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TEMA 6: CÓNICAS Luis F. GIMILIO BARBOZA página 95
TEMA 6: CÓNICAS
1. FORMAS CUADRÁTICAS
Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Una función f V V K: × → es una
forma bilineal si:
f x x y f x y f x y
f x y y f x y f x y
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
λ µ λ µ
λ µ λ µ
⋅ + ⋅ = +
⋅ + ⋅ = +
! ! ! ! ! ! !
! ! ! ! ! ! !
1 2 1 2
1 2 1 2
Fijando una base B e e en= { , ,..., }
! ! !
1 2 , podemos utilizar la siguiente notación
matricial:
( )f x y x x
f e e f e e
f e e f e e
y
y
X A Yn
n
n n n n
t( , ) ...
( , ) ... ( , )
... ...
( , ) ... ( , )
...
! !
! ! ! !
! ! ! !
= ⋅








⋅








⋅ ⋅1
1 1 1
1
1
 
Si A es la matriz asociada a f en la base B, B’ es otra base y P es la matriz
asociada al cambio de base de B’ a B entonces la matriz A’ asociada a f en la base B’
es la matriz P A Pt ⋅ ⋅ .
Sea V un espacio vectorial sobre R y f una forma bilineal simétrica en V.
Llamaremos forma cuadrática asociada a f a la aplicación:
ϕ ϕ: ( ) ( , )V R x f x x→ = 
! ! !
• Ejemplo:
( )
( )
f x y x x x
y
y
y
x y x y x y x y x y x y x y x y
x x x x x
x
x
x
x x x x x x x x
( , )
( , )
! !
! !
= ⋅








⋅








= + + + + + + +
= ⋅








⋅








= + + + +
1 2 3
1
2
3
1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3
1 2 3
1
2
3
1 2 1 3 2
2
2 3 3
2
0 1 3
1 2 1
3 1 1
3 2 3
0 1 3
1 2 1
3 1 1
2 6 2 2ϕ
Decimos que f es la forma polar de ϕ y queda perfectamente determinada por ϕ .
• Ejemplo:
ϕ ϕ: ( )R R x x x x x x x x3 1
2
2
2
3
2
1 2 3 13 4 2 8→ = + + + + 
!
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( )
( ) ( ) ( )
ϕ( )!x x x x
a a a
a a a
a a a
x
x
x
a x a a x x a a x x a x a a x x a x
= ⋅








⋅








=
= + + + + + + + +
1 2 3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1
2
3
11 1
2
12 21 1 2 13 31 1 3 22 2
2
23 32 2 3 33 3
2
Como se tiene que cumplir que a aij ji= para que sea simétrica:
( )ϕ( )!x x x x
x
x
x
= ⋅








⋅







1 2 3
1
2
3
1 1 4
1 3 0
4 0 4
Con lo que la forma polar de ϕ es:
( )f x y x x x
y
y
y
( , )
! ! = ⋅








⋅







1 2 3
1
2
3
1 1 4
1 3 0
4 0 4
Si en una base B’ la matriz asociada a ϕ es diagonal:
λ
λ
λ
1
2
0 0
0 0
0 0
...
...
... ... ... ...
... n












En dicha base la expresión de ϕ será de la forma:
ϕ λ λ λ( , ,..., ) ...x x x x x xn n n1 2 1 1
2
2 2
2 2= + + +
El rango de la matriz coincide con el número de λ i distintos de cero.
Llamaremos signatura de ϕ al número λ i mayores que cero.
CLASIFICACIÓN
• Decimos que ϕ es definida positiva si ϕ( )
!
x > 0 para todo 
! !
x ≠ 0 .
ϕ es definida positiva ⇔ orden = rango = signatura
• Decimos que ϕ es semidefinida positiva si no es definida positiva y ϕ( )
!
x ≥ 0 para todo 
!
x .
ϕ es semidefinida positiva ⇔ orden ≥ rango = signatura
• Decimos que ϕ es definida negativa si ϕ( )
!
x < 0 para todo 
! !
x ≠ 0 .
ϕ es definida negativa ⇔ orden = rango =signatura = 0
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• Decimos que ϕ es semidefinida negativa si no es definida negativa y ϕ( )
!
x ≤ 0 para todo 
!
x .
ϕ es semidefinida negativa ⇔ orden > rango = signatura = 0
2. CÓNICAS (DEFINICIÓN)
Llamamos cónicas a las curvas obtenidas como intersección de un plano y un
cono.
De forma informal, diremos que una cónica es el conjunto de puntos (x,y) de R2 que
satisfacen la ecuación ϕ( , , )1 0x y = para alguna forma cuadrática ϕ:R R3 → .
( )1
1
0
00 01 02
10 11 12
20 21 22
x y
a a a
a a a
a a a
x
y
⋅








⋅








=
Los puntos (x,y) de R2 los representaremos por ternas del tipo ( )1 x y .
Traslaciones
Cualquier punto ( )1 x y puede ser trasladado p1 unidades a la derecha y p2
hacia arriba de la siguiente forma:
P X p
p
x
y
⋅ =








⋅








1 0 0
1 0
0 1
1
1
2
Si X A Xt ⋅ ⋅ = 0 es la ecuación de una cónica, ésta puede ser trasladada con
la misma matriz P:
( ) ( )P X A P X
X P A P X
A P A P
t
t t
t
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅
0
0
'
A
p p
A p
p
'=








⋅ ⋅








1
0 1 0
0 0 1
1 0 0
1 0
0 1
1 2
1
2
• Ejemplo:
4 40 9 126 505 02 2x x y y− + − + = es una elipse con centro en el punto (5,5).
( )1
505 20 63
20 4 0
63 0 9
1
0x y x
y
⋅
− −
−
−








⋅








=
y p+ 2
x p+ 1x
y
•
•
5
5
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Trasladamos el origen al punto (5,5):
1 5 5
0 1 0
0 0 1
505 20 63
20 4 0
63 0 9
1 0 0
5 1 0
5 0 1
36 0 0
0 4 0
0 0 9








⋅
− −
−
−








⋅








=
−







Y obtenemos la siguiente ecuación:
( )1
36 0 0
0 4 0
0 0 9
1
0
36 4 9 0
9 4
1
2 2
2 2
x y x
y
x y
x y
⋅
−







⋅








=
− + + =
+ =
Rotaciones
De forma análoga, tomando como referencia el origen de coordenadas,
cualquier punto ( )1 x y puede ser rotado α grados en sentido contrario a las
agujas del reloj de la siguiente forma:
1 0 0
0
0
1
cos sen
sen cos
α α
α α−








⋅








x
y
Si A es la matriz asociada a una cónica, la matriz de la cónica resultante de
rotar la anterior es:
1 0 0
0
0
1 0 0
0
0
cos sen
sen cos
cos sen
sen cos
α α
α α
α α
α α
−








⋅ ⋅
−








A
Invariantes
Al realizar una rotación o una traslación a la matriz de una cónica permanecen
invariantes los siguientes parámetros:
A
a a a
a a a
a a a
=
00 01 02
10 11 12
20 21 22
A
a a
a a00
11 12
21 22
=
( , )0 2
( , )3 0
( , )x yαº
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a a11 22+ A A
a a
a a
a a
a a11 22
00 02
20 22
00 01
10 11
+ = +
Si la cónica está dada con centro en el origen y ejes sobre los ejes de
coordenadas, su matriz será diagonal.
k 0 0
0 k 0
0 0 k
 k k x k y 0
A k k k
A k k
a a k k
A A k k k k
0
1
2
0 1
2
2
2
0 1 2
00 1 2
11 22 1 2
11 22 0 1 0 2








+ + =
= ⋅ ⋅
= ⋅
+ = +
+ = +






Resolviendo las ecuaciones anteriores podemos obtener los valores de k0, k1 y k2.
• Ejemplo: Si la matriz de una determinada cónica es 
−







36 0 0
0 31 4 5 3 4
0 5 3 4 21 4
Obtenemos el valor de cada invariante:
A A a a A A=
− ⋅
⋅
=
⋅
+ = + =
− ⋅36 576
4 4
576
4 4
52
4
36 52
400 11 22 11 22
 
Planteando el sistema:
A k k k
A k k
a a k k
k k k x y
k k k x y
= ⋅ ⋅
= ⋅
+ = +




= − = = − + + =
= − = = − + + =



0 1 2
00 1 2
11 22 1 2
0 1 2
2 2
0 1 2
2 2
36 4 9 36 4 9 0
36 9 4 36 9 4 0
 
 
 
; ;
; ;
Las dos soluciones que aparecen se corresponden con elipses. La diferencia
entre ambas está en la consideración de cuál es el eje mayor o menor.
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3. CLASIFICACIÓN DE LAS CÓNICAS
Dada la ecuación de una cónica de la forma k k x k y0 1
2
2
2 0+ ⋅ + ⋅ = .
Elipse: k k1 2 0⋅ >
(tienen el mismo signo)
• elipse real: k0 0< (es del signo opuesto)
• elipse degenerada (punto): k0 0= (la solución es (0,0))
• elipse imaginario: k0 0> (del mismo signo) (no tiene solución real)
Hipérbola: k k1 2 0⋅ <
(tienen distinto signo)
• hipérbola real: k0 0≠
• hipérbola degenerada (dos rectas que se cortan en un punto): k0 0=
Las rectas son: 
bx ay
bx ay
+ =
− =



0
0
Parábola: k k1 2 0⋅ =
• k1 0= dos rectas reales: k k0 2 0⋅ < (de la forma y k k= ± − 0 2 )
dos rectas reales coincidentes: k0 0=
dos rectas imaginarias: k k0 2 0⋅ >
• k2 0= dos rectas reales: k k0 1 0⋅ <
dos rectas reales coincidentes: k0 0=
dos rectas imaginarias: k k0 1 0⋅ >
• si no es ninguno de los casos anteriores:
A
a
a
kax k y
A
a
k
a
k x ay
=








+ =
=








+ =
0 0
0 0
0 0
2 0
0 0
0 0
0 0
2 0
2
2
2
1 1
2