Problemas de calculo vectorial-64

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190 Capı́tulo 6 Análisis vectorial190 Capı́tulo 6 Análisis vectorial190 Capı́tulo 6 Análisis vectorial
Aśı la contribución a la integral anterior sobre este segmento será
1
2
∫ 1
0
[((1− t)a1 + ta2)(b2 − b1)
−((1− t)a2 + tb2)(b1 − a1)] dt.
Después de unos cuantos cálculos y cancelaciones, llegamos a que
tal integral vale
1
2
(a1b2 − b1a2) =
1
2
det
(
A
B
)
.
Un sencillo argumento inductivo nos dirá que si una región esta
limitada por los segmentos que unen los puntos Ai = (a
i
1, a
i
2),
i = 1, 2, . . . , n donde A1 = An+1, entonces el área de tal figura
será
1
2
n∑
i=1
det
(
Ai
Ai+1
)
.
En el caso concreto que nos ocupa, tras concretar el orden en el
que deben tomarse los puntos, obtenemos
1
2
(
det
(
1 −2
3 0
)
+ det
(
3 0
4 3
)
+ det
(
4 3
0 −1
)
+ det
(
0 −1
1 −2
))
= 6.
809 La curva astroide o hipocicloide está representada en la Figura 91.
Para encontrar el área que encierra, usamos el teorema de Green
Área(D) =
1
2
∫
C
(x dy − y dx).
En este caso se tiene
Área(D) =
1
2
∫ 2π
0
3 sen2 t cos2 t dt
=
3
8
∫ 2π
0
sen2(2t) dt =
3
8
π.
Hemos usado las fórmulas del ángulo doble para realizar esta última
integración.
6.3 Teorema de Green 191
810 Usar la forma vectorial del teorema de Green para probar la primera
identidad de Green:∫∫
D
f∇2g dA =
∫
∂D+
f(∇g) · n dσ −
∫∫
D
∇f · ∇g dA
donde D satisface las hipótesis del teorema de Green y las derivadas parciales
de f y g (que son funciones de R2 en R) existen y son continuas alĺı donde
sea necesario.
811 Aplicar la primera identidad de Green para probar la segunda identidad de
Green: ∫∫
D
(
f∇2g − g∇2f
)
dA =
∫
∂D+
(f∇g − g∇f) · n dσ
en las mismas condiciones del Ejercicio 810.
812 (a) Sea C un segmento de recta que une los puntos (x1, y1) con (x2, y2).
Probar que
1
2
∫
C
x dy − y dx = 1
2
(x1y2 − x2y1).
(b) Denotemos por (x1, y1), (x2, y2),. . . ,(xn, yn) los vértices de un po-
ĺıgono recorridos en sentido antihorario alrededor del mismo. Usar el
apartado anterior para probar que el área del poĺıgono es
Área =
1
2
n∑
i=1
(xiyi+1 − xi+1yi),
donde xn+1 = x1 e yn+1 = y1.
813 Si R es una región del plano tal que C = ∂R está orientada positivamente,
probar que para toda función dos veces diferenciable:∫
C
∂f
∂x
dy − ∂f
∂y
dx =
∫∫
R
∆f dA.
814 Sean P (x, y) = xx2+y2 y Q(x, y) =
y
x2+y2 :
(a) Comprobar que
∫
∂R+
P dy − Qdx =
∫∫
R
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
dA, con R el
anillo entre las circunferencias x2 + y2 = 4 y x2 + y2 = 1.
(b) Probar que
∫
∂D+
P dy −Qdx 6=
∫∫
D
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
dA, con D el disco
x2 + y2 ≤ 1.
192 Capı́tulo 6 Análisis vectorial192 Capı́tulo 6 Análisis vectorial192 Capı́tulo 6 Análisis vectorial
(c) Explicar la aparente contradicción del apartado anterior con el Teorema
de Green.
815 Calcula la integral
I =
∫
C
y3 dx+ x3 dy,
donde C es la curva dada en polares con ecuación r = sen(2θ), 0 ≤ θ ≤ π2 .
Solución 815:
Por el teorema de Green, podemos escribir
I =
∫∫
D
3(x2 − y2) dx dy
donde D es la región encerrada por la curva cerrada C, que corresponde
a un cuarto de la rosa de cuatro pétalos (véase Figura 55). Calculando
esta integral doble en coordenadas polares, puesto que su frontera nos
la proporcionan en estas coordenadas, tendremos
I =3
∫ π
2
0
∫ sen(2θ)
0
r2(cos2 θ − sen2 θ)r dr dθ
=
3
4
∫ π
2
0
cos(2θ) sen4(2θ) dθ =
3
40
sen5(2θ)
∣∣∣∣
π
2
0
= 0.
0 0.5 1
0
0.5
1
Figura 55: Curva del Ejercicio 815
816 Se considera la curva C parametrizada por σ(t) = (t, sen t), t ∈ [0, 2π].
Para el campo F(x, y) = (y − x, y2), calcular la integral de ĺınea
∫
C
F
mediante el teorema de Green.