Algebra general

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Matemáticas. 
 
 Reales 
 Complejos 
 
Racionales ∅ Irracionales ∅’ 
 
Enteros Z W: enteros no negativos (naturales y cero) 
 I: enteros 
 
Positivos Negativos 
(naturales)N 
 Cero 
 
 
Recta Numérica. 
 
 
 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 
 
 -3 -2 -1 0 1 2 3 
 
 
Reales Son todos los de la recta 
 
Naturales enteros positivos 
 
Racionales Números fraccionarios. Razón entre dos números. 
 
Irracionales Son los que tienen decimales no consecutivos. Ejemplos:∏=3.14159.... 
√2=1.428 
 
 
Complejos. 
 
√25=5 
√-25=5i número complejo i=√-1 
√25(-1)= √25√-1=5i 
 
 
División. 
 
 cociente 
a/b a= numerador b= denominador divisor dividendo 
 residuo 
 
 5 
Ejemplo 5 25 
 0 
 
Número Primo. 
 
El conjunto de números, primos, consta de todo aquel número natural mayor que 1 que 
sea divisible únicamente por él mismo y la unidad. 
 
 
Número Compuesto. 
 
Es aquel número primo mayor que uno que no es primo. 
 
 
Criterios de Divisibilidad 
 
Divisibilidad por dos. 
 
Todo número que termina en un dígito por 0 en cero, es divisible por dos. 
 
 
Divisibilidad por tres. 
 
Todo número es divisible por tres cuando la suma de los dígitos de dicha cifra, es divisible 
por tres. 
 
 
Divisibilidad por cinco. 
 
Todo número es divisible por cinco si termina en cero o cinco. 
 
 
Divisibilidad por siete. 
 
Un número es divisible por siete cuando separando la primera cifra de la derecha, 
multiplicándola por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así 
sucesivamente, da cero o múltiplo de siete. 
 
 
Divisibilidad por once. 
 
La unidad, seguida de un número par de ceros, es igual a un múltiplo de 11 más la 
unidad. 
 
Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos 
de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, 
de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11. 
 
 
Divisibilidad por trece. 
 
Un número es divisible por trece cuando separando la primera cifra de la derecha, 
multiplicándola por 9, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así 
sucesivamente. Da 0 o múltiplos de 13. 
 
Factores Primos. 
 
Por encontrar los factores primos de un número, se empieza con los números primos en 
orden, verificando si el número es divisible por dos, si es así, se divide entre dos y se 
obtiene el cociente. Después se verifica si es divisible por tres y así sucesivamente; el 
proceso termina hasta que el cociente sea 1. 
 
Todos los divisores obtenidos son los factores primos del numerador dado. 
 
 
780 2 
390 2 
195 3 
65 5 Factores Primos 
13 13 
 
 
 
 
Operaciones con Números Racionales. 
 
Fracciones Equivalentes. 
 
Son aquellas fracciones en las que su razón es la misma. 
 
2/3=5(2)/5(3)=10/15 5/7=-6(5)/-6(7)=-30/-42 
 
 
Simplificación de Fracciones 
 
 
72/80=8*9/8*10=9/10 
 
24/36=12*2/12*3=2/3 
 
 
Mínimo Común Múltiplo. 
 
Es el menor entero positivo divisible por cada uno de los miembros de un conjunto de 
enteros. Se abrevia como mcm. 
 
El mínimo común múltiplo de los denominadores de un conjunto de fracciones, se llama 
mínimo común denominador. Ejemplo: 
 
 
12 18 9 2 
mcm 6 9 9 2 7/12+5/18+7/9=21+10+8/36=39/36=13/12 
 3 9 9 3 
 1 3 3 3 
 1 1 1 
 
 
 
Multiiplicación y División. 
 
 
 
4/3 X1/2=4/6 
 
 
Si el producto de dos números es igual a uno, se dice que los números son inversos 
multiplicaivos o recíprocos. 
 
Forma Decimal de los Números Racionales. 
 
 
 unidad 
 décimas 
842.39 centésimas 
 
 centena 
 
 decena 
 
 unidad 
 
 
El primer número a la izquierda del punto decimal, ocupa el lugar de las unidades. El 
segundo número a la izquierda de dicho punto, es el de las decenas, y el tercero, el de las 
centenas. 
 
El primer número a la derecha del punto decimal, ocupa el lugar de las décimas; el 
segundo, el de las centésimas; etc. 
 
12.68=1268/100=317/25 1/3=0.3 1/7=0.142857 
 
Regla.- Cuando el denominador de la fracción es un múltiplo de dos o de cinco, la forma 
decimal se realiza; de lo contrario, se repetirá cierto grupo de números indefinidamente. 
 
1/25=0.04 0.23=23/99-100x=23.732323....... 
3.21=318/99=106/33 
 
Regla.- Sí se tiene un decimal periódico con un solo dígito que se repite, el número puede 
expresarse como una fracción, al dividir el periodo entre 9.Ejemplo:0.7=7/9. 
 
Si el número tiene dos dígitos en el periodo, puede escribirse como una fracción, 
dividiendo tal periodo entre 99.21=21/99. 
 
 
Algebra. 
 
Términos semejantes. 
 
Dos o más términos semejantes cuando tienen la misma letra con mismos exponentes. 
 
8ª Para sumar y restar solo se puede hacer en términos semejantes. Solamente se 
pueden reducir términos semejantes. 
 
Reducción de Términos Semejantes. 
 
Para reducir términos semejantes, se suman los coeficientes y a continuación se escribe 
la parte literal. 
 
-3a+4b-6ª+81b-114b+31ª-a-b=21ª-30b 
 
 
Suma Algebraica. 
 
Regla General. 
 
Para sumar dos o mas expresiones, se escriben una a continuación de las otras con sus 
propios signos, y se reducen los términos semejantes si los hay. 
 
Ejemplo: 
 
 7a+(-8b)+(-15a)+(-4c)+8=8a-8b-4c+8 
 (-7mn2)+(-5m)+16mn2+(-4m)=9mn2-9m 
 (a-b)+(2ª+3b-c)+(-4ª+5b)=a+7b-c 
 (p+q+r)+(-2p-6q+3r)+(p+5q-8r)=-4r 
 
 
Resta Algebraica. 
 
Regla.- Se escribe el minuendo con sus propios signos, el sustraendo se escribe con los 
signos cambiados y finalmente se reducen los términos semejantes. 
 
minuendo 8-4=4 sustraendo 
 
 
 diferencia 
 
De –5 resta –2 –5+2=-3 Restar 8 de 10 10-8=2 
 
 
Signos de Agrupación. 
 
Pueden ser ( ), [ ], { } o ______.Se emplean para indicar que las cantidades encerradas en 
ellos, deben considerarse como un todo, o sea, como una sola cantidad. 
 
 
 
Regla: 
 
1) Cuando antes del signo de agrupación hay un signo positivo, se deja el mismo signo 
que tengan cada una de las cantidades que se hallan dentro de él. 
 
2) Cuando antes del signo de agrupación, hay un signo -, se cambia el signo de cada una 
de las cantidades que están dentro de él. 
 
 
Multiplicación Algebraica. 
 
Regla para multiplicar.- Se multiplican los coeficientes y se escriben las letras en orden 
alfabético, los exponentes que tengan los factores. El signo del producto está dado por la 
regla de los signos. 
(1/2x3)(-2/3a2)(-3/5 a4m)=1/5ª6mx4
 
 
División Algebraica. 
 
Ley de los exponentes. Para dividir potencias de la misma base, se deja la misma base y 
se restan los exponentes. 
 
-5a4b3c/-a2=5a2b2c -20mx2y3/4xy3=-5mx 
 
 
División de Polinomios (Teorema de Euclides) 
 
Dividir 3x2+2x-8 entre x+2 
 
 
X+2 3x2+2x-8 
 -3x2-6x 
0 -4x-8 
+4x+8 
0 0 
 
 
División Sintética. 
 
 
Dividir 1x3-5x2+3x+14 entre x-3 
 
1 -5 3 14 x3 máximo exponente 
 3 -6 -9 
 
1 -2 -3 5 residuo x2 se baja un nivel 
 
 
 multiplico 
cociente 
 
-Coeficiente 1x2-2x-3 
 
-Residuo 5 
 
 
Productos Notables 
 
Binomio al cuadrado (a+b)2
 
(a+b)2 (a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
 
Regla: 
 
Cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado 
del segundo. 
 
Nota. Cuando el binomio es una diferencia, la regla es: cuadrado del primero menos el 
doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. Ejemplo: (a-
b)2=a2-2ab+b2
 
Binomio al Cubo. 
 
(a+b)3 (a+b)(a+b)(a+b)=(a2+2ab+b2)(ab)=a3+3ª2b+3ab2+b3
 
Regla: 
 
Cubo del primer término más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el 
triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. 
 
(x+2)3=x3+3x2(2)+3x(2)2+8=x3+6x2+12x+8 
(2a+3)3=83+3(12a2)+3(18ª)+27=8a3+36a2+54ª+27 
 
 
Nota: Para desarrollar un binomio al cubo (a-b)3.Cubo del primer término menos el triple 
del cuadrado del primero por el segundo más el triple del primero por el cuadrado del 
segundo menos el cubo del segundo.(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
 
Binomios Conjugados (a+b)(a-b) 
 
(a+b)(a-b) a2-ab+ab-b2=a2-b2
 
Regla: 
 
Cuadrado delminuendo menos cuadrado del sustraendo. (5an+1+3ªm)(3am-5an+1)=9a2m-
25a2n+2 
 
 
 
 
 
Forma Especial del Binomio Conjugado. 
 
Binomio conjugado [(a+b)+c][(a+b)-c] 
 
[(a+b)+c][(a+b)-c]= 
(a+b)2-c2=a2+2ab+b2-c2
(a+b+c)(a-b-c)=[a+(b+c)][a-(b+c)]=a2-(b+c)2
 =a2-(b2+2bc+c2) 
 =a2-b2+2bc-c2
 
 
Producto de dos binomios de la forma (x+a)(x+b) 
 
 
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 
(x+2)(x+3)=x2+5x+6 
(m+2)(m-1)=m2+m-2 
(w+8)(w-3)=w2+5w-24 
 
 
Producto de dos binomios de la forma (mx+a)(mx+b) 
 
(3x+5)(4x+6)=12x2+18x+20x+30 
 
 
Factorización. 
 
Factor Común a2+2ª 
 
a2+2ª=a(a+2) 
10b-30ab2=b(10-30ab)=10b(1-3ab) 
10a2-5ª+15a3=5ª(2a-1+3a2) 
6xy3-9nx2y3+12nx3y3-3n2x4y3=3xy3(2-3nx+4nx2-n2x3) 
 
Factor común por agrupación de términos. 
 
ax+bx+ay+by=x(a+b)+y(a+b)=(x+y)(a+b) 
ax+bx+ay+by=(ax+bx)+(ay+by)=x(a+b)+y(a+b)=(x+y)(a+b) 
 
otra solución=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y) 
 
3m2-6mn+4m-8n=3m(m-2n)4(m-2n)=(3m+4)(m-2n) 
 
Diferencia de cuadrados perfectos. X2-y2=(x+y)(x-y) 
 
Regla: 
 
Se extrae la raíz cuadrada del minuendo y del sustraendo. La suma de estas raíces se 
multiplica por su diferencia. 
 
a2/4-b4/9=(9/2+b2/3)(a/2-b2/3) 
 
Trinomio de la forma x2+bx+c 
 
X2+bx+c=(x+y)(x+z) 
X2+8x+15=(x+5)(x+3) 
 
Obtenemos dos números que sumados den el primero 8 y multiplicados, el segundo 15. 
 
X2-10x+24=(x-6)(x-4) 
X2-5x-36=(x-9)(x+4) 
 
 
Trinomio de la forma ax2+bx+c 
 
6x2-5x-6=(2x+2)(3x-3) 
 
Se escogen combinaciones que no sean divisibles los números. 
 
2x 3 4x 
3x 2 -9x (2x+2)(3x+3) 
 
 
Polinomio Cubo Perfecto 
 
a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3
 
Características de un polinomio cubo perfecto: 
 
a) Tener cuatro términos. 
 
b) Que el primero y el último término sean cubos perfectos. 
 
c) Que el segundo término, siendo positivo o negativo, sea el triple del cuadrado del 
primero con raíz cúbica extraída, multiplicado por la raíz cúbica del último termino. 
 
d) Que el tercer término sea positivo y el triple de la raíz cúbica del último. 
 
8x3+12x2+6x+1=(2x+1)3
 
 
2x 3(2x)2(1) 
 
 
 
 3(2x)(1)2 1 
 
 
 
 
 
 
 
Suma o diferencias de cubos perfectos. 
 
 
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) 
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 
 
x3+1=(x+1)(x2-x+1) 
a3-8=(a-2)(a2-8ª+(4) 
(a+b)3-1=[(a+b)-1][(a1+b)2+1] 
 
 
Producto Notable 
 
Binomio de Newton 
 
(a+b)n=an+n/1an-1b+n(n-1)/1*2ªn-2b2...+n(n-1)(n-2)/1*2*3an-3b3+...... 
 
....+n/1abn-1+bn
 
(a+b)2=a2+2ab+b2
 
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
 
(a+b)4=a4+4ª3b+6a2b2+4ab3+b4
 
(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
 
 
Fracciones Algebraicas. 
 
36a3b2c/54abc3=2a2b/3c2
 
36x3y6(x-2)/20xy(x-2)4=9x2y4/5(x-2)3
 
30x2y3-18xy2/12x2y2=6xy2(5xy-3)/12x2y2=(5xy-3)/2x 
 
 
Multiplicación Algebraica. 
 
X2-3x/2x2+11x+5*6x2+x+1/3x2-10x+3=x(x-3)/(2x+1)(x+5)*(2x+1)(3x-1)/(x-3)(3x-1)=x/x+5 
 
 
División Algebraica. 
 
3a3/5b2/9a2/20b=3a5/5b2*20b/9a2=4ª/3b 
 
 
 
 
 
Teorema de Factor 
 
(2x3-9x2+10x-7) / x-3 
 
2 -9 10 -7 3 
 6 -9 3 
 
2 -3 1 -4 residuo 
 
 
Teorema de factor :Un polinomio P(x), tiene un factor x-c, si y sólo si P(c) es igual a cero. 
 
P(x)=x3-3x2+7x-10 x-2 
P(2)=23-3(2)2+7(2)-10 
P(2)=8-12+14+10 
P(2)=0 
 
Por lo tanto x-2 Si es factor del polinomio. 
 
 
Exponentes. 
 
Teoremas. Ejemplos 
 
1)am*an=am+n a4*a3=a7
 
2)(am)n=am*n (a2)5=a10
 
3)(ab)m=ambm (ab)3=a3b3 
 
 
 
 am-n->cuando m>n 
 1 ->cuando m=n a5/a3=a2;a5/a5=1;a3/a5=a-2=1/a2
4) am/an 1/an-m->cuando m<n 
 
 
5) (a/b)m=am/bm (a/b)5=a5/b5
 
 
Gobran 
 
(am)1/n=(a1/n)m=am/n
 
(an)1/n=(an/n)=a1=a 
 
 
 
 
 
 
 
Radicales. 
 
n√a radicando 
 
 radical 
 
 índice 
 
 
(25)1/2=2√25 5√(14)4=144/5
(7)1/3=3√7 (2√25)2=(251/2)2=25 
 
n√a=a1/n n√am=am/n
 
 
 
 
Forma Estándar de Radicales. 
 
Significa tener el radical en su forma simplificada. Para que un radical esté en su forma estándar 
o simplificado, se deben cumplir las siguientes condiciones: 
 
• Radicando positivo √+a 
 
• El índice del radical es el menor posible 
 
• El exponente de cada factor del radicando es un número positivo menor que el índice 
del radical y entero 
 
• No hay fracciones en el radicando 
 
• No hay radicales en el denominador cuando se trata de fracciones. 
 
 
√32=√25=√24*2=22√2=4√2 
 
Cuando el radicando es negativo. 
 
Indice por: 
 
√-4 Número imaginario 
 
Indice impar 
 
3√-5= -3√5 
 
 
Operaciones Radicales (combinación de radicales) 
 
Dos o más radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y el mismo radicando. 
 
 
√24 = √23*3=√22*2*3=2√6 √24+√54=5√6 
√54=√2*33=√2*3*32=3√6 
 
 
√18+√27 No son semejantes 
 
3√2 3√3 
 
 
Multiplicación de Radicales. 
 
n√an√b=n√ab 
√2*√3=√2*3=√6 
 
 
 
División de Radicales. 
 
n√a/n√b=n√a/b 
 
√6/√3=√6/3=√2 
 
Cuando hay fracciones en el radicando, se multiplican el numerador y el denominador del 
radicando por el número mínimo que haga que el denominador sea una raíz perfecta. 
 
√a/b=√a/b*b/b=√ab/b=1/b√ab 
 
Cuando aparece un radical en el denominador de una fracción, se multiplican el numerador y el 
denominador por el radical. 
 
a/√b=a/√b*√b/√b=a√b/b=a/b√b 
 
 
Racionalización. 
 
Factor racionalizador. Solo se cambia el signo intermedio √2+3 √2-3 
 
Racionalización. 
 
Significa multiplicar el numerador y el denominador por el factor racionalizador. 
 
√2/2-√3=√2(2+√3)/2-√3(2+√3)=2√2+√2√3/4-2√3+2√3-√9=2√2+√6/4-3=2√2+√6/1 
 
 
Números Complejos. 
 
i=√-1 i2=-1 
 
Un número complejo consta de dos partes, una parte real y otra imaginaria. 
 
a+bi a=parte real bi=parte imaginaria 
 
 
Solución de Desigualdades. 
 
Al resolver una desigualdad estamos el conjunto de soluciones que satisfacen dicha desigualdad. 
 
2+x=20 
x=20-2 
x=18 
 
2+x<20 
x<20-2 
x<18 
 
Diferencia. 
 
La desigualdad da como resultado un conjunto de soluciones, la ecuación da sólo un resultado. 
 
X+5>15 
x>15-5 
x>10 
(10,∞) 
 
 
Sistema de Desigualdades Lineales. 
 
 
I)6x+3≥2x-5 
II)3x-7<5x-9 
 
Desigualdad I 
6x-2x≥-5-3 
4x≥-8 
x≥-8/4 
x≥-2 
 
Desigualdad II 
3x-7<5x-9 
3x-5x<-9+7 
-2x<-2 
x>1 
 
 
 X/x ≥-2 ∩ x/x>1 = x/x>1 
 
 
 Tal que intersección 
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	algebra general 2.pdf
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	Polinomio Cubo Perfecto 
	Teorema de Factor 
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