Formulas Regla falsa

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METODO REGLA FALSA O FALSA POSICION 
INTRODUCCION 
Un inconveniente del método de bisección es que al dividir el intervalo de 𝑎 a 𝑏 en 
mitades iguales, no se toman en consideración las magnitudes de 𝒇(𝒂) y 𝒇(𝒃). por 
ejemplo, si 𝒇(𝒂) está más cercano a cero que 𝒇(𝒃) es lógico que la raíz se 
encuentre más cerca de 𝒂 que de 𝒃. 
Un método alternativo que aprovecha esta visualización grafica consiste en unir 
𝒇(𝒂) y 𝒇(𝒃) con una línea recta. 
La intersección de esta línea recta con el eje de las 𝒙 representa una mejor 
aproximación a la raíz. 
El hecho que se remplace la curva por una línea recta da una falsa posición de la 
raíz; de aquí el nombre del método de la falsa posición. 
 
 
𝑎0 = 𝑎1 
𝑓(𝑎) 
𝑓(𝑏) 
𝑓(𝑐) 
𝑥 
[a,b] 
f(a) y f(b 
Toman signos opuestos 
f(x) coincide con el signo f(a) 
X→ a 
f(x) coincide con el signo f(b) 
X→ b 
 
 
 → 0 − 𝐹(𝑎) =
𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎)
𝑏−𝑎
(𝑥 − 𝑎) →
 − 
𝐹(𝑎)(𝑏−𝑎)
𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎)
= (𝑥 − 𝑎) 
 
EJEMPLO 1: 
Usando la operación del video anterior: 
(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 − 𝟐 [1,2]hasta 
𝐸𝑝% < 1 𝑓(1) = −7 𝑓(2) = 16 
 
1er Iteración 
Calcularemos el valor de su raíz intermedia con la siguiente formula previamente 
demostrada: 
𝑥 = 𝑎 −
𝑓(𝑎)(𝑏 − 𝑎)
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
 
Sustuimos valores: 
X1 = 1 −
(−7)(2−1)
16−(−7)
= 1.30435 
Sustituimos en nuestra operación con el nuevo valor de 𝑥 
𝑓(𝑥) = (1.30435)3 + 2(1.30435)2 + 10(1.30435) − 20 = −1.33476 
𝑓(𝑥) = −1.33476 → Aplicamos lo mismo que en biseccion, ahora este es el valor de a 
 
2da Iteración 
Sustuimos valores: 
X2 = 1.30435 − 
(1.33476)(2−1.30435)
16−(−1.33476)
= 1.35791 
Sustituimos en nuestra operación con el nuevo valor de 𝑥 
Se utiliza el concepto de una línea 
recta tomando: 
Pendiente 𝑀1 y Pendiente 𝑀2 
→ 
𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑎)
𝑥 − 𝑎
 
=
𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑏 − 𝑎
 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐹(𝑥) = 0 
 
0 − 𝐹(𝑎)
𝑥 − 𝑎
=
𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑏 − 𝑎
 
→ despejamos x = a −
𝐹(𝑏)(𝑏 − 𝑎)
𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
 
f(x) = (1.30435)3 + 2(1.30435)2 + 10(1.30435) − 20 = −0.22918 
𝑓(𝑥) = −0.22918 → Aplicamos lo mismo que en biseccion, ahora este es el valor de a 
 
Igual que en Bisección, calculamos el Error porcentual: 
𝐸𝑝% =
𝑥𝑖−𝑥𝑖−1
𝑥𝑖
× 100 =
1.35791−1.36435
1.35791
× 100 = 3.9444% 
 
3ra Iteración 
Sustuimos valores: 
X3 = 1.35791 − 
(−0.22918)(2−1.35791)
16−(−0.22918)
= 1.36698 
Sustituimos en nuestra operación con el nuevo valor de 𝑥 
𝑓(x) = (1.36698 )3 + 2(1.36698)2 + 10(1.36698) − 20 = −0.03860 
 
Calculamos el Error porcentual: 
𝐸𝑝% =
1.36435−1.36698
1.36435
× 100 = 0.66331% 
 
𝒂(−) 𝒃 (+) 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒃) 𝒙 𝒇(𝒙) 𝑬𝒑% < 𝟏 
1 2 −7 16 1.30435 −1.33476 − 
1.30435 2 −1.33476 16 1.35791 −0.22918 3.9444% 
1.35791 2 −0.22918 16 1.36698 −0.03860 0.66331% 
 
EJEMPLO 2: 
Aplica el método de la regla falsa para 𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝒍𝒏𝒙 [𝟏, 𝟐] hasta que |𝒇(𝒙)| < 𝟏𝟎−𝟑 
Primero igualamos nuestra operación a 0: 
→ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 → 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 − ln 𝑥 
1er Iteración 
Calcularemos el valor de su raíz intermedia con la siguiente formula previamente 
demostrada: 
𝑥 = 𝑎 −
𝑓(𝑎)(𝑏 − 𝑎)
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
 
Sustuimos valores: 
X1 = 1 − 
0.54030(2−1)
−1.10929−0.54030
= 1.32754 
Sustituimos en nuestra operación con el nuevo valor de 𝑥 
𝑓(𝑥) = cos(1.32754) − ln(1.32754) = −0.04246 
𝑓(𝑥) = −0.04246 → Aplicamos lo mismo que en biseccion, ahora este es el valor de b 
 
2da Iteración 
Sustuimos valores: 
X2 = 1 − 
0.54030(1.32754−1)
−0.04246−0.54030
= 1.30368 
Sustituimos en nuestra operación con el nuevo valor de 𝑥 
𝑓(𝑥) = cos(1.30368) − ln(1.30368) = −0.00124 
𝑓(𝑥) = −0.00124 → Aplicamos lo mismo que en biseccion, ahora este es el valor de b 
 
3ra Iteración 
Sustuimos valores: 
X3 = 1 − 
0.54030(1.30368 −1)
−0.00124−0.54030
= 1.30298 
Sustituimos en nuestra operación con el nuevo valor de 𝑥 
𝑓(𝑥) = cos(1.32754) − ln(1.32754) = −0.0004 
El valor de |𝒇(𝒙)| = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟒 lo cual cumple con lo pedido. 
𝒂(−) 𝒃 (+) 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒃) 𝒙 𝒇(𝒙) 
 |𝒇(𝒙)|
< 𝟏𝟎−𝟑 
1 2 0.54030 −1.10929 1.32754 −0.04246 0.04246 
1 1.32754 0.54030 −0.04246 1.30368 −0.00124 0.00124 
1 1.30368 0.54030 −0.00124 1.30298 −0.0004 0.0004