Problemas de calculo vectorial-66

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196 Capı́tulo 6 Análisis vectorial196 Capı́tulo 6 Análisis vectorial196 Capı́tulo 6 Análisis vectorial
donde D es el ćırculo centrado en el origen de radio a. Los vectores Φx
y Φy coinciden con los vectores(
1, 0,
∂z
∂x
)
,
(
0, 1,
∂z
∂y
)
,
y la integral queda∫
D
√
a2 − x2 − y2
√
1 +
(
∂z
∂x
)2
+
(
∂z
∂y
)2
dx dy.
Después de realizar estas operaciones con un poco de cuidado, resulta
que la integral es ∫
D
a dx dy = πa3.
821 Calcular
∫
S
z2 dS donde S es la frontera del cubo [−1, 1]3.
� Calcular las siguientes integrales de superficie:
822
∫
S
y dS, donde S es la porción del plano 3x+2y+z = 6 comprendida
en el primer octante.
823
∫
S
xz dS, con S es el triángulo de vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1).
824
∫
S
x dS, para S definida por y = x2 + 4z, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 2.
825
∫
S
yz dS, donde S es la porción de z = y+ 3 interior a x2 + y2 = 1.
826
∫
S
(y2 + z2) dS, S la porción de x = 4− y2 − z2 situada al frente de
x = 0.
827
∫
S
(x2 + y2 + z2) dS, donde S es el cilindro x2 + y2 = 9 comprendido
entre los planos z = 0 y z = 2, incluidas sus tapas.
Solución:
822 Si representamos la parte del plano 3x + 2y + z = 6 en el primer
octante (véase la Figura 58) nos damos cuenta de que se trata
de un triángulo. Como además la función que tenemos que integrar
sobre este triángulo es y, podemos tomar como parámetros las otras
dos variables (x, z) y tomar y = 12 (6 − z − 3x). La proyección del
triángulo anterior sobre el plano XZ nos dará la región en la que
6.4 Integrales de superficie 197
se mueven los parámetros (x, z). Esta proyección es también un
triángulo determinado por las tres rectas x = 0, z = 0 y 3x+ z = 6
(poniendo y = 0 en la ecuación del plano). En definitiva,
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 6− 3x.
La integral que nos solicitan se escribe por tanto
0
1
2
0
5
0
2
Figura 58: Representación gráfica del Ejercicio 822
I =
∫ 2
0
∫ 6−3x
0
6− z − 3x
2
√
1 +
(
1
2
)2
+
(
3
2
)2
dz dx.
Los cálculos, que son sencillos en este caso, nos llevan a
I = 3
√
14.
825 La superficie S en la que debemos integrar es la porción del plano
z = y + 3 dentro del cilindro x2 + y2 = 1. En consecuencia, la
elección más sencilla de parámetros corresponde a (x, y) que se
deben mover en el ćırculo unitario del plano C. La superficie se
considera aśı como una parte del grafo z = y + 3. Por tanto
I =
∫
C
y(y + 3)
√
1 + 1 dx dy =
√
2
∫
C
(y2 + 3y) dx dy.
Si ahora cambiamos a coordenadas polares, tendremos
I =
√
2
∫ 2π
0
∫ 1
0
(r2 sen2 θ + 3r sen θ)r dr dθ.
Todas las integraciones involucradas son más o menos inmediatas,
teniendo en cuenta las ideas de caṕıtulos anteriores, llegando al
resultado final
I =
√
2π
4
.
198 Capı́tulo 6 Análisis vectorial198 Capı́tulo 6 Análisis vectorial198 Capı́tulo 6 Análisis vectorial
Nótese que se podŕıan haber elegido desde el principio como
parámetros para describir la superficie S, las coordenadas polares.
827 La superficie S es el cilindro x2 + y2 = 9 comprendido entre z = 0
y z = 2, incluyendo las dos tapas z = 0, x2 + y2 ≤ 9, y z = 2,
x2+y2 ≤ 9. Dicha superficie consta por tanto de tres partes, las dos
tapas y la superficie lateral, y debemos calcular tres contribuciones
a la integral para después sumarlas.
En primer lugar, cuando z = 0, una parametrización válida es
Φ(x, y) = (x, y, 0), (x, y) ∈ {x2 + y2 ≤ 9},
con vector normal de longitud uno. Aśı tendremos
I1 =
∫
{x2+y2≤9}
(x2 + y2) dx dy.
Mediante las coordenadas polares encontramos inmediatamente
I1 =
81
2
π.
Para la tapa superior, la parametrización puede ser (x, y, 2) con
(x, y) ∈ {x2 + y2 ≤ 9}, y análogamente
I2 =
∫
{x2+y2≤9}
(x2 + y2 + 4).
Igual que antes encontramos
I2 =
153
2
π.
Finalmente para la superficie lateral usamos como parámetros para
describirla el ángulo θ y la altura z. Aśı tendremos
x = 3 cos θ, y = 3 sen θ, z = z.
En este caso la longitud del vector normal es tres. La integral queda
I3 =
∫ 2π
0
∫ 2
0
3(9 + z2) dz dθ.
Los cálculos conducen a
I3 = 124π.
Por último la respuesta final será I = I1 + I2 + I3 = 241π.