CALCULO (49)

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Escuela Preparatoria Uno 
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN 
 
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PROBLEMAS DE RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEO 
O TASAS DE VARIACIÓN 
 
La velocidad de un automóvil que parte del reposo es 𝑣(𝑡) =
100𝑡
2𝑡+15
 donde 𝑡 =
 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 (𝑠) y 𝑣 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 (𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠). Calcular su aceleración en 5, 10 𝑦 20 𝑠. 
 𝑎(𝑡) = 𝑣′(𝑡) =
1500
(2𝑡+15)2
 
 𝒂(𝒕 = 𝟓) =
𝟏𝟓𝟎𝟎
(𝟐(𝟓)+𝟏𝟓)𝟐
= 𝟐. 𝟒 𝐩𝐢𝐞𝐬/𝐬𝟐 
 𝒂(𝒕 = 𝟏𝟎) =
𝟏𝟓𝟎𝟎
(𝟐(𝟏𝟎)+𝟏𝟓)𝟐
= 𝟏. 𝟐𝟐 𝐩𝐢𝐞𝐬/𝐬𝟐 
 𝒂(𝒕 = 𝟐𝟎) =
𝟏𝟓𝟎𝟎
(𝟐(𝟐𝟎)+𝟏𝟓)𝟐
= 𝟎. 𝟓𝟎 𝐩𝐢𝐞𝐬/𝐬𝟐 
 
Se lanza una pelota de béisbol hacia arriba con una velocidad inicial de 38 𝑚/𝑠, 
si su posición está dada por 𝑠(𝑡) = −4.9𝑡2 + 38𝑡 donde 𝑡 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 (𝑠) y 𝑠 =
 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑚). Hallar su velocidad a los 2 𝑦 4 𝑠 de haberla lanzado. 
 𝑣(𝑡) = 𝑠′(𝑡) = −9.8𝑡 + 38 
 
𝒗(𝒕 = 𝟐) = −𝟗. 𝟖(𝟐) + 𝟑𝟖 = 𝟏𝟖. 𝟒
𝐦
𝐬
 (hacia arriba) 
𝒗(𝒕 = 𝟒) = −𝟗. 𝟖(𝟒) + 𝟑𝟖 = −𝟏. 𝟐
𝐦
𝐬
 (hacia abajo) 
 
La ley de la Gravitación Universal de Newton establece que la fuerza 𝐹 que 
existe entre dos masas, 𝑚1 𝑦 𝑚2 es 𝐹 = 𝐺
𝑚1∙𝑚2
𝑑2
 donde 𝑑 =
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑠𝑎𝑠(𝑚) , 𝑚1 𝑦 𝑚2 = 𝑚𝑎𝑠𝑎𝑠 (𝐾𝑔) , 𝐺 =
 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 (6.67428  0.00067 𝑥 10 − 11 𝑁 ∙ 𝑚2/𝐾𝑔2) 
y 𝐹 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 (𝑁) . Encontrar una ecuación que calcule la razón de cambio 
instantáneo de la fuerza 𝐹 entre las dos partículas con respecto a la distancia 𝑑 
que las separa y explica por qué es negativa. 
𝐹 = 𝐺 ∙ 𝑚1 ∙ 𝑚2 ∙ 𝑑
−2 𝑭′ = −𝟐𝑮
𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟐
𝒅𝟑
 
La ecuación es negativa porque existe una relación inversamente 
proporcional entre la fuerza 𝑭 entre las dos partículas y la distancia 𝒅 
que las separa. Cuando una aumenta la otra disminuye y viceversa. 
 
Cuando se pulsa la cuerda de una guitarra, ésta vibra con una frecuencia de 𝐹 =
200√𝑇 donde 𝑇 = 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 (𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠) y 𝐹 =
 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑣𝑖𝑏𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠/𝑠). Encontrar la razón de cambio instantáneo de la 
frecuencia 𝐹 con respecto a la tensión 𝑇 de la cuerda cuando se tensa a 
4 𝑦 7 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠. 
 
𝑑𝐹
𝑑𝑇
=
100
√𝑇
 
 
𝒅𝑭
𝒅𝑻
(𝑻 = 𝟒) =
𝟏𝟎𝟎
√𝟒
= 𝟓𝟎 
𝒗𝒊𝒃𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔/𝒔
𝒍𝒊𝒃𝒓𝒂