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FACULTAD DE BIOQUÍMICA Y CIENCIAS BIOLÓGICAS - UNL 
LICENCIA TUR.\. EN NUTRICIÓN 
MA TEMA TICA GENERAL 
Cronograma - Año 2010 
Semana Fecha Teoría Práctica 
1 15/03 - 19/03 Sistemas de ecuaciones Práctica O: Ecuaciones e 
lineales Inecuaciones 
2 22/03 - 26/03 Matrices y Forma Sistemas de ecuaciones 
matiicial de un sistem ·~ lineales 
de ecuaciones 
3 29/03 - 02104 Sc·::nana Santa 
4 05/04 - 09/04 Determinantes Sistemas de ecuaciones 
Regla de Cramer lineales y Matrices 
Sistemas homogéneos . 
5 12/04 - 16/04 Inversa de matrices Matrices y Forma matricial de 
Vectores en el plano un sistema de ecuaciones 
6 19/04 - 23/04 Vectores en el espacio Determinantes 
Recta en el piar.o Regla de Cramer 
Sistemas homogéneos 
7 26/04 - 30/04 Inecuaciones Inversa de matrices 
Programación li:Jeal Vectores eo el plano 
(Teórico - Práctico) 
8 03/05 - 07105 Funciones VPrtnrP< Pn el esoacio - . -; d2/05 PriMer Parcial -
9 10/05 - 14/05 Funcione< Recta en el plano. 
10 17/05 - 21/05 Límite y Derivada Funciones 
11 24/05 - 28105 Derivad:i Límite y Derivada 
12 31/05 - 04/06 Antideri vada e Inceruales Derivada 
13 07/06 - 11 /06 lntetUales Antiderivada e Integrales 
14 14/06 - 18/06 Integrales Integrales 
15 21/06-25/06 Ares 
- 28/06 . - ! Segundo Parcial '·' 
Parciales Matemática General: 
1° Parcial: Miércoles, 12/05/20 l O 
2º Parcial: Lunes, 28/06/201 O 
MATEMÁTICA GENERAL 
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LICENCIATURA EN NUTRICIÓN 
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Departamento de Matemática 
Facultad de Bioquímica y Ciencias Bio.lógicas 
U.N.L. 
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Departamento de Matemática - Facultad de Bioquímica y Ciencias Biológicas f U.N.L. 
Matemática General • licenciatura en Nutrición 
Práctica O: Ecuaciones e Inecuaciones 
Resuelva las siguientes ecuaciones y problemas. Verifique las soluciones obtenidas y establezca el 
mlnirno de restricciones necesarias para que la ecuación tenga sentido. 
1) -- - - (x-2)=x- - - - ()-2X) IG 3x+2 4 (x-3 2 _ ) "f/ 
2 3 2 3 
@x + 2 = ~ ¿Qué restricción debe hacer~e sobre la incógnita x de esta ec1.ación? 
X 
3) 
3z - l z + 3 _ 
2 1 
_ ~/ 
------ z+ 4 
5 25 
~2 - 5x = - 6x + 8 
5) 2X2 + X • 6 = 0 ?l/z. ; -2 
5 
6) X+ 2=-
X 
7) X+ J = 3x - 9 y 
5 3 
8) .:.+.:.+~=578 ttl.<.¡ 
4 6 18 
~~De un depósito lleno de líquido se saca la cuarta parte del contenido, después 1a mitad del resto y 
aún quedan 1500 litros. Calcular la capacidad del depósito. 
10) X+ 9x = 90 
°' l 3-2a 73 
11}-(a+8)=--+2a--
6 4 12 
~ 
12) z-t_z+3=5z -111?.\ 
3 2 
13). Durante su primera hora de trabajo, el dueño de un puesto de revistas vendió la cuarta parte de los 
cfüÍrios que tenla, y durante la segunda horas, vendió la sexta parte de lo que le quedaba. Contó los 
ejemplares y notó que aún había 25. ¿Cuántos diarios tenía al principio? 'lll 
14) - 5x2 + 13x + 6 =o. 'i , - 1 /s 
15) 6x - x2 = 9 :i 
16) -6x+13=-x2 N-> !'K>nt Svl ~ 
17) la suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números. 
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1 ,3 
@ El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3m y el largo 
aumenta 2m, el área se duplica. Hallar el área original de la sala. 
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Departamento de Ma~emática - Facultad oc Bioquímica y Ciencias Biológicas f U.N.L. 
~9J,Los quim!cos utilizan un número denotado por pH para describir cuantitativamente la acidez o 
arcalinidad de soluciones. Por definición, pH = - log [W]. donde la expresión [H·] representa la 
concentración de iones de Hidrógeno en moles por litro. 
Calcular: 
.1 z ,ZJ a) el pH del vinagre, sabiendo que la concentración de iones de Hidrógeno del mismo es 6,3x10-3. 
~ 3 b) el pH del agua de mar, sabiendo que la concentración de iones de Hidrógeno es 5x10·9. / 
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,0- 3 c) la concentración de los iones de Hidrógeno de la manzana, sabiendo que el pH es 
_::,aproximadamente 3. 
1.:>¡'b O d) la concentración de los iones de Hidrógeno de la cerveza, sabiendo que el pH es 
aproximadamente 4,2. 
/ 20) Se sabe que una solución es neutra cuando su pH = 7 (caso del agua) y que es alcalina cuando el 
pH > 7 y es ácida cuando el pH < 7. 
Determinar el valor de la concentración de iones de Hidrógeno que hace que la sustancia sea neutra. 
Clasifique de acuerdo a este criterio el vinagre, e1 agua de mar, la manzana y la cerveza. 
¿9 El crecimiento de una colonia de abejas está determinado por la siguiente ecuación: 
230 
P(t} = __ 
0 
r 
1 
para t ~ O. ¿Cuántas abejas habla inicialmente? ¿Cuánto tiempo le 
1+56,:>.e · '· 
tomará a las abejas tener una población igual a 180? ¿Cuál será la población de las abejas cuando 
1-+ oo ? (esta expresión 1-+ oo significa que el tiempo crece infinitamente). •..-, F~" <> -h .,oct.._ n. 
¡/ ")< > L~ J.- vQ!> ~ 'd ''~ • 
, Q 23• a·-2 / 
/ \Y a) log2 fx-1)+1og2 (x+1)=1og2 8 b)-¡;-=--:¡s-
23) a)logx-log5+3logx=O 
1 
b)-(log(x -3)+ log(x + 3)) = 1 
2 
- .t 24) • (7x • 2 + 12) + ( - 5x - 3x + 4) = • ( • x + 7) • (6x - 4 • 7) 
§ 3 25) 2'·1+2•+2x-1:28 
/ 
J.r-1 
/ 26) a) 0.4 .. ' = 6,25M 
1 ~ @ loI;:i = 100 - 3 c)SX-9.6->+8=0 
_, C/ 27) 2(x-4)2 -(x-2)2 = (x-8)2 
28) a 2(x-a) + b 2 (x -b) = abx 
, a b re 29) - =c(a-b)+ 
X X 
@ 30)(x+a)2 -(x-a)2 = (a + b)2 
./ 31) a) Vx-8 =2 t(o ~ b) 5-
/ ' r:· x+l L 
32) ah x+4 =-.-- / 
, x -1 
3x+ J =O i e 4 
b} X +-c- =5 
X 
c) 18+ .f; =3 ii~ 
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-2 2 - 1 8 - /7 C X - X = c.. 
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Departamento de Matemática - Facultad de Bioquímica y Ciencias Biológicas/ U.N.L. 
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j 33) a} CX 'Cx-) = C 9 b) 32' =-4- C} 4•-I :0252.+) =32 4-S' ·0255" 1 
2 2•-• ' ' 
® 
~a) x/53 + x~56 = 30 ) b) ex.x2 - 2x.e' =O § . 
35) El crecimiento de una colonia de mosquitos sigue un crecimiento exponencial que puede ser 
modelado con la siguiente ecuación A(t} = "'*~' . Si inicialmente había 1000 mosquitos y después de un 
día la población de éstos aumenta a 1800, ¿cuántos mosquitos habrá en la colonia después de 3 dlas? 
¿Cuánto tiempo tendría que pasar para que la colonia tenga 10000 mosquitos? 
~Expresar cada desigualdad con una notación de intew~lo: 
a} -3 < x < 5 b) 9 ~ x ~ 2 f c} \3 ~ x d) 2 <X 
e} 5 > X n 4 $X dJ 2 < X$ 5 h) 6 >X<!: 0 
;0 Escribir cada uno de los intervalos siguientes como una desigualdad y representar en la recta 
numérica: 
a) [2. 5) fil (-2, 3] ,c) [-1, oo) d) (-oo, 5) 
38) Resolver las siguientes inecuaciones: 
a)2,5x-8>x+3 ( b) x+2(~x+2) < ~x+ 16 
39}, Resolver las siguientes inecuaciones, escribir el conjunto solución con notación de intervalos y 
-.J representar gráficamente la solución: 
(á) -5x + 5 < -3x + 1 b) i x + 2 < ~ x - 3 c) .'.< ..... :_~»o 
'-./ 4 8 3 + X 
40) En un laboratorio de Biotecnología se tiene un cultivo de bacterias en un fermentador durante 4 
horas. La población de bacterias crece rápidamente con el paso del tiempo. La función que relaciona la 
cantidad de bacterias y el tiempo t transcurrido en horas es: C(t} = 0,025er. Determinar en cuánto se 
incrementa la población desde t=1 hasta 1=3 horas. (Ria.: 202.51aproximadamente) 
41) Un medicamento se elimina del organismo a través de la orina. La dosis inicial es de 1 Omg y la 
cantidad en el cuerpo t horas después e~tá dada por A(t) = 10.0,8t. 
a} Calcular la cantidad del fármaco restante en el organismo 8 horas desp:.iés de la ingestión inicial. 
(Ria: 1,68mg) 
b} ¿Qué porcentaje del medicamento que está aún en el organismo se elimina cada hora? (Rta: 20 %) 
42) La intensidad del sonido que percibe el oído humano tiene diferentes niveles. Una fórmula para 
hallar el nivel de intensidad a, en decibeles. que corresponde a intensidad de sonido 1 es: a = 
1 Olog(l/lo), donde lo es un valor especial de 1 que corresponde al sonido más débil que puede serdetectado por el oído bajo ciertas condiciones. 
Encuentre a en los casos siguientes: 
a) 1 es 10 veces más grande que lo. (Ria.: 10) 
b) 1 es 1 000 veces más grande que 10. (Ria: R/30) 
c) 1 es 10 000 veces más grande que lo (este valor es el nivel de intensidad promedio de la voz). 
(Rta:40) 
d) Un nivel de intensidad del sonido de 141 decibeles produce dolor en un oido humano común. 
¿Cuántas veces, aproximadamente, debe ser 1 más grande para que a alcance este nivel? 
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DE ECUACIONES/... 
LINEALES ,, .. 
Multitud de fenómenos naturales y sociales 58 comportan 6nealmente, 
es decir, una causa doblemente Intensa produce un efecto doblemente 
intenso, una misma causa que adúa por un espacio de tfemPQ dos 
veces más largo producs un efecto dos veces mayor. Y aún cuando 
muchos fenómenos se comportan as( tan sólo aproximadamente, 58 
· 1 
&tiacianes cnn una incágniia 
La ecuación 3x + 5 = 7 tiene por solución x • ~ porque 
2 3 
3·-+5 = 7. 
3 
La ecuación t
2 
- 6t + 5 "' O tiene dos soluciones: t - 1 y t - 5. 
Y la ecuación z' - 7z2 + 12 = O llene cuatro: 
z .. 2, z .. ...z z=VJ y z=-Yi 
Hay ecuaciones con muchas, e incluso con inHnitas soluciones (por 
ejemplo, sen x = O). Otras ecuaciones no tienen solución (por ejem-
plo, x + 3 = x) • 
Resolver una ecuación es encontrar todas sus soluciones o advertir 
que no tiene ninguna. 
&uadooes con varias ildgnitas 
La ecuación x - 2y • 2 tiene infinitas soluciones. Por ejemplo, 
)C .. 2 y=O 
tratan como si fueran lineales para facilitar su estudio inicial. Un muelle 1~~1 l ('_,, es una <ie ellas. Otras son 
se alarga al colgarle un peso y su alargamiento es doble cuando se• · 5 
x=4,yc1; x=7,y-.. 2 cuelga un peso doble. Un coche a una velocidad de 60 krrVh recorre f>-iN'° ~ , 
1 km en un minuto y, naturalmente, 2 km en 2 minutos. Si el precio c.o::rneho.óc--0 
del kilo de azúcar es de 90 pesetas, es claro que, a menos que <.. )(, . v) 
haya una oferta especial, por 2 kilos tendré que pagar 180 pesetas. 1 
X: - 4·. · y= - 3 
X=O,y=-- 1 
etc. 
Cada una de ellas puede ser interpretada como un punto de coorde-
nadas (x, y): 
Esto explica que la matemática de las aplicaciones a los fenómenos ~.ol.Di'(>t1;)'!11,. 
naturales_ y sociales sea muy fundamentallr}ente lineal en un primer ~1- .i>,< (2. O) , (4, 1) , (1. ~) , (O, - 1) • (- 4, - 3). ..• 
.. 
-..:-.""' ·-;.;.:.. . .i ' .. :u.~ --··- - - ' - ,- , ::- • 
·~¡s¡¡'.;'~J~~1'¡~~~"é[::I 
-r,¡ ninéíi~~Rir~4.~~ 
'ri· ~ aiÁn·:-~y~:1;1hü..:n;iár.·Pá '".e1¡¡;¡1 
~.!Cu.;i~.l:""'·:· ~.-~. . J~' ilo$."'81dteii.o&'.de-.s1{ ' • . - . : ' ~ ... .i. ª .r ,. -;r... .... <tj'¡ - - ,. - • - ""'-' • ,- 11c¡io;~j'i;~ ;;,¡:::.;,,: f<ü,~:...!<.'--.~~~ 
; .· ':- : ,1- - .. i_~")l, ... JT:i~;.¡.'J'~~l~.f , ... ~ · '·.,..., 
.~ .. ~~~~i·~ 
acercamiento a los fenómenos y que los sistemas .de ecuaciones n- . . g 2 
ne8!es, en particular, co~tltuyan el esqueleto báslCO de estas apll- "...,.. Todas las soluciones de esta ecuación están situadas sobre una recta. ·~ e 
cactones. De hecho, se dice que la mayor parte del tiempo que los 2 2 _ l . _ _ . ,...._ }j.&eSQjléCJ·· · 
ordenadores actuales dedican a resolver problemas matemáticos que l( i '1 · ?. . . Por eso decimos que x 2Y - 2 85 la ecuación da una recta. 111 .,. ~pe la reda,~~: 
tienen qua ver con la industria y el comercio, sa emplea an el trata- . FE.il.~ ~Análogamente, x• + y'~ 25 es la ecuación de una circunferencia, l'· · ~ , .,,., .. .,. , ...... _e· • 
~to da sistemas de ecuaciones flneales, so¡xe todo en lo que cons-=~ :~ pu~ sus solucioOes · - - · . , ........ , '"'" . . . , ... '", ,,. . 
tituye la programación lineal. (O S) (- 3 4¡ (3 4¡ (4 _ 3¡ (-4 _ 3¡ .. ,,, .. ,_,,,..,H .. '•1·;~· ,,.!'.~v::1 ••;;·+:,;,¡~ c.onkofo o) ' ' ' · • ' · ' · ' ··· ~ .. · - · ··' o ;M .. ' '.'; :. ;: ~) 1 
De aquí se deriva el enorme Interés por conseguir métodos rápidos, 
1 
están situadas en la circunferencia de centro (O, O) y radio 5. Cualquier t~ -~ ' . . ~ "' • ;, . )~: 
eficaces y BCOIJómlcos que simplifiquen al máximo las tareas del or- ·' punto de la clrcunterencla es solución de la ecuación. 111 .. \'~ .~ '· !'"' ~ · . ~ ' ·· -_:· ·-· !)1 
denador. Tenief1Qp en a.ienta que ésta tiene qua trabajar, por ejemplo, _ .. . . . . 1 ;~"' '_ 1 • , ., ~: '. ~ ~ 
en la oplfmizacióir del aprovechamiento de las rutas-de una gran com-~ INC.Cet Las solue1ones de las ecu8C1ones con tres incógnitas '.t • _ ,, , ·: , - · ' 
patlía aérea o telefónica, con sistemas de ecuaciones Uneales con·más• - ~ x + 3y + 2z = 5 ;·: ; . -. í . · ' ' . . 
de 800 000 ~les, es fáci1 '?""'prenderqu~ cualquier simplificación, \)U•1~ ~n U•) . . '}. r: -_, · :. :. " ·. "'_ ;, ·, ~'.-' .:, 
en el tratarmento de tales sistemas, por trivial que parezca puede · · 0 · son temas de valores. x = 2, Y • 1, z "" O, por e1emplo. Las 1f. .t" 3 • -. . . /.1 ' ~ ~· 
representar un ahorro de miles de horas de ordenador. ' ~OiOJWt.OVlll temas de números (2, 1, O) se interpretan como puntos d~ un espacio ~ -¡.;: ,,.1 ~ • · ' ,. • ·-. J 4· : ~i;~ 
. . • ·) tridimensional. Como verás este curso, la ecuación antenor es de un i'. rr.. •1 • . -: ; ; ~hJ 
En este tema se introduce uno de los métodos más JnÍeresantes ( )( 1 '11 u; ~plano, Jo cual quiere decir que los puntos (x, y, z) cuyas coordenadas · . ~. p.'!;;;;{1""· ·"<\w ,.,,;·,;~<'}i~···i!';.·t~:~: 
para resolver sistemas de ecuaciones lineales, el método de Gauss, ~~ _cumplen la condición x + 3y + 2z "' 5 (es decir, las soluciones de ~~ !!$ 1ª ecuac'::s esta.~ 
sumamente simple en su concepción y fácilmente Implementable xl~ 7. ~ ~;} = ni esta ecuación) están situados sobre un plano Y lo llenan por completo. ;:11 ecuaciin to1t:~:1-i,;~;' 
con al ordenador. Aunque trataremos aquf sistemas sencillos, de '1 La exnresión x'' +'y,"+¡>., a ~ ~l(Brás es la.ecuación de ". .. ncia:·;..;,.:.:/•>'s<:;ffeV,~"1-;·:·i,~<.~.V;~ 
~s varjables, el método es el mismo aunque el número de va- e,5~(.Q..A ~ ~.alteia"{Slts"it,1ua¿ ~ iobni~ Sú~JJ3!M~ centro · · ' • •·· · "'i:..• , '""'·':'<-
~ sea gigaz¡ftesca. \ Q".o.<L.o Y\ (O, O, O) y radio 3). ..__......., ~-...~ 
.i 
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. --· • - .~)He (o-p·,qL.. . ~ . ; ' . ' '~ ~ . 
... .. ;-.. ~~: ... -·~ ~- ~ ..... '~;:·;~·,_ ·.;~'."'"''./\ .. /.~~.· : : ·~:--~:;¡j<~: --~~ ;. ... ~-~~:; .- ·:. _.··;: )• :~· ·~· ~·: '.· .• -. •. • • '¡ 
... -- ·; 
--~~--~ .. ~:..;.;.~~~~!:: ·:·~~:·~·~_-:_ .'; ... ·: ,..: .. :&:..::..~~.-Z.2...~ ..... -- -- --·-·· --· ~. --!..,, ·- ·---·. ___ ...:...:,._ 
Sllllmas de ecuacionas 
Como acabamos de ver, cada una de las ecuaciones 
X - 2y = 2 , X 1 + y' = 25 
tiene infinitas soluciones que se sitúan, respectivamente, en la recta y 
en la circunferencia dibujadas. 
Cuando hablamos del sistema 
formaáo por ambas ecuacio-
nes 
x- 2y• 2} 
x• +y'• 25 
nos interesamos, exclusiva-
mente, por las soluciones co-
munes a las dos, es decir, por 
los puntos de corte de las dos 
lineas. En este caso son 
(-4; -3) y (4,8; 1,4). 
• Ecuaciones et¡tdvalentes 
Dos ecuaciones se Haman equivalentes cuando tienen las mismas 
soluciones. Por ejemplo: -- - • 
· x - 3y • 7 es equivalente a 5x - 15y .. 35 
pues toda solución de la primera es solución de la segunda y viceversa. 
x + 3y + 2z .. 5 es equivalente a 3x + 9y + 6z = 15 
por la misma razón. ' . ;,:, .. -
SI a #Os dos mietñbros de IN ecú8dórl loa~ (o dividWnosJ 
por un número cualquiera cftStlnto de O, la ecuacidn resulfallle es 
equlvalente a ta pttmera. 
Slstlmasequivalentls 
Dos sistemas de ecuaciones se llaman equivalentes cuando tienen las 
mismas soluclonea. Por ejemplo 
~ -- ..... :.•., .•. 
._ .. ::~.f.-:~~.~·~::.~:-. 
: -¡~,~~:· .. -~;:.~~~ 
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Solución de un sistema de ecuaciones ' con dos incógnitas es, pues, 
un par de números que son una solución de cada una de las ecuaclones 
que forman el sistema. 
2x - Sy = 16} 
X+ 3y• - 3 
5x +y= ~3} 
X+ f = 1 
l'-1· .. 
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111 .. 
•.:( 
Las soluciones del sistema 
X+ 3y + 2z • 5} 
x• +y'+ z1 - 9 
bls~oi ~.61'pr;;\~lil,°¡1':es-~ .. 1111 son los puntos de corte del plano de arriba (mira el margen) con la 
¡¡¡_-dé.!if~-ile:~~ superficie esférica de abajo. Están situados, por tanto, sobre una cir-
ütJs;Sírr.~~)1 cunferencia. 
•1-,_ • ..... -:~ ~ - ; ·,;;•., ·~ ., <'1''''i1 ,..:."-.' ·.;.. ; 
Sistemas de ecuaciones tineales 
Las ecuaciones 
2x - 5y + 4 ~ O , x - 3y + Sz ~ 2 , 5x - 3y + z - 5t = o 
L--.,..0 \ar.. ~ ""''""...l- 1 llenen la peculiaridad de que las incógnitas aparecen todas con 
- ~ 1 ~~ c1i'Of.> grado 1: no están elevadas a ninguna potencia, ni bajo ningún radical, 
ne 'olZ. ~ ~ IJ.N'OI> ~ ni muftfpllcadU unu por otras, ... Se Harilan ecuaciones lineales. 
. ' 
~~J)·~ 
No son ec'Jaclones rineales, por eíemplo: L.. A 
l lflCD.i' 1 ,...,.,,, 
2x - 3y + Vz =:. ~ ; 3x y - 2z • O : x• + y• + z• = 9 ~!i 
'láitrn· Un sistema de llCUaclones lneales con dós incógnitas representa un . Yuvio •mtconjunm de dos o más rectas. Su resolución consiste en saber si todas ~~~'°" 
ellas tienen algún punto común y localizarlo. da •11 
Si el sistema de ecuaciones lineales es de tres incógnitas, su res0lución 9S' ~o.o 
En e1 e5Pacio. 1u ecuacianes r~ 1 consiste en localizar puntos comunes a varios planos. Para ecuaciones 1'(.A~ 
eón~ lncóg~'-:9 ll~ planos. -111111 con más Incógnitas no hay Interpretación geométrica element,aJ. ~ \'""\o~ 
Los sist~mas de ecuaciones lineales son especialmente interesantes, ~-,e.? 
y a ellos dedicaremos nuestra atención en este tema y en los demás • 
temas de este bloque. Por eso, en adelante, la expresión sistema de 
·--..... --- ••• M . . .... . .. 
ecvaciones o, simplemen1e, sistema, la \ltilizaremos como sinónimo 
d8•'$is!l!m~ de ecuaciones linea/es. 
. . , ! ~r. ··:-:,, .. ,.,.-. . 1:~ 
lo son, pues ambos tienen la única solución x = 3, y .. -2. (Observa 
que dos sistemas pueden ser equivalentes sin que lo sean las ecua-
ciones que los forman.) 
Transformaciones válidas.en un sistema de ecuaciones 
Para el estudio y resolución de un sistema de ecuaciones hay que 
realizar en ellas ciertas transfonnaciones que las simplifiquen y que 
mantengan sus soluciones. Consideraremos válida toda transforma-
• ción que permita pasar de un sistema de ecuaciones a otro equivalente. 
Por ejemplo, las transformaciones siguientes son vMldas: ., · · 
2X - Sy = 16} a> 
"+ 3y= - 3 -+ 
2x - 5y = 16} . e» 
X+ 3y = - 3 -+ 
- 11y .. 22 
~- 5y = 16} 
y= - 2 
<D Consiste en atladir una nueva ecuación que se obtiene ~ 
a la ,primera et doble de la segunda 
'L:I I'-
.1 I'\. 
:'\ 
· -12JL ,t• 
.:. h 
H l. I• J ·l\ 'N ·1·1-·1; 
IN · 1 r. 
;"\J ' 
· " .¡.,~ 1 "' l • 1- ~ l .· h "' · 
··J l 
.. ·. :: ·, ·:~ \~··.t:~, .:~.:~,~~~d' 
Dos sislema:r pueden lllf equivalentes 
sin que lo sean la& ecuaclooes que los 
lonnan. ·. , ... , .~,;.. ,~· .. _ 
a> Consiste en suprimir I~ segunda (puesto que se ha utmzado para 1 Justifi"'.lquelas~ciones©y Ql 
formar la tercera) y dividir la tercera entre - 11. 1111.;. son Ylllidás. · . · · 
Observa que las transformaciones, además de válidas, han sido con· 
venientes, pues ahora el sistema está prácticamente resuelto. Podia-
!'Q.<?S acabar de resolverlo con otras dos transfonnaciones válidas: 
ov.:,~ ,. ·.. . ·, .. 
~':trfffr~;~&c:'!. 
y- - 21-· .. 6f:c"" 6} y "f. :;r..1.2 
© X• 3} 
r= - 2 -+ 
-· .. : .. ····. ; ... · ... ...... •;,·.·- : _· ,_:; .·;. •• J •• 
;J . -·-.r. ._...,.,..\ . ..,. .... - h~Wi1 
.~~~¡¡~~ 
...... ..... ...... ti! 
. .-... 
t.~r=~:~:~;~f:;~::.":~· ... :.;:;:fil::·~J~~;·;::;:.r::. ?~;:;:~:;~~~~~¿-~~!~~;~~~:;¿;~~&K:;::::~~f~~:~:~:%z:x~:::t._:._t~~~~~~:~:w~~-:::.;:<~·~:~~:iA?:¿~:?:·::~;~~~~~w..J:1~~ .. f?&:~r:~~=~:~~;~~:;§~:~::· . ... _!: :·, :· •. .._ : -!-• .. • • ,, · •··• .. ::: -;~r~·= · .. ..,-:-
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-· _ .. , '·-·" ~· .. ~ :~---·-... --·---=----·--·--.:.- -.... ----------
) 
) 
). 
~EJEllCta -~:~.: - ~-.-.- ,..·_: ~~~~~~~1-i~'";;~,~~;:~~~;:_:~%tf'f~;.,~~~~:;:~~~'.:~-,.·~-:~·~r~~~::~\.-'.~~;;:¡~ ·'~~-,~~~ 
e) ~X '- 2y + 5 = 0 
f) X+~- 7 • Q . 
. . _~: ·:· :;//~ .. ~' ·:<:/·-~~~~~~ -~: ·. ~·-~. ~:~~·l~:·· ~: .. ;·_! ,~.:. ~~.:~_;!~T~~~:~:·~··-~,;;:r:~~~(:t;{:~· ~ .. ~~~~~~~~~IB·?E~~ 
1. Indica, de las siguil!n.tes ecuaciones. las que , '.. 4. · Indica y explica, mediantei razonamjentos le> :t] 
son lineales: ,:r • · . . · · ·-. .· , : : gicos y afemplos, cuáles de Jas siguientes ·~· ~ 
·; ·r."' ', . . ·, · transl01TT1aciones son válidas· y cuáles no (es ·:. j 
a) x' + x -;-· 5y + 2 "' O ; .' ;· . .... :· : ~ ....... decir; cuáles transforman un slslema en otro :·;: 
b). f1 ';"y• ~ ~ - 10 =O; ;·; · ·· ;:,:> ;·· . eq~!~-~l~~e ~ ~~~~.'~>.=,!::~.:{'.~:;:H:~}f:~fa{.':,~~ 
• · . a) Sustltulilt sist8iM ~·~¡,¡,;·la ;·f 
5 c) x +Y+ z = 2 • suma de todas ellas .. '·'·· · •· ·.· . • : ... ¡_ 
~ ~ ifa"x- r = 4 - _,. b) s~$u;~;;~ci~~-~·~ '.~:~ ~~~[1~~!~~~[:jf:t~~ 
tema ~r su suma. •· :. :.<·_:.;';~' ~;'.~~~>\ 
. c) S¡.¡stl!ulr u.na de las·ecuaclones por 91.nr: ::: 
" sultado de sum~ª·':~ ~~a. :-:: .::~·->/ 
2. Escribe dos ecuaciones equivalentes a cada 
una de las sigulent~s: 
dt ,~ustltuir una de las ecuaciones por el .. 
resultado de restarle otra. . . , , · ~ 
3. 
a) 2x + 3y + 5 - o ; 
b) x-y+2z•O; 
C) - X + 4y - 5z + 4 = 0 
d) 2x+y-3~+8=0 
Se dan varios pares de sistemas de ecuado· 
nes. Todos ellos son equivalentes. Algunos, 
e) Sumarle 3x + 1 ar primer miembro de · ·· 
cada ecuación. · 
:: 
5. Prueba que si (x •• y0 , z.l es solución de · 
dos ecuaciones, también lo es d.· ~ la e~. a<:!_ón ~ 
suma. . CON· .;;;:,)7!!:..~vlQ.~\:;::.) 
Ir. Inventa un sistema de· tres ec:Uacl~e5 con· ·::. 
tres Incógnitas con solución entera y busca .. 
otros dos sistemas equivalentes a él. 
) 'X por razones muy fáciles de ver: sei'lálalos y 
· . ~ ~ di cuál es la razón. Otros tendrás que resol- 7. lnve~ta .un ~is·;~~ª ~e e~u.acion~s ~q~i;;~,e~~~./°". 
1:~ m-1 Sistemas de ecuaciones cun solución y sin solución 
S'.stomas Sil ~ =i im b~~ 
• Los sistemas de ecuaciones 
2x + 3y • 9} 
3x- 5y"" 4 
y 
2X + 3y: '·s} 
3x- Sy = 4 
Sx- 2y- 13 
.. . 
' 
tienen por solución x = 3, y = 1 (compruébalo). Eso slgnillca que 
las tres rectas pasan por el punto (3, 1 ) . 
' i-. t> ! / 
r--. ~ J 
'· . . ~ ,, 
~ .. ~ '# / ~, r/ ., I V ·, ., ; ,, 
"Í 
,, 
/ I 
.... 
t'...... 
V 
./ 
¡, ' ' 
) ~ verlos para ver que.Son equivalentes. Hazlo. 
.. ·· CPA . . ... .?>- # 
te a cada uno de los slg. u1entes:· . ·, ..,~- /. 
{
x-y= 4 . · 'C\ · _,\'1-..; . O 
Observa que el segundo sistema de ecuaciones es prácticamente 
igual que el primero, pues las dos primeras ecuaciones coínciden y 
la tercera se obtiene sumando, término a término, las anteriores. 
Esta tercera ecuación no dice nada nuevo, pues lo que dice 
se sabía ya por las otras dos: si sabemos que 2x + 3y = 9 
y que 3x - Sy = 4, entonces, sin necesidad de que se nos diga, 
·sabemos que 5x - 2y :: 13. 
a) { x+y=S 
2x-y=7 
; {2x+2y=10 
6x-3y=21 
b) { x+y=5 
2x-y=7 
; { x+y= 5 
3x =12 
) 
e) { X+Jf""S ; {5x-3y=17 2x-y=7 x-y= 3 
•;:.; -
f x+ y- z= 5 
{x+y- z=S d) , X-r y = 7 ; 
x+y =7 ·: ; l 2x+ 2y- z=12 
: 
{x+y-z= S 
e) x+y =7 
.· {x+ y=7 
. z =:2 
) ' ·.;-;r+y..:zm5 - r+5y-3z=13 
' V ) 
t) • x+f' · .El•~. x+ y- z= 5 
x-y =:1 -¡f ' 2y- Z= 4 
,, u i;r &up GI e.'ltil'I~ 
•, '· 
.. 16 '. ...... ~ .. ~ ... 
a) .Hy=10 : •· ~ ,c;-i"::' _ rir 
")~zr_· 
• SI imantas res.:ilver estos otros dos sistemas 
{
x+y+.z:. 2 
b) x-y-z= O 
x-y+z=-4 
{
2x-3y+5z=-4 
e) x-2y+ z--3 
2x .,. Z= 2 
{ 
x+ y+2z~5 
d) -x+2y-3z=O 
2x+3y-4z=4 
{
3x+2y+4z- ! 
e) 2x+ y+ Z= 0 
5 
x+2y+3z~-¡-
.y . . 
~ ._¡ . 
e t.;.;.h ':!D~" 
o.>. ~>L L\-
c~~c-~ ó.!... 'F~ 
01kv...:....~ ~~C.') 
~~') ~cl(J} 
2x + 3y= 9} 
4x+Sy=12 
y 
2x + 3y = 9} 
3x- Sy = 4 
5x- 2y = -6 
Regarás a e.l<PreslorÍes .disparatadas: no tienen solución. 
~ 
-
........ -
....... ........ ~ 
"'-:.. ~~ -. I '-. -
'K . ......... -...... .. . ' ~ " -"'/,:. ...... -
En al primer caso las recl~ll son ~alelas y no tienen pL'nto de 
corte. En el silgbndo•caso'ta tercera recta no pasa por el punto en 
que se cortan las dos primeras. J. ei~i . • .. 
En- este apallado veremos q.- signlfi· 
cado geomeuico tiene el hecl'O de que 
oo sistema de ecuaciones tenga o no so· 
luciones . 
17 ·:l' 
~·-··. e::« 
C·_;· ·'\; 
~ ·,._ .·.: .•: . . 
... - ~: . ~ ... :. . ·:.:; . ···, ::::~._':.~ :'-~.,:·~ .. :>· '.'' ~,:.;F:t;~·!jl;·f F/~:'.~~. '·\ . < 
" . 
\;;\/(:· 
. ··.· 
A(lambda) • 
Len griega correspondiente a le l lall-
na. 
18 
·: 
.• • · •j, 
.... 
,.,,._ .. .,_ w...'.:.....!~:~i~~:~_.;._,..~ 1:...:~~.:~~~ .. ~- .. - .: ~:.-...:.:.;·,..A..t."" . .;.o.~ ....... • ...... ..: .,,, .. _ :.:..;. -• . ~ " • - 4..0.- __ __ .;. . .. . . ~ .............. ~ : ... 
.... 1111 
111111 
"'"" 
.' "' -~ ..... 
Observa que. en el primer caso, si 2x + 3y es igual a 9, entonces 
4x + 6y tendrfa que ser 18. Como se nos dice que es 12, las dos 
' ecuaciones son contradictorias o Incompatibles. .. . .., ·~,_ __ , 
Eri el segundo caso, 'si 2x + 3y es Igual a 9 y 3x - 5y es igual 
a 4, entonces 5x - 2y tendrfa que ser 13. Pero como se nos dice 
que 5x - 2y es igual a - 6, la tercera ecuación contradice a las 
dos primeras. 
Los sistemas dé ecuaciones con solución se naman compatibles 
y los que no tienen solución, Incompatibles. 
~lb ~lS ~ m lrlcópitis 
• El sistema 
2x+ y- Z= 11} 
X - -3y "' - 20 
4x + 2y + 5z"' 8 
tiene como solución x "' 1, y .. 7, z = - 2. Compruébalo. Eso 
si~nifica que los tres planos se cortan en el punto (1, 7, - 2). 
Añadiendo otra ecuación fonnamos un nuevo sistema: 
X - 3y a - 20 
2x+ y- Z=- 11} 
a) 4x + 2y + 5z .. 8 
o bien este otro: 
b) 
7x + 4z .. - 1 
2x+ y -z- 11} 
X - 3y = - 20 
4x + 2y + 5z = 8 
7x + 4z = . 3 
.· 
,-; 
En a) la cuarta ecuación 18 ha obtenido a partir de las otras tres, 
sumándolas. Por tanto, Jo que dice es consecuencia.da Jo que dicen 
las otras. El sistema sigue teniendo la misma solución (este cuarto 
plano pé'.sa por el punto de corte de los otros tres)._ · · 
En b), la cuarta ecuación es contradictoria con las otras tres, pues , 
· de las tres primeras se deduce, como ya hemos visto añtes, "qúe 
7x + 4z = - 1. Por tanto, el sistema es incompatible 1el cuarto 
plano no pasa por el punto en que se cortan los otros tres). 
• El sistema 
.... ,.- 2x + 3y + 7 z - 7} 
x-3y-10z•-1 
~,. 
Se dice q_ue se ha obtenido la solución general en !unción del pa-
rámetro A. Dando valores a A se obtienen soluciones particulares: 
para A - O ... (2. 1, O) ; para A .. 1 -+ (3, - 2, 1) 
P"• A - - 5 - ¡-·3, 16, - 5) : .•• Q 
"'' '~ .. _ ...... ,, • - 00 .... ~ """"'°'""' '""'"· "~ ~ 
Este sistema. que es compatible. puas tiene solución, se llama ·· --· • - .--_ 
indetennl~o por tener infinitas soluclonet. •• 
Un sistema de ecuaciones con tres incógnitas puede 56r compatible 
o inccmpatlble según que todos los planos tengan o no puntos en 
común. Pero si todos los planos 56 CtHtan a lo /arpo de una reda, 
el sistema, ccmpatible, tendra infinitas soli.ciones y serll, pues, In· 
determinado. 
t.'1 iJIGOO~I 
Un sistema de ecuaciones puede tener solución (Gompatlble) o no 
tenerla (lñcompatlble). 
', 
Los sistemas compatibles pueden tener una solución (determinados) ! 1 Compltlblel: 
o lnlinitas (indeterminados). 1111• • ~(una soluciOOJ; 
Resolver un sistema es dar sus soluciones o concluir que no tiene 
solución. 
Los métodos que aprenderemos, en este tema y en los siguientes, 
para resolver ecuaciones consisten, en esencia, en llegar rápida y 
eficazmente, mediante transformaciones válidas, desde el sistema ini-
cial a su solución, o a la conclusión de que no la tiene. 
• lndelennlllldos (inllnilas IOlllCIO-
,,..~ 
._.....,_t sin soluciOn. 
~ 
.. 
~· 
;d 
ec. 
.-ri:, "''' N:./(.,r: 
t:«{JQ 
:L:r!·~~·~;-~:;:~:i 1;·\:~:~?;:¡ .. ,:1_~;c~~J~ :H ~:'Tsi~~~-~t~;r:=~L~ :~ :::?:·,~,~~~~fff r,"f:.:~t~>J-u_;,:;:~~ ., ~~ 
• ~ A~suelve .e interpreta geo~tricamente los si- -~:.':..:-;:_--,,,.;:. !?l·. ~a~ u~ tercera ecu_éic~ó_il .. de ,rro<Jo-:j_: ~., 
'._ gu1e_nt~s ~1s~i:m.~ ~e -~~aci~es_:, __ : _: -- :-_ _;:'..:: :j:· -.que Siga s1end~-~~ª-~~le:,,,_.~,:f:lt) ~, x 
J:, .~{-2x+ • =1 :fl.-. -.. {2x+. y=1 · . · . ·:' ·:_- , :. ¡· '-i~ c) Añade una tercera ecu~ción de i:nooo •. , - ... e. , .¡ 9. 3x+2y=4 . -- -.,'-.; que sea incompatible. G"''-"-:,... . • -<:'i::f;' . 
• ·; _ .. ::' 
3~+ y=~ "~'. .. _ ~-~ ; r=.3 -_ ..... _; ; -~~,~te~;~ta ge~~~;~~~~t~ I~ q~~ ~;-~:. >' 
J... .{· ·" . J-. ~ .. {x.fy+z-6 · : ·f2J/. - o en cada caso. - - . · - : 10. x-:-2Y-5 ..,l 11. -z=1 ._. · · . 2x,....4y=O '-.: Y 17. a) Resuelve 
. . . z=1 
· X+ y- Z = 5} 
J 
Resuelve e interpreta geométricamente: x - Y - z = 7 
{
x+ y+z-6 {x+ y+z-=6 Comprueba' que tiene in-finitas soluclo-
12. y-Z>-=1 13. i y-z=1 (>;i · nes (es Indeterminado). 
x+2y • 7 : • x+'2y =O • tlo.il»i "'~ b) Añade una tercera ecuación para que 
>< , 4 ~ -4-x-- ~ sea compatible detenninado. 
E'JERCICIOS:-·: .. .• --,- ,. •. :;!:-··•",-x-:. -. ··~~.- _-.-. ._, '•·-,-:-- ---·: __ _t___··--:_-'-'.,_ 
14. x+y+z=O 1./15'. - ;+y+z=5 . . e) Añade una tercera ecuación de modo 
tiene infinitas soluciones. Para resolverlo pasa z al segundo miem-
bro y calcula x ·e y en función de z. Obtendrás x = 2 + z , 
y = 1 - 3z. las infinitas soluciones se pueden expresar del si-
guiente modo: 
,¡ {x+y+z~6 - tx:f>Y+Z=4 e.~o~ .A~ .. ~·. ,~1 
X Z O 
v.+v+.z 6 • ..,.,. ' ..... que siga siendo indetenninado. 
j - = (, "; ,_, "!! ... ~~~ <Ü- .. v..:-. - • l! ·'-~ r.o..d..~ d) Añade una tercera ecuación, de modo 
16. a) Resuelve é f: • ~ .. e~ que sea incompatible. 
x=2+A , y:.1-3A z=A 
para cualquier número A. 
~1111 { 
x + 2y = S -,_ · ""ll>. .. • i ~ <y" Interpreta geométricamente lo que has he-
x - y = 4 l:}¡ cho en cada caso. 
fV/.IO~-
19 
:-.···· 
; .. . ·~- . : ~,.=:--~~ ~:·:~; .. ~:· .. ·1: .r:.:". . , .. . : : ~.· .;~ ~· r. • '·~-= ~~: .. ;:_~~;· :~S:::·:·:~}~·~{[;-~)~~/f:~~~~~r~:;f~\-~·~~;~ ' 
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1 
~ 
11• 
_ l 
.. ····~-~··-· -4-· ·~ ... ·-~_.__.. .. ,.....___ _____ _ 
Método de Gauss ' . 
. ., 
• Los siguientes sistemas de ecuaciones 
+ y Sy+ 2z .. - 3 
2x 3 = 11} 4x - 3y + 2z = 7 } 
Sy .. 10 4z =- 6 
son extraordinariamente fáciles de resolver. 
\ 
El primero: 
10 
Y""5"'2 2x+3·~=11 - 2x-5 
5 
X"' 2 
Solución: (~ • 2) 
El segundo se r~:uelve análogamente: de la tercera ecuación se 
obtiene el valor de z que se sustituye en la segunda. en la que, 
ahora, se puede obtener el valor de y. Etc. (Hazlo tú.) 
Este proceso por el cual en cada paso calculamos una Incógnita 
cuyo valor N sustituye en la ecuacl6n anterior, IS fldible por la 
forma escalonada del slstsma: cada ecuacl6n tiene una Incógnita 
menos que la anterior. 
• Seria, pues, muy deseaole poder'transfonn.- tuak¡Uier slstema de 
ecuaciones en otro que tenga forma escalonada. Veamos, con unos 
ejemplos, cómo puede hacerse. 
Primer ejemplo: 
A: X - 3y :o 4} A'-A X - 3y., 4} 
18y .. - 5 a: 3x - 7y = 7 -+ 8 ' • 8-3k 
Ya esta puesto en forma escalonada. Ahora es fácil llegar a la 
. ( 49 5 ) solución: - - -
16 • 16 
Segundo ~jemplo: 
·· . ..,,. -+ 
A: 
8: 
e:A' • A : 
s·-a -ZA: 
C"•C-4A: 
A"• A': 
B .. • 178' : 
e·•• - 11C": 
- x:+sy-az.. 1 } 
2x- y+ za11 -
4x+,3y-4z= 3 
x+ 5y-3z= 7} 
-11y+1z .. -3 _ 
-17y+8z•-25 . 
x+ 5y- 3~= 7} 
-187y+119z.;-51 -
187y~ 88z= 27~ 
l- .;&~1t--.1t~~~J~~{j •111 
, . A"'• A" : 
•· .... -+ e·" - s·:111 : 
~ .airllSl:X ,,,,. . C".. - . C'.' .; ~;.-,¡. 
x+ Sy- 3z- 7} 
-11y+ 7z• -3 -+ 
,... 31.z=224 
20 
'· " 
. : .. =-·····: 
:· ... 
.. , .. _ . .;.;: .¡ ;•· 
,.. . -... . ·.: 
: ... :;.· 
• · Esle procedimiento se llama método de Gausa. Observa que, en 
todo el proceso, las ecuaciones y las incógnitas se han mantenido 
en su sitio. Sólo se han modificado los coeficientes de las incógnitas 11• 
y los términos independientes. Por tanto, todas las modificaciones 
se pod[an haber hecho trabajando exclusivamente con estos nú-
meros: 
(
1 5 -3 D Q 
2 -1 1 11 ..... 
4 3 -4 3, (
1 5 -3 7) (i) 
o -11 . 7 -3 -+ 
o -17 8 -25 
(
1 5 -3 ~ 
-+ . o -187 119 -51 
. o 187· -88 275 ~ 5 -3 ~ ~ o -11 7 -3 o o 31 224 
\ 
.. .-. -~--- ' . - -------;-~- - ---.. " 
B~-Glua~tii'.-', 
bllw'•--:•-~;rb1 
·~raoheflo·dÍabaii>:~~. 
Estas cajas de números se llaman rn.trtces. Los números ~es- . . 
pon~l~ntes a cada ~ -*1 11'1 las lllM de la matriz. Los • k E~1am8ir;z~adi~~.~.ein_ada~-; 
coel1C1entes de cada Incógnita, en las c:olmmiB. 111~ 1 ciorlll'. ' • , •', :. .,..,; ;"':'-·':!;> ;. " 
• Al proceeo por el cual eliminamos algunos términos se le suele 
llamar hacer ceros. Para conseguir haper ceros hasta llegar a un 
sistema escalonado manejando siempre números enteros, efectua-
mos con las filas de la matriz estas operaciones: 
- multiplic9' una fi~a por un mí~ero distinto de cero. (Ejem- l ·~~tas~ inn~'.a ~ q~·se 
plo: translormaC!ón@antenor); 111~ ' suele Hamar.•~lu: ~~un"; 
q<Je·e/ D\Je'IO ~~ S)!I ~en)e al. 
i; :an~~~ ~~. -~:-~yf. t:~·~:-·~~.:~;r..,~1?.;:. - sumar a una fila el resultado de multipficar otra por un 
número. (Ejemplo: transfo1TT1ación @ anterior). 
Estas dos transformaciones, @ y @, son básicas.. 
@ Aprovechando que el pnmer elemento es \l) 1. hacemos ceros 
con mucha lacildad en " restp de la cgl!lnna. 
@ En la matriz resultante 
(
1 5 -3 ~ o -11 7 -3 
o -17 8 -25 
deseamos hacer un cero en alguno de los cuatro lugares se-
llalados. Como no se puede conseguir multipllcando una de laa 
dos filas por un número entev, igualamos los dos coeficientes 
de la y multipHcando la segunda ecuación por 17 y la tercera 
por - 11. (Se podla haber hecho lo mismo con los coeficientes 
de z multiplicando la segunda fila por 8 y la tercera por 7.) 
• Hay ocasiones _en que el elemento de la diagonal ~rincipal que 
tomamos comp .... ~e para hacer ceros en el resto de la columna 
ya es O. En_~o..convlene cambiar esa ecuación con una de 
las &lquientes. P~jemplo . 
ll 1 
1 1t + 2y + 2z == 2} 
'l X+2Y+'Z"'3 
-11 + 3y . = 1 ...... 
' ' 
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21 
1 
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... e •' ~· ~·-..:: . /~ . 
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•• .;.; : •. ' • ... .• '"-.•• ' • ~· • • • .. ''.-. : · - -.· ".!"-".1 
; El.sistemc:ao s1tmodili.ca li cam~i~\ 
'"tl&dlii:cit lafcuacioñes: Ha' :~ 
, . ._ ·~q¡;w~·lb.8iu..~ •1111 i\it:¡\u~ ... ~ ·-;¡,,.~~ ~ ,,.. l 
,. .• ~ ' ~ffU!-.. , • •. - -- .... ..... . 
~~~- .ffl.Mde~~'::~ 
"Poo~ ~;~, efdnien de ia)~\:d9::~'. 
.''nnu. Consillle errpeimutar las coltn¡nias '" 
~.·· cie la ~-ptfl) •. tn Jal case>, ,,.., ¡¡;._. 
"dtjar.consi.iCia de ddnde queda cadib 
.~!i-:~~f ~~?.~r~v~-::~-->..~~ -~;f :~~ .t:~L 
-------. 
• ! 
•111 
_;. 
(
1222) (1 1213 - o 
-1 3 o 1 o 
2 2 2) 0 (1 2 2 2) 
@) -1 1 -+ O. 5 2 3 
5 2 3 o o -1 1 
Z = - 1 ; 5y - 2 ~ 3 -+ y = 1 ; X + 2 - 2 = 2 _. X - 2 
La transformación 0 ha consistido, simplemente, en cambiar de 
lugar dos ecuaciones. Obviamente, no hay ningún problema en 
hacerlo. · 
• Hay otras ocasiones en que, para aprovechar ce~ que ya hay, 
conviene cambiar el orden de las incógnilas. En tal caso tendremos 
que dejar constancia de dónde ha ido a parar cada una de ellas. 
Por ejemplo. 
_, X+ 2y + 5z= -1} - X+ 3y "' 4 · 
3x + y - -2 
( 1 2 5 -1) ~ 1 2 -1) (5 1 2 -1) -1 3 o 4 -+ o -1 3 4 -+ o -1 3 4 
3 1 o -2 o 3 1 -2 o o 10 10 
Z X y Z X y 
2 
y=1; x--1, Z=-S 
• Por último, digamos que puesto que en cada cambio hay un ele-
mento de la diagonal princllpal que IOmamos como b8le paraNc:er 
e.rae las que est"1 bajo~ ., su misma columna, ea muy cómodo 
que ese elemento sea 1 6 - 1. Cuando no lo es, conviene buscarlo 
o, incluso, fabricarlo. Por ejemplo: · 
• "" ., """' • • • ~ ( 2 3 8 5 
¡) 
Para~ ~ín-,la pn111era·eo1umi:i,' 
2 3 1• .,._._ 2' ~-~~l~el ~llf.\QU80CUl'f'~;· .. llll 6 -1 ---lOgar lt2f al lugar 1;,: Ptrno fnl~m-- 3 O 4 1 0 ': biamosi.scios priÍneia~filás~( ,~;;,·t~t -2 3 4 o •• •• • .• ,.. ·"!" . . ........ -. 
( 6 -1 
2 3 il 2 3 8 5 3 o 4 1 -2 3 4 o 
( 6 -1 2 3 
¡) 
2 3 a.- s JI-y 
,; ~¡~-.l pióc°eso- ·~"""~:~1-.i111 ' 3 o 4 1 --
: ~,fu dos prirneiaHohill~1•!y -2 3 4 o ® e ., "J ' 32854 o 3 4 1 7 3 -2 4 o 1 
t f t t 
.,,, y JI z 
(-1 6 2 ") 2' - 4• 3 . 2 8 5 4 4' + Jx1 " o.'~·-3 4 1 7 ~ 
3 -2 4 o 1 . @ 
T t t t 
r ., "l o 4 4 5 3 o 3 4 1 7 
o 16 10 . 9 7 
t t i . t 
y JI z . 1 y X z 
22 
•. ·:-:: 
_...... !• 
Cada una de estas 1ransformaciones da lugar a un si~'lema equivalente 
al anterior. Todas ettas pueden realizarse directamente sobre la ma1r1z- -·- -
asociada al siS:ema. Sólo la últma exige la cautela de anotar dónde conesponde a '" ecuación del tipo 
va a parar cada incógnita, y de no cambiar de lugar la última columna. o..r + o.y + o-z + o-
1 
e 
0 
SI hay alguna fila fo:mada toda ella por ceros, se suprime~. ': ·:. JI~ lo ~,JB: 1411 ,evidentemeoie rilido 
. . . ,.. ~......., : • .,...~ ... llnlde .r.y.z.' 
El s1s\ema de~~· o su matrlz_as,ociada, adopta fin ,., IP<llla nada 
1 
·~ S\IPl1lllil. 
de las formas s1g01e1tes: .. r • , 
(0000 0) 
-:: ;;-.· 
:~ .. ~·~:-: ... ~"· ·.:. ,.. :'.:::'¡~ ::./ t'.'. .. : I <{'..t:•_' ··~· .• .. " 
: 
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11 
11 
··;·; ., J .•. · ... , ...... '.: ... :.:.:._&;_~,¡_;·.:.: ,.,, ~.:._:.::.:._! ':-~<: .. :.-.:.:..:.: .. ~'. l:;~ .. ~ .• ~~;L..:.:.~~~!.. .. ~~.L ........ -..1...l.:. ... -·.·· ... ! • ..¡........ ...;. - --.. ~;., -·-· - _, .... 
t:.-::·.:i:!'_.· ... ~..:-~~~;;. - ~ · .. :,: -:--.... •·• .. • 1 l. ("ªºo ~) 
Hay tantas 1e11ac1on .. rilldu._ 
.. 11 
-O 111 p o como lnc:ógrlltq. . '. . 
r-rnmmeoenbm'~h!!tmñl!f8':-<t • .;J o o il o De forma escalonada, vamos ol>-l9lllllnclo 1111 llliar l'XllMrico pn 
11. 
111. 
i . 
o o o JI cada lncógnlla. 
El si3tema tiene 
Es, por tanto, un sistema COll ........ y d1........r¡;_ 
(•DOD O) OllOO O o o 111 o o 
y 
·Hay ~ ec:&*:lorles valldas 
quelncógl .... 
Las Incógnitas que están de más 
se pasan al segundo miembro, 
· con'lo que las demás se darán en 
función de ellas. 
El sistema e5 comp.tlble, lndetilrmlnado: llene Infinitas eolu-
clonea. 
( 
............. "·· i 
·····-······· .. . 
··· ······ ···· .. . 
000 ... 01iil 
Si aparece una ,lila de ceros, Sllvo 
11 úllimo, dlstlnlo de O, quiere decir 
que se ha negado a '\Jna ecuación 
del tipo 
Ox + Oy + OZ + - · + Ot • K,. 9 
Lo cual es una igualdad lmpod>le. 
El sistema es lncampatible: no llene soluclón. 
i EJERCICIOSRESUELTOS , . 
l. Resolver por el métcido de Gauss el sistema 
24 
Resolución 
(2 -5 3 4)· (1 -2 1 -2 1 3 .... "2 -5 5 1 7 11 5 1 
2x - 5y + 3z = 4} 
x- 2y+ za 3 
Sx + y+ 7z = 11 
1\.') . 
1 3) (1 -2 
3 4 ..... o -1 
7 11 •.. :- o 11 
1 3) ~ -2 1 -2 - o -1 
2 -4 o o 
r-.+ r-
3) 0 -2 
-2 
0 Aqul termina el método de Gauss. No obstante se puede seguir por el mismo procedimiento hasta que 
las Incógnitas queden absolutamente despejadas, tal como hacemos a continuación: 
r -2 1 3) 2"-3' r -2 1 ª) 1' - 2X2' - 3' (l o o 5) X= 5 o -1 1 -2 o -1 o o o· 1 o o y= o o o 1 -2 o o 1 -2 tx(-1) ' 0 o 1 -2 z"' -2 
- . 
..: .... ·:;.;... :·; - -~. ,. : .. :~ .. ::.: . .' ,. ·<: ~: "· ·'.·"·:"· •"•' o;·j ; . . _;~ •'.}.'t " • 
D. Resolver por el método dfl Gaus el sistema 
X - 3y + 7z = 10} 
Aesoluclén: 
(
1 -3 7 10) 
5 -1 1 8 -
1 4 -10 -11 
5x- y+ zoa 8 
x+ 4y-10z- -11 
(
1 -3 7 1~ 
o 14 -34 -42 
o 7 -17 -21 (
1 -3 7 10) .... o 7 -17 -21 
o 14 -34 -42 
(
1 -3 7 10) (1 -3 7 10) 
.... o 7 -17 -21 . .... o 7 -17 -21 
o o o o 
El sistema ~~~Uble, pero Indeterminado. Queda así: {x - 3y"" 10 - 7z 
7y • - 21+17z 
17 '.,, 
y=-3+ 1 z" 
'( . 17 ) . 2 
x=3 -3+ 7 z +10-7z=1 +-:¡z 
7 . 
La solución es 
{
x• 1+~A 
17 
y• -3+ 1 A {
x• 1+2A 
que lambién se puede poner y • - 3 + 17 A 
z• A 
111. Resolver por el método de Gauss el sistema 
{ 
x- 3y- 2z- 7 
2x- y+ 15z = 3 
X - By - 21Z = 11 
Resolución: 
(
1 -3 -2 ~ Fi. Ht.J (1 -3 -2 ~ 
2 -1 15 . 3 .... . o 5 19 -11 .... 
1 -8 -21 11 (~ ~... o -5 -19 4 f J 
:!, 
z"' 7 J. 
~ 
-3 -2 ~ o 5 19 -11 
o o o -7 
Es un sistema Incompatible, pues se ha llegado a la ecuación O·x + O-y + O·z = - 7 lo cual es 
imposible. 
IV. Discutir el siguiente sistema para los distintos valore1> de K. 
ñescluc!ón: 
x+y+Kz- 1 } 
Kx + (K - 1)>' + z = K 
x+y+z• K+1 
(
1 1 K 1 ) 
K K-1 1 K 
1 1 1 K+1 
/1 1 K 1) 'º -1 1-1<4 o \o O 1-K K 
Si K= 1, la última fila es (O O O 1 ). El sistema es lncompatl!>le. 
SI K;>i-1 
K K3 - K' - 2K + 1 
z - -- . y• K' + K . X= ------
• 1 - ~ ' ' 1 - K 
p 
-l 
25 .... , 
. ·. .: :_. - - ~ .: 
..... : 
. ~· -=.{·~~, ... ~ ~.~: .. ¡ 
• ;_:; ·~ ;¡.•, :. ~ ... _; .. . .,. ·=, .:/'::_._ ·~:, "·<_,s;t~:'.~;: .. :=~ 
(''= •. .,._ ...~· 
. ' 
•.t ·:... _:: ... . ~~.--~.-..:...;. ... ~ -.,...:.;...::..- ___ ~·~·-
1•· •• . 
. __ ....... .._,.:.:.~~~J;:.!-::.~ ~;~~-~:_ ... - ·;. __ .. _ .. -:~~-.:.....~~t:.i.t_.~:.:_,_ . - ~~ 
Por tanto, si K "" 1 el sistema es compatible, determinado, y su solución es J -) l 
X+ y+ 2z = 1} 
2x+y+ Z=2 
x+y+ X=3 
( K' - K' - 2K + 1 ' K' + K, _K_) 
1-K 1 - K 
cuya solución, única, es X e - 1 , y = 6 , Z = - 2. 
./ " ,... 
-· EJERCICIO~_~·:~¡..· · '~~-~-J .. ~:-~~:~~;~:;.·;~~·~t>~ :::·~~::.:;{§~·:!.·E.~:1.~i.::. ·)~~~:~:~;&.~~.~~¡-~; ·.:~: :0~:},;·_:.z:~·:1í~;~;i¡2D:i~:-(!~~- ·. 
) 8. Resuelve e Interpreta: 
{ 
x+ y+ z=2 
3x-2y- z;.4 
-2x+ y+2z=2 
Sol.: (1, -2, 3) 
.. · / ~e~~elv~ e' int~rp~~ta: ./ 
· ·· . · { 3x-4y+2z=1 : 
-2x-'3y+ Z=2 
. 5X- y+ Z=5 . 
Sol.: Incompatible 
20; · Resuelve.: 
{
x+y +W= 6-
x +z-w=-3 
y+z+w= 4. 
x-y+z =-2 . 
. Sol.: .(1, 2::-1·, 3¡:_ ~. ··>: : 
0 O : '~. M ·.!< .. ~ ::.\ .._, ": 
Resuelve por el método de Gauss los sistemas de ecuaciones dados en los ejercici0s siguientes: 
{
X- y+3z=-4 
x+ y+ z= 2 
X+2y- Z= 6 
Sol.: (1, 2, -1) . . 
( {
3x+4y- z- 3 
6x-6y+2z=-16 
. x- y+2z=- 6 
Sol.: (-1, 1, -2). 
~{
3x+4y-7z =-20 
3x- y+ z-2w=-16 . 
4x+ y- z+ W=-19 
x+ y- z +9w=-4 
Sol.: (-5,~ O). 
(- _, • 1 '·~11 'o) 
{ 
x+y = 3 
l . y+:-w=-~ -x +w= .3 
Sol.: Indeterminado. 
26 
{ 
x+y.:... z+4W=-3 
25_ 2x- y+4z-5w= 13 
-x+ y-4z- w=-6 
3x+4y+ z+ w= 12 
Sol.: (1, 2, 2, - 1). 
{
x-y+z+W=O 
26• x+.v-z+w=O 
x-y-z-w=2 
)(+y+z+w=O 
Sol.: (1, O, O, -1). 
{
x+y+z =6 
27. x+y +w=4 
x+y+z+w=5 
y+z+w=4 
Sol.: (1, 4, 1, -1)'.-
21. X- y+3~+ W=-5 
{ 
x+2y-3z+4w- 7 
2x+ y- z:... w= a 
5x- y = O 
Sol.: (1 . 5, O, -1). 
{ 
x+y +w= 6 
J . x +z-w=-1 
T. y+z+w= s 
lx-y +z =o ·· 
Sol.: (1, 2, 1, 3). -:: ~ •.. . .;·. 
30. x-3y+ z+2w= -2 
{ 
x-2y+z-3w = O · 
5x-3y+2z+2w~ 5 
3x-2y-4z =-1~ 
Sol.: (1, 2, 3, O). 
{ 
x-2y+3z+4w=-16 
31. 2x- y+ z- W= 9 
x- y+3z+2w>= -7 
3x- y+2z-3w= 19 
Sol.: (5, 3, -1 , -3). 
{ 
x+ y-3z+ W"' O 
32 X- y+ z+ W= 2 
' x+2y-5z- w=-3 
x-2y+3z-9w=-7 
\ 
¡; 
{
4X-3.)H'7Z-7w=; 11 
33. x+ y - ·, 
y- z - 1 
· • y+ z+ w= 1 
Sol.: (-1, 2. f, -2). 
{ 
X- y+ z+ W= 4 
x- 2y-3z-4w=-15 
34• x- y+2z+ w= 6 
2x+4y- z- w= 2 
Sol.: (~, 1, 2. 2). 
t 
x- y+3z = O 
3x-2y-5z+ 7w=-32 
35· x+2y- z+3w= 18 
x-3y+ z+2w=-26 
Sol.: (1, 10, 3, O). 
{ 
x+ y+ z+w= 13 
x-5y-2z-w=-39 
36. 2x 7 + y+3z+w= 58 
2x+3y-4z+w= . 6 . 
Sol.: (1, 6, 4, 2). 
{ 
3x+4y-5z+ w= 3 
2x-3y- z- w2 6 
37
· 3x-4y+2z+Bw= 18 
2x- y+:?z-6w= -1 
Sol.: (2, -1, º· 1). 
{ 
X+ y+2z+3W• 0 
3x+2y-3z "" 8 
38· x+4y-7z+2w>= 4 
-X- y- Z- W=-2 
Sol.: (2, 1, O, - 1). 
{ 
3x+5y+ 7z+w-34 
'•. 39 2x+3y+4z+w=20 
• <1 • -2x+3y+5z -19 
3X- y+ Z-W= 4 
Sol.: (1, 2, 3, O). 
40. x+3y+5z- w==47 
{ 
x+ y+ z =12 
2x+3y+4z+w=46 
3x+5y-7z+w= 7 
Sol.: (-2, 9, 5, 3). 
{ 
x-y-3z+ w=-12 
· 2x+y- ~2w= 1 
·.41-, x+y+ z+ w- 10 
x- y- z- w= -6 
Sol.: (2, 3, 4, 1). 
I4x+3y+2z+ w=3 42. x+2y+3z+4w=7 
l
2x-2y+ z- w=O 
x-2y+2z- w=1 
Sol.: (O, O, 1, 1). 
43
_ x+4y-5z+6w=10 
{ 
3x+6y-2z+5w=33 
x+2y+3z-3w=22 
x+4y;-5z-2w=10 
Sol.: (1 ,· 6, 3, O). 
44. x+3y+2z+w=-18 
{
-x+ y+2z+w=- 4 
x+4y+ z+2w=-20 
3x+ y+5z+7w=-32 
Sol.: (-4, -3, -2, -1). 
Aplica el método de Gauss para averiguar si los sistemas de ecuaciones de los siguientes ejercicios 
tienen o no solución. En caso afirmativo, encuéntrala. 
f?· -2x+3y+ z= 4 . - . . 
{ 
x-2y =-3 ,·· ,. ·:. 
2x+ y-5z= 4 
Sol.: (1+V., 2+A, A). 
{
X+ 3y- Z=-5 
46. 2x- y+5z= 7 
x+10y-Bz= 9 
Sol.: Incompatible. 
{
x+3y +4z=1 
47. 2x+2y =4 
2x+4y+4z-3 
Sol.: (5+4A, -1 ·-4A, 2),). 
{ 
x+y+z= 6 -
48. x-y-z=-4 
3x+y+z= 8 
Sol.: (1, 5-A. A). 
{
2x- r+ z=l 3 
49. x+ y-2z- -3 
x+4y-72z--1~ 
Sol.: Compatible del 
{ 
x- y+2z=2 
50. -x+3y+ z=3 
x+ y+5z .. 7 
Sol.: Compatible indet. 
( ~ ) 
1 ~ 'z 
{
4x-y+ Z=4 
51. x-y+4z=1 . 
2x+y-7z•3 
Sol.: Incompatible. 
{
4x- y+Sz=-25 
s~ 7x+5y- z= 17 
3x- y+ z=-21 
Sol.: (-4, 9, O). 
{
-x+2y- 3z=-2 
~ -x+8y-27z= O 
Ü X- y- Z= 1 
Sol.: Incompatible. 
{
2x-y+3z=3 
54. X + z=1 
4x- y+5z=5 
Sol.: (1 - A, A-1, A). 
{
2x- y+z=3 
55. x-2y-z=3 
4x-5y-z=9 
Sol.: (1-A, -1-A, A). 
f 2x-5y+3z=O 
50. _ l-;;~ ~- z:~ 
Sol.: (O, O, O). 
!'-_... •,-;·::.:; .... ~ .. • .. l ..... ...... : •.~ . · . :; •H •>• .. ~·~·,; ~=~:~:· ;:··. ·;: . ". ; ;~ .. ·~;:·.: ... ;.~·~.r ... ;:~· . ··~:-:-: ;·;::?.:_·.·-· · _¡-.:-:.~:- ~'\./; 
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\OtúS J!:, 
...., .. ._. -··-·~ •.. !' ~; 
==iJERCICIOs:tJl:UfMA 
· 1 
~ Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de Gauss: 
{ 2'+5y-4z+3-12 { x- 1y- z+2w•-17 { x+y+2'-4- 7 
x+ y+ z+ w= 6 
; 2x+ Sy+ z+ w= 10 e) y+ z+3w=-17 
a) sx- y+Sz- w= 6 )ir Sx+11y+3z+2w= 23 ; 2x-y+ z ,._ 3 
4x+3y-2z- w= 2 4x+ 3y+ z+ 2w= 5 3x+y+2z+Sw=-31 
2x+ 3y+ z+ w• 6 
Sol.: (1. 1. 1, 3). Sol.: (O, 2, 1, -1). Sol.: (-1, -2, -3, -4). 
§] Resuelve por el método de Gauss: , -
{ x+Sy+2'-2--1Q {2x+Sy • 16 { x- y+z~•. Q, 
a) x-2y- z ,._ 7 ; b) x+3y- 2z=- 2 ; ¡;1 2x- y-Z= 5 
x-7y+ z • - 15 X + z= 4 x-:-2y+=-3 
W • 10 
Sol.: (-2, 2, 1, 10). Sol.: (-2, 4, 6). Sol.: (1, -1, -2). 
~ Discute y resuelve: 
{ x+2y+z= 9 { 3x+2y+S.- -~ 49 
{3x+2y+ z=1 a) x- y-z,..-10 2x- y- z+ w= 2 I x+ y-3z- 2w=-11 ; e) 5x+3y+3z,.2 2x- y+z= 5 · x:r y- z=1 
w= O 
Sol.: (-1, 1, 8). Sol.: (5, 2, 6, O). Sol.: Incompatible. 
~ Discute y resuelve: 
~ 
{ X +z,. 4 { x- y+2z-- 4 { x+ 2y+ za 3 
a) - x+2y+z= 6 ; b) Sx- 5y+8z= -14 ; / 3x+8y-7z=-1 
y+z~ -3 x+3y-2z.. O x+3y-4z=-3 
Sol.: Incompatible. Sol.: (1, -3, -4). Sol.: ln~ompatlble. 
1' "!' 
Determina, aplicando el método de Gauss, para qué valor o valores del parámetro a cada üno de los 
siguientes sistemas de ecuaciones· es: 
A - Compatible determinado. B - Compatible indeterminado. C - Incompatible. 
r x+ y-z=2 Sol.: a= 3-+B 3x- y+ z= 9 Sol.: a=0---.8 a·ic+3y-2z"'9 
"_4_:~_t ·. ·: • .e, .:: ·_....__:..._ ... "-=-...:...-- : .................. ~.'""-··-- -- ......., __ ....... _. ,_, _, --- - ~----· ··-· · .. - -. - - .. ~ 
! 
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~~ues:r~env1o~o==========~~~====~ 
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~ 
5¡ 
- .._-o.,....o._v. º' ,.._ ""'>v<. .neo--> ,._ ~ <¡"le.., m~ • ..t.. - :i.'1 L:~:YP~~ ~-
Dar respuestas razonadas. claras y concisas a las siguientes preguntas:a) Un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnilas, ¿puede ser Incompatible? Razónalo. 
b) Un sistema de dos ecuaciones con tres Incógnitas, ¿puede ser compatible determinado? ¿Pue-
de ser incompatible? SI alguna respuesta e11 negativa, razonarlo; si es afirmativa, mostrar un 
ejemplo. .'• ,, 
· ·1· 
e) Un sistema de dos ecuaciones con cualro Incógnitas. ¿Puede ser lncompalible? En caso 
afirmativo, mostrar un ejemplo. ' ' 
~ d) Un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas, ¿puede ser compatible y deter-
minado? En caso af1m1ativo, poner un ejemplo. - ·· 
r.:;J . { X +-y+ Z - a t ~ t [~ 
~ Siendo a y b númerós dados, di cuándo será compatible el sistema ··_ . _ ,. --x-y-z-v 
SI lo es, ¿será determinado? Razonarlo. ' · - _ _t . - .; b . 
u.. . Q -t~.- __.__+ l ) 
·. ¡.,:w1..;,t>< ª .. b º [21 Dádo el sistema: 
{
3x - 2y + z = 5 
2x - 3y + z - 4 
· ~ 
a) Ailadlr una ecuación lineal de modo que el sistema resultante sea incompatible. 
b) Añadir una ecuación lineal al sistema dado de moda que el sistema resultante sea compatible 
e indeterminado. Resoll/er el sistema así lonnado. -
Estudiar la naturaleza del siguiente sislema de ecuaciones según los valores de a y resolverlo 
cuando tenga solución: 
{
3x-2y+ z=3 
2x+ y- z=1 
4x-5y+ 3z=a 
~ Estudiar en función de los valores del parámetro a la compatibilidad del siguiente sistema en R. 
Obtener, si es posible, una solución con z "' a .. 
{ 
x+ y +21=3 
3x- y+ z- 1=1 
5x-3y+2z-4t=a 
2x+ y+ z+ t=2 % Discutir según los valores del parámetro k y resolver en los casos que proceda, el sistema: 
{ 
x- 3y+5z=2 
2x- 4y+2z=1 
5x-11y+9z=k 
~ Esh.J41a~ y resolver el sistema según los valores de t 
~~a. . -., 
.;u t. .C~ 
{
lll'+2z=6 
3x-t- y=O 
2x+ tz=6 
;u~:~a2:cl.u::n} o soluciones en losie:::y~ y:~ ·~}-.'-· ' 
ax+ y+ z= 1 aP"3 -+A 4x+ y+ a·z• 13 a..: o -+A 
~ x- 3y+ 2z=-o}' ~ 2x-y+3z=2} 
~ x+ y ;;1} 
Sol.::~ : :z;3 \~'e(>..~. l\ ~ Resolver el sistema en función de a y luego hallar el valor de a para que x + y = 1 : ' ª · .l Jrtl'f'tJ ' !J ' ( :.\ • 
{
xcosa + y sena= 1 
xsena -ycosa= 1 5 
a ;o'-'2-A 
2x- y+ z=O Sol.: a=4 --.a 
-3x+a·y- 3z•O 8=4 -A 
sx-y+az=6 Sol.: a• B-B 
x+y+2z,.2 a .,.8 - A 
' 
28 
"•'-·' " .. '• ... . ,•·; 
~ ... . -~·:-~·~ ·· .. ~~·: .. 
-,· ·- ....... ·• . - .~ ,,,. .. 
; * ~ '· Jl:.4 '•,.)\':.• .: ~-· .-
l ;:ZCcoi>lEoé'1:ll t ;'&=<'<GI! 1 M ' ----- -
~ ~ ~ ~ OIKICf..J< 
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"'~"'-11!;;._~tl, . .1~w. . ... ... 
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30 
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- • -- .,,. ·:...,_·_~ : ~-:;,·;~~: ·s'.l<CJ§]L~i:.L.;_:;.;-.S; ~;_, .. _:~i.-"'-A.:·::t:-L~ o· ~ :--~;::t-t_;¡;~ " .t:n·: ~\.::,--\) ~·eo1...:.-.:..J···'~-· .. :t.:.. .. ~...;L .. :..::. .. _'"'-"··~ 
~. ;. . : . 
·--
~ - · MATRICES 
\ 
Cuando uno trabaja ordenadamente con sistemas de ecuaciones 
lineales, pronto se percata de que está escribiendo muchas veces 
los mismos simbo/os superfluamente. 
/ 
Del sistema 
(
3x+4y-5z= 7 
ax+ +6z=-3 
2x+3y+5z= 8 
la Información esencial queda perfectamente expresada asl 
3 4 -5 1 7 
8 o 6 -3 
2 3 5 8 
con el consiguiente ahorro de esfuerzo. Asf es como se introdujo en 
matemáticas la noción de malTiz como una tabla de números. Una vez 
más se pone de manifiesto la potencia y eficacia de la simbolización 
bien escogida 
Las matrices se pueden sumar, multiplicar por un número, multi-
plicar entre sí bajo ciertas condiciones y vienen ·a resultar como 
una ampliación de la noción de número, que está llena de sentido 
y se presta a un gran número de aplicaciones muy Interesante, 
como verás al comienzo de este tema 
Nuestra cultura está llena de matrices de números. El horario de los 
trenes que ves en cada una de nuestras estaeiones es una matriz de 
. . doble entrada, la ~la de cotizaclones·de la ·ao1sa en cada uno de los 
'días de ia semana es otra,. .• En matemáticas, las matrices que apa-
recen tienen en general una estTtJcWra mur rica por tener un sentido 
muy preciso y muy Informativo la suma de dos de ellas, su producto 
y otras muchas operacionés que con enas se pueden nevar a cabo. 
ésto ha conducido a un gran desarrollo, originado a fines del siglo 
pasado, del álgebra lineal que ha tenido una intensa repercusión 
en campos tales como las ecuaciones diferencia/es, el análisis fun-
cional, la _optiinízación, ... y, consiguientemente, en muchos aspec-
tos de la eeonomfa y de la física actuales. 
Cuando las matrices sen de pequeffo tamaño, ccmo las que en este 
tema se presentan, su· manejo se puede '6allzar con lápiz y papel de 
modo ~nci/lo. Pero no es infrecuente, en las aplica.ciones prácticas, 
encontran;e con matrices de m17es de filas y columnas. FJ ordenador, 
que es al lápiz y papel de la nueva matemática de la segunda mitad 
del siglo XX, puede tratar tales matrices, y los sistemas de ecuaciones 
asociados, en fracciones de segundo, haciendo posible en nuestro 
tJempo lo que era un suello hace cincuenta affos. 
! 
i 
.1 
1 
) 
~ 
: 
• Matricas. Nomenclatu~ -. " ,. ~· • • <: ~ ·~ · . . ... . ~ ..: 
Las siguientes tablas numéricas son matrices: 
(: 
3 7/4 
1 I 2 
413 V2. 
5 3 . -1 4 
) (
4) ( . . l 
-: ' (1 3 7 11 -5). : • ~ ~ :4 
Observa que sor. caías rectangulares formadas por ftlu y colun1r1•. 
La primera es una matriz de 3 filas y 4 columnas. Su dla1•iel6n es 
3 X 4. 
La segunda es una matriz de dimensión 1 x 5 (1 fila, 5 ci>lumnas). 
A este tipo de matrices se las llamas vectores fila. Esta es un vector 
fila de dimensión 5. 
La tercera es un vector columne de dimensión 4 (matriz de dimensión 
4 X 1). 
La cuarta es una matriz de dimensión 3 x 3. También se le llama 
matriz cuadnlda de orden 3. 
Para un estudio general, a las matrices se las suele designar asi: 
(
a,, a,. a,. . .. a,.) 
a., 8 21 Bu •.. a,. 
~~· ..... ~.~-·-··~-~- :·: .. ~.~ 
a,. 1 a.. a,.. 3 ••• a,,.. 
Observa que los ténninos de la matriz tienen dos subfndices: el primero 
indica la fila, el segundo la columna As!, et término a.. es el que está 
en la 3' fila. T columna Para simplificar, se puede poner 
(a,,) ,_,·- "' J• 1,._ n ' o bien A,. .• :: (a,1) 
y cuando no hay duda del número de filas y de columnas se pone, 
simplemente, (a,1). 
Definiciones 
• Dos matrices son igu•le•. cuando coinciden término a término. 
• Se llama traspuesta de una :'Tlatriz A , y se designa por A', a la 
matriz que se obtiene al cambiar en A las filas por las columnu y 
las columnas por las lilas: 
A,. .• "' (a,,) A: .• - (a,,). 
Por ejemplo: 
¡) (" A =(~ 1 ~ -~ 1 1 4 4 A ~ O 2 o 5 8 7 -1 
,, Estas cajas de l1Úlll8IOS tienen 1111 enorme 
· interés. teórico y plácb ;. ,.. ' ' 
¡: E'siudlémosfas co~· ~~ncióli ·• ··J.·~-. 
lÍéilÑ-Ch> 
1,p1'~ "'-. 
i ~ ~'L)1 re\uo:-I ' "- (;. 
'-. l .. 
~~~ ) cl,,-e1'i1V' 
t1AT'V.ll ().J~~ ÓL a~C\ 
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ªn 
t'«>~ rln 
3:· 
31 
:·~.~·.-- .... ~. ·.·•.·:·· ..... ;. :·-:·•. ··:.~: _. ~- .. ·· : '";!·:" ..... _ • • _. : :t .. ~·~:t; ~;;¡~ ... ·t.--~-•.:.'· 
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~·~;) .. 
··-t::;~~ 
i ·· . ,..__.,. .. ... -. ., ··- - .. -·w.:::.... ·~ ... ~-7~~-.s.: .1:---:.,,::..1.--- ----------···---
~lgmW~ ~j~~e;-¡ :i:J il~S 
l. El consumo en kg de pan, carne y mantequilla de una lamina, 
durante 1980, 1981, 1982 y 1983 se pueda dlsponer as!: 
80 
81 
82 
83 
Pan 
430 
390 
410 
360 
Carne 
157 
182 
169 
180 
Mantequilla 
8 
8 
10 
9 
11. Una chica contabiliza las horas semanales que dedica a •clases•, 
•estudio y lectura•, •televisión•, •sal/das,' amigos, excursio-
nes ... •, día a dla del siguiente modo: 
Cl Est. T.V. Am. 
L 6 2 1 2 
M 5 3 2 1 
X f; 1 o 2 
J ~ 1 2 1 
V s 4 o 4 
s 1 2 3 6 o o 2 4 8 
En &Sloslnls ejemp~se utilizan les ma· 
lricu p1111 describiresl,-ucturadamenta 
masas de núm= En !odas ellos sa-
bemo1 perlectamen~ lo que sigoinca 
cada nolmeto. También sabemos encon-
lrar 1ác1lmente el numero que necesita· 
mas. 
Estos ejemplos, rruy l119enuos. le per· 
rruten imaginar aplicaciones mucho más 
importantes: en el pñmero supón el coo-
sumo, no de una familia, sino de lodo U1l 
pals. En lugar de tres artlculos pueden 
ser muchos cientos. Y se pueden rener 
datos de lo ·consumido. mes a mes, du-
rante muchos altos. Imagina la inmensa 
matriz a que da Jugar esta masa de datos. 
m. En un pals, A, hay 3 aeropuertos internacionales: A,. A., A,. 
En al país B hay cuatro: 8 1, B., B,. B,. Una persona qua 
quiera ir el lunes de A a B dispone de !?s siguientes vuelos: 
Pero, COIOO wremiis en el próximo apar-
tado, las marrices sirven no sólo para ar· 
chivat estructuradamente muchos dalos, 
soro también para operar con ellos de 
forma notablemente c:Qmoda. 
A 8 
\ 
... ;; : 
B, B, B, 
o 2 o 
1 1 1 
o o 1 
·:eaERCICIOS.~~-:~: .. :;.::··-~.:-~~-~-:~·i"S:1-;;¡~'?¿¡1..J;.·;:~Y.~·~::t._1~ \"r.';':~~ ~ ' ~ ·.-~ .- ·~~-~ · ··~ .,.:·- . . , , .. 
32 
• • '1 .• .. . :: ... • :. -· -~-. ·: ~- • ·: .-'; 
1. Escriba las matrices traspuestas de: 
~ 1)' ~ \·, ... . .. (2 5 7) .-
a) A = \; ! ; • b) B "" 4 . 1 0. C: 
2. Encuentra las traspuestas de: 
(1 3 5 -1) ( o -1 6) X= O 2 4 1 ; y = -2 -4 2 6 , o 3 5 1 -1 
3. Con las matrices de los ejercicios anteriores 
comprueba que: 
. .. 
(A')'-A . 
(X')'~ X 
(8')' = B 
(r')' - y 
'"-~;· : .. 
l· -:"*:· , · ·~··':'. ;·~·~-;¡ ; ... r:;1'.- _.:--~.!~''>'\:"·1- ··: ·* '- ·.":".('~ ~~~¡~~-~ 
4~ . Escriba una .matriz que refleje la sltuac!6n: _., .. 
. . ~ ' - . ··; · .. - - . o - .· o 
. ----- , ... -~ -------.:__._ .., 
'~~~ 
o-~o 
LJ-~ 
lflJ Operaciones con matrices 
''i-~. 1 
Siiia 
Para que dos matrices puedan sumarse as necesario que tengan la 
misma dimensión. En tal caso se suman término a término: 
(a ,1) + (b,,) • (a,1 + b,1) 
Por ejemplo: 
( 
2 3 5 1) 
7 2 4 3 
- 1 5 o 8 (
4 -1 
+ o o 
5 3 
2 -5) (6 
3 -1 = 7 
7 4 4 
2 7-4) 
2 7 2 
8 7 12 
(..c;UAt>r.:\ . ~-. 'Z mal.v..c- d ¿i; ... ~\~ \1'IO.. ,,.o¡,~ ' 
l 
l 
~j© 
i 
Para multiplicar un número por una matriz se multiplica por él cada 
término de la matriz. 
K · (a ,1) .. (K a,1) 
Por ejemplo: 
( 
2 3 5 ,) ( 10 15 25 5) 
5 7 2 4 3 ~ 35 10 20 15 
-1 5 o 8 -5 25 o 40 
-~(6 1 -5) 
3 2 4 3 
-2 ---
( 
1 5) 
= - ~ - ; ~1 
· E'JERCICIClí,.:.:iI' • ~ · • ;·. -:-:._,. •••. :,...· ,;,~··"" -".: .;'···n >- "·-'''t 
·5: -.·: Sie~do-· : .//~~:~ . '.~~~· ... ·:"' < . ~ :·t:· ·; ... ···-
'A~(! · ~ · :;) .. r-1 º 1) B = - 4 1 3 ' 
la matrices puden sumarse, ser mutli· 
plicadas po< un nümero y mulbplica1n 
entre si. Cada una de estas operaciones 
tieoe Sll$ peculiatidades y su 1ruerPfll-
tacicln. 
En el • ejamplo 1 anteriot, el consumo 
de Yarias lamollas relativo a los mismos 
produaos doolnte los mismos atlas se 
puede sumar malne1almento y obterwr, 
así. la matnz de consumo de una bania· 
da. 
En el ejemplo 11, la chica poede sumar 
su dedicación semaoal dutante las diez 
semanas t.ctlvas de un lrimeslfe. 
Si el ejemplo 1 anterior se tralate, ro 
de una fam1lla concreta sino de una la· 
tn1fl1 standatd, multlplicendo ta ma~il 
por el nümero de lamillas de •.ina provin-
cia, se obtendría la mauiz de consumo 
provincial 
En el ejemplo 11. la chica puede su-
poner que kXlas las semanas serán apie>-
x1madatnente igual y o~ner la maltiz de 
dedicación trimesllal multiplicando por 
12 ta semanal. 
(7 1 -1) (-3 1 5) 
C= 8 -10 O ' D • . 6 2; 0·4) ( .~o ~J ~{l 
E= 2A - 3B + e - w E ~ \~ z. -6 - \:_1"1. ~ qj \ ~ 
E= l'1a - 1 -1a) -= ( 1e, -~ -1'\ \ / 
• 
~ 
calcula 
, . 
-10 
-1) (-<> ¿ ~) 
o - ~1 ~e 
Sol.: 
16 -15 -23 \ l(o •\':) -"lb J 
1 . . .. ,,~ 
·"L 33 
1 
' 
i 
i . l 
1 
1 
:-·.·· ,. -· - ~~-
.._:: .('::; ~~. 
. ·. 
·;: ~i- •¡ . ~ 
,1- ·~ • -·. ' · ,· ·: .. 
.'. ::~~. ~~;;.·~: -
'•' ~ 
:... . . :~:~;~;, . .... ~i~ .:;_: ,;,,~ ' : 
· . .. 
_/. ;:~-: ........ ' ... . 
o\ • • ?,. ' !_. 
.. ... 
11 ,, 
1 
! 
:: 
.. 
l 
· .. t ... 
·_···:~ ,·.>~ _·;~ 
... _._ ... ~ ._:..: ... ~;..__; _~:;_.:i:J_;._:;·:r i .. ::...l..:.:. .. ; .. ~ ·- ·:..:..~-= .. -..::.. ?:.:.::~:.::~~-·~ .... ~~_...:..,;... 
w, 
"'· ...: ~ -- ~· :.;...! .. 1'~~..:.~.;.-~ ... ,:· • •• • :. . ... x: ......... . ·'•~· .•.. ::.:.... ..... __ ..... ~ ... ~--
. lo . mismO q~ -cÓn los "ñúme"" p1;¡ 
• rruhlplli:ar dos matrices escrlbfremos. 
p~·,-· ~ .. , .. 'f. \ •) 
-. ,,( x. 8 1 A • 8 o rímplemente AS;· . . • 
Produdo de dos matrm ·-~ . 
.;· 
Así como la suma de matrices y et producto por un número se "definen 
de fonna muy sencilla, el producto de matrices es complicado. Por eso 
1111111 empecemos multiplicando dos matrices muy especiales. 
8 producto de un vector fila por un vector columna, ambos de la misma 
dimensión, es un número que se obtiene multiplicándolos término a 
:. ,::::-;¿:;>: .. :,:'-~,-(·,~i·· '. ~·~: ;-~·;_ •ténnino y sumando(~~) ~os: 
: · ~· .. ·.(2 3 s . 1~ o - ...... b 
.:-.:·'.: ·;.>·:·:,:.·, · '. 4 ·' • .. ::.: 1'1111 (a, a, a, ... a.) ~: •a, b, +a, b, ..._a, b, + ... + ª• b. 
. ·;_2· }:.~· 7,t~·pJ, 1 · 4.:- _.'; b 
.·x">;.;i+21 +o~(-21 : ·" • 
1 .. 
Dicho d9 otra lonnl: la prlmn ~ ian. 
tu cokrnna como filas tiene 1a "'lllllt da. • .. . -
.. 
Dos matrices cualesquiera no se pueden multiplicar salvo que el nú-
mero de columnas de la'prtmera sea Igual al número de mas de la 
segunda. Para mullipficar dos matrices así multiplicaremos cada uno 
de los vectores fila de la primera por cada uno de los vectores columna 
de la segunda. VeAmoslo con un ejemplo: 
( 
2 3 5 1) 
7 2 4 3 
-1 5 o 8 U-ll 
( 
2. 1 + 3 . 7 + 5. o+ 1 . 4 2. 1 + 3 . 2 + 5. (-5) + 1 . ~ 
- 7 . 1 + 2. 7 + 4 • o + 3 . 4 7 . 1 + 2 . 2 + 4 • (-5) + 3 • o -
-1 . 1 + 5. 7 +o . o+ 8. 4 -1 . 1 + 5 . 2 +o . (-5) + 8. o 
~
7· -1~ 
- 33 "'.' 9 
68 9 
Observa que: 
..;1111- Los vectores flla de la primera son de le. misma dimensión que kii 
vector~s columna de I~ ;¡egunda · 
1 . 1 - El producto es una matriz con tantas fllas como la primera .y tantas 
A, , x B,_, • e;,, ' ... 1111 columnas como la segunda. .. 
- B elemento e" de ta" matriz pn)ÍIÜc:to ae obliéne multiplicando ta' 
primera fila de A por la primera columna de B. 
1 (RJii) X (Col...naJ1 • EJemenlo ij 1-'fnlll 
34 
Análogamente, e,, se obtiene multiplicando la tercera fila de A 
por la segunda columna de 8. 
~:~-
Oefinlclón: 
Para multlpficar dos matrices A .... · B ~. es necesario que el número 
de colllmnas de A coincida con el número de filas de B. El producto 
es otra matriz C...,. cuyos elementos se obtienen del siguiente modo: . . 
c,1 = a,. b , 1 -+ a,. b,, + ... +a,. b .1 =}; ª•• b.1 ... 
1 
· 1 
., 
.1 
EJElllPLOS ; - -- "",7, 
• Los consumos anuales de cuatro lamlllas a, {J, y y c5, en pan, carne y mantequilla vienen dados en la 
matriz A. Los precios de esos mismos productos en los anos 1980, 1981, 1982,.1983 y 1984 vienen dados 
en la matrii B. La matriz A · B nos da el 9asto total (en esos productos) de cada familia en cada año: 
Consumos Precios 
pan ..,,,. mant. 80 81 82 83 IW . 
I a 
(~º 157 n pan ( 81 87 95 100 105) .A ... p 545 210 ' 8,_. carne 770 700 750 800 1: - 120 80 . mant. 840 910 800 1 000 860 110 l 
80 81 ~ 83 IW 
Gastos a {'62+w ) 206 685 
. .. 
C._.-A._.·8._.: 
p 
y 73840 
6 154 360 
Completa la matriz A · B. Razona que la matriz producto nos da el gasto de cada familia en cada año. 
• Mediante los grafos que ves a la derecha se dan los 
vuelos del país A al pals B y los del país a al 
país C , especificando los aeropuertos de salida y 
de negada Estas posibílidades se describen me-
diante las matrices M y N . 
Veamos que el número de combinaciones que hay 
sallando de cada aeropuerto de A y Regando a cada 
uno de C , haciendo escala en un aeropuerto de · 
B , se obtiene mediante el producto M · N . 
Por ejemplo, para ir de A, a C, se puede hacer 
pasando por 8, de 1 x 3 = 3 formas distintas; 
pasando por B., O (no hay vuelo de A, a BJ;pasando por B,, de 2 X 1 = 2 fonnas distintas; y 
pasando por B .. de o formas; total:. 3. _:t- 2 =.. 5. .. . .. . .- . .''.. :: . 
Observa que loºque se ha0 hechO ha sido multiplicar 
.,. la primera fila de M por la primera columna de N . 
·~::~ 
.A,~2 ---1--/ e, 
' o - B, 7 
B, "' 
A 
.. (1 o 2 
. . .f·t-.: o 1 1 
o o o n (l ~) 
B C 
. ' 
e, e, 
B, B, 8~ 8, .,_. 
"'(' 2) A. e º 2 ºr 81 :. 1 0 M A, O 1 i 1 N 8, 1 O 
A, O O O 1 
. 8, o 2 
1 ·3} o. 1 
2·1 3+0+2 + 0=5 
O· O 
i:• 
ºf ·• , . 
= (~ .~ o .;; • 1 '• I ~ J:: • ~ ·, 
8 O de la matriz producto, por ejemplo, significa que no se puede ir da A, a C, ~ ningún camintl . 
··- -·· ·- - . ---~"--""ll 
:;,¡ 
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~ 
36 
-~~--.. -~~ __ :,~~r~=-~~ . ~~tfu12jii:~¿~.!i._~:;:i ~~:_.::i:.::~~·:·;-~·=;"i.:? ----·~-~·,;~~t~~:2~. .,;!'.' -.t-·• •. ~=~::-';:·.:._·e·:·;:_ ·:.:::~=: .. -~..t---~- .i-.._~·-~-~ :· . "--~ .. -..,,,., . 
.,.,.~~ 
=-
2 1 
3· 
1 e 
' . 
4 ( 
· 2 ' 
D 2 . a. n 
Ella valora cada hora dedicada a las distin-
tas tareas del siguiente modo: 
Clase ..... 2 puntos 
Estudio """'. 3 puntos 
T.V. ..... 1 punto 
Amigos ..... 4 puntos 
Total: 10 puntos 
Su Ua Filomena hace una valoración distinta: 
Clase -+ 4 puntos 
Estudio ..... 4 puntos 
T.V. -+ O puntos 
Amigos ..... 2 puntos 
Total: 10 puntos 
He aquf la matñz correspondiente a las dos 
valoraciones: · 
a. . (2 4) Est 3 4 
T.V. 1 0 
Am. 4 2 
.· . . . ,:-. ; ;~· ··~ 
· ·Jf.j) Siendo A l!l matriz del ejerciciO ant~ñor, 
~ calcula · · · · ·• 
a) A• ; b) A 4 ; c) A". 
Sol. (de a como ~Jemplo): O 1 O 
(
1 o º) 
/ 6 Q 1 
' 12. Intenta conseguir una rr:atñz I de tres filas 
y tres columnas que multlpllcada por cual-
,,_q~iera otra A la deje Igual. Es decir, tal que 
A - 1-l · A•A 
cualquiera que sea la matñz A._,. Corn· 
pruébalo. 
13. · Si has. resuelto el ejercicio anteñor sabrás 
generalizarlo para matrices cuadradas 
n x n. Hazlo. 
Estas matrices 1 se llaman matrices unidad. 
6 (¡ : ... 
r 
-- - ·- ·---· -- ----------- -· 
.\ •• e·· .. •"' .. 
IJI Algebra de matrices 
• 
- t ---: ,,.. ... Jl-··.li. 
Propiedades de la suma de matriC2S 
Las malrices de dimensión m x n pueden sumarse y el resultado ~ 
otra matriz ¡n x n. Además la suma cumple las siguientes propiedades: 
Of2.()¿N 
1. Aaociatlva: (A+ 8) + C"' A+ (8 + C). 
2. Conmutativa: A + B = B + A 
3. La matriz o .... cuyos elementos son todos o hace de matriz nula; ·· 
pues sumada a cualquier otra la deja igual: 
A+o-o+A•A 
4. Toda matriz tiene una opues1a.. La opuesta de A~.• .. (a,1) '' " 
es (-a,), pues (S.,) + (-a,) • o;-~ >-~ o ~:-' 
l.As operaciones que acabamos d~ es-
ludiar tienen unas propiedades que les 
confieren una as1rucru11 Interesante. 
Veámoslas. 
útas cualm propiedadaa u resumM di-
ciendo que el conjunto de malricas di 
dimensión m x n (A.I .... ) bllnllll 8IUpO 
abelilllO respecto a la Sl.l'/lf. 
Estas cual/O piopledadn. junto con lu 
an•eri01es. se .-men diciendo de M ~ 
es un 1spacio vectorial respectO a la 
suma y al pmduao por nümeros. . vf'U~ r!.c. ...o /"f'>':'I l lil,.. 
l).u.U... '---~~~~~~~~~ 
Propiedades del produdo de números por matric3s 
. . (1 :\ (-1 5 o 3) (!) 
1. a · (b · A)=(a·b) · A. ~ t\,..f\o.-1°~'] 1111 .. · A• ~ !J'B• ·104e'C• 2 
2. (a + b) . A ~ a . A + b . A . 1 
3. a · (A+B) .. a · A+a·S. a.~b , ~· 
4. 1 ·A= A. 
Propiedades del producto de matricas ¡.¡ . P.>') e cle\:t?n ':JU" ' COI" r<::Jl 
1. Asociativa: (A .... X 8...) XC,..= 1'.,.. X (8..., XC,..). 
2. La multiplicación ~o e~ conmutativa. A · B * ?-> R · 
La propiedad asociativa nos permite prescindir de paréntesis cuando 
multipliquemos matrices. Y la carencia de la propiedad conmutativa 
obliga a indicar el orden en que han de ser mulllplicadas dos matñces. 
Por tanto. utilizaremos expresiones del siguiente tipo: "el resultado lo 
multiplicaremos, por la izquierda, por la matriz A •. 
~ 1 ('/') J>a. ~rcl. 
(
1 o ~ p-w.'IC.pó.SL • . 
3. La matriz 1, = O 1 º. tiene la siguiente peculiaridad: 
o o 1 
cualquiera que sea A • ., se veñfica qLe A._. x r. =A •.• ; 
y cualquiera que sea s,.. se veñfica que 1, x 8,.. = B, _, . 
La afirmación es válida para cualquier I.. Éstas se llaman ma-
trices unidad. 
~ad distrib fu¡a 
s..m . ·"-:f y, . \ 
A X (B + C) - A X~ ;t ~\x.c.v 
(B + e) X D = B X D + e X D. 
Comprueba ~· 
(AXB)X C•AX(8Xl'). 
Paia convencerte de que el producto de 
- 'Slrlces no es conmu1ali110: 
•Si A-G ~Y s-(-1 so3) 
\~~} , 1046 
A x B puede efedua1>e. B X A no . 
• SI A • (~ ~ ~ B • (~ ~ -:) 
A x B y B x A pueden efec1ua:se 
pero son de dimensiones dile<en;as. 
(1 2 ~ ('5 1 ~ Si A • O - 1 1 y B • O 1 4 410 -400 
A X B y B x A son ambas matrices 
3 x 3, pero san distintas. 
(
1 00 ... 0) o 1 o ... o 
l..f mai . o o 1 ... o 
- N- : . : : . . . . 
... o o o -· 1 
) "' ... . \l.t ~ ••• i 
u i. r!Wtiz unidad 9 ese 61gebra. 
37 ·---- - --------·--- -·--
'..'::..:. -: ... .. -;· 
-~ .~ , .. .J 
. :.:_ ... - -.~: ~~c.:;~~ · 
.. '·' 
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- o ,• . . ' . ~ . 
\ ~g "' 61 . ::::. ·-·· ·.: -· .... :. _~~L::_~:~,~:L:J::.:~ c;.;;:l~""~~"~f/~~~ ·.-~···~s:te~ ~~ ~. ("O oc.L~ '""~ \..;; 
~-....., -
~l'Ncí:.d-.el? . e.o - ....... ..:..:!·-
\ 
wi~1~~g~t~~t~~~t~ 
.! 
'}<'"~ 
Las matrices cuadradas de un cierto orden, M •. , , además de sumarse !' ·. 
y multiplicarse por números. pueden multiplicarse entre sí y se cumplen •·• 
todas las propiedades que hemos visto hasta ahora. Todo ello se 
resume diciendo que M ~·, con las operaciones suma, producto y 
producto por números es un 6lgebra. 
Pero aún nos queda un detalle: 
tal que 
Nos preguntamos por la existencia de 
matriz invem de otra. 
Dada una matriz cuadrada A de orden n, ¿ex~tirá otra, K', 
·\lllli: A X A-' = K' X A = !? 
Por ejemplo: 
~ 
SI A = 1 O -3 
Copiprueba que la matriz (~ ~) no tiene 
lll'lérsa viendo que 
(-1 1 1) 2 -5 3 (
-15 ·-a -3\ 
la matriz A_, = - 9 -5 -21 cumple que 
- 5 -3 -1/ 
./ 
A X A _, = A_, X A = / (compruébalo). 
(~ ~) . (: :) -(~ ~) 
A • ::\" ; '1. • 
d• lugar a un sistema de ecuaciones in-
compatible. 
La pregunta que 'los hacemos es !11 podemos garantizar la existencia 
· ;i'.llll· de A·•, cualquiera que sea la matriz A. La respuesta es que no. Sin 
embargo, sí se puede conseguir, en mucho9 casos y, como veremos 
en el próximo apartado, es muy interesante conseguirlo. • · 
~FJEJicJC ~·~ -~,. :\ ~6 ';~;?~~~ft;:~¡~-~kl\~~~®"~~~~~~~~~t-ft.:~;.~;.~: ·: ~.~,;:}:s~~~·:,,!.~ 
,·. , • · • ._ •.• .... \ :~ :· -~:\._ .. ·~ • "' • ·' ; · •• • ~-~· . •• • •• , .. -. ?- p .P." ""l ;.. ~- '"'-~.::~ -..... .,,.. ~.-::.; •:- :'!' .. : .. ~-n.':'.fr~1. ... ""N"P. ;-:~.nc;. ~;.1:"::-.i 
i,, ~'¡fi;ft"rrrr:¿~ : ·0)~~~=¡¿~,;,~~~~:;¡ 
... ,, .. ·:~'±.l[?~; :~~~~·~{\~1~:~iit~Wrf ~~~1~~f 1·· 
A""(1 º). B=·(--:1 '_ 5) ·c-=(4 º) : :. ·._-.· . : ... [~i~5·) ';. ~,:_<./'";.~· 7~;:·.~~~-)·:.:.~·;. 
.. 2 7 '. · .. 4 -:-1 ' . 1 1 _ · .; ·. Sol.; x: .'."'. \. 5 .·16 : ; /. ::'.. ~< 2-..:10 · . .'; 
¡t_ ) ~:~~:ª. 1~¡ l~u~~d~:e;. e · . . -~; ~verl~~'~ ~~~o ~a des~~ ~-na ·;~~i;.; ~~~ · . .'':-<.y /'1 • • - • cúmpla ... ' · · 
.,.; A-(B+C)=(A·B)+(A·C) . 
,l'J " (1 1) (1 1) ¡( (A+ 8). C =(A'. C) +(B. C). X. O 1 = O 1 . X ~1::\. ~ (;· ~) 
' Sean A = (~ ·_~) 
Encuentra una matriz 
y B = (º 6) 1 -3 
X que cumpla \ 
20. E!ectúa las siguientes operaciones con las 
matrices dadas: · 
3·X-2·A=5·B (2 10) Sol.: 5 -11¡1 
17. Encuentra dos matrices, A y B, 
mensión 2 x 2 que cumplan: 
(1 4) (-1 2A+B= 20 ; A-B= 1 
Sol.: A a (~ ~) B = (~ ~l 
38 
de di-
~) 
-
(1 2) . (-4 7) . (1 ..:1) ., A = o3; 9 = ao;c-3 2 
..... -.a) A+.B+C;. b) (A·B)+(A-G); !\ l). e) 
e) (A-B)·C; d) A-B·C 
·1 .( Ac. - t:)C.) l " 
· 21. Dada la rnatriz A= (~ ~) comprueba que 
(A - 1)2 = O 
¡ 
·\ 
1 
·1 
., 
1 
...• ·:: .. ; :- •.- .. - :. ... :·; •.•:r:. ~ . . : ':'.: ·.~ ·.: . · ... 
Forma matricial de 111 sistema de· ec:Uaciones 
El sistema de ecuaciones-x+ y+ z=- 1} 
x · -3z=-18 
2x-5y+3z = 52 
puede ponei;Se así (compruébalo): 
(-~ ~ -~) (;L (=1!) 
2 -5 3 ~' 52 ·H~> 
'"·esta es la forma matricial del sistema de ecuaciones. Para abreviar, 
se puede poner del siguiente modo: · 
A·X = C 111~ 
Podrfamos resolver con mucha facilidad esta ecuación matricial si co-
nociéramos la inversa, A-•, de la matriz A, pues multipllcando los 
dos miembros por A -•-!.1~~ se puede despejar X: 
A"'· (A· X) =A-' · C 
(A -• · A} · X s A"' · C 
I ·X= A"'· C 
X• A"'· C 
El problema sigue siendo, como antes, el calcular A _, a partir de A 
Vamos a darle la vuelta al problema. 
Hemos dicho: •si supiéramos calcular A-•. sabríamos resolver el 
sistema~. Podemos pensar: •como sabemos resolver el sistema (mé-
todo de Gauss), quizá a partir de ahf podamos calcular A_,•. ! i1f,~ 
Vamo.:; a aplicar, de nuevo, el método de Gauss buscando el significado 
matricial de cada paso. 
~:;.~¡1,:ciór. 11!1 ul:Jta~r..!l por s' n1u~~-:;:(... ~-3 ~~:.;s~ 
(
-1 1 1 . -1) ?." + 1· (-1 1 1 -1) 
1 o - 3 -18 .3:±~~.1' ~ o 1 - 2 - 19 
2 - 5 3 52 1 . o -3 5 50 
c1 1 1 -1) 3· + 3 X 2' c1 1 1 -1) 
o 1 -2 -19 . . ·- - o 1 -2 -19 
o -3 5 50 11 o o -1 -7 
Ci 
1 1 -1) 2' - 2 X 3' el 1 , -1) 1 -2 -19 .. ···- . .' o 1 o -5 
o -1 ._7 ••··· 111 o o -1 -7 
Los ;istemas de ecuaciones pueden ser 
tratados de lormá muy elegante por me· 
dio de las matrices. 
P-•ra ello se tiene en cuenta el producto 
de matrices y el hecho de que dos ma-
trices son iguales si coinciden \énnino a 
término. 
A=CLi-~) : X= 8: 
c - h~ 
PueslO que sabemos del apartado ante-
rior que 
(
-16 -a -3} 
A"' • - 9 -5 -2 
- 5 ~J -t 
se resuelve la ecuaciOO anterior mul:I 
plicandO matrices: 
G (-15-8-~(-1) (~ - - 9 -5 -2 -18 . -5 - 5 -3 -1 52 7 
Es decir. X • 3. y • -5. Z • 7. 
f. ; 
· :·:· :• : ·:.; .r·, ; 
.. ~ ... :-·-· .· .: :;•.:: . . .. ~ ;":: :;:,:· ~ .::v'.{.~ • •':_., .. 
• .T. ·:- · · 
. ·. 
~ ... ~-:~~::-,;z•¡.;.;;;;-~:'"ú-'"'~·:-;: .'.-~~-::;.~:.:·:~·~-~-t-:·:-M-;.~;:.~~·:·:.~ :· :·:'!~~:;::.:.:-::-w~~!·!~·=·~:it: .. "'i;rt;·~·(°"~ .. ~·~·~·~·~;,;·~z~;;:-..~~·~-:;..,"(: ...... ~~.:::(·- t!-~»:..:..:-~·Y/..--:.-.:.~~J~':<>-#".."';JQ'-· .. "'L'~-'·"··.u-nr;v.·,· ,.; ·~·~····~·"YP'"-'-c~.cr-r?--:-----."·"· .. ·····-··· .. . -_ . .,...,,. . . -. 
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Ér ñikioo 'ci~· Gai¡ss. en rig°'· ~caba uu 
IÓidos primeros pasos. les P850S . Ut , 
' IV-' t\ V' Jin·damospara acabar~n­
Peli! las int;ógnilH.. Al final .et sislama 
.,~comp1e1amen¡e cesueno: , 
~: *R ~:· ·~ •; -· -~ .. ·~· )" .~... -~~ 'J• 
1-·:-~At...,;!~•3;".-Y~-:_5 .,.~z-7,. · 
. e.t~~;i: en entender. en cada C.So; 
q11~ tieoeliue ver ar cambio realizado en 
, las /fiar deo Ja malrlz ain ·la maW cler 
· cambio ¡¡o< la que_ge,1111Jttlpllc:a a.ta lz-
quferdá; /~·,_ ·- 1 ': .• •• 
..... ·.· Cambio en Puo · .... 
laelllu 
1 2• + 1• 
3' + 2 X 1' 
11 - 3'+3x2' 
111 2'-2x3' 
i 
IV 1' - 2' + 3' 
V (-1) X 1' 
(-1)x3' 
Compnll!ba que 
· M, : M.-M, · M, · 41, 
es la matnz 
(
-15 -a -3) 
·. -9. -5 -2 . 
- 5 -3 -t 
-
Que ssgun vimos en el aparta.do anterlot, 
eslainvl!fUde A 
40 , 
: 
:: 
c1 
1 r -1) 1' - ~ + 3' . o 1 o -5 
o o -1 -7 IV 
e~ 
0 0 -~ (-1) X 1• 
1 Q -5 (-l) X 3" 
O -1 -7 V 
-~ ..... : .~ ti. :::.~.J.J-.:~l~·~~~·~·J:~j·:~'fi:±-EL.:~'"~:;;:~:3~\~~ ..... ~"~,,..~_,:i; ~ ~ -.... ... ~ ·L ~· .. -.·..: . .. . 1 .......... ..:·---~__.~ , --· -. .. - -- -·--.-·-- - -
e~ o o -3) 1_., o -5 o -1 -7 
- (~ 
o o 3) 
1 o -5 
o 1 7 
'· Sin embargo, podemos encontrar una regla práctica para calcular A -•, 1 1 
más cómoda que la de obtener las matrices M, y multiplicarlas. Co°' REGLA PRÁCTICA ,. 
·· siste en j[npp_nsr a la matriz identidad los mismos cambios a los que 111• PAR.&. CALCIUR A·•. 
hay que someter a A para obtener l. Veamos por qué: 
-Para cualquier matriz B, el producto M · B consiste en someter a B 
a los mismos cambios a los que se ha sometido A. Recíprocamente, 
si a las filas oe una matriz 8 las sometemos a los mlsmos cambios 
que se han efectJado a las de A, el resultado es la matriz M · B. 
Lo dicho para una matriz cualquiera, 8, es válido para la matriz iden-
tidad: 
•l 
Veamos cómo cada uno de los pasos anteriores puede ser realizado 
111111 multiplicando la matriz de partida por una cierta matriz a la que Ita-
maremos matriz del cambio. 
-dda• A denosca _ _ 
-+ 
-+ 
-+ 
-+ 
-+ 
.. 111 
-·· 
Matriz del c..mblo · ' · Comptob-.:lón 
M, • ~ ! ~ 
M, • ro~~ 
\~ 3 ~J 
~!~n -
1 1 -1) '(-1 1 ,',~) 
o -3 -18 - o 1 .:..2 -19 
5 3 52 o -3 5 so 
(1 º B (-1 1 1 -1) (-1 1 1 -1) · o 1 o o 1 -2 -19 - o 1 -2 -is 
o 3 1 o -3 5 so o o 1 -7 
M, • o 1 -2 O 1 -2 O 1 -2 -19 • O 1 o -5 (1 o ~ ~ o ~ (-1 1 1 -1) (-1 1 1 -1) 
o o 1 o o 1 o o 1 -7 o o -1 -7 
M, - O 1 O O 1 O O 1 O -5 • O 1 O -5 (1 -1 1) (1 -1 1) (-1 1 1 -1) . (-1 o o -3) 
o o 1 o o 1 o o -1 -7 o o -1 -7 
o ~ (-1 o o -3) (1 o o 3) 
1 o o 1 o -5 - o 1 o -5 
o -1 o o -1 -7 o o 1 7 
(-1 o ~' (-1 M, • O 1 O O o o -1 o 
En resumen, el paso ha sido: 
. (-1 
M, M,·M3 ·M2 ·M, · ~ 1 1 -1) (1 o -3 -18 - o 
2 3 52 o 
o o 3) 
1 o -5 
o 1 7 
El producto _M, · M, · M, • M, · M, =- M es una matriz 3 x 3 que 
compendia tOCtos los cambios realizados. 
Si prescindimos de la columna de los ténnínos Independientes, el cam-
bio total realizado pe~ Ja matriz de Jos coeficientes h11 sido . 
(
-1 
M· ~ 1 1) (1 o º) o -3 = o 1 o .. r. 
2 3 o o 1 
Por tanto M es la matriz Inversa de A. Es decir. 
A"'=M=M.·M,·M3 ·M2 ·M, 
1 
M · A = I _. M = A_, 
aometida a~ 
mismos ambioa A -1 M·l=A-'·l=A-• 
Es interesante advertlr que, según lo anterior, sólo se podrá obtener 
A-• cuando A pueda transformarse en l. Y eso ocurre cuando todas 
las filas de A sean linealmente Independientes. 
·: E"JEMPCC1::~> ;· ':.~:: . '· ,. 
(
1 -1 º) Queremos calcular la inversa de la matriz A = o 1 o 
2 o 1 
Para ello, colocamos la matriz A y, a continuación y separada por una linea vertical, la matriz Identidad 
(
1 -1 o ¡ 1 o ~ fie/o<l;) <k.f.. e+: 
010,.010, ¡--<Y 
2011001 ...____.., ..___,___, 
A 1 
Ahora sometemos a la matriz A a los cambios que convengan para transfonnarla en I y vamos sometiendo, 
simultáneamente, a J a los mismos cambios. Cuando A se haya transformado en I, I se habrá transformado 
en A-'. 
o 1 o o 1 o (
1 -1 o 11 o º) 3' - 2 X 1' o 1 o o 1 o (1 -1 o 11 o ~ 3' - 2·x 2' 2 o 1 o o 1 
(
1 -1 o 11 o º) - 010 010 
o o 1 -2 -2 1 
:.:· 
1' + 2' 
--> 
Comprobación: 
(
1 -1 º) ( 1 o 1 o o 1 
2 o 1 - ·2 -2 
o 2 1 -2 o 1 
(
1 o o , , 1 ~ o 1 o o 1 o 
o o 1 -2 - 2 1 
~ ......_____, 
I A "' 
-----> 
:r h 
JI ·,~ . 
e "" o 1 o º) (1ºº) E:> correcto. 
1 o o , 
-· ·-· . ·-·· 
-----·-·- · · - ·------- _ ___ _...._..$ri411~ 
·<·. ·;:· ~ 
'• : .,\:.'·:·_:~_·:~.:· ;· ~~.\;·~-.( :': ·:.-, .. 
.... 1 
.. 
·. .- .. ~· 
, ' :.· :· ·::~:·, :'.?2 -~;:':'.'>~\::)\\''·:~---~: ' :·~·: . :.- /t'.:: : 
..... · ·· :· .;: ... -,..":.~:- -., ,-.;,_ ,, __ ~ .... : .. 
1 
l;;=t~·:·:'-:-'~ ~
,. 
.•.¡'; 
: ··.·· ···. · ·;~~ ;·.·~-.:..·~-~ d ~ ~ .. .:. ..-..... ~...._"" .~ ........,.._ .. ~::~.2: ... ~~::.:..:.~~::.Jl:.~·-~;./~ 
'flt.iERClt:IO , -~·t -~i;:_;;%,~~'i~~'*'~~'.t!';,l';ii[r~,?·'~ :<->; · •·:;~.,,-~~~~-
22 . . Resuelve de ;o:m~ mi~~~~l el siguiente sfs-
tema de ecuaciones sabiendo que la inversa 
de la matri:z formada por los coeficientes de 
la ecuación es la dada: · 
X +z=10} 
2x+3y =17 ; A"'= 
3x+4y+:z=32 (
!.. 2 .!..) 
~: -1 '. 
-- -2 -
2 2 
Sol.: X = 1, y = 5, z = 9. 
23. Calcula la matriz Inversa de aquellas de las 
siguientes matrices para las que se puedz 
~ 
a) {~ ~) ; b) {~ !) 
:-....1 ( 1 2) ; 'dl (3 4) . . '•·. 
' '"'\ -2 -4 " o o 
'O r<J 
~~~q'•{:\. ~ 
En cada caso, compruel;>a el resultado vien-
do si el producto de la matriz por su Inversa 
' es la matriz unidad. ·~ 
-': ~ '! •• 
24. Calcula la matriz inversa en caso de que 
pueda hacerse: 
(
1 2 3) 
a) 4 5 6 
7 8 9 
(
1 2 3) 
b)