formula Polinomio Lagrange

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Polinomio de Lagrange 
Introducción: El método de aproximación polinomial estudiado en la sección 
anterior requiere la solución de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales 
que, cuando el grado del polinomio es alto, puede presentar inconvenientes. 
Existen otros métodos de aproximación polinomial en que no se requiere 
resolver un sistema de ecuaciones lineales y los cálculos se realizan 
directamente; entre éstos se encuentra el de aproximación polinomial de 
Lagrange. 
 
Polinomio De Primer Grado 
En éste nuevamente se parte de una función desconocida 𝑓(𝑥) dada en forma 
tabular, y se asume que un polinomio de primer grado (ecuación de una línea 
recta) puede escribirse: 
𝑝1(𝑥) = 𝑎0(𝑥 − 𝑥1) + 𝑎1(𝑥 − 𝑥0) 
𝒇(𝒙) = 𝒂 + 𝒃𝒙 
 
Donde x1 y x0 son los argumentos de los puntos conocidos y a0 y a1 son dos 
coeficientes por determinar. Para encontrar el valor de a0, se hace x=x0 en la 
ecuación 5.12 que al despejar da 
𝑎0 =
𝑝(𝑥0)
𝑥0 − 𝑥1
=
𝑓(𝑥0)
𝑥0 − 𝑥1
 
Y para hallar el valor de a1, se sustituye el valor de x con el de x1, con lo que 
resulta 
𝒂𝟏 =
𝒑(𝒙𝟏)
𝒙𝟏 − 𝒙𝟎
=
𝒇(𝒙𝟏)
𝒙𝟏 − 𝒙𝟎
 
 
Polinomio De Segundo Grado 
De igual manera, un polinomio de segundo grado (ecuación de una parábola) 
puede escribirse 
𝑝2(𝑥) = 𝑎0(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) + 𝑎1(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥2) + 𝑎2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) 
𝒙 𝒇(𝒙) 
𝑥0 𝑓0 
𝑥1 𝑓1 
𝒇(𝒙) = 𝒂 + 𝒃𝒙 + 𝒄𝒙𝟐 
Donde x0, x1 y x2 son los argumentos correspondientes a los tres puntos 
conocidos [𝑥0, 𝑓(𝑥0)], [𝑥1, 𝑓(𝑥1)], [𝑥2, 𝑓(𝑥2)]; los valores de a0, a1 y a2 se 
encuentran sustituyendo x = x0, x=x1 y x=x2, respectivamente, en la ecuación 
5.18, para obtener 
𝒂𝟎 =
𝒇(𝒙𝟎)
(𝒙𝟎−𝒙𝟏)(𝒙𝟎−𝒙𝟐)
 𝒂𝟏 =
𝒇(𝒙𝟏)
(𝒙𝟏−𝒙𝟎)(𝒙𝟏−𝒙𝟐)
 𝒂𝟐 =
𝒇(𝒙𝟐)
(𝒙𝟐−𝒙𝟎)(𝒙𝟐−𝒙𝟏)
 
 
Polinomio De Tercer Grado 
𝑝3(𝑥) = 𝑎0(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3) + 𝑎1(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)
+ 𝑎2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥3) + 𝑎3(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3) 
 
𝒂𝟎 =
𝒇(𝒙𝟎)
(𝒙𝟎−𝒙𝟏)(𝒙𝟎−𝒙𝟐)(𝒙𝟎−𝒙𝟑)
 𝒂𝟏 =
𝒇(𝒙𝟏)
(𝒙𝟏−𝒙𝟎)(𝒙𝟏−𝒙𝟐)(𝒙𝟏−𝒙𝟑)
 
𝒂𝟐 =
𝒇(𝒙𝟐)
(𝒙𝟐−𝒙𝟎)(𝒙𝟐−𝒙𝟏)(𝒙𝟐−𝒙𝟑)
 𝒂𝟑 =
𝒇(𝒙𝟑)
(𝒙𝟑−𝒙𝟎)(𝒙𝟑−𝒙𝟏)(𝒙𝟑−𝒙𝟐)
 
 
Nota: Mientras mayor sea el grado del polinomio, es mucho más probable que 
este presente mayores complicaciones en la solución, ya puede llegar a 
mostrar soluciones u operaciones complejas. 
EJEMPLO: 
Encuentre tanto la aproximación polinomial de Lagrange a la tabla 5.2 como el 
valor de la temperatura para una presión de 2 atm, utilizando esta 
aproximación. 
 
Tabla 5.2 Temperatura de ebullición de la acetona a diferentes presiones 
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 0 1 2 3 
𝑇(°𝐶) 56.5 113.0 181.0 214.5 
𝑃(𝑎𝑡𝑚) 1 5 20 40 
 
 
 
Calculamos los valores de 𝑎0 y 𝑎1: 
𝑝1(𝑥) = 𝑎0(𝑥 − 𝑥1) + 𝑎1(𝑥 − 𝑥0) 
𝒂𝟎 =
𝑓0
𝑥0−𝑥1
 𝒂𝟏 =
𝑓1
𝑥1−𝑥0
 
𝒂𝟎 =
56.5
1−5
= −
113
8
 𝒂𝟏 =
113
5−1
=
113
4
 
 
Sustituimos los valores en nuestra operación original: 
−
113
8
(𝑥 − 5) +
113
4
(𝑥 − 1) = 𝑝1(𝑥) 
𝑝1(2) = −
113
8
(2 − 5) +
113
4
(2 − 1) = 70.625°𝐶 
Grafica del polinomio de primer grado 
 
 
 
 
 
𝒙 𝒇(𝒙) 
1 56.5 
5 113 
EJEMPLO 2: 
Tabla 5.2 Temperatura de ebullición de la acetona a diferentes presiones 
𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 
𝑻(°𝑪) 56.5 113.0 181.0 214.5 
𝑷(𝒂𝒕𝒎) 1 5 20 40 
 
𝑝2(𝑥) = 𝑎0(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) + 𝑎1(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥2) + 𝑎2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) 
𝒂𝟎 =
𝑓(𝑥0)
(𝑥0−𝑥1)(𝑥0−𝑥2)
 𝒂𝟏 =
𝑓(𝑥1)
(𝑥1−𝑥0)(𝑥1−𝑥2)
 𝒂𝟐 =
𝑓(𝑥2)
(𝑥2−𝑥0)(𝑥2−𝑥1)
 
 
 
𝒂𝟎 =
56.5
(1 − 5)(1 − 20)
=
113
152
 
𝒂𝟏 =
113
(5 − 1)(5 − 20)
= −
113
60
 
𝒂𝟐 =
181
(20 − 1)(20 − 5)
=
181
285
 
𝒑𝟐(𝒙) =
113
152
(𝑥 − 5)(𝑥 − 20) −
113
60
(𝑥 − 1)(𝑥 − 20) +
181
285
(𝑥 − 1)(𝑥 − 5) 
𝒑𝟐(𝟐) =
113
152
(2 − 5)(2 − 20) −
113
60
(2 − 1)(2 − 20) +
181
285
(2 − 1)(2 − 5) = 𝟕𝟐. 𝟏𝟑°𝑪 
 
 
𝒙 𝒇(𝒙) 
1 56.5 
5 113 
20 181