Fisica - Fisica COU

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© Julio Anguiano Cristóbal 
 Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 1 
ÍNDICE DE “DINÁMICA” 
Dinámica de la partícula 
Sistemas de referencia. Vector de posición. Vector desplazamiento 
Velocidad media. Velocidad instantánea 
Aceleración media. Aceleración instantánea 
Componentes intrínsecas de la aceleración 
Movimiento circular: uniforme y no uniforme 
Ecuaciones del movimiento curvilíneo con aceleración constante 
Movimiento relativo a velocidades bajas 
Leyes de Newton de la dinámica de una partícula 
Características dinámicas de los sistemas inerciales y no inerciales 
Aplicaciones de las leyes de Newton al movimiento curvilíneo. Fuerza de fricción 
Dinámica de los sistemas de puntos materiales o de partículas 
Sistema de partículas. Centro de masas 
Movimiento de un sistema de partículas. Fuerzas externas e internas 
Cinemática y dinámica del movimiento 
Momento lineal o cantidad de movimiento del sistema 
Momento lineal del sistema referido al centro de masas del sistema 
Principio de conservación del momento lineal 
Momento angular o momento cinético de un sistema de partículas 
Momento angular para un sistema de partículas 
Relación del momento angular con las fuerzas externas 
Teorema del momento cinético 
Principio de conservación del momento angular 
Energía cinética de un sistema de partículas 
Colisiones. Tipos de colisiones. Impacto central y oblicuo 
Colisión plástica o totalmente inelástica 
Problemas de dinámica de una partícula 
Problemas de dinámica de un sistema de partículas 
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 Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 2 
Revisión de la dinámica de la partícula.- 
Sistemas de referencia: El llamado sistema de referencia está formado por el cuerpo de re-
ferencia, las coordenadas y los relojes sincronizados entre sí y ligados con él. 
Concepto de reposo: Si las coordenadas de todos los puntos del cuerpo en el sistema de re-
ferencia elegido permanecen constantes, entonces el cuerpo está en reposo respecto de este 
sistema de referencia. 
Concepto de Movimiento: Si las coordenadas de algunos puntos del cuerpo se modifican 
en el tiempo, el cuerpo está en movimiento respecto del sistema de referencia dado. 
Relatividad del movimiento: Tanto el reposo como el movimiento son conceptos relativos, 
es decir, dependen del sistema de referencia. 
 Definir cinemáticamente un movimiento o formular una ley de movimiento de un 
cuerpo es definir en cualquier tiempo, la posición de este cuerpo respecto del Sistema de Re-
ferencia dado. 
 Z 
 !s t ut 
 r r’ !r C 
 C 
 
 
X Y 
Vector de posición: El vector de posición de una partícula situada en un punto P del sis-
tema cartesiano OXYZ, siendo rx, ry y rz las componentes del vector respecto al centro O, se 
expresa por x y zr r i r j r k! " "
! ! !!
 . El vector de posición se relaciona con la trayectoria s que a 
su vez depende del tiempo mediante: # $% &r r s t!! ! . Si la partícula se mueve, su vector de po-
sición cambia, pero siempre va dirigido desde el origen O hasta el nuevo punto P’ que tiene 
de componentes sobre los ejes r’x, r’y y r’z: x y zr ' r ' i r ' j r ' k! " "
! ! !!
 
Vector desplazamiento: Es el vector resultante de la diferencia entre los vectores de posi-
ción en dos instantes determinados x x y y z zr r '- r (r ' - r )i (r ' - r ) j (r ' - r )k' ! ! " "
! ! !! ! !
 
Velocidad media: La velocidad media de una partícula es la relación entre el vector despla-
zamiento y el tiempo transcurrido en dicho desplazamiento. Si la trayectoria de la partícula 
es recta o si describe una trayectoria curvilínea. La velocidad media es un vector que tiene 
la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento: 
2 1
m
2 1
r r rv
t t t
' (
! !
' (
! ! !! 
Velocidad instantánea: La velocidad del punto material en un instante dado es igual a la 
primera derivada del vector de posición del punto con relación al tiempo. 
yx z
mt 0 t 0
drr dr dr drv lim v lim i j k
t dt dt dt dt' ) ' )
'
! ! ! ! " "
'
! ! ! ! !! ! 
 Como el vector de posición se relaciona con la trayectoria, que a su vez depende del 
tiempo, la velocidad instantánea también se expresa como el producto del módulo de la ve-
locidad por el vector unitario que nos indica la dirección y sentido de la velocidad: 
# $% & t
dr dr dsr r s t v u v
dt ds dt
! * ! ! !
! !! ! !! ! 
El módulo de la velocidad es 
t 0 t 0
r s dsv lim lim
t t dt' ) ' )
' '
! ! !
' '
!! 
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 Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 3 
Aceleración media: La aceleración es una magnitud que nos mide la rapidez de cambio de 
la velocidad. La aceleración media, que posee un punto material, cuando éste cambia la ve-
locidad instantánea en un intervalo de tiempo como la división entre el incremento del vec-
tor velocidad y el tiempo transcurrido en dicho incremento 
2 1
m
2 1
v v va
t t t
' (
! !
' (
! ! !!
 
Aceleración instantánea: Se llama aceleración del punto material a una magnitud vectorial 
que caracteriza el cambio con el tiempo del módulo y de la dirección de la velocidad del pun-
to material. La aceleración del punto material en un instante dado es igual a la primera de-
rivada de la velocidad o a la segunda derivada del vector de posición del punto material con 
relación al tiempo. 
yx z
mt 0 t 0
dvv dv dv dva lim a lim i j k
t dt dt dt dt' ) ' )
'
! ! ! ! " "
'
! ! ! ! !! !
 
La aceleración instantánea, en un movimiento curvilíneo, siempre va dirigida hacia la 
concavidad de la trayectoria. 
Componentes intrínsecas de la aceleración: Como en un movimiento curvilíneo la acele-
ración instantánea siempre está dirigida hacia la concavidad de la curva, se puede descom-
poner en dos componentes, llamadas componentes intrínsecas de la aceleración. Estas 
componentes son la tangente a la trayectoria y la normal a la trayectoria que está dirigida 
hacia el centro de la curvatura. 
% &
2
t
t t t n t n
n t t
d v d vdv d du va v u u v u u a a
dt dt dt dt dt R
d v
a a a a u
dt
! ! ! " ! " ! "
! ( ! (
! !!!! ! ! ! ! ! !! !
!! ! ! ! !
 
Significado físico de las componentes intrínsecas de la aceleración: 
→ La aceleración tangencial t
d v
a
dt
!
!!
 nos mide los cambios en magnitud del módulo de 
la velocidad o celeridad. 
→ La aceleración normal 
2
n
va
R
!
!
 nos mide los cambios en la dirección de la velocidad. 
Demostración: Consideremos una sección de la trayectoria curvilínea. En cada instante el 
vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria y el vector aceleración está dirigido 
hacia la concavidad de la trayectoria. 
1) La aceleración mide la rapidez de los cambios de velocidad, es decir, los cambios de la 
celeridad o de la dirección de la velocidad o de los dos. 
2) La rapidez de cambio en el módulo de la velocidad (la celeridad) se denomina acelera-
ción tangencial. 
3) La rapidez de cambio en la dirección del vector velocidad se denomina aceleración 
centrípeta o normal. 
 Demostración de que el vector resultante de la derivada del vector unitario tangente 
respecto del tiempo es perpendicular al propio vector unitario tangente: 
# $ t t t tt t t t t t t t
t t
n n n n
du du du duu u 1 d u u 0 u u 2u 0 u
dt dt dt dt
sd vdu du d Ru u u u
dt dt dt dt R
+ ! * + ! * " ! ! *
, -
. /0 1 2! ! ! !
3
! ! ! !! ! ! ! ! ! ! !
!! ! ! ! ! !
 
Movimiento circular: Para describir el movimiento circular lo podemos hacer de dos for-
mas: a) considerar que la partícula va recorriendo una distancia a lo largo de la circunferen-
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 Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 4 
cia y b) considerar que la partícula va describiendo un ángulo que barre, en cada vuelta 
completa, un círculo de 360º ó 2π radianes.ds Rdv R v R
dt dt
0
! ! ! 4 + * ! 4 5
!! ! ! 
 ω 
 
 v 
 R 
 
Movimiento circular uniforme: La velocidad angular es constante. El tiempo en dar una 
vuelta es siempre el mismo, se llama período (T) y se mide en segundos. El número de vuel-
tas que da en un segundo de tiempo se llama frecuencia (f) y se mide en Hz (hercios): 
# $
# $
# $
2 1
2 1
2 1 2 1
2 2
t t t T
t t
0 ( 0'0 6
4 ! ! ! ! 67
' (
0 ( 0 ! 4 (
 
 En el movimiento circular uniforme la velocidad angular es constante y por tanto el 
módulo de la velocidad. Sin embargo, el vector velocidad, que es tangente a la trayectoria, 
cambia continuamente de dirección, luego la partícula posee aceleración normal. Luego en 
un movimiento circular uniforme toda la aceleración es centrípeta o normal. 
Movimiento circular no uniforme: La velocidad angular no es constante y, por tanto, la 
partícula posee aceleración angular. Consideraremos solamente el caso de aceleración angu-
lar constante. 
Vectorialmente: El vector de posición va desde el origen al punto de la circunferencia. La 
velocidad lineal es un vector tangente a la circunferencia y de origen el punto de la circunfe-
rencia. La velocidad angular tiene de origen el centro de la circunferencia, es perpendicular 
a la circunferencia y el sentido el que nos marque el sentido de avance del sacacorchos en el 
giro de la partícula. La trayectoria es una circunferencia. La aceleración: 
# $ t ndv d d dRa R R R v a adt dt dt dt
4
! ! 4 5 ! 5 " 4 5 ! 8 5 " 4 5 ! "
!! !! ! !! ! !! ! ! ! ! 
t
n
2
n
a R
a v ( R)
Si v a R
! 8 5
! 4 5 ! 4 5 4 5
4 3 * ! (4
!! !
!! ! ! ! !
!!! !
 
Si la aceleración angular es constante: 
2
d dt (t - t )
1d dt dt (t t )dt (t t ) (t t )
2
4 ! 8 * 4 ! 4 " 8
0 ! 4 ! 4 " 8 ( * 0 ! 0 " 4 ( " 8 (
" "
" " " " " "
 
Ecuaciones del movimiento curvilíneo con aceleración constante: 
% & 20
dv a dt v v a(t t )
1dr v dt v a(t t ) dt r r v (t t ) a(t t )
2
! + * ! " (
! + ! " ( + * ! " ( " (
" "
" " " " "
! !! ! !
! ! ! ! !! ! ! 
El movimiento está siempre en un plano y la trayectoria es una parábola 
2
0
v v a(t t ) v en plano de v y a
1r v (t t ) a(t t ) r en plano de v y a
2
! " ( *
' ! ( " ( * '
" " "
" " "
! !! ! ! !
! ! ! !! ! 
Ejemplo: Consideramos una caída vertical, un lanzamiento hacia arriba formando un ángu-
lo, etc. Son todos movimientos que los podemos considerar con aceleración constante, la de 
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 Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 5 
la gravedad. Si el origen O está en el suelo, el eje de ordenadas OY es positivo hacia arriba y 
el origen de tiempos t0=0. La aceleración del movimiento tendrá de valor ay=g=-9,8 ms-2. El 
movimiento se desarrolla sobre el plano OXY y la ecuación de la trayectoria es una parábola 
2
x x
x y x yx y y y
x y x x x
m x y 2y s y y y
v v
v v v v i v jv v v v v g(t t )
r r r r r v (t t )
r r i r j 1a a g 9,8 j r r v (t t ) g(t t )
2
!9 9 :
! " ! " *9 : ; <=! " ! ( (> ?= = == = =! " *; < ; ! " (9 := == = = ! " * ; <! ! ! (= = => ? ! " ( ( (= ==> > ?
"
" " " " "
" " " " " "
" " " "
! !! ! !! ! !
! ! !
! !!!! ! !
 
x
x
x y 2
2
y y
x x
xx v t t
v
Si r r 0 
1 x 1 xy v t gt y v g
2 v 2 v
9 ! * !==! ! * ;
, - , -= ! ( * ! (. / . /=> 1 2 1 2
"
"
" "
" "
" "
 
Movimiento relativo a velocidades bajas.- Siempre que analicemos el movimiento de una 
partícula lo haremos con respecto a un Sistema de Referencia. La velocidad de una partícu-
la, como veremos, depende del sistema de referencia que utilicemos. 
 
 P 
 r’ 
 r 
 O R O’ 
 
 
Sean los dos Sistemas de Referencia OXYZ y O’X’Y’Z’, cuyos centros O y O’ se en-
cuentran a una distancia RO’O. Una partícula situada en un punto P tendrá de coordenadas 
(x,y,z) para el primer sistema OXYZ y (x’,y’,z’) para el segundo O’X’Y’Z’. Los vectores de posi-
ción y las velocidades instantáneas de la partícula en un sistema y en otro están relaciona-
dos por: 
O O'O O'
O'O
relativa
r R r ' r ' r R
v ' v V
a ' a a
9 ! " * ! (
=
! ( *;
= ! (>
! !! ! ! !
!! !
! ! !
 
relativa
x
y
z
Si a 0 a ' a
x ' x V t
y ' y V t
Transformaciones Galileanas (sistemas inerciales)
z ' z V t
t ' t
! * !
! ( +9
= ! ( +=
;
! ( +=
= !>
! ! !
 
Si la velocidad relativa de un sistema respecto de otro es constante o cero las aceleraciones 
son iguales. 
# $
O'O
O'O
O'O
O O' O'O 2
O'O
v ' Vv (velocidades altas) Si v ' c; V c
v ' V1r r ' R
c
v v ' V (velocidades bajas)
"9 != 5= "! " * ;
=
= ! ">
# #!! !
!! !
 
Leyes de la dinámica de una partícula de Newton: Las leyes de Newton en su forma con-
vencional (1642-1727) en Principia (1687): 
1ª) Todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme a menos que 
sobre él actúe una fuerza. 
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2ª) Todo cuerpo sobre el que actúa una fuerza o varias se mueve de tal forma que la va-
riación de su momento lineal o cantidad de movimiento por unidad de tiempo es igual 
a la fuerza neta: 
N
i neta
i 1
dP d(mv)F F ma
dtdt
!
! ! ! !@
! !! ! !
 
3ª) Cuando dos cuerpos ejercen fuerzas entre sí, estas fuerzas son de intensidades iguales 
y sentidos opuestos. Si sobre el cuerpo 1 (F12) ejerce una fuerza el 2 esta ha de ser 
igual a la fuerza que sobre el 2 (F21) ejerce el 1: 12 21F F! (
! !
 
Análisis de las leyes de la dinámica: 
La primera ley únicamente contiene un significado preciso para una fuerza nula, es decir, 
que todo cuerpo en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme no está sometido a la acción 
de ninguna fuerza. Y se dice que es un cuerpo libre (o partícula libre). La primera ley, por sí 
sola, únicamente puede darnos una noción cualitativa acerca de la fuerza. 
La segunda ley, nos da una afirmación explícita acerca de la fuerza, en la cual la fuerza se 
relaciona con la rapidez de cambio del momento lineal. Ahora bien, la definición de fuerza 
sólo expresa algo completo y preciso cuando se define la “masa”. 
La tercera ley es realmente un principio, ya que se trata de una declaración relativa al 
mundo físico real y contiene toda la física de que están dotadas las leyes del movimiento de 
Newton. Con la tercera ley cuando consideramos dos cuerpos aislados 1 y 2 tenemos que: 
21
12 21 1 1 2 2
2 1
amF F m a m a
m a
! ( * ! ( * ! (
!! ! ! ! ! 
Siempre nos será posible establecer una masa unidad y determinar la masa de otro cuerpo 
comparando el cociente de aceleraciones cuando interactúen los dos. La masa así determi-
nada es la masa inerte, que es la masa que determina la aceleración de un cuerpo sometido 
a una fuerza dada. Si la masa se determina pesando un cuerpo es la masa gravitatoria o 
pesante. El primero en comprobar la equivalencia entre las dos masas fue Galileo (caída de 
cuerpos), Newton, etc. 
 La tercera ley no es un principio general de la Naturaleza, puesto que sólo se 
aplica en el caso de que la fuerza ejercida por un objeto (punto) sobre otro objeto (punto) es-
té dirigida a lo largo de la recta que une a ambos. Son éstas las llamadas fuerzas centrales 
y a ellas se aplica la tercera ley, sean las fuerzas atractivas o repulsivas. Fuerzas centrales 
son las gravitatorias y las electrostáticas, por lo cual las leyes de Newton podrán aplicar-
se a los problemas en los que intervengan fuerzas de esta naturaleza. A veces, las fuerzas 
elásticas son centrales, ya que son manifestaciones macroscópicas de fuerzas electrostáticas 
microscópicas. Toda fuerza que dependa de las velocidades de los cuerpos en interac-
ción es no central esencialmente, y no se aplica la tercera ley en tales casos. Así, por 
ejemplo, la fuerza que ejercen entre sí las cargas eléctricas en movimiento no obedece la ter-
cera ley (fuerzas electromagnéticas), puesto que dicha fuerza se propaga a la velocidad de la 
luz; incluso la fuerza gravitatoria que se ejercen entresí los cuerpos en movimiento depende 
de la velocidad, pero el efecto de ésta es pequeño y difícil de detectar, siendo el único efecto 
observable la precesión del perihelio de los planetas más cercanos al Sol. 
Sistemas inerciales: “Se llama sistema inercial a todo sistema de referencia en el que 
sean válidas las leyes de la dinámica de Newton”. Propiedades: 
Un cuerpo, aislado de acciones exteriores, está en reposo o en movimiento rectilíneo unifor-
me, respecto a cualquiera de estos sistemas. 
Para estos sistemas, el espacio es homogéneo (igual naturaleza) e isótropo y el tiempo es 
homogéneo. 
 Cuando las leyes de Newton sean válidas en un sistema de referencia, lo serán tam-
bién en todo sistema que se mueva uniformemente respecto del primero, o sea sin acelera-
ción. El Sistema Solar, si despreciamos la debilísima acción gravitatoria estelar, puede ser 
considerado como un sistema aislado, y por consiguiente, es una referencia inercial. Por 
tanto, un triedro con origen en el centro del Sol (c.d.m. del sistema solar) y ejes en direccio-
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 Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 7 
nes de tres estrellas fijas, es un sistema inercial con alto grado de exactitud, es el llamado 
sistema copernicano. 
Galileo comprobó experimentalmente que las leyes de la mecánica son idénticas para 
dos observadores que se hallen en movimiento de traslación rectilíneo y uniforme. Es lo 
que se conoce como principio de relatividad de Galileo. Este principio se limita a las leyes 
de la mecánica si la velocidad de los cuerpos es muy inferior a la de las interacciones. La va-
lidez de la Mecánica Clásica está acotada por dos extremos: 
1) Cuando la velocidad de las partículas es muy grande y no se puede considerar como 
infinita la velocidad de propagación de las interacciones (próxima a 3×108 m/s). 
2) Cuando las dimensiones de las partículas involucradas en el fenómeno es del orden de 
0,1 nm. 
Características dinámicas de los sistemas inerciales y no inerciales.- 
 Un sistema se llama inercial si se comporta como una partícula libre, es decir, no 
está sujeto a interacción, y por tanto o está en reposo o se mueve con velocidad constan-
te y sin aceleración, por lo que no ha de rotar. Dos sistemas se dice que son inerciales uno 
con respecto del otro si están en reposo relativo o se mueven con velocidad constante uno 
con respecto del otro. 
 Características de los sistemas inerciales: Sean los Sistemas OXYZ y O'X'Y'Z' que 
se encuentran a una distancia R los dos centros. Una partícula situada en el punto P ten-
drá de coordenadas (x,y,z) para el primero y (x',y',z') para el segundo. Relacionados por: 
O'O
O'O O'O
O'O
r R r '
v V v ' Si V 0 a a ' F F '
a a a '
9 ! "
=
! " * ! * ! * !;
= ! ">
!! !
! ! ! !! !! !
! ! !
 
 Para los Sistemas Inerciales tenemos que son iguales las leyes del movimiento, es 
decir, miden las mismas aceleraciones de la partícula situada en P y las mismas Fuerzas 
aplicadas en P. Esto es lo que se denomina el Principio Clásico de Relatividad. 
 Características de los Sistemas No Inerciales: Si el Sistema O'X'Y'Z' es No Inercial, 
es decir que la velocidad relativa de éste sistema con respecto al OXYZ no es constante, y 
por tanto, el sistema O'X'Y'Z' con respecto al OXYZ posee aceleración, tenemos: 
O'O
O'O O'O inercial
O'O
r R r '
v V v ' ma ' ma ma F ' F F
a a a '
9 ! "
=
! " * ! ( * ! ";
= ! ">
!! !
! ! ! !! ! !! !
! ! !
 
 En el Sistema O'X'Y'Z' medimos una fuerza distinta que en el Sistema OXYZ, consi-
derando que en el primero aparece una Fuerza Ficticia llamada de Inercia que es conse-
cuencia de la aceleración relativa del Sistema O'X'Y'Z' con respecto al OXYZ. 
Aplicaciones de las leyes de Newton del movimiento.- El movimiento de una partícula, 
bajo una fuerza constante, tiene la aceleración también constante. Además, analizando las 
ecuaciones siguientes, la velocidad siempre cambia en una dirección paralela a la fuerza 
aplicada, por lo que la trayectoria tiende hacia la dirección de la fuerza. Respecto al despla-
zamiento, si la fuerza es constante, es una combinación de dos vectores. Uno es la velocidad 
inicial y el otro la dirección de la fuerza aplicada. Si los dos vectores son paralelos el movi-
miento es rectilíneo y si no lo son estará en el plano determinado por los dos. 
2
Fv v (t t )F ma
m 1 Fr r v (t t ) (t t )
2 m
9
( ! (==! * ;
= ( ! ( " (=>
" "
" " " "
!
! !!
!
!
! ! !
 
Movimiento curvilíneo.- Una partícula experimenta un movimiento curvilíneo cuando la 
fuerza resultante forma un ángulo con la velocidad. Recordando que la aceleración es 
siempre paralela a la fuerza. La aceleración tendrá una componente paralela a la velocidad, 
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 Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 8 
que cambia su magnitud, y otra componente perpendicular a la velocidad que nos expresa 
los cambios en la dirección del movimiento. 
 Ft O 
 F r 
 Fn B θ A F 
 
Par de torsión (Torque).- Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo, este no sólo se mueve 
en la dirección de la fuerza sino que también lo hace alrededor de un punto. Considera la 
fuerza F actuando sobre una partícula A. Supongamos que el efecto de la fuerza es mover la 
partícula alrededor de O. La experiencia nos dice que el efecto de rotación de F se incremen-
ta con la distancia perpendicular o distancia de la palanca OB, desde el centro de rotación 
O a la línea de acción de la fuerza F. La magnitud física que lo define se llama par de torsión 
o momento del par 
M F OB F OA sen M r F! 5 ! 5 5 0 * ! 5
! !!
 
Fuerza de fricción.- 
!" Si el cuerpo no se mueve la fuerza de fricción estática es igual a la F aplicada. 
!" La magnitud fuerza de fricción estática fs tiene su valor máximo fs(máximo) = µs×N 
!" Si el cuerpo comienza a deslizarse sobre la superficie la magnitud de la fuerza de fric-
ción rápidamente decrece a fk con el coeficiente de fricción cinética µk. 
!" La dirección de fs y de fk es siempre paralela a la superficie y opuesta al movimiento 
deseado y N es perpendicular a la superficie. 
Dinámica de los sistemas de puntos materiales o de partículas: Cuando tiramos al aire 
un palo su movimiento es más complicado que cuando tiramos un objeto más sencillo. Esto 
se debe a que cada parte del palo se mueve describiendo una trayectoria diferente, por lo 
que no podemos representar la trayectoria del palo como si fuese una única partícula, por lo 
que decimos que es un sistema de partículas. 
 Si observa atentamente el movimiento del palo encontramos que hay un punto espe-
cial de este que se mueve describiendo una trayectoria parabólica, como si fuese una sola 
partícula. Este punto se llama centro de masas y está en la unión de los ejes del palo. Cada 
cuerpo tiene un centro de masas y se mueve como una partícula libre siguiendo una trayec-
toria parabólica. 
Sistema de partículas. Centro de Masas.- Un sistema de partículas es un conjunto de par-
tículas sometidas a unas fuerzas interiores, entre ellas, y a unas ligaduras que constriñen 
el movimiento del sistema. Un ejemplo de sistema con ligaduras es el sólido rígido que se 
caracteriza porque las distancias entre las partículas son inalterables. 
Un Sistema de partículas puede interaccionar con otro y a esas interacciones se les 
llama fuerzas exteriores del Sistema. Si las fuerzas exteriores son cero el sistema se dice 
que está aislado. 
 Consideremos un sistema de dos partículas m1 y m2 que respecto a un sistema de 
referencia inercial (OXYZ) tienen sus vectores de posición de componentes respectivas (r1x; 
r1y; r1z) y (r2x; r2y; r2z). Se define el centro de masas del sistema de dos partículas como 
aquel punto cuyo vector de posición, respecto del sistema inercial OXYZ exterior al sistema 
de partículas, viene dado por: 
11 2 2
CM
1 2
m r m rR
m m
"
!
"
! !!
 
 
 
 
 
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 Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 9 
 
 r1 
 RCM 
 r2 
 
 O 
 
 Consideramos el sistema inercial OXYZ fuera del sistema de partículas y el sistema 
O'X'Y'Z' cuyo origen es el propio centro de masas (CM). La relación entre los vectores de 
posición de cada partícula respecto de O y de O' viene dada por la siguiente relación: 
# $ # $1 CM 1 1 CM 1 2 CM 2
2 CM 2 CM 1 1 2 2
1 2
1 1 2 2
CM
1 2
r R r '
m R r ' m R r '
r R r ' R m r ' m r ' 0
m m
m r m rR
m m
9
= ! "
" " "=
! " * ! * " !; "= "= !
">
!! ! ! !! !! !! ! ! !
! !!
 
Movimiento de un sistema de partículas. Fuerzas externas e internas.- 
El movimiento de un sistema de partículas es más sencillo si lo estudiamos en fun-
ción del centro de masas. Para ello, consideremos el más simple, que es un sistema de dos 
partículas de masas distintas m1 y m2. 
Cinemática del movimiento: La velocidad, la aceleración y la posición del centro de ma-
sas en cualquier instante vienen dadas por 
# $
# $ # $
# $ # $ # $
CM 1 1 2 2 1 1 2 2
CM 1 2 CM 1 1 2 2
1 2 1 2
1 1 2 2CM
CM
1 2
CMf CM i CM
2
CMf CM i CM i CM
dR d m r m r m v m vV m m V m v m v
m m m mdt dt
m a m adVa
dt m m
V V a t
1R R V t a t
2
+
9 " ", -! ! ! * " ! ". /= " "= 1 2
;
"= ! != ">
9 ! " +=
;
! " "=>
! ! ! ! !! ! ! !
! ! !!
! ! !
! ! ! !
 
Dinámica del movimiento: Sobre cada partícula actúan dos fuerzas la externa, suma de 
todas las fuerzas externas, y la interna, debida a la otra partícula. La fuerza total sobre cada 
partícula de masas distintas m1 y m2 es igual a 
# $
# $
1 12 1
2 21 2
dF F p
dt
dF F p
dt
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La Fuerza total sobre el sistema se caracteriza porque la suma de las fuerzas internas es ce-
ro 12 21F -F!
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# $ # $ # $
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i 1 12 2 21 1 2 total n
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i 1 i 1
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 La suma de las fuerzas externas es igual a la variación del momento lineal del 
sistema con respecto del tiempo: 
# $ # $ # $ # $
n
externa total 1 2 1 1 2 2 CM CM
i 1
d d d dF p p p m v m v MV Ma
dt dt dt dt
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© Julio Anguiano Cristóbal 
 Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 10 
 Al aplicarle una fuerza externa al sistema, éste se mueve como si toda la masa estu-
viera concentrada en el Centro de Masas. 
Análisis de la 2ª ley de Newton aplicada a un sistema de partículas: 
En la suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema hay que te-
ner mucho cuidado en no incluir las fuerzas internas que son las que ejerce una parte 
del sistema sobre otra parte. 
La masa total del sistema es la suma M=m1+m2. Consideramos que en el sistema no entra ni 
sale masa cuando se mueve, es decir, la masa es constante. El sistema es cerrado. 
La aceleración del centro de masas del sistema no da información sobre la aceleración de 
cualquier otra parte del sistema. 
Momento lineal o cantidad de movimiento del sistema: El momento lineal de un sistema 
de dos partículas, de masas distintas m1 y m2, relativo al sistema inercial OXYZ (llamado de 
laboratorio) es la suma de los momentos lineales de cada una de las partículas. 
# $total 1 2 1 1 2 2 1 2 CM CMp p p m v m v m m V MV! " ! " ! " !
! !! ! ! ! ! 
 El momento lineal de un sistema de partículas vemos que es igual al producto 
de la masa total del sistema por la velocidad del centro de masas. 
El momento lineal de un sistema de partículas es el mismo que el de una partícula 
ideal de masa igual a la masa total del sistema, de posición la del centro de masas, y que se 
mueva de la misma forma que éste. 
Momento lineal del sistema referido al centro de masas del sistema: El momento lineal 
de un sistema de partículas, tomando como referencia el sistema Centro de Masas del propio 
sistema de partículas, es siempre cero. 
# $
1 1 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2
m r ' m r ' 0
d m r ' m r ' m v ' m v ' 0
dt
p ' p ' 0
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" !=>
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! ! ! !
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Principio de conservación del momento lineal: “Si un sistema está aislado y cerrado, 
es decir, la suma de las fuerzas externas es cero y no pueden entrar ni salir partículas del 
sistema, entonces el momento lineal o la cantidad de movimiento del sistema permanece 
constante con respecto al tiempo”. 
# $ # $ # $
# $ # $
n
ext total 1 2 1 2
i 1
1 2 1 2i f
d dF 0 p p p 0 p p cte
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p p p p
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 El principio de conservación del momento lineal es una ley general, más que las leyes 
de Newton, ya que es válido en el mundo subatómico y para partículas a altas velocidades 
(teoría general de la relatividad). 
 “Si el momento lineal total es constante, la velocidad del centro de masas también lo es 
y la aceleración del centro de masas será cero”. 
Momento Angular o Momento Cinético de un sistema de partículas.- 
Momento angular referido a una partícula: Se define el momento angular de una partícu-
la, de masa m, moviéndose con una velocidad v (y teniendo un momento lineal p=mv), res-
pecto de un punto O en un sistema inercial OXYZ, L r p! 5
! ! !
 
 
 L 
 
 r v 
 m 
© Julio Anguiano Cristóbal 
 Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 11 
 La unidad es 1 kg×m2/s =1 J×s. El módulo del momento angular es LO=r×p×sen8. Si 
los vectores posición y momento lineal están en la misma dirección el momento angu-
lar es cero. 
Como todas las cantidades lineales (velocidad, aceleración), el momento lineal tiene 
su equivalente angular. La partícula se mueve, respecto a O, en la dirección de su momento 
lineal, el vector de posición rota alrededor de O. Para tener momento angular, la partícula 
no debe rotar por sí misma alrededor de O. También se dice que el momento angular es el 
momento del momento lineal. 
 En un movimiento lineal, la causa de la variación del momento lineal con respecto 
del tiempo es una fuerza. En un movimiento angular o curvilíneo la causa de la variación 
del momento angular con respecto del tiempo está relacionada con el momento de la fuerza 
(par de torsión o torque) aplicada a la partícula. 
n n
ext ext
i 1 i 1
dL dr dpp r v p r F r F M
dt dt dt
! !
, - , -
. / . /! 5 " 5 ! 5 " 5 ! 5 !
. / . /
1 2 1 2
@ @
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La ecuación anterior corresponde a la segunda ley de Newton en forma angular. 
Si el momento de la fuerza es cero, M=0, el momento angular es constante. Esta 
condición se cumple totalmente si F=0, es decir, si la partícula es libre y se mueve con velo-
cidad constante luego su trayectoria es una línea recta. La condición M=0 también se cum-
ple si F es paralela a r, es decir, la dirección de F pasa a través del punto O. Una fuerza cu-
ya dirección siempre pasa por un punto fijo se llama fuerza central. 
Momento angular para un sistema de partículas: Para un sistema de dos partículas, de 
masas m1 y m2, el momento angular del sistema respecto del punto O, del sistema inercial 
OXYZ, será la suma de los momentos angulares de cada partícula respecto del mismo pun-
to. Lo que nos lleva, después del desarrollo matemático, al siguiente enunciado: 
“El momento angular de un sistema de partículas es la suma del momento angular 
orbital, Lorbital, definido respecto del sistema inercial OXYZ (sistema-L), y del momento angu-
lar interno, Linterno, definido respecto del sistema centro de masas (sistema-C) que se toma 
como origen”. 
# $ # $
# $ # $% &
O 1 2 1 1 2 2
O CM CM 1 1 2 2
O orbital interno
L L L r p r p
L R MV r ' p ' r ' p '
L L L
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Demostración# $ # $
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1 CM 1 1 CM 1
2 CM 2 2 CM 2
1 1 2 2 1 1 2 2
O 1 1 2 2
O CM 1 1 CM 1 CM 2 2 CM 2
O CM 1 2 CM 1 1 2 2 1 1 2
0 0
r R r ' v V v '
r R r ' v V v '
m r ' m r ' m v ' m v '
L r p r p
L R r ' m V v ' R r ' m V v '
L R m m V m v ' m v ' m r ' m r
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2 CM 1 1 2 2
O CM 1 2 CM 1 1 2 2 CM CM 1 1 2 2
' V r ' p ' r ' p '
L R m m V r ' p ' r ' p ' R MV r ' p ' r ' p '
5 " 5 " 5
! 5 " " 5 " 5 ! 5 " 5 " 5
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Relación del momento angular con las fuerzas externas: Consideremos un sistema com-
puesto por dos masas (denominadas 1 y 2). Sobre la masa 1 se ejercen dos fuerzas, la ex-
terna y la interna (debida a la masa 2), y sobre la masa 2 se ejercen también dos fuerzas, la 
externa y la interna (debida a la masa 1). De tal forma que la variación del momento angular 
con respecto del tiempo de todo el sistema será: 
# $ # $ # $ # $
# $
O 1 2 1 1 12 2 2 21
O 1 1 2 2 1 12 2 21 1 1 2 2 1 2
d dL L L r F F r F F
dt dt
d L r F r F r F r F r F r F M M
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A B A B! " ! 5 " " 5 "C D C D
! 5 " 5 " 5 " 5 ! 5 " 5 ! "
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! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! !
 
© Julio Anguiano Cristóbal 
 Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 12 
Teorema del momento cinético: “La suma de los momentos de las fuerzas externas ac-
tuando sobre un sistema de partículas es igual a la velocidad de cambio con respecto del 
tiempo del momento angular del sistema”. 
 Esto tiene significado sólo si los vectores momento (torque) resultantes de las fuerzas 
externas y momento angular están referidos al mismo origen. En un sistema inercial se 
puede aplicar a cualquier punto. En un sistema acelerado (tal como una rueda girando) sólo 
se aplica al centro de masas del sistema. 
Principio de conservación del momento angular: “Si el momento neto de las fuerzas ac-
tuantes sobre un sistema de partículas es cero, el vector momento angular del sistema per-
manece constante, aunque dentro del sistema haya cambios”. 
# $1 2 O OdM M 0 L 0 L cte.dt" ! * ! * !
! ! ! !
 
El Principio de Conservación del Momento Angular implica que si en un sistema ais-
lado el momento angular de alguna parte del sistema cambia por interacciones internas, el 
resto del sistema debe experimentar un cambio igual de momento angular pero opuesto. 
 El principio de conservación del momento angular va más allá de las limitaciones de 
la mecánica Newtoniana. Es válido para partículas cuyas velocidades se aproximan a la ve-
locidad de la luz y también en el mundo de las partículas subatómicas. No se han encontra-
do excepciones. 
Son ejemplos de conservación del momento angular: 
!" Patinador girando: un patinador girando sobre sí mismo que no esté sometido a un 
momento o torque exterior su momento angular permanece constante alrededor del 
eje de rotación, aunque varíe su velocidad angular alejándose los brazos del cuerpo. 
!" Estabilización de un satélite: Antes de lanzar un satélite de comunicaciones al espacio 
desde la bodega de la lanzadera espacial se le hace girar alrededor de su eje central. 
Esto se debe a que de la misma forma que la dirección del movimiento de una partícu-
la es más difícil de cambiar por un impulso cuando el momento lineal de la partícula 
es grande que cuando es pequeño. De la misma forma la orientación de un objeto gi-
rando es más difícil de cambiar por un torque externo cuando el objeto tiene un mo-
mento angular grande que si es pequeño. La orientación de un satélite que no está gi-
rando puede ser alterada por pequeños momentos externos como presiones de radia-
ción solares o pequeñas restos de atmósfera. 
Energía cinética de un sistema de partículas.- 
Análisis de la energía cinética de una partícula: Teorema trabajo-energía cinética: Si sobre 
una partícula, de masa m, realizamos una fuerza y la partícula experimenta un desplaza-
miento se define el trabajo realizado por la fuerza sobre la partícula: 
f f f f
2 2
neto neta cinéticaf i
i i i i
dp 1 1W F dr dr vdp mvdv mv mv E
dt 2 2
! + ! ! ! ! ( ! 'E E E E
!! ! ! !! ! ! 
La energía cinética de un sistema de N partículas será la suma de las energías cinéti-
cas de cada una de ellas. 
 Sea un sistema de dos partículas, de masas m1 y m2, si consideramos sus velocida-
des referidas a un sistema inercial OXYZ, la energía cinética del sistema será iguala la suma 
de las energías cinéticas de cada partícula: # $ # $2 2c 1 1 2 21 1E m v m v2 2! " . 
 La energía cinética de cada partícula depende de la velocidad, y esta depende del sis-
tema de referencia elegido, luego la energía cinética de un sistema de partículas depen-
derá del sistema de referencia usado. 
Por tanto, si consideramos las velocidades, de cada partícula, respecto del centro de 
masas del sistema, la energía cinética interna será: # $ # $2 2c 1 1 2 21 1E ' m v ' m v '2 2! " . 
 Siendo la relación entre ellas: 
© Julio Anguiano Cristóbal 
 Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 13 
 
# $ # $
# $ # $ # $ # $ # $
# $ # $ # $ # $ # $
2 22 2
c 1 2 1 CM 1 2 CM 21 2
2 2 2
c 1 2 CM 1 1 2 2 CM 1 1 2 2
2 2 2
c CM 1 1 2 2 c traslación c interna
1 1 1 1E m v m v m V v ' m V v '
2 2 2 2
1 1 1E m m V m v ' m v ' V m v ' m v '
2 22
1 1 1E M V m v ' m v ' E E '
2 2 2
9 ! " ! " " "=
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“La Energía Cinética de un sistema de partículas puede expresarse como la suma de la 
energía cinética orbital, asociada con el movimiento del centro de masas, y de la energía ci-
nética interna, relativa al centro de masas”. 
 Es importante entender claramente que la energía cinética interna es una propie-
dad del cuerpo, independiente del observador y distinta de la energía cinética traslacional 
del sistema. 
Colisiones. Tipos de colisiones.- 
 Cuando dos partículas se aproximan su interacción mutua cambia su movimiento. 
Como en la colisión no intervienen fuerzas externas, entonces por aplicación del Princi-
pio de conservación del momento lineal decimos que el momento lineal del sistema en 
conjunto permanecerá constante. 
 La interacción provoca un cambio de momento lineal en las partículas y puede alte-
rar o no la energía interna de ellas y disipar o no-energía mecánica. En una colisión las 
dos partículas no tienen que entrar en contacto físicamente. Así cuando un cometa se 
aproxima al Sistema Solar su trayectoria se curva debido a la interacción o colisión. Otro 
ejemplo sería la colisión de un partícula alfa con un núcleo. 
 Un impacto tiene lugar cuando dos cuerpos colisionan durante un intervalo muy 
pequeño de tiempo, provocando fuerzas relativamente grandes entre los dos cuerpos. En ge-
neral hay dos tipos de impacto. El Impacto Central tiene lugar cuando la dirección de 
movimiento de los centros de masas de las dos partículas que colisionan está a lo largo de la 
línea que pasa a través de los centros de masas de las partículas. Esta línea se llama línea 
de impacto, perpendicular al plano de contacto. Cuando el movimiento de una o de las 
dos partículas forma un ángulo con la línea de impacto se dice que le impacto es oblicuo. 
Procedimiento para analizar el impacto central: 1º) Se conserva el momento lineal del 
sistema de partículas; 2º) el coeficiente de restitución 
# $
# $
Bf Af final
Bi Ai inicial
v v
e
v v
(
! (
(
relaciona las velo-
cidades relativas de las partículas a lo largo de la línea de impacto, solamente antes y des-
pués de la colisión. 
Procedimiento para analizar el impacto oblicuo: 1º) Se conserva el momento lineal del 
sistema de partículas a lo largo de la línea de impacto; 2º) el coeficiente de restitución 
# $
# $
xBf xAf final
xBi xAi inicial
v v
e
v v
(
! (
(
 relaciona las componentesde las velocidades relativas de las partícu-
las a lo largo de la línea de impacto, eje x, solamente antes y después de la colisión; 3º) el 
momento lineal de la partícula A se conserva a lo largo del eje y, perpendicular a la línea de 
impacto, ya que no existe impulso sobre la partícula A en esa dirección; 4º) el momento de 
la partícula B se conserva a lo largo del eje y, perpendicular a la línea de impacto, ya que no 
actúa impulso sobre la partícula B en esa dirección. 
Las colisiones o impactos son: 1) Elástico, sin pérdida de energía mecánica ya que el 
impulso de deformación es igual y opuesto al impulso de restitución (e=1). 2) Inelástico, con 
pérdida parcial de energía mecánica (e<1). 3) Plástico o totalmente inelástico (e=0), después 
de la colisión las dos partículas están acopladas y se mueven con una velocidad común. 
Para el análisis del problema de las colisiones no es posible utilizar el principio de 
trabajo-energía, ya que a partir de él no es posible conocer cómo varían o se mueven duran-
te la colisión, las fuerzas internas de deformación y de restitución. Ahora bien, conociendo 
las velocidades de las partículas, antes y después de la colisión, la pérdida de energía du-
© Julio Anguiano Cristóbal 
 Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 14 
rante la colisión se puede calcular en base a la diferencia de la energía cinética de las partí-
culas. Cuando ocurre la colisión, la pérdida de energía, Ec2-Ec1=-(U2-U1), se debe a que parte 
de la energía cinética de la partícula se transforma en energía térmica así como en crear 
sonido y en la deformación localizada del material. 
 
 
Impacto Central 
Colisión Elástica siendo la línea de impacto en el eje X y el plano de contacto el eje OY: 
Conservación del momento lineal: 
# $ # $ # $ # $Ai Bi A Ai B Bi A Af B Bf Af Bfinicial inicial final finalp p m v m v m v m v p p" ! " ! " ! "
! ! ! !! ! ! ! 
Conservación de la energía cinética: 
# $ # $ # $ # $2 2 2 2A Ai B Bi A Af B Bf
inicial final
1 1 1 1m v m v m v m v
2 2 2 2
A B A B" ! "
C D C D
 
La conservación del momento lineal y la conservación de la energía cinética, implica 
que el coeficiente de restitución sea igual a uno (e=1). Es decir, la relación entre las veloci-
dades relativas de las partículas, a lo largo de la línea de impacto, exactamente antes y des-
pués de la colisión es 
# $
# $
Bf Af final
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v v
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v v
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Demostración: 
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A Ai B Bi A Af B Bf Bf BiA
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A Ai B Bi A Af B Bf Bf Bi Bf BiA
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m v m v m v m v v vm
m v vm v v m v v
m v m v m v m v v v v vm
m v v v vm v v m v v
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Bf Bi Bf Bi Bf BiA
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v v v v v vm
m v v v v v v
v vv v v v e 1
v v
v v v v
( " (9 :( ! != =( " (
= = (= =" ! " * ! ( !; < (= =( ! ( (= =
= => ?
 
Al resolver el sistema siguiente podemos calcular las velocidades de las partículas 
exactamente después de la colisión: 
# $ # $# $
# $ # $# $
A Ai B Bi A Af B Bf
Bf Af
Bf Af Bi Ai
Bi Ai
A B Ai B Bi
A Ai B Bi A Af B Bi Ai Af Af
A B
A Ai B A Bi
A Ai B Bi A Bf Bi Ai B Bf Bf
A B
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v v1 v v v v
v v
m m v 2m v
m v m v m v m v v v v
m m
2m v m m v
m v m v m v v v m v v
m m
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Impacto Oblícuo 
Plano de contacto
línea de
impacto Ø ß
Plano de 
contacto
línea de
impacto
Impacto Central Impacto Oblícuo
contacto
línea de
impacto
ø
µ
A B A B
Ø
A B
v
VB
B
m
A
=m B
90º
© Julio Anguiano Cristóbal 
 Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 15 
Si el eje Y se establece dentro del plano de contacto y el eje X a lo largo de la línea de 
impacto, las fuerzas impulsivas de deformación y restitución actúan sólo en la dirección del 
eje X. Descomponiendo los vectores velocidad o momento lineal en componentes a lo largo 
de los ejes X e Y es posible escribir cuatro ecuaciones escalares independientes para deter-
minar las componentes de la velocidad antes y después del impacto. Colisión Elástica 
siendo la línea de impacto en el eje X y el plano de contacto el OY: 
Conservación del momento lineal del sistema a lo largo de la línea de impacto, eje X: 
A xAi B xBi A xAf B xBfm v m v m v m v" ! " 
Conservación del momento lineal de la partícula A, a lo largo del eje Y, que es perpendicu-
lar a la línea de impacto, mientras no actúe un impulso sobre la partícula A en esa direc-
ción: A yAi A yAfm v m v! 
Conservación del momento lineal de la partícula B, a lo largo del eje Y, que es perpendi-
cular a la línea de impacto, mientras no actúe un impulso sobre la partícula B en esa direc-
ción: B yBi B yBfm v m v! 
Conservación de la energía cinética: 
# $ # $ # $ # $2 2 2 2A Ai B Bi A Af B Bf1 1 1 1m v m v m v m v2 2 2 2" ! " 
La conservación del momento lineal del sistema a lo largo de la línea de impacto y la 
conservación de la energía cinética, implica que el coeficiente de restitución sea la rela-
ción de las componentes de las velocidades relativas de las partículas a lo largo de la línea 
de impacto, que es el eje X: 
# $
# $
xBf xAf final
xBi xAi inicial
v v
e 1
v v
(
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Demostración: 
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A xAi B xBi A xAf B xBf xBf xBiA
B xAf xAiA xAf xAi B xBf xBi
m v m v m v m v v vm
m v vm v v m v v
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2 2 2 2
A Af Ai B Bf Bi
2 2 2 22 2 2 2
A xAf yAf xAi yAi B xBf yBf xBi yBi
2 2 2 2
A xAf xAi B xBf xBi
m v m v m v m v
m v v m v v
m v v v v m v v v v
m v v m v v
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m v v v vv v
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xBf xBi xBf xBi xBf xBiA
B xAf xAi xAf xAi xAf xAi
xBf xBi xBf xBi xBf xBi xBf xAf
xAf xAi xAf xAi xAf xAi xBi xAi
xBf xBi xAf xAi
xBf xAf xBi xAi
v v v v v vm
m v v v v v v
v v v v v v v ve 1v v v v v v v v
v v v v
v v v v
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( " (= = (! * ! ! (; <( " ( (= =
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( ! ( (> ?
 
 
Al resolver el sistema siguiente podemos calcular las velocidades de las partículas 
exactamente después de la colisión: 
 
 
 
© Julio Anguiano Cristóbal 
 Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 16 
 
# $ # $# $
# $
A xAi B xBi A xAf B xBf
xBf xAf
xBf xAf xBi xAi
xBi xAi
A B xAi B xBi
A xAi B xBi A xAf B xBi xAi xAf xAf
A B
A xAi B
A xAi B xBi A xBf xBi xAi B xBf xBf
m v m v m v m v
v v1 v v v v
v v
m m v 2m v
m v m v m v m v v v v
m m
2m v m
m v m v m v v v m v v
" ! "9 :
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# $
A xBi
A B
m v
m m"
 
Colisión Elástica y oblicua entre dos partículas de masa distinta estando una de ellas 
en reposo y si conocemos el ángulo de desviación de la que hace de proyectil: 
1ª Forma.- Consideramos la línea de impacto en el eje X y el plano de contacto el OY: 
Conservación del momento lineal del sistema a lo largo de la línea de impacto, eje X: 
A xAi A xAf B xBfm v m v m v! " 
Conservación del momento lineal de la partícula A, a lo largo del eje Y, que es perpendicu-
lar a la línea de impacto, mientras no actúe un impulso sobre la partícula A en esa direc-
ción: yAi yAfv v! 
Conservación del momento lineal de la partícula B, a lo largo del eje Y, que es perpendi-
culara la línea de impacto, mientras no actúe un impulso sobre la partícula B en esa direc-
ción: B yBi B yBfm v m v 0! ! 
Conservación de la energía cinética: # $ # $ # $2 2 2A Ai A Af B Bf1 1 1m v m v m v2 2 2! " 
Considerando lo anterior 
# $ # $# $
# $ # $
A xAi A xAf B xBf
xBf xAf xAi
A B xAi
A xAi A xAf B xAi xAf xAf
A B
A xAi
A xAi A xBf xAi B xBf xBf
A B
m v m v m v
v v v
m m v
m v m v m v v v
m m
2m vm v m v v m v v
m m
! "9 : *; <( !> ?
(
! " " * !
"
! ( " * !
"
 
Conocemos el ángulo de desviación del proyectil respecto de la dirección original y no la di-
rección original. Sea F el ángulo el ángulo de la dirección respecto de la línea de impacto y 
G el ángulo de desviación después del impacto. Luego 
# $
# $ # $
# $
# $
# $
# $ # $# $
# $ # $ # $
yAi
yAixAi A B
A B xAiyAf A B
A BxAf
A B
A B
2
A B B A B
v
tan
vv m m
tan tan
m m vv m m
tan
m mv
m mtan tantan tan
1 tan tan m m
m m tan tan 2m tan m m tan 0
9 :
F != = "= = * F " G ! ! F; < ( (= =F " G != = "> ?
"F " G
F " G ! ! F
( F + G (
" G F ( F ( ( G !
 
 
2ª Forma.- 1) Ecuación de conservación del momento lineal: Ai Af Bfp p p! "
! ! ! . 2) Ecuación de 
conservación de la energía: # $ # $ # $2 2 2Ai Af Bf
A A B
1 1 1p p p
2m 2m 2m
! "
! ! !
 
Resolvemos el sistema de la siguiente forma: 
 
© Julio Anguiano Cristóbal 
 Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 17 
 
 
# $ # $ # $ # $
# $ # $ # $ # $ # $ # $
2 2 2 2
Ai Af Bf Bf Ai Af Ai Af Ai Af
2 2 2 2 2 2B
Ai Af Bf Bf Ai Af
A A B A
p p p p p p p p 2p p
m1 1 1p p p p p p
2m 2m 2m m
( +9 :! " * ! ! " (
= = *; <A B! " * ! (= =C D> ?
! ! ! ! ! ! ! ! ! !
! ! ! ! ! ! 
# $ # $ # $ # $2 2 2 2BAf Ai Af Ai Af Ai Af
A
mEcuación de 2º grado en p : p p 2p p cos p p
m
+ A B" ( + G ! (C D 
Colisión Elástica y oblicua entre dos partículas de masa igual estando una de ellas en 
reposo y si conocemos el ángulo de desviación de la que hace de proyectil: Las dos par-
tículas salen perpendicularmente. 
1ª Forma.- Consideramos la línea de impacto en el eje X y el plano de contacto el OY: 
Conservación del momento lineal del sistema a lo largo de la línea de impacto, eje X: 
xAi xAf xBfv v v! " 
Conservación del momento lineal de la partícula A, a lo largo del eje Y, que es perpendicu-
lar a la línea de impacto, mientras no actúe un impulso sobre la partícula A en esa direc-
ción: yAi yAfv v! 
Conservación del momento lineal de la partícula B, a lo largo del eje Y, que es perpendi-
cular a la línea de impacto, mientras no actúe un impulso sobre la partícula B en esa direc-
ción: yBi yBfv v 0! ! 
Conservación de la energía cinética: # $ # $ # $2 2 2A B Ai Af BfSi m m v v v! * ! " 
Considerando lo anterior 
# $
# $
xAi xAf xBf xAf
xAi xAf xAi xAf
yAi yAf yAf yAi
yBi yBf xBf xAi
xAi xBf xAi xBf
yBf yBixBf xAf xAi
v v v v 0
v v v v
v v v v
v v 0 v v
v v v v
v v 0v v v
! " !9 : 9 9
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2ª forma: 
# $ # $ # $
# $ # $ # $ # $
# $ # $ # $
Ai Af Bf
A B 2 2 2
Ai Af Bf
2 2 2 2
Ai Af Bf Af Bf Af Bf
Af Bf Af Bf2 2 2
Ai Af Bf
v v v
Si m m
v v v
v v v v v 2v v
2v v 0 v v
v v v
! "9 :
! * *; <
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9 :! " ! " " += = * + ! * 3; <
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! ! !
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Las velocidades finales constituyen un paralelogramo siendo la diagonal la velocidad 
inicial. 
Colisión Plástica o totalmente inelástica: En este tipo de colisión no se conserva la ener-
gía cinética # $A A B B A B CMm v m v m m V" ! "
!! ! 
 
© Julio Anguiano Cristóbal 
 Física: PROBLEMAS de “Dinámica de una partícula” Página 18 
Problemas de “Dinámica de una partícula”: 
1) Conocido el vector de posición de una partícula, de componentes rx=t2; ry=2t en metros, 
calcula a los 3 s: a) la velocidad; b) la aceleración; c) la aceleración tangencial; d) la acelera-
ción normal; e) la ecuación de la trayectoria. [a) vx=6 m/s; vy=2 m/s; b) ax=2 m/s2; c) 
at(x)=1,8 m/s2; at(y)=0,6 m/s2; d) an(x)=0,2 m/s2; an(y)=-0,6 m/s2; e) y=2x½]. 
2) Desde el suelo se dispara un proyectil con una velocidad de 80 ms-1 formando un ángulo 
de 45º con la horizontal. Calcula: a) tiempo de vuelo; b) alcance máximo; c) vector de posi-
ción cuando lleva la mitad de tiempo de vuelo; d) ecuación de la trayectoria. [a) 11,5 s; b) 
653 m; c) rx=326 m y ry=163,1 m; d) y=x-0,0015x2] 
3) Un proyectil es lanzado hacia arriba formando un ángulo con la horizontal. Prueba que el 
tiempo de vuelo del proyectil desde el suelo a su altura máxima es igual al tiempo de vuelo 
desde su altura máxima al suelo. 
4) Una partícula describe una circunferencia de 5 m de radio con velocidad constante de 2 
ms-1. En un instante dado frena, con una aceleración constante de 0,5 m/s2 hasta pararse. 
Calcula: a) la aceleración de la partícula antes de empezar a frenar; b) la aceleración 2 s 
después de empezar a frenar; c) la aceleración angular mientras frena; d) tiempo que tarda 
en parar; e) número de vueltas que da desde que empieza a frenar hasta que se para. [a) 0,8 
m/s2; b) 0,53 m/s2; c) 0,1 rad/s2; d) 4 s; e) 0,12] 
5) Un volante parte del reposo con aceleración constante. Después de dar 100 vueltas la ve-
locidad es de 300 rpm, calcula: a) la aceleración angular; b) la aceleración tangencial de un 
punto situado a 20 cm del eje. [a) 0,785 rad/s2; b) 0,157 m/s2] 
6) Una persona de 95 kg está situada sobre una báscula en un ascensor. Determina el peso 
aparente en los casos: a) el ascensor sube con una aceleración de 1,80 m/s2; b) el ascensor 
sube a velocidad constante; c) el ascensor baja con una aceleración de 1,30 m/s2. [a) 1102 
N; b) 931 N; c) 807,5 N] 
7) Una persona de 60 kg está situada sobre una báscula dentro de un ascensor moviéndose. 
La masa del ascensor y de la báscula es de 815 kg. Partiendo del reposo, el ascensor sube 
con una aceleración, siendo la tensión en el cable del ascensor de 9410 N. ¿Cuál es la lectu-
ra sobre la escala durante la aceleración?. [645 N] 
8) Desde lo alto de un ascensor de 3 m de altura se deja caer un objeto cuando el ascensor 
sube con una aceleración de 2 m/s2. Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo del as-
censor. [0,71 s] 
9) Un objeto de 2 kg se suspende del techo de un vagón de ferrocarril. Si la cuerda que suje-
ta al objeto es inextensible y consideramos que su peso es nulo. Calcula el ángulo, que la 
cuerda forma con la vertical, si el vagón lleva un movimiento rectilíneo uniformemente ace-
lerado de aceleración 3 m/s2 . [17º] 
10) Un bloque en reposo sobre una superficie horizontal pesa 425 N. Una fuerza aplicada al 
bloque tiene una magnitud de 142 N, estando dirigida hacia arriba formando un ángulo con 
la horizontal. El bloque empieza a moverse cuando el ángulo es de 60º. Determina el coefi-
ciente de fricción estático entre el bloque y la superficie. [0,235] 
11) Un patinador sobre hielo lleva una velocidad inicial de 7,60 m/s. Se desprecia la resis-
tencia del aire. Calcula: a) la desaceleración causada por la fricción cinética, si el coeficiente 
de fricción cinética entre el hielo y el filo de los patines es de 0,100; b) ¿cuánta distancia re-
correrá hasta que se pare?. [a) 0,98 m/s2; b) 29,5 m] 
12) A un bloque de 121 kg le aplicamos una fuerza de 661 N formando un ángulo de 20º por 
encima de la horizontal. El coeficiente de fricción estático entre el bloque y la superficie es 
de 0,410. ¿Cuál es la cantidad mínima de masa que se ha de poner encima del bloque para 
impedir que se mueva?. [56,7 kg] 
13) Un bloque de masa 10 kg es empujado hacia arriba en un plano inclinado, de 30º con la 
horizontal, con una fuerza de 73,1 N y que forma un ángulo de 10º con la tangente al plano 
inclinado. Si el sistema no tiene rozamiento determina la fuerza que ejerce el plano sobre el 
bloque y la aceleración a lo largo del plano. [72,2 N y 2,3 m/s2] 
© Julio Anguiano Cristóbal 
 Física: PROBLEMAS de “Dinámica de unapartícula” Página 19 
14) Sobre una mesa horizontal tenemos un objeto de masa 10 kg. Si el coeficiente de roza-
miento del objeto y la mesa es de 0,25 y, partiendo del reposo, adquiere una velocidad de 12 
m/s en 36 m de movimiento rectilíneo, determina el valor de la fuerza horizontal aplicada. 
[44,5 N] 
15) Dos cuerpos de 0,5 kg cada uno cuelgan de los extremos de un hilo que pasa por una 
polea. ¿Qué masa hay que añadir a uno de ellos para que el otro recorra 1 m en 2s? y ¿qué 
tensión soportará la cuerda?. [53 g y 5,2 N] 
16) Dos fuerzas tienen de componentes: 1ª) F1x=2N, F1y=7N; 2ª) F2x=3N, F2y=4N. Se aplican 
simultáneamente sobre una masa de 500 g. Calcula: a) ¿cuánto vale el módulo de la acele-
ración que adquiere la masa?; b) si la masa tiene una velocidad inicial, de componentes 
vix=3m/s; viy=-4m/s, y se encuentra en el punto (0m,0m) ¿qué posición ocupará al cabo de 
tres minutos?. [a) 24,2 m/s2; b) (162,5; 355,6) km] 
17) Un bloque de masa 0,2 kg sube por un plano inclinado de 30º con la horizontal, si la ve-
locidad inicial con la que empezó la subida fue de 12 m/s, a) calcula hasta donde subirá si 
el coeficiente de rozamiento es µ=0,16 y, b) ¿cuál será la velocidad del bloque cuando llegue 
a la parte más baja del plano inclinado?. [a) 11,5 m; b) 9,03 m/s] 
18) Sobre una mesa horizontal hay un cuerpo de 10 kg, que está unido mediante un hilo y 
una polea a otro de 5 kg que está colgando verticalmente. El coeficiente de rozamiento del 
cuerpo con la mesa es 0,20. a) Calcula la aceleración del sistema y dibuja las fuerzas exis-
tentes. b) Determina la masa mínima que ha de tener un cuerpo para que al colocarlo sobre 
el de 10 kg éste no se mueva. [a) g/5; b) 15 kg] 
19) Un bloque A de 5 kg situado sobre una mesa horizontal, está unido a un hilo que pasa a 
través de una polea ideal colocada en el borde de la mesa. El coeficiente de rozamiento del 
bloque con la mesa es de 0,2. Calcular la aceleración del bloque A si: a) del extremo del hilo 
cuelga un bloque B de igual masa que A; b) se tira del extremo del hilo con una fuerza cons-
tante de 50 N. [a) 3,92 m/s2; b) 8,0 m/s2.] 
20) Un ciclista va a realizar un giro llamado el “rizo de la muerte” en el que realiza un giro 
por una carretera colocada perpendicularmente. Si el radio del rizo es de 2,7 m, ¿cuál es la 
velocidad menor que puede tener el ciclista para que pueda permanecer en contacto con el 
rizo?. [5,1 m/s] 
21) Un coche de masa 1600 kg viaja a una velocidad constante de 20 m/s por una carretera 
circular llana de radio 190 m. ¿Cuál es el valor mínimo del coeficiente µs estático entre los 
neumáticos del coche y la carretera para prevenir que el coche se deslice?. [0,21] 
22) En una carretera en la que no hay fricción, por ejemplo, sobre hielo, un coche se mueve 
con una velocidad constante de 20 m/s alrededor de una curva con peralte. Si el radio es de 
190 m ¿cuál es el ángulo que deberá tener el peralte si no hay rozamiento?. [12º] 
23) En un cilindro de radio 2,1 m apoyamos un objeto, de masa 49 kg, que tiene un coefi-
ciente de rozamiento con la pared del cilindro de 0,40. a) ¿Cuál es la velocidad mínima para 
que el objeto no se deslice hacia abajo?; b) ¿cuál es la fuerza centrípeta sobre el objeto?. [a) 
7,2 m/s; b) 1209 N] 
© Julio Anguiano Cristóbal 
 Física: PROBLEMAS de “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 20 
Problemas de Dinámica de un sistema de partículas: 
1) Calcula el centro de masas de las tres partículas: 3,0 kg en el punto (0m;0m); 8,0 kg en el 
(1m;2m) y 4,0 kg en el (2m;1m). [(1,1m;1,3m)] 
2) La molécula de amoniaco (NH3) tiene la forma de una pirámide triangular. Los tres hidró-
genos están en la base formando un triángulo equilátero, siendo la distancia de cada H has-
ta el centro del triángulo de 9,4×10-11 m, y la distancia de cada H al N de 10,14×10-11 m. Si 
la relación de las masas atómicas N/H es de 13,9 determina el centro de masas relativo al 
átomo de N. [6,75×10-12 m del N] 
3) Un sistema está compuesto de tres partículas con masas 3 kg, 2 kg y 5 kg. La primera 
partícula tiene una velocidad de 6 m/s dirigida hacia el eje +X. La segunda se está moviendo 
con una velocidad de 8 m/s en una dirección que hace un ángulo de -30º con el eje X. De-
termina la velocidad de la tercera partícula si el C.M. aparece en reposo relativo al observa-
dor. [vx=-6,37m/s; vy=1,6 m/s]. 
4) Un sistema está formado por dos partículas, de masas m1=2 kg y m2=3 kg, inicialmente 
en reposo en los puntos de coordenadas (0m;4m) y (3m;0m). En el instante t=0 s se les apli-
can las fuerzas F1x=4N y F2y=6N, respectivamente. Calcular: a) posición y velocidad del CM 
al cabo de 2 s; b) posición de la segunda partícula al cabo de 4 s. [a) Rx(CM)=3,4m; Ry(CM)=4m; 
Vx(CM)=1,6m/s; Vy(CM)=2,4m/s; b) r2x=3m; r2y=16m]. 
5) Dos masas de 10 kg y de 6 kg están situadas en los puntos (0,3) m y (4,0) m, respectiva-
mente y unidas por una barra rígida de masa despreciable. Estando inicialmente en reposo, 
se someten a las fuerzas de 8 N paralela al eje X, la primera, y de 6 N paralela al eje Y, la se-
gunda. a) Calcula las coordenadas del centro de masas (CM) en función del tiempo. b) Ex-
presa el momento lineal en función del tiempo. [a) Rx(CM)=1,50+0,25t2 m; Ry(CM)=1,88+0,188t2 
m; b) Px(CM)=8t kg×m/s; Py(CM)=6t kg×m/s] 
6) Un objeto cae desde una altura de 180 m y, al cabo de 3 s, explota dividiéndose en dos 
fragmentos de igual masa, uno de los cuales sale con velocidad horizontal, al eje +X, de 20 
m/s. Calcular: a) velocidad del otro fragmento; b) posición del primero cuando el segundo 
alcanza el suelo. [a) vx=-20m/s; vy=-58,8m/s; b) r1x=40m; r1y=116,3m]. 
7) Un proyectil explota en el punto más alto de su trayectoria resultando dos fragmentos A y 
B. El fragmento A, de 2 kg, sale horizontalmente con una velocidad doble a la que tenía el 
proyectil en el momento de la explosión. Determinar la velocidad de salida del fragmento B e 
indicar cuál de los dos fragmentos alcanza antes el suelo. Haz un esquema de las trayecto-
rias. (Resolver el problema para valores de 1, 2 y 4 kg de la masa del fragmento B). [vA=2v; 
vB(1)=-v; vB(2)=0; vB(4)=½v; igual t] 
8) Un patinador de 70 kg, en reposo sobre una pista de hielo, lanza un objeto de 10 kg con 
una velocidad horizontal de 10 m/s en el sentido positivo del eje OX. El coeficiente de roza-
miento patín-hielo es de 0,1. Determinar: a) la velocidad del patinador 0,2 s después del 
lanzamiento; b) velocidad del objeto respecto del centro de masas patinador-objeto, en ese 
mismo instante. Dato: g=10 m/s2. [a) vx=-1,23m/s; b) vx=9,83m/s; vy=-17,5m/s]. 
9) Una cañón de masa 1300 kg lanza una bala de masa 72 kg en una dirección horizontal 
con una velocidad relativa al cañón de 55 m/s. ¿Cuál es la velocidad de retroceso del cañón 
respecto de la Tierra y la velocidad de la bala respecto de la Tierra?.[-2,9 y 52 m/s] 
10) Una bala de masa 3,50 g se dispara horizontalmente. La bala atraviesa un objeto, de 
masa 1,20 kg, que está en reposo, y luego se incrusta en otro objeto de masa 1,80 kg, que 
también está en reposo. El primer objeto adquiere una velocidad de 0,630 m/s y el segundo, 
con la bala en su interior, adquiere una velocidad de 1,40 m/s. Calcula: a) la velocidad de la 
bala inmediatamente después de salir del primer bloque; b) la velocidad inicial de la bala. 
[721 m/s y 937 m/s] 
11) Un cuerpo de 6 kg, en reposo en el origen de coordenadas, explota en tres fragmentos de 
masas 1 kg, 2 kg y 3 kg. Considera el plano XY horizontal y el eje Z vertical. Las componen-
tes de las velocidades de los dos primeros: (v1x=8m/s) y (v2x=-4m/s;v2y=2m/s). Calcula: a) la 
velocidad del tercer fragmento; b) la cantidad de movimiento del sistema antes y después de 
la explosión; c) momento cinético respecto al origen, de cada fragmento y del sistema, a los 
© Julio Anguiano Cristóbal 
 Física: PROBLEMAS de “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 21 
tres segundos de laexplosión. [a) v3y=4/3m/s; b) 0; c) L1y=360kg×m2/s; L2x=-180kg×m2/s; 
L2y=-360kg×m2/s; L3x=180kg×m2/s; |Ltotal|=0kg×m2/s] 
12) Un sistema de dos partículas, de masas m1=2 kg y m2=3 kg, situadas en los puntos 
(0,1,1) m y (-1,0,1) m, se mueven con velocidades de componentes: v1x=10m/s; v2x=-4m/s y 
v2y=4 m/s. Calcula: a) la velocidad del centro de masas; b) los momentos lineales de cada 
una respecto del centro de masas; c) el momento angular del sistema respecto del centro de 
masas (sistema-C); d) el momento angular del sistema respecto del sistema OXYZ (sistema-
L); e) verifica la relación: L=Lorbital+Linterno. [a) Vx(CM)=8/5m/s; Vy(CM)=12/5m/s; b) 
p’1x=84/5kg×m/s=-p’2x; p’1y=-24/5kg×m/s=-p’2y; c) L’z=-21,6J×s; d) Lx=-12J×s; Ly=8J×s; Lz=-
32J×s; e) Lx(orbital)=-12J×s; Ly(orbital)=8J×s; Lz(orbital)=-10,4J×s] 
13) Un núcleo originalmente en reposo, se descompone radiactivamente por emisión de un 
electrón de momento lineal y en ángulo recto a la dirección del electrón un neutrino. Calcu-
la: a) en qué dirección retrocede el núcleo original; b) cuál es el momento lineal del núcleo 
residual y su velocidad. Datos: pelectrón=9,22×10-21 kg×m/s; pneutrino=5,33×10-21 kg×m/s; mnú-
cleo(residual)=3,90×10-25 kg. [a) 150º con el electrón; b) 1,07×10-20 kg×m/s y 27,3 km/s] 
14) Sea el sistema constituido por dos partículas, denominadas 1 y 2, de masas, posición y 
velocidad: m1=4kg; r1y=4m; v1x=2m/s y m2=6kg; r2x=4m; v2y=3m/s. Verifica: a) la relación en-
tre el momento angular referido al sistema-L y al sistema-C; b) la relación entre la energía 
cinética del sistema referida al sistema-L y al sistema-C. [a) Lz(total)=40J×s; Lz(orbital)=30,4J×s; 
Lz(interno)=9,6J×s; b) Ec(total)=35J; Ec(orbital)=19,4J Ec(interna)=15,6J] 
15) Una partícula de masa 5 kg moviéndose a una velocidad de 2 m/s colisiona con otra de 
8 kg en reposo. Si la colisión es elástica calcula la velocidad de cada partícula después del 
choque en los dos casos: a) colisión frontal; b) si la primera es desviada 50º desde su direc-
ción original. [a) v’1=0,46 m/s; v’2=1,54 m/s; b) v’1=1,57 m/s; v’2=0,97 m/s] 
16) Una partícula de 4 kg se mueve en el sentido positivo del eje OX con una velocidad de 2 
m/s. Otra partícula de 1 kg se mueve hacia el origen, para chocar con la de 4 kg, a una ve-
locidad de 4 m/s en una dirección que forma un ángulo de +30º con el eje OX. Calcular la 
velocidad de cada partícula después del choque, supuesto éste: a) elástico; b) inelástico. [a) 
v’1x=-0,2 m/s; v’2x=5,28 m/s; v’2y=-2 m/s; b) VCM=0,91i-0,4j m/s] 
17) Dos bolas A y B de masas diferentes y desconocidas chocan, estando A inicialmente en 
reposo cuando B tiene una velocidad. Después del choque B tiene otra velocidad de módulo 
la mitad de la inicial y dirección perpendicular a su movimiento original. Determina en qué 
dirección se mueve A después del choque. [a -26,56º de la dirección de B] 
18) En un reactor nuclear se producen neutrones rápidos que deben ser retardados antes 
de que ellos participen en el proceso de reacción en cadena. Esto se realiza haciéndolos coli-
sionar con el núcleo de átomos en un moderador. Calcula: a) ¿qué fracción de la energía ci-
nética de un neutrón, de masa m1, se reduce en una colisión frontal elástica con un núcleo 
de masa m2 inicialmente en reposo?; b) la fracción por plomo, carbono y hidrógeno. Datos: 
la relación entre la masa nuclear y la masa del neutrón (m2/m1) es para el plomo de 206, 
para el carbono 12 y para el hidrógeno 1. [a) fracción = (Ki - Kf)/Ki = 4×m1×m2/(m1+m2)2; b) 
0,019; 0,28 y 1] 
19) El péndulo balístico es un aparato que se usaba para medir las velocidades de las balas. 
El aparato consiste de un gran bloque de madera de masa 5,4 kg colgado desde dos largos 
cordones. Una bala de masa 9,5 g se dispara horizontalmente contra el bloque, que está en 
reposo. El bloque con la bala incrustada, después del impacto, suben, de tal forma que su 
centro de masa sube una distancia vertical de 6,3 cm hasta que se para. Calcula: a) la velo-
cidad de la bala antes de la colisión; b) la energía cinética inicial de la bala y la energía me-
cánica que permanece. [a) 630 m/s; b) 1900 J y 3,3 J] 
20) Dos partículas, de igual masa, tienen una colisión elástica estando una de ellas en repo-
so. Demuestra (a menos que la colisión sea frontal) que las dos partículas después de la co-
lisión se mueven perpendicularmente. i if f f fv v v v v v! " # ! "
2 2 2
1 11 2 1 2
! ! ! 
 
21) Un núcleo radiactivo de Uranio-235 se desintegra espontáneamente a Torio-231 emi-
tiendo una partícula alfa. Si la partícula alfa tiene una masa de 4,00×u y una energía cinéti-
© Julio Anguiano Cristóbal 
 Física: PROBLEMAS de “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 22 
ca de 4,60 MeV calcula la energía cinética de retroceso del núcleo Torio-231 de masa 231×u. 
[79,7 keV] 
22) Un protón, de masa atómica 1×u, con una velocidad de 500 m/s colisiona elásticamente 
con otro protón en reposo. El protón primero se desvía 60º de su dirección inicial. a) ¿Cuál 
es la dirección de la velocidad del protón en reposo después de la colisión?; b) ¿cuáles son 
las velocidades de los dos protones?. 
[a) 30º respecto del incidente; b) 250 m/s y 433 m/s] 
23) Dos esferas pequeñas de 0,5 kg y 1 kg cuelgan de un mismo punto mediante dos hilos 
de 1 m de longitud. Se eleva la esfera de 0,5 kg hasta que el hilo está horizontal y se suelta, 
dejándola caer libremente. Calcular: a) velocidad de la esfera inmediatamente antes de cho-
car con la otra esfera; b) velocidad de cada esfera después del choque, supuesto elástico; c) 
altura máxima de cada esfera tras el choque. [a) 19,6½ m/s; b) v’1(0,5)=1,48 m/s; v’2=2,9 m/s; 
c) 0,11 m; 0,44 m] 
24) Una granada de masa m se mueve horizontalmente a 2 m/s, explota en tres fragmentos 
de masas m/3, m/2 y m/6. Inmediatamente después de la explosión, los tres fragmentos se 
mueven en un mismo plano vertical, el primero, horizontalmente, a 5 m/s y el segundo, a 5 
m/s, formando 45º con la horizontal. a) Calcule la velocidad del tercer fragmento después de 
la explosión y haga un esquema vectorial de las velocidades de los tres fragmentos. b) Ex-
prese la velocidad del centro de masa del sistema en función del tiempo. 
 
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 Física: “Campos. Trabajo y energía” Página 1 
ÍNDICE DE “CAMPOS. TRABAJO Y ENERGÍA” 
Campos Escalares y Vectoriales 
Significado físico del vector gradiente 
Circulación de un Campo Vectorial. Campos Conservativos 
Campos conservativos: propiedades 
Trabajo. Energía Cinética. Energía Potencial 
Trabajo de una fuerza variable 
Energía Cinética 
Energía Potencial 
Propiedades de un campo de fuerzas conservativo 
Conservación de la Energía Mecánica 
Principio de conservación 
Ejemplos de campos conservativos 
Fuerzas disipativas 
Flujo de un Campo Vectorial 
Teorema de Gauss 
Interacciones fundamentales de la Naturaleza 
Modelo estándar 
Fuerza electromagnética 
Fuerza débil 
Fuerza fuerte 
Problemas de Campos, Trabajo y energía 
 
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Campos Escalares y Vectoriales.- 
Concepto de Campo: El concepto de campo surge a mediados del siglo pasado, debido a 
Faraday, para explicar las interacciones entre cargas eléctricas. Para explicar estos hechos 
Faraday supuso que una carga eléctrica situada, en reposo, en el espacio está rodeada de 
un campo eléctrico (electrostático), el cual actúa sobre otra carga en reposo. Si la primera 
carga estuviese en movimiento estaría rodeada de un campo electromagnético, el cual influi-
ría electromagnéticamente sobre otra carga en reposo o en movimiento. 
 La interacción mutua entre dos partículas se describe mediante el concepto de campo 
de fuerzas. Es decir, en vez de hablar de la acción de una partícula sobre otra, podemos de-
cir que la partícula crea un campo en torno a ella y determinadafuerza actúa entonces so-
bre cada una de las otras partículas situadas en el campo. 
 El concepto de campo tiene mucha importancia en la Física ya que las interacciones no 
se propagan instantáneamente sino a una velocidad finita. Así la fuerza que actúa sobre 
una partícula en un instante dado, no está determinada por las posiciones de las demás en 
el mismo instante. Un cambio en la posición de una de las partículas repercute sobre las 
otras partículas tan sólo después de transcurrido un cierto tiempo. Esto significa que el cam-
po tiene una realidad física y no podemos hablar de una interacción directa de partículas co-
locadas a distancia las unas de las otras. 
 Las interacciones en un instante cualquiera pueden ocurrir solamente en puntos 
muy próximos en el espacio sería interacciones de contacto. 
 Por tanto, lo correcto es hablar de la interacción de una partícula con el campo y de la 
ulterior interacción del campo con una segunda partícula. Ahora bien, es conveniente recor-
dar que las interacciones electromagnéticas tienen al fotón como partícula transportadora 
de la interacción siendo la velocidad de la luz finita. 
 En una región del espacio se considera que existe un Campo cuando hay un ob-
servable físico en cada punto del espacio. Si el observable físico es de naturaleza escalar, 
tal como la temperatura, la presión, etc., será un Campo Escalar y si es de naturaleza vecto-
rial, tal como la velocidad, la fuerza, etc., será un Campo Vectorial. 
Campos escalares: 
Una magnitud escalar U, como la temperatura, que toma valores determinados en 
cada punto del espacio se llama función escalar del punto o campo escalar ! "U U r# ! . Por 
ejemplo, campo de temperatura, de densidad de un medio no homogéneo, de presiones, etc. 
Un campo escalar puede definirse mediante la función escalar del argumento vectorial 
! "U U r# ! 
 
 
U=1
U=0,5
U=-1
U=-0,5
1 2 1 2x
y y
x
U=1/r
U=-1/r
x
y
z
 
 
Representaciones gráficas de los campos escalares: 
2 2 2 2
1 1U(x, y) ; U(x, y)
x y x y
# # $
% %
 
Superficie de nivel: Consideremos un campo escalar U(x,y,z), los puntos del campo (puntos 
del espacio) en los cuales U(x,y,z) toma el mismo valor constituyen una superficie de nivel. 
Siempre se cumple que por cada punto del campo pasa sólo una superficie de nivel. 
Campos vectoriales: 
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 Física: “Campos. Trabajo y energía” Página 3 
Una magnitud vectorial ! "F F r#
! ! !
 que toma un valor determinado en cada punto del 
espacio se llama función vectorial o Campo Vectorial. Ejemplos de campos vectoriales: un 
campo de fuerzas, de fuerza gravitatoria o de fuerza electrostática, el campo de velocidades 
de las partículas de un líquido en movimiento, un campo de intensidad eléctrica, un campo 
magnético o de inducción magnética. 
 
Representaciones gráficas de un Campo Vectorial central están en el dibujo anterior. 
Líneas del campo: En un campo vectorial se llaman líneas del campo a unas líneas tales 
que en cada punto de la línea el vector del campo es tangente a la curva (líneas radiales y 
líneas circulares). Siempre se cumple que por cada punto del campo pasa sólo una línea del 
campo y, por tanto, las líneas no se cortan. 
Derivada direccional; gradiente: En un campo escalar U=U(x,y,z), como la Temperatura, al 
pasar de un punto P, de vector de posición ! "x y zr ;r ;r , a otro punto P’ infinitamente próximo, 
de vector de posición ! "x x y y z zr dr ;r dr ;r dr% % % , éste varía un diferencial de U (dU). 
Si U dependiera sólo de la variable x entonces dUdU dx
dx
# 
y
x=dx&
dy &
y
y=f(x)
tg =dy/dx
x
dy=y'∙dx
línea tangente
&y es el cambio en y a lo largo de la curva
dy=y'∙dx es el cambio de en y a lo largo de la
línea tangente. 
Un diferencial de U sería la derivada de U con respecto a la variable multiplicado por 
lo que varía la variable, es decir, un diferencial de x. Como U depende de las tres variables 
x, y, z: 
y,z x,yx,z
U U UdU dx dy dz
x y z
' () ) )' ( ' (# % %* +* + * +) ) ), - , -, -
 
Diferencial de una función U en un punto es el producto de las derivadas de la fun-
ción en ese punto por un incremento de la variable independiente. Ejemplo: 
! " ! "
2
2
y x
U x y
U UdU dx dy 2xy dx x dy
x y
. #
/
' () )0 ' (# % # %* +* +/ ) ), - , -1
 
Si el diferencial de desplazamiento en el campo escalar es igual a dr dx i dy j dz k# % %
! ! !!
 
 Podemos escribir: 
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y,z x,yx,z
U U UdU U dr i j k dx i dy j dz k
x y z
U U UdU U dr dx dy dz
x y z
2 3) ) ) 2 3# 4 5 # % % 5 % %6 7 8 9) ) )8 9
' () ) )' ( ' (# 4 5 # % %* +* + * +) ) ), - , -, -
! ! ! ! ! !! !
! !
 
Que es el producto escalar del gradiente de U por el diferencial del vector desplazamiento. 
Significado físico del vector gradiente: Representa la dirección del máximo cambio en los 
valores del Campo Escalar o la dirección de máxima pendiente en el Campo Escalar. 
 
O
r
dr
!U
U=cte
U=cte
!U
v
dU
ds =!U∙cosß
ß
 
 
Si nos movemos en una superficie equiescalar o de nivel, es decir, por puntos en los 
que dU=0, significa que el producto escalar del vector gradiente de U, U4
!
, por el vector dr
!
 
es cero: dU U dr 0# 4 5 #
! !
 
 El producto escalar cero implica que los dos vectores son perpendiculares, por tan-
to, el vector gradiente de U es un vector perpendicular a la superficie de nivel. 
Circulación de un Campo Vectorial. Campos Conservativos.- 
Circulación elemental: 
Sea un campo vectorial cuyo vector campo en el punto P(x,y,z) viene dado por 
x y zF F i F j F k# % %
! ! !!
 y sea x y zdr dr i dr j dr k# % %
! ! !!
 un desplazamiento elemental cualquiera. Se 
define la circulación elemental del vector al producto escalar del vector en ese punto por 
el diferencial de la posición: 
x y z
x x y y z z
x y z
F F i F j F k
dC F dr F dr F dr F dr
dr dr i dr j dr k
. :# % %/ / ; # 5 # % %0 <
# % %/ /1 =
! ! !!
! !
! ! !! 
Ejemplo: En física elemental aprendimos que el trabajo realizado por la fuerza aplicada so-
bre un objeto es igual al producto de la fuerza por el desplazamiento. Si la fuerza y el des-
plazamiento no es paralelo, entonces la componente de la fuerza perpendicular al desplaza-
miento no realiza trabajo. 
Si la fuerza varía con la distancia o también la dirección del movimiento cambia con 
el tiempo, podemos escribir, para un desplazamiento infinitesimal 
dW F dr# 5
! !
 
 Circulación a lo largo de una trayectoria: 
Supongamos que el objeto se mueve a lo largo de una trayectoria curvilínea que une 
dos puntos A y B. Si hay definido un campo de fuerzas en todos los puntos de la trayectoria 
curvilínea, como a lo largo de una curva hay sólo una variable independiente podemos es-
cribir la circulación como función de una única variable. Por tanto, la integral de a lo largo 
de una curva dada será una integral sencilla de una variable y se llama integral de línea o 
curvilínea, en contrate con la integral en una superficie que es doble. 
F
d r
dW=F∙drA
B
 
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Se llama Circulación del Campo Vectorial a lo largo de la trayectoria desde A hasta 
B a la integral curvilínea de la función vectorial tomada sobre el camino AB: 
i i
N B
(r ) i (r ) ir 0 A
i 1
lim F r F dr
& >
#
5 & # 5? @! !!
! !! ! 
Propiedades de la Circulación: 
B A C B
A B A C
F dr F dr F dr F dr5 # $ 5 # 5 % 5@ @ @ @
! ! ! !! ! ! ! 
Ejemplo: Dada la fuerza 2F xyi y j# $
! !!
 calcula el trabajo realizado por la fuerza a lo largo 
de los caminos indicados en la figura desde (0,0) hasta (2,1). 
1
2
3
3
(2,1)
21
1
 
Al ser 
B 2,1
2
A 0,0
W F dr xydx y dy2 3# 5 # $8 9@ @
! !
, debemos escribir la integral en términos de 
una variable. 
A lo largo del camino 1 que es la línea recta de ecuación y=½∙x