Problemas de calculo vectorial-57

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6.1 Campos vectoriales. Potenciales escalares 169
= F1
(
∂G2
∂z
− ∂G3
∂y
)
+ F2
(
∂G3
∂x
− ∂G1
∂z
)
+ F3
(
∂G1
∂y
− ∂G2
∂x
)
−G1
(
∂F2
∂z
− ∂F3
∂y
)
−G2
(
∂F3
∂x
− ∂F1
∂z
)
−G3
(
∂F1
∂y
− ∂F2
∂x
)
= F · (∇×G)−G · (∇× F) .
� Sea F = (x, y, z) y a ∈ R3 un vector constante. Probar:
730 div (a× F) = 0.
731 ∇× (a× F) = 2a.
732 div ((F · F)a) = 2F · a.
733 ∇× ((F · F)a) = 2(F× a).
Solución 733:
Se trata de realizar las derivadas con un poco de cuidado. Obsérvese que
si F = (x, y, z), entonces F · F = x2 + y2 + z2 = r2. De este modo
∇× (r2a) =
=
(
∂
(
r2a3
)
∂y
− ∂
(
r2a2
)
∂z
,
∂
(
r2a1
)
∂z
− ∂
(
r2a3
)
∂x
,
∂
(
r2a2
)
∂x
− ∂
(
r2a1
)
∂y
)
= (2ya3 − 2za2, 2za1 − 2xa3, 2xa2 − 2ya1) = 2(F× a).
� Averiguar si los siguientes campos vectoriales son gradientes y encontrar un
potencial escalar en caso afirmativo:
734 F = (2x+ y2, x2 + 2y).
735 F = (y cosx, senx).
736 F = (3x+ 5y, 5x− 2y).
737 F = (
√
x2 + y2,
√
x2 + y2).
738 F = (senh y cosh y, coshx senh y).
739 F = (x3 + 2xy + y2, x2 + 2xy + y3).
740 F = (
√
x+
√
y, x2√y ).
741 F = (cosx+ log y, xy + e
y).
742 F = (2xyz + senx, x2z, x2y).
170 Capı́tulo 6 Análisis vectorial170 Capı́tulo 6 Análisis vectorial170 Capı́tulo 6 Análisis vectorial
743 F = (z cos(xy)+y cos(xz), z cos(xy)+x cos(yz), y cos(xz)+x cos(yz)).
744 F = (z cos(xz)− y sen(xy),−x sen(xy), x cos(xz)).
745 F = (y cos z − yzex, x cos z − zex,−xy sen z − yex).
Solución:
738 Sabemos que la condición necesaria y suficiente para que un campo
definido en todo R3 sea gradiente es que su rotacional sea nulo. Esta
condición se reduce a la igualdad de las derivadas
∂F1
∂y
=
∂F2
∂x
para un campo en el plano F = (F1, F2). En este ejemplo concreto
se trata de comprobar dicha igualdad entre las derivadas parciales
correspondientes. Un sencillo cálculo hace ver que si
F1(x, y) = senh y cosh y, F2(x, y) = senh y coshx,
entonces
∂F1
∂y
= cosh2 y + senh2 y,
∂F2
∂x
= senhx senh y,
y por tanto F no es un campo gradiente.
741 Si
F =
(
cosx+ log y,
x
y
+ ey
)
,
es sencillo comprobar que śı se da la igualdad de las derivadas
parciales correspondientes. Por lo tanto este campo śı es gradiente.
Para encontrar un potencial procedemos en dos etapas. En primer
lugar si f(x, y) es el potencial que buscamos, debemos tener
∂f
∂x
= cosx+ log y,
∂f
∂x
=
x
y
+ ey.
Por ejemplo, de la primera igualdad, integrando con respecto a x,
llegamos a que
f(x, y) = senx+ x log y + g(y),
para un cierta función arbitraria g(y). Si derivamos esta expresión
con respecto a y e igualamos a F2 encontramos que la igualdad
x
y
+ g′(y) =
x
y
+ ey
6.1 Campos vectoriales. Potenciales escalares 171
debe verificarse. En consecuencia, descubrimos que
g(y) = ey + constante,
y llevando esta expresión a f (tomando por ejemplo la constante
igual a cero), encontramos el potencial
f(x, y) = senx+ x log y + ey.
743 Para saber si un campo en el espacio es gradiente debemos com-
probar si su rotacional es nulo. Teniendo en cuenta que si
F = (F1, F2, F3)
entonces
rot F =
(
∂F3
∂y
− ∂F2
∂z
,
∂F1
∂z
− ∂F3
∂x
,
∂F2
∂x
− ∂F1
∂y
)
,
es fácil comprobar en este caso que el rotacional del campo F
proporcionado no es nulo, pues ya la primera componente no se
anula.
745 Es sencillo comprobar que el campo
F = (y cos z − yzex, x cos z − zex,−xy sen z − yex) ,
śı es gradiente, pues su rotacional es cero.
Sea f(x, y, z) un potencial del mismo. Procedemos en tres etapas
para determinar f . En primer lugar, debemos exigir
∂f
∂x
= F1 = y cos z − yzex,
de donde integrando con respecto a x, se obtiene
f(x, y, z) = yx cos z − yzex + g(y, z),
siendo g una función de (y, z). En segundo lugar, debemos tener
x cos z − zex = F2 =
∂f
∂y
= x cos z − zex + ∂g
∂y
,
de donde
∂g
∂y
= 0,
y en consecuencia g = g(z). Finalmente, exigimos
−xy sen z − yex = F3 =
∂f
∂z
= −yx sen z − yex + g′(z)
y concluimos que g debe ser una constante que tomamos, por
ejemplo, como cero. Un potencial es
f(x, y, z) = yx cos z − yzex.