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Análisis Dinámico - Ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden - la ecuación de Bernouilli
Ricardo Matias
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Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Análisis Dinámico: Ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden: la ecuación de Bernouilli Jesús Getán y Eva Boj Facultat d’Economia i Empresa Universitat de Barcelona Mayo de 2017 Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 1 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Introducción Solución modelo general Modo 1 Modo 2 Ejemplos Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 2 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Introducción Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de Bernouilli, las denotaremos α0(x)y ′ + α1(x)y = f(x)y r, (1) donde r ∈ R junto con que r 6= 0, 1 y α0(x) 6= 0 para todo x, i.e. la ecuación 5y′ − 3xy = 2y0.5. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 3 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Nótese que, si r = 0, tenemos la ecuación diferencial lineal α0(x)y ′ + α1(x)y = f(x), i.e. la ecuación 5xy′ + (x+ 3)y = 2xy0. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 4 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Si r = 1, tenemos la ecuación diferencial lineal α0(x)y ′ + α1(x)y = f(x)y, simplificando α0(x)y ′ + (α1(x)− f(x)) y = 0. i.e. la ecuación 2xy′ + 3x2y = 2xy1, simplificando 2xy′ + ( 3x2 − 2x ) y = 0. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 5 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica I ¿Cómo distinguir los elementos de las ecuaciones? α0(x)y ′ + α1(x)y = f(x)y r, I Término de primer orden I Término de orden cero I Término de potencia con r 6= 0, 1. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 6 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica I ¿Cómo distinguir los elementos de las ecuaciones? α0(x)y ′ + α1(x)y = f(x)y r, I Término de primer orden I Término de orden cero I Término de potencia con r 6= 0, 1. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 6 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica I ¿Cómo distinguir los elementos de las ecuaciones? α0(x)y ′ + α1(x)y = f(x)y r, I Término de primer orden I Término de orden cero I Término de potencia con r 6= 0, 1. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 6 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica I ¿Cómo distinguir los elementos de las ecuaciones? α0(x)y ′ + α1(x)y = f(x)y r, I Término de primer orden I Término de orden cero I Término de potencia con r 6= 0, 1. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 6 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Modo 1 Modo 2 Solución de la ecuación α0(x)y ′ + α1(x)y = f(x)y r. (2) Modo 1: Hacemos el cambio z = y(1−r). Sabemos que y = z 1 1− r , y′ = 1 1− r z 1 1− r −1 z′ = z r 1− r 1− r z′. Sustituyendo en (2) resulta α0(x) z r 1− r 1− r z′ + α1(x)z 1 1− r = f(x)z r 1− r . Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 7 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Modo 1 Modo 2 Simplificando α0(x) 1− r z′ + α1(x)z = f(x). Volviendo a simplificar, obtenemos z′ + α1(x)(1− r) α0(x) z = f(x)(1− r) α0(x) . Resultando una ecuación diferencial lineal de primer orden que se resuelve por el método estudiado. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 8 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Modo 1 Modo 2 Modo 2: Hacemos y(x) = u(x)v(x) (3) y derivamos y′ = u′v + uv′. Sustituimos en la ecuación (2) resultando α0(x)u ′v + α0(x)uv ′ + α1(x)uv = f(x) (uv) r Reordenando( α0(x)u ′ + α1(x)u ) v + α0(x)uv ′ = f(x) (uv)r . (4) Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 9 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Modo 1 Modo 2 Para determinar la función u exigimos que α0(x)u ′ + α1(x)u = 0, de donde u′ u = −α1(x) α0(x) . Resolviendo, tenemos que u(x) = e − ∫ α1(x) α0(x) dx . (5) Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 10 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Modo 1 Modo 2 Sustituyendo (5) en (4) y reordenando obtenemos v′ vr = f(x)ur α0(x)u . Que es una ecuación de variables separables y su solución es v1−r 1− r = ∫ f(x)ur α0(x)u dx, reordenando v(x) = ( (1− r) ∫ f(x)ur α0(x)u dx ) 1 1−r . Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 11 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Modo 1 Modo 2 La solución general será y(x) = e − ∫ α1(x) α0(x) dx ( (1− r) ∫ f(x)ur α0(x)u dx ) 1 1−r con u(x) = e − ∫ α1(x) α0(x) dx . Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 12 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 1 Hallar la solución general de 3(1 + x2) dy dx = 2xy(y3 − 1). Simplificamos y reordenamos los términos y′ + 2x 3(1 + x2) y = 2x 3(1 + x2) y4. Observamos que es una ecuación de Bernoulli en y. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 13 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Para su resolución aplicaremos el cambio de variable: z = y−3. El cambio implica dz dx = z′ = −3y−4y′, por tanto, −1 3 z′ = y−4y′. Para resolver, multiplicamos la ecuación por y−4 resultando la expresión y−4y′ + 2x 3(1 + x2) y−3 = 2x 3(1 + x2) , en la que aplicamos el cambio. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 14 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Se trata de resolver la ecuación lineal z′ − 2x 1 + x2 z = − 2x 1 + x2 . La ecuación homogénea asociada es z′ − 2x 1 + x2 z = 0. La solución de la homogénea es zh = C(1 + x 2). Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 15 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Proponemos como solución particular z (x) = C (x) (1 + x2). Derivamos y obtenemos z′ = 2xC (x) + (1 + x2)C ′ (x) . Sustituimos z y z′ en la ecuación completa 2xC (x) + (1 + x2)C ′ (x)− 2x 1 + x2 C (x) (1 + x2) = − 2x 1 + x2 . Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 16 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Simplificamos y resolvemos la ecuación diferencial resultante C ′ (x) = −2x (1 + x2)2 , C (x) = (1 + x2)−1. Por tanto, la solución particular es zp = 1. La solución completa es z = zh + zp = C(1 + x 2) + 1. (6) Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 17 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Deshacemos el cambio de variable, que era z = y−3, y obtenemos como solución y−3 = C(1 + x2) + 1, finalmente y = 1 3 √ C(1 + x2) + 1 . Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 18 / 63 Introducción Solución modelo general EjemplosEjemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 2 Hallar la solución general de 2 dy dx = y x − x y2 , con y(1) = 1. Operamos y reordenamos los términos y′ − 1 2x y = x 2 y−2. Observamos que es una ecuación de Bernoulli en y. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 19 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Para su resolución aplicaremos el cambio de variable: z = y3. El cambio implica dz dx = z′ = 3y2y′, por tanto, 1 3 z′ = y2y′. Para resolver, multiplicamos la ecuación por y2 resultando la expresión y2y′ + 1 2x y3 = −x 2 . en la que aplicamos el cambio. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 20 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Se trata de resolver la ecuación lineal z′ − 3 2x z = −3x 2 . La ecuación homogénea asociada es z′ − 3 2x z = 0. La solución de la homogénea es zh = Cx 3 2 . Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 21 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Proponemos como solución particular z (x) = C (x)x 3 2 . Derivamos y obtenemos z′ = C (x) 3 2 x 1 2 + C ′ (x)x 3 2 . Sustituimos z y z′ en la ecuación completa C (x) 3 2 x 1 2 + C ′ (x)x 3 2 − 3 2x Cx 3 2 = −3x 2 . Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 22 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Simplificamos y resolvemos la ecuación diferencial resultante C ′ (x) = −3 2 x − 1 2 , C (x) = −3x 1 2 . Por tanto, la solución particular es zp = −3x2. La solución completa es z = zh + zp = Cx 3 2 − 3x2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 23 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Deshacemos el cambio de variable, que era z = y3, y obtenemos como solución y3 = Cx 3 2 − 3x2, finalmente y = 3 √ Cx 3 2 − 3x2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 24 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Si aplicamos la condición y(1) = 1 obtenemos: y(1) = 3 √ C(1) 3 2 − 3(1)2 = 3 √ C − 3 = 1, dándonos C = 4. Por tanto, la solución es y = 3 √ 4x 3 2 − 3x2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 25 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 3 Resolver la ecuación diferencial y 1 2 dy dx + y 3 2 = 1, con y(0) = 4. Operamos y reordenamos los términos y′ + y = y − 1 2 . Observamos que es una ecuación de Bernoulli en y. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 26 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Para su resolución aplicaremos el cambio de variable: z = y 3 2 . El cambio implica dz dx = z′ = 3 2 y 1 2 y′, por tanto, 3 2 z′ = y 1 2 y′. Para resolver, multiplicamos la ecuación por y 1 2 resultando la expresión y 1 2 y′ + y 3 2 = 1. en la que aplicamos el cambio. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 27 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Se trata de resolver la ecuación lineal z′ + 3 2 z = 3 2 . La ecuación homogénea asociada es z′ + 3 2 z = 0. La solución de la homogénea es zh = Ce − 3x 2 . Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 28 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Proponemos como solución particular z (x) = C (x) e − 3x 2 . Derivamos y obtenemos z′ = C ′ (x) e − 3x 2 + C (x) ( −3 2 )e − 3x 2 . Sustituimos z y z′ en la ecuación completa C ′ (x) e − 3x 2 + C (x) ( −3 2 )e − 3x 2 + 3 2 C (x) e − 3x 2 = 3 2 . Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 29 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Simplificamos y resolvemos la ecuación diferencial resultante C ′ (x) = 3 2 e 3x 2 , C (x) = e 3x 2 . Por tanto, la solución particular es zp = 1. La solución completa es z = zh + zp = Ce − 3x 2 + 1. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 30 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Deshacemos el cambio de variable, que era z = y 3 2 , y obtenemos como solución y 3 2 = Ce − 3x 2 + 1, despejando y = (Ce − 3x 2 + 1) 2 3 . Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 31 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Si aplicamos la condición y(0) = 4 obtenemos: y(0) = (Ce − 0 2 + 1) 2 3 = 4, luego C = 7. Por tanto, la solución es y = (7e − 3x 2 + 1) 2 3 . Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 32 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 4 Hallar la solución general de e−x(y′ − y) = y2. Observamos que es una ecuación de Bernoulli en y. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 33 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Para su resolución aplicaremos el cambio de variable: z = y−1. El cambio implica dz dx = z′ = −y−2y′, por tanto, −z′ = y−2y′. Para resolver, multiplicamos la ecuación por y−2 resultando la expresión y−2y′ − y−1 = ex., en la que aplicamos el cambio. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 34 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Se trata de resolver la ecuación lineal z′ + z = −ex. La ecuación homogénea asociada es z′ + z = 0. La solución de la homogénea es zh = Ce −x. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 35 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Proponemos como solución particular z (x) = C (x) e−x. Derivamos y obtenemos z′ = C ′ (x) e−x − C (x) e−x. Sustituimos z y z′ en la ecuación completa C ′ (x) e−x − C (x) e−x + C (x) e−x = −ex. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 36 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Simplificamos y resolvemos la ecuación diferencial resultante C ′ (x) = −e2x, luego C (x) = −1 2 e2x. Por tanto, la solución particular es zp = − 1 2 ex. La solución completa es z = zh + zp = Ce −x − 1 2 ex. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 37 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Deshacemos el cambio de variable, que era z = y−1, y obtenemos como solución y−1 = Ce−x − 1 2ex, y, de aquı́ y = (Ce−x − 1 2 ex)−1. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 38 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 5 Resolver la ecuación diferencial y2dx+ (xy − x3)dy = 0. Operamos y reordenamos los términos y2 dx dy + (xy − x3) = 0, y2x′ + yx = x3, x′ + 1 y x = 1 y2 x3. Observamos que es una ecuación de Bernoulli en x. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 39 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Para su resolución aplicaremos el cambio de variable: w = x−2. El cambio implica dw dy = w′ = −2x−3x′, por tanto, −1 2 w′ = x−3x′. Para resolver, multiplicamos la ecuación por x−3 resultando la expresión x−3x′ + 1 y x−2 = 1 y2 , en la que aplicamos el cambio. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 40 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Se trata de resolver la ecuación lineal w′ − 2 y w = − 2 y2 . La ecuación homogénea asociada es w′ − 2 y w = 0. La solución de la homogénea es wh = Cy 2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 41 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Proponemos como solución particular w (y) = C (y) y2. Derivamos y obtenemos w′ = C ′ (y) y2 + C (y) 2y. Sustituimos w y w′ en la ecuación completa C ′ (y) y2 + C (y) 2y − 2 y C (y) y2 = − 2 y2 . Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 42 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Simplificamos y resolvemos la ecuación diferencial resultante C ′ (y) = −2y−4, luego C (y) = 2 3 y−3. Por tanto, la solución particular es wp = 2 3y . La solución completa es w = wh + wp = Cy 2 + 2 3y . Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 43 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Deshacemos el cambio de variable, que era w = x−2, y obtenemos como solución x−2 = Cy2 + 2 3y , por tanto x = (Cy2 + 2 3y ) − 1 2 . Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 44 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo 1 El modelo Solow considera, en el sentido macro, que la producción (Q), el capital (K) y la mano de obra (L) se combinan teóricamente con Q = f (K,L) con K,L > 0. Se supone que ∂f ∂K > 0, ∂f ∂L > 0 (productos marginales positivos). ∂2f ∂K2 < 0, ∂2f ∂L2 < 0 (retornos decrecientes para cada factor). Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 45 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 La función de producción f (K,L) se considera homogénea de grado 1, es decir, con retornos constantes a escala, por tanto L L f (K,L) = L ( 1 L )1 f (K,L) = Lf ( K L , L L ) = Lf ( K L , 1 ) , pudiendo transformarse en Q = f (K,L) = Lf ( K L , 1 ) = LΦ (r) . (7) Donde r = K L y Φ (r) = f ( K L , 1 ) para simplificar. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 46 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Las hipótesis de Solow son dK dt = sQ, (8) donde s es constante llamada propensión marginal al ahorro. dL dt = λL λ > 0, (9) y λ es llamada tasa de crecimiento de la mano de obra. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 47 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Si (9) la vemos como dL dt L = λ, nos indica que la fuerza laboral crece exponencialmente. (i.e. al resolver la EDO da L = Ceλt). Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 48 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Vamos a construir el modelo completo a partir de las ecuaciones (7), (8) y (9). Sustituyendo (7) en (8) resulta dK dt = sLΦ (r) . (10) Como r = K L ⇒ K = rL, diferenciando dK dt = L dr dt + r dL dt . Sustituyendo (9) en esta ecuación obtenemos dK dt = L dr dt + λLr. (11) Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 49 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Igualamos (10) y (11), sLΦ (r) = L dr dt + λLr, simplificando L, sΦ (r) = dr dt + λr, reordenando, dr dt + λr = sΦ (r) . (12) Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 50 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Recordando la notación de clase para las EDO esta ecuación se puede escribir al hacer r = y y t = x como y′ + λy = sf(y). (13) Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 51 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Si consideramos la función de producción de Cobb-Douglas Q = f (K,L) = KαL1−α (1 > α > 0), y aplicamos el modelo Q = L ( K L )α = Lrα (r = K L ), en este caso y recordando (10), Φ(r) = rα. Sustituimos en (12) dr dt + λr = srα. (14) Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 52 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Resolvemos la ecuación haciendo el cambio r = uv. Derivamos el cambio y sustituimos en la ecuación (14) resultando u′v + v′u+ λuv = suαvα. Simplificando ( u′ + λu ) v + v′u = suαvα. Resolvemos u′ + λu = 0, Resultando u(x) = e−λt. Sustituyendo en la ecuación y reordenando v′e−λt = se−λαtvα, Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 53 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 v−αv′ = se(1−α)λt, integrando ∫ v−αdv = s ∫ e(1−α)λtdt, resulta v−α+1 −α+ 1 = se(1−α)λt (1− α)λ + C1 ⇒ v(x) = ( se(1−α)λt λ + C1 ) 1 1−α y la solución generale es r(t) = e−λt ( se(1−α)λt λ + C1 ) 1 1−α . (15) Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 54 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Si consideramos la condición inicial de que ro es el capital per capita para t = 0 ¿Cuál es la solución? Si en (15) sustituimos t = 0 resulta r(0) = r0 = ( s λ + C1 ) 1 1−α . Despejando C1 y sustituyendo en la solución general C1 = r 1−α 0 − s λ . Finalmente obtenemos la solución del problema r(t) = e−λt ( se(1−α)λt λ + r1−α0 − s λ ) 1 1−α . Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 55 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Calculamos la expresión resultante cuando t→∞:( s λ ) 1 1−α . Obtenemos que el equilibrio varı́a directamente con la propensión marginal al ahorro e inversamente con la tasa de crecimiento de la mano de obra λ. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 56 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Ejemplo numérico Función de producción de Cobb-Douglas: Q = L ( K L )α = Lrα (r = K L ). Las hipótesis del problema son: (a) λ = 0.1 como tasa de crecimiento de la población. (b) s = 0.15 como tasa de ahorro. (c) α = 0.3. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 57 / 63 Introducción Solución modelo generalEjemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Sustituimos los valores dados en la ecuación (14): dr dt + 0.1r = 0.15r0.3. Observamos que es una ecuación de Bernoulli en r. Para su resolución aplicaremos el cambio de variable: z = r0.7. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 58 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 El cambio implica dz dt = z′ = 0.7r−0.3r′, por tanto, 1 0.7 z′ = r−0.3r′. Para resolver, multiplicamos la ecuación por r−0.3 resultando la expresión r−0.3r′ + 0.1r0.7 = 0.15, en la que aplicamos el cambio. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 59 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Se trata de resolver la ecuación lineal z′ + 0.07z = 0.105. La ecuación homogénea asociada es z′ + 0.07z = 0. La solución de la homogénea es zh = Ce −0.07t. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 60 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Proponemos como solución particular z (t) = C (t) e−0.07t. Derivamos y obtenemos z′ = C ′ (t) e−0.07t − 0.07C (t) e−0.07t. Sustituimos z y z′ en la ecuación completa C ′ (t) e−0.07t − 0.07C (t) e−0.07t + 0.07C (t) e−0.07t = 0.105. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 61 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Simplificamos y resolvemos la ecuación diferencial resultante C ′ (t) = 0.105e0.07t, luego C (t) = 0.105 0.07 e0.07t. Por tanto, la solución particular es zp = 1.5. La solución completa es z = zh + zp = Ce −0.07t + 1.5. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 62 / 63 Introducción Solución modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1 Deshacemos el cambio de variable, que era z = r0.7, y obtenemos como solución r0.7 = Ce−0.07t + 1.5, por tanto r (t) = (Ce−0.07t + 1.5) 1 0.7 . Calculamos la expresión en el equilibrio (cuando t→∞): re = (1.5) 1 0.7 . Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 63 / 63 Introducción Solución modelo general Modo 1 Modo 2 Ejemplos Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplos de aplicación económica Ejemplo 1
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