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Jacobi y Gauss-Seidel 1. Aproxima la solución del sistema de ecuaciones lineales con diez iteraciones con el uso del método de Jacobi para: 10𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 14 5𝑥1 − 10𝑥2 + 3𝑥3 = −5 𝑥1 + 3𝑥2 + 10𝑥3 = 14 [0, 0, 0] [ 𝟏𝟎 3 1 5 −𝟏𝟎 3 1 3 𝟏𝟎 ] [ 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ] = [ 14 −5 14 ] Despeje de variables: 10𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 14 10𝑥1 = 14 − 3𝑥2 − 𝑥3 𝒙𝟏 = 𝟏𝟒−𝟑𝒙𝟐−𝒙𝟑 𝟏𝟎 5𝑥1 − 10𝑥2 + 3𝑥3 = −5 5𝑥1 + 3𝑥3 = 10𝑥2 − 5 5𝑥1 + 3𝑥3 + 5 = 10𝑥2 𝟓𝒙𝟏+𝟑𝒙𝟑+𝟓 𝟏𝟎 = 𝒙𝟐 𝑥1 + 3𝑥2 + 10𝑥3 = 14 10𝑥3 = 14 − 𝑥1 − 3𝑥2 𝒙𝟑 = 𝟏𝟒−𝒙𝟏−𝟑𝒙𝟐 𝟏𝟎 𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 1 1.40000 0.50000 1.40000 2 1.11000 1.62000 1.11000 3 0.80300 1.38800 0.80300 4 0.90330 1.14240 0.90330 5 0.96695 1.22264 0.96695 6 0.93651 1.27356 0.93651 7 0.92428 1.24921 0.92428 8 0.93281 1.23942 0.93281 9 0.93489 1.24625 0.93489 𝟏𝟎 𝟎. 𝟗𝟑𝟐𝟔𝟒 𝟏. 𝟐𝟒𝟕𝟗𝟏 𝟎. 𝟗𝟑𝟐𝟔𝟒 Resultado: Valores Aproximados: 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟗𝟑𝟐𝟔𝟒 𝒙𝟐 = 𝟏. 𝟐𝟒𝟕𝟗𝟏 𝒙𝟑 = 𝟎. 𝟗𝟑𝟐𝟔𝟒 2. Aproxima la solución del sistema de ecuaciones lineales con 5 iteraciones con el uso del método de Gauss-Seidel para: 10𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 14 5𝑥1 − 10𝑥2 + 3𝑥3 = −5 𝑥1 + 3𝑥2 + 10𝑥3 = 14 [0, 0, 0] [ 𝟏𝟎 3 1 5 −𝟏𝟎 3 1 3 𝟏𝟎 ] [ 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ] = [ 14 −5 14 ] Despeje de variables: 10𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 14 10𝑥1 = 14 − 3𝑥2 − 𝑥3 𝒙𝟏 = 𝟏𝟒−𝟑𝒙𝟐−𝒙𝟑 𝟏𝟎 5𝑥1 − 10𝑥2 + 3𝑥3 = −5 5𝑥1 + 3𝑥3 = 10𝑥2 − 5 5𝑥1 + 3𝑥3 + 5 = 10𝑥2 𝟓𝒙𝟏+𝟑𝒙𝟑+𝟓 𝟏𝟎 = 𝒙𝟐 𝑥1 + 3𝑥2 + 10𝑥3 = 14 10𝑥3 = 14 − 𝑥1 − 3𝑥2 𝒙𝟑 = 𝟏𝟒−𝒙𝟏−𝟑𝒙𝟐 𝟏𝟎 Resultado: Valores Aproximados: 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟗𝟑𝟐𝟖𝟑 𝒙𝟐 = 𝟏. 𝟐𝟒𝟔𝟐𝟔 𝒙𝟑 = 𝟎. 𝟗𝟑𝟐𝟖𝟒 3. Aproxima la solución del sistema de ecuaciones lineales con el método de Jacobi hasta que el error porcentual sea menor a 𝟎. 𝟎𝟎𝟏%, calcula el error con base en el valor real, para resolver: 10𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 27 −3𝑥1 − 6𝑥2 + 2𝑥3 = −61.5 𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 = −21.5 [0, 0, 0] [ 𝟏𝟎 2 −1 −3 −𝟔 2 1 1 𝟓 ] [ 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ] = [ 27 −61.5 −21.5 ] Valores Verdaderos: 𝑿𝟏 = 𝟎. 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑿𝟐 = 𝟖. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑿𝟑 = −𝟔. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 Despeje de variables: 10𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 27 10𝑥1 = 27 − 2𝑥2 + 𝑥3 𝒙𝟏 = 𝟐𝟕−𝟐𝒙𝟐+𝒙𝟑 𝟏𝟎 −3𝑥1 − 6𝑥2 + 2𝑥3 = −61.5 −3𝑥1 + 2𝑥3 = −61.5 + 6𝑥2 −3𝑥1 + 2𝑥3 + 61.5 = 6𝑥2 −𝟑𝒙𝟏+𝟐𝒙𝟑+𝟔𝟏.𝟓 𝟔 = 𝒙𝟐 𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 = −21.5 5𝑥3 = −21.5 − 𝑥1 − 𝑥2 𝒙𝟑 = −𝟐𝟏.𝟓−𝒙𝟏−𝒙𝟐 𝟓 𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓 𝑷𝒐𝒓𝒄𝒆𝒏𝒕𝒖𝒂𝒍 = | 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜−𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 | × 100% 𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑬𝒑𝒙𝟏 𝑬𝒑𝒙𝟐 𝑬𝒑𝒙𝟑 1 2.70000 10.25000 −4.30000 440.00000% 28.12500% 28.33333% 2 0.22000 7.46667 −6.89000 56.00000% 6.66663% 14.83333% 3 0.51767 7.84333 −5.83733 3.53400% 1.95838% 2.71117% 4 0.54760 8.04539 −5.97220 9.52000% 0.56737% 0.46333% 5 0.49370 7.98547 −6.01860 1.26000% 0.18162% 0.31000% 6 0.50105 7.99695 −5.99583 0.21000% 0.03813% 0.06950% 7 0.50103 8.00087 −5.99960 0.20600% 0.01088% 0.00667% 8 0.49987 7.99962 −6.00038 0.02600% 0.00475% 0.00633% 9 0.50004 7.99994 −5.99990 0.00800% 0.00075% 0.00167% 10 0.50002 8.00002 −6.00000 0.00400% 0.00025% 0.00000% 𝟏𝟏 𝟎. 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟕. 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 −𝟔. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎% 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐% 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟕% Resultado: Valores Aproximados: 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙𝟐 = 𝟕. 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒙𝟑 = −𝟔. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏 4. Aproxima la solución del sistema de ecuaciones lineales con el método de Gauss Seidel hasta que el error porcentual sea menor a 𝟎. 𝟎𝟎𝟏%, calcula el error con base en el valor real, para resolver: 10𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 27 −3𝑥1 − 6𝑥2 + 2𝑥3 = −61.5 𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 = −21.5 [0, 0, 0] [ 𝟏𝟎 2 −1 −3 −𝟔 2 1 1 𝟓 ] [ 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ] = [ 27 −61.5 −21.5 ] Valores Verdaderos: 𝑿𝟏 = 𝟎. 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑿𝟐 = 𝟖. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑿𝟑 = −𝟔. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 Despeje de variables: 10𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 27 10𝑥1 = 27 − 2𝑥2 + 𝑥3 𝒙𝟏 = 𝟐𝟕−𝟐𝒙𝟐+𝒙𝟑 𝟏𝟎 −3𝑥1 − 6𝑥2 + 2𝑥3 = −61.5 −3𝑥1 + 2𝑥3 = −61.5 + 6𝑥2 −3𝑥1 + 2𝑥3 + 61.5 = 6𝑥2 −𝟑𝒙𝟏+𝟐𝒙𝟑+𝟔𝟏.𝟓 𝟔 = 𝒙𝟐 𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 = −21.5 5𝑥3 = −21.5 − 𝑥1 − 𝑥2 𝒙𝟑 = −𝟐𝟏.𝟓−𝒙𝟏−𝒙𝟐 𝟓 𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓 𝑷𝒐𝒓𝒄𝒆𝒏𝒕𝒖𝒂𝒍 = | 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜−𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 | × 100% 𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑬𝒑𝒙𝟏 𝑬𝒑𝒙𝟐 𝑬𝒑𝒙𝟑 𝟏 2.70000 8.90000 −6.62000 440.00000% 11.25000% 10.33333% 𝟐 0.25800 7.91433 −5.93447 48.40000% 1.07088% 1.09217% 𝟑 0.52369 8.01000 −6.00674 4.73800% 0.12500% 0.11233% 𝟒 0.49733 7.99909 −5.99928 0.53400% 0.01138% 0.01200% 𝟓 0.50025 8.00011 −6.00007 0.05000% 0.00137% 0.00117% 𝟔 0.49997 7.99999 −5.99999 0.00600% 0.00012% 0.00017% 𝟕 𝟎. 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟖. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 −𝟔. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎% 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎% 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎% Resultado: Valores Aproximados: 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙𝟐 = 𝟖. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙𝟑 = −𝟔. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
