Valor abs

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VALOR ABSOLUTO
SI a • IR ó el valor absoluto de a que se denota por: •a•. Se define de la 
siguiente manera.
•o•
a
0
-a
Si a > 0
Si a = 0
Si a < 0
Ejem:
•4•= 4 •0• = 0
•3• = - (-3) = 3
Ejem. 
Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto.
•3x - 4• = 8
La sol. Son: 3 x – 4 = 8
3 x = 8 + 4
3 x = 12
x1 = 4
3 x – 4 = - 8
3 x = - 8 + 4
3 x = - 4
x 2 = - 4/3
Comprobación: Si x = 4
|3 x – 4| = 8
|3 (4) – 4| = 8
|12 – 4| = 8
|8| = 8
8 = 8
Si x = - 4/3
|3 x – 4| = 8
|3 (-4/3) – 4| = 8
|- 4 – 4| = 8
|- 8| = 8
8= 8
|3 x2 – 1| = 3
x2 – 1 = 3
x2 = 3 + 1
x2 – 1 = - 3
x2 = - 3 + 1
41 ±=x
22 −±=x
Comprobación
Propiedades del valor absoluto
1.-
2.-
3.-
4.-
Ejem.
Resolver la siguiente desigualdades:
 x b
14x –2| • 6
Utilizando la propiedad # 1
( )
33
3|3|
3|14|
3|14|
31|
4
2
=
=
=−
=−
=
=
x
x
x Si
( )
33
3|3|
3|12|
3|12|
31|
2 Si
2
=
=−
−−−
=−−
=−
−=
x
x
x
||||||
||||||
||
||
yxyx
yxxy
bxbxbx
bxbbx
+=+
=
≥∧−≤⇔≥
≤≤−⇔≤
21
844
6246
246
≤≤−
≤≤−
≤−≤−
≤−≤−
≤≤−⇔=
x
x
x
bx
bxbb|x|
23
2
632
42342
2432
|
propiedad1a.laUtilizando
2|43|
≤≤
≤≤
+≤≤+−
≤−≤−
≤≤−⇔≤
=−
x
x
x
x
bxbb|x
x
41
2
8
2
2
532532
352352
|
propiedad2a.laUtilizando
3|52|
>∧<
>∧<
+>∧+−<
>−∧<−
>−<⇔>
>−
xx
xx
xx
xx
bxbxb|x
x
η
-1 0 1 2
x
PRODUCTO CARTESIANO
Dados 2 conjuntos a ∧b en este orden el Producto Cartesiano de a b que se 
denota A x B = es un nuevo conjunto formado por partes ordenadas cuyos 
primeros elementos pertenecen al 1er. Conjunto y los segundos elementos al 
segundo conjunto, es decir, Ax B = a un conjunto de pares ordenados {(x,y)| x 
•A ∧ y •B}
RELACIÓN • Es un subconjunto del Producto Cartesiano
FUNCIÓN • Es un subconjunto del P.L cuyos primeros elementos son diferentes.
Ejem.
Dados los conjuntos A= {1, 2, 3} ∧ B {1, 2, 3, 4,5}, Obtener.
a) A x B
b) Una Relación
c) Una Función
d) Un Conjunto D = {(x, y)| y = x}
e) Un Conjunto E = {(x, y)| y = 2 x}
f) Un Conjunto F = {(x, y)| y < x}
2
1
2
13
672672
26726
267||
2a.Prop.7|26|
−≤≥
−≥−−−≤−
≥−∧−≤−
≥−∧−≤⇔≥
≥−
xx
xx
bxx
bxxbx
x
5
3265
2535
2635
positivo.
siempreesabsolutovalor el
porquehacer puedeseNo
4|2|
−=
+=
+=
+=
−≤+
-x 
x x -
x x -
|x|x-|
x
0 1 2 0 1 2 3 4
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
g) Un Conjunto G = {(x, y)| y > x}
h) Un Conjunto H = {(x, y)| y = x + 1}
Respuestas:
a) A X B ={(1,1), (1,2), (1, 3), (1, 4), (1, 5),
(2,1), (2,2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),
(3,1), (3,2), (3, 3), (3, 4), (3, 5)}
b) R = {(1,1), (2,4), (3,5), (3,4)}
c) F= {(1,1), (2,1), (3,1)}
d) {(1,1), (1,2), (1, 3), (1, 4), (1, 5),Es una función y Relación
e) E = {(1,2), (2,4)} Función
f) F = {(3,2), (3,1), (2,1)} Relación
g) G = {(-1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5)} Relación
h) H = {1,2) (2,3) (3,4)} Función
PRUEBAS DE LA VERTICAL
y
x
FUNCION
*
*
*
*
y
x
FUNCION
**
**
y
x
FUNCION
*
***
*
***
NOTAS DE FUNCIONES
Una función se denota por: “F, G, H” y su regla de correspondencia la vamos a 
denotar “y = g (x)”, “y = h(x)”
A la variable “x” se le llama variable INDEPENDIENTE
A la variable “g” se le denomina variable DEPENDIENTE
Al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, se le llama: 
DOMINIO.
Al conjunto de valores que toma la variable dependiente, se le llama: RANGO ó 
CONTRADOMINIO.
VALOR DE UNA FUNCIÓN
Si a la variable independiente “x” se le asigna un valor “a” a • IR, el par ordenado 
(a,b) pertenece a la función. Si solo si ⇔ b, f(a), donde a “b” se le llama VALOR 
DE LA FUNCIÓN y=f (x) en x = a
Ejemplo:
Obtener el valor de las siguientes funciones.
1) y = x –3
en x = 4, 0, -5
y = f(x)
f(x) =x-3
f (4) = 4–3 = 1 (4,1)
f (0) = 0–3 = -3 (0,-3)
f (-5) = -5 –3 = -8 (-3, -8)
2) f (x) = x3 + 3x2 –5
en x=2 –1, a, h
f(2) =(2)3+ 3(2)2 –5
=8 +12-5
= 15 (2.15)
f(-1) = (-1)3 +3 (-1)-5
= -1 +3 –5
=-3 (-1, -3)
f (a) = a3+ 3a2 –5 (a, a3+3a2 –5)
f (h) = h3 + 3h2 – 5 (h, h3 + 3h2 –5)
3) f (x) = x3 –3x +2
en x=1, h, x+h
f(1) = (1)3 – 3(1) +2
1 – 3-+ 2 = 0
f(h) = h3 – 3h + 2
f(x + h) = (x + h)3 – 3 (x+h)+2
x3 + 3x2h + 3xh2+h3 –3x-3h+2
4)Dada La función f(x) = x2 2x-1
obtener el cociente f (x+h) –f (x)
h
f(x+h) = (x+h)2 –2(x+h) –1
x2 +2x h+h2 –2x –2h –1
f(x+h) – fx) (x2+2xh+h2-2x-2h –1)-(x2-2x-1)
h h
= x2 + 2xh+h2-2x-2h-1-x2-+2x+1
h
= 2xh + h2 – 2h
h
= h (2x + h-2)
h
= 2x + h - 2