El desarrollo del concepto de número a través de la historia

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HISTORIA 
 
 Aunque hoy nos es muy familiar el concepto de número, éste fue 
elaborado muy lentamente a través de los tiempos. Incluso en 
tiempos recientes, tribus que mantenían normas de vida muy 
primitivas tenían los conceptos numéricos muy atrasados. Por 
ejemplo, se dan casos en los que no existía nombre para 
cantidades mayores que tres; en otros, para números un poco 
mayores se utilizaban términos similares a "muchos" o 
"incontables". 
 
Si retrocedemos al tiempo, de las cuatro grandes civilizaciones del 
mundo occidental antiguo ( Babilonia, Egipto, Grecia y Roma), 
veremos que babilonios y griegos desarrollaron elevados 
conocimientos de matemáticas. 
 
Para poder realizar importantes obras agrícolas y arquitectónicas, 
los babilonios tuvieron que desarrollar, hacia el siglo XXII a. de C., 
un sistema de numeración útil. 
 
 Se sabe que su sistema de numeración era de base 60 (a 
diferencia del actual, que es de base 10); es decir, dividían la 
unidad en 60 partes (de forma similar a como dividimos una hora en 
60 minutos). Los sumerios también utilizaban este sistema de 
numeración, y realizaban complicados cálculos aritméticos. 
 
Aunque los egipcios no hicieron aportaciones tan significativas 
como los griegos al desarrollo de los números, se ha encontrado un 
interesante documento, en el cual se demuestra que ya manejaban 
algunas fracciones sencillas. Este documento se denomina el 
Papiro de Rhind. Fue escrito bajo el reinado del rey Ekenenre 
Apopi, hacia el 1600 a. de C., y, al parecer, es una transcripción de 
un escrito más antiguo, que se remontaría al reinado de 
Amenemhat o Amenemes III (XII dinastía, 1850-1800 a. de J. C.). 
En este papiro se observan unas reglas para realizar sumas y 
restas de fracciones. 
 
Cuando se debía realizar una repartición exacta, no se presentaban 
problemas de cálculo; sin embargo, si había que dividir 42 panes 
entre 10 personas, la operación se complicaba. En estos casos, los 
babilonios utilizaban el número decimal (4,2), mientras que los 
egipcios, con un sistema de numeración más primitivo, necesitaban 
de las fracciones para expresar estas divisiones no exactas. 
 1
Conocían las fracciones de numerador 1 y de denominador 2, 3, 4 , 
etc., además de las fracciones 2 / 3 y 3 / 4. En el papiro de Rhind se 
propone un método de cálculo (bastante pesado) que permite dividir 
2 entre 19 de la siguiente manera: 
 
Los chinos también conocían las fracciones, y sabían reducir a 
común denominador. Llamaban "hijo" al numerador, y "madre" al 
denominador. 
 
Pero, entre todos los pueblos de la antigüedad, fueron los griegos 
los que realizaron las aportaciones más valiosas al desarrollo del 
concepto de número. La escuela pitagórica (siglo V a. de C.) 
descubrió que sólo con los números naturales y las fracciones no 
pueden realizarse todas las medidas posibles. Existían pares de 
segmentos, como la diagonal y el lado de un pentágono regular, o la 
diagonal y el lado de un cuadrado, cuyo cociente de longitudes no 
es una fracción. Creyeron que el caos entraba en su mundo 
ordenado, y llamaron a tal razón "alogos" o irracional. 
 
Posteriormente se desarrolló el concepto de número negativo. 
Fueron los chinos, quienes en el siglo III a. de C. emplearon las 
varas de contar, un conjunto de barras pintadas de rojo para los 
números positivos, y de negro para los negativos. Un siglo después, 
aparecen por vez primera reglas para operar con los números 
negativos; sin embargo, no eran aceptados como soluciones de los 
problemas. 
 
Siglos después, hacia el año 500, en la India se plasmaron los 
orígenes de nuestro sistema de numeración. El principio de posición 
(valor relativo de las cifras), las nueve cifras y el cero aparecen en 
las obras del matemático indio Brahmagupta. Durante esta época, 
los matemáticos indios también aceptaron las soluciones negativas 
de las ecuaciones, al tiempo que admitían como números las raíces 
de otros números que no podían ser expresados mediante números 
racionales. 
 
En el año 772, una embajada india llevó hasta Bagdad los libros en 
que se recogían estos conocimientos. Gracias a este hecho, en la 
primera mitad del siglo IX se recopilaron los nuevos métodos 
matemáticos en un tratado de Al-Khuwarizmi, que en el siglo 
siguiente se difundieron lentamente por Occidente. 
 
 2
La civilización musulmana llevó estos conocimientos a Sicilia y a 
España, y los mercaderes árabes e italianos los adoptaron, 
satisfechos de no tener que llevar consigo el incómodo ábaco. Fue 
el mercader Leonardo Pisano quien, después de haber aprendido 
aquel arte de los árabes en sus viajes comerciales por Argelia, 
Sicilia y Oriente, reunió todos los conocimientos de aritmética y 
álgebra de su tiempo en una obra llamada Liber Abaci (1202), que 
difundió por Europa la numeración india. 
 
Hasta entonces, en Europa se habían evitado los números 
negativos; pero en el siglo XIII, el matemático italiano Fibonacci, en 
un problema referente al dinero, que no tiene solución positiva, 
observó su necesidad. Durante el siglo XIV, los números negativos 
eran denominados numeri absurdi. Se debió esperar hasta el siglo 
XV, para que el francés Chaquet expresara por primera vez un 
número negativo aislado en la ecuación 
 
4x = -2 
 
Durante el siglo XVI, se popularizó el uso de la barra horizontal 
para separar los términos de una fracción, nomenclatura de origen 
árabe. Pero, aunque algunos problemas se solucionaban, surgían 
otros. Al intentar resolver ecuaciones de segundo grado como 
 
 
x2 - 2x + 5 = O 
 
y otras de grado mayor, empezaron a encontrarse expresiones, 
como la raíz cuadrada de -16, que no se sabían interpretar. Aun sin 
entenderlas, algunos comenzaron a manipularlas con las mismas 
reglas que utilizaban para los números que conocian. Fue Cardano, 
durante este mismo siglo, quien propuso un nuevo tipo de números, 
que denominó ficticios, como solución a las raíces cuadradas de 
números negativos. 
 
El problema de los números irracionales no se resolvió por completo 
hasta el Siglo XVII, cuando Fermat, matemático francés que puede 
ser considerado el padre de la moderna teoría de números, 
demostró que expresiones como raíz cuadrada de 3 no eran 
números racionales. 
 
Sólo quedaba por resolver el problema de las raíces negativas; y 
esto ocurrió en 1777, cuando Euler dio a la raíz cuadrada de -1 el 
 3
nombre de i ( imaginario). En 1799, Gauss acabó de resolver el 
problema al demostrar que las soluciones de cualquier ecuación 
algebraica, fuera cual fuese su grado, pertenecía a un conjunto de 
números que él llamó complejos, a los que consideró compuestos 
de un número "ordinario" (hoy lo llamamos número real), más un 
múltiplo de la raíz cuadrada de -1, llamado unidad imaginaria. 
 
Como ha podido comprobarse, para llegar a conceptos que hoy nos 
parecen sencillos y lógicos, han tenido que pasar muchos siglos y 
muchas culturas, cada uno de los cuales ha hecho sus aportaciones 
al conocimiento de los números. 
 
 Numeraciones de otras civilizaciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4
LOS NUMEROS: e , PI , i 
 
 Sin duda, los tres números más famosos y que más atracción han 
despertado son: p, e, y i 
 
* El número p se ha estudiado durante siglos, y no es más que la 
razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro: 
 
 
 
* El número e, más tardío, es el límite de la sucesión de término 
general. 
 
 es decir, 
 
* La unidad imaginaria i, se introdujo para poder dar solución a la 
ecuación x2 + 1 = 0 
 
 A pesar de tener un origen tan dispar, los tres números se 
relacionan mediante una expresión extremadamente sencilla: 
 
 
Esta igualdad se deduce de la expresión exponencial de los 
números complejos: 
 
 
 
 
 
 
 5
LA UNIDAD IMAGINARIA 
 
 Llamamos unidad imaginaria al número Ö- 1, que se representa 
con el símbolo i 
 
De esta manera, tenemos que: i = Ö- 1 o i2 = - 1 
 
Con la unidad imaginaria i se pueden realizaroperaciones ( suma, 
resta, multiplicación, etc.) de manera similar a la de la familiar X de 
los polinomios. Con una sola excepción: i2 = -1 
 
Se admiten, por tanto, manipulaciones como las que siguen: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6
NUMEROS COMPLEJOS
 
 Se llama número complejo a una expresión de la forma a + bi, 
donde a y b son números reales. 
 
El número a se llama parte real. El número b se llama parte 
imaginaria. 
 
 
 5 + 3i (5 es la parte real, 3 la parte imaginaria) 
-7 + 4i (- 7 es la parte real, 4 la parte imaginaria) 
-1 - i (- 1 es la parte real, - 1 la parte imaginaria) 
 
 
Son casos especiales los complejos que tienen la parte real o 
imaginaria nula: 
 
Si b = 0, el número complejo se reduce a un número real, ya que a 
+ 0i = a. 
 
Si a = 0, el número complejo se reduce a bi; se dice que es un 
número imaginario puro. 
 
Si a = 0 y b = 0, resulta el número complejo 0 + 0i, que se llama 
número complejo cero, y se escribe 0. 
 
Dos números complejos son iguales si lo son las partes reales e 
imaginarias, respectivamente. 
 
Se llama conjugado de z = a + bi al número complejo z definido por 
z = a - bi. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7
LOS REALES COMO SUBCONJUNTO DE 
LOS COMPLEJOS 
 
 Al conjunto de los números complejos lo denotaremos C. 
 
Todo número real se puede considerar como un número complejo 
con parte imaginaria cero: 
 
a = a + 0 i 
 
Por tanto el conjunto de los números reales es un subconjunto de 
los complejos: 
 
 
SUMA Y RESTA
 
 
 
Queremos sumar los números complejos 3 - 2i y 5 + 6i: 
 
(3 - 2i) + (5 + 6i) = 3 + 5 - 2i + 6i = 8 + 4i 
 
Análogamente procederemos para restar el número complejo 4 - 7i 
de otro complejo 6 - 5i: 
 
(6 - 5i) - (4 + 7i) = 6 - 4 - 5i - 7i = 2 - 12i 
 
 Partiendo de estos ejemplos, se puede generalizar y decir que se 
suma (o se resta) parte real con parte real, y parte imaginaria con 
parte imaginaria: 
 
 
 8
MULTIPLICACION 
 
 Para multiplicar complejos, se aplica la propiedad distributiva como 
si se tratara de números reales; debe tenerse en cuenta que : i = 
Ö-1 , i2 = -1 
 
( 3 + 4 i ) · ( 2 - 5 i ) = 26 - 7 i 
 
En general, se tiene que: 
 
( 3 + 4 i ) · ( 2 - 5 i ) = [ 3 · 2 - 4 · (- 5) ] + [ 3 · (- 5) + 4 · 2 ] i = 26 - 7 i 
 
 
Observación: 
 
El producto de un número complejo por su conjugado, es un 
número real: 
 
( a + bi ) · ( a - bi ) = a2 + b2 
 
 
( 2 + 3 i ) · ( 2 - 3 i ) = 4 + 6 i - 6 i - 9 i2 = 4 + 9 = 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9
DIVISION 
 
 Para dividir el número complejo 5 + 15i entre el número complejo 2 
+ i: 
 
 
multiplicaremos numerador y denominador por el conjugado del 
denominador; así, el resultado no se altera y, además, el divisor 
pasa a ser un número real: 
 
 
En general: 
 
INVERSO DE UN NUMERO COMPLEJO 
 
 Recuerda que el inverso de un número N es otro número 
N' tal que su producto de 1: N · N' = 1 
 
El inverso del número complejo a + bi es: 
 
 ya que: 
 
 
 
 10
POTENCIACION 
 
 
 Para calcular (a + bi)n, podemos aplicar la propiedad distributiva y 
operar como en las expresiones algebraicas: 
 
Si las potencias son superiores a 3, es conveniente utilizar la 
expresión del binomio de Newton 
 
 
Desarrollando por el binomio de Newton la potencia (2 + 3i)4 y 
operando, obtenemos como resultado - 119 - 120 i 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11
COMPLEJOS: PROPIEDADES DE LAS 
OPERACIONES 
 
 La adición y la multiplicación tienen las mismas propiedades que 
cuando de números reales se trata. Las enunciamos sin 
demostrarlas, tarea que dejamos al lector. 
 
Conmutativas: 
 
( a + b i ) + ( c + d i ) = ( c + d i ) + ( a + b i ) 
 
( a + b i ) · ( c + d i ) = ( c + d i ) · ( a + b i ) 
 
Asociativas: 
 
[ ( a + b i ) + ( c + d i ) ] + ( e + f i ) = ( a + b i ) + [ ( c + d i ) + ( e + f i 
) ] 
 
[ ( a + b i ) · ( c + d i ) ] · ( e + f i ) = ( a + b i ) · [ ( c + d i ) · ( e + f i ) ] 
 
El elemento neutro de la suma es 0 = 0 + 0 i 
 
El elemento neutro de la multiplicación es 1 = 1 + 0 i 
 
El elemento opuesto de a + b i es - a - b i 
 
El elemento inverso de a + b i es ( a - b i ) / ( a2 + b2 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12
COMPLEJOS: ECUACION DE SEGUNDO GRADO
 
 Las raíces cuadradas de números negativos no tienen solución 
real, pero en cambio tienen solución en el conjunto de los números 
complejos. 
 
Recordemos que las ecuaciones de segundo grado con 
discriminante negativo no tienen solución en el conjunto de los 
reales (ya que en R no existe la raíz cuadrada de un número 
negativo). 
 
En el conjunto de los complejos, toda ecuación de segundo grado 
tiene solución, ya que la raíz de un número negativo sí que existe. 
 
Las soluciones de la ecuación x2 + 4 = 0 son: 2 i y - 2 i 
 
Las soluciones de la ecuación x2 - 6x + 13 = 0 son: 3 + 2 i y 3 - 2 i 
 
En general, cualquier ecuación de segundo grado con discriminante 
negativo tiene dos soluciones complejas conjugadas. 
 
Las soluciones de la ecuación x2 - 4x + 13 = 0 son dos complejos 
conjugados: 
 
2 + 3 i y 2 - 3 i 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13
COMPLEJOS: REPRESENTACION GRAFICA
 
¿Cómo se representan gráficamente los números complejos? 
 
Dibuja un sistema de coordenadas cartesianas. En el eje de 
abscisas se representa la componente real y en el eje de 
ordenadas, la componente imaginaria: 
 
 En este sistema de coordenadas hacemos corresponder a cada 
número a + bi el punto de coordenadas A = (a, b), que recibe el 
nombre de afijo del número complejo a + bi. 
 
El punto (a, b) determina con el origen de coordenadas un vector, al 
que llamaremos vector posición del número complejo a + bi: 
 
Observación: 
Los números reales (considerados como complejos) se representan 
sobre el eje real. 
 
Los números imaginarios puros se representan sobre el eje 
imaginario 
 
Representación gráfica de la suma de complejos 
 
Podemos sumar gráficamente dos números complejos; lo haremos 
tal como sumamos vectores: 
 
Representación del conjugado 
 
El conjugado de a + bi es a - bi, luego su representación es 
simétrica respecto del eje horizontal: 
 
 
Multiplicación por la unidad imaginaria i 
 
Multipliquemos por i el número complejo a + bi: 
 
Si representamos gráficamente el resultado , obtenemos algo 
curioso: multiplicar por i, supone girar 90° el número complejo 
inicial. 
 14
MODULO Y ARGUMENTO 
 
 El módulo de un número complejo z = a + bi es la distancia de su 
afijo ( a , b ) al origen de coordenadas [la longitud de su vector 
posición]. Se designa entre barras verticales y se calcula usando el 
Teorema de Pitágoras: 
 
 
 
Se llama argumento de un complejo z = a + bi, al ángulo a que 
forma el semieje positivo con el vector posición de z. Se calcula 
mediante la expresión de la tangente: 
 
 
 
Observación: 
 
El argumento de un complejo no es único. Si a es un argumento, 
también lo son: 
 a + 1 · 360°, a + 2 · 360°, ...., a + K · 360°, donde K es cualquier 
número entero. 
Dada la existencia de infinitos argumentos, se suele elegir el único 
de ellos que está entre 0° y 360°, el cual recibe el nombre de 
argumento principal. 
 
 
El módulo del número complejo 
 
En cuanto al argumento, sabemos que: 
 
 
 
Los ángulos de 150° y 330° tienen por tangente -1/Ö3. Pero es 
evidente que el primero debe rechazarse, pues el afijo P del 
complejo que se está considerando está situado en el cuarto 
 15
cuadrante, y no en el segundo. Por tanto, el argumento del complejo 
dado es 330°. 
 
 
 
El módulo del complejo 
 
Y su argumento 45º, ya que el afijo de 1 + i está en el primer 
cuadrante 
 
 
 
El argumento principal del complejo , porque 
240° debe rechazarse, ya que z está en el primer cuadrante. 
 
Otros argumentos: 420°, - 300°, 780°,... 
 
 
FORMAS DE EXPRESAR UN COMPLEJO
 
 Un número complejo se puede expresar de distintos modos: 
 
 
Forma binómica 
 
Forma cartesiana 
 
Forma polar 
 
Forma trigonométricaFORMA BINOMICA Y CARTESIANA 
 
 Se denomina forma binómica a la manera usual de escribir un 
complejo: 
 
a + b i 
 
Cuando un complejo a + b i lo representamos mediante su afijo ( a , 
b ), decimos que está expresado en forma cartesiana. 
 16
FORMA POLAR 
 
 Se denomina forma polar de un número complejo aquélla que 
expresa el complejo mediante su módulo y su argumento. 
 
Se representa ra donde r es el módulo y a el argumento 
 
 
El número 1 + i en forma polar se escribe 
 
Dos números en forma polar son el mismo si: tienen el mismo 
módulo y sus argumentos difieren en un múltiplo entero de 360° 
 
 
Observa la igualdad de los siguientes complejos: 
 
 
 
ya que los tres tienen el mismo módulo y los argumentos difieren en 
2kp 
 
 
 
Observa la igualdad de los siguientes complejos: 
 
 
 
ya que los tres tienen el mismo módulo y los argumentos difieren en 
k · 360 
 
 
Observa que un número real a se expresa en forma: 
 
 si es positivo y si es negativo 
 
 17
EXPRESION TRIGONOMETRICA 
 
 Si conocemos el módulo r y argumento a de un complejo z = a + bi, 
podemos deducir que a = r cos (a) y b = r sen (a). 
 
Luego podemos escribir: 
 
A la expresión 
 
 
 
se la llama expresión o forma trigonométrica del número complejo z 
= a + bi. 
 
 
El módulo del número complejo Ö3 - i es 2 
 
Y su argumento, 330º 
 
Luego su expresión trigonométrica es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18
RESUMEN 
 
 A modo de resumen, un número complejo se puede expresar en 
las formas: 
 
 
Forma binómica a + b i 
 
Forma cartesiana ( a , b ) 
 
Forma polar r a 
 
Forma trigonométrica r ( cos a + i·sen a ) 
 
Forma exponencia r · eia 
 
 
Donde a, b, r, a están relacionados por el teorema de Pitágoras y 
por razones trigonométricas 
 
 
Observa que, conocida una expresión, se pueden obtener las 
demás: 
 
 
 
El complejo z = - 1 + Ö3 i , en forma trigonométrica es 2 (cos 120º 
+ i sen 120º) 
 
 
 
El complejo z = - 2 , en forma trigonométrica es 2 (cos p + i sen p) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19
OPERACIONES DE NUMEROS COMPLEJOS 
EN FORMA POLAR 
 
 No es conveniente hacer la suma y la resta de números complejos 
si están éstos expresados en forma polar, pues ni el módulo, ni el 
argumento del vector suma tienen una expresión sencilla en función 
de los módulos y los argumentos de los sumandos. Es preferible 
efectuar estas operaciones utilizando la expresión binómica de los 
números complejos. 
 
Por el contrario, el producto, cociente, la potenciación y radicación 
de números complejos expresados en forma polar es mucho más 
simple que en forma binómica. 
 
 
 
FORMA POLAR: SUMA Y RESTA
 
 No es conveniente hacer la suma y la resta de números complejos 
si están éstos expresados en forma polar, pues ni el módulo, ni el 
argumento del vector suma tienen una expresión sencilla en función 
de los módulos y los argumentos de los sumandos. Es preferible 
efectuar estas operaciones utilizando la expresión binómica de los 
números complejos. 
 
 
 
 
FORMA POLAR: PRODUCTO
 
 El producto de dos números complejos es otro número complejo 
cuyo módulo es el producto de los módulos, y cuyo argumento es la 
suma de los argumentos: 
 
 Observa los siguientes ejemplos: 
 
 
 
 20
FORMA POLAR: DIVISION 
 
 Como consecuencia inmediata del producto, podemos deducir que 
para dividir dos números complejos, se dividen los módulos y se 
restan los argumentos: 
 
Ya que si multiplicamos el divisor por el cociente, obtenemos el 
dividendo 
 
 Observa los siguientes ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
FORMA POLAR:POTENCIA 
 
 Para calcular una potencia de un complejo en forma polar , 
elevamos el módulo a la potencia n y multiplicamos el argumento 
por n. 
 
 
Observa los siguientes ejemplos: 
 
 
 
 21
 
 
 
Vamos a hallar utilizando formas polares. 
 
En primer lugar, pasamos los complejos a forma polar: 
 
 
 
Operando obtenemos de resultado 1240 
Pasamos el resultado a forma binómica y obtenemos 
 
 
 
Observa como simplificamos la expresión: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22
FORMA POLAR: CONJUGADO E INVERSO 
 
 El conjugado de un complejo en forma polar tiene el mismo 
módulo, pero argumento opuesto. 
 
 
El inverso de un complejo tiene por módulo el inverso del módulo, y 
por argumento el opuesto; se designa por ( ra )-1 
 
 
 
PRODUCTO: INTERPRETACION 
GEOMETRICA 
 
 Multiplicar ra por 1b es girar ra un ángulo b 
 
 
 
En particular, para girar un complejo un ángulo de 90°, basta 
multiplicarlo por la unidad imaginaria i: 
 
 
 
 
 
Si multiplicamos dos complejos ra y Sb, el resultado obtenido es: 
 
 23
Por un lado: el vector posición de ra ha girado un ángulo b y el 
módulo se ha multiplicado por S. 
 
Por otro lado: el vector posición de Sb ha girado un ángulo a, y el 
módulo se ha multiplicado por r: 
 
 
 
 
 
 
Observa el siguiente ejemplo: 
 
 
 
 
 
Para hallar el punto transformado de ( - 1, - 1) al aplicarle un giro de 
75°, hacemos lo siguiente: 
 
En primer lugar lo pasamos a polar 
 
Lo multiplicamos por 
 
 
 
El punto transformado es 
 
 
 
 
 24
FORMULA DE MOIVRE 
 
 Sea ra un número complejo en forma polar; si escribimos el 
resultado obtenido al elevar a una potencia 
 
 
 
Ésta permite obtener fórmulas para el cálculo de cos ( na) y sen ( 
na ), utilizando solamente senos y cosenos de a. 
 
 
Tomemos como ejemplo el caso n = 3: 
 
Por un lado: 
Y por otro: 
 
 
 
En consecuencia, igualando las partes reales e imaginarias, 
obtenemos las expresiones de sen 3a y cos 3a 
 
Por la fórmula de Moivre se obtiene: 
 
 25
RADICACION DE NUMEROS COMPLEJOS
 
 Si elevamos a la cuarta cada uno de los complejos , 
obtenemos el mismo resultado: 
 
Al igual que en los números reales, se dice que 
son raíces cuartas de 
 
En general: 
 
 
 
 
Los complejos son las raíces cúbicas de 
 
 
 
CALCULO DE LAS RAICES N-SIMAS
 
 Basándose en la definición de potencia, se puede dar un método 
para hallar las n raíces n-ésimas de un número complejo ra: 
 
Primero: El módulo de las raíces se obtiene hallando la raíz n-sima 
de r: 
 
 Segundo: Calculamos el primero de los argumentos dividiendo a 
entre n: 
 
 
 
 26
Tercero: Dividimos 360° entre n: 
 
Cuarto: Obtenemos los demás argumentos sumando l al inmediato 
anterior: 
 
Quinto: Las raíces n-simas de ra son: 
 
Observemos que hay exactamente n raíces n-simas. 
 
 
 
Calculemos las raíces cúbicas de - 8. 
 
La expresión polar de - 8 es 
Los pasos previos son: 
 
Tenemos, pues, que las raíces cúbicas de son: 
 
 
 
Calculemos las raíces cuadradas de 
Los pasos previos son: 
 
 
 
 
 27
REPRESENTACION GRAFICA DE LAS 
RAICES N-SIMAS 
 
 Los afijos de las n raíces n-simas de un número 
complejo ra están sobre una circunferencia de radio , y 
cada dos consecutivos forman un ángulo de 360°/n o 2p/n 
radianes. 
 
 
 
Estas raíces están sobre la circunferencia de radio ,y 
el ángulo entre dos raíces consecutivas es 360°/4 = 
90° 
 
 
 
 
 
Estas raíces están sobre la circunferencia de radio Ö9 = 3, y el 
ángulo entre dos raíces consecutivas es 360°/2 = 180° 
 
 
 
Las raíces cuartas de 1 son: 
 
Estas raíces están sobre la circunferencia de radio 1, y el ángulo 
entre dos raíces consecutivas es 2p/4 = p/2 radianes 
 
Las raíces cúbicas de i son: 
 
Estas raíces están sobre la circunferencia de radio 1, y el ángulo 
entre dos raíces consecutivas es 2p/3 radianes 
 
 28
FORMA EXPONENCIAL
 
 Una forma de escribir la forma polar ra es: 
 
 
llamada forma exponencial de un complejo. 
 
Esta manera de expresar un complejo tiene la ventaja que la 
multiplicación, división, potenciación y radicación de las potencias 
es compatible con las respectivas operaciones con complejos: 
 
 
 
 
 
 
 29
	LOS NUMEROS: e , PI , i 
	POTENCIACION