Diagonalización de Endomorfismos y Matrices

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Diagonalización de Endomorfismos y
Matrices
Definición 1 Dado un e.v. V sobre un cuer-
po K diremos que el endomorfismo f : V → V
es diagonalizable si existe una base de V tal
que la representación de f en la base sea una
matriz diagonal D.
Si la matriz A ∈ Mn(K) es la representación
de f en la base, diremos que A es diagonali-
zable en K si f es diagonalizable.
A es diagonalizable en K si ∃P ∈ Mn(K) in-
versible tal que P−1AP = D sea una matriz
diagonal (A y D son matrices semejantes).
Definición 2 Sea f : V → V un endomorfis-
mo. Un vector �v �= �0 de un e.v. V sobre
un cuerpo K se llama autovector o vector
propio de un endomorfismo si ∃λ ∈ K tal que
f(�v) = λ�v. A este valor λ ∈ K se le llama
autovalor o valor propio del endomorfismo f
asociado al autovector �v.
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Proposición 1 Sea V un e.v. sobre K y sea
f : V → V una a.l. Entonces se cumplen las
siguientes condiciones:
1. Si �v es un autovector de f , �v lleva aso-
ciado un único autovalor.
2. Si λ es un autovalor de f , λ lleva asocia-
dos infinitos autovectores.
Definición 3 Sea f : V → V un endomorfis-
mo. Al conjunto Vλ = {�v ∈ V/f(�v) = λ�v} se
le llama subespacio propio del endomorfis-
mo f asociado al autovalor λ.
√
Vλ es un subespacio vectorial de V , forma-
do por los autovectores de f asociados a λ y
por �0V .
√
Dada la aplicación identidad i : V → V , se
tiene Vλ = Ker(f − λi).
√
λ es autovalor de f si y sólo si f −λi no es
inyectiva.
√
Si f es inyectiva, λ = 0 es un autovalor de
f con subespacio propio asociado Kerf .
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Autovalores de una matriz
Definición 4 Sea A ∈ Mn(K). Decimos que
una matriz columna no nula X ∈ Mn×1(K) es
un autovector o vector propio de la matriz
A si existe un escalar λ ∈ K tal que AX = λX.
A este valor λ ∈ K se le llama autovalor o
valor propio de la matriz A asociado al auto-
vector X.
Proposición 2 Sea f : V → V un endomor-
fismo del e.v. V sobre K, y A la matriz aso-
ciada a f en una cierta base B. Entonces:
1. λ ∈ K es ⇔ λ ∈ K es
autovalor de f autovalor de A
2. Si X es la matriz columna formada por
las coordenadas de un vector �x ∈ V en la
base B, entonces
�x es un autovector ⇔ X es un autovector
de f asociado a λ de A asociado a λ
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Cálculo de Autovalores
Teorema 1 Sea A ∈ Mn(K). Entonces
λ ∈ K es un autovalor de A ⇔ el determinante
de la matriz (A − λI) es nulo.
λ será autovalor de A si y sólo si el sistema
homogéneo (A − λI)X = 0 tiene solución no
nula. Esto ocurre si y sólo si (A−λI) es una
matriz singular, es decir su determinante es
nulo.
Definición 5 Sea A ∈ Mn(K). Llamamos
polinomio caracteŕıstico de la matriz A al de-
terminante de la matriz (A − λI).
Observemos entonces que, según el teorema
anterior, los autovalores de la matriz A son
las ráıces de su polinomio caracteŕıstico.
√
Si A es la matriz asociada a f en una cierta
base B entonces:
dimVλ = dimV − rg(A − λI)
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De los siguientes endomorfismos reales, hallar los auto-
valores y sus subespacios propios asociados:
Ejemplo 1 f(x, y) = (3x + 2y,2x)
Ejemplo 2 f(x, y, z) = (2x + y,−x + z, x + 3y + z)
Ejemplo 3 f(x, y, z) = (x,−8x +4y − 6z,8x + y +9z)
Diagonalización de un endomorfismo
Teorema 2 Sea V un e.v. sobre un cuerpo K
y f : V → V un endomorfismo. Entonces f
es diagonalizable si y solamente si existe en
V una base de autovectores de f .
Proposición 3 Sea V un e.v. definido so-
bre K y f : V → V un endomorfismo. Enton-
ces si: {λ1, λ2, . . . , λm} son autovalores dis-
tintos de f , entonces los autovectores corres-
pondientes {�v1, �v2, . . . , �vm} son linealmente in-
dependientes.
Si dimV = m, los vectores {�v1, �v2, . . . , �vm} for-
man una base de V .
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Teorema 3 Sea V un e.v. de dimensión n
sobre K y f : V → V un endomorfismo. Si f
tiene n autovalores λ1, λ2, . . . , λn ∈ K distin-
tos, entonces f es diagonalizable en K
Nota: Este teorema no implica que un endo-
morfismo con autovalores multiples no pueda
ser diagonalizable.
Diagonalización de una matriz
Teorema 4 Dada A ∈ Mn(K), se tiene que
A es diagonalizable si y solamente si existe
en Kn una base de autovectores de A.
Además, respecto de dicha base es diagonal
y los elementos de la diagonal principal son
los autovalores de f .
Por tanto, existe una matriz P (de cambio
de base) tal que
P−1AP = D
donde D es una matriz diagonal formada por
los autovalores de A y P por la correspon-
diente base de autovectores.
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Teorema de caracterización de los
endomorfismos diagonalizables
Definición 6 Sea f : V → V un endomorfis-
mo en un e.v. V definido sobre K. Si λ ∈ K
es un autovalor de f , llamamos:
1. Multiplicidad algebraica de λ, ma(λ) al
orden de multiplicidad de λ como ráız del
polinomio caracteŕıstico de f .
2. Multiplicidad geométrica de λ, mg(λ),
a la dimensión del subespacio propio aso-
ciado a λ, Vλ.
Teorema 5 Sea V un e.v. de dimensión n
definido sobre un cuerpo K y f : V → V un
endomorfismo. Si los autovalores distintos
de f son: λ1, λ2, . . . , λp ∈ K entonces f es
diagonalizable si y sólo si se verifican las dos
siguientes condiciones:
1. ma(λ1) + ma(λ2) + . . . + ma(λp) = n
2. ma(λi) = mg(λi) i = 1, . . . , p
√
Si K = C entonces, 1. siempre se verifica.
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√
Si λ es un autovalor de f , entonces
1 ≤ mg(λ) ≤ ma(λ)
√
Los resultados anteriores son análogos pa-
ra matrices.
Proposición 4 Sea A ∈ Mn(K). Entonces:
1. λ autovalor de A ⇔ kλ autovalor de kA
2. λ autovalor de A
⇔ kλ−k autovalor de kA−kI
3. Si A es regular,
λ autovalor de A ⇔ 1λ autovalor de A−1
4. Si λ autovalor de A ⇒ λn autovalor de An
Ejemplo 4 Dar, si es posible, un ejemplo de una ma-
triz A ∈ M4×4(R) tal que
S = {(1,1,0,0), (0,1,1,0), (0,0,1,1)(0,0,−1,1)}
sean vectores propios y el conjunto de valores propios
sea {1,−1}. En caso afirmativo, estudiar si A es dia-
gonalizable, si es inversible y determinar la potencia
n-ésima.
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