Algebra Basica

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Una expresión algebraica contiene letras, números y
signos. La manipulación de expresiones algebraicas
tiene las mismas propiedades que la manipulación de
expresiones numéricas, ya que las letras se comportan
como si fuesen números. Las expresiones algebraicas que
se tratarán en este curso tendrán, por lo general, una o
dos letras. Un ejemplo:
3x2+4x−2−x2+7x
EXPRESION ALGEBRAICA
VALOR NÚMERICO
El valor numérico de una expresión algebraica se halla
sustituyendo la letra porun número determinado Un ejemplo:
el valor numérico 
de 2𝑥2 + 11𝑥 −
2 cuando x=3
es igual a
2⋅32+11⋅3−2
18+33−2=49
EL GRADO
El grado de una expresión algebraica con una única letra
es el exponente máximo de esta letra en la expresión.
Un ejemplo:
El grado de 2𝑥2 + 
11𝑥 − 2 
es2
OPERACIONES CON 
POLINOMIOS
Concepto
■ Un polinomio o una expresión algebraica es
toda combinación de números y letras ligadas
por los signos de las operaciones aritméticas.
■ Ejemplo:
𝟑𝒙𝒚 − 𝟐𝒙 + 𝟏
Se dividen en cuatro subtemas:
■ Suma de polinomios
■ Resta de polinomios
■ Multiplicación de polinomios
■ División de polinomios
1. SUMA DE 
POLINOMIOS
■ Para realizar la suma de dos o más
polinomios, se debe sumar los coeficientes de
los términos cuya parte literal sean iguales, es
decir, las variables y exponentes (o grados)
deben ser los mismos en los términos a
sumar.
Método 1 para sumarpolinomios
■ Pasos:
1.Ordenar los polinomios del término de
mayor grado al de menor.
2.Agrupar los monomios del mismo grado.
3.Sumar los monomios semejantes.
Ejemplo del primer método parasumar 
polinomios
■ Sumar los polinomios
P(x) = 2x³ + 5x − 3, Q(x) = 4x − 3x² + 2x³.
■1 Ordenamos los polinomios, si no lo están. 
P(x) = 2x³ + 5x − 3
Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x
■2 Agrupamos los monomios del mismogrado. 
P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)
P(x) + Q(x) = (2x³ + 2x³) + (− 3 x²) + (5x + 4x) + (− 3)
 3 Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x³ − 3x² + 9x −3
Método 2 para sumarpolinomios
■ También podemos sumar polinomios 
escribiendo uno debajo del otro, de forma 
que los monomios semejantes queden en 
columnas y se puedan sumar.
Ejemplo del segundo método para sumar
polinomios
■ Sumar los polinomios
P(x) = 7x4 + 4x² + 7x + 2, Q(x) = 6x³ +8x +3.
■ 1.- Ordenar en columnas a los términos de mayor a menor grado, ysumar.
7𝑥4 + 4𝑥2 + 7𝑥 + 2
6𝑥3 + 8𝑥 + 3
7𝑥4 + 6𝑥3 + 4𝑥2 + 15𝑥 + 5
■ 2.- Resultado
P(x) + Q(x) = 7𝑥4 + 6𝑥3 + 4𝑥2 + 15𝑥 + 5
2. RESTA DE 
POLINOMIOS
■La resta de polinomios consiste en
sumar al minuendo el opuesto del
sustraendo.
Ejemplo de resta de polinomios
■ 1.- Restar los polinomios.
P(x) = 2𝑥3 + 5𝑥 − 3, Q(x) = 2𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥
P(x) − Q(x) = 2𝑥3 + 5𝑥 − 3 − (2𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥)
■ 2.- Obtenemos el opuesto al sustraendo deQ(x).
P(x) − Q(x) = 2𝑥3 + 5𝑥 − 3 − 2𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥
■ 3.- Agrupamos.
P(x) − Q(x) = 2𝑥3 − 2𝑥3 + 3𝑥2 + 5𝑥 − 4𝑥 − 3
■ 4.- Resultado de la resta.
P(x) − Q(x) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙 −𝟑
3. MULTIPLICACIÓN DE 
POLINOMIOS
3.1. Multiplicación de un númeropor un
polinomio
■ La multiplicación de un número por un polinomio es, otro
polinomio. El polinomio que se obtiene tiene el mismo grado
del polinomio inicial. Los coeficientes del polinomio que
resulta, son el producto de los coeficientes del polinomio
inicial, por el número ydejando las mismas partes literales.
■ Ejemplos:
1.- 3 × 2𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 2 = 6𝑥3 − 9𝑥2 + 12𝑥 − 6
2.- 2 3𝑥3 − 4𝑥2 + 2𝑥− 1 = 6𝑥3 − 8𝑥2 + 4𝑥 − 2
3.2. Multiplicación de un monomiopor un
polinomio
■ En la multiplicación de un monomio por un polinomio se multiplica
el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el
polinomio. Recordar que primero debemos multiplicar signos,
posteriormente multiplicar los monomios correspondientes, para lo
cual, se debe multiplicar los coeficientes, y luego, realizar la
multiplicación de la parte literal, en donde, al multiplicar variables
iguales los exponentes se sumarán.
■ Ejemplo:
3𝑥2 × 2𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 2
= 3𝑥2 × 2𝑥3 − 3𝑥2 × 3𝑥2 + 3𝑥2 × 4𝑥 − 3𝑥2 × 2
= 6𝑥5 − 9𝑥4 + 12𝑥3 − 6𝑥2
3.3. Multiplicación depolinomios
■ Este tipo de
operaciones se
puede llevar a
cabo de dos
formas distintas.
Método 1 para multiplicarpolinomios
■ Pasos:
■ 1.- Se multiplica cada monomio del primer
polinomio por todos los elementos del segundo
polinomio.
■ 2.- Se suman los monomios del mismo grado, 
obteniendo otro polinomio cuyo grado es la suma de 
los grados de los polinomios que se multiplican.
■ Ejemplo:
■ Multiplicar los siguientes polinomios
P(x) =2𝑥2 − 3,Q(x) = 2𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥
■ 1 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementosdel 
segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = 2𝑥2 − 3 · 2𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 =4𝑥5 − 6𝑥4 + 8𝑥3 − 6𝑥3 + 9𝑥2 −12𝑥
■ 2 Se suman los monomios del mismogrado.
P(x) · Q(x) = 4𝑥5 − 6𝑥4 + 8𝑥3 − 6𝑥3 + 9𝑥2 − 12𝑥 = 4𝑥5 − 6𝑥4 + 2𝑥3 + 9𝑥2 − 12𝑥
■ 3 Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que 
se multiplican.
Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3= 5
P(x) · Q(x) = 𝟒𝒙𝟓 − 𝟔𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝟗𝒙𝟐 −𝟏𝟐𝒙
Método 2 para multiplicarpolinomios
■ También podemos multiplicar polinomios escribiendo un polinomio 
debajo del otro.
■ 1.- En cada fila se multiplica cada uno de los monomios del
segundo polinomio por todos
los monomios del primer polinomio.
■ 2.- Se colocan los monomios semejantes en la misma columna
y posteriormente se suman
los monomios semejantes.
■ 3.- Como la multiplicación de polinomios cumple la propiedad
conmutativa, hemos tomado
como polinomio multiplicador el polinomio más sencillo.
■ Ejemplo:
■Multiplicar los siguientes polinomios 
P(x) = 2𝑥2 − 3, Q(x) = 2𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥
■ Como la multiplicación de polinomios cumple la propiedad conmutativa, hemos tomado
como polinomio multiplicador el polinomio mássencillo.
×
2𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥
2𝑥2 − 3
−6𝑥3 + 9𝑥2 − 12𝑥
+ 4𝑥5 − 6𝑥4 + 8𝑥3
𝟒𝒙𝟓 − 𝟔𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝟗𝒙𝟐 −𝟏𝟐𝒙
4. DIVISIÓN DE 
POLINOMIOS
■ Para dividir un polinomio por un monomio, se 
divide cada monomio del polinomio por el 
monomio, hasta que el grado del dividendo 
sea menor que el grado del divisor.
■ Ejemplo:
■ Resolver la división de los polinomios
P(x) = 𝑥5 + 2𝑥3 − 𝑥 − 8, Q(x) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1
■ P(x) ÷ Q(x)
■ 1.- A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en 
los lugares que correspondan.
𝑥5 + 2𝑥3 − 𝑥 − 8 𝑥2 − 2𝑥 + 1
■ 2.- Ala derecha situamos el divisor dentro del símbolo de división.
■ 3.- Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del
divisor.
𝑥5 ÷ 𝑥2 =𝑥3
■ 4.- Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y
lo restamos del polinomio dividendo
𝑥5 + 2𝑥3 − 𝑥 − 8 𝑥2 − 2𝑥 +1
𝑥3−𝑥5 + 2𝑥4 − 𝑥3
2𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥 −8
■ 5.- Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio
del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2𝑥4 ÷ 𝑥2 = 2𝑥2
𝑥5 + 2𝑥3 − 𝑥 − 8 𝑥2 − 2𝑥 +1
−𝑥5 + 2𝑥4 − 𝑥3 𝑥3 + 2𝑥2
2𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥 −8
−2𝑥4 + 4𝑥3 − 2𝑥2
5𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 − 8
■ 6 Procedemos igual que antes.
5𝑥3 ÷ 𝑥2 = 5𝑥
𝑥5 + 2𝑥3 − 𝑥 −8 𝑥2 − 2𝑥 +1
−𝑥5 + 2𝑥4 − 𝑥3 𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥
2𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥 −8
−2𝑥4 + 4𝑥3 − 2𝑥2
5𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 −8
−5𝑥3 + 10𝑥2 − 5𝑥
8𝑥2 − 6𝑥 − 8
■ 7.- Procedemos igual que
antes. 8÷ 𝑥2 = 5𝑥
𝑥5 + 2𝑥3 − 𝑥 −8 𝑥2 − 2𝑥 + 1
−𝑥5 + 2𝑥4 − 𝑥3 𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 + 8
2𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥 −8
−2𝑥4 + 4𝑥3 − 2𝑥2
5𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 −8
−5𝑥3 + 10𝑥2 −5𝑥
8𝑥2 − 6𝑥 − 8
−8𝑥2 + 16𝑥 − 8
10𝑥 − 16
10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede 
continuar dividiendo.
x3+2x2 +5x+8 es el cociente.
■ Son polinomios que se obtienen de la multiplicación 
entre 2 o mas polinomios que poseen características 
especiales o expresiones particulares, y cumplen ciertasreglas fijas.
Leydistributiva
■(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)
Es el cuadrado de la suma o diferencia de 
dos términos.
Ejemplo:
(5𝑥2-1)2
(6𝑚𝑛2+8n)2
Cuadrado de un trinomio
(𝒂 + 𝒃 + 𝒄) = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 +𝒄𝟐+𝟐𝒂𝒃 + 𝟐𝒂𝒄 + 𝟐𝒃𝒄
(𝒙 − 𝒚+ 𝒛) = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐+𝒛𝟐-𝟐𝒙𝒚 + 𝟐𝒙𝒛 −𝟐𝒙𝒛
Ejemplo:
E l producto de l a sumapor la diferencia de dos expresiones algebraicas
Es igual al cuadrado del primer término menos el 
cuadrado del segundo término
notables
■ Consiste en una division de 2
términos
■ Debe tener signo negativo y el
denominador tiene la raíz perfecta
del numerador. Puede ser signo
+o- y su cociente es igual al
denominador pero con signo
cambiado
C O C I E N T E S
Suma o diferencia de cubos
■ La primera cantidad al 
cuadrado si es mas 
alternando los signos.
■ Y si es negativo todos 
pasan a ser positivos
■ El producto de los dos 
términos del denominadory 
mas el cuadrado del 
segundo término.
𝑎3 + 𝑏3
𝑎 +𝑏
=
FACTORIZACIÓN
La factorización o descomposición factorial es el proceso de presentar una
expresión matemática o un número en forma de multiplicación.
Recordemos que los factores son los elementos de la multiplicación y el
resultado se conoce como producto.
Diferencia de cuadrados:
Es llamado así ya que al binomio conformado por dos términos a los
que se les puede sacar raíz cuadrada exacta. Donde siempre la
diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la
diferencia de sus bases.
EJEMPLO:
16𝒙𝟐-25𝒚𝟐 = (4𝑥 − 5𝑦)(4𝑥 +5𝑦)
𝟒𝒙 − 𝟗 = (2𝑥 − 3)(2𝑥 + 3)
𝑥2 − 9 =
𝒙 + 𝟑 ∗ 𝒙 −𝟑
162 − 36𝑦2 =
𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 ∗ 𝟒𝒙 −𝟔𝒚
Suma de cuadrados perfectos
Un número cuadrado puede ser considerado también como la
suma de dos números triangulares consecutivos. La suma de dos
números cuadrados consecutivos es un número cuadrado
centrado.
EJEMPLO:
(𝑥 +5)2
𝑥2 + 2 𝑥 5 + (5)2
= 𝒙𝟐 +𝟏𝟎𝒙 +𝟐𝟓
(2𝑥 − 3𝑦)2
(2x)2 + 2 2x 3y + (3y)2
= 𝟒𝒙𝟐 +𝟏𝟐𝒙𝒚 +𝟗𝒚𝟐
Suma o diferencia de cubos.
■ La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos 
factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el 
segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz menos 
el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda 
raíz.
EJEMPLOS:
Binomios de la forma 𝑿𝒏 ±𝒂𝒏
Se lo descompone en dos factores el primero es un binomio de las
raíces de sus respectivos exponentes y en el segundo se lo ubica a
cada término en una manera ascendente y descendente respecto a sus
exponentes.
EJEMPLOS:
𝒙𝟓 +𝟑𝟐𝒚𝟓
𝒙 +𝟐𝒚
Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto, por brevedad TCP, son tres términos 
(también llamado común ) que resulta de elevar al cuadrado un binomio 
de un trinomio.
EJEMPLOS:
• x2 − 2x + 1 = = (x − 1)2
• x2 − 6x + 9 = = (x − 3)2
• x2 − 20x + 100 = = (x − 10)2
• x2 + 10x + 25 = = (x + 5)2
• x2 + 14x +49 = = (x + 7)2
𝑥2 + 8𝑥 + 16
(𝑥)2+2 𝑥 4 + (4)2
= (𝒙 +𝟒)𝟐
Factor común
■ Se dice que un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea número o letra, se 
encuentra en todos los términos del polinomio.
a · b + a · c = a · (b + c)
■ 2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)
■ 6 + 10 = 2 · 8
■ 16 = 16
■ a · b − a · c = a · (b − c)
■ 2 · 5 − 2 · 3 = 2 · (5 − 3)
■ 10 − 6 = 2 · 2
■ 4 = 4
2𝑥4 + 4𝑥2 =
2𝑥2 = (𝒙𝟐+𝟐)
10𝑥2𝑦 + 4𝑥3𝑦=
2𝑥2𝑦 = (𝟓 −𝟐𝒙)
Factor común por agrupación
■ Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden 
reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.
EJEMPLOS:
17𝑎𝑥 − 17𝑚𝑥 + 3𝑎𝑦 − 3𝑚𝑦 + 7𝑎𝑧 − 7𝑚𝑧
= 𝑎 17𝑥 + 3𝑦+ 7𝑧 −𝑚 17𝑥 + 3𝑦 +7𝑧
= (𝟏𝟕𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟕𝒛)(𝒂 −𝒎 )
Factorización por Evaluación
■ Recordemos que la factorización por evaluación es la misma
factorización vista cuando hablamos acerca del teorema del factor.
Se evalúa el polinomio en un valor P(a) tal que el polinomio se
anule, se haga cero, por eso se llama evaluación.
EJEMPLOS:
𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟔
P(x)= 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6
P(-1)= (−1)3−4 -1 2 +
Divisores para 6: ±1 , ±2, ±3 y ±6
−1 + 6 = −1 − 4 − 1 + 6 = 0
-11 -4 1 6
-1 5 -6
1 -5 6 0
𝑥2 - 5𝑥 + 6
𝑥3 - 5𝑥 + 6 = (𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟐)(x+1)
X=-1; (x-1)