Notas de Álgebra Básica I

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Notas de Álgebra Básica I
Carlos Ruiz de Velasco y Bellas
Departamento de Matemáticas, Estad́ıstica y Computación
Facultad de Ciencias
Universidad de Cantabria
22 de septiembre de 2008
2
Índice general
1. Teoŕıa de conjuntos 5
1.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Las relaciones de pertenencia, igualdad e inclusión . . 5
1.1.2. Conjuntos y propiedades. Conjunto complementario.
El conjunto vaćıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3. Partes de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.4. Unión, intersección y diferencia . . . . . . . . . . . . . 16
1.2. El concepto de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1. Pares ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.3. El concepto de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.4. Familias de elementos y sucesiones . . . . . . . . . . . 27
1.2.5. Imágenes directas y rećıprocas . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.6. Composición de aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.7. Aplicaciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas . . 38
1.3. Uniones e intersecciones de familias de conjuntos . . . . . . . 43
1.4. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.4.1. Concepto y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.4.2. Clases de equivalencia y conjunto cociente . . . . . . . 46
1.4.3. Descomposición canónica de una aplicación. . . . . . . 49
1.5. Relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3
4 ÍNDICE GENERAL
Caṕıtulo 1
Teoŕıa de conjuntos
1.1. Conjuntos
1.1.1. Las relaciones de pertenencia, igualdad e inclusión
Se supondrá que el lector posee una idea intuitiva de la noción de con-
junto y se adoptará un punto de vista un tanto ingenuo respecto de éste
concepto. Diremos, simplemente, que un conjunto es una colección bien de-
terminada de objetos (posiblemente vaćıa).
La relación de pertenencia
Si a es un objeto de un conjunto A, se dice que a pertenece al conjunto
A, o que a está en el conjunto A o que a es un elemento del conjunto
A y se escribe a ∈ A; la negación de esta relación se indica a /∈ A, que se lee
a no pertenece al conjunto A, o a no está en el conjunto A o a no
es un elemento del conjunto A.
Notas y ejemplos 1.1
1. En las matemáticas se utilizan conjuntos de objetos matemáticos ta-
les como conjuntos de números, conjuntos de polinomios, conjuntos de
puntos o de rectas, etc; pero, con el fin de aclarar los conceptos al prin-
cipiante, puede ser útil considerar en los ejemplos conjuntos integrados
por objetos comunes de carácter no necesariamente matemático.
2. Los elementos de un conjunto pueden ser, a su vez, conjuntos de ele-
mentos de otros conjuntos; esto es, un elemento de un conjunto puede
ser un conjunto. Por ejemplo, mediante un proceso elemental de abs-
tracción, podemos pensar que una biblioteca es un conjunto de libros,
que un libro es el conjunto de sus páginas, que una página de un libro
es el conjunto de sus ĺıneas de texto, etc.
5
6 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
3. Denotemos por Z el conjunto de (todos) los números enteros. Se cum-
plen las relaciones
1492 ∈ Z, −307 ∈ Z, 3
7
6∈ Z,
√
2 6∈ Z
4. Consideremos el conjunto S de los números reales x que satisfacen la
ecuación x2 − 25 = 0. Se cumplen:
5 ∈ S,
−5 ∈ S y
si r ∈ S, entonces r = −5 ó r = 5.
Esto quiere decir que 5 y −5 son elementos del conjunto S, y que 5 y
−5 son los únicos elementos del conjunto S.
5. Sea V el conjunto de los números reales x que verifican la relación
(ecuación) x2 + 4 = 0. ¿Cuáles son los elementos de V ?
6. Sea W el conjunto de los números complejos z que verifican la relación
(ecuación) z2 + 4 = 0. ¿Cuáles son los elementos de W?
7. Denotemos por P el conjunto de los números primos. Se verifican las
relaciones
7 ∈ P, 37 ∈ P, 12 6∈ P, −16 6∈ P
8. Denotemos por D el conjunto de los números primos pares. Se cum-
plen:
2 ∈ D
Si x ∈ D, entonces x = 2.
Esto quiere decir que 2 es un elemento del conjunto D, y que 2 es el
único elemento del conjunto D.
La relación de igualdad
Definición 1.2 Un conjunto A es igual a un conjunto B si para todo x, la
relación x ∈ A equivale a la relación x ∈ B.
Esto viene a decir que dos conjuntos A y B son iguales si, y sólo si, A y
B poseen los mismos elementos; es decir, si todo elemento de A pertenece a
B y todo elemento de B pertenece a A. La relación “el conjunto A es igual
al conjunto B” se escribe A = B y la negación de dicha relación se escribe
A 6= B. Por tanto, dados dos conjuntos A y B se tienen las equivalencias:
A = B ⇐⇒ todo elemento de A pertenece a B y
todo elemento de B pertenece a A
1.1. CONJUNTOS 7
y
A 6= B ⇐⇒ algún elemento de A no pertenece a B o
algún elemento de B no pertenece a A
Proposición 1.3 La relación de igualdad entre conjuntos verifica las si-
guientes propiedades:
1 para todo conjunto A, A = A (propiedad reflexiva);
2 para todo conjunto A y todo conjunto B, si A = B, entonces B = A
(propiedad simétrica);
3 para todo conjunto A, todo conjunto B y todo conjunto C, si A = B
y B = C, entonces A = C (propiedad transitiva).
La relación de inclusión
Definición 1.4 Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si para
todo x, la relación x ∈ A implica la relación x ∈ B. También se dice, en este
caso, que A está contenido en B o que A es una parte de B. La relación
A es subconjunto de B se escribe A ⊆ B. La relación B contiene a A,
denotada B ⊇ A, equivale a A ⊆ B.
A
B
Para todo x la relación “x ∈ A⇒x ∈ B” es cierta. Por tanto A ⊆ B.
Notas y ejemplos 1.5
1. El conjunto P de los números primos es un subconjunto del conjunto
Z de los números enteros; esto es, P ⊆ Z.
2. El conjunto S de los números reales x que satisfacen la ecuación x2 −
25 = 0 es un subconjunto del conjunto T de los números reales y que
satisfacen la ecuación y3 − 25y = 0; esto es, S ⊆ T . ¿Es cierta la
relación S = T? ¿Por qué?
3. El conjunto D de los números enteros que son múltiplos de 10 es un
subconjunto del conjunto C de los números enteros que son múltiplos
de 5; en śımbolos, D ⊆ C. Lo que se está diciendo es que todo entero
que sea múltiplo de 10 es múltiplo de 5; en efecto, supóngase que un
8 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
número entero x es múltiplo de 10, entonces existe un número entero
z tal que x = 10z; se tiene entonces x = 10z = 5(2z) que es múltiplo
de 5.
4. Nótese que
A ⊆ B
equivale a:
para todo x, la relación x /∈ B implica la relación x /∈ A.
Esto es consecuencia de la equivalencia lógica (tautoloǵıa):
[p⇒ q] ⇐⇒ [(∼ q)⇒(∼ p)]
5. Si A y B son conjuntos, las relaciones siguientes son equivalentes:
a) A ⊆ B.
b) Para todo x, x ∈ A implica x ∈ B. (O bien, simbólicamente,
∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B)
c) Para todo x, x /∈ B implica x /∈ A. (∀x, x /∈ B ⇒ x /∈ A)
d) B ⊇ A.
6. La definición de subconjunto se puede expresar simbólicamente en la
forma
A ⊆ B ⇐⇒ ∀x, x ∈ A⇒x ∈ B
7. La negación de la relación A ⊆ B se escribe A 6⊆ B; de modo que para
dos conjuntos A y B se tiene:
A 6⊆ B ⇐⇒ hay un objeto x tal que x ∈ A y x /∈ B
o bien, simbólicamente,
A 6⊆ B ⇐⇒ ∃x, x ∈ A y x /∈ B
€ 
B
€ 
A
€ 
x
€ 
B
€ 
A
€ 
x
8. El conjunto D de los números enteros que son múltiplos de 12 no es
subconjunto del conjunto O de los números enteros que son múltiplos
de 8; esto es, D 6⊆ O ¿Por qué?
1.1. CONJUNTOS 9
Sean A y B conjuntos. Si A ⊆ B y A 6= B se pone A ⊂ B o bien, si
interesa hacer mayor énfasis, A⊂6= B. Se dice, en este caso, que el conjunto A
está estrictamente contenido en el conjunto B. Por tanto,
A ⊂ B ⇐⇒ todo elemento de A pertenece a B y
algún elemento de B no pertenece a A
Proposición 1.6 La relación de inclusión entre conjuntos verifica las si-
guientes propiedades:
1 A ⊆ A, para todo conjunto A (propiedad reflexiva);
2 para todo conjunto A y todo conjunto B, si A ⊆ B y B ⊆A, entonces
A = B (propiedad antisimétrica);
3 para todo conjunto A, todo conjunto B y todo conjunto C, si A ⊆ B
y B ⊆ C, entonces A ⊆ C (propiedad transitiva).
Demostración. Se deja como ejercicio muy sencillo.
Algunos conjuntos notables.
Algunos conjuntos de objetos matemáticos son especialmente importan-
tes y aparecen frecuentemente en diversas situaciones, por ello es conveniente
representarlos mediante śımbolos especiales para poder referirse a ellos con
comodidad y sin ambigüedades. Veamos, de modo un tanto informal, algunos
ejemplos:
1. El conjunto N de los números naturales:
Sus elementos son: 0, 1, 2, 3, . . ..
Se verifican las relaciones: 7 ∈ N,−8 6∈ N.
Nótese que, por convenio, 0 ∈ N.
2. El conjunto Z de los números enteros:
Sus elementos son: . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . ..
Se cumplen las relaciones: 7 ∈ Z,−8 ∈ N, 35 6∈ Z.
3. El conjunto Q de los números racionales.
2 ∈ Q, 35 ∈ Q,
√
2 6∈ Q, 2 + 3i 6∈ Q.
4. El conjunto R de los números reales.
2 ∈ R, 35 ∈ R,
√
2 ∈ R, 2 + 3i 6∈ R.
5. El conjunto C de los números complejos.
10 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
2 ∈ C, 35 ∈ C, −
√
2 ∈ C, 2 + 3i ∈ C, 35 − i
√
2 ∈ C.
Entre estos conjuntos se cumplen las inclusiones (estrictas) siguientes
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
6. El conjunto M2(Q) de las matrices cuadradas de 2 filas y 2 columnas
sobre Q.(
2 3/4
−5 7
)
∈ M2(Q),
(
−
√
2 3/4
−5 7
)
6∈ M2(Q)
1.1.2. Conjuntos y propiedades. Conjunto complementario.
El conjunto vaćıo
Conjuntos y propiedades
Admitimos el siguiente “teorema” que permite construir conjuntos de
objetos extráıdos de un conjunto dado y que verifiquen alguna propiedad
determinada.
Teorema 1.7 Sea U un conjunto. Para cada propiedad R(x) (que tenga
sentido para los elementos de U) hay un único subconjunto UR de U tal que:
x ∈ UR si, y sólo si, x ∈ U y x verifica la propiedad R(x).
Se dice que UR es el conjunto de los elementos de U que verifican
la propiedad R(x) y que R(x) es una propiedad caracteŕıstica del
conjunto UR. Se escribe
UR = {x | x ∈ U y R(x)}
o bien
UR = {x ∈ U | R(x)}.
Aśı, dado x ∈ U , se tiene
x ∈ UR ⇐⇒ R(x)
Ejemplos 1.8
1. Sean U = Z (el conjunto de los números enteros) y R(x) la relación
x > 0. Entonces ZR es el conjunto de los enteros positivos:
ZR = {x | x ∈ Z y x > 0} = {x ∈ Z | x > 0}.
1.1. CONJUNTOS 11
2. Sea U = R ×R (el conjunto de los puntos del plano real)1 y supon-
gamos como propiedad R(x, y) la relación 3x + 2y − 5 = 0. Entonces
(R×R)R es lo que se conoce habitualmente como la recta de ecuación
3x + 2y − 5 = 0:
(R×R)R = {(x, y) | (x, y) ∈ R×R y 3x + 2y − 5 = 0} =
= {(x, y) ∈ R×R | 3x + 2y − 5 = 0}
3. Supongamos U = R (el conjunto de los números reales) y consideremos
como propiedad R(z) la relación z3+2z2−5z−6 = 0. En este caso RR
es el conjunto de las ráıces (ceros o soluciones) reales de la ecuación
z3 + 2z2 − 5z − 6 = 0:
RR = {z ∈ R | z3 + 2z2 − 5z − 6 = 0}
4. Pongamos U = R (el conjunto de los números reales) y consideremos
como propiedad R(y) la relación y2 + y + 1 = 0. En este caso RR es
el conjunto de las ráıces reales de la ecuación y2 + y + 1 = 0:
RR = {y ∈ R | y2 + y + 1 = 0} = ¿?
5. Supongamos que U es el conjunto de las letras del alfabeto español;
consideremos la propiedad R(v) la relación “v es una vocal”. En este
caso UR es el conjunto de las vocales del alfabeto español.
Nota. Si un conjunto A es finito (y es “pequeño”), entonces es posible enu-
merar, uno a uno, sus elementos; en este caso se suele representar expĺıcita-
mente el conjunto A escribiendo entre llaves {. . .} sus elementos separados
por comas.
Ejemplos 1.9
1. El conjunto de las cinco vocales del alfabeto español:
{a, e, i, o, u}
2. El conjunto de los números enteros primos menores que 10:
{2, 3, 5, 7}
3. El conjunto de las ráıces reales del polinomio z3 + 2z2 − 5z − 6 :
{z ∈ R | z3 + 2z2 − 5z − 6 = 0} = {−3,−1, 2}
1Véase más adelante el concepto de producto cartesiano de conjuntos.
12 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
4. El conjunto de las ráıces reales del polinomio y2 + y + 1 :
{y ∈ R | y2 + y + 1 = 0} = {}
5. El conjunto de las ráıces complejas del polinomio y2 + y + 1 :
{y ∈ C | y2 + y + 1 = 0} =
{−1
2
+
i
√
3
2
,
−1
2
− i
√
3
2
}
6. El conjunto de los enteros primos mayores que 23 y menores que 29:
{n ∈ N | n es primo y 23 < n < 29} = {}
7. En este ejemplo se muestra un conjunto cuyos elementos son a su vez
conjuntos:
S = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 6}}
Nótese que los elementos del conjunto S son
{1, 2}, {1, 3} y {2, 6}
Por tanto se verifican las relaciones siguientes
{1, 2} ∈ S, {1, 3} ∈ S, {2, 4} ∈ S, 1 /∈ S, 2 /∈ S,
{{1, 2}, {2, 6}} ⊆ S, {{1, 2}} ⊆ S, {1, 2} 6⊆ S
Sea U un conjunto y sean R(x) y P(x) propiedades. ¿En qué casos el
conjunto UR de los elementos de U que verifican la propiedad R(x) coincide
con el conjunto UP de los elementos de U que verifican la propiedad P(x)?
Dado x ∈ U se tienen las equivalencias
x ∈ UR ⇐⇒ R(x),
x ∈ UP ⇐⇒ P(x),
UR = UP ⇐⇒ (x ∈ UR ⇐⇒ x ∈ UP)
Por consiguiente
UR = UP ⇐⇒ (R(x) ⇐⇒ P(x))
Esto es, el conjunto UR de los elementos de U que verifican la propiedad
R(x) coincide con el conjunto UP de los elementos de U que verifican la
propiedad P(x) si, y sólo si, las propiedades R(x) y P(x) son equivalentes.
Sea U un conjunto y sean R(x) y P(x) propiedades. ¿En qué casos el
conjunto UR de los elementos de U que verifican la propiedad R(x) está con-
tenido en el conjunto UP de los elementos de U que verifican la propiedad
1.1. CONJUNTOS 13
P(x)? Dado x ∈ U se tienen las equivalencias
x ∈ UR ⇐⇒ R(x),
x ∈ UP ⇐⇒ P(x),
UR ⊆ UP ⇐⇒ (x ∈ UR ⇒ x ∈ UP)
Por consiguiente
UR ⊆ UP ⇐⇒ (R(x) ⇒ P(x))
Esto es, el conjunto UR de los elementos de U que verifican la propiedad
R(x) está contenido en el conjunto UP de los elementos de U que verifican
la propiedad P(x) si, y sólo si, la propiedad R(x) implica la propiedad P(x).
Ejemplos 1.10
1. Sea U = Z, el conjunto de los números enteros. Sea R(x) la propiedad
|x | ≤ 4, y sea P(x) la propiedad x2 ≤ 16. Para todo número entero x,
las propiedades P(x) y R(x) son equivalentes; por tanto se cumple la
igualdad
{x ∈ Z | |x | ≤ 4} = {x ∈ Z | x2 ≤ 16}
Conjunto complementario
Definición 1.11 Sea A un subconjunto de un conjunto U ; el conjunto
complementario de A respecto de U es el conjunto de los elementos x
de U que verifican la propiedad x /∈ A; se denota este conjunto CUA.
CUA = {x ∈ U | x /∈ A}
En la figura se pretende ilustrar el concepto de conjunto complementario.
A
U
CUA
Notas y ejemplos 1.12
1. El conjunto CUA está definido para subconjuntos (cualesquiera) A de
un conjunto U .
2. Para todo subconjunto A de un conjunto U , el conjunto complemen-
tario de A respecto de U , CUA, es un subconjunto de U :
A ⊆ U =⇒ CUA ⊆ U
14 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
3. Sea A un subconjunto de un conjunto U . Para todo x ∈ U se cumple
x ∈ CUA ⇐⇒ x /∈ A
4. Sea A un subconjunto de un conjunto U . Para todo x ∈ U se cumple
x /∈ CUA ⇐⇒ x ∈ A
5. Pongamos U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Se cumplen las siguientes igual-
dades
CU{0, 2, 4, 6, 8} = {1, 3, 5, 7, 9},
CU{0, 1} = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
CU{5} = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}
6. En el conjunto Z de los números enteros sea Z+ el subconjunto de los
enteros positivos:
Z+ = {m ∈ Z | m > 0}
El conjunto complementario de Z+ respecto de Z es
CZ(Z+) = {m ∈ Z | m ≤ 0}
7. En el conjunto R×R de los puntos del plano real sea A (el conjunto
de los puntos de) la recta de ecuación 3x + 2y − 5 = 0; esto es,
A = {(x, y) ∈ R×R | 3x + 2y − 5 = 0}
El complementario de A respecto de R×R es el conjunto de los puntos
del plano que no pertenecen a la recta A:
CR×RA = {(x, y) ∈ R×R | 3x + 2y − 5 6= 0}
8. Sea D1 el disco de radio unidad (abierto) centrado en el origen:
D1 = {(x, y) ∈ R×R | x2 + y2 < 1}
El complementario de D1 respecto de R×R es
CR×R(D1) = {(x, y) ∈ R×R | x2 + y2 ≥ 1}
Proposición 1.13 Sean A y B subconjuntos de un conjunto U .
1 A ⊆ B si, y sólo si, CUB ⊆ CUA
2 CU (CUA) = A
Demostración.
1 Consecuenciade la equivalencia entre las relaciones “para todo x, si
x ∈ A, entonces x ∈ B” y “para todo x, si x /∈ B, entonces x /∈ A” .
2 Para todo x en U :
x ∈ CU (CUA) ⇐⇒ x /∈ CUA ⇐⇒ x ∈ A.
1.1. CONJUNTOS 15
El conjunto vaćıo
Proposición 1.14 Para conjuntos cualesquiera X e Y se tiene CXX =
CY Y .
Demostración. Consecuencia de la equivalencia:
para todo x, x ∈ X y x /∈ X ⇐⇒ para todo x, x ∈ Y y x /∈ Y
Definición 1.15 Para todo conjunto X se pone ∅ = CXX. El conjunto ∅
se denomina el conjunto vaćıo. Nótese que, por 1.14, ∅ no depende del
conjunto X escogido.
Proposición 1.16 El conjunto vaćıo cumple las siguientes propiedades:
1 Para todo conjunto A se tiene ∅ ⊆ A.
2 Si B es un conjunto tal que B ⊆ A para todo conjunto A, entonces
B = ∅.
Demostración.
1 La relación “para todo x, si x ∈ ∅, entonces x ∈ A” es verdadera,
cualquiera que sea el conjunto A (¿Por qué?).
2 De 1 se tiene ∅ ⊆ B. Por hipótesis B ⊆ ∅. Aśı B = ∅.
Por tanto, el conjunto vaćıo es el único conjunto contenido en todo con-
junto. Nótese que el conjunto vaćıo cumple las propiedades:
i Para todo x, la relación x ∈ ∅ es falsa.
ii Si H es un conjunto tal que la relación x ∈ H es falsa para todo x,
entonces H = ∅.
1.1.3. Partes de un conjunto
Admitimos el siguiente
Teorema 1.17 Para cada conjunto X existe un conjunto cuyos elementos
son, precisamente, los subconjuntos de X. Se denota este conjunto por P(X).
En śımbolos:
P(X) = {A | A ⊆ X}
Por tanto, dado un conjunto X se verifica:
Y ∈ P(X) ⇐⇒ Y ⊆ X.
16 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
Definición 1.18 Si X es un conjunto, P(X) se denomina el conjunto de
las partes de X. También se dice que P(X) es el conjunto de los sub-
conjuntos de X.
Notas y ejemplos 1.19
1 Para todo conjunto X se cumplen ∅ ∈ P(X) y X ∈ P(X).
2 Sea D = {0, 1}, se tiene
P(D) = {∅, {0}, {1}, D} = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}
Nótese que {1} ∈ P(D), {0, 1} ∈ P(D), etc.
3 Sea T = {0, 1, 2}, se tiene
P(T ) = {∅, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, T} =
= {∅, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}
Nótese que {2} ∈ P(T ), {0, 1} ∈ P(T ), etc.
4 P({0}) = {∅, {0}}
5 P(∅) = {∅ }
1.1.4. Unión, intersección y diferencia
Se definen las tres operaciones básicas entre conjuntos: unión, intersec-
ción y diferencia conjuntistas. Posteriormente se estudian las propiedades
formales más importantes de estas operaciones.
Definición 1.20 Sean A y B subconjuntos de un conjunto U .
La unión de A y B es el conjunto, denotado A ∪B, de los elementos
(de U) que pertenecen a A ó a B.
A ∪B = {x ∈ U | x ∈ A ó x ∈ B}
La intersección de A y B es el conjunto, denotado A ∩ B, de los
elementos (de U) que pertenecen a A y a B.
A ∩B = {x ∈ U | x ∈ A y x ∈ B}
La diferencia conjuntista o conjunto diferencia de A y B es el
conjunto, denotado A − B, de los elementos (de U) que pertenecen a
A y no pertenecen a B.
A−B = {x ∈ U | x ∈ A y x /∈ B}
1.1. CONJUNTOS 17
Para todo x, x ∈ A ∪B ⇐⇒ x ∈ A ó x ∈ B.
Notas y ejemplos 1.21
1 Las definiciones de la unión, intersección y diferencia de dos conjuntos
A y B, subconjuntos de un conjunto U , se pueden expresar en la forma:
para todo x ∈ U , se tiene:
x ∈ A ∪B ⇐⇒ x ∈ A ó x ∈ B;
x ∈ A ∩B ⇐⇒ x ∈ A y x ∈ B;
x ∈ A−B ⇐⇒ x ∈ A y x /∈ B
2 En la “tabla de valores de verdad” adjunta se expone la interpretación
de las conjunciones “o” e “y” y del adverbio “no”:
p q p o q p y q no p
C C C C F
C F C F F
F C C F C
F F F F C
Aśı la conjunción “o” debe entenderse siempre en sentido no exclu-
yente: la validez de una proposición compuesta de la forma “p o q”
equivale a la validez de “p”, o a la validez de “q” o a la validez de
ambas.
3 Sean
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = {5, 6, 7, 8, 9}
Se tiene:
A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
A ∩B = {5, 6},
A−B = {1, 2, 3, 4}.
4 Suponer que U es el conjunto de los números reales: U = R. Sean
I1 = {x ∈ R | −1/2 ≤ x ≤ 1/2} = [−1/2, 1/2],
I2 = {x ∈ R | 0 < x < 7} = (0, 7)
Entonces:
I1 ∪ I2 = {x ∈ R | −1/2 ≤ x < 7} = [−1/2, 7)
I1 ∩ I2 = {x ∈ R | 0 < x ≤ 1/2} = (0, 1/2]
I1 − I2 = {x ∈ R | −1/2 ≤ x ≤ 0} = [−1/2, 0]
CR(I1) = {x ∈ R | x < −1/2 ó x > 1/2} =
= (−∞,−1/2) ∪ (1/2,+∞)
18 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
Proposición 1.22 Sean A y B subconjuntos de un conjunto U . Se cumplen
las siguientes propiedades:
1 A ∪B es subconjunto de U .
2 A ⊆ A ∪B y B ⊆ A ∪B.
3 Si X es cualquier subconjunto de U tal que A ⊆ X y B ⊆ X, entonces
A ∪B ⊆ X.
Demostración. Se deja como ejercicio sencillo.
Proposición 1.23 Sean A y B subconjuntos de un conjunto U . Se cumplen:
1 A ∩B es subconjunto de U .
2 A ∩B ⊆ A y A ∩B ⊆ B.
3 Si Y es cualquier subconjunto de U tal que Y ⊆ A e Y ⊆ B, entonces
Y ⊆ A ∩B.
Demostración. Se deja como ejercicio sencillo.
Se pueden interpretar las proposiciones 1.22 y 1.23 en la forma:
La unión A ∪ B de dos conjuntos A y B es un conjunto que contiene
a A y a B, y es el “menor” conjunto que contiene a A y a B.
La intersección de dos conjuntos A y B es un conjunto contenido en
A y en B, y es el “mayor” conjunto contenido en A y en B.
A
A 
€ 
U B
X
B
A
A 
€ 
I B
Y
B
Proposición 1.24 Sean A, B y C subconjuntos de un conjunto U . Se ve-
rifican las siguientes propiedades:
asociativas
1.2. EL CONCEPTO DE FUNCIÓN 19
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C
conmutativas
A ∪B = B ∪A A ∩B = B ∩A
idempotencia
A ∪A = A A ∩A = A
distributivas
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
unidades
A ∪∅ = A A ∩ U = A
absorbentes
A ∪ U = U A ∩∅ = ∅
de Morgan
CU (A ∪B) = (CUA) ∩ (CUB) CU (A ∩B) = (CUA) ∪ (CUB)
Demostración. Se deja como ejercicio.
Definición 1.25 Dos conjuntos A y B son disjuntos si no poseen elemen-
tos comunes.
A y B son disjuntos ⇐⇒ A ∩B = ∅.
1.2. El concepto de función
1.2.1. Pares ordenados
A partir de dos objetos matemáticos cualesquiera a y b, iguales o dis-
tintos, dados en un cierto orden, se construye un nuevo objeto matemático,
representado (a, b) y denominado par ordenado de primera componente
a y segunda componente b; esta construcción está regulada por el siguien-
te criterio de igualdad de pares ordenados: dos pares ordenados (a, b), (u, v)
son iguales si, y sólo si, a = u y b = v. En particular, (a, b) = (b, a) si, y sólo
si, a = b. Sin embargo, nótese que {a, b} = {b, a}, para todo a y todo b.
Se dice que a es la proyección primera del par (a, b) y que b es la
proyección segunda del par (a, b). Se pone a = pr1(a, b) y b = pr2(a, b).
El concepto de par ordenado se amplia al de terna (ordenada): (a, b, c),
con el criterio de igualdad: (a, b, c) = (u, v, w) si, y sólo si, a = u, y b = v y
20 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
c = w; y, en general, tupla (ordenada): (a1, a2, . . . , an), con el correspondien-
te criterio de igualdad: dos tuplas ordenadas (a1, a2, . . . , an) y (b1, b2, . . . , bm)
son iguales si, y sólo si, n = m y ai = bi pra todo i, 1 ≤ i ≤ n.
Mediante el uso de pares ordenados se podrán realizar numerosas for-
malizaciones matemáticas que se irán viendo a lo largo de estas lecciones.
Entre ellas cabe citar los productos cartesianos, las funciones o aplicaciones
entre conjuntos, las relaciones de equivalencia, las relaciones de orden, etc.
Notas y ejemplos 1.26
La combinación de objetos simples con el fin de crear objetos compues-
tos y, a su vez, la combinación de objetos (simples o compuestos) con
el fin de formar objetos de complejidad superior, mediante procesos de
śıntesis, es una actividad intelectual común. La construcción de pares
ordenados (y, en general, la de tuplas ordenadas) es una herramien-
ta que posibilita el manejo matemático de esa actividad mental. Para
ilustrar estas ideas considérese el siguiente ejemplo simple:
– Un punto en el plano está representado (con respecto a una refe-
rencia o sistema de coordenadas) por un par ordenado (x, y) de núme-
ros reales x e y; un segmento está representado por un par ordenado
(p1, p2) de puntos p1 = (x1, y1) y p2 = (x2, y2); una circunferenciaestá representada por un par ordenado (p, r) donde p = (x, y) es un
punto (el centro) y r es un número real positivo (el radio); etc.
La extracción de entidades simples o de información parcial de los
objetos compuestos, mediante procesos de proyección, asignación o
abstracción, con el fin de simplificar una realidad compleja es otra
actividad mental frecuente. El concepto de aplicación o función, que
será introducido más adelante, es una herramienta que formaliza ma-
temáticamente esta actividad. Ilustremos estas ideas generales median-
te algunos ejemplos sencillos:
– La proyección de un cuerpo tridimensional sobre uno o varios planos
bidimensionales es una herramienta utilizada en dibujo, en medicina
(radioloǵıa), en fotograf́ıa, etc. En todos estos procesos una cierta can-
tidad de información se pierde y otra permanece, con ello se consigue
simplificar una realidad compleja (digamos humanamente compleja) a
través de imágenes más sencilla.
– La asignación a cada persona de una población de su edad en años,
o de su talla en cent́ımetros, o de su peso en kilos son herramientas
usadas en estudios sociológicos.
– El paso de una función f a su función derivada f ′. La derivada pro-
porciona una información parcial de la función original (información
1.2. EL CONCEPTO DE FUNCIÓN 21
que ya va impĺıcita en la función original): la rapidez de crecimien-
to o decrecimiento, las abscisas de los puntos de ordenada máxima o
mı́nima; pero la función derivada pierde la información relativa a, por
ejemplo, los puntos de corte con el eje de abscisas.
La clasificación y la ordenación de objetos con arreglo a determinados
criterios con el fin de controlar la complejidad estructural de la realidad
percibida es, también, una actividad humana frecuente. El concepto
de relación (en particular los conceptos de relación de equivalencia y
de orden) es una herramienta que facilita el uso matemático de esta
actividad. Veamos algunos ejemplos:
– Las palabras en un diccionario aparecen ordenadas (lexicográfica-
mente).
- En una oficina los documentos se clasifican por temas o asuntos
poniendo en una misma carpeta todos los documentos relacionados
con un determinado caso, las carpetas son adecuadamente etiquetadas
mediante una clave o nombre y, finalmente, se disponen las carpetas
en un archivador según orden alfabético de las etiquetas. Con ello se
consigue, entre otras cosas, un acceso rápido a los documentos.
1.2.2. Producto cartesiano
Definición 1.27 El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto de los pares ordenados cuya primera componente pertenece a A y
cuya segunda componente pertenece a B. Se denota este conjunto A × B.
Aśı
A×B = {(a, b) | a ∈ A y b ∈ B}.
Notas y ejemplos 1.28
1 Un objeto p pertenece al producto cartesiano A×B de dos conjuntos
A y B si, y sólo si, existen elementos a ∈ A y b ∈ B tales que p = (a, b);
esto es, dado un objeto p,
p ∈ A×B ⇐⇒ hay un a ∈ A y hay un b ∈ B tal que p = (a, b)
2 Considerar los conjuntos D = {0, 1} y T = {0, 1, 2}. El producto
cartesiano de D y T es
D × T = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)}.
El producto cartesiano de T y D es
T ×D = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)}.
Obsérvese que la construcción de productos cartesianos de conjuntos
no es conmutativa: D × T 6= T ×D.
22 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
3 En la figura adjunta se ilustra, mediante una representación geométri-
ca, el producto cartesiano D × T de los conjuntos D y T del ejemplo
anterior.
0 1
0
1
2
(0,0)
(0,1)
(1,0)
(1,1)
(1,2)(0,2)
4 Para todo conjunto A se tiene
A×∅ = ∅ = ∅×A
5 El producto cartesiano R × R, donde R denota el conjunto de los
números reales, se puede interpretar como el plano.
6 Pongamos
I = [−1/2, 1/2] = {x ∈ R | −1/2 ≤ x ≤ 1/2}.
Esto es, I es el intervalo cerrado de extremos −1/2 y 1/2. El producto
cartesiano I×I se puede interpretar como el cuadrado cerrado de lado
1, centrado en el origen y con lados paralelos a los ejes.
(1/2, 1/2)(-1/2, 1/2)
(-1/2, -1/2) (1/2, -1/2)
7 Pongamos
S1 = {(x, y) ∈ R×R | x2 + y2 = 1}
y
J = [0, 1] = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}.
1.2. EL CONCEPTO DE FUNCIÓN 23
¿Cómo se puede interpretar el producto cartesiano S1 × J? (Se pide
una interpretación geométrica; imaǵınese J en una recta o eje perpen-
dicular al plano que contiene a S1).
8 Pongamos
D1 = {(x, y) ∈ R×R | x2 + y2 ≤ 1}
y
J = [0, 1] = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}.
¿Cómo se puede interpretar (en sentido geométrico, como el caso an-
terior) el producto cartesiano D1 × J?
1.2.3. El concepto de aplicación
Una aplicación o función de un conjunto A en un conjunto B es una
regla, descripción o procedimiento que a cada elemento de A asigna o asocia
un único elemento de B. En la siguiente definición se formaliza esta idea.
Nótese que para especificar una aplicación o función es preciso dar los tres
ingredientes: el conjunto A, el conjunto B y la “asignación”.
Definición 1.29 Una aplicación o función es una terna f = (G, A,B)
donde A y B son conjuntos y G es un subconjunto del producto cartesiano
A×B, tal que para cada a ∈ A existe un único b ∈ B que cumpla (a, b) ∈ G.
La condición de la definición relativa a G quiere decir:
1 Dado a ∈ A existe al menos un b ∈ B tal que (a, b) ∈ G, y
2 si (a, b) ∈ G y (a, b′) ∈ G, entonces b = b′.
Notas y ejemplos 1.30
1. Para determinar una aplicación concreta es necesario especificar los
tres ingredientes que intervienen en su definición:
– un conjunto, digamos A;
– un conjunto, digamos B; y
– un subconjunto, digamos G, del producto cartesiano A × B que
cumpla las condiciones exigidas en la definición.
2. Pongamos
A = B = Z (el conjunto de los números enteros),
C = {(z, z2) | z ∈ Z} ⊆ Z× Z.
La terna c = (C,Z,Z) es una aplicación.
24 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
3. Sean
A = R (el conjunto de los números reales),
B = [−1, 1] = {r ∈ R | −1 ≤ r ≤ 1},
S = {(x, sen(x)) | x ∈ R} ⊆ R× [−1, 1].
La terna sen = (S,R, [−1, 1]) es una aplicación o función.
4. Sean
A = {a, e, i, o, u} (el conjunto de las vocales de la lengua es-
pañola),
B = {0, 1},
F = {(a, 1), (e, 1), (i, 0), (o, 1), (u, 0)} ⊆ A×B.
La terna f = (F,A, B) es una aplicación.
5. Sean
A = {a, e, i, o, u},
B = {0, 1},
K = {(a, 1), (e, 1), (i, 0), (o, 1), (u, 0), (y, 0)}.
La terna k = (K, A,B) no es una aplicación porque K no es subcon-
junto de A×B: y /∈ A.
6. Sean
A = {a, e, i, o, u},
B = {0, 1},
G = {(a, 1), (e, 1), (i, 0), (o,−1), (u, 0)}.
La terna g = (G, A,B) no es una aplicación porque G no es subcon-
junto de A×B: −1 /∈ B.
7. Sean
A = {a, e, i, o, u},
B = {0, 1},
H = {(a, 1), (i, 0), (o, 1), (u, 0)} ⊆ A×B.
La terna h = (H,A, B) no es una aplicación porque no hay un par en
H de primera componente e, y e es un elemento de A.
8. Sean
A = {a, e, i, o, u},
1.2. EL CONCEPTO DE FUNCIÓN 25
B = {0, 1},
H ′ = {(a, 1), (a, 0), (e, 1), (i, 0), (o, 1), (u, 0)} ⊆ A×B.
La terna h′ = (H ′, A, B) no es una aplicación ¿por qué?
Veamos algunas definiciones útiles.
Definición 1.31 Sea f = (G, A,B) una aplicación.
– El conjunto A se denomina el dominio o conjunto de salida de la
aplicación f .
– El conjunto B se denomina el codominio, o el conjunto de llegada,
o el rango de la aplicación f .
– El conjunto G se denomina el grafo de la aplicación f .
– Se dice que f es la aplicación del conjunto A en el conjunto B de grafo
G.
– Si a es un elemento de A, el único elemento b de B tal que (a, b) ∈ G
se denomina la imagen de a por la aplicación f , o el valor de f en a,
y se pone b = f(a); resulta aśı que
G = {(a, f(a)) ∈ A×B | a ∈ A}
Para indicar que f es una aplicación de un conjunto A en un conjunto
B se pone f : A → B, o bien A f−→ B; y para indicar que f es la aplicación
de un conjunto A en un conjunto B que aplica un elemento genérico a de A
en el elemento f(a) de B se escribe
f : A → B
a 7→ f(a)
Conviene hacer notar el criterio de igualdad de aplicaciones: Dos
aplicaciones f1 = (G1, A1, B1) y f2 = (G2, A2, B2)son iguales (f1 = f2) si,
y sólo si, G1 = G2 y A1 = A2 y B1 = B2; es decir, si, y sólo si, tienen el
mismo dominio, el mismo codominio y el mismo grafo. En particular, para
que f1 = f2 es necesario (pero no suficiente) que A1 = A2 y B1 = B2. Si
f1 : A → B y f2 : A → B son aplicaciones con el mismo dominio A y el
mismo codominio B, entonces f1 = f2 equivale a G1 = G2, lo que, a su vez,
equivale a f1(a) = f2(a), para todo a ∈ A. En resumen:
Proposición 1.32 Sean f1 : A→B y f2 : A→B aplicaciones de un con-
junto A en un conjunto B. Para que f1 = f2 es necesario y suficiente que
f1(a) = f2(a), para todo a ∈ A.
26 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
Veamos algunos ejemplos de aplicaciones.
Ejemplos 1.33
1 Si A es un subconjunto de un conjunto X, la inclusión canónica
iA de A en X es la aplicación iA : A → X tal que iA(a) = a para
todo a ∈ A. Es decir, iA es la aplicación de A en X de grafo {(a, a) ∈
A×X | a ∈ A}.
iA : A → X
a 7→ a
2 En particular, para cualquier conjunto A, la inclusión canónica de A en
A se denomina la aplicación identidad (o simplemente identidad)
de A y se denota 1A. Por tanto, 1A : A → A cumple 1A(a) = a para
todo a ∈ A.
1A : A → A
a 7→ a
3 Sea M2(Q) el conjunto de matrices cuadradas 2 × 2 con coeficientes
en el cuerpo Q de los números racionales. La aplicación determinante
det : M2(Q) → Q asocia a cada matriz A ∈ M2(Q) su determinante
det(A).
det : M2(Q) → Q(
a b
c d
)
7→ ad− bc
4 Pongamos M(S) para denotar el conjunto de todas las aplicaciones
de un conjunto S en śı mismo. Consideremos un elemento fijo s ∈ S;
la aplicación vs : M(S) → S tal que vs(ϕ) = ϕ(s), (ϕ ∈ M(S))
es un ejemplo simple de una aplicación en la que la “variable” es una
aplicación; es decir, el dominio de definición de vs es un conjunto cuyos
elementos son aplicaciones.
vs : M(S) → S
ϕ 7→ ϕ(s)
5 Sea R el conjunto de los números reales. La aplicación
f : R×R → R, f(x, y) = x2 + y2, ((x, y) ∈ R×R)
es un ejemplo de función en el que el dominio R×R es un producto
cartesiano, por simplicidad se comete el abuso de notación de escribir
f(x, y) en lugar de f((x, y)). Se dice (por ser respetuosos con la tradi-
ción) que f es una función de dos variables (en realidad la variable
es (x, y), un elemento genérico del dominio R×R de f).
1.2. EL CONCEPTO DE FUNCIÓN 27
6 Cada vector v ∈ R×R, digamos v = (v1, v2), determina la traslación
tv : R×R→R×R de vector v en el plano R×R, definida por
tv(u) = v + u, para todo u ∈ R×R ;
esto es,
tv((u1, u2)) = (v1 + u1, v2 + u2), para todo u1, u2 ∈ R
Por tanto queda determinada una aplicación t de R×R en el conjunto
M(R×R) de las aplicaciones del plano R×R en śı mismo,
t : R×R → M(R×R)
v 7→ tv
Es este un ejemplo simple en el que se pone de manifiesto que los
valores (i.e., los elementos del conjunto de llegada) de una aplicación
pueden ser, a su vez, aplicaciones.
7 Si A = ∅, entonces, cualquiera que sea el conjunto B (incluso si B =
∅), hay una única aplicación de A en B. Justificación: Nótese que ∅ es
el grafo de una aplicación de ∅ en B y que ∅ es el único subconjunto
del producto cartesiano ∅×B = ∅.
8 Si A 6= ∅ y B = ∅, no hay ninguna aplicación de A en B (¿justifica-
ción?).
1.2.4. Familias de elementos y sucesiones
Definición 1.34 Una familia de elementos de un conjunto A con ı́ndices
en un conjunto I es el grafo de una aplicación a : I → A. La imagen de
un elemento cualquiera i ∈ I se escribe ai en lugar de a(i); y la familia se
denota (ai)i∈I , en lugar de {(i, ai) | i ∈ I}. En particular, una sucesión de
elementos de un conjunto A es una familia de elementos de A con ı́ndices
en el conjunto N de los números naturales, o en una parte de N.
Deberá ponerse especial cuidado en no confundir una familia (ai)i∈I de
elementos de un conjunto A con ı́ndices en I, con el conjunto {ai | i ∈ I} de
los elementos de la familia: puede ocurrir que i 6= j pero ai = aj .
Ejemplos 1.35
1 La sucesión
(i)i∈N = (0, 1, 2, 3, . . . , i, . . .)
de los números naturales.
28 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
2 La sucesión
(m2)m∈N = (0, 1, 4, 9, . . . ,m2, . . .)
de los cuadrados de los números naturales.
3 La sucesión
((−1)n)n∈N = (1,−1, 1,−1, . . . , (−1)n, . . .)
4 Sean a y d números enteros, racionales, etc, la sucesión (ai)i∈N tal que
a0 = a
ai+1 = ai + d, (i ∈ N)
se denomina progresión aritmética de término inicial a y dife-
rencia d.
5 Sean t y r números enteros, racionales, ..., la sucesión (ti)i∈N tal que
t0 = t
ti+1 = tir, (i ∈ N)
se denomina progresión geométrica de término inicial t y razón
r.
6 La sucesión (ai)i∈N tal que
a0 = 0
a1 = 1
ai+2 = ai + ai+1, (i ∈ N)
se denomina la sucesión de Fibonacci.
7 Sea I un conjunto (de ı́ndices) y sea X un conjunto cualquiera. Una
familia de subconjuntos o de partes de X con ı́ndices en I es una familia
de elementos de P(X) con ı́ndices en I. Aśı, suponer que (Ai)i∈I es
una familia de partes de X equivale a suponer que, para cada ı́ndice
i ∈ I, esta determinado (de algún modo) un subconjunto Ai de X.
1.2.5. Imágenes directas y rećıprocas
Definición 1.36 Sea f una aplicación de un conjunto X en un conjunto Y ;
sean A un subconjunto de X, y B un subconjunto de Y .
1 La imagen o imagen directa de A por la aplicación f es el conjunto
de los elementos de Y que son imágenes por f de los elementos de A.
Se denota este conjunto f(A); por tanto
f(A) = {f(a) | a ∈ A}
1.2. EL CONCEPTO DE FUNCIÓN 29
2 La imagen rećıproca o imagen inversa de B por la aplicación f es
el conjunto de los elementos de X cuya imagen por f pertenece a B.
Se denota este conjunto f−1(B); por tanto
f−1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B}
3 El conjunto f(X) = {f(x) | x ∈ X} se denomina imagen de la
aplicación f . Se pone
Im(f) = f(X)
Usando notación simbólica, los conjuntos definidos arriba se caracterizan
en la forma:
1 Para todo elemento y de Y , se tiene
y ∈ f(A) ⇐⇒ y = f(a), para algún a ∈ A
2 Para todo elemento x de X, se tiene
x ∈ f−1(B) ⇐⇒ f(x) ∈ B
3 Para todo elemento y de Y , se tiene
y ∈ Im(f) ⇐⇒ y = f(a), para algún a ∈ X
Ejemplos 1.37
1 Considerar los conjuntos X = {α, β, γ, δ}, Y = {1, 2, 3, 4, 5} y la apli-
cación f de X en Y dada por
f(α) = f(β) = 1, f(γ) = f(δ) = 2.
Se tienen:
— La imagen por f del subconjunto {α, β, γ} de X es
f({α, β, γ}) = {f(α), f(β), f(γ)} = {1, 2}
— La imagen inversa por f del subconjunto {2, 3, 5} de Y es
f−1({2, 3, 5}) = {γ, δ}
— La imagen de la aplicación f es
Im(f) = f(X) = f({α, β, γ}) = {1, 2}
30 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
— La imagen rećıproca por f del subconjunto {3, 4, 5} de Y es
f−1({3, 4, 5}) = ∅
2 Sea f la aplicación del conjunto Z de los números enteros en el conjunto
N de los números naturales tal que f(z) = z2, (z ∈ Z);
f : Z → N
z 7→ z2
— La imagen por f del subconjunto {−5,−2, 0, 2, 4, 5, 9} de Z es
f({−5,−2, 0, 2, 4, 5, 9}) =
= {f(−5), f(−2), f(0), f(2), f(4), f(5), f(9)} =
= {0, 4, 16, 25, 81}.
— La imagen inversa por f del subconjunto
B = {0, 4, 16, 25, 81, 82, 90}
de N es
f−1({0, 4, 16, 25, 81, 82, 90}) = {−9,−5,−4,−2, 0, 2, 4, 5, 9}.
— La imagen inversa por f del subconjunto C = {2, 3, 6, 12} de N
es
f−1({2, 3, 6, 12}) = ∅ .
3 Sea p1 la aplicación del plano real R ×R en la recta real R tal que
p1(x, y) = x, ((x, y) ∈ R×R).
p1 : R×R → R
(x, y) 7→ x
Nótese que la función p1 se interpreta geométricamente como la pro-
yección del plano sobre el eje de abscisas.
— Pongamos
C = {(x, y) ∈ R×R | x2 + y2 = 1}
(la circunferencia de radio unidad centrada en el origen). La ima-
gen por p1 del subconjunto C de R×R es
p1(C) = {x ∈ R | −1 ≤ x ≤ 1} = [−1, 1]
(el intervalo cerrado de extremos -1 y 1).
1.2. EL CONCEPTO DE FUNCIÓN 31
(x,y)
x
C
p1(C)
— Pongamos I = [−1, 1]. Se tiene
p−11 (I) = {(x, y) ∈ R×R | −1 ≤ x ≤ 1}
x[-1,1]
p1-1([-1,1])
4 Considerar la función g : R→R tal que
g(x) = x2, (x ∈ R).
— Sea A el intervalo abierto (3, 8) de la recta real:
A = {r ∈ R | 3 < r < 8}.
La imagen por g del subconjunto A de R es
g(A) = {y ∈ R | 9 < y < 64},
32CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
esto es, g(A) es el intervalo abierto (9, 64). La imagen rećıproca
por g del intervalo (9, 64) es el conjunto
g−1((9, 64)) = {x ∈ R | −8 < x < −3 ó 3 < x < 8}
(que es la unión de los intervalos (−8,−3) y (3, 8) ).
— Sea B el intervalo (−3, 4):
B = {r ∈ R | −3 < r < 4}.
La imagen rećıproca por g del subconjunto B de R es
g−1(B) = {x ∈ R | −2 < x < 2},
y la imagen por g de este conjunto es
g(g−1(B)) = {y ∈ R | 0 ≤ y < 4} = [0, 4)
Proposición 1.38 Sea f una aplicación de un conjunto X en un conjunto
Y .
1 Si A1, A2 son subconjuntos de X tales que A1 ⊆ A2, entonces f(A1) ⊆
f(A2).
2 Si B1, B2 son subconjuntos de Y tales que B1 ⊆ B2, entonces f−1(B1) ⊆
f−1(B2).
3 Para todo subconjunto A de X, A ⊆ f−1(f(A)). En general no se
cumple la igualdad.
4 Para todo subconjunto B de Y , f(f−1(B)) ⊆ B. En general no se
cumple la igualdad.
Demostración. Las demostraciones son sencillas, ya que se reducen a sim-
ples comprobaciones rutinarias a partir de las definiciones de los conceptos
que intervienen (inclusión conjuntista [ver definición 1.4], imágenes directas
y rećıprocas [ver definición 1.36]. El estudiante principiante debe intentar
hacerlas por su cuenta con el fin de ir adquiriendo la técnica de las demos-
traciones matemáticas.
1 Supongamos que A1 es subconjunto de A2. Debemos probar que f(A1)
es subconjunto de f(A2); para ello veamos que todo elemento de f(A1)
pertenece a f(A2). Sea y un elemento de f(A1). Por definición de
imagen directa, hay un elemento x ∈ A1 tal que y = f(x). Dado que
A1 ⊆ A2, se tiene que x pertenece a A2. Por tanto y = f(x) pertenece
a f(A2).
1.2. EL CONCEPTO DE FUNCIÓN 33
2 Debemos probar que si B1 es subconjunto de B2, entonces f−1(B1) es
subconjunto de f−1(B2). Supongamos, pues, que B1 es subconjunto de
B2, y veamos que todo elemento de f−1(B1) pertenece a f−1(B2). Sea
x un elemento de f−1(B1). Por definición de imagen inversa se ten-
drá f(x) ∈ B1. Dado que B1 ⊆ B2, se tiene f(x) ∈ B2. Por definición
de imagen inversa resulta que x ∈ f−1(B2).
3 Supongamos que A es subconjunto del dominio X de la aplicación f ,
veamos que todo elemento de A pertenece al subconjunto f−1(f(A))
de X. Sea a un elemento de A. Por definición de imagen directa, f(a)
pertenece a f(A). Ahora, por definición de imagen inversa, dado que
f(a) ∈ f(A), se concluye que a pertenece a f−1(f(A)).
Veamos, mediante un contraejemplo, que en este caso puede no cum-
plirse la igualdad f(A) = f−1(f(A)). Para ello consideremos la apli-
cación
f : Z → N
z 7→ z2
y el subconjunto A = {−1, 2} de Z. Se tiene:
f(A) = {1, 4} y f−1(f(A)) = {−2,−1, 1, 2}.
En consecuencia, en este caso, se cumple
A ⊂6= f
−1(f(A)).
4 Debemos probar que si B es subconjunto del conjunto de llegada Y
de la aplicación f , entonces todo elemento de f(f−1(B)) pertenece a
B. Sea y un elemento de f(f−1(B)). Por definición de imagen directa,
hay un elemento x en f−1(B) que verifica f(x) = y. Por definición
de imagen inversa, dado que x pertenece a f−1(B) se concluye que
y = f(x) pertenece a B.
Veamos, mediante un contraejemplo, que en este caso puede no cum-
plirse la igualdad f(f−1(B)) = B. Para ello consideremos la aplicación
f : Z → N
z 7→ z2
y el subconjunto B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} de N. Se tiene:
f−1(B) = {−2,−1, 1, 2} y f(f−1(B)) = {1, 4}.
En consecuencia
f(f−1(B)) ⊂6= B.
34 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
En la siguiente proposición se exponen algunas relaciones útiles entre
las imágenes (directas e inversas) y las operaciones conjuntistas de unión e
intersección:
Proposición 1.39 Sea f una aplicación de un conjunto X en un conjunto
Y .
1. Para todo A1, A2 ⊆ X se cumplen:
(a) f(A1 ∪A2) = f(A1) ∪ f(A2) y
(b) f(A1 ∩A2) ⊆ f(A1) ∩ f(A2)
2. Para todo B1, B2 ⊆ Y se cumplen:
(a) f−1(B1 ∪B2) = f−1(B1) ∪ f−1(B2) y
(b) f−1(B1 ∩B2) = f−1(B1) ∩ f−1(B2)
Demostración.
1.(a) Dado que A1 ⊆ A1 ∪ A2 y A2 ⊆ A1 ∪ A2 se sigue, teniendo en cuenta
el resultado de 1.38.1, que f(A1) ⊆ f(A1∪A2) y f(A2) ⊆ f(A1∪A2);
de donde f(A1)∪f(A2) ⊆ f(A1∪A2). Veamos ahora que f(A1∪A2) ⊆
f(A1)∪ f(A2); en efecto, dado y ∈ f(A1∪A2), se tiene (por definición
1.36.1), y = f(a) para algún a ∈ A1 ∪ A2; por tanto y = f(a) para
algún a ∈ A1 ó y = f(a) para algún a ∈ A2; esto es, y ∈ f(A1)
ó y ∈ f(A2); de donde y ∈ f(A1) ∪ f(A2).
1.(b) Dado que A1 ∩ A2 ⊆ A1 y A1 ∩ A2 ⊆ A2 se sigue, teniendo en cuenta
el resultado de 1.38.1, que f(A1∩A2) ⊆ f(A1) y f(A1∩A2) ⊆ f(A2);
de donde f(A1 ∩A2) ⊆ f(A1) ∩ f(A2).
2.(a) Dado que B1 ⊆ B1 ∪B2 y B2 ⊆ B1 ∪B2 se sigue, teniendo en cuenta
el resultado de 1.38.2, que f−1(B1) ⊆ f−1(B1 ∪ B2) y f−1(B2) ⊆
f−1(B1 ∪B2); de donde f−1(B1) ∪ f−1(B2) ⊆ f−1(B1 ∪B2). Veamos
ahora que f−1(B1 ∪ B2) ⊆ f−1(B1) ∪ f−1(B2); en efecto, dado x ∈
f−1(B1 ∪ B2), se tiene (por definición 1.36.2), f(x) ∈ B1 ∪ B2; por
tanto f(x) ∈ B1 ó f(x) ∈ B2; esto es, x ∈ f−1(B1) ó x ∈ f−1(B2); de
donde x ∈ f−1(B1) ∪ f−1(B2).
2.(b) Se deja como ejercicio.
Ejercicio 1.40 Considerar la aplicación
f : Z → N
z 7→ z2
Describir dos subconjuntos A1 y A2 del dominio Z de f tales que
f(A1 ∩A2) 6= f(A1) ∩ f(A2)
1.2. EL CONCEPTO DE FUNCIÓN 35
1.2.6. Composición de aplicaciones
Definición 1.41 La restricción de una aplicación f de un conjunto X en
un conjunto Y a un subconjunto A de X es la aplicación f |A : A→Y tal
que f |A(a) = f(a), para todo a de A.
Ejemplos 1.42
1. Sea f la aplicación del conjunto Z de los números enteros en śı mismo
tal que
f(x) = x2, (x ∈ Z);
para el subconjunto N de Z, la restricción f |N : N→Z de f a N
está dada por f |N(x) = x2, (x ∈ N). Nótese que las aplicaciones f y
f |N son distintas.
2. Sea h : R×R→R la función tal que
h(x, y) = x2 − y2, (x, y) ∈ R×R;
pongamos
D = {(x, y) ∈ R×R | x = y} = {(x, x) | x ∈ R}
(D es la diagonal del primer y tercer cuadrantes). La restricción de h
a D es la aplicación
h|D : D→R
tal que h|D(x, x) = 0, ((x, x) ∈ D).
Definición 1.43 Sean X, X ′, Y, Y ′ conjuntos tales que X ⊆ X ′ e Y ⊆ Y ′,
y sean f ′ : X ′ → Y ′ y f : X → Y aplicaciones. Se dice que f ′ es una
extensión de f si f(x) = f ′(x) para todo x de X.
Sean X, Y, Z conjuntos, f una aplicación de X en Y , y g una aplicación
de Y en Z. Para cada x ∈ X su imagen, f(x), es un elemento del conjunto
Y , y la imagen de éste, g(f(x)) es un elemento del conjunto Z. Aśı. a cada
elemento x ∈ X se le asocia un único elemento g(f(x)) ∈ Z; por tanto queda
definida una aplicación
X → Z
x 7→ g(f(x))
Definición 1.44 La composición de dos aplicaciones f : X → Y y g :
Y → Z es la aplicación g◦f : X → Z tal que (g◦f)(x) = g(f(x)), para todo
x de X.
Notas y ejemplos 1.45
36 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
1 Sea f la aplicación de Z× Z en Z tal que
f(x, y) = 3x + 4y − 1, (x, y) ∈ Z× Z;
sea g la aplicación de Z en N tal que
g(t) = |t |, (t ∈ Z);
la composición g◦f es la aplicación de Z× Z en N tal que
(g◦f)(x, y) = |3x + 4y − 1 |, ((x, y) ∈ R×R).
2 Considerar las aplicaciones f : R→R,
f(x) = sen(x), (x ∈ R);
y g : R→R,
g(x) = x2, (x ∈ R).
La composición f◦g es la aplicación de R en R tal que
(f◦g)(x) = f(g(x)) = sen(x2), (x ∈ R);
la composición g◦f es la aplicación de R en R tal que
(g◦f)(x) = g(f(x)) = (sen(x))2, (x ∈ R)
[por convenio se pone ((sen(x))2 = sen2(x)]; la composición f◦f es la
aplicación de R en R tal que
(f◦f)(x) = sen(sen(x)), (x ∈ R);
y la composición g◦g es la aplicación de R en R tal que
(g◦g)(x) = x4, (x ∈ R).
3 La composición g◦f de dos aplicaciones f : X→Y y g : U →Z está de-
finida si, y sólo si, el conjunto de llegada (codominio) de f coincide
con el conjunto de salida (dominio) de g; esto es, si, y sólo si, Y = U .
X Z
Y = U
f g
g◦f
Proposición 1.46 La composición de aplicaciones verifica las siguientes
propiedades:
1.2. EL CONCEPTO DE FUNCIÓN 37
1 Es asociativa: Si f : X → Y, g : Y → Z y h : Z → V son aplicaciones,
entonces h◦(g◦f) = (h◦g)◦f .
2 Si f : X → Y es una aplicación, 1X la aplicación identidad de X, y
1Y la aplicación identidad de Y , entonces 1Y ◦f = f y f◦1X =f .
3 Si f : X → Y es una aplicación, A un subconjunto de X, e iA la
inclusión canónica de A en X, se verifica f◦iA = f |A.
Demostración. Es una simple comprobación directa (se deja como ejerci-
cio).
Teorema 1.47 Sean X, Y, Z conjuntos y f : X → Y, h : X → Z aplicacio-
nes. Las condiciones siguientes son equivalentes:
(a) Hay una aplicación g : Y → Z tal que h = g◦f ;
(b) Para todo x1, x2 ∈ X, la relación f(x1) = f(x2) implica la relación
h(x1) = h(x2).
X Z
Y
gf
h
Demostración.
Veamos que (a) implica (b). Suponer que existe una aplicación g : Y →
Z tal que h = g◦f ; si x1, x2 son elementos de X y f(x1) = f(x2), entonces
g(f(x1)) = g(f(x2)); esto es, (g◦f)(x1) = (g◦f)(x2); de donde h(x1) =
h(x2).
Veamos que (b) implica (a). Suponer que se cumple la condición (b).
Para probar la existencia de una aplicación g : Y → Z que cumpla g◦f = h,
construyamos una tal aplicación. Para que se cumpla la condición impuesta
se debe tener
g(f(x)) = h(x) para todo x ∈ X;
y esta relación nos indica la forma de proceder: Dado y ∈ Y ,
– si existe x ∈ X tal que y = f(x), pongamos g(y) = h(x); debemos pro-
bar que, en este caso, g(y) está uńıvocamente determinado; en efecto,
si x′ es un elemento de X tal que y = f(x′), entonces f(x) = y = f(x′)
y, por hipótesis, h(x) = h(x′).
– Si no existe x ∈ X que cumpla y = f(x), entonces escojamos un
elemento z0 ∈ Z fijo y pongamos h(y) = z0. Nótese que este caso
puede no darse.
38 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
Hemos definido aśı una aplicación g : Y →Z
g(y) = h(x), si y = f(x) para algún x ∈ X
g(y) = z0 ∈ Z, si y 6= f(x) para todo x ∈ X
y se tiene, para todo x ∈ X,
(g◦f)(x) = g(f(x)) = h(x)
Por tanto, g◦f = h. Esto completa la demostración.
1.2.7. Aplicaciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas
Definición 1.48 Una aplicación f de un conjunto X en un conjunto Y es
– inyectiva si para todo x, x′ ∈ X, la relación f(x) = f(x′) implica la
relación x = x′;
– suprayectiva si para todo y ∈ Y existe algún x ∈ X tal que f(x) = y;
– biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.
Nótese que una aplicación f : X→Y es
– inyectiva si, y sólo si, para todo x, x′ ∈ X la relación x 6= x′ implica la
relación f(x) 6= f(x′);
– suprayectiva si, y sólo si, Im(f) = Y ;
– biyectiva si, y sólo si, para cada elemento y ∈ Y hay un único elemento
x ∈ X tal que f(x) = y.
Ejemplos 1.49
1 Sea B un subconjunto de un conjunto A; la inclusión canónica iB :
B→A, iB(b) = b, (b ∈ B), es inyectiva. La aplicación iB es suprayec-
tiva si, y sólo si, B = A; en cuyo caso iB es la aplicación identidad de
B (o de A, es igual).
2 Sean A y B conjuntos no vaćıos. Considerar la proyección del producto
cartesiano A×B sobre A;
prA : A×B → A
(a, b) 7→ a
Esta aplicación es suprayectiva.
3.
1.2. EL CONCEPTO DE FUNCIÓN 39
– La aplicación f : Z→Z, tal que f(z) = z2, (z ∈ Z) no es inyectiva
(porque f(1) = f(−1)), y no es suprayectiva (porque no existen
enteros z tales que z2 = −1).
– La aplicación g : Z→N, g(z) = z2, (z ∈ Z), no es inyectiva y no
es suprayectiva. (¿Por qué?)
– La aplicación h : N→N, h(z) = z2, (z ∈ Z), es inyectiva y no es
suprayectiva. (¿Por qué?)
Veamos algunas caracterizaciones útiles de las aplicaciones inyectivas,
suprayectivas y biyectivas.
Proposición 1.50 Sean X e Y conjuntos
1 Una aplicación f : X→Y es inyectiva si, y sólo si, hay una aplicación
g : Y → X tal que g◦f = 1X .
2 Una aplicación f : X→Y es suprayectiva si, y sólo si, hay una aplica-
ción h : Y → X tal que f◦h = 1Y .
3 Una aplicación f : X→Y es biyectiva si, y sólo si, existen aplicaciones
g : Y → X y h : Y → X tales que g◦f = 1X y f◦h = 1Y . En este caso
sólo hay una aplicación g : Y → X que cumpla g◦f = 1X , sólo hay
una aplicación h : Y → X que cumpla f◦h = 1Y , y se tiene g = h.
Demostración.
1 Suponer que f : X → Y es una aplicación inyectiva. Se busca una
aplicación g : Y →X que cumpla la condición g◦f = 1X ; por tanto
se debe tener g(f(x)) = x, para todo x ∈ X. Esto indica que si un
elemento y del conjunto Y es de la forma y = f(x) para algún x ∈ X,
entonces debe ser g(y) = g(f(x)) = x. En consecuencia, definamos
la aplicación g en la forma: elijamos un elemento x0 ∈ X; para cada
y ∈ Y pongamos
g(y)

= x, si y = f(x) para algún x ∈ X (y ∈ Im f)
= x0, si no hay x ∈ X tal que y = f(x) (y 6∈ Im f)
Debemos probar que g es una aplicación de Y en X: dado y ∈ Y , si
x1, x2 ∈ X cumplen y = f(x1) = f(x2), entonces x1 = x2 porque f
es inyectiva (por hipótesis). En consecuencia, para cada y ∈ Y, g(y)
está bien definido, con lo que queda establecida una aplicación g de Y
en X. La aplicación g cumple la condición exigida: g◦f = 1X pues
g(f(x)) = x = 1X(x), para todo x ∈ X.
40 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
Rećıprocamente, suponer que hay una aplicación g : Y → X tal que
g◦f = 1X . Si x1, x2 ∈ X cumplen f(x1) = f(x2), entonces
x1 = 1X(x1) = g(f(x1)) = g(f(x2)) = 1X(x2) = x2
Por tanto la aplicación f es inyectiva.
2 Suponer que f : X → Y es una aplicación suprayectiva. Para cada y ∈
Y “elijamos” un elemento x ∈ X tal que f(x) = y (esto, en principio, es
posible ya que se supone f suprayectiva), pongamos h(y) = x. Queda
aśı definida una aplicación h de Y en X. Se tiene,
f(h(y)) = f(x) = y = 1Y (y) para todo y ∈ Y
Rećıprocamente, suponer que hay una aplicación h : Y → X tal que
f◦h = 1Y . Para todo y ∈ Y se tiene
y = 1Y (y) = (f◦h)(y) = f(h(y))
de donde se concluye que la aplicación f es suprayectiva.
3 Por los apartados 1 y 2 se tiene: la aplicación f : X → Y es biyectiva
si, y sólo si, existen aplicaciones g : Y → X y h : Y → X tales que
g◦f = 1X y f◦h = 1Y .
Suponer ahora que f es biyectiva (o, de forma equivalente, suponer
que hay aplicaciones g : Y → X y h : Y → X tales que g◦f = 1X y
f◦h = 1Y ). Se tiene:
g = g◦1Y = g◦(f◦h)) = (g◦f)◦h = 1X◦h = h
Esto prueba que g = h y, en particular, prueba la unicidad de g y la
unicidad de h.
Ejemplos y ejercicios 1.51
1 Consideremos los conjuntos X = {a, e, o}, Y = {1, 2, 3, 4, 5}, y la apli-
cación f : X → Y dada por
f(a) = 1, f(e) = 3, f(o) = 4
Evidentemente, la aplicación f es inyectiva; por tanto hay (al menos)
una aplicación g : Y → X tal que g◦f = 1X ; las aplicaciones g1 : Y →
X y g2 : Y → X dadas por
g1(1) = a, g1(2) = a, g1(3) = e, g1(4) = o, g1(5) = a
y
g2(1) = a, g2(2) = e, g2(3) = e, g2(4) = o, g2(5) = o
cumplen g1◦f = 1X y g2◦f = 1X ; y
1.2. EL CONCEPTO DE FUNCIÓN 41
¿Puedes encontrar otras aplicaciones g de Y en X que cumplan la
condición g◦f = 1Y ?
2 Sea f una aplicación inyectiva de un conjunto X en un conjunto Y , y
sea g cualquier aplicación de Y en X tal que g◦f = 1X . Entonces g
es, necesariamente, suprayectiva. ¿Por qué?
3 Si, para una aplicación f : X → Y , se sabe que hay una aplicación g :
Y → X que cumple la propiedad g◦f = 1X , entonces se sabe que f es
inyectiva. Por ejemplo, consideremos: el conjunto N = {0, 1, 2, 3, . . .}
de los números naturales, el conjunto Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
de los números enteros, y la aplicación
i : N → Z, i(n) = n, (n ∈ N).
Para la aplicación v : Z → N, v(z) = |z |, (z ∈ Z), se tiene
(v◦i)(n) = v(i(n)) = v(n) = n = 1N(n), (n ∈ N);
por tanto v◦i = 1N y, en consecuencia, la aplicación i es inyectiva (y
la aplicación v es suprayectiva).
4 Sea R el conjunto de los números reales. La aplicación
p1 : R×R → R, p1(x, y) = x, para todo (x, y) ∈ R×R
es, obviamente, suprayectiva. Las aplicaciones
h1 : R → R×R, h1(x) = (x, 0), para todo x ∈ R
y
h2 : R → R×R, h2(x) = (x, 1), para todo x ∈ R
cumplen
p1◦h1 = 1R = p1◦h2
¿Puedes encontrar otras aplicaciones h de R en R ×R que cumplan
la condición p1◦h = 1R?
5 Sea f una aplicación suprayectiva de un conjunto X en un conjunto
Y , y sea h cualquier aplicación de Y en X tal que f◦h = 1Y . Entonces
h es, necesariamente, inyectiva. ¿Por qué?
6 Si, para una aplicación f : X → Y , se sabe que hay una aplicación
h : Y → X que cumple la propiedad f◦h = 1Y , entonces se sabe que f
es suprayectiva. Por ejemplo,sea s la aplicación de Z×Z en Z tal que
42 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
s(x, y) = x + y, para todo (x, y) ∈ Z × Z; consideremos la aplicación
j : Z → Z× Z, j(z) = (z, 0), para todo z ∈ Z. Se tiene
(s◦j)(z) = s(j(z)) = s(z, 0) = z + 0 = z = 1Z(z), para todo z ∈ Z ;
por tanto s◦j = 1Z y, en consecuencia, la aplicación s es suprayectiva
(y la aplicación j es inyectiva).
7 Se considera la aplicación
f : R×R → R×R
(x, y) 7→ (x + 2y, 2x + 3y)
Hallar (si existe) una aplicación g : R×R → R×R tal que
f◦g = 1R×R = g◦f
y concluir que f es biyectiva.
8 Suponer que f : X → Y y g : Y → Z son aplicaciones tales que la
composición g◦f : X → Z es biyectiva ¿se sigue de ah́ı que f y g son
biyectivas?
Definición 1.52 Sea f : X → Y una aplicación biyectiva. La única aplica-
ción g : Y → X tal que g◦f = 1X [y f◦g = 1Y ], se denomina la aplicación
inversa o rećıproca de f , y se escribe g = f−1.
Proposición 1.53
1 Para todo conjunto X, la aplicación identidad 1X : X → X es biyec-
tiva, y se tiene 1−1X = 1X .
2 Si f : X → Y es biyectiva, entonces la aplicación inversa f−1 : Y → X
es también biyectiva, y se tiene (f−1)−1 = f .
3 Si f : X → Y y g : Y → Z son biyectivas, entonces la aplicación
compuesta g◦f : X → Z es también biyectiva y se tiene (g◦f)−1 =
f−1◦g−1.
Demostración
1 1X◦1X = 1X
2 Suponer f : X → Y biyectiva, entonces existe la aplicación inversa
f−1 : Y → X y se tiene
f−1◦f = 1X y f◦f−1 = 1Y
1.3. UNIONES E INTERSECCIONES DE FAMILIAS DE CONJUNTOS43
3 Suponer que f : X → Y y g : Y → Z son biyectivas, entonces existen
las respectivas aplicaciones inversas f−1 : Y → X y g−1 : Z → Y y se
tiene
(f−1◦g−1)◦(g◦f) = f−1◦(g−1◦g)◦f = f−1◦1Y ◦f = f−1◦f = 1X
(g◦f)◦(f−1◦g−1) = g◦(f◦f−1)◦g−1 = g◦1Y ◦g−1 = g◦g−1 = 1Z
Definición 1.54 Una función de elección de un conjunto X es una apli-
cación r del conjunto P∗(X) de las partes no vaćıas de X en el conjunto
X
r : P∗(X) → X
tal que
r(A) ∈ A para todo A ∈ P∗(X).
Axioma 1.55 [El axioma de la elección]. Todo conjunto posee una fun-
ción de elección.
1.3. Uniones e intersecciones de familias de con-
juntos
En esta sección supondremos que I es un conjunto (de ı́ndices), que U
es un conjunto (universal), y que las familias de conjuntos consideradas son
familias de subconjuntos del conjunto U .
Definición 1.56
– La unión de una familia de conjuntos (Ai)i∈I es el conjunto de los
elementos que pertenecen a algún Ai; se denota este conjunto
⋃
i∈I
Ai.
– La intersección de una familia de conjuntos (Ai)i∈I es el conjunto
de los elementos que pertenecen a todos los Ai; se denota este conjunto⋂
i∈I
Ai.
Por tanto, dada una familia (Ai)i∈I (de subconjuntos de U), para todo
x ∈ U , se tienen:
x ∈
⋃
i∈I
Ai ⇐⇒ existe algún j ∈ I tal que x ∈ Aj
y
x ∈
⋂
i∈I
Ai ⇐⇒ x ∈ Ai para todo i ∈ I.
44 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
Si I es un conjunto finito, digamos I = {i1, i2, . . . , in}, se tiene
Ai1 ∪Ai2 ∪ . . . ∪Ain =
⋃
i∈I
Ai;
y analogamente,
Ai1 ∩Ai2 ∩ . . . ∩Ain =
⋂
i∈I
Ai.
Ejemplos 1.57
1 Tomemos U = R, el conjunto de los números reales y, como conjunto
I de ı́ndices, el conjunto Z+ de los enteros positivos. Para cada entero
n > 0 consideremos el intervalo cerrado
Jn = [−1/n, 1/n] = {x ∈ R | −1/n ≤ x ≤ 1/n}
Se tiene aśı una familia (Jn)n∈Z+ de subconjuntos de R con ı́ndices en
Z+. Es fácil comprobar las igualdades:⋃
n∈Z+
Jn = [−1, 1] = J1
y ⋂
n∈Z+
Jn = {0} = [0, 0]
2 Tomemos U = R, el conjunto de los números reales y, como conjunto I
de ı́ndices, el conjunto R+ de los números reales positivos. Para cada
número real ε > 0 consideremos el intervalo abierto
Hε = (−1− ε, 1 + ε) = {x ∈ R | −1− ε < x < 1 + ε}
Se tiene aśı una familia (Hε)ε∈R+ de subconjuntos de R con ı́ndices
en R+. Es fácil comprobar las igualdades:⋃
ε∈R+
Hε = (−∞,+∞) = R
y ⋂
ε∈R+
Hn = [−1, 1]
1.4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA 45
1.4. Relaciones de equivalencia
1.4.1. Concepto y ejemplos
Definición 1.58 Una relación (binaria) en un conjunto X es (o queda
especificada por) un subconjunto R del producto cartesiano X ×X.
Introduzcamos una notación adecuada para trabajar con relaciones bi-
narias en un conjunto: Sea R una relación binaria en un conjunto X, y sean
a, b elementos de X.
– Si (a, b) ∈ R, entonces se dice que a está R-relacionado con b (o
simplemente que a está relacionado con b, si la alusión a R es clara),
y se escribe aRb.
– Si (a, b) /∈ R, entonces se dice que a no está R-relacionado con b
(o simplemente que a no está relacionado con b, si la alusión a R es
clara), y se escribe aR/b.
Definición 1.59 Una relación R en un conjunto X es de equivalencia si
cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva:
1 xRx, para todo x ∈ X (propiedad reflexiva);
2 para todo x, y ∈ X, si xRy, entonces yRx (propiedad simétrica); y
3 para todo x, y, z ∈ X, si xRy, e yRz, entonces xRz (propiedad tran-
sitiva).
Ejemplos 1.60
1. La relación de igualdad entre los elementos de un conjunto cualquiera
X es una relación de equivalencia en X. Nótese que el concepto de
relación de equivalencia generaliza el concepto de igualdad o identidad
“=”.
2. La relación de paralelismo en el conjunto L de las rectas de un plano
ordinario es una relación de equivalencia en L. Dos rectas r y s son
paralelas (r ‖ s) si r = s ó r y s no poseen puntos comunes.
3. En el conjunto Z de los números enteros escojamos un entero m que
llamaremos módulo; queda definida una relación ≡m en Z llamada
congruencia módulo m en la forma: x ≡m y si, y sólo si, x− y es
múltiplo de m; esto es,
x ≡m y ⇐⇒ existe z ∈ Z tal que x− y = mz
La congruencia módulo m en Z es una relación de equivalencia en Z,
y será estudiada detenidamente más adelante.
46 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
4. Sean A y B conjuntos. Una aplicación f : A → B determina una
relación binaria Rf en el conjunto A (dominio de la aplicación f) en
la forma:
xRfy ⇐⇒ f(x) = f(y), (x, y ∈ A)
Es fácil comprobar que Rf es una relación de equivalencia en A. Se
dice que Rf es la relación de equivalencia (en A) asociada a la
aplicación f .
5. Dados (x, y), (u, v) ∈ R×R, pongamos
(x, y)R(u, v) ⇐⇒ x2 + y2 = u2 + v2
La relación R aśı definida en el conjunto R × R es una relación de
equivalencia. (Interpretación geométrica: dos puntos del plano están
relacionados si, y sólo si, equidistan del origen). La comprobación de
que R es una relación de equivalencia en R×R se puede hacer de una
cualquiera de las dos formas siguientes:
a) directamente, comprobando que R es reflexiva, simétrica y tran-
sitiva (lo cual puede resultar algo pesado); o
b) indirectamente, usando el ejemplo 4 anterior: basta tener en cuen-
ta que R es la relación de equivalencia asociada a la aplicación
d : R×R → R
(x, y) 7→ x2 + y2
1.4.2. Clases de equivalencia y conjunto cociente
Definición 1.61 Sea R una relación de equivalencia en un conjunto X. La
clase de equivalencia de un elemento a ∈ X es el conjunto de los elementos
de X relacionados con a; se denota este conjunto mediante [a]R ó [a] ó a.
Por tanto,
[a]R = [a] = a = {x ∈ X | xRa}.
Ejemplos 1.62
1. Si X es un conjunto y a ∈ X, la clase de equivalencia [a]= es {a}.(Ver
ejemplo 1.60.1)
2. La clase de equivalencia de una recta r es el haz de rectas paralelas
que contiene a r. (Ver ejemplo 1.60.2)
3. En el ejemplo 1.60.3 tomemos como módulo m el entero 5. La clase
de equivalencia del entero 3 en la congruencia módulo 5 en Z es
[3]5 = 3 = {3 + 5k | k ∈ Z} = {. . . ,−7,−2, 3, 8, 13, 18, . . .}.
Hay exactamente cinco clases de equivalencia que denotaremos para
abreviar 0̄, 1̄, 2̄, 3̄, 4̄; estas son:
1.4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA 47
0 = {5k | k ∈ Z} = {. . . ,−10,−5, 0, 5, 10, 15, . . .} = 5 = 10 =
. . . ,
1 = {1 + 5k | k ∈ Z} = {. . . ,−9,−4, 1, 6, 11, 16, . . .} = 6 = 11 =
. . . ,
2 = {2 + 5k | k ∈ Z} = {. . . ,−8,−3, 2, 7, 12, 17, . . .} = 7 = 12 =
. . . ,
3 = {3 + 5k | k ∈ Z} = {. . . ,−7,−2, 3, 8, 13, 18, . . .} = 8 = 13 =
. . . ,
4 = {4 + 5k | k ∈ Z} = {. . . ,−6,−1, 4, 9, 14, 19, . . .}= 9 = 14 =
. . . .
4. Considérese la aplicación f : Z → N, f(x) = |x |, (x ∈ Z), y la relación
de equivalencia Rf en Z asociada a f (ver ejemplo 1.60.4). La clase
de equivalencia de 2 es [2]Rf = {2,−2}; la clase de equivalencia de 0
es [0]Rf = {0}. Para cualquier a ∈ Z, la clase de equivalencia de a es
[a]Rf = {a,−a}.
5. Considérese el ejemplo 1.60.5. La clase de equivalencia de un punto
(a, b) ∈ R×R es el conjunto de los puntos (u, v) ∈ R×R que distan
del origen (0, 0) lo mismo que (a, b); esto es,
[(a, b)]R = {(u, v) ∈ R×R | u2 + v2 = a2 + b2}
Veamos algunas propiedades de las clases de equivalencia.
Notas 1.63 Sea R una relación de equivalencia en un conjunto X.
1. Si x es un elemento de X, entonces xRx y, por tanto, x ∈ [x]R.
2. Toda clase de equivalencia con respecto a R es un subconjunto de X.
3. Si un subconjunto S de X es una clase de equivalencia con respecto
a R, entonces (por definición de clase de equivalencia) hay (al menos)
un elemento x ∈ X tal que S = [x]R.
4. Sean x, y elementos de X.
a) Si xRy, entonces yRx, y se tiene y ∈ [x]R y x ∈ [y]R. Rećıproca-
mente, si y ∈ [x]R, entonces xRy.
b) Si xR/y, entonces yR/x, y se tiene y /∈ [x]R y x /∈ [y]R. Rećıproca-
mente, si y /∈ [x]R, entonces xR/y.
5. Sean x e y elementos de X.
48 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
a) Si xRy, entonces [x]R = [y]R. Efectivamente, suponer que xRy
y sea z un elemento de [x]R, entonces zRx, por la propiedad
transitiva zRy, de donde z ∈ [y]R; con lo que queda probada
la inclusión [x]R ⊆ [y]R. Análogamente se prueba la inclusión
[y]R ⊆ [x]R .
b) Si xR/y, entonces [x]R ∩ [y]R = ∅. Efectivamente, suponer que
xR/y y que hay un elemento z ∈ [x]R ∩ [y]R, entonces xRz y zRy,
y por la propiedad transitiva se obtiene la contradicción xRy. Por
tanto no hay elementos en la intersección [x]R ∩ [y]R.
Proposición 1.64 Sea R una relación de equivalencia en un conjunto X.
Se cumplen:
1. Toda clase de equivalencia es un subconjunto no vaćıo de X.
2. Dos clases de equivalencia coinciden o son disjuntas.
3. La unión de todas las clases de equivalencia es igual a X.
Definición 1.65 Suponer definida una relación de equivalencia en un con-
junto. Un representante de una clase de equivalencia es cualquier elemento
de dicha clase. Un sistema completo de representantes de las clases de
equivalencia es un conjunto obtenido escogiendo exactamente un represen-
tante en cada clase de equivalencia.
Notas y ejemplos 1.66
1. Obviamente, dos elementos son representantes de una misma clase de
equivalencia si, y sólo si, están relacionados.
2. La elección de un representante de una clase de equivalencia es un pro-
ceso arbitrario: no hay razón especial para elegir un elemento en lugar
de otro en una misma clase. Sin embargo hay situaciones en las que
se conviene en elegir ciertos representantes especialmente destacados
(representantes canónicos).
3. El conjunto {0, 1, 2, 3, 4} constituye un sistema completo de represen-
tantes de las clases de equivalencia en Z con respecto a la congruencia
módulo 5 (véase 1.62.3).
4. Considérese el ejemplo 1.62.4. En este caso hay infinitas clases de
equivalencia. El conjunto de los números naturales constituye un sis-
tema completo de representantes de las clases de equivalencia de Z
módulo Rf .
Definición 1.67 Una partición de un conjunto X es una familia Π =
(Ai)i∈I de subconjuntos de X tal que:
1.4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA 49
1. Ai 6= ∅, para todo i ∈ I;
2. para todo i, k ∈ I,
Ai ∩Ak = ∅ ó Ai = Ak ;
3.
⋃
i∈I
Ai = X.
Esto es, una partición de un conjunto X es una colección de subconjuntos
no vaćıos de X, disjuntos dos a dos y cuya unión es X.
Sea R una relación de equivalencia en un conjunto X. El conjunto X/R
de las distintas clases de equivalencia [x]R constituye una partición del con-
junto X, llamado el conjunto cociente de X por (o módulo) la relación de
equivalencia R: cada elemento x de X está en alguna clase de equivalencia
(x ∈ [x]R); dos clases de equivalencia distintas son disjuntas; ninguna clase
de equivalencia es vaćıa. Reciprocamente, una partición Π en un conjunto
X determina [de modo natural] una relación de equivalencia RΠ en X: defi-
niendo, para x, y ∈ X, x RΠ y si, y sólo si, x e y están en un mismo miembro
de la partición Π.
Una relación de equivalencia R en un conjunto X determina [de modo
natural] una aplicación de X en el conjunto cociente X/R, dada por π : X →
X/R, π(x) = [x]R, (x ∈ X). Reciprocamente, una aplicación f : X → B
(de X en un conjunto B) determina [de modo natural] una relación de
equivalencia Rf en X, dada por x Rf y si, y sólo si, f(x) = f(y), (x, y ∈ X).
1.4.3. Descomposición canónica de una aplicación.
Una aplicación f : X → Y , de un conjunto X en un conjunto Y , de-
termina una relación de equivalencia Rf en X (la relación de equivalencia
asociada a f); considerar el conjunto cociente X/Rf correspondiente, y el
conjunto imagen Im(f) = {f(x) | x ∈ X} de la aplicación f . Quedan defini-
das [de modo natural] tres aplicaciones:
π : X → X/Rf , tal que π(x) = x̄, (x ∈ X);
f̄ : X/Rf → Im(f), tal que f̄(x̄) = f(x), (x̄ ∈ X/Rf ), donde x es
cualquier representante de x̄; y
j : Im(f) → Y, j(y) = y, (y ∈ Im(f)); j es simplemente la inclusión
canónica del subconjunto Im(f) de Y en Y .
Se comprueba que π es suprayectiva; f̄ está bien definida [f̄(x̄) no depen-
de del representante x de x̄ elegido] y es biyectiva; j es inyectiva. Además
f = j◦f̄◦π;
esta es la descomposición canónica o natural de la aplicación dada f .
En particular se tiene:
50 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
Teorema 1.68 Sea f : X → Y una aplicación de un conjunto X en un
conjunto Y . Hay una biyección del conjunto cociente X/Rf en el conjunto
imagen Im(f).
1.5. Relaciones de orden
Definición 1.69 Una relación R en un conjunto X es de orden si cumple
las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva:
(r) xRx para todo x ∈ X;
(a) para todo x, y ∈ X, si xRy e yRx, entonces x = y;
(t) para todo x, y, z ∈ X, si xRy, e yRz, entonces xRz.
Definición 1.70 Un conjunto ordenado es un par (X, R) donde X es un
conjunto y R es una relación de orden en X.
Notación. Una relación de orden R en un conjunto X se suele representar
mediante el śımbolo ≤. Usando esta notación las condiciones de la definición
anterior se expresan:
(r) x ≤ x para todo x ∈ X;
(a) para todo x, y ∈ X, si x ≤ y e y ≤ x, entonces x = y;
(t) para todo x, y, z ∈ X, si x ≤ y, e y ≤ z, entonces x ≤ z.
Si x ≤ y y x 6= y, se pone x < y, en este caso se dice que x es estricta-
mente menor que y.
Nótese que si ≤ es una relación de orden en un conjunto X y A es una
parte de X, entonces la restricción de ≤ a A es una relación de orden en A.
De este modo, todo subconjunto A de un conjunto ordenado (X,≤) es un
conjunto ordenado.
Ejemplos 1.71
1 (N, |), el conjunto de los números naturales N con la relación | (“divide
a”).
2 Para un conjunto cualquiera A, (P(A),⊆), el conjunto de las partes
de A con la relación de inclusión.
3 (N,≤), el conjunto de los números naturales con la relación ≤ usual.
4 (Z,≤), el conjunto de los números enteros con la relación de orden
usual.
1.5. RELACIONES DE ORDEN 51
5 (Q,≤), el conjunto de los números racionales con la relación de orden
usual.
6 (R,≤), el conjunto de los números reales con la relación de orden
usual.
Definición 1.72 Sea (X,≤) un conjunto ordenado. Dos elementos x e y de
X son comparables si x ≤ y o y ≤ x. Se dice que un conjunto ordenado
(X,≤) es linealmente ordenado si dos elementos cualesquiera de X son
comparables.
Definición 1.73 Sea (X,≤) un conjunto ordenado.
– Un elemento m de X es un elemento maximal de X si, para todo
x ∈ X, m ≤ x implica m = x.
– Un elemento n de X es un elemento minimal de X si, para todo
x ∈ X, x ≤ n implica x = n.
– Un elemento a de X es el elemento máximo de X si x ≤ a, para
todo x ∈ X.
– Un elemento b de X es el elemento mı́nimo de X si b ≤ x, para todo
x ∈ X.
Es claro que si X posee elemento máximo,sólo posee uno; y si X posee
elemento mı́nimo, sólo posee uno.
Definición 1.74 Sea A un subconjunto de un conjunto ordenado (X,≤).
– Una cota superior de A en X es un elemento c ∈ X tal que y ≤ c
para todo y ∈ A.
– Una cota inferior de A en X es un elemento d ∈ X tal que d ≤ y
para todo y ∈ A.
– Se dice que A es acotado superiormente si hay una cota superior
de A en X.
– Se dice que A es acotado inferiormente si hay una cota inferior de
A en X.
– Se dice que A es acotado si es acotado superior e inferiormente.
– Si el conjunto de las cotas superiores de A en X posee elemento mı́ni-
mo m, se dice que m es la mı́nima cota superior de A en X o el
supremo de A en X. Se pone m = supX A.
52 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
– Si el conjunto de las cotas inferiores de A en X posee elemento máximo
n, se dice que n es la máxima cota inferior de A en X o el ı́nfimo
de A en X. Se pone n = infX A.
Es claro que el supremo de A en X, si existe, es único; y el ı́nfimo de A
en X, si existe, es único.
Definición 1.75 Un conjunto ordenado X = (X,≤) es bien ordenado por
la relación ≤ si todo subconjunto no vaćıo de X posee elemento mı́nimo.
Proposición 1.76 Todo conjunto ordenado bien ordenado es linealmente
ordenado.
Definición 1.77 En un cojunto ordenado X = (X,≤) un elemento b ∈ X
es sucesor inmediato de un elemento a ∈ X si a < b y no existe x ∈ X
tal que a < x < b.
Proposición 1.78 En un conjunto ordenado bien ordenado cada elemento
(salvo el elemento máximo, si existe) posee un sucesor inmediato.
Axioma 1.79 El Principio o Axioma de la Buena Ordenación (Equi-
valente al Axioma de la Elección). Todo conjunto puede ser bien ordenado.
Esto es, para cada conjunto X existe una relación de orden ≤ en X tal
que el conjunto ordenado (X,≤) es bien ordenado.