7 - MUROS DE CONTENCION DE CONCRETO REFORZADO

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Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
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Capítulo VII 
Muros de Contención de Concreto 
Reforzado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
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7 MUROS DE CONTENCIÓN DE CONCRETO REFORZADO. 
 
7.1 GENERALIDADES SOBRE MUROS DE CONTENCION. 
 
Los muros de concreto reforzados son elementos estructurales ampliamente 
utilizados en obras civiles para contener o sostener tierras, soportar cargas verticales, 
acciones sísmicas y las combinaciones de ambas acciones externas. Como ejemplo 
los muros se usan en puentes y en carreteras, en sótanos para soportar cargas 
verticales y de presiones laterales de tierra, en tanques y piscinas que contienen 
líquidos que ejercen presiones laterales como la que actúan en el terreno, estos muros 
de contención se diferencian de los muros estructurales de corte que conforman un 
edificio con este tipo de sistema estructural y que pertenecen a la superestructura, los 
muros de contención aquí estudiados son los que normalmente se encuentran en la 
infraestructura y estarán enterrados en el suelo de fundación. Para el cálculo y diseño 
de estos elementos estructurales es primordial estudiar los esfuerzos o empujes 
laterales que producen los suelos sobre los muros, a continuación, se estudiaran 
dichos esfuerzos. 
 
7.2 PRESION LATERAL DE TIERRA. 
 
El diseño adecuado de los muros de contención se requiere una estimación de la 
presión lateral de tierra, que es una función de varios factores, como a) el tipo y la 
cantidad de movimiento de los muros, b) los parámetros de la resistencia cortante del 
suelo, c) el peso específico del suelo y d) las condiciones de drenaje en el relleno. En 
la figura 136 se muestra un muro de contención de altura H. Para tipos similares de 
relleno: 
a.- El movimiento del muro se puede restringir (136a). La presión lateral de tierra 
sobre el muro a cualquier profundidad se denomina presión en reposo de tierra. 
b.- El muro se puede inclinar por el suelo retenido (figura 136b). Con suficiente 
inclinación del muro, fallará una cuña triangular de suelo detrás del muro. A la presión 
lateral para esta condición se le refiere como presión activa de tierra. 
c.- El muro se puede empujar hacia el suelo retenido (figura 136c). Con un 
movimiento suficiente del muro, fallará una cuña de suelo. A la presión lateral para 
esta condición se le refiere como presión pasiva de tierra. 
En la figura 137 se muestra la naturaleza de la variación de la presión lateral, ´h, 
una cierta profundidad del muro con la magnitud del movimiento de éste. 
 
 
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En las siguientes lecciones se analizan varias relaciones para determinar las 
presiones en reposo, activa y pasiva sobre un muro de contención. 
 
7.3 PRESION LATERAL EN REPOSO DE TIERRA. 
 
La presión en reposo, representadas por K0, es la presión horizontal del terreno. 
Esta puede ser medida directamente por el test dilatométrico (DMT) o por un "borehole 
pressuremeter test" (PMT). Estos experimentos son caros, por eso se usan relaciones 
empíricas para predecir el resto de presiones que son más difíciles de obtener y que 
dependen generalmente del (´) ángulo de rozamiento interno. 
 
Considere un muro vertical de altura H, como se muestra en la figura 138, que 
retiene un suelo con un peso específico (ɣ). Además, se aplica una carga 
uniformemente distribuida, q/área unitaria, a la superficie del terreno. La resistencia 
cortante del suelo (S) es: 
 
𝑆 = 𝐶` + 𝜎` tan (𝜑`) 
 
Donde: 
𝐶` = 𝑐𝑜ℎ𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 
𝜎` = 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜. 
𝜑` = 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜. 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_de_rozamiento_interno
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A cualquier profundidad z debajo de la superficie del terreno, el esfuerzo 
subsuperficial vertical es: 
 
𝜎𝑜
` = 𝑞 + 𝛾 𝑧 
 
Si el muro está en reposo y no se permite que se mueva en lo absoluto, ya sea 
alejándose de la masa de suelo, o bien, hacia ella (es decir, la deformación horizontal 
es cero), la presión lateral a una profundidad z es: 
 
𝜎ℎ` = 𝑘𝑜 𝜎𝑜
` + 𝑢 
 
Donde: 
𝑢 = 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎. 
𝐾𝑜 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎. 
 
Para un suelo normalmente consolidado, la relación de Ko (Jaky, 1944) es: una 
ecuación empírica. 
 
𝐾𝑜 ≈ 1 − 𝑠𝑒𝑛(𝜑
`) 
 
Para un suelo sobreconsolidado, el coeficiente de presión en reposo de tierra se 
puede expresar como (Mayne y Kulhawy, 1982) la ecuación es: 
 
𝐾𝑜 ≈ 1 − 𝑠𝑒𝑛(𝜑
`). 𝑂𝐶𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜑
`) 
 
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒, 𝑂𝐶𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜑
`), 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑐𝑜𝑛𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛. 
 
Con un valor seleccionado adecuadamente del coeficiente de presión en reposo de 
tierra, se puede utilizar la ecuación (´h) para determinar la variación de la presión 
lateral de tierra con la profundidad z. En la figura 138b se muestra la variación de(h ) 
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con la profundidad para el muro que se muestra en la figura 138a. Observe que si la 
sobrecarga q = 0 y la presión de poro del agua u = 0, el diagrama de presión será un 
triángulo. La fuerza total, Po, por longitud unitaria del muro dada en la figura 138a se 
puede obtener ahora a partir del área del diagrama de presión dado en la figura 138b, 
y es: 
𝑃𝑜 = 𝑃1 + 𝑃2 = 𝑞 𝐾𝑜 𝐻 +
1
2
𝛾 𝐻2𝐾𝑜 
 
Donde: 
𝑃1 = 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 1. 
𝑃2 = 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 2. 
 
La ubicación de la línea de acción de la fuerza resultante, Po, se puede obtener 
tomando momentos respecto al fondo del muro. Por lo tanto: 
 
𝑧 ̅ = [𝑃1 (
𝐻
2
) + 𝑃2 (
𝐻
3
)] /𝑃𝑜 
 
Si el nivel freático se ubica a una profundidad z < H, el diagrama de presión en 
reposo que se muestra en la figura 138b se tendrá que modificar un poco, como se 
muestra en la figura 139. Si el peso específico del suelo debajo del nivel freático es 
igual a ɣ ` (es decir, Ɣsat – Ɣw), entonces: 
 
 
 
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Observe que, en las ecuaciones anteriores, ´o y son las presiones efectivas vertical 
y horizontal, respectivamente. La determinación de la distribución de la presión total 
sobre el muro requiere que se sume la presión hidrostática u, que es cero de z = 0 a z 
= H1 y es H2 ɣw en z = H2. La variación de ´h y u con la profundidad se muestra en la 
figura 139b. De aquí, la fuerza total por longitud unitaria del muro se puede determinar 
a partir del área del diagrama de presión. En específico: 
 
𝑃𝑜 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 + 𝐴4 + 𝐴5 
 
Donde: 
𝐴 = 𝑎𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 139. 
 
Por lo tanto: 
 
 
 
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7.3.1 EJEMPLO DE CÁLCULO DE FUERZA LATERAL POR ESTADO DE 
REPOSO. 
 
Determine la ubicación y la fuerza lateral en reposo, para el muro de contención que 
se muestra en la figura siguiente con la estratigrafía indica por estudio de suelo, 
suponga un OCR = 1, Ver figura siguiente: 
 
. 𝛾𝑤 = 1.000,00
𝑘𝑔
𝑚3
 , 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎. 
 
 
 
 
Solución: 
 
𝐾𝑜 = 1 − 𝑠𝑒𝑛(𝜑
`) = 1 − 𝑠𝑒𝑛 (250) = 1 − 0,42 = 0,58 
 
𝑒𝑛 𝑧 = 0. 𝜎0` = 0, 𝜎ℎ` = 0 
 
𝑒𝑛 𝑧 = 2 𝑚. 𝜎0` = 1700
𝑘𝑔
𝑚3
 𝑥 2 𝑚 = 3.400,00 
𝑘𝑔
𝑚2
 
 
 𝜎ℎ` = 𝐾0 𝜎0` = 0,58 𝑥 3.400,00 
𝑘𝑔
𝑚2
= 1.972,00
𝑘𝑔
𝑚2
 
 
𝑒𝑛 𝑧 = 5 𝑚. 𝜎0` = 𝛾 𝑧 + (𝛾𝑠𝑎𝑡 − 𝛾𝑤)𝑥 𝑧 
 
 𝜎0` == 1700
𝑘𝑔
𝑚3
 𝑥 (5 − 2)𝑚 + (1950
𝑘𝑔
𝑚3
− 1000
𝑘𝑔
𝑚3
) 𝑥 (5 − 2)𝑚 = 8.700,00
𝑘𝑔
𝑚2
 
 
 𝜎ℎ` = 𝐾0 𝜎0` = 0,58 𝑥 8.700,00 
𝑘𝑔
𝑚2
= 5.046,00
𝑘𝑔
𝑚2
 
 
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La distribución de la presión hidrostática es: 
 
𝐷𝑒 𝑧 = 0 𝑎 𝑧 = 2,50 𝑚, 𝑢 = 0 , 𝑒𝑛 𝑧= 5 𝑚 𝑢 = 𝛾𝑤 𝑥 (5 − 2)𝑚 = 1000
𝑘𝑔
𝑚3
𝑥 3 𝑚 = 3000
𝑘𝑔
𝑚2
 
 
La fuerza total por longitud unitaria (Po) del muro se puede determinar a partir del 
área del diagrama de presión de la figura anterior y se determina calculando las áreas 
de las figuras indicadas 1, 2,3 y 4. 
 
𝑃𝑜 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 + 𝐴4 
 
𝑃𝑜 =
1
2
𝑥 1.972,00
𝑘𝑔
𝑚2
𝑥 2 𝑚 + 1.972,00
𝑘𝑔
𝑚2
𝑥 3 𝑚 +
1
2
𝑥 (5.046 − 1.972,00)
𝑘𝑔
𝑚2
𝑥 3 𝑚 + 
1
2
𝑥 3.000
𝑘𝑔
𝑚2
𝑥 3 𝑚 
= 17.000,00 𝑘𝑔/𝑚 
 
𝑃𝑜 = 1.972,00
𝑘𝑔
𝑚
 + 5.916,00
𝑘𝑔
𝑚
+ 4.611,00
𝑘𝑔
𝑚
 + 4.500,00
𝑘𝑔
𝑚
 = 16.999,00 𝑘𝑔/𝑚 
 
𝑃𝑜 = 16.999,00 𝑘𝑔/𝑚 
 
La ubicación del centro de presión medida desde el fondo del muro en el punto O, 
se calcula tomando momento con respecto a dicho punto de la siguiente manera: 
 
𝑧 ̅ = [𝐴1 (3 + 2𝑥1/3)𝑚 + 𝐴2 (
3
2
)𝑚 + 𝐴3 (
3
3
)𝑚 + 𝐴4 (
3
3
) 𝑚] /𝑃𝑜 
 
𝑧 ̅ =
[1.972,00
𝑘𝑔
𝑚
 (3 +
2𝑥1
3
)𝑚 + 5.916,00
𝑘𝑔
𝑚
(
3
2
)𝑚 + 4.611,00
𝑘𝑔
𝑚
(
3
3
)𝑚 + 4.500,00
𝑘𝑔
𝑚
(
3
3
)𝑚]
16.999,00 𝑘𝑔/𝑚
 
 
𝑧 ̅ = 1,48 𝑚 
 
En la figura siguiente se muestra la fuerza horizontal sobre el muro en Reposo y su 
posición medido el punto 0 en la base: 
 
 
 
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7.4 PRESION ACTIVA LATERAL DE TIERRA EN ESTADO DE RANKINE (1857). 
 
El estado activo ocurre cuando existe una relajación en la masa de suelo que lo 
permite moverse hacia fuera del espacio que limitaba la tensión del suelo (por ejemplo 
un muro de tierra que se rompe); esto es que el suelo está fallando por extenderse. 
Esta es la presión mínima a la que el suelo puede ser sometido para que no se rompa. 
Al contrario el estado pasivo ocurre cuando la masa de suelo está sometida a una 
fuerza externa que lleva al suelo a la tensión límite de confinamiento. Esta es la 
máxima presión a la que puede ser sometida un suelo en el plano horizontal. 
 
La teoría de Rankine, desarrollada en 1857, es la solución a un campo de tensiones 
que predice las presiones activas y pasivas del terreno. Esta solución supone que el 
suelo no está cohesionado, tiene una pared que está friccionando, la superficie suelo-
pared es vertical, el plano de rotura en este caso sería planar y la fuerza resultante es 
paralela a la superficie libre del talud. 
 
La presión lateral de tierra descrita en la sección anterior comprende muros que no 
ceden en absoluto. Sin embargo, si el muro tiende a moverse alejándose del suelo una 
distancia Δx, como se muestra en la figura 140a, la presión del suelo sobre el muro a 
cualquier profundidad disminuirá. Para un muro sin fricción, el esfuerzo horizontal, 𝜎ℎ`, 
a la profundidad z será igual a ko ´o (=ko ɣ z), cuando Δx es cero. Sin embargo, con 
Δx > 0, ´h, será menor que ko ´o. 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Rankine
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Los círculos de Mohr correspondientes a los desplazamientos del muro de Δx = 0 y 
Δx > 0, se muestran como los círculos (a) y (b), respectivamente, en la figura 140b. Si 
el desplazamiento del muro, Δx, continúa aumentando, el círculo de Mohr 
correspondiente finalmente tocará la envolvente de falla de Mohr-Coulomb definida por 
la ecuación: 
 
𝑆 = 𝐶` + 𝜎` tan (𝜑`) 
 
Este círculo, marcado (c) en la figura, representa la condición de falla en la masa de 
suelo; entonces el esfuerzo horizontal es igual a ´a, y se le refiere como presión activa 
de Rankine. Entonces las líneas de deslizamiento (planos de falla) en la masa de suelo 
formarán ángulos de (45o + /2) con la horizontal, como se muestra en la figura 140a. 
La ecuación que relaciona los esfuerzos principales para un círculo de Mohr que 
toca la envolvente de falla de Mohr-Coulomb es la siguiente: 
 
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 𝜎1` = 𝜎3` 𝑡𝑎𝑛
2 (450 +
𝜑`
2
) + 2𝐶`𝑡𝑎𝑛 (450 +
𝜑`
2
) 
 
Para el círculo de Mohr (c) en la figura 140b, Esfuerzo principal mayor, ´1 = ´o, y 
esfuerzo principal menor, ´3 = ´a, Por lo tanto: 
 
 𝜎0` = 𝜎𝑎` 𝑡𝑎𝑛
2 (450 +
𝜑`
2
) + 2𝐶`𝑡𝑎𝑛 (450 +
𝜑`
2
) 
 𝜎𝑎` = 
 𝜎0`
𝑡𝑎𝑛2 (450 +
𝜑`
2
)
−
2𝐶`
𝑡𝑎𝑛 (450 +
𝜑`
2
)
 
 
O también se puede expresar en: 
 
 𝜎𝑎` = 𝜎0` 𝑡𝑎𝑛
2 (450 −
𝜑`
2
) − 2𝐶`𝑡𝑎𝑛 (450 −
𝜑`
2
) y reemplazando 𝐾𝑎 = 𝑡𝑎𝑛2 (450 −
𝜑`
2
) 
 
Como coeficiente de presión activa de Rankine, se reduce la ecuación anterior a la 
siguiente: 
 
 𝜎𝑎` = 𝐾𝑎 𝜎0` − 2𝐶
`√ 𝐾𝑎 
 
La variación de la presión activa con la profundidad para el muro que se muestra en 
la figura 140a se da en la figura 140c. Observe que ´o =0 en z = 0 y ´o = ɣ H en z = 
H. En la distribución de la presión se muestra que en z = 0 la presión activa es igual a 
2C´ka, lo que indica un esfuerzo de tensión que disminuye con la profundidad y se 
vuelve cero a una profundidad de, z = zc, se expresa como sigue: 
 
𝛾 𝑧𝑐 𝐾𝑎 − 2𝐶
`√ 𝐾𝑎 = 0 , despejando nos queda: 𝑧𝑐 =
2𝐶 `
𝛾√ 𝐾𝑎
 
 
A la profundidad zc se le suele referir como profundidad de la grieta de tensión, 
debido a que el esfuerzo de tensión en el suelo a la larga ocasionará una grieta a lo 
largo de la interfaz suelo-muro. Así pues, la fuerza activa total de Rankine por longitud 
unitaria del muro antes de que ocurra la grieta de tensión es: 
 
 𝑃𝑎 = ∫ 𝜎𝑎`
𝐻
0
 𝑑𝑧 = ∫ 𝛾 𝑧 𝑘𝑎 𝑑𝑧 − ∫ 2𝐶
`√ 𝐾𝑎
𝐻
0
 𝑑𝑧
𝐻
0
, 
 
también se puede expresar resolviendo la integral: 
 
 𝑃𝑎 =
1
2
 𝛾 𝐻2𝑘𝑎 − 2𝐶
`𝐻√ 𝐾𝑎 
 
Después de que aparece la grieta de tensión, la fuerza por longitud unitaria sobre 
el muro se ocasionará sólo por la distribución de la presión entre las profundidades z 
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= zc y z = H, como se muestra mediante el área sombreada en la figura 140c. Esta 
fuerza se puede expresar así: 
 
 𝑃𝑎 =
1
2
(𝐻 − 𝑍𝐶)(𝛾 𝐻𝑘𝑎 − 2𝐶
`√ 𝐾𝑎) , o también por la siguiente ecuación: 
 
 𝑃𝑎 =
1
2
(𝐻 −
2𝐶`
𝛾√ 𝐾𝑎
) (𝛾 𝐻𝑘𝑎 − 2𝐶
`√ 𝐾𝑎) 
 
Sin embargo, es importante observar que la condición de presión activa de tierra se 
alcanzará sólo si se permite que el muro “ceda” lo suficiente. La cantidad necesaria de 
desplazamiento hacia fuera del muro es de aproximadamente 0.001H a 0.004H para 
rellenos de suelo granular y de aproximadamente 0.01H a 0.04H para rellenos de suelo 
cohesivo. 
 
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7.4.1 EJEMPLO DE CALCULO PRESION ACTIVA LATERAL DE TIERRA EN 
ESTADO DE RANKINE. 
 
Se tiene un muro de contención de 6,50 m de altura soportará un suelo con un peso 
específico ɣs = 1850 kg/m3, ángulo de fricción ´= 30o y cohesión C´ = 1500 kg/m2. 
Determine la fuerza activa de Rankine por longitud unitaria del muro antes y después 
de que ocurra la grieta de tensión y determine la línea de acción de la resultante en los 
dos casos. 
 
Solución: 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝜑` = 300 
 𝐾𝑎 = 𝑡𝑎𝑛
2 (450 −
𝜑`
2
) = 𝑡𝑎𝑛2 (450 −
300
2
) = 0,33 
√ 𝐾𝑎 = 0,57 
 
De la ecuación: 
 
 𝜎𝑎` = 𝛾 𝐻 𝐾𝑎 − 2𝐶
`√ 𝐾𝑎 
 
Para z = 0, se tiene lo siguiente: 
 
 𝜎𝑎` = 𝛾 𝐻 𝐾𝑎 − 2𝐶
`√ 𝐾𝑎 = −2𝑥1.500,00 
𝑘𝑔
𝑚2
 0,57 = −1.710,00
𝑘𝑔
𝑚2
 
 
Y para z = 6,50 m. 
 
 𝜎𝑎` = 𝛾 𝐻 𝐾𝑎 − 2𝐶
`√ 𝐾𝑎 = 1.850,00
𝑘𝑔
𝑚3
 𝑥 6,50 𝑚 𝑥 0,33 − 1.710,00
𝑘𝑔
𝑚2
= 2.258,25
𝑘𝑔
𝑚2
 
 
La fuerza activa antes de que aparece la primera grieta de tensión, se calcula de la 
siguiente manera: 
 
 𝑃𝑎 =
1
2
 𝛾 𝐻2𝑘𝑎 − 2𝐶
`𝐻√ 𝐾𝑎 
 
 𝑃𝑎 =
1
2
 𝑥 1.850,00
𝑘𝑔
𝑚3
 𝑥 (6,50𝑚)2 𝑥 0,33 − 2𝑥1.500
𝑘𝑔
𝑚2
𝑥 6,50 𝑚 𝑥 0,57 = 
 
 𝑃𝑎 = 12.896,81
𝑘𝑔
𝑚2
− 11.115,00
𝑘𝑔
𝑚2
= 1.781,81
𝑘𝑔
𝑚2
 
 
La línea de acción de la resultante se puede determinar tomando el momento del 
área de los diagramas de presión respecto al fondo del muro, en el punto o. 
 
𝑧 ̅ 𝑃𝑎 = 12.896,81
𝑘𝑔
𝑚
(
6,50𝑚
3
) − 11.115,00
𝑘𝑔
𝑚
(
6,50𝑚2
) = 
 
Despejando: 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
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𝑧 ̅ =
[12.896,81
𝑘𝑔
𝑚
(2,16 𝑚) − 11.115,00
𝑘𝑔
𝑚
(3,25 𝑚)]
1.781,81
𝑘𝑔
𝑚
= −4,64 𝑚 
 
Fuerza activa después de que apareció la grieta de tensión: 
 
𝑧𝑐 =
2𝐶 `
𝛾√ 𝐾𝑎
=
2𝑥1.500
𝑘𝑔
𝑚2
1.850,00
𝑘𝑔
𝑚3
𝑥0,57
= 2,84 𝑚 
 
Si utilizamos la ecuación: 
 
 𝑃𝑎 =
1
2
(𝐻 − 𝑍𝐶)(𝛾 𝐻𝑘𝑎 − 2𝐶
`√ 𝐾𝑎) 
 
se tiene la fuerza activa después de aparecer la grieta de tensión se calcula de la 
siguiente manera: 
 
 𝑃𝑎 =
1
2
(6,50 𝑚 − 2,84 𝑚) (1.850,00
𝑘𝑔
𝑚3
𝑥6,50 𝑚 0,33 − 2𝑥1.500
𝑘𝑔
𝑚2
𝑥0,57) = 4.132,60
𝑘𝑔
𝑚
 
 
La ubicación de esta fuerza se calcula de la forma siguiente: 
 
 𝑧 ̅ =
𝐻 − 𝑍𝑐
3
 
 
medido del fondo del muro. 
 
𝑧 ̅ =
6,50𝑚 − 2,84 𝑚
3
= 1,22 𝑚 
 
En la figura siguiente se muestran los diagramas de presión Activa: 
 
 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
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7.4.2 CASOS PARTICULARES EN EL CÁLCULO DE LA PRESION ACTIVA 
LATERAL DE TIERRA EN ESTADO DE RANKINE. 
 
En la sección anterior se desarrolló la relación para la presión activa de Rankine 
para un muro de contención con cara posterior vertical y relleno horizontal, que se 
puede ampliar a casos generales de muros sin fricción con caras posteriores inclinadas 
y rellenos inclinados. En esta sección se analizan algunos de estos casos. 
 
Relleno Granular (friccionante). 
 
En la figura 141 se muestra un muro de contención cuya cara posterior está 
inclinada a un ángulo (ϴ) con la vertical. El relleno granular está inclinado a un ángulo 
(α) con la horizontal. Para el caso activo de Rankine, la presión lateral de tierra ´a a 
una profundidad (z) se puede dar como (Chu, 1991): 
 
 𝜎𝑎` = 
𝛾 𝑧 cos (α)√1 + 𝑠𝑒𝑛2(α) − 2𝑠𝑒𝑛(𝜑`) cos(𝜑𝑎)
cos(α) + √𝑠𝑒𝑛2(𝜑`) − 𝑠𝑒𝑛2(α)
 
 
Donde: 
𝜑𝑎 = 𝑠𝑒𝑛
−1
𝑠𝑒𝑛(α)
𝑠𝑒𝑛(𝜑`)
− α + 2ϴ 
 
 
 
La presión ´a estaría inclinada un ángulo (β`) con el plano trazado a un ángulo recto 
e la cara posterior o interna del muro ver figura 141, y dicho ángulo se expresa por la 
siguiente formula: 
 
𝛽` = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑠𝑒𝑛(𝜑`) sen(𝜑𝑎)
1 − 𝑠𝑒𝑛(𝜑`) cos(𝜑𝑎)
) 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
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Entonces la fuerza activa Pa para una longitud unitaria del muro se puede calcular 
con la siguiente formula: 
 
 𝑃𝑎 =
1
2
 𝛾 𝐻2𝑘𝑎 
 
Donde: 
 
𝑘𝑎 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑅𝑎𝑛𝑘𝑖𝑛𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜. 
 
𝑘𝑎 = 
cos (α −ϴ)√1 + 𝑠𝑒𝑛2(α) − 2𝑠𝑒𝑛(𝜑`) cos(𝜑𝑎)
cos2(α) (cos(α) + √𝑠𝑒𝑛2(𝜑`) − 𝑠𝑒𝑛2(α))
 
 
La ubicación y dirección de la fuerza resultante Pa se muestra en la figura 142. En 
la figura también se muestra la cuña de falla, ABC. Observe que BC estará inclinada 
a un ángulo (ƞ). En donde se expresa por la siguiente formula: 
 
ƞ =
𝜋
4
+
𝜑`
2
+
α
2
−
1
2
𝑠𝑒𝑛−1
𝑠𝑒𝑛(α)
𝑠𝑒𝑛(𝜑`)
 
 
 
 
 
Relleno granular con cara posterior vertical: 
Como un caso especial, para una cara posterior vertical de un muro (es decir, ϴ=0), 
como se muestra en la figura 143, las ecuaciones antes descritas se simplifican a lo 
siguiente. 
Si el relleno de un muro de contención sin fricción es un suelo granular C´=0 y sube 
a un ángulo a respecto a la horizontal (consulte la figura 143), el coeficiente de 
presión activa de tierra se puede expresar en la forma: 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
610 
 
 
 
 
𝑘𝑎 = cos (α) 
cos(α) − √𝑐𝑜𝑠2(α) − 𝑐𝑜𝑠2(𝜑`)
cos(α) + √𝑐𝑜𝑠2(α) − 𝑐𝑜𝑠2(𝜑`)
 
 
Donde: 
𝜑` = 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑒𝑙𝑜 𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎𝑟. 
 
A cualquier profundidad z, la presión activa de Rankine se puede expresar como: 
 
 𝜎𝑎` = 𝛾 𝑧 𝑘𝑎 
 
Además, la fuerza total por longitud unitaria del muro es: 
 𝑃𝑎 =
1
2
 𝛾 𝐻2𝑘𝑎 
 
Observe que, en este caso, la dirección de la fuerza resultante Pa está inclinada a 
un ángulo (α) con la horizontal e interseca el muro a una distancia (H/3) desde la base 
del muro. Ver la figura siguiente: 
 
 
 
 
Cara posterior vertical con relleno de suelo cohesivo y friccionante ´ y c´: 
 
Para un muro de contención con cara posterior vertical (ϴ=0) y relleno inclinado a 
un ángulo (α) de material ´ y c´ (Mazindrani y Ganjali, 1997), la presión lateral activa 
se determina por: 
 
 𝜎𝑎` = 𝛾 𝑧 𝑘𝑎
` cos (𝛼) 
 
Donde: 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
611 
 
 
 
𝑘𝑎
` =
1
𝑐𝑜𝑠2(𝜑`)
{2 𝑐𝑜𝑠2(𝛼) + 2 (
𝐶`
𝛾 𝑧
) 𝑠𝑒𝑛(𝜑`) cos(𝜑`)
− √4 𝑐𝑜𝑠2(𝛼)(𝑐𝑜𝑠2(α) − 𝑐𝑜𝑠2(𝜑`)) + 4(
𝐶`
𝛾 𝑧
) 𝑐𝑜𝑠2(𝜑`) + 8(
𝐶`
𝛾 𝑧
) 𝑐𝑜𝑠2(𝛼) 𝑠𝑒𝑛(𝜑`) cos(𝜑`)} − 1 
 
Para un problema de este tipo, la profundidad de la grieta de tensión está dada 
como: 
 
𝑧𝑐 =
2𝐶 `
𝛾
√
1 + 𝑠𝑒𝑛(𝜑`)
1 − 𝑠𝑒𝑛(𝜑`)
 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
612 
 
 
 
7.4.3 EJEMPLOS DE MUROS EN CASOS PARTICULARES EN EL CÁLCULO DE 
LA PRESION ACTIVA LATERAL DE TIERRA EN ESTADO DE RANKINE. 
 
.- Determine la fuerza activa de Rankine, Pa, y su ubicación y dirección. Que tiene 
un relleno granular, con una altura total H = 5,00 m, cuya cara posterior está inclinada 
a un ángulo (ϴ = +150) con la vertical. El relleno granular posee un ángulo de 
inclinación (α = 150), una fricción interna (´= 35o), la cohesión C´= 0 , el peso 
específico del material de relleno es de 1780 kg/m3. 
 
Solución: 
 
.- Calculo del ángulo (a): 
 
𝜑𝑎 = 𝑠𝑒𝑛
−1
𝑠𝑒𝑛(α)
𝑠𝑒𝑛(𝜑`)
− α + 2ϴ 
 
𝜑𝑎 = 𝑠𝑒𝑛
−1
𝑠𝑒𝑛(15°)
𝑠𝑒𝑛(35°)
− 10° + 2x15° = 26,82° − 10° + 30° = 46,82° 
 
.- Calculo del ángulo (ka): 
 
𝑘𝑎 = 
cos (α − ϴ)√1 + 𝑠𝑒𝑛2(α) − 2𝑠𝑒𝑛(𝜑`) cos(𝜑𝑎)
cos2(α) (cos(α) + √𝑠𝑒𝑛2(𝜑`) − 𝑠𝑒𝑛2(α))
 
 
𝑘𝑎 = 
cos (15° − 15°)√1 + 𝑠𝑒𝑛2(15°) − 2𝑠𝑒𝑛(35°) cos(46,82°)
cos2(15°) (cos(15°) + √𝑠𝑒𝑛2(35°) − 𝑠𝑒𝑛2(15°))
=
0,53
1,43
= 0,37 
 
 
.- Calculo de la fuerza activa Pa para una longitud unitaria del muro: 
 
 𝑃𝑎 =
1
2
 𝛾 𝐻2𝑘𝑎 = 
1
2
 1.780,00
𝑘𝑔
𝑚3
 (5,00 𝑚)2𝑥 0,37 = 8.232,50
𝑘𝑔
𝑚
 
 
.- Calculo de la inclinación (β´) de la fuerza activa: 
 
𝛽` = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑠𝑒𝑛(𝜑`) sen(𝜑𝑎)
1 − 𝑠𝑒𝑛(𝜑`) cos(𝜑𝑎)
) = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑠𝑒𝑛(35°) sen(46,82°)
1 − 𝑠𝑒𝑛(35°) cos(46,82°)
) = 
 
𝛽` = 𝑡𝑎𝑛−1 (
0,42
0,60
) = 35° 
 
La fuerza Pa actuará a una distancia de (5 m/3 = 1,67 m) arriba del fondo del muro 
y estará inclinada a un ángulo de β´= +35o, respecto a la normal trazada hasta a la cara 
posterior del muro. 
 
.- Cálculo de la cuña de falla de Rankine. 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
613 
 
 
 
ƞ =
𝜋
4
+
𝜑`
2
+
α
2
−
1
2
𝑠𝑒𝑛−1
𝑠𝑒𝑛(α)
𝑠𝑒𝑛(𝜑`)
 = 45° +
35°
2
+
15°
2
−
1
2
𝑠𝑒𝑛−1
𝑠𝑒𝑛(15°)
𝑠𝑒𝑛(35°)
 
 
ƞ = 45° + 17,50° + 7,50° − 13,41° = 56,59° 
 
Ver grafica siguiente donde se muestran gráficamente el resultado: 
 
 
 
 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
614 
 
 
 
7.5 PRESION ACTIVA LATERAL DE TIERRA EN ESTADO DE COULOMB 
(1776). 
Los cálculos de la presión activa de tierra de Rankine analizados en las secciones 
anteriores se basaron en la suposición de que el muro era sin fricción. En 1776, 
Coulomb propuso una teoría para calcular la presión lateral de tierra sobre un muro de 
contención con relleno de suelo granular. En esta teoría se toma en consideración la 
fricción del muro. 
 
Para aplicar la teoría de la presión activa de tierra de Coulomb, considere un muro 
de contención con su cara posterior inclinada a un ángulo (β) con la horizontal, como 
se muestra en la figura 144a. El relleno es un suelo granular con una pendiente a un 
ángulo (α) con la horizontal. 
 
 
 
Además, sea δ´, el ángulo de fricción entre el suelo y el muro (es decir, el ángulo de 
fricción del muro). Ante presión activa, el muro se moverá alejándose de la masa de 
suelo (hacia la izquierdaen la figura). Coulomb supuso que, en ese caso, la superficie 
de falla en la masa de suelo sería un plano (por ejemplo, BC1, BC2,. . .). Por lo tanto, 
para determinar la fuerza activa, considere una cuña de falla de suelo posible ABC1. 
Las fuerzas que actúan sobre esta cuña (por longitud unitaria a ángulos rectos 
respecto a la sección que se muestra) son las siguientes: 
 
 1. El peso de la cuña, W. 
 2. La resultante, R, de las fuerzas cortantes normal y resistente a lo largo de la 
superficie, BC1. La fuerza R estará inclinada a un ángulo ´ respecto a la normal 
trazada hasta BC1. 
 3. La fuerza activa por longitud unitaria del muro, Pa, que estará inclinada a un 
ángulo δ´ respecto a la normal trazada hasta la cara posterior del muro. 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
615 
 
 
 
Para fines de equilibrio, se puede trazar un triángulo de fuerzas, como se muestra 
en la figura 7.12b. Observe que ϴ1 es el ángulo que forma BC1 con la horizontal. 
Debido a que la magnitud de W, así como las direcciones de las tres fuerzas, se 
conocen, el valor de Pa ahora se puede determinar. De manera similar, las fuerzas 
activas de otras cuñas de prueba, como ABC2, ABC3, . . . , se pueden determinar. El 
valor máximo de Pa determinado de esta manera es la fuerza activa de Coulomb 
(consulte la parte superior de la figura 7.12), que se puede expresar como: 
 
 𝑃𝑎 =
1
2
 𝛾 𝐻2𝑘𝑎 
 
Donde: 
 
𝑘𝑎 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 
 
𝑘𝑎 = 
𝑠𝑒𝑛2(𝛽 + 𝜑`)
𝑠𝑒𝑛2(𝛽) sen(𝛽 − 𝜑`) [1 + √
𝑠𝑒𝑛(𝜑` + 𝛿`)𝑠𝑒𝑛(𝜑` − 𝛼)
𝑠𝑒𝑛(𝛽 − 𝛿`)𝑠𝑒𝑛(𝛽 + 𝛼)
]
2 
 
Observe que la línea de acción de la fuerza resultante (Pa) actuará a una distancia 
H/3 arriba de la base del muro y estará inclinada a un ángulo α = 0o respecto a la 
normal trazada hasta la parte posterior del muro. 
 
En el diseño real de muros de contención, el valor del ángulo de fricción del muro 
δ´ se supone que está entre (/2 y 2/3). Estos coeficientes son consideraciones de 
diseño muy útiles. Si una sobrecarga uniforme de intensidad (q) se ubica arriba del 
relleno, como se muestra en la figura 7.13, la fuerza activa, Pa, se puede calcular con 
la siguiente formula: 
 
 𝑃𝑎 =
1
2
 𝛾𝑒𝑞 𝐻
2𝑘𝑎 
 
Donde: 
 
𝛾𝑒𝑞 = 𝛾 + [
𝑠𝑒𝑛(𝛽)
𝑠𝑒𝑛(𝛽 + 𝛼)
] (2𝑞/𝐻) 
 
Siendo (q) la sobrecarga distribuida linealmente sobre el relleno del muro. Ver figura 
145. 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
616 
 
 
 
 
 
 
7.5.1 EJEMPLO DE MURO CON PRESION ACTIVA LATERAL DE TIERRA EN 
ESTADO DE COULOMB CON CARGA DISTRIBUIDA SOBRE EL RELLENO. 
 
.- Se desea calcula la fuerza activa de coulomb y la línea de acción del resultante 
Pa, con las condiciones siguientes: 
 
𝐻 = 6,10 𝑚, 𝜑` = 30°, 𝛿` = 20°, 𝛼 = 5°, 𝛽 = 85°, 𝑞 = 9.790,00 𝐾𝑔/𝑚2, 𝛾 = 1.835,50 𝐾𝑔/𝑚3 
 
Solución: 
 
.- Cálculo del coeficiente de presión activa de Coulomb: 
 
𝑘𝑎 = 
𝑠𝑒𝑛2(𝛽 + 𝜑`)
𝑠𝑒𝑛2(𝛽) sen(𝛽 − 𝜑`) [1 + √
𝑠𝑒𝑛(𝜑` + 𝛿`)𝑠𝑒𝑛(𝜑` − 𝛼)
𝑠𝑒𝑛(𝛽 − 𝛿`)𝑠𝑒𝑛(𝛽 + 𝛼)
]
2 
𝑘𝑎 = 
𝑠𝑒𝑛2(85° + 30°)
𝑠𝑒𝑛2(85°) sen(85° − 30°) [1 + √
𝑠𝑒𝑛(30° + 20°)𝑠𝑒𝑛(30° − 5°)
𝑠𝑒𝑛(85° − 20°)𝑠𝑒𝑛(85° + 5°)
]
2 
𝑘𝑎 = 
𝑠𝑒𝑛2(115°)
𝑠𝑒𝑛2(85°) sen(55°) [1 + √
𝑠𝑒𝑛(50°)𝑠𝑒𝑛(25°)
𝑠𝑒𝑛(65°)𝑠𝑒𝑛(90°)
]
2 
 
𝑘𝑎 = 
0,8214
0,8129 [1 + √
0,3237
0,9063
]
2 =
0,8214
0,8129𝑥 2,5524
=
0,8214
2,0748
= 0,3958 
 
- Calculo de la fuerza Pa: 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
617 
 
 
 
 𝑃𝑎 =
1
2
 𝛾𝑒𝑞 𝐻
2𝑘𝑎, donde: 
 
𝛾𝑒𝑞 = 𝛾 + [
𝑠𝑒𝑛(𝛽)
𝑠𝑒𝑛(𝛽 + 𝛼)
] (
2𝑞
𝐻
) , 𝑠𝑖 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑃𝑎 
 
 
 𝑃𝑎 =
1
2
{ 𝛾 + [
𝑠𝑒𝑛(𝛽)
𝑠𝑒𝑛(𝛽+𝛼)
] (
2𝑞
𝐻
)} 𝐻2𝑘𝑎 = 𝑃𝑎1 + 𝑃𝑎2 = 
1
2
 𝛾 𝐻2𝑘𝑎 + [
𝑠𝑒𝑛(𝛽)
𝑠𝑒𝑛(𝛽+𝛼)
] (𝑞)𝐻 𝑘𝑎 
 
 
 𝑃𝑎 = 
1
2
 1.835,50
𝐾𝑔
𝑚3
 (6,10 𝑚)2𝑥0,3958 + [
𝑠𝑒𝑛(85°)
𝑠𝑒𝑛(85° + 5°)
] 𝑥9.790,00
𝐾𝑔
𝑚2
𝑥 6,10 𝑚 𝑥 0,3958 = 
 
 𝑃𝑎 = 13.515,36
𝑘𝑔
𝑚
+ 23.546,83
𝑘𝑔
𝑚
= 37.062,20
𝑘𝑔
𝑚
 
 
 𝑃𝑎 = 37.062,20
𝑘𝑔
𝑚
 
 
.- Cálculo de la ubicación de la línea de acción de la resultante: ver figura siguiente. 
 
𝑧 ̅ 𝑃𝑎 = 𝑃𝑎1 (
𝐻
3
) + 𝑃𝑎2 (
𝐻
2
) = 
 
𝑧 ̅ 𝑥 37.062,20
𝑘𝑔
𝑚
= 13.515,36
𝑘𝑔
𝑚
(
6,10𝑚
3
) + 23.546,83
𝑘𝑔
𝑚
(
6,10𝑚
2
) , 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑧 ̅ 
 
𝑧 ̅ =
[13.515,36
𝑘𝑔
𝑚
(2,03 𝑚) + 23.546,83
𝑘𝑔
𝑚
(3,05 𝑚)]
37.062,20
𝑘𝑔
𝑚
= 3,04 𝑚 
 
𝑧 ̅ = 3,04 𝑚 
 (Medidos verticalmente desde el fondo del muro) 
 
Ver la figura siguiente donde se muestran los resultados gráficamente: 
 
 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
618 
 
 
 
7.6 PRESION ACTIVA DE TIERRA PARA CONDICIONES SISMICAS. 
 
La teoría de la presión activa de tierra de Coulomb, se puede ampliar para tomar en 
cuenta las fuerzas ocasionadas por un sismo. En la figura 146 se muestra una 
condición de presión activa con un relleno granular (C´=0). Observe que las fuerzas 
que actúan sobre la cuña de falla del suelo en la figura 7.14 son esencialmente las 
mismas que las que se muestran en la figura 146a con la adición de KhW y KvW en las 
direcciones horizontal y vertical, respectivamente; Kh y Kv se pueden definir como: 
 
𝑘ℎ =
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑜𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑖𝑠𝑚𝑖𝑐𝑎
𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑, 𝑔
 
 
𝑘𝑣 =
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑖𝑠𝑚𝑖𝑐𝑎
𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑, 𝑔
 
 
 
 
La ecuación para la presión activa por longitud unitaria de muro, se puede 
determinar por: 
 
 𝑃𝑎𝑒 =
1
2
 𝛾 𝐻2(1 − 𝑘𝑣) 𝑘𝑎𝑒 
 
Donde kae es igual a: 
 
𝑘𝑎𝑒 = 
𝑠𝑒𝑛2(𝛽 + 𝜑` + 𝜃`)
𝑐𝑜𝑠(𝜃`). 𝑠𝑒𝑛2(𝛽) . sen(𝛽 − 𝜑` − 𝛼) [1 + √
𝑠𝑒𝑛(𝜑` + 𝛿`)𝑠𝑒𝑛(𝜑` − 𝜃` − 𝛼)
𝑠𝑒𝑛(𝛽 − 𝛿` − 𝜃`)𝑠𝑒𝑛(𝛽 + 𝛼)
]
2 
 
Donde ´ es igual: 
 
𝜃` = 𝑡𝑎𝑛−1 [
𝑘ℎ
(1 − 𝑘𝑣)
] 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
619 
 
 
 
A la ecuación de Pae suele referírsele como solución de Mononobe-Okabe. A 
diferencia del caso que se muestra en la presión activa de Coulomb, la presión de 
tierra resultante en esta situación, según la ecuación de Pae, no actúa a una distancia 
de H/3 desde el fondo del muro. 
 
 El procedimiento siguiente se puede utilizar para obtener la ubicación de la fuerza 
resultante Pae: 
 
Paso 1. Se calcula Pae. 
 
Paso 2. Se calcula Pa por presión activa de Coulomb. 
 
Paso 3. Se calcula: 
 
 ∆𝑃𝑎𝑒 = 𝑃𝑎𝑒 − 𝑃𝑎 
 
Paso 4. Se supone que Pa actúa a una distancia de H/3 desde el fondo del muro 
(figura 147). 
 
Paso 5. Se supone que Pae , actúa a una distancia de 0.6H desde el fondo del 
muro (figura 147). 
 
Paso 6. Se calcula la ubicación de la resultante por la expresión siguiente: 
 
 
 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
620 
 
 
 
 
7.7 PRESION PASIVA DE TIERRA DE RANKINE. 
 
En la figura 148 (a), se muestra un muro de contención vertical sin fricción con un 
relleno horizontal. A la profundidad (z), la presión vertical efectiva sobre un elemento 
de suelo es ´o =Ɣ z. Al inicio, si el muro no cede en absoluto, el esfuerzo lateral a esa 
profundidad será ´h = ´o ko .Este estado de esfuerzo se ilustra mediante el círculo de 
Mohr a en la figura 148 (b). Ahora, si el muro se empuja contra la masa de suelo en 
una cantidad Δx, como se muestra en la figura 7.16 (a), el esfuerzo vertical a la 
profundidad z permanecerá igual; sin embargo, el esfuerzo horizontal aumentará. Así 
pues, ´h será mayor que ´o ko Ahora se puede representar el estado de esfuerzo 
mediante el círculo de Mohr (b) en la figura 148b. Si el muro se mueve aún más hacia 
adentro (es decir, Δx se incrementa aún más), los esfuerzos a la profundidad z 
alcanzarán finalmente el estado representado por el círculode Mohr (c). Observe que 
este círculo de Mohr toca la envolvente de falla de Mohr-Coulomb, lo que implica que 
el suelo detrás del muro fallará al ser empujado hacia arriba. Al esfuerzo horizontal, 𝜎ℎ`, 
en este punto se le refiere como presión pasiva de Rankine, ´h = ´p. Para el círculo 
de Mohr (c) en la figura 148 (b), el esfuerzo principal mayor es 𝜎𝑝` y el esfuerzo 
principal menor es ´h. Al sustituir estas cantidades en la ecuación del círculo de Mohr 
se obtiene: 
 
 𝜎𝑝` = 𝜎𝑜`𝑡𝑎𝑛
2 (45 +
𝜑`
2
) + 2 𝐶`𝑡𝑎𝑛 (45 +
𝜑`
2
) 
Sabiendo que: 
 𝑘𝑝 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑠𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑅𝑎𝑛𝑘𝑖𝑛𝑒 = 𝑡𝑎𝑛
2 (45 +
𝜑`
2
) 
 
Deduciendo formulas la ecuación de la presión pasiva de Rankine, se expresa de la 
forma siguiente: 
 
 𝜎𝑝` = 𝜎𝑜` 𝑘𝑝 + 2 𝐶
`√ 𝑘𝑝 
 
O también por esta expresión: 
 
 𝑃𝑝 =
1
2
 𝛾 𝐻2 𝑘𝑝 + 2 𝐶
`𝐻√ 𝑘𝑝 
 
Las magnitudes aproximadas de los movimientos del muro, Δx, requeridos para 
desarrollar la falla ante condiciones pasivas son las siguientes: 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
621 
 
 
 
 
 
 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
622 
 
 
 
7.8 PRESION PASIVA DE TIERRA DE COULOMB. 
 
Coulomb (1776) también presentó un análisis para determinar la presión pasiva de 
tierra (es decir, cuando el muro se mueve hacia la masa de suelo) para muros con 
ángulo de fricción (δ´= ángulo de fricción del muro) y conteniendo un material de relleno 
granular similar al analizado en la presión activa de Coulomb. Para comprender la 
determinación de la fuerza pasiva de Coulomb, Pp, considere el muro que se muestra 
en la figura 149 (a). Igual que en el caso de la presión activa, Coulomb supuso que la 
superficie potencial de falla en el suelo era un plano. Para una cuña de falla de prueba 
de suelo, como la ABC1, las fuerzas por longitud unitaria del muro que actúan sobre la 
cuña son: 
 
1. El peso de la cuña, W 
 
2. La resultante, R, de las fuerzas normal y cortante sobre el plano BC1 y 
 
 
3. La fuerza pasiva, Pp 
 
 
 
 
En la figura 149 (b) se muestra el triángulo de fuerzas en equilibrio para la cuña de 
prueba ABC1. A partir de este triángulo de fuerzas, se puede determinar el valor de Pp, 
debido a que se conoce la dirección de las tres fuerzas y la magnitud de una fuerza. 
Se pueden elaborar triángulos similares para varias cuñas de prueba, como ABC1, 
ABC2, ABC3, . . ., y determinar los valores correspondientes de Pp. En la parte superior 
de la figura 149 (a) se muestra la variación de los valores de Pp para cuñas diferentes. 
El valor mínimo de Pp en este diagrama es la fuerza pasiva de Coulomb, cuya 
expresión en forma matemática es: 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
623 
 
 
 
 
 𝑃𝑝 =
1
2
 𝛾 𝐻2𝑘𝑝 
 
Donde: 
 
𝑘𝑝 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑠𝑖𝑣𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 
 
𝑘𝑝 = 
𝑠𝑒𝑛2(𝛽 + 𝜑`)
𝑠𝑒𝑛2(𝛽) sen(𝛽 + 𝛿`) [1 − √
𝑠𝑒𝑛(𝜑` + 𝛿`)𝑠𝑒𝑛(𝜑` + 𝛼)
𝑠𝑒𝑛(𝛽 + 𝛿`)𝑠𝑒𝑛(𝛽 + 𝛼)
]
2 
 
Observe que la fuerza pasiva resultante, Pp, actuará a una distancia H/3 desde el 
fondo del muro y estará inclinada a un ángulo (δ´ = ángulo de fricción del muro) con la 
normal trazada hasta la cara posterior del muro. 
 
7.9 PRESION PASIVA EN CONDICIONES SISMICAS. 
 
Subba Rao y Choudhury (2005) evaluaron la relación para la presión pasiva de tierra 
sobre un muro de contención con un relleno granular y en condiciones sísmicas 
mediante el método del equilibrio límite utilizando el enfoque seudoestático. En la 
figura 150 se muestra la naturaleza de la superficie de falla en el suelo considerada en 
este análisis. La presión pasiva, Ppe, se puede expresar como: 
 
Donde Kpy(e): coeficiente de presión pasiva de tierra en la dirección normal respecto 
al muro. 
 
 
 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
624 
 
 
 
 
 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
625 
 
 
 
7.10 MUROS DE CONTENCIÓN. 
 
En el capítulo anterior se estudiaron varias teorías para determinar la presión lateral 
de tierra, las cuales se utilizarán en este capítulo para diseñar varios tipos de muros 
de contención. En general, los muros de contención se pueden dividir en dos 
categorías principales: a) muros de contención convencionales y b) muros de tierra 
estabilizados mecánicamente. 
 
Los muros de contención convencionales se pueden clasificar en general en cuatro 
tipos: 
1.- Muros de contención de gravedad. 
2.- Muros de contención de semigravedad. 
3.- Muros de contención en voladizo. 
4.- Muros de contención con contrafuertes. 
 
Los muros de contención de gravedad (figura 152 a) se construyen con concreto 
simple o con mampostería de piedra. Su estabilidad depende de su propio peso y de 
cualquier suelo que repose sobre la mampostería. Este tipo de construcción no es 
económica para muros altos. En muchos casos, se puede emplear una cantidad 
pequeña de acero para la construcción de muros de gravedad, minimizando así el 
tamaño de las secciones de los muros. A esos muros se les refiere por lo general como 
muros de semigravedad (figura 152 b). 
 
Los muros de contención en voladizo (figura 152 c) están hechos de concreto 
reforzado y consisten en un cuerpo o alzado delgado y una losa de base. Este tipo de 
muro es económico hasta una altura de aproximadamente 8 m. Los muros de 
contención con contrafuertes (figura 152 d) son similares a los muros en voladizo. Sin 
embargo, a intervalos regulares tienen muros verticales delgados conocidos como 
contrafuertes, que anclan entre sí el muro y la base. El propósito de los contrafuertes 
es reducir los momentos flexionantes y fuerzas cortantes. Para diseñar 
apropiadamente los muros de contención, un ingeniero debe conocer los parámetros 
básicos del suelo retenido detrás del muro y del suelo debajo de la base de la losa, 
que son el peso específico, el ángulo de fricción y la cohesión. Conocer las 
propiedades del suelo detrás del muro permite que un ingeniero determine la 
distribución de la presión lateral necesaria para el diseño. 
 
Existen dos fases en el diseño de un muro de contención convencional. Primero, 
conociendo la presión lateral de la tierra, la estructura como un todo se revisa por 
estabilidad. La estructura se examina para ver si existen fallas posibles por 
volcamiento, deslizamiento y capacidad de carga. Segundo, cada componente de la 
estructura se revisa por resistencia y se determina el reforzamiento de acero de cada 
componente. En este capítulo se presentan los procedimientos para determinar la 
estabilidad de los muros de contención y no las revisiones de resistencia. 
 
Las revisiones de la resistencia y el cálculo de los refuerzos de acero se pueden 
consultar los capítulos anteriores de diseño de zapata y losa de fundación. Algunos 
muros de contención tienen sus rellenos estabilizados mecánicamente al incluir 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
626 
 
 
 
elementos de refuerzo como tiras metálicas, varillas, mallas de alambre 
electrosoldado, geotextiles y geomallas. Estos muros son relativamente flexibles y 
pueden soportar desplazamientos horizontales y verticales grandes sin sufrir mucho 
daño. 
 
 
 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
627 
 
 
 
7.11 DIMENSIONAMIENTO DE MUROS DE CONTENCION. 
 
Al diseñar muros de retención, un ingeniero debe suponer algunas de sus 
dimensiones. En el dimensionamiento esas suposiciones permiten que el ingeniero 
revise la estabilidad de secciones de prueba de los muros. Si las revisiones de 
estabilidad producen resultados indeseables, las secciones se pueden cambiar y 
volver a revisar. En la figura 153 se muestran las proporciones generales de varios 
componentes de muros de retención que se pueden utilizar en revisiones iniciales. 
Observe que la parte superior del cuerpo de cualquier muro de retención no debeser 
menor que aproximadamente 0.3 m (30 cm) para colocar de manera apropiada el 
concreto. La profundidad, D (relleno sobre la puntera), hasta el fondo de la losa base 
debe tener un mínimo de 0.6 m (60 cm). Sin embargo, el fondo de la losa de base se 
debe colocar debajo de la línea de congelamiento estacional. Para muros de retención 
con contrafuertes, la proporción general del cuerpo y la losa de base es la misma que 
para los muros en voladizo. No obstante, las losas de los contrafuertes pueden ser de 
aproximadamente 0.3 m (30 cm) de espesor y espaciadas a distancias centro a centro 
de 0.3 a 0.7H. 
 
 
 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
628 
 
 
 
 
 
 
 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
629 
 
 
 
7.12 APLICACIÓN DE LAS TEORIAS DE LA PRESION LATERAL DE TIERRA AL 
DISEÑO. 
 
Las teorías fundamentales para calcular la presión lateral de tierra se estudiaron en 
el capítulo anterior. Para usar estas teorías en el diseño, un ingeniero debe hacer 
varias suposiciones simples. En el caso de muros en voladizo, el uso de la teoría de la 
presión de tierra de Rankine para las revisiones de estabilidad comprende trazar una 
línea vertical AB por el punto A, ubicado en el borde del talón de la losa de base en la 
figura 156 (a). La condición activa de Rankine se supone que existe a lo largo del plano 
vertical AB. Luego se pueden utilizar las ecuaciones de la presión de tierra de Rankine 
para calcular la presión lateral sobre la cara AB del muro. En el análisis de la 
estabilidad del muro, se debe tomar en cuenta la fuerza Pa (Rankine), el peso del suelo 
arriba del talón y el peso Wc del concreto. La suposición para el desarrollo de la presión 
activa de Rankine a lo largo de la cara AB del suelo es teóricamente correcta si la zona 
de cortante limitada por la línea AC no es obstruida por el cuerpo del muro. El ángulo, 
ƞ, que forma la línea AC con la vertical es: 
 
 
 
 
 
 
Si se utiliza la teoría de Coulomb, será necesario conocer el intervalo del ángulo de 
fricción δ´ del muro con varios tipos de material de relleno. Los siguientes son algunos 
intervalos del ángulo de fricción del muro de mampostería o del muro de concreto 
macizo (simple): 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
630 
 
 
 
 
 
En el caso de muros de retención ordinarios no se encuentran problemas de nivel 
freático y, por lo tanto, de presión hidrostática, aunque siempre se proporcionan 
instalaciones para el drenaje de los suelos que se retienen. En la figura 156, se 
muestran cómo se aplican las presiones en cada teoría de diseño según Coulomb y 
según Rankine, para muros de gravedad y en las figuras 157, 158 y 159, se muestran 
algunas formas de aplicar las fuerzas y las presiones al diseño de muros en voladizo 
y de gravedad. 
 
 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
631 
 
 
 
 
 
 
 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
632 
 
 
 
7.13 ESTABILIDAD DE MUROS DE CONTENCION. 
 
Un muro de retención puede fallar en cualquiera de las formas siguientes: 
.- Puede volcarse respecto a su puntera. (Consulte la figura 160 a) 
.- Puede deslizarse a lo largo de su base. (Consulte la figura 160 b) 
.- Puede fallar debido a la pérdida de capacidad de soporte de carga del suelo que 
soporta la base. (Consulte la figura 160 c) 
.- Puede sufrir una falla cortante por asentamiento profundo de un suelo débil. 
(Consulte la figura 160 d) 
.- Puede experimentar un asentamiento excesivo. 
 
Las revisiones de estabilidad contra las fallas por volcamiento, deslizamiento y 
capacidad de carga se describen en las secciones a continuación. Los principios 
utilizados para estimar el asentamiento se analizaron anteriormente y no se 
profundizarán más. Cuando un estrato de suelo débil se ubica a poca profundidad, es 
decir, dentro de una profundidad de 1.5 veces el ancho de la losa de base del muro de 
retención, se debe considerar la posibilidad de tener un asentamiento excesivo. En 
algunos casos, el uso de un material de relleno de peso ligero detrás del muro de 
retención puede resolver el problema. 
 
 
 
La falla por cortante profundo de un suelo débil puede ocurrir a lo largo de una 
superficie cilíndrica, como la abc que se muestra en la figura 161, como resultado de 
la existencia de un estrato débil de suelo abajo del muro a una profundidad de 
aproximadamente 1.5 veces el ancho de la losa de base del muro de retención. En 
esos casos, la superficie de falla cilíndrica crítica abc se tiene que determinar mediante 
prueba y error, utilizando varios centros como O (circulo de falla). La superficie de falla 
a lo largo de la cual se obtiene el factor de seguridad mínimo es la superficie crítica de 
deslizamiento. Para la pendiente del relleno con (α) menor que aproximadamente 10°, 
el círculo crítico de falla en apariencia pasa por el borde del talón de la losa (como def 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
633 
 
 
 
en la figura). En esta situación, el factor de seguridad mínimo también se tiene que 
determinar mediante prueba y error cambiando el centro del círculo de prueba. 
 
 
 
 
7.14 REVISION POR VOLCAMIENTO. 
 
En la figura 162 se muestran las fuerzas que actúan sobre un muro de retención en 
voladizo y de gravedad, con base en la suposición de que la presión activa de Rankine 
actúa a lo largo del plano vertical AB trazado a través del talón de la estructura. Pp es 
la presión pasiva de Rankine; recuerde que su magnitud es [de la ecuación (7.63)]. 
 
 
 𝑃𝑝 =
1
2
. 𝛾2. 𝐷
2. 𝑘𝑝 + 2 𝐶
`
2. 𝐷. √ 𝑘𝑝 , 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐷 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎. 
 
Donde: 
 
 
 
 
 
El factor de seguridad contra el volcamiento respecto a la puntera, es decir, respecto 
al punto C en la figura 162, se puede expresar como: 
 
 
Donde: 
 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
634 
 
 
 
El momento de volcamiento es: 
 
∑𝑀0 = 𝑃ℎ (
𝐻`
3
) , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑃ℎ = 𝑃𝑎 cos (𝛼) 
 
Para calcular el momento resistente, ∑MR (ignorando Pp), se puede elaborar una 
tabla como la figura 162. El peso del suelo arriba del talón y el peso del concreto (o de 
la mampostería) son fuerzas que contribuyen al momento resistente. Observe que la 
fuerza Pv también contribuye al momento resistente. Pv es la componente vertical de 
la fuerza activa Pa, donde: 
 
𝑃𝑣 = 𝑃𝑎 𝑠𝑒𝑛 (𝛼) 
 
El momento de la fuerza Pv respecto a C es: 
 
𝑀𝑣 = 𝑃𝑣. 𝐵 = 𝑃𝑎 . 𝑠𝑒 𝑛(𝛼) . 𝐵, donde B es el ancho de base del muro. 
 
Una vez que se conoce ∑MR, se puede calcular el factor de seguridad con: 
 
 
 
El valor mínimo deseable usual del factor de seguridad respecto a la falla por 
volcamiento es de 2 a 3. Se recomienda 2,5. 
 
Algunos diseñadores prefieren determinar el factor de seguridad contra el 
volcamiento con la fórmula: 
 
 
 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
635 
 
 
 
 
 
7.15 REVISION POR DESLIZAMIENTO A LO LARGO DE LA BASE. 
 
El factor de seguridad contra el deslizamiento se puede expresar mediante la 
ecuación siguiente: 
 
 
Donde: 
 
En la figura 164. Se indica que la resistencia cortante del suelo inmediatamente 
debajo de la losa de base se puede representar como: 
 
Donde: 
 
Así pues, la fuerza resistente máxima que se puede derivar del suelo por longitud 
unitaria del muro a lo largo del fondo de la losa de base es: 
 
Sin embargo: 
 
De la figura 7.26. Se obtiene la ∑𝑉 , por lo tanto. 
 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
636 
 
 
 
 
 
En la figura 163 se muestra que la fuerza pasiva Pp también es una fuerza horizontal 
resistente. De aquí, 
 
La única fuerza horizontal que tenderá a causar que el muro se deslice (una fuerza 
de empuje) es la componente horizontal de la fuerza activa Pa, por lo tanto, 
 
Dividiendo las dos ecuaciones se obtiene lo siguiente: 
 
En general se requiere un factor de seguridad mínimo de 1.5 contra el 
deslizamiento.Si el valor deseado de FS(deslizamiento) no se logra, se pueden investigar varias 
alternativas (consulte la figura 165): 
 
.- Aumentar el ancho de la losa de base (es decir, el talón de la zapata). 
.- Utilizar un dentellón en la losa de base. Si se incluye un dentellón, la fuerza pasiva 
por longitud unitaria del muro es entonces: 
 
Donde: 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
637 
 
 
 
 
 
 
 
7.16 REVISION FALLA POR CAPACIDAD DE CARGA. 
 
La presión vertical transmitida al suelo por la losa de base del muro de retención se 
debe revisar contra la capacidad de carga última del suelo. La naturaleza de la 
variación de la presión vertical transmitida por la losa de base hacia el suelo se muestra 
en la figura 166. Observe que qpie y qtalón son las presiones máxima y mínima que 
ocurren en los extremos de las secciones de la puntera y del talón, respectivamente. 
Las magnitudes de qpie y qtalón se pueden determinar de la manera siguiente: La suma 
de las fuerzas verticales que actúan sobre la losa base es ∑V (consulte la columna 3 
de la figura 163) y la fuerza horizontal Ph es Pa cos (α). Sea 
 
𝑅 = ∑𝑉 + 𝑃ℎ 
 
La fuerza resultante. El momento neto de estas fuerzas respecto al punto C en la 
figura 7.28 es: 
 
𝑀𝑛𝑒𝑡𝑜 = ∑𝑀𝑅 − ∑𝑀𝑜 
 
Observe que los valores de ∑MR y ∑Mo se determinaron antes. [Consulte la columna 
5 de la figura 163 y la ecuación de la ∑Mo Considere que la línea de acción de la 
resultante R interseca la losa de base en E. Entonces la distancia: 
 
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = �̅� =
𝑀𝑛𝑒𝑡𝑜
∑𝑉
 
 
De aquí, la excentricidad (e) de la resultante R se puede expresar como: 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
638 
 
 
 
𝑒 =
𝐵
2
− �̅� 
 
La distribución de la presión debajo de la losa de base se puede determinar 
utilizando principios físicos simples de la mecánica de materiales. Primero, se tiene: 
 
𝑞 =
∑𝑉
𝐴
±
𝑀𝑛𝑒𝑡𝑜 . 𝑦
𝐼
 
 
Donde: 
 
𝑀𝑛𝑒𝑡𝑜 = ∑𝑉 . 𝑒 
 
A= 1m x B. área unitaria en la base del muro. 
𝐼 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑢𝑟𝑜 =
1
12
. (1)(𝐵)3 
 
Para las presiones máxima y mínima, el valor de (y) es igual a B/2. Al sustituir los 
valores anteriores en la ecuación de (q) nos da lo siguiente: 
 
𝑞𝑚𝑎𝑥 = 𝑞𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎 =
∑𝑉
𝐵
(1 +
6. 𝑒
𝐵
) 
𝑞𝑚𝑖𝑛 = 𝑞𝑡𝑎𝑙𝑜𝑛 =
∑𝑉
𝐵
(1 −
6. 𝑒
𝐵
) 
 
Observe que ∑V incluye el peso del suelo, como se muestra en la figura 165 y que 
cuando el valor de la excentricidad e es mayor que B/6, qmín resulta negativo. Así pues, 
habrá algún esfuerzo de tensión en el extremo de la sección del talón. Este esfuerzo 
no es deseable, ya que la resistencia a la tensión del suelo es muy pequeña. Si en el 
análisis de un diseño se tiene que e > B/6, el diseño se debe volver a dimensionar y 
los cálculos se tienen que rehacer. 
 
 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
639 
 
 
 
Luego de calcular los esfuerzos máximos y mínimos se deben chequear con la 
capacidad de carga de la base como una zapata corrida y para una carga inclinada 
explicada en el capítulo 1 de este material, debe ser mayor que dichos esfuerzos. 
 
7.17 EJEMPLO DE CÁLCULO DE MURO POR VOLCAMIENTO, DESLIZAMIENTO, 
CAPACIDAD DE CARGA Y DISEÑO DEL ACERO DE REFUERZO. 
 
Calcule los factores de seguridad de un muro de contención en voladizo de concreto 
reforzado (a) al volcamiento, (b) al deslizamiento, (c) a la capacidad de carga. Se da 
la sección transversal del muro con sus dimensiones establecidas. Y un relleno con 
una inclinación de 10 grados, y la capacidad admisible del suelo es de 3,5 kg/cm2. 
 
1.- Cálculo de la altura total de empuje: 
 
𝐻` = 𝐻1 + 𝐻2 + 𝐻3 = 0,46𝑚 + 5,50𝑚 + 0,70𝑚 = 6,66 𝑚 
 
2.- Cálculo de la fuerza activa de Rankine por metro lineal de ancho de muro: 
Debido a el relleno granular posee un ángulo de inclinación (α = 100), una fricción 
interna (𝜑`1 = 30° ), la cohesión 𝐶` = 0, el peso específico del material de relleno es 
de 1800 kg/m3. Se tiene que el coeficiente de presión activa para suelo granular es: 
 
 
 
 
𝑘𝑎 = cos(α)
cos(α) − √𝑐𝑜𝑠2(α) − 𝑐𝑜𝑠2(𝜑`)
cos(α) + √𝑐𝑜𝑠2(α) − 𝑐𝑜𝑠2(𝜑`)
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
640 
 
 
 
 
𝑘𝑎 = cos(10
0)
cos(100) − √𝑐𝑜𝑠2(100) − 𝑐𝑜𝑠2(300)
cos(100) + √𝑐𝑜𝑠2(100) − 𝑐𝑜𝑠2 (𝜑300
`
)
= 0,3495 
 
 𝑃𝑎 =
1
2
 𝛾1 (𝐻
`)
2
𝑘𝑎 =
1
2
 (1800𝑘𝑔/𝑚3 )(6,66𝑚)2 0,3495 =13.952,05 kg/m 
 
 𝑃𝑣 = 𝑃𝑎 . 𝑠𝑒𝑛 (10
0
) = 2.422,75 𝑘𝑔/𝑚 
 
 𝑃ℎ = 𝑃𝑎 . 𝑐𝑜𝑠 (10
0
) = 13.740,09 𝑘𝑔/𝑚 
 
3.- Cálculo del factor de seguridad al Volcamiento: para realizar este cálculo 
debemos discretizar el muro de la siguiente manera: 
.- Las áreas A1, A2 y A3. Son de concreto con un peso de 2400 kg/m3 
.- las áreas A4 y A5. Son el material de relleno con un peso de 1800 kg/m3 
 
 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
641 
 
 
 
 
 
.- El momento de volcamiento Mo, es igual a: 
 
∑𝑀0 = 𝑃ℎ (
𝐻`
3
) = 13.740,09
𝑘𝑔
𝑚
(
6,66
3
)𝑚 = 30.503,00 𝑘𝑔 − 𝑚/𝑚 
 
𝐹𝑆𝑣𝑜𝑙𝑐𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 =
∑𝑀𝑅
∑𝑀0
=
104.694,40
30.503,00
= 3,43 > 2,5 𝑜𝑘. 
 
4.- Cálculo del factor de seguridad al desplazamiento: 
 
 
 
 
 
Asumiendo lo siguiente: 
 
𝑘1 = 𝑘2 = 2/3 
 
Calculamos la presión pasiva por: 
 
 𝑘𝑝 = 𝑡𝑎𝑛
2 (45 +
𝜑`2
2
) = 𝑡𝑎𝑛2 (45 +
20
2
) = 2,04 
 
Pp =
1
2
 . x1900 x (1,80)2x 2,04 + 2x 4000x1,80x√2,04 = 26.846,43 kg/m 
 
FS(deslizamiento) =
43.882,75xTan(0,666x20o) + 4,00x0,666x4000 + 26.846,43
13.740,09
= 3,48 > 1,5 ok. 
 
5.- Calculo del factor de seguridad o chequeo por capacidad de carga: para 
determinar los esfuerzos máximo y mínimo debemos calcular la excentricidad y 
chequearla que sea menor que B/6 = (4m/6) = 0,66 m. 
 
�̅� =
∑𝑀𝑅 − ∑𝑀𝑜
∑𝑉
=
104.694,40 − 30.503,00
43.882,75
= 1,70 𝑚 
 
𝑒 =
𝐵
2
− �̅� =
4
2
− 1,70 = 0,30 𝑚 < 0,66 0𝑘. 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
642 
 
 
 
𝑞𝑚𝑎𝑥 = 𝑞𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎 =
∑𝑉
𝐵
(1 +
6. 𝑒
𝐵
) =
43.882,75
4
(1 +
6𝑥0,30
4
) = 15.907.50 𝑘𝑔/𝑚2 
 
𝑞𝑚𝑖𝑛 = 𝑞𝑡𝑎𝑙𝑜𝑛 =
∑𝑉
𝐵
(1 −
6. 𝑒
𝐵
) =
43.882,75
4
(1 −
6𝑥0,30
4
) = 6.033,88 𝑘𝑔/𝑚2 
 
𝑞𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎 = 15.907.50
𝑘𝑔
𝑚2
= 1,59
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
< 3 
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
 𝑜𝑘 
 
𝑞𝑡𝑎𝑙𝑜𝑛 = 6.033,88
𝑘𝑔
𝑚2
= 0,60 
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
< 3 
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
 𝑜𝑘 
 
 
En la figura siguiente se muestra el diagrama de esfuerzos que se trasmiten al suelo. 
 
 
 
Esto quiere decir que el muro cumple con todos los requisitos mínimos para su buen 
funcionamiento. El diseño del refuerzo de acero se realiza por el criterio de zapata 
corrida explicado en el capítulo 2 de este material. 
 
6.- Cálculo de las fuerzas Cortantes, Momentos Flectores y Refuerzos del Muro, 
tanto en la Pantalla, base (Pie y Talón): 
 
.- Diseño de la Base: la punta de la base del muro se comporta como un volado 
sometido a una presión vertical hacia arriba correspondiente a la reacción del suelo, 
los momentos flectores resultantes originan tracción en la fibra inferior de la base del 
muro, en el talón de la base van actuar, la presión del suelo hacia arriba y la presión 
hacia abajo que ejerce el peso propio del muro y del relleno, y la fibra inferior de la 
base estará sometida a tracción. 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
643 
 
 
 
 
.- Cálculos de Momentos y fuerzas cortantes que actúan en la base, en la figura 
siguiente se asume que los cortes 1-1 y 2-2 son empotramientos aislados y la punta y 
el talón actúan como voladizos. 
 
En la punta la fuerza cortante y el momento se determinan sin la carga de relleno 
debido a que puede no estar en cualquier momento. 
 
Fuerzas y brazos respecto a la sección critica 1-1, en la Punta: 
 
Peso propio por metro lineal de muro. (Hacia abajo) 
 
𝑃𝑐𝑜𝑛 = 1.225 𝑘𝑔/𝑚𝑙 
 
 
 
Brazo del peso propio del concreto: 
 
𝑏𝑐𝑜𝑛 =
1
2
𝑥0,70 𝑚 = 0,45 𝑚 
 
Reacción del suelo por metrolineal de muro (hacia arriba): 
 
𝑅𝑠1 = (
15900
𝑘𝑔
𝑚 + 14200
𝑘𝑔
𝑚
2
)𝑥0,70 𝑚 = 10.535 𝑘𝑔 
 
La fuerza cortante resultante en la punta V1-1 hacia arriba es igual: 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
644 
 
 
 
𝑉1−1 = 𝑅𝑠1 − 𝑃𝑐𝑜𝑛 = 10.535 𝑘𝑔 − 1.225 𝑘𝑔 = 9.310 𝑘𝑔 
 
El diagrama trapezoidal de la presión del suelo se puede dividir en un triángulo de 
altura (15.900 – 14.200 = 1700 kg/m) y un rectángulo de altura 14.200 kg/m: 
 
𝑅𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛 =
1
2
𝑥 1700
𝑘𝑔
𝑚
𝑥 0,70 = 595 𝑘𝑔 
 
𝑏𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛 =
2
3
𝑥 0,70 𝑚 = 0,467 𝑚 
 
𝑅𝑟𝑒𝑐𝑡 = 14.200
𝑘𝑔
𝑚
 𝑥 0,70 𝑚 = 9.940 𝑘𝑔 
𝑏𝑟𝑒𝑐𝑡 =
1
2
𝑥 0,70 𝑚 = 0,35 𝑚 
 
Momento en la sección crítica 1-1, por metro lineal de muro en sentido horario 
positivo: 
 
𝑀1−1 = 595 𝑘𝑔 𝑥 0,467 𝑚 + 9.940 𝑘𝑔 𝑥 0,35 𝑚 − 1.225 𝑘𝑔 𝑥 0,45 𝑚 = 3.205,62 𝑘𝑔 − 𝑚 
 
En el Talón la fuerza cortante y el momento se determinan con la carga de relleno 
debido a que siempre va estar adosada al muro y por encima de la base. 
 
Fuerzas y brazos respecto a la sección critica 2-2, en el Talón: 
 
Peso propio por metro lineal de muro. (Hacia abajo) 
 
𝑃𝑐𝑜𝑛 = 4.550,00 𝑘𝑔 
 
Brazo del peso propio del concreto: 
 
𝑏𝑐𝑜𝑛 =
1
2
𝑥2,60 𝑚 = 1,30 𝑚 
 
Reacción del suelo por metro lineal de muro (hacia arriba): 
 
𝑅𝑠2 = (
12.400
𝑘𝑔
𝑚 + 6.000
𝑘𝑔
𝑚
2
)𝑥2,60 𝑚 = 23.920,00 𝑘𝑔 
 
El peso del relleno: 
 
𝑃𝑟𝑒𝑙𝑙 = 26.816,40 𝑘𝑔 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
645 
 
 
 
El brazo del relleno, se asume como un relleno rectangular en vez de trapezoidal, 
con una altura promedio de 5,73 m. 
 
𝑏𝑟𝑒𝑙𝑙 =
1
2
𝑥2,60 𝑚 = 1,30 𝑚 
 
La fuerza cortante resultante en la punta V2-2 hacia abajo es igual: 
 
𝑉2−2 = 𝑅𝑠2 − 𝑃𝑐𝑜𝑛 − 𝑃𝑟𝑒𝑙𝑙 = 23.920,00 𝑘𝑔 − 4.550,00 𝑘𝑔 − 26.816,40 𝑘𝑔 = −7.446,40 𝑘𝑔 
 
El diagrama trapezoidal de la presión del suelo se puede dividir en un triángulo de 
altura (12.400 – 6.000 = 6.400 kg/m) y un rectángulo de altura 6.000,00 kg/m: 
 
𝑅𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛 =
1
2
𝑥 6400
𝑘𝑔
𝑚
𝑥 2,60 𝑚 = 8.320,00 𝑘𝑔 
 
𝑏𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛 =
1
3
𝑥 2,60 𝑚 = 0,867 𝑚 
 
𝑅𝑟𝑒𝑐𝑡 = 6.000,00
𝑘𝑔
𝑚
 𝑥 2,60 𝑚 = 15.600,00 𝑘𝑔 
 
𝑏𝑟𝑒𝑐𝑡 =
1
2
𝑥 2,60 𝑚 = 1,30 𝑚 
 
Momento en la sección crítica 2-2, por metro lineal de muro en sentido horario 
positivo: 
 
𝑀2−2 = −8.320,00𝑘𝑔𝑥0,867𝑚 − 15.600,00𝑘𝑔𝑥1,30𝑚 + 26.816,40 𝑘𝑔𝑥1,30𝑚
+ 4.550,00 𝑘𝑔𝑥1,30𝑚 = 13.282,88 𝑘𝑔 − 𝑚 
 
Las fuerzas cortantes y los momentos flectores en la secciones 1-1 y 2-2 son las 
siguientes: 
 
𝑉1−1 = 9.310 𝑘𝑔 
𝑉2−2 = −7.446,40 𝑘𝑔 
𝑀1−1 = 3.205,62 𝑘𝑔 − 𝑚 
𝑀2−2 = 13.282,88 𝑘𝑔 − 𝑚 
 
.- Chequeo del espesor de la base por corte unidireccional: si amplificamos los 
efectos para llevarlos a estados límites últimos debemos multiplicarlos por Fm = 1,55. 
 
El corte máximo actuante será igual a: 
 
𝑉𝑚𝑎𝑥 = 9.310 𝑘𝑔. . 𝑉𝑢−𝑚𝑎𝑥 = 1,55 ∗ 9.310 𝑘𝑔 = 14.430,50 𝑘𝑔 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
646 
 
 
 
El corte máximo resistente del concreto será igual a: se toma b=100 cm y d =70 cm 
-7,5 cm = 62,50 cm. 
 
𝑉𝑢𝑐 = 𝜙 . 0,53 . √𝑓𝑐´𝑥𝑏𝑥𝑑 = 0,75 𝑥 0,53 𝑥 √250
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
𝑥100 𝑐𝑚 𝑥 62,50 𝑐𝑚
= 39.281,42 𝑘𝑔 
Se compara en corte máximo ultimo actuante en la base, con el corte ultimo del 
concreto, se nota la base del muro no falla por corte y que el espesor asignado en 
suficiente. 
 
.- Chequeo por flexión del espesor de la base del muro y cálculo del área de acero 
 
Momento máximo último en la punta: 
 
𝑀𝑢−𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎 = 1,55 ∗ 3.205,62 𝑘𝑔 − 𝑚 = 4.968,71 𝑘𝑔 − 𝑚 
 
Momento máximo último en el talón: 
 
𝑀𝑢−𝑡𝑎𝑙𝑜𝑛 = 1,55 ∗ 13.282,88 𝑘𝑔 − 𝑚 = 20.588,46 𝑘𝑔 − 𝑚 
 
Por las fórmulas de concreto armado para una cuantía 0,18 (valor conservador con 
condiciones de ductilidad), y para una resistencia del concreto a los 28 días de fc´ = 
250 kg/cm2, se tiene la siguiente expresión: 
 
Para el momento mayor entre la punta y el talón: 
 
𝑑 = √
𝑀𝑢
𝜙 𝑥 𝑅𝑢 𝑥 𝑏
 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜙 = 0,90 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 𝑦 𝑏 = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒 100𝑐𝑚 
 
Donde: 
𝑅𝑢 = 0,1609 𝑥 𝑓𝑐 
´ = 0,1609 𝑥 250 = 40,225 𝑘𝑔/𝑐𝑚 
𝑀𝑢 = 20.588,46 𝑘𝑔 − 𝑚, 𝑏 = 100 𝑐𝑚 Ancho unitario. 
 
𝑑 = √
20588,46 𝑥 100 𝑘𝑔−𝑐𝑚
0,90 𝑥 40,225 𝑥 100𝑐𝑚
= 24,05 𝑐𝑚, 
Esto nos dice que el espesor d = 62,50 cm, está bien. 
 
Y el cálculo del área de acero a flexión se expresa de la forma siguiente por la teoría 
de rotura de concreto armado: 
 
En la punta: 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
647 
 
 
 
𝑅 = 
𝑀𝑢 − 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎/𝛷
𝑓𝑐´ 𝑥 100𝑐𝑚 𝑥 𝑑2
= 
(4.968,71 𝑘𝑔 − 𝑚)𝑥 100/0,90
250
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
 𝑥 100 𝑐𝑚 𝑥 (70 𝑐𝑚 − 7,5 𝑐𝑚)2
= 0,00565 
 
𝑞 = 0,85 − √0,7225 − 1,7. 𝑅 = 0,85 − √0,7225 − 1,7𝑥0,00565 = 0,00566 
 
𝐴𝑠𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎 = 𝑞 .100𝑐𝑚. 𝑓𝑐
´.
𝑑
𝑓𝑦
 = 0,00566 𝑥 100 𝑐𝑚 𝑥 250 
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
 
62,50 𝑐𝑚
4200 
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
= 2,10 𝑐𝑚2 
Área de acero mínimo por ancho de 1 metro de muro: 
 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0,0018 ∗ 100𝑐𝑚 ∗ ℎ = 0,0018 ∗ 100𝑐𝑚 ∗ 70𝑐𝑚 = 12,60 𝑐𝑚2 = 5/8"@15𝑐𝑚 
 
Para este caso se adopta el área de acero mínimo. 
 
En el Talón: 
 
𝑅 = 
𝑀𝑢 − 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎/𝛷
𝑓𝑐´𝑥 100𝑐𝑚 𝑥 𝑑2
= 
(20.588,46 𝑘𝑔 − 𝑚)𝑥 100/0,90
250
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
 𝑥 100 𝑐𝑚 𝑥 (70 𝑐𝑚 − 7,5 𝑐𝑚)2
= 0,0234 
 
𝑞 = 0,85 − √0,7225 − 1,7. 𝑅 = 0,85 − √0,7225 − 1,7𝑥 0,0234 = 0,02374 
 
𝐴𝑠𝑡𝑎𝑙𝑜𝑛 = 𝑞 .100𝑐𝑚. 𝑓𝑐
´.
𝑑
𝑓𝑦
 = 0,02374 𝑥 100 𝑐𝑚 𝑥 250 
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
 
62,50 𝑐𝑚
4200 
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
= 8,83 𝑐𝑚2 
Área de acero mínimo por ancho de 1 metro de muro: 
 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0,0018 ∗ 100𝑐𝑚 ∗ ℎ = 0,0018 ∗ 100𝑐𝑚 ∗ 70𝑐𝑚 = 12,60 𝑐𝑚2 = 5/8"@15𝑐𝑚 
 
El acero de repartición será el 50% del acero mínimo: 
 
𝐴𝑠𝑟𝑒𝑝 = 0,5 ∗ 0,0018 ∗ 100𝑐𝑚 ∗ ℎ = 0,50 ∗ 0,0018 ∗ 100𝑐𝑚 ∗ 70𝑐𝑚 = 6,30 𝑐𝑚2
= 1/2"@20𝑐𝑚 
 
Para este caso se adopta el área de acero mínimo. 
 
.- Diseño de la Pantalla del muro: la pantalla del muro se comporta como un voladizo 
empotrado en la base, sometido a la presión lateral que ejerce la tierra, los momentos 
flectores ejercen tracción en la fibra de la cara interna de la pantalla, la cual debe ser 
reforzada con la mayor cantidad de acero. 
Las solicitaciones de cortes y momentos se harán en secciones a cada 50 cm a la 
altura de la pantalla del muro, el cálculo de los cortes y momentos se harán 
manualmente. Para el cálculo manual de la pantalla se realiza de la siguiente manera: 
 
1.- Cálculo de las presiones sobre la pantalla: se realiza por la siguiente expresión. 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
648 
 
 
 
 
 𝑞𝑖 = 𝛾1 ∗ 𝑧 ∗ 𝑘𝑎, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑧 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 0,00 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 5,96𝑚 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛𝑜, 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 11 𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠. 
 
2.- Cálculo de las fuerzas cortantes últimas en cada punto sobre la pantalla: 
 
𝑉𝑢𝑖 = 1,55 ∗ 𝑞𝑖 ∗
𝑧2
2 ∗ 𝐿
 , 𝑧 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑦 𝐿 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙𝑎 = 5,50 𝑚 
 
3.- Calculo de los Momentos últimos en cada punto sobre la pantalla: 
 
𝑀𝑢𝑖 = 1,55 ∗ 𝑞𝑖 ∗
𝑧3
6 ∗ 𝐿
 , 𝑧 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑦 𝐿 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙𝑎 = 5,50 𝑚 
 
4.- Se verifican los espesores de la pantalla con los calculados por la expresión 
siguiente: 
 
𝑑 = √
𝑀𝑢
𝜙 𝑥 𝑅𝑢 𝑥 𝑏
 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜙 = 0,90 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 𝑦 𝑏 = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒 100𝑐𝑚, 𝑅𝑢 = 0,1609 𝑥 𝑓𝑐 
´ 
 
5.- Se chequea por corte unidireccional de la forma siguiente: 
 
Se calcula el corte nominal en cada punto de la pantalla, y se compara con el corte 
actuante 
𝑉𝑢𝑐 = 𝜙 . 0,53 . √𝑓𝑐´𝑥𝑏𝑥𝑑, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜙 = 0,75 𝑦 𝑑 = (𝑒𝑝 − 5𝑐𝑚) 
 
6.- Se calculan R, q y As en cada punto, y se comparan con el área de acero mínima, 
de acuerdo a las fórmulas usadas en concreto armado. 
 
A continuación, se presenta una tabla y grafico calculada en una hoja de Excel y 
dibujadaen AutoCAD, utilizando los pasos anteriores vistos. 
 
 
Ka = 0.3495 peso suelo= 1800 kg/m3 f`c = 250 kg/cm2 φ = 0.75 corte
H(pantalla)= 5.5 m fy = 4200 kg/cm2 φ = 0.90 flexion
z(m)(relleno)q(kg/m2) z(m)(pantalla) Vu(kg) Mu(kg-m) ep(cm) Vuc(kg) df(cm) R q As(cm2) Asmin(cm2)
0.0000 0.00 0.00 0.00 0.00 50.00 28,282.62 0.00 0.00000 0.00000 0.00 9.00
0.5082 319.70 0.50 11.26 1.88 52.00 29,539.63 0.23 0.00000 0.00000 0.00 9.36
1.0164 639.39 1.00 90.10 30.03 54.00 30,796.63 0.91 0.00006 0.00006 0.02 9.72
1.5245 959.09 1.50 304.08 152.04 55.00 31,425.13 2.05 0.00027 0.00027 0.08 9.90
2.0327 1278.79 2.00 720.77 480.51 57.00 32,682.14 3.64 0.00079 0.00079 0.24 10.26
2.5409 1598.49 2.50 1,407.76 1,173.13 59.00 33,939.14 5.69 0.00179 0.00179 0.58 10.62
3.0491 1918.18 3.00 2,432.60 2,432.60 61.00 35,196.15 8.20 0.00345 0.00345 1.15 10.98
3.5573 2237.88 3.50 3,862.89 4,506.70 63.00 36,453.16 11.16 0.00595 0.00598 2.06 11.34
4.0655 2557.58 4.00 5,766.17 7,688.23 65.00 37,710.16 14.57 0.00949 0.00955 3.41 11.70
4.5736 2877.27 4.50 8,210.04 12,315.06 66.00 38,338.66 18.44 0.01471 0.01484 5.39 11.88
5.0818 3196.97 5.00 11,262.06 18,770.10 68.00 39,595.67 22.77 0.02102 0.02129 7.98 12.24
5.5900 3516.67 5.50 14,989.80 27,481.30 70.00 40,852.67 27.55 0.02891 0.02942 11.38 12.60 1cab.5/8"@15 cm
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
649 
 
 
 
 
 
A continuación, se muestra el detallado del muro de contención: 
 
 
Muros de Contencion de Concreto Reforzado 
 
 
650 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referencias Bibliográficas 
 
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