t) 1 dt = 0 Ejemplo 4.7. Sea R la región interior a la elipse γ1 : x2 9 + y2 4 = 1 y exterior al cı́rculo γ2 : x2 + y2 = 1 . Calcular la integral de linea∫ γ1+γ2γ 2xy dx+ (x2 + 2x) dy Solución: Usando Green directamente MAT024 30 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM ∫ γ1+γ2 2xy dx+ (x2 + 2x) dy = ∫∫ R (2x+ 2− 2x)dA = 2 ∫∫ R dA = 2(Área elipse - Área cı́rculo) = 2(6π − π) = 10π También se puede usar Green sobre la elipse y Green sobre el cı́rculo. Hacer R = R1 −R2, donde R1 es el interior de la elipse, R2 es el interior del cı́rculo. Green sobre la elipse ∫ γ1 2xy dx+ (x2 + 2x) dy = ∫∫ R1 2dA = 12π Green sobre el cı́rculo (γ1 está orientado en sentido contrario al Teo.Green) − ∫ γ2 2xy dx+ (x2 + 2x) dy = ∫∫ R2 2dA = 2π ∴ ∫ γ2 2xy dx+ (x2 + 2x) dy = −2π Ası́ ∫ γ 2xy dx+ (x2 + 2x) dy = ∫ γ1 2xy dx+ (x2 + 2x) dy + ∫ γ2 2xy dx+ (x2 + 2x) dy = 12π − 2π = 10π Problemas Resueltos 1. Sean A = ( 3π 2 , −π 6 ) y B = ( 1 , π 4 ) . Calcule ∫ B A (sen(xy) + xy cos(xy)) dx + x2 cos(xy) dy solución: Observar que la integral no depende del camino. En efecto: MAT024 31 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM dP dy (x, y) = x cos(xy) + x cos(xy)− x2y sen(xy) dQ dx (x, y) = 2x cos(xy)− x2y sen(xy) Una forma de resolver es evaluando en una función potencial. Hacer g(x, y) = ∫ x2 cos(xy) dy + f(x) = x sen(xy) + f(x) Derivando ahora respecto de x e igualando con P (x, y) se tiene: sen(xy) + xy cos(xy) + f ′(x) = sen(xy) + xy cos(xy) ⇔ f ′(x) = 0 Tomar g(x, y) = x sen(xy) . El valor de la integral queda: ∫ B A (sen(xy) + xy cos(xy)) dx + x2 cos(xy) dy = g(B) − g(A) = √ 2 2 − 3π 2 sen ( π2 4 ) 2. Calcular el área de la región encerrada por la lemniscata (x2 + y2)2 = a2(x2 − y2) solución: La ecuación de la lemniscata en coordenadas polares queda: r2 = cos2(θ)− sen2(θ) ; y el lazo derecho (simétrico al izquierdo) se tiene con −π 4 ≤ θ ≤ π 4 . Aplicando Teorema de Green y parametrizando en polares. MAT024 32 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM A = ∫∫ R dA = ∫ γ x dy = 2 ∫ π/4 −π/4 r cos(θ)(r′ sen(θ) + r cos(θ)) dθ = 2 ∫ π/4 −π/4 (rr′ sen(θ) cos(θ) + r2 cos2(θ)) dθ = 2 ∫ π/4 −π/4 [−2 sen2(θ) cos2(θ) + (cos2(θ)− sen2(θ)) cos2(θ)] dθ = 2 [∫ π/4 −π/4 cos4(θ) dθ − 3 ∫ π/4 −π/4 sen2(θ) cos2(θ) dθ ] = 2 [( 3π 16 + 1 2 ) − ( 3π 16 )] = 1 3. Calcular el área encerrada por la astroide x2/3 + y2/3 = a2/3 solución: Considerar la región R1 correspondiente a la región encerrada por la astroide, ubicada en el 1er cuadrante. Sean γ1 , γ2 y γ3 las curvas x = 0 ; y = 0 y x2/3 + y2/3 = a2/3 con x , y ≥ 0 respectivamente; las curvas que encierran a R1 . Tales curvas se recorren en sentido positivo. Ası́ A = 4 ∫ γ1+γ2γ3 x dy = 4 ∫ γ1 x dy + ∫ γ2 x dy + ∫ γ3 x dy Parametrización de γ1{ x = 0 y = t 0 ≤ t ≤ a ; ⇒ x dy = 0 ⇒ ∫ γ1 x dy = 0 Parametrización de γ2{ x = t y = 0 ; 0 ≤ t ≤ a ; ⇒ x dy = 0 ⇒ ∫ γ2 x dy = 0 Parametrización de γ3 MAT024 33 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM { x = a cos3(t) y = a sen3(t) ⇒ { dx = −3a cos2(t) sen(t) dy = a sen2(t) cos(t) Luego se tiene: A = 4 ∫ γ1+γ2γ3 x dy = 4 ∫ γ1 x dy + 4 ∫ γ2 x dy + 4 ∫ γ3 x dy = 12a2 ∫ π/2 0 cos4(t) sen2(t) dt = 12a2 ∫ π/2 0 (cos4(t)− cos6(t)) dt Wallis = 12a2 ( 3 8 − 15 8 ) π 2 = 3a2π 8 Problemas Planteados 1. Sea ζ la curva r = 2 sen(θ) , recorrida en sentido positivo . Calcular∫ ζ (x2 + arc tg(y)) dy − (y − x3) dx Resp.: π 2. Calcular ∫ γ x2 dy γ corresponde a la curva r = 1 + cos(θ) y se recorre en sentido positivo. Resp.: 5π 4 3. Calcular la integral ∫ γ ( 2x ex 2+2y2 −y ) dx+ ( 4y ex 2+2y2 +x2 ) dy MAT024 34 J.B.I./ N.C.F./L.G.C. APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM donde γ es el arco de la curva y = 2− x2 que va desde el punto (1,1) hasta el punto (-1,1) . Resp.: 10 3 4. Calcule usando el Teorema de Green. ∫∫ D (x− 1) dxdy donde D = { (x, y) ∈ R2 : x 2 4 + y2 ≥ 1 ; x 2 9 + y2 4 ≤ 1 } MAT024 35 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
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