CONCEPTO-MATEMATICO-DE-DURACION-MODIFICADA-Y-CONVEXIDAD

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CONCEPTO MATEMATICO DE DURACION MODIFICADA Y CONVEXIDAD 
 
DURACION MODIFICADA 
Las tablas de derivada dicen que si: 
𝑓 = (1 + 𝑥) 
La derivada de esa función es: 
= −𝑛(1 + 𝑥) (1) 
 
Ahora bien, el precio de un bono equivale a la actualización de cada uno de los flujos a su TIR 
llevados al momento de su adquisición, podríamos resumirlo de la siguiente manera. 
𝑃𝑅𝐸𝐶𝐼𝑂 =
𝐹𝐹
(1 + 𝑇𝐼𝑅)
=
𝐹𝐹
(1 + 𝑇𝐼𝑅)
+
𝐹𝐹
(1 + 𝑇𝐼𝑅)
+⋯+
𝐹𝐹
(1 + 𝑇𝐼𝑅)
 
Si derivamos lo que está en amarillo, o sea el precio del bono con respecto a un cambio en la TIR 
exigida de acuerdo a (1) vamos a tener lo siguiente: 
𝑑𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜
𝑑𝑇𝐼𝑅
= −𝐹𝐹 (1 + 𝑇𝐼𝑅) + (−2)𝐹𝐹 (1 + 𝑇𝐼𝑅) + ⋯+ (−𝑛)𝐹𝐹 (1 + 𝑇𝐼𝑅) 
Observen que cada flujo de fondos, por caso el flujo 1 está actualizado 2 períodos, el flujo de 
fondos 2 está actualizado 3 períodos y así sucesivamente, esto hace que podamos escribirlo de 
esta siguiente manera: 
𝑑𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜
𝑑𝑇𝐼𝑅
=
−𝑝. 𝐹𝐹
(1 + 𝑇𝐼𝑅)
∗
1
(1 + 𝑇𝐼𝑅)
 
Cuando uno resuelve esa derivada el resultado es negativo. Vamos a multiplicar a la expresión 
por (1/Precio) a ambos lados de la igualdad. 
𝑑𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜
𝑑𝑇𝐼𝑅
∗
1
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜
=
−𝑝. 𝐹𝐹
(1 + 𝑇𝐼𝑅)
∗
1
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜
∗
1
(1 + 𝑇𝐼𝑅)
 
En el segundo término de la igualdad la expresión: 
−𝑝. 𝐹𝐹
(1 + 𝑇𝐼𝑅)
∗
1
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜
= 𝐷𝑈𝑅𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 
que al dividirla por (1+TIR), se convierte en la “Duración Modificada”, o sea que: 
La Duración modificada es la derivada primera del precio con respecto a la tasa divida el precio. 
También podemos decir que la Duración modificada es la Duración dividida por (1+TIR). 
𝑑𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜
𝑑𝑇𝐼𝑅
∗
1
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜
= −
𝐷𝑢𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛
(1 + 𝑇𝐼𝑅)
= −𝐷𝑀 
La Duración modificada es una medida de sensibilidad del cambio en el precio de un bono ante 
una variación en su TIR. 
Si un bono tiene una Duración Modificada de 3, esto nos estaría indicando que si el mercado le 
exigiese un uno por ciento más a la TIR de dicho bono su precio caería en aproximadamente un 
3%. 
La Duración Modificada nos da una aproximación bastante cercana al nuevo precio ante una 
variación de su TIR en un 1%, pero no es exacta. 
Para lograr exactitud en el cálculo a la Duración Modificada se le debe agregar otro cálculo, este 
nuevo cálculo se llama “Convexidad”. 
CONVEXIDAD 
En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de 
potencias o suma de potencias enteras de polinomios como “(x-a)^n” llamados términos de la 
serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o 
punto “a” suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la 
serie. A la serie centrada sobre el punto cero, “a=0”, se le denomina también serie de 
Maclaurin.1 
¿Por qué digo lo anterior?, porque la Convexidad está relacionada con la derivada segunda del 
precio del bono con respecto a la tasa de interés. 
Las diferencias que provoca la Duración Modificada para cambios pequeños en la TIR (p.ej. 1%) 
son bastante chicos, entonces, calculemos la segunda derivada de la función que veníamos 
analizando. 
Recordemos la primera derivada 
𝑑𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜
𝑑𝑇𝐼𝑅
= −
𝐹𝐹
(1 + 𝑇𝐼𝑅)
+ (−2)
𝐹𝐹
(1 + 𝑇𝐼𝑅)
+ ⋯+ (−𝑛)
𝐹𝐹
(1 + 𝑇𝐼𝑅)
 
Esta es la segunda derivada 
𝑑 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜
𝑑𝑇𝐼𝑅
= 2
𝐹𝐹
(1 + 𝑇𝐼𝑅)
+ 6
𝐹𝐹
(1 + 𝑇𝐼𝑅)
+ ⋯+ 𝑛(𝑛 + 1)
𝐹𝐹
(1 + 𝑇𝐼𝑅)
 
Donde el 2 de la segunda derivada surge del producto del exponente por el numerador de la 
primera cambiado de signo, el 6 del producto del exponente del segundo sumando de la primera 
por el numerador en igual condición y el n(n+1) de la misma forma. 
La segunda derivada podemos representarla de esta manera: 
𝑑 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜
𝑑𝑇𝐼𝑅
=
𝑝(𝑝 + 1)𝐹𝐹
(1 + 𝑇𝐼𝑅)
1
(1 + 𝑇𝐼𝑅)
 
Si yo desarrollo la función de Taylor tengo lo siguiente: 
𝑓( ) = 𝑓( ) +
1
1!
𝑓( )(𝑥 − 𝑥 ) +
1
2!
𝑓( )(𝑥 − 𝑥 ) +
1
3!
𝑓( )(𝑥 − 𝑥 ) + ⋯ 
 
1 Wikipedia. 
Reemplazando lo anterior en el precio (P) tengo que: 
𝑃 = 𝑃 +
1
1!
𝑑𝑃
𝑑(𝑇𝐼𝑅)
(𝑇𝐼𝑅 − 𝑇𝐼𝑅 ) +
1
2!
𝑑 𝑃
𝑑(𝑇𝐼𝑅)
(𝑇𝐼𝑅 − 𝑇𝐼𝑅 ) + ⋯+
1
𝑛!
𝑑 𝑃
𝑑(𝑇𝐼𝑅)
(𝑇𝐼𝑅 − 𝑇𝐼𝑅 ) 
 
Volviendo a usar tablas de derivación: 
 
−
𝐹𝐹
(1 + 𝑥)
= −𝐹𝐹 (1 + 𝑥) =
𝑑[−𝐹𝐹 (1 − 𝑥) ]
𝑑𝑥
 
-FF1 es una constante y queda afuera 
−𝐹𝐹 (−2)(1 − 𝑥) = 2𝐹𝐹 (1 − 𝑥) ( ) = 2𝐹𝐹 (1 − 𝑥) 
Si reemplazamos x por TIR tendremos: 
2𝐹𝐹
(1 + 𝑇𝐼𝑅)
 
Si la diferencia entre (TIR-TIR0) es pequeña pueden despreciarse los términos de orden cúbicos y 
superiores por ser éstos infinitésimos de orden superior quedando entonces el desarrollo: 
𝑃 = 𝑃 +
1
1!
𝑑𝑃
𝑑𝑇𝐼𝑅
(𝑇𝐼𝑅 − 𝑇𝐼𝑅 ) +
1
2!
𝑑 𝑃
𝑑(𝑇𝐼𝑅)
(𝑇𝐼𝑅 − 𝑇𝐼𝑅 )